河北省优质课高中数学数学选修2-3第一章第三节《二项式定理》说课

教案 二项式定理及应用 教目标：1掌握二项式定理和性质以及推导过程。

2利用二项式定理求二项展开式中的项的系数及相关问题。

3使生能把握数问题中的整体与局部的关系，掌握分析与综合，特殊和一般的数思想。

教重点；二项展开式中项的系数的计算。

教过程：一、 复习引入：1n b a )(+的展开式，项数，通项；[]2二项式系数的四个性质。

二、 例题1. 二项式定理及二项式系数性质的简单应用：例1 （1）1821- 除以9的余数是_____________________(2)432)1()1(4)1(6)1(41-+-+-+-+x x x x =_______________A 4)1(-xB 4xC 4)1(+xD 4)2(-x (3)已知7292.......42121=++++n n n n nC C C 则=+++n n n nC C C ........21____________________ （4）n a a )(+如果展开式中奇数项的系数和为512，则这个展开式的第8项是（ ） A a a C 579 B a a C 6310 C 6810a C D a a C 7411(5)若5050105032.....)1(.......)1()1(x a x a a x x x +++=++++++则2a 等于（ ）A 502B 492C 351CD 350C小结1(1)注意二项式定理的正逆运用；(2)注意二项式系数的四个性质的运用。

2. 二项展开式中项的系数计算：[]例2 （1）523)12(x x -展开式中常数项等于_____________ （2）在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800（3）已知,........)21(7722107x a x a x a a x ++++=-求：721....a a a +++[]小结2 (1)局部问题抓通项；[](2)整体系数赋值法。

1.3.1二项式定理教学目标：知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美．教学重难点:重点：二项式定理的内容及应用难点：二项式定理的推导过程及内涵教学过程一、设置情境，引入课题问题某人投资10万元，有两种获利的可能供选择．一种是年利率12％，按单利计算，10年后收回本金和利息．另一种年利率10％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息． 试问，哪一种投资更有利？分析：本金10万元，年利率12％，按单利计算，10年后的本利和是10×（1＋12％×10）＝22（万元）本金10万元，年利率10％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是10%)101(10+⨯那么如何计算10%)101(+的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如n b a )(+的展开式．二、探索研究二项式定理的内容问题：n b a )(+的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试．【学生分组探究】学生可能的探究方法1：由b C a C b a b a 11011)(+=+=+22212202222C C C 2)(b ab a b ab a b a ++=++=+33322321330332233C C C C 33)(b ab b a a b ab b a a b a +++=+++=+44433422243144044322344464)(b C ab C b a C b a C a C b ab b a b a a b a ++++=++++=+ ……学生可能通过具体的例子来展开说明，如：3223333)(b ab b a a b a +++=+或4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 学生归纳过程可能如下：以4)(b a +为例的展开式的分析过程： 4322344464))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：432234,,,,b ab b a b a a ．【学生可能归纳出来：（1）每一项中字母a ，b 的指数之间的关系（2）项的个数有1+n 项】 在上面4个括号中：每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，所以4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况下有14C 种，所以b a 3的系数是14C ；恰有2个取b 的情况下有24C 种，所以22b a 的系数是24C ；恰有3个取b 的情况下有34C 种，所以3ab 的系数是34C ；4个都取b 的情况下有44C 种，所以4b 的系数是44C ；因此44433422243144044C C C C C )(b ab b a b a a b a ++++=+．【归纳、猜想?)(=+n b a 】)N (C C C C C )(*222110∈++++++=+---n b b a b a b a a b a n nn r r n r n n n n n n n n教师根据情况进行指导和引导，尤其是各项二项式系数的确定，教师要从各项中a ，b 指数的含义如b a a 34,来引导，并要求学生说明怎么得到这些项？教师可以通过电脑演示各形式项的形成过程，将学生的思维过程展示．学生可能的探究方法2： )())()(()(b a b a b a b a b a n ++++=+ ，共n 个)(b a +，依据多项式乘法，直接写出各项．【学生成果展示，可通过具体实例：通过投影、板书或口述】问题：希望学生得到的规律（1）项数：1+n 项；（2）指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减至0，同时，字母b 的指数由0递增至n ；（3）二项式系数是nn r n n n n C C C C C ,,,,,210（4）通项：r r n r n r b a C T -+=1 【板书（1），（2）】【规律（3）得到后，板书n r r n n n n b b a b a a b a +++++-- 1)(】【规律（4）得到后，补全二项式定理板书】教师引导中，可能用到的引导问题：（1）将nb a )(+展开，有多少项？（2）每一项中，字母a ，b 的指数有什么特点？（3）字母a ，b 的指数的含义是什么？是怎样得到的？（4）如何确定r r n b a -的系数？教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：（1）项数：1+n 项；（2）指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减至0，同时，字母b 的指数由0递增至n ；（3）二项式系数：下标为n ，上标由0递增至n ；（4）通项：r r n r n r b a C T -+=1指的是第r+1项，该项的二项式系数是r n C （5）公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，上面的定理是用不完全归纳法得到的，将来可以用数学归纳法进行严格证明．三、二项式定理的应用1．解决本节课开始提出的问题．解：1010)1.01(10%)101(10+=+)1.0C 1.0C 1(102210110 +⨯+⨯+=5.24≈ 由此可见，按年利率10％每年复利一次计算的要比年利率12％单利计算更有利，10年后多得利息2.5万元．备选例题2．展开4)21(x +解：404431342224131404044)2(1C )2(1C )2(1C )2(1C )2(1)21(x x x x x C x ++++=+ 43216322481x x x x ++++=思考1．第三项的系数是多少？思考2．第三项的二项式系数是多少？你能得到什么结论？【板书：.二项式系数与项的系数是两个不同概念．】思考3．若本例只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？哪种方法更好？四、归纳小结1．学生的学习体会与感悟；2．教师强调：（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现．五、作业P121 习题10.4 2，4，5。

1.3.1 二项式定理教材分析《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路．知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．教学过程引入新课提出问题1：我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？(2)排列的定义与排列数公式是什么？(3)组合的定义与组合数公式是什么？活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：(板书)(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！. (3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题2：如何利用两个计数原理得到(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．提出问题3：(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？(2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗？(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘．设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法．提出问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝()a4＋()a3b＋()a2b2＋()ab3＋()b4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动成果：展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C04种，a4的系数是C04；恰有1个取b的情况有C14种，a3b的系数是C14，恰有2个取b的情况有C24种，a2b2的系数是C24，恰有3个取b的情况有C34种，ab3的系数是C34，有4个都取b的情况有C44种，b4的系数是C44，∴(a＋b)4＝C04a4＋C14a3b＋C24a2b2＋C34a3b＋C44b4.设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据．提出问题5：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)n的展开式是什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来，也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化，学生可能更容易发现新知．设计意图：通过学生对(a＋b)n展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣．提出问题6：请同学们根据猜想完成下式，并对所给答案给出说明：(a＋b)n＝(_)a n＋(_)a n－1b＋(_)a n－2b2＋…＋(_)a n－r b r＋…＋(_)b n(n∈N*)活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论．活动成果：(1)(a＋b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：a n，a n－1b，…，a n－rb r，…，b n.(2)展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即C0n种，a n的系数是C0n；恰有1个取b 的情况有C 1n 种，a n －1b 的系数是C 1n ，…，恰有r 个取b 的情况有C r n 种，a n －r b r 的系数是C r n ，…，有n 个都取b 的情况有C n n 种，b n 的系数是C n n ，∴(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N )， 这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．呈现二项式定理——(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N ) 设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而喻的．提出问题7：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导．活动成果：(1)它有n ＋1项，各项的系数C k n (k ＝0,1，…n )叫二项式系数；(2)各项的次数都等于二项式的次数n .设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解．提出问题8：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导．活动成果：(板书)(1)字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0，字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ；(2)C k n a n －k b k 叫二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项T k ＋1＝C k n a n －k b k ； (3)字母a ，b 可以是数，式子或其他．设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点．运用新知例1.展开(1＋1x)4.解法一：(1＋1x )4＝1＋C 14(1x )＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋(1x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 解法二：(1＋1x )4＝(1x )4(x ＋1)4＝(1x )4[x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋1]＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 点评：比较复杂的二项式，有时先化简，再展开会更方便．巩固练习1.求(2x －1x)6的展开式． 解：先将原式化简，再展开，得(2x －1x )6＝(2x －1x)6＝1x 3(2x －1)6＝1x 3[(2x )6－C 16(2x )5＋C 26(2x )4－C 36(2x )3＋C 46(2x )2－ C 56(2x )1＋C 66]＝64x 3－192x 2＋240x －160＋60x －12x 2＋1x 3. 2.求(1＋2x )7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数．解：(1＋2x )7的展开式的第4项是T 3＋1＝C 37×17－3×(2x )3＝C 37×23×x 3＝35×8x 3＝280x 3. 所以展开式的第4项的二项式系数是35，系数是280.点评：①要注意展开式的第r ＋1项，对应于二项式系数C r n ；②要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没什么必然的联系． 例2 求(x －1x)9的展开式中x 3的系数． 解：(x －1x)9的展开式的通项是 C r 9x 9－r (－1x)r ＝(－1)r C r 9x 9－2r . 根据题意，得9－2r ＝3，r ＝3.因此，x 3的系数是(－1)3C 39＝－84.巩固练习1．(1＋2x )7的展开式的第几项的二项式系数等于35?解：C 37＝C 47＝35，所以第4项与第5项的二项式系数等于35. 2．(x －1x)9的展开式中，含有x 6项吗？若有，系数为多少？含有x 5项吗？若有，系数为多少？ 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．解：根据通项(－1)r C r 9x 9－2r ，当9－2r ＝6时，r 无整数解；当9－2r ＝5时，解得r ＝2，所以系数为36.所以展开式中，不含x 6项，含有x 5项，系数为36.设计意图：两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开，而且可以培养学生的发散性思维能力，并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻，学生的兴趣会更浓，思维也会更积极．达标检测1．求(2a ＋3b )6的展开式中的第3项．解：T 2＋1＝C 26(2a )4(3b )2＝2 160a 4b 2；2．求(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数．2．解：T 2＋1＝C 26(3b )4(2a )2＝4 860b 4a 2.所以，(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数为4 860.3．求(1＋2i)5的展开式．解：因为a ＝1，b ＝2i ，n ＝5，由二项式定理，得(1＋2i)5＝C 05＋C 152i ＋C 25(2i)2＋C 35(2i)3＋C 45(2i)4＋C 55(2i)5＝1＋10i －40－80i ＋80＋32i＝41－38i课堂小结1．知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念．2．方法收获：正确区别“项的系数”和“二项式系数”．3．思维收获：类比思想、化归—归纳—猜想—证明思想．补充练习基础练习1．已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值．解：依题意C 3n ＝7C 1n ，即n (n －1)(n －2)6＝7n ， 由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8.2．已知(ax ＋1)7(a ≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值．解：依题意C 57a 2＋C 37a 4＝2C 47a 3.由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±105.3．计算：(a＋1)5－(a－1)5.解：(a＋1)5－(a－1)5＝[(a)5＋C15(a)4＋C25(a)3＋C35(a)2＋C45a＋1]－[(a)5－C15(a)4＋C25(a)3－C35(a)2＋C45a－1]＝2[C15(a)4＋C35(a)2＋2]＝10a2＋20a＋4.·32＋1＝10n.4．求证：32n＋C1n·32n－2＋C2n·32n－4＋…＋C n－1n·32＋1＝32n＋证明：右边＝10n＝(9＋1)n＝(32＋1)n＝32n＋C1n·32(n－1)＋C2n·32(n－2)＋…＋C n－1nC1n·32n－2＋C2n·32n－4＋…＋C n－1·32＋1＝左边，故原式得证．n设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(a＋b)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(a＋b)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．备课资料二项式定理的妙用在数学中，有许多美妙的命名和定理．二项式定理就是其中之一．首先，看一看我们的二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式所表示的定理就是二项式定理．T r＋1＝C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项公式，在这里r＋1才是项数，第一个位置的a按降幂排列，次数由n次降到0次，第二个位置的b按升幂排列，次数由0次升到n次，a、b可以是任意实数，也可以是任意式子，能深刻理解二项式定理的结构特征、通项公式，就有许多美妙的用处．其次，谈谈二项式定理的妙用：1)若在二项式定理中，令a ＝1、b ＝1，就能得到C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，即各二项式系数之和等于2n ，也是含n 个元素的集合的所有子集有2n 个，其中非空子集、真子集都有(2n －1)个，非空真子集有(2n －2)个．2)若令a ＝1、b ＝－1，则可得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ＝(1－1)n ＝0，即C 0n ＋C 2n＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1，也就是在(a ＋b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和且等于2n －1.3)在二项式定理中，若令a ＝1、b ＝x ，则得到公式(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n xr ＋…＋C n n x n ，其有鲜明的形式特征，可快速准确地展开类似的二项式． 4)充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项．5)在二项式定理中，若令未知数的系数等于1，就可以得到二项展开式中各项系数之和． f (x )＝(px ＋q )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，则有a 0＋a 1＋a 2＋……＋a n＝f (1)，a 0－a 1＋a 2－a 3＋……＋(－1)n a n ＝f (－1)，a 0＋a 2＋a 4＋……＝12[f (1)＋f (－1)]，a 1＋a 3＋a 5＋……＝12[f (1)－f (－1)]． 6)用二项式定理可以很好地解决整除问题．例如①求证32n ＋2－8n －9能被64整除．②求证5151－1能被7整除等．7)在二项式系数表中，淋漓尽致地体现了组合数的两个重要性质：①C r n ＝C n －r n ，②C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n . 8)在二项式定理中，使用递推法，即T r ，T r ＋1，T r ＋2系数间的关系可以解决系数最值问题．9)利用二项式定理可以解决近似计算问题．10)理解透彻二项式定理的结构关系，能应用它求解、证明许多式子．例如：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n －1C n －1n ＋2n C n n＝3n ； 2n －C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋(－1)n －1C n －1n 2＋(－1)n ＝1； C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ＝？ 在(2－x )n 中若x n 项的系数为a n (n ＝2,3,4，…)则22a 2＋23a 3＋24a 4＋ (2)a n＝？ …总之，巧妙地应用二项式定理可以解决许多有趣实用的问题．希望大家都能喜欢数学，学习数学，应用数学．。

§1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr n T C a b -+=．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+．例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rr rr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项.2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(2328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

二项式定理及其应用一、求某项的系数：【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407）（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．（56x）二、证明组合数等式：练习（12345）[]例2 计算：19975（精确到0001）．师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．例3：（1996年全国高考有这样一道应用题）某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数，经过23+3＋7＋5天后的那一天是星期几？生庚：先将此题转化为数问题，即本题实际上寻求对于任意自然数，23+3+7＋5被7除的余数．受近似计算题目启发，23+3=8+1=（7＋1）+1，这样可以运用数，7也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了．师：请同们在笔记本上完成此题的解答（教师请一名同板演）解：由于23+3＋7＋5=8+1＋7＋5=（7＋1）+1＋7+5则 23+3＋7＋5被7除所得余数为6所以对于任意自然数，经过23+3＋7＋5后的一天是星期日．师：请每位同在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除．师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题例4 求证：3＞2-1（＋2）（∈N，且≥2）．师：仍然由同先谈谈自己的想法．生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．注意到：①2+·2-1=2-1（2＋）=2-1（+2）；②≥2，右式至少三项；这样，可以得到3＞2-1（＋2）（∈N，且≥2）．生癸：根据题设条件有∈N，且≥2．用数归纳法应当可以证明．师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生×同从乘方运算这点考虑，想到二项式定理，生×同从题设条件∈N考虑，想到数归纳法．大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．用二项式定理证明，生×同已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在请同们在笔记本上完成数归纳法的证明．（教师请一名同板演）证明：①当=2时，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，显然9＞8．故不等式成立．②假设=k（k∈N且k≥2）时，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），则当=k＋1时，由于左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k．右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，则左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）[]=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．所以左式＞有式．故当=k＋1时，不等式也成立．由①，②不等式对≥2，∈N都成立．师：为了培养综合能力，同们在笔记本再演算一道习题：设∈N且＞1，求证：（证明过程中可以运用公式：对个正数1，2，…，，总有（教师在教室巡视，过2分钟找一名同到黑板板演第（1）小题，再过3分钟找另一名同板演第（2）小题）[][]师：哪位同谈一谈此题应怎样分析？生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，列前项的和，由求和公式也能得到2-1．因此得到证明．第（2）小题左式与右式也没有直接联系．根据题目给出的公式要师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数知识的综合应用．当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同们的重视．作业1．课本习题：P253习题三十一：6，7，10；2．课本习题：P256复习参考题九：15（2）．3．补充题：[]课堂教设计说明1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了生预习复习的习习惯．2．只有生自己动手、动脑、动口才能真正把知识到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力．因此课堂教一定以生为主体，体现主体参与．3．生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助生提高分析能力．。