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遗传算法在航空航天优化设计中的应用研究航空航天工程是一门高度复杂的学科，它涉及到众多的因素，包括材料选择、结构设计、动力系统、气动特性等等。
在这个领域中，优化设计是非常重要的一环，它可以帮助工程师们找到最优的解决方案，提高飞行器的性能和安全性。
而遗传算法作为一种强大的优化方法，正逐渐在航空航天领域得到广泛应用。
遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，它通过模拟遗传、变异和选择等过程，不断优化解决方案，从而找到最优解。
在航空航天优化设计中，遗传算法可以应用于多个方面。
首先，遗传算法可以应用于飞行器的结构设计。
飞行器的结构设计是一个复杂的过程，需要考虑到多个因素，如重量、强度、刚度等。
传统的设计方法往往需要大量的试错和经验积累，而遗传算法可以通过不断的优化迭代，找到最优的结构设计方案。
通过遗传算法，可以对结构进行参数化建模，然后通过对不同参数组合的遗传算法优化，找到最优的结构设计。
其次，遗传算法可以应用于飞行器的动力系统优化设计。
飞行器的动力系统包括发动机、燃料系统、推进系统等，它们的设计对于飞行器的性能和效率至关重要。
通过遗传算法，可以对动力系统的参数进行优化，找到最佳的参数组合，从而提高飞行器的性能和燃料效率。
此外，遗传算法还可以应用于飞行器的气动特性优化设计。
飞行器的气动特性对于飞行性能和稳定性具有重要影响。
通过遗传算法优化，可以对飞行器的气动外形进行参数化建模，并通过不断的遗传算法迭代，找到最优的气动外形设计，从而提高飞行器的气动性能和稳定性。
除了上述应用，遗传算法还可以应用于航空航天领域的其他优化问题，如导航路径规划、飞行器布局设计等。
通过遗传算法的优化，可以提高飞行器的效率、安全性和可靠性，为航空航天工程师提供更好的设计方案。
然而，遗传算法在航空航天优化设计中也存在一些挑战和限制。
首先，遗传算法的计算复杂度较高，需要大量的计算资源和时间。
其次，遗传算法的结果受到初始种群和参数设置的影响，需要经过多次迭代才能得到较好的结果。
飞行器轨迹规划技术研究近年来，随着人工智能、自动驾驶技术的不断进步，飞行器轨迹规划技术也日益成熟。
飞行器轨迹规划技术是指对飞行器在空中的路径规划和控制，可以保障飞行器的安全、高效、稳定地完成任务。
一、飞行器轨迹规划技术的研究背景在过去，人类掌握航空技术的方式主要是经验积累和试错。
但随着飞行器的不断增多和复杂性的提升，传统的经验积累和试错方法已经远远无法满足实际需求。
因此，需要一种更为有效的技术手段来保证飞行器在空中的安全、稳定和高效运行。
飞行器轨迹规划技术便是应运而生的。
二、飞行器轨迹规划技术的工作原理飞行器轨迹规划技术可以分为三个阶段：路径生成、路径优化和路径跟踪。
其中，路径生成阶段是决定飞行器航迹的起点、终点和经过点的阶段；路径优化阶段是针对路径进行优化，使得飞行器在飞行过程中消耗的能量最小；路径跟踪阶段是指用控制策略来实现飞行器沿着规划好的轨迹行驶。
三、飞行器轨迹规划技术的主要应用飞行器轨迹规划技术主要应用于空中搜救、航空除雪、无人机避障、飞行模拟等领域。
例如，利用飞行器轨迹规划技术，可以快速寻找失踪的船只、飞行器或人员；在航空除雪过程中，可以通过飞行器轨迹规划技术制定最优的飞行路径，提高航空除雪的效率；在无人机避障过程中，通过飞行器轨迹规划技术，可以避免无人机与其他障碍物相撞等。
四、飞行器轨迹规划技术的研究进展目前，飞行器轨迹规划技术已经相对成熟，涵盖了多种最优化算法和控制策略，例如基于遗传算法、粒子群算法等的最优路径规划算法，以及基于模型预测控制、反馈线性化等控制策略。
此外，还有不少学者对飞行器轨迹规划技术进行了深入的研究，取得了许多有意义的成果。
五、未来展望随着科技的不断发展，飞行器轨迹规划技术也将得到进一步革新，未来也将呈现出更加智能、高效、稳定的趋势。
例如，利用人工智能技术，可以针对不同飞行器制定个性化的轨迹规划方案，提升飞行器的机动性；同时，还可以借助互联网技术远程监测和控制飞行器，并实现多飞行器之间的协同作业，进一步提高效率和安全性。
2021⁃02⁃10计算机应用,Journal of Computer Applications 2021,41(2):390-397ISSN 1001⁃9081CODEN JYIIDU http ：//基于改进遗传算法的无人机路径规划黄书召1*，田军委2，乔路2，王沁2，苏宇2（1.西安工业大学电子信息工程学院，西安710021；2.西安工业大学机电工程学院，西安710021）（∗通信作者1945980733@ ）摘要：针对传统遗传算法收敛速度慢、容易陷入局部最优、规划路径不够平滑、代价高等问题，提出了一种基于改进遗传算法的无人机（UAV ）路径规划方法，该算法对遗传算法的选择算子、交叉算子和变异算子进行改进，从而规划出平滑、可飞的路径。
首先，建立适合UAV 田间信息获取的环境模型，并考虑UAV 的目标函数与约束条件以建立适合本场景的更为复杂、精确的数学模型；然后，提出了混合无重串选择算子、非对称映射交叉算子和启发式多次变异算子，寻找最优路径以及扩大种群搜索范围；最后，采用三次B 样条曲线对规划出的路径进行平滑，得到平滑的飞行路径，并且减少了算法的计算时间。
实验结果表明，与传统遗传算法相比，所提算法的代价值降低了68%，收敛迭代次数减少了67%；相较蚁群优化（ACO ）算法，其代价值降低了55%，收敛迭代次数减少了58%。
通过大量对比实验得出，当交叉率的值为（1/染色体长度）时，算法的收敛效果最好。
在不同环境下进行算法性能测试，结果表明所提算法具有很好的环境适应性，适合于复杂环境下的路径规划。
关键词：遗传算法；无人机；交叉算子；B 样条曲线；路径规划中图分类号：TP181；TP13文献标志码：AUnmanned aerial vehicle path planning based on improved genetic algorithmHUANG Shuzhao 1*，TIAN Junwei 2，QIAO Lu 2，WANG Qin 2，SU Yu 2（1.School of Electronic Information Engineering ，Xi ’an Technological University ，Xi ’an Shaanxi 710021，China ；2.School of Mechatronic Engineering ，Xi ’an Technological University ，Xi ’an Shaanxi 710021，China ）Abstract:In order to solve the problems such as slow convergence speed ，falling into local optimum easily ，unsmoothplanning path and high cost of traditional genetic algorithm ，an Unmanned Aerial Vehicle （UAV ）path planning method based on improved Genetic Algorithm （GA ）was proposed.The selection operator ，crossover operator and mutation operator of genetic algorithm were improved to planning a smooth and effective flight path.Firstly ，an environment model suitable forthe field information acquisition of UAV was established ，and a more complex and accurate mathematical model suitable for this scene was established by considering the objective function and constraints of UAV.Secondly ，the hybrid non -multi -string selection operator ，asymmetric mapping crossover operator and heuristic multi -mutation operator were proposed to find the optimal path and expand the search range of the population.Finally ，a cubic B -spline curve was used to smooth the planned path to obtain a smooth flight path and reduce the calculation time of the algorithm.Experimental results show that ，compared with the traditional GA ，the cost value of the proposed algorithm was reduced by 68%，and the number of convergence iterations was reduced by 67%；compared with the Ant Colony Optimization （ACO ）algorithm ，its cost value was reduced by 55%and the number of convergence iterations was reduced by 58%.Through a large number of comparison experiments ，it is concluded that when the value of the crossover rate is the reciprocal of chromosome size ，the proposed algorithm has the best convergence effect.After testing the algorithm performance in different environments ，it can be seenthat the proposed algorithm has good environmental adaptability and is suitable for path planning in complex environments.Key words:genetic algorithm;Unmanned Aerial Vehicle (UAV);crossover operator;B -spline curve;path planning 0引言近年来，受益于轻型高分子材料的发现以及嵌入式、自动化、信号处理、无线通信等技术的发展与成熟，无人机（Unmanned Aerial Vehicle,UAV)在田间信息获取、农业植保、设施巡检、物流配送［1-2］等场景中广受青睐。
基于遗传算法优化的多目标路径规划研究多目标路径规划是一项重要的任务。
它在无人机、机器人、自动驾驶汽车等领域中应用广泛。
优化多目标路径规划问题需要考虑多个目标，例如行驶距离、时间、能耗等。
由于多目标问题非常复杂，无法通过传统方法解决，因此遗传算法优化成为解决多目标路径规划问题的有效方法。
遗传算法是一种模拟自然进化过程中基因变异和选择的计算机算法。
其基本思想是通过对“个体”（路径规划问题的可能解）进行基因操作（交叉、变异），从而产生更适应环境的个体。
在每一轮迭代中，通过选择操作去掉适应性较差的个体，并让适应性较高的个体产生更多后代，以达到逐步优化个体适应性的目的。
遗传算法通常用于解决优化问题的产生，例如多目标路径规划。
遗传算法优化的多目标路径规划问题通常包括以下步骤：1. 确定适应性函数适应性函数用于评估个体（路径规划问题的可能解）对于多目标的适应性程度。
它通常被定义为多个目标函数的线性组合。
例如，一个适应性函数可以被定义为：f(x) = w1 * f1(x) + w2 * f2(x) + w3 * f3(x)其中，f1(x)、f2(x)、f3(x)分别表示路径的行驶距离、时间和能耗。
w1、w2、w3是不同目标函数的权重。
适应性函数的设计在遗传算法优化中非常重要，它决定了个体的适应性如何被计算。
2. 确定遗传算法的参数遗传算法涉及到一系列的参数，例如选择算子、变异算子、种群大小等。
这些参数对算法的性能有重要影响。
确定适当的遗传算法参数是优化多目标路径规划问题的关键。
通常，这些参数需要通过实验来确定。
3. 运行遗传算法一旦确定了适应性函数和遗传算法参数，就可以开始运行遗传算法。
在每一轮迭代中，通过交叉和变异操作生成新的个体，然后通过选择操作筛选出适应性最高的个体。
不断迭代，直到达到预定的终止条件，例如最大迭代次数或目标函数收敛。
4. 分析结果运行遗传算法后，可以得到一系列个体，每个个体都代表一个可能的路径规划解决方案。
路径规划中的遗传算法研究遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种基于生物进化理论的和优化算法，适用于求解复杂问题。
在路径规划中，遗传算法可以用于找到最优或近似最优的路径。
路径规划是指在给定地图中，找到从起点到终点的最佳路径。
在实际应用中，路径规划问题可以非常复杂，尤其是在存在障碍物、多个目标点、优先级等情况下。
遗传算法是一种擅长处理复杂问题的全局算法，因此在路径规划中有着广泛的应用。
其次，遗传算法通过选择、交叉和突变等操作来空间。
在路径规划中，选择操作通过适应度函数对候选路径进行评估，选择具有较高适应度的路径作为父代。
交叉操作通过交换两个路径的片段来产生新的路径，以期产生更好的路径。
突变操作通过随机改变路径中的一些位置来增加种群的多样性。
最后，遗传算法通过进化过程来不断优化解。
在路径规划中，进化过程就是通过不断迭代选择、交叉和突变操作来产生新的路径。
每一代都会生成新的路径，并通过适应度函数对其进行评估和排序。
重复这一过程，直到达到预设的停止条件（如找到最佳路径或达到计算资源上限）。
遗传算法在路径规划中的研究涉及以下几方面：1.适应度函数的设计：适应度函数用于评估路径的质量。
在路径规划中，适应度函数可以考虑路径的长度、通过的路径点数、时间成本等因素。
研究者可以根据具体的问题设计适应度函数来指导遗传算法的过程。
2.选择策略的优化：选择操作在遗传算法中起到了非常重要的作用，直接影响到过程的效率和性能。
研究者可以通过改进选择策略来提高性能，如采用轮盘赌选择、锦标赛选择等策略。
3.交叉和突变操作的改进：交叉和突变操作旨在产生新的解，并增加空间的多样性。
研究者可以尝试不同的交叉和突变操作，如多点交叉、均匀交叉、非均匀突变等，以期获得更好的解。
4.收敛速度的改进：收敛速度是遗传算法的一个重要指标，研究者可以通过调整参数、改进操作、引入自适应机制等方式来加快算法的收敛速度。
5.多目标路径规划：在实际应用中，路径规划可能需要同时优化多个目标，如最短路径和最小时间成本等。
基于遗传算法的无人机航线规划优化研究无人机技术的飞速发展，使得无人机的应用场景越来越广泛。
然而，无人机的飞行路径规划是个重要的问题，因为它关系到无人机飞行的安全、稳定和效率。
在这个问题上，遗传算法是一种可行的解决方案。
遗传算法是基于自然界进化规律的一种计算方法，它模拟了自然选择、基因交叉、突变等过程，能够搜索解空间中的最优解。
基于遗传算法的无人机航线规划优化研究，旨在设计出一套优秀的遗传算法，以便在航线规划中产生优化的策略和路径。
在进行基于遗传算法的无人机航线规划优化研究时，需要先了解问题背景和目标。
这类问题背景具有复杂、不确定、多目标和多约束等特点。
例如，要规划无人机的航线，需要定义好起点、终点和避障点，同时还需要考虑各种约束条件，如速度、高度、能量等，这些条件可能互相作用，相互制约，而且需要实时调整。
因此，在基于遗传算法的无人机航线规划优化研究中，需要根据具体的应用场景和问题情况，制定出相应的适应度函数，从而能够方便地衡量不同航迹生成的优劣情况。
适应度函数的设计与权重的确定是很关键的步骤，不仅需要考虑问题与目标之间的关系，还要兼顾航迹的实用性和计算量。
具体来说，基于遗传算法的无人机航线规划优化研究需要进行以下步骤：1. 定义问题及约束条件。
明确问题的具体背景、需求和要求，并列出所有的约束条件，例如起点和终点、飞行高度和能量消耗等。
如果问题不是典型的发现型问题，可能需要事先进行建模和仿真。
2. 制定遗传算法的流程和遗传算子。
根据问题和约束条件，确定所需的遗传算子，如选择算子、交叉算子和突变算子等。
同时制定遗传算法的基本流程，包括种群初始化、适应度函数计算、选择、交叉、突变及后处理等环节。
3. 设计适应度函数。
基于问题和约束条件，设计适应度函数，并确定适应度函数的权重。
初始的适应度函数可能存在问题，需要经过多次迭代和调整，才能够得到合适的结果。
通常，设计适应度函数是遗传算法的最重要部分，可以反映一个人对问题深度理解的程度。
基于遗传算法的路径优化方法研究及其实现引言：路径优化是一个常见的优化问题，它在很多领域都有广泛的应用，比如物流配送、车辆路径规划、网络路由等。
而遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式优化算法，通过模拟自然选择和遗传机制来搜索最优解。
本文将围绕基于遗传算法的路径优化方法展开研究，并提出一种实现方案。
一、遗传算法基础概念1.1 遗传算法原理遗传算法源于对达尔文生物进化理论的模拟，通过模拟生物的遗传、变异、适应性选择等过程来优化问题的解。
1.2 遗传算法流程遗传算法的基本流程包括初始化种群、选择操作、交叉操作、变异操作和终止条件判断等步骤。
1.3 遗传算法参数遗传算法的性能受到参数选择的影响，其中包括种群大小、交叉概率、变异概率等。
二、路径优化问题描述2.1 问题定义路径优化问题是指在给定的图中，找到一条路径使得满足一定的约束条件的情况下，路径的总长度最短。
2.2 适应度函数为了能够将路径优化问题转化为遗传算法的优化问题，我们需要定义一个适应度函数来衡量每个个体（路径）的优劣。
三、基于遗传算法的路径优化方法3.1 编码设计在遗传算法中，需要将问题的解（路径）进行编码。
常见的编码方式包括二进制编码、浮点数编码和排列编码等。
根据问题的特点选择合适的编码方式。
3.2 初始化种群在遗传算法中，初始化种群的质量直接影响到算法的性能。
一般情况下，可以根据问题的约束条件和启发式方法来生成初始种群。
3.3 选择操作选择操作是遗传算法中最为重要的一步，目的是根据适应度函数的值选择较优的个体。
常见的选择方法包括轮盘赌选择、锦标赛选择等。
3.4 交叉操作交叉操作是遗传算法的特点之一，通过交叉两个个体的染色体来生成新的个体。
在路径优化问题中，可以采用部分映射交叉、顺序交叉等方式进行操作。
3.5 变异操作变异操作是为了增加种群的多样性，防止算法陷入局部最优解。
在路径优化问题中，可以通过交换、插入、反转等方式进行变异操作。
3.6 终止条件判断终止条件判断是遗传算法运行的结束条件。
基于遗传算法的多无人机协同路径规划算法研究无人机技术的发展给许多领域带来了新的突破和机遇。
尤其是在无人机的协同工作方面，如何有效地规划多个无人机的飞行路径成为一个重要的问题。
本文将研究基于遗传算法的多无人机协同路径规划算法，以实现无人机在协同工作中的高效和安全。
一、引言无人机的广泛应用使得多无人机协同工作成为当今研究的热点之一。
在多无人机协同工作过程中，合理规划无人机的路径对任务的完成效率和安全性有着至关重要的影响。
而传统的路径规划方法无法很好地解决多无人机的规划问题，因此引入遗传算法作为路径规划的优化工具成为一个有效的解决方案。
二、多无人机路径规划问题描述在多无人机路径规划问题中，假设有N架无人机需要完成一系列任务，并且每个无人机的起止点都不相同。
任务可以分为有优先级和无优先级两类，有优先级的任务优先完成。
任务集合和无人机集合的关系可以表示为一个二分图。
三、遗传算法的基本原理遗传算法是一种通过模拟生物进化过程来寻找最优解的优化算法。
它模拟了遗传、交叉和变异等生物进化过程，并通过选择、交叉和变异等操作对种群进行迭代，直到达到收敛条件。
四、基于遗传算法的多无人机协同路径规划算法1. 初始化种群：随机生成一定数量的路径方案作为初始种群。
2. 适应度评价：根据任务完成时间和航行距离等指标评价每个路径方案的适应度。
3. 选择操作：采用轮盘赌算法选择适应度较高的个体作为父代。
4. 交叉操作：通过交叉操作生成新的个体，并更新种群。
5. 变异操作：对新个体进行变异操作，引入一定的随机性，增加种群的多样性。
6. 评价新种群：计算新种群的适应度。
7. 判断停止条件：如果满足设定的停止条件，则停止迭代；否则返回第3步。
8. 输出结果：输出最优路径方案及其适应度。
五、实验设计与结果本文通过使用Python编程语言，基于遗传算法实现了多无人机协同路径规划算法，并进行了实验验证。
实验中设置了不同数量的无人机和任务，并对比了本算法与其他常用算法的性能差异。
基于遗传算法的飞行器路径规划研究作者：刘明华来源：《现代电子技术》2008年第18期摘要：提出一种基于遗传算法和B样条曲线的路径规划新方法。
以B样条曲线控制点的坐标作为遗传因子用遗传算法进行规划，根据这些控制点，运用B样条曲线在3维坐标系中生成飞行器路径轨迹。
由于只对控制点进行规划减小了系统的计算量，极大地提高了系统的实时性。
仿真表明运用该算法规划的路径可以以最优的轨迹把飞行器指引到预定的目的地。
关键词：路径规划；进化算法；B样条函数;无人飞行器中图分类号：TP183 文献标识码：A 文章编号：1004373X(2008)1806404Evolutionary Algorithmbased Path Planning For UAVsLIU Minghua(Yangling Vocational & Technical College,Yangling,712100,China)Abstract：A combination of evolutionary algorithms incorporating BSplines functionbased framework is utilized to design a path planner for Unmanned Aerial Vehicles (UAVs).The coordinates of BSplines control points being the evolutionary algorithms′ artificial chromosome genes are used to produce the path for UAVs in a 3D rough terrain environment.Because of programming only the control points of BSplines not all the points of the path,the computation time of the system is reduced dramatically.A simulation is made to show that the algorithms is effective in guiding an UAV to its final destination,the simulation also shows that the planning time adopting by the proposed algorithms for the UAVs can decline to 74.5% of the time of original GA algorithms.Keywords：path planning;evolutionary algorithm;BSplines curves;UAVs飞行器的路径规划问题本质上是一个多约束多目标的优化问题。
求解这类问题导致寻求某个目标函数在特定区域上的最优解，传统的非线性规划类方法大多基于梯度计算［14］，具有较高的计算效率，但由于其固有的局部优化性及不稳健性等缺陷，并不适合于全局优化问题的求解。
遗传算法仿效生物的进化与遗传，根据生存竞争和优胜劣汰的法则，借助于遗传操作，使所求解的问题逐步逼近最优解。
与其他方法相比，遗传算法用单一字符串的形式描述所研究的问题，只需利用适应度函数进行优化计算，而不需函数导数等辅助信息，特别适合于解决其他方法无法解决的复杂问题，因而成为人们关注的热点之一。
从微观的角度看，遗传算法是一种随机算法；从宏观的角度看，它又有一定的方向性，因此它比一般的随机搜索算法效率要高［57］。
在经典遗传算法的基础上，许多学者对其进行多种改进，这些算法大都采用二进制编码，然而对于很多问题，例如神经网络的训练［8］，由于涉及较多的设计变量，如果采用二进制编码，则码串会很长，编码和解码操作将占用较多时间，而且码串过长会使算法的搜索效率降低。
另外，对于连续变量的优化问题，实数表示更加自然，并且计算精度不会受到编码方式的影响。
因此，本文尝试在广义遗传算法的基础上引入实数编码，设计相应的遗传操作，并用来解决函数优化问题。
飞行器的路径规划由于其飞行包线和稳定性要求，其不能像地面机器人一样用直线段描述，它是由一些具有连续性的曲线光滑连接而成。
B样条曲线具有高阶导数连续性，因此用B 样条曲线描述飞行器路径具有极大的优势［9］，可以满足这个要求。
同时，B样条曲线描述可以用极少的数据量（控制点的坐标）产生非常复杂的曲线。
1 进化算法研究1.1 进化算法算子简单的进化算法包括3个典型的操作算子：（1）选择（selection）;（2）交叉(crossover);（3）变异(mutation)。
三种算子都分别作用于每一代种群中的所有个体，这样经过一定代数的进化就可以获得比较满意的效果了，具体详见文献［6］。
标准的遗传算法在飞行路径规划中具有一定的应用价值，但也受到很多制约，人们对其染色体编码方式、各个操作因子均进行了发展，但其基本思想仍旧不变，故又称其为进化算法。
经典的遗传算法采用二进制编码，这将使染色体编码长度过长，导致编码和解码都费时，另外采用二进制编码存在hamming悬崖，降低搜索效率。
如果采用浮点数编码则可避免这种情况，另外浮点数编码使问题的描述更加接近实际情况。
直接用搜索空间中的搜索变量作为染色体，有效克服了二进制编码的缺点。
1.2 进化算法用于路径规划的过程进化算法的一个重要特性是能相对容易地应用于实际问题。
进化算法应用于轨迹规划按下述几个步骤：(1)飞机轨迹的编码表示；(2)构造轨迹评估函数；(3)研究特定轨迹规划的进化算法操作算子；(4)进行测试，微调进化算子和参数。
轨迹规划在地面确定可行的飞行轨迹，在空中则应具有轨迹实时重规划的能力。
轨迹规划就是确定UAV完成任务目标的顺序、路径，同时满足燃油、飞行性能、生存率等性能指标要求。
2 样条函数理论样条理论最先由Shoenberg于1958年提出，主要用于数字分析、差值、函数拟合等场合，1991年Crouch［10］最先把它引入飞机轨迹规划中。
近些年来，样条理论得到了极大的发展，并在更多领域内得到了广泛的应用。
2.1 样条函数定义符号Ck=Ck［a,b］表示区间［a,b］上具有直到k次连续导数的函数的集合所形成的空间，其中k为正整数。
符号C0表示连续函数空间，C－1表示具有第一类间断点的分段连续函数空间。
考察n次多项式，它在某个子区间［］上，可以表示为由于多项式可以用n+1个系数惟一确定，所以n次多项式又称为n+1阶多项式。
此外在子区间［］上还可以表示为－－－或者－定义1 如果函数满足下面条件：(1) 函数在每个子区间［］上是n次多项式；(2) 函数在区间［a,b］上具有直到n－1的连续导数，即∈Cn－1［a,b］。
则称称为关于区间［a,b］上的分划点称为样条函数的节点；其中为内节点，为边界节点或者端点。
符号表示对于固定一个分划Δ满足定义1的样条函数的全体所组成的空间。
定义2 函数称为关于分划Δ且亏数为k的n次样条函数，如果满足下面条件：(1) 函数是n次多项式，x∈［］(i=0,1,…,N)；(2) 函数∈Cn－k［a,b］。
显然，且样条函数具有直到n－k次的连续导数，高于n－k次的导数在内节点上间断的。
一般规定样条函数右连续，即符号表示对于固定分划Δ满足定义2的全体样条函数组成的空间。
样条函数空间与多项式空间有下列逻辑关系：函数称为关于分划Δ且亏数向量为的n次样条函数，如果满足条件：(1) 函数k(x)是n次多项式，x∈［］(i=0,1,…,N)；(2) 函数在除了首端点外其他节点处连续，即－，i=1,2,…,N；j=0,1,…,n－。
在实轴上取节点序列:…在(t－中将x看作参数，关于作函数(t－的n+1阶差商［］(t－，称此差商是以x为变量的B样条函数，并且称－［］(t－为第i个n次规范B样条函数。
根据上面介绍的差商概念可知－－其中－由上式易知，为分段n次多项式。
2.2 样条函数的迭代算法根据上面的结论，B样条函数迭代算法构造如下：首先，令，然后计算下列公式－－1(s)－1,k－1(s)－－1,k－1(s)+1+j－－1(s),j=1,2，…,k－1(9)最后定义B样条基元素－j,k(s－j)，j≤s≤j+1j=0,1，…,k0，s≤0,k+1≤s(10)这样，B样条函数表示为－为控制点坐标。
由式（10）可以得到，其中l=0,1,…,k－1，表示l阶偏导数。
3 路径规划设计3.1 适应度函数的确定适应度函数可看作是由以下4项组合而成其中是权值；具体值根据经验来确定；分别代表路径长度、安全距离、飞行包线；代表通过边界条件的不合理的路径；代表目标点和初始点之间的距离；代表路径和障碍物之间的安全距离，；代表最小转弯半径，如图1所示：规划路径的角度Θ不能小于预定的最小值。
Θ角和最小转弯半径满足关系式：Θ=2arccos(ΔT·V2R)，其中，ΔT为采样周期；R为转弯半径；V为飞行速度。
由于规划的路径首先要具有可实现性，因此式（12）中的的权值最大。
3.2 障碍物规划研究如图2所示为系统在实时威胁下的路径规划，为了简单说明问题，本文选择2维平面内规划算法。
图1 转弯半径角度图2 障碍下的路径规划如图2所示，当障碍物没在规划的两点之间时，两点的连线就是直接路径；当障碍物位于两点之间时，首先用一个坐标变换把威胁变换为一个以原点为中心单位圆。
假设威胁可以描述为：{x:(x－－1(x－其中R为一正定矩阵；为中心坐标。
坐标变换为：z=R－1/2(x－，就可以把威胁变换为z域内的一个单位圆，把z域看成是一个复平面，并做保形变换ω=1/z如图2右图，这样威胁区域的里面和外面做了相互映射。
这样最优路径问题就转换为在单位圆内沿着单位圆两点之间的距离问题。
然后通过逆映射可以转换为初始坐标系中的轨迹优化问题。
4 仿真实验三维立体边界条件采用式（3）所描述的函数产生的3D网格边界模拟一个有山谷的地形条件，目的是用来对算法进行验证。
z(x,y)=sin(y+a)+bsin(x)+ccos(dy2+x2)+ecos(y)+fsin(fy2+x2)+gcos(y)(14)其中a,b,c,d,e,f,g,h,m,n是由经验确定的常数值。
仿真条件为初始点坐标为(0,0,0)，终止点坐标分别为(10,10,2)和(5,10,2)。
图3、图4分别为2种情况下的路径规划图，其中图(a)和图(b)分别表示最短路径规划和躲开障碍物规划两种情况下的仿真结果。
可以看出，在设定的3D地形图上，本文的算法得到一条符合无人机转弯半径，并且光滑的可飞路径。
