高考数学一轮总复习不等式选讲第一节绝对值不等式练习文选修45

2017高考数学一轮复习 不等式选讲 第1讲 绝对值不等式习题 选修4-5A 组 基础巩固一、选择题1．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为导学号 25402883( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2)[答案] D2．ab ≥0是|a －b |＝|a |－|b |的导学号 25402884( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 当ab ≥0，a ＜b 时，|a －b |≠|a |－|b |，故条件不充分． 当|a －b |＝|a |－|b |时，则a 、b 同号且|a |≥|b |.故条件必要． 综上可知，ab ≥0是|a －b |＝|a |－|b |的必要不充分条件．3．若2－m 与|m |－3异号，则m 的取值范围是导学号 25402885( ) A ．m ＞3 B ．－3＜m ＜3 C ．2＜m ＜3 D ．－3＜m ＜2或m ＞3[答案] D[解析] 方法一：2－m 与|m |－3异号，所以(2－m )·(|m |－3)＜0，所以(m －2)(|m |－3)＞0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m －m －＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －－m －＞0.解得m ＞3或0≤m ＜2或－3＜m ＜0.方法二：由选项知，令m ＝4符合题意，排除B ，C 两项，令m ＝0可排除A 项． 4．已知不等式|2x －t |＋t －1＜0的解集为(－12，12)，则t ＝导学号 25402886( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ∵|2x －t |＜1－t ，∴t －1＜2x －t ＜1－t ，即2t －1＜2x ＜1，t －12＜x ＜12.∴t ＝0. 二、填空题5．(2015·河南郑州模拟)不等式|x －1|－|x ＋2|≤2的解集为________.导学号 25402887[答案] [－32，＋∞)[解析] 当x ≥1时，原不等式等价于－3≤2，解得x ≥1；当－2≤x ＜1时，原不等式等价于－2x －1≤2，解得－32≤x ＜1；当x ＜－2时，原不等式等价于3≤2，无解．综上可得，原不等式的解集为[－32，＋∞)．6．(2015·广东肇庆中小学教学评估第二次模拟检测)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.导学号 25402888[答案] 2[解析] 由|kx －4|≤2，得－2≤kx －4≤2，解得2k ≤x ≤6k(k ＞0)，因此k ＝2.7．(2015·重庆)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.导学号 25402889[答案] －6或4[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意； 当a ＜－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤a x －1－2a ，a ＜x ≤－13x ＋1－2a ，x ＞－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1－x ＋1＋2a ，－1＜x ≤a ，3x ＋1－2a ，x ＞af (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.三、解答题8．(2015·大同调研)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.导学号 25402890 (1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围． [答案] (1)[0,2] (2){1}[解析] (1)当a ＝1时，由f (x )≤3，可得|2x －1|＋|x －2|≤3， ∴①⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，1－2x ＋2－x ≤3或②⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜2，2x －1＋2－x ≤3或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＋x －2≤3.解①求得0≤x ＜12；解②求得12≤x ＜2；解③求得x ＝2.综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0,2]． (2)∵当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立， 即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ，故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x .再根据3x －4的最大值为6－4＝2,4－x 的最小值为4－2＝2， ∴2a ＝2，∴a ＝1， 即a 的范围为{1}．9．(2015·河北唐山三模)设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a 、b ∈M .导学号 25402891(1)证明：|13a ＋16b |＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． [答案] (1)略 (2)|1－4ab |>2|a －b | [解析] (1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝(－12，12)．所以|13a ＋16b |≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2， 故|1－4ab |＞2|a －b |.10．(2015·云南模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.导学号 25402892 (1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )． [答案] (1)a ＝2，m ＝3 (2)t ＝0时x ∈R ，t >0时，{x |x ≤2－t2}[解析] (1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，所以f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，等价于|x －2＋2t |－|x －2|≤t . 当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －－x t或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －－x t或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －x －t ，解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t2或x ∈∅，即x ≤2－t2. 综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R ； 当t ＞0时，原不等式的解集为{x |x ≤2－t2}．B 组 能力提升1．(2014·安徽)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为导学号 25402893( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或8[答案] D[解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a －1，－a2≤x ≤－1，－3x －a －1，x ＜－a2，则f (x )的图像如图所示，故f (x )min ＝f (－a 2)＝a2－1＝3，解得a ＝8；当a ＜2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x ＞－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x ＜－1，则f (x )的图像如图所示，故f (x )min ＝f (－a2)＝－a2＋1＝3，解得a ＝－4.2．(2016·南昌市高三模拟)设f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值集合是________.导学号 25402894[答案] {x |x ≤－1或x ≥2} [解析]|a ＋1|－|2a －1||a |＝|1＋1a |－|2－1a |≤|(1＋1a )＋(2－1a)|＝3，所以最大值为3，从而|2x －1|≥3，解得x ≤－1或x ≥2.故x 的取值集合为{x |x ≤－1或x ≥2}．3．若不等式|x －a |＋3x ≤0的解集包含{x |x ≤－1}，则实数a 的取值范围是________.导学号 25402895[答案] [－4,2][解析] 由题意可知，|x －a |≤－3x ，即3x ≤x －a ≤－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－a2，x ≤a4，要使不等式的解集包含{x |x ≤－1}，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥－1，a4≥－1，解得－4≤a ≤2.4．(2015·福建龙岩上学期教学质量检查)已知函数f (x )＝a |x ＋1|－b |2x －4|(a 、b ∈R ).导学号 25402896(1)当a ＝1，b ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)当b ＝1时，若函数f (x )既存在最小值，又存在最大值，求所有满足条件的实数a 的集合．[答案] (1)(－∞，12) (2){2}[解析] (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，由f (x )≤0得|x ＋1|≤|x －2|⇔x 2＋2x ＋1≤x 2－4x ＋4⇔x ≤12，所以所求不等式的解集为(－∞，12)．(2)当b ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋a ＋4，x ≥2，a ＋x ＋a －4，－1＜x ＜2，－a x －a －4，x ≤－1.因为f (x )既存在最大值，又存在最小值， 所以a －2＝0，所以a ＝2 所以a 的取值集合为{2}．5．(2015·河北衡水中学上学期四调考)设f (x )＝|x －a |，a ∈R .导学号 25402897 (1)当a ＝5时，解不等式f (x )≤3；(2)当a ＝1时，若∃x ∈R ，使得不等式f (x －1)＋f (2x )≤1－2m 成立，求实数m 的取值范围．[答案] (1){x |2≤x ≤8} (2)(－∞，－14][解析] (1)当a ＝5时，原不等式等价于|x －5|≤3，即－3≤x －5≤3，所以2≤x ≤8.原不等式的解集为{x |2≤x ≤8}．(2)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|，令g (x )＝f (x －1)＋f (2x )＝|x －2|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12＜x ＜2，3x －3，x ≥2，当x ＝12时，g (x )取得最小值32.由题意知32≤1－2m ，所以m ≤－14，所以实数m 的取值范围为(－∞，－14]．6．(2015～2016学年河南省许昌市长葛一中月考试题)设关于x 的不等式|x －1|≤a －x .导学号 25402898(1)若a ＝2，解上述不等式；(2)若上述的不等式有解，求实数a 的取值范围． [答案] (1){x |x ≤32} (2)[1，＋∞)[分析] (1)若a ＝2，关于x 的不等式即|x －1|≤2－x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x －2≤x －1≤2－x，由此求得不等式的解集．(2)关于x 的不等式即|x －1|＋x ≤a ，令f (x )＝|x －1|＋x ，求得函数f (x )的最小值，可得实数a 的范围．[解析] (1)若a ＝2，关于x 的不等式即|x －1|≤2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x －2≤x －1≤2－x ，解得x ≤32，故不等式的解集为{x |x ≤32}．(2)关于x 的不等式|x －1|≤a －x ，即|x －1|＋x ≤a .令f (x )＝|x －1|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥11，x <1，故函数f (x )的最小值为1，∴a ≥1，即实数a 的范围为[1，＋∞)．[点评] 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

选修4­5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1， 解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4， 得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0， 解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3， 当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ， 即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3， 解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12，解得x≥32或x≤12，∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；当－12≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t 恒成立，则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5.11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤12；当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以12<x ≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8，∴ 3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝32时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，22)．第2课时 不等式证明的基本方法1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a2c ≥2a ，将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c ，∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， 当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x ＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号． 故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。

§选修4－5 不等式选讲考纲展示►1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．考点1 含绝对值不等式的解法1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤________，当且仅当________时，等号成立；(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤________，当且仅当________时，等号成立．答案：(1)|a|＋|b| ab≥0(3)|a－b|＋|b－c| (a－b)(b－c)≥02．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法(2)|ax＋b①|ax＋b|≤c⇔____________；②|ax＋b|≥c⇔____________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．答案：(1){x |－a <x <a } ∅ ∅ {x |x >a ，或x <－a } {x |x ∈R ，且x ≠0} (2)①－c ≤ax ＋b ≤c ②ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c[典题1] 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.[解] 解法一：如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时|A 1A |＋|A 1B |＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时|B 1A |＋|B 1B |＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法二：原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－x －－x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－x －＋x ＋2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 解法三：将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2<x <1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象如图所示．由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[点石成金] 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.解：①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3. ②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为xx <－25或x >2.考点2 含参数的绝对值不等式问题[典题2] 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.∴原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)∵a ＞－1，则－a 2＜12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ⎝⎛⎭⎪⎫x <－a 2，a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≤x <12，4x ＋a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1，即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.[点石成金] 不等式有解是不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集∅的对立面(如f (x )＞m 的解集是空集，则f (x )≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min.已知不等式|x ＋1|－|x －3|＞a ，分别求出下列情形中a 的取值范围： (1)不等式有解； (2)不等式的解集为R ； (3)不等式的解集为∅.解：解法一：因为|x ＋1|－|x －3|表示数轴上的点P (x )与两定点A (－1)，B (3)距离的差，即|x ＋1|－|x －3|＝|PA |－|PB |.由绝对值的几何意义知， |PA |－|PB |的最大值为|AB |＝4， 最小值为－|AB |＝－4， 即－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.(1)若不等式有解，a 只要比|x ＋1|－|x －3|的最大值小即可，故a ＜4. (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立， 只要a 比|x ＋1|－|x －3|的最小值还小，即a ＜－4.(3)若不等式的解集为∅，a 只要不小于|x ＋1|－|x －3|的最大值即可，即a ≥4. 解法二：由|x ＋1|－|x －3|≤|x ＋1－(x －3)|＝4，|x －3|－|x ＋1|≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，可得－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.(1)若不等式有解，则a ＜4. (2)若不等式的解集为R ，则a ＜－4. (3)若不等式解集为∅，则a ≥4.考点3 不等式的证明方法1.基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等． (1)比较法 ①求差比较法a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法a >b >0⇔ab>1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．答案：(1)①a －b >0 ②a b>1 (2)充分条件 (4)相反[典题3] 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥ 3(a ＋b ＋c )． [证明] (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3，由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3. 即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立.∴原不等式成立．[点石成金] 1.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.[2015·新课标全国卷Ⅱ]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，得 (a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)，得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.[方法技巧] 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法． [易错防范] 1.理解绝对值不等式的几何意义． 2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；所以|f (x )|>1的解集为2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a . 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．3．[2016·江苏卷]设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a . 证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a 3＝a . 4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝x －12＋x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |. (1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12. 当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1； 当－12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2， 解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝ (a 2－1)·(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.5．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0.当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．课外拓展阅读绝对值三角不等式的应用应用绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |可以很方便地解决很多问题，比如求最值、证明等，但要注意在应用绝对值三角不等式的过程中，至少有一步是放大或缩小的，在放大或缩小时，若从小的一边入手，则只能放大；若从大的一边入手，则只能缩小．[典例1] 求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．[思路分析] 对原绝对值不等式转化→利用绝对值三角不等式求最值[解] |x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(x ＋1)≥0，即－1≤x ≤1时等号成立．故当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.[温馨提示] (1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．[典例2] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[思路分析] 先将x ＋5y 写成3(x ＋y )－2(x －y )，然后利用绝对值三角不等式即可证得．[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|，∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1. 即|x ＋5y |≤1.[典例3] 若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．[思路分析][解析] 因为a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数x 恒成立，所以a <(|x ＋1|－|x －2|)min .因为||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.所以(|x ＋1|－|x －2|)min ＝－3.所以a <－3，即a 的取值范围为(－∞，－3)．。

选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[ 基础达标]一、填空题( 每小题 5 分, 共25 分)1. 若不等式A={ x|| 3x+2|> 1}, B={ x||x-2| ≤3}, 则A∩B= .【解析】解不等式| 3x+2|> 1 得3x+2<-1 或3x+2>1, 解得x<-1 或x>-,则A= ; 解不等式|x-2| ≤3得-3≤x-2≤3, 则-1≤x≤5, 则B={ x|-1≤x≤5}, 所以A∩B= .2. (2015·肇庆统测) 不等式|x-2|+|x+ 1| ≤5的解集为.[ -2,3] 【解析】不等式|x-2|+|x+ 1| ≤5? 解得-2≤x<-1 或-1≤x≤2或2<x≤3, 所以不等式|x-2|+|x+ 1| ≤5的解集为[ -2,3] .3. (2015·重庆巴蜀中学三诊) 已知关于x 的不等式|x+2|+|x-2| ≤a2 解集为空集, 则a 的取值范围为.( -2,2) 【解析】由关于x 的不等式|x+2|+|x-2| ≤a 2 解集为空集, 得关于x 的不等式|x+ 2|+|x-2|>a 2 解集为R,则( |x+2|+|x-2| )m in>a2. 又|x+ 2|+|x-2| ≥| (x+2) -( x-2) |= 4,所以2. 又|x+ 2|+|x-2| ≥| (x+2) -( x-2) |= 4, 所以a2<4, -2<a<2.4. 若关于x 的不等式|x-a|+|x-1| ≥a 恒成立, 则实数 a 的取值范围是.【解析】由题意可得( |x-a|+|x-1| ) min≥a, 又|x-a|+|x-1| ≥| 1-a| , 所以|a-1| ≥a,则a-1≤-a, a≤.5. (2015·长沙三模) 若对于实数x, y 有| 1-x| ≤2, |y+ 1| ≤1, 则| 2x+3y+1| 的最大值为.7 【解析】由| 2x+3y+1|=| 2( x-1) +3( y+1) | ≤2|x-1|+ 3|y+ 1| ≤7, 得| 2x+3y+1| 的最大值为7.1二、解答题( 每小题10 分, 共50 分 )6. (2015·江苏高考) 解不等式x+| 2x+3| ≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5 或x≥-.综上, 原不等式的解集是.7. (2015·东北三省四市二模) 设函数 f ( x)=| 2x+2|-|x-2|.(1) 求不等式 f ( x) >2 的解集;(2) 若对于? x∈R, f ( x) ≥2-t 恒成立, 求实数t 的取值范围.t【解析】(1) f ( x) =当x<-1 时, -x-4>2, x<-6, ∴x<-6;当-1≤x<2 时,3 x>2, x> , ∴<x<2;当x≥2时, x+4>2, x>-2, ∴x≥2.综上所述.(2) 易得 f ( x) min=f( -1) =-3,若对于? x∈R,f ( x) ≥t2-t 恒成立,则只需 f ( x) min=-3≥ t2-t ? 2t 2-7t+6≤0? ≤t ≤2, 综上所述≤t ≤2.28. (2015·河南实验中学质检) 设函数 f ( x)=|x-1|+ |x-3|.(1) 求不等式 f ( x) >2 的解集;(2) 若不等式 f ( x) ≤a 的解集非空, 求实数 a 的取值范围.【解析】(1) 函数f (x) =方程f ( x) =2 的根为x1= , x2=3,由函数 f ( x) 的图象知 f ( x) >2 的解集为.(2) 设g( x) =a , g( x)表示过点, 斜率为 a 的直线,f ( x) ≤a 的解集非空, 即y=f ( x) 的图象在g( x) 图象下方有图象, 或与g( x) 图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9. 已知函数 f ( x) =| 2x-1|+| 2x+5| , 且f( x) ≥m恒成立.(1) 求m的取值范围;(2) 当m取最大值时, 解关于x 的不等式|x-3|-2x≤2m-8.3【解析】(1) f ( x) =当-≤x≤时, 函数有最小值6, 所以m≤6.(2) 当m取最大值 6 时, 原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3 或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10. (2015·抚顺模拟) 已知函数 f ( x) =|x-1|+|x+a|.(1) 当a=2 时, 解不等式 f ( x) ≥4;(2) 若a>0, 且? x∈R, f( x) ≥5恒成立, 求a 的取值范围.【解析】(1) 当a=2 时, f ( x) =|x-1|+|x+ 2| ,由f ( x) ≥4得|x-1|+|x+ 2| ≥4.当x≤-2 时, 不等式化为-x-2-x+1≥4, 其解集为.当-2<x≤1时, 不等式化为x+2-x+ 1≥4, 其解集为? .当x>1 时, 不等式化为x+2+x-1≥4, 其解集为.综上得 f ( x) ≥4的解集为.(2) 因为a>0,4所以f ( x) =|x-1|+|x+a|=因此f ( x)的最小值为a+1, 由f ( x) ≥5恒成立, 即a+1≥5恒成立, 解得a≥4,所以当a>0 时, 对于? x∈R,使f( x) ≥5恒成立的 a 的取值范围是[4, +∞) .[ 高考冲关]1. (5 分) 集合A=[1,5], 集合B={x∈R‖x+3|+|x-2| ≤a+2}, 且A? B, 则实数 a 的取值范围是.[9, +∞) 【解析】由题意可得当x∈[1,5] 时, 关于x 的不等式|x+ 3|+|x-2| ≤a+2 恒成立,则( |x+ 3|+|x-2| ) max≤a+2, 又|x+ 3|+|x-2|= 所以当x=5时, |x+ 3|+|x-2| 取得最大值11, 故a+2≥11, 解得a≥9.2+1 对2. (5 分) (2015·重庆调研) 设函数 f ( x) =|x-1|+| 2x-a| , 若关于x 的不等式 f ( x) ≥ax∈R恒成立, 则实数a的取值范围是.[ -2,0] 【解析】当<1, a<2 时, f ( x) = f ( x) min=f =-a+1≥a2+1, 解得-2≤a≤0; 当>1, a>2 时, f (x) =f ( x) min=f a-1≥a2+1, 无解; 当a=2 时, 不成立. 综上可得实数 a 的取值范围是[ -2,0] .3. (10 分) (2015·包头测试) 设函数 f ( x) =|x-1+a|+|x-a|.(1) 若a≥2, x∈R,证明f ( x) ≥3;5(2) 若f (1) <2, 求a 的取值范围.【解析】(1) |x-1+a|+|x-a| ≥| ( x-1+ a) -( x-a ) |=| 2a-1| ,又a≥2, 故| 2a-1| ≥3, 所以此时 f ( x) ≥3.(2) f (1) =|a|+| 1-a| ,当a≤0时, f (1) =( -a) +(1 -a ) =1-2a,由f (1) <2, 得1-2a<2, 即-<a≤0;当0<a≤1时, f (1) =a+(1 -a ) =1<2 恒成立, 故0< a≤1;当a>1 时, f (1) =a+( a-1) =2a-1,由f (1) <2, 得2a-1<2, 解得1<a< .综上a 的取值范围是.4. (10 分) (2015·贵阳监测)(1) 已知a 和b 是任意非零实数. 证明: ≥4;(2) 若不等式| 2x+1|-|x+ 1|>k ( x-1) -恒成立, 求实数k 的取值范围.【解析】(1) ∵| 2a+b|+| 2a-b| ≥| 2a+b+2a-b|= 4|a| ,∴≥4.(2) 记h( x) =| 2x+1|-|x+ 1|=6如图, 若不等式| 2x+1|-|x+ 1|>k ( x-1) -恒成立,则函数h( x) 的图象在直线g( x) =k( x-1) -的上方, 又g( x) 的图象恒过定点,即g( x) 的图象只能在图中阴影区域内, 可得k∈.5. (10 分) (2015·银川二中二模) 已知函数 f ( x) =| 2x-a|+| 2x+3| , g( x) =|x-1|+ 2.(1) 解不等式|g ( x) |<5;(2) 若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f ( x1) =g( x2 )成立, 求实数 a 的取值范围.【解析】(1) 由‖x-1|+ 2|< 5, 得-5<|x-1|+ 2<5,∴-7<|x-1|< 3, -2<x<4,∴不等式|g ( x) |< 5 的解集为( -2,4) .(2) ∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f ( x1) =g( x2 )成立,∴{ y|y=f ( x)} ? { y|y=g ( x)},又f ( x) =| 2x-a|+| 2x+3| ≥| (2 x-a ) -(2 x+3) |=|a+ 3| ,g( x) =|x-1|+ 2≥2,则|a+ 3| ≥2,解得a≥-1 或a≤-5,即实数 a 的取值范围为( -∞, -5] ∪[ -1, +∞) .7。