第1章 随机事件与概率1-1
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(完整版)概率论第一章随机事件与概率
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
概率之1-1_
第 1次
H
第 2次 H 注：在每次试验 中必有一个样本 点出现且仅有一 个样本点出现.
(H,H):
(H,T)： (T,H): (T,T)：
H
T T
T
H T
Ch1-1-24
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
练习：
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 答案：
1. {3, 4, 5, , 18}.
2. {10, 11, 12, }.
Ch1-1-28
说明： 1. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空间 也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.
记 N 正品, D 次品.
则 3 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }. 以上例子都属于有限样本空间。
Ch1-1-25
实例4 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
4 {0, 1, 2,}.
无限样本空间. 实例5 考察某地区 12月份的平
Ch1-1-10
然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说 最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局， 每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是 “5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。 在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30 个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币， 所以，他应分得45个金币。
Ch1-1-13
创立：1713年，雅各布-伯努利的《猜测术》出 版，是概率论成为数学中的一个独立分支的标志。 他建立了第一个极限定理，即伯努利大数定律。
概率论与数理统计第1章随机事件及其概率
骰子朝上的点数为 i ,第二颗骰子朝上的点数为 j . (3) (i) S1 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 ),( 次品,正品 )} ;
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是 在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可 以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言 的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象 我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知 将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种 规律,称为随机现象的统计规律性.
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是 在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可 以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言 的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象 我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知 将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种 规律,称为随机现象的统计规律性.
1-1节 随机试验与随机事件
第 一 章 随 机 事 件 及 其 概 率
第一节
随机事件的概念
一、 概率论的诞生及应用
二、 随机现象 三、 随机试验
四、样本空间 样本点 五、随机事件的概念 六、小结
一、概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 年 一个名叫梅累的骑士就“ 一个名叫梅累的骑士就 约定赌若干局, 局便算赢家, 约定赌若干局 谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒 ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博 胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博 另一赌徒胜 ,问应如何分赌本?” 求教于帕斯卡 帕斯卡与费马 问应如何分赌本? 问应如何分赌本 求教于帕斯卡, 通信讨论这一问题, 通信讨论这一问题 于1654 年共同建立了概率论 的第一个基本概念 数学期望. 数学期望
实例2 “一门大炮向某一目 实例 标射击, 观察是否击中目标” 标射击 观察是否击中目标”. 结果: 可能击中也可能没击中” 结果 “可能击中也可能没击中”. 实例3 “抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数” 察出现的点数”. 结果有可能为: 结果有可能为 “1”, “2”, “3”, ” ” ” “4”, “5” 或 “6” ” ” ”
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳每天东升西落”, 太阳每天东升西落” “水从高处流向低处”, 水从高处流向低处” “同性电荷必然互斥”, 同性电荷必然互斥”
(2) 试验的所有可能结果 试验的所有可能结果: 正面， 反面; 正面， 反面 (3) 进行一次试验之前不能 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 确定哪一个结果会出现 同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. “抛掷一枚骰子 观察出现的点数 观察出现的点数” 2.“从一批产品中,依次任选三件 “从一批产品中 依次任选三件 依次任选三件, 录出现正品与次品的件数” 记 录出现正品与次品的件数”. 故为随机试验. 故为随机试验
第一节
随机事件的概念
一、 概率论的诞生及应用
二、 随机现象 三、 随机试验
四、样本空间 样本点 五、随机事件的概念 六、小结
一、概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 年 一个名叫梅累的骑士就“ 一个名叫梅累的骑士就 约定赌若干局, 局便算赢家, 约定赌若干局 谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒 ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博 胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博 另一赌徒胜 ,问应如何分赌本?” 求教于帕斯卡 帕斯卡与费马 问应如何分赌本? 问应如何分赌本 求教于帕斯卡, 通信讨论这一问题, 通信讨论这一问题 于1654 年共同建立了概率论 的第一个基本概念 数学期望. 数学期望
实例2 “一门大炮向某一目 实例 标射击, 观察是否击中目标” 标射击 观察是否击中目标”. 结果: 可能击中也可能没击中” 结果 “可能击中也可能没击中”. 实例3 “抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数” 察出现的点数”. 结果有可能为: 结果有可能为 “1”, “2”, “3”, ” ” ” “4”, “5” 或 “6” ” ” ”
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳每天东升西落”, 太阳每天东升西落” “水从高处流向低处”, 水从高处流向低处” “同性电荷必然互斥”, 同性电荷必然互斥”
(2) 试验的所有可能结果 试验的所有可能结果: 正面， 反面; 正面， 反面 (3) 进行一次试验之前不能 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 确定哪一个结果会出现 同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. “抛掷一枚骰子 观察出现的点数 观察出现的点数” 2.“从一批产品中,依次任选三件 “从一批产品中 依次任选三件 依次任选三件, 录出现正品与次品的件数” 记 录出现正品与次品的件数”. 故为随机试验. 故为随机试验
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x ≤ l/2 sin ϕ . 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
概率论与数理统计PDF版课件1-1
i 1
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
5. 事件的差 事件A发生但B不发生所构成的事件称为A与B的差, 记作 AB .
即 AB = { | A但 B } .
图 1-4
图1-4表示了A与B的差事件(阴影部分).
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
6. 互不相容(互斥)事件
若事件A与B不能同时发生, 即A∩B= , 则称A与B互不 相容(或互斥), 记作 A∩B= 或 AB= .
(2) ABC A B C A BC +ABC .
(3) A B C A B C A B C +A B C . (4) A B C A B C A B C A B C A B C +A B C +A B C . (5) ( A B)C .
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
例4 设A, B 为两个事件, 试化简下列各式：
若有限个或可列个事件 A1, A2, , An ,, 满足:
Ai Aj = (i j ), 且 Ai = , 则称 A1, A2, , An , i 1
构成一个完全事件组或完备事件组.
第一章随机事件与概率 §1.1基本概念
事件的概念、关系、运算与集合论中相应部分对照列表:
符号
A
A
AB A=B A∪B A∩B AB A∩B=
定义3 随机试验E的样本空间 的一个子集称为E的随机事
件, 简称事件. 常用大写字母A, B, C, 表示. 基本事件: 由一个样本点组成的单点集称为基本事件. 称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验
中出现.
“事件A发生”的含义是: A 且存在某一 , 使得 A .
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
5. 事件的差 事件A发生但B不发生所构成的事件称为A与B的差, 记作 AB .
即 AB = { | A但 B } .
图 1-4
图1-4表示了A与B的差事件(阴影部分).
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
6. 互不相容(互斥)事件
若事件A与B不能同时发生, 即A∩B= , 则称A与B互不 相容(或互斥), 记作 A∩B= 或 AB= .
(2) ABC A B C A BC +ABC .
(3) A B C A B C A B C +A B C . (4) A B C A B C A B C A B C A B C +A B C +A B C . (5) ( A B)C .
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
例4 设A, B 为两个事件, 试化简下列各式：
若有限个或可列个事件 A1, A2, , An ,, 满足:
Ai Aj = (i j ), 且 Ai = , 则称 A1, A2, , An , i 1
构成一个完全事件组或完备事件组.
第一章随机事件与概率 §1.1基本概念
事件的概念、关系、运算与集合论中相应部分对照列表:
符号
A
A
AB A=B A∪B A∩B AB A∩B=
定义3 随机试验E的样本空间 的一个子集称为E的随机事
件, 简称事件. 常用大写字母A, B, C, 表示. 基本事件: 由一个样本点组成的单点集称为基本事件. 称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验
中出现.
“事件A发生”的含义是: A 且存在某一 , 使得 A .
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
第1章 概率论的基本概念.
, B不可能同时发生 概率论表述：事件 A .. A不能都不发生， 概率论表述：事件 A 不发生 . 事件 A 和 概率论表述：事件 A 发生，而事件 B 发生 . , , 概率论表述：事件 概率论表述：事件 概率论表述：事件 A A A , B B B 相等意味着它们是同一个集合 中至少有一个发生 同时发生 . . 概率论表述：事件A发生必然导致事件B发生. 也不能都发生，只能恰好发生其中一个.
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
第1章随机事件与概率
§2 样本空间、随机事件
§2 样本空间、随机事件
z 把随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试 验的样本空间，记为 S .
z 样本空间的元素，即随机试验每一个可能发生的 结果，称为样本点，常用 e 表示.
试验的目的
S e1
随机试验
e2
分别记作e1和e2
于是 S = {e1, e2}
备注
将一枚硬币连抛三次，试验的目的分别是： z 观察正面H，反面T出现的情况，则
5
1
0.2
24 0.48 251 0.502
6
2
0.4
18 0.36 262 0.524
7
4
0.8
27 0.54 258 0.516
波动较大
n=5 n=50 n=500
0.5
f5(A)
波动最小 f50(A)
f500(A)
表明：随着n的增加，事件的频率将呈现出稳定性，稳定于0.5
历史上的掷硬币试验
试验者
推论3：若 A ⊂ B ，则必有 P(B − A) = P(B) − P( A) ，且 P( A) ≤ P(B) .
概率的性质
性质1：非负性 对任意事件 A，必有 P( A) ≥ 0. 性质2：规范性 对必然事件 S，必有 P(S ) = 1. 性质3：可列可加性 若 A1, A2 ,L 是两两互不相容的事件， 则有 P( A1 U A2 UL) = P( A1 ) + P( A2 ) + L
1977 1978 1979 1980 1981 1982
6年总计
3670 4250 4055 5844 6344 7231 31394
新生儿分类数
男孩数 m1
第一章事件与概率
1
古典概型的定义
定义
称满足以下两个特点的随机现象的 数学模型为古典概型，如果 (1) 有限性：试验的样本空间只有有 限个样本点; (2) 等可能性：每个样本点作为基本 事件出现的可能性相同.
利用排列、组合知识来求概率的 模型通常都属于古典概型. 那么, 古典 概型为什么要通过数数来求概率呢？
Department of Mathematics, Tianjin University
内 容 提 要
1 2 3 4
随机事件的定义 事件之间的关系 事件的运算律 例 题
Department of Mathematics, Tianjin University
3
事件的运算律
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中的随机事件. 交换律： AB=BA，A B=B A. 结合律： ABC=A(BC)，A B C=A (B C).
2
事件之间的关系
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中 的随机事件. 包含（于）：若A发生，则B一定发生， 则称A包含于B,记为A B. 相等：若A与B相互包含，则称A与B相 等，记为A=B.
Department of Mathematics, Tianjin University
事件的交（积）：若事件C发生，当且 仅当A与B同时发生，则称C为A与B的交 (积)事件，记为C=A B,或简记为C=AB.
注：符号“ ”等同于“至少”.
事件的逆(对立)：由样本空间中所有 不属于A的样本点构成的集合表示的 事件称为A的逆(对立)事件，记为 A . 注：若A与B对立，则A与B互不相 容，反之不然.即A、B对立，则AB= , 且A B= .
Department of Mathematics, Tianjin University
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
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第一章 随机事件与概率
第1页
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第2页
序
言
概率论是研究什么的？
概率论——研究和揭示随机现象 量的统计规律性的科学
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第3页
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游 戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间 万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变 万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随 机性.
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第7页
第一章
随机事件
事件的概率
随机事件及其概率
概率的公理化定义与性质 条件概率与事件的独立性 全概率公式与Bayes公式
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第8页
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第5页
下面我们就来开始一门“将不定性数量化” 的课程的学习，这就是
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第6页
本学科的应用
1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与 《概率论》紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床 中应用，均要用到《假设检验》； 3. 许多服务系统，如电话通信、机器维修、病 人候诊、存货控制等都要用到《排队论》； 4. 信号传输中的滤波问题等； 5. 在金融保险中的应用。
现相
同结果的现象称为随机现象. • 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现. • 随机现象的统计规律性：随机现象的各
种结果
28 February 2013
会表现出一定的规律性，这种规律性
第一章 随机事件与概率
第11页
1.1.2 随机试验
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第16页
1.1.3、随机事件
随机试验的结果称为随机事件，简称事件，通常 用大写字母表示。 基本事件：不能分解成其它事件组合的最简 单的随机事件 复合事件：由基本事件复合而成的事件
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第17页
必然事件、不可能事件
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第19页
例：写出抛硬币试验的样本点、样本空间、随机 事件、基本事件、必然事件、不可能事件。 样本点:正面、反面 样本空间:｛正面、反面｝
随机事件:｛正面、反面｝、 、｛正面｝、｛反面｝
必然事件: ｛正面、反面｝
不可能事件: 思考：同时掷两个骰子的样本点、样本空间、随机事 件、基本事件、必然事件、不可能事件。
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第15页
上述试验具有下列共同的特点:
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试 验. 用 E 表示随机试验.
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第14页
E3 : 抛一颗骰子, 观察出现的点数 .
E 4 : 记录电话交换台一分钟 内接到的呼唤次数 .
E5 : 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.
E6 : 记录某地一昼夜的最高 温度和最低温度 .
必然事件（Ω ）：每次试验中一定发生的
事件 不可能事件（ ）：每次试验中一定不发 生的事件
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第18页
1.1.4.基本事件和样本 空间
随机试验的每一个可能发生的结果称为一个样 本点,记为。 全体样本点组成的集合称为样本空间，记为。 样本空间的子集称为随机事件。 由一个样本点组成的事件称为基本事件。 由全体样本点组成的事件称为必然事件。 不含任何样本点的事件称为不可能事件。
2. 随机现象
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第9页
考察下面的现象:
A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度；
必然现象
C. 上抛物体一定下落；
D. 新生婴儿的体重.
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第10页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出
28 February 2013
第一章 随机事件与验中必定发生的事件，常用S表示;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示 . 例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必 然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件.
28 February 2013
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第4页
将不定性数量化,来尝试回答这些问题，是 直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已 经十分成功了, 但就是那些已得到的成果,已经 给人类活动的一切领域带来了一场革命.
这场革命为研究新的设想,发展自然科学知 识,繁荣人类生活,开拓了道路.而且也改变了我 们的思维方法,使我们能大胆探索自然的奥秘.
第12页
从观察试验开始
研究随机现象,首先要对研究对象进行 观察试验. 这里的试验是一个含义广泛的术 语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一 事物的某一特征的观察也认为是一种试验.
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第13页
几个具体试验
E1 : 抛一枚硬币, 观察正面 H 和反面 T 出现的情况.
第1页
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第2页
序
言
概率论是研究什么的？
概率论——研究和揭示随机现象 量的统计规律性的科学
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第3页
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游 戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间 万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变 万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随 机性.
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第一章 随机事件与概率
第7页
第一章
随机事件
事件的概率
随机事件及其概率
概率的公理化定义与性质 条件概率与事件的独立性 全概率公式与Bayes公式
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第8页
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
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第一章 随机事件与概率
第5页
下面我们就来开始一门“将不定性数量化” 的课程的学习，这就是
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第6页
本学科的应用
1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与 《概率论》紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床 中应用，均要用到《假设检验》； 3. 许多服务系统，如电话通信、机器维修、病 人候诊、存货控制等都要用到《排队论》； 4. 信号传输中的滤波问题等； 5. 在金融保险中的应用。
现相
同结果的现象称为随机现象. • 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现. • 随机现象的统计规律性：随机现象的各
种结果
28 February 2013
会表现出一定的规律性，这种规律性
第一章 随机事件与概率
第11页
1.1.2 随机试验
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第一章 随机事件与概率
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第一章 随机事件与概率
第16页
1.1.3、随机事件
随机试验的结果称为随机事件，简称事件，通常 用大写字母表示。 基本事件：不能分解成其它事件组合的最简 单的随机事件 复合事件：由基本事件复合而成的事件
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第17页
必然事件、不可能事件
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第19页
例：写出抛硬币试验的样本点、样本空间、随机 事件、基本事件、必然事件、不可能事件。 样本点:正面、反面 样本空间:｛正面、反面｝
随机事件:｛正面、反面｝、 、｛正面｝、｛反面｝
必然事件: ｛正面、反面｝
不可能事件: 思考：同时掷两个骰子的样本点、样本空间、随机事 件、基本事件、必然事件、不可能事件。
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第15页
上述试验具有下列共同的特点:
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试 验. 用 E 表示随机试验.
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
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第一章 随机事件与概率
第14页
E3 : 抛一颗骰子, 观察出现的点数 .
E 4 : 记录电话交换台一分钟 内接到的呼唤次数 .
E5 : 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.
E6 : 记录某地一昼夜的最高 温度和最低温度 .
必然事件（Ω ）：每次试验中一定发生的
事件 不可能事件（ ）：每次试验中一定不发 生的事件
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第一章 随机事件与概率
第18页
1.1.4.基本事件和样本 空间
随机试验的每一个可能发生的结果称为一个样 本点,记为。 全体样本点组成的集合称为样本空间，记为。 样本空间的子集称为随机事件。 由一个样本点组成的事件称为基本事件。 由全体样本点组成的事件称为必然事件。 不含任何样本点的事件称为不可能事件。
2. 随机现象
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第9页
考察下面的现象:
A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度；
必然现象
C. 上抛物体一定下落；
D. 新生婴儿的体重.
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第10页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出
28 February 2013
第一章 随机事件与验中必定发生的事件，常用S表示;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示 . 例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必 然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件.
28 February 2013
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第4页
将不定性数量化,来尝试回答这些问题，是 直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已 经十分成功了, 但就是那些已得到的成果,已经 给人类活动的一切领域带来了一场革命.
这场革命为研究新的设想,发展自然科学知 识,繁荣人类生活,开拓了道路.而且也改变了我 们的思维方法,使我们能大胆探索自然的奥秘.
第12页
从观察试验开始
研究随机现象,首先要对研究对象进行 观察试验. 这里的试验是一个含义广泛的术 语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一 事物的某一特征的观察也认为是一种试验.
28 February 2013
第一章 随机事件与概率
第13页
几个具体试验
E1 : 抛一枚硬币, 观察正面 H 和反面 T 出现的情况.
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