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1 n
ln i mPni1
Xi 1
或者，序列X1 n
ni=1
Xi
以概率收敛于
即X P
03,3,4分
9
定 理 5 .3贝 努 里 大 数 定 理
设 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 为 p ， 记 n A 为 n 次 独 立 重 复 试 验
中 A 发 生 的 次 数 ,则 0 ,有 ： n l im P n n Ap 1
1
0.1875n
0.01n 2
118n750.90
n18750
5
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1,X2,X3, ,若存在某常数，
使得0,均有： limP n
Xn
0,
则称随机变量序列Xn依概率收敛于常数，
记为：Xn p。
性 质 ： 已 知 Xn p ， 并 知 函 数 g(x)在 x=处 连 续 ，
证 明 ： 利 用 契 比 雪 夫 不 等 式 ， 因 n A b n , p , 故 ： EnnA1 nEnA1 nnpp, Dn nAn 12DnAn 12npqp nq
于 是 ， 0,有 P n n Ap 1n p q 2
即得： nl im PnnAp1
大数定律的重要意义：
贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频 率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意 义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的 方 们法便，可既以然通频过率做试nA/验n与确概定率某p事有件较发大生偏的差频的率可并能把性它很作小为，相我 应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估 计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。
定理的等价形式为：PXEX122
证 明 ： 仅 就 X 为 连 续 型 时 证 之 设 X 的 概 率 密 度 为 f x ,
则 PX fxdx x
x2
x
2
f
xdx
f (x)
12
x2
fxdx
D X
2
2 2
• 例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
证 明 ： 令 Xi 1 0第 第 ii次 次 试 试 验 验 时 时 A A 未 发 发 生 生
P a nA b
( b np ) n p (1 p )
则 X 1 ,X 2 ,,X n ,相 互 独 立 同 分 布 , X i ~ b ( 1 ,p ) . ( a n p )
由 于 n A X 1 X 2 X n ,
11
定 理 5 . 4 独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理
设随机变量X1, X2, , Xn, 相互独立同分布，
E Xi , D Xi 2 0,i 1, 2,
n
Xi n
则前n个变量的和的标准化变量为：Yn i1 n
思考题：
X
1 n
n
X i的 近 似
i=1
分布是什么？
x R,有：
n
Xi n
lim P
n
Yn
x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N0,1.
n
即： X（ i 近似）～N(n,n2), i＝1
从而，P(a
n i1
Xi
b)(bn)(an).
n
n
答案：N(, 2 )
第五章 大数定律和中心极限定理
契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
1
§1 大数定律
• 背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
• 为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
2
定理5.1 契比雪夫不等式：
设随机变量X具有数学期望EX,方差DX2
则对于任意0,都有：P XEX 22
n p (1 p )
由 定 理 5 .4 ,n l im P
n n p A ( 1 n p p )x x 2 1e t2 2d t
即 : n A (近 似 )~ N (n p ,n p ( 1 p )).二项分布和正态分布的关14 系
示意例图
பைடு நூலகம்
• 例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。
解 ： 设 在 n 重 贝 努 里 试 验 中 ， 事 件 A 出 现 的 次 数 为 X ，
则Xbn,0.75,
E X n p 0 . 7 5 n ,D X n p q 0 . 1 8 7 5 n ,
又
fn
A
X n
而 P 0 . 7 4 X n 0 . 7 6 P X 0 . 7 5 n 0 . 0 1 n
§2 中心极限定理
•背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互 独立的随机变量的综合影响所形成的，而其 中每个个别的因素作用都很小，这种随机变 量往往服从或近似服从正态分布，或者说它 的极限分布是正态分布，中心极限定理正是 从数学上论证了这一现象，它在长达两个世 纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。
则 gXn p g
6
定理5.2契比雪夫不等式的特殊情形：
设随机变量序列X1, X2, , Xn , 相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
Yn
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
证 明 ： 由 于 E Y nE 1 nkn 1X k 1 nn ,
DYn
D
1 n
n k1
Xk
1 n2
n k1
D Xk
1 n2
n2
2
n
由 契 比 雪 夫 不 等 式 得 ： P 1 nk n 1X k 1 2 2 n
nli m P1nkn1Xk
1
[辛钦大数定理（弱大数定理）] 设X1,X2,…, Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同 的数学期望E（Xi）= （i=1,2,…）， 则对>0，有
n
02，4，3分
定 理 5 . 5 德 莫 佛 - - 拉 普 拉 斯 定 理
设 nA 为 n 次 贝 努 里 试 验 中 A 发 生 的 次 数 ， P A p0p1,
则 对 任 意 x， 有 ： n l im P
n n p A( 1 np p)x x
1et2 2dt (x), 2
