]2010年上海市松江一中高二上学期期中考试(数学含答案)

松江 度第一学期期中考试卷高二数学〔第I 卷〕一． 填空题〔每题4分，共48分〕1．过点(2,3)M -，且垂直于x 轴的直线方程为 ▲ ． 2．一个关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么x y += ▲ ．3．设()()2,3,1,1a b =-=-，c 是a b -的单位向量，那么→c 的坐标是 ▲ ．4．直线03)1(3=+++y a x 与022=++y ax 互相平行，那么实数a 的值等于 ▲ ．5．过点(5,2)P -且与直线50x y --=相交成45°角的直线l 的方程 ▲ ．6．三阶行列式42354112k ---第2行第1列元素的代数余子式为10-，那么=k __▲_____．7．点)0,10(-A ，)5,0(B ，假设53AB BP =，那么点P 到直线0543=-+y x 的距离 是 ▲ ．8．直线l :y ＝3(sin )13x θ+的倾斜角α的取值范围是 ▲ ．9．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 ▲ ．10．在四边形ABCD 中，(1,1)AB DC ==，3BA BC BD BA BC BD+=，那么四边形ABCD 的面积是 ▲ ． 11．向量(1,2)a =,(2,1)b =-，假设存在正数k 和t ，使得向量2(1)c a t b =++与1d ka b t =-+互相垂直，那么k 的最小值是 ▲ .12．设函数xx f +=11)(，点0A 的坐标为(0,0)，点)))((,(*∈N n n f n A n ，假设向量01121n n n a A A A A A A -=+++，θ是n a 与i 的夹角〔其中)0,1(=i 〕，设12tan tan tan n n S θθθ=+++，那么=∞→n n S lim _____▲_______． 二、选择题〔每题4分，共16分〕13．假设向量)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，那么a 与b 一定满足 〔 ▲ 〕A ．夹角为βα-B ．)()(b a b a -⊥+C ．b a //D ．b a ⊥14．设a 、b 、c ▲〕 ①0)()(=⋅-⋅b a c c b a ； ②a b a b -<-；③b a c a c b )()(⋅-⋅与c 垂直； ④0=+b a μλ0,0==⇔μλ〔μλ,为实数〕；A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④15．假设点(2,0)A -和点B 〔4，8〕到直线l 的距离等于4，那么直线l 的条数是 〔 ▲ 〕A ．1B ．2C ．3D ．416．点),(111y x P 、),(222y x P 分别在直线l 上和在l 外，假设直线l 的方程为0),(=y x f ，那么方程0),(),(),(2211=--y x f y x f y x f 表示 〔 ▲ 〕A ．与l 重合的直线B ．与l 平行，且过1P 的直线C ．与l 平行，且过2P 的直线D ．同时过1P 、2P的直线 三、解答题〔共36分〕17．〔8分〕用行列式讨论关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+mmy x m y mx 21解的情况并求解.18．〔9分〕 设平面内的向量)7,1(=OA ，)1,5(=OB ，)1,2(=OM ，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PB PA ⋅取最小值时，OP 的坐标及∠APB 的余弦值．〔8分〕19．〔9分〕等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP AB λ=，假设CP AB PA PB ⋅=⋅，求实数λ的值.20．〔10分〕过点P (4,2)作相互垂直的直线1l 和2l ，使得1l 与x 轴的正半轴相交于点A ，2l 与y 轴的正半轴相交于点B ，假设直线AB 平分四边形OAPB 的面积，求直线AB 的方程．松江 度第一学期期中考试卷高二数学〔第II 卷〕一．填空题：〔每题5分，共20分〕1．)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，那么λ的取值范围是 ▲.2．直线0=-y x 绕着点)1,1(P 逆时针旋转12π得到的直线方程为 ▲ . 3．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，那么底边所在直线的斜率为 ▲ .4．设全集{}R y R x y x U ∈∈=,),( ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=124),(x y y x M ，{}x y y x N 2),(≠=，那么U M C N ⋂= ▲ .二．解答题〔共30分〕5．〔13分〕三角形ABC 的两个顶点(1,5)A -和(0,1)B -，又知C ∠的平分线所在的直线方程为2360x y -+=，求直线AB 、BC 方程.6．〔17分〕如图，抛物线221x y -=上有两点1122(,)(,)A x y B x y 、，且0OA OB ⋅=，又(02)OM =-，.〔1〕求证：AM AB〔2〕假设2MA MB =-，求AB 所在直线方程.。

高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题及答案（理科）2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上. 学科网 1．已知命题，则 : . 2．“ ”是“直线与圆相交”的条件。

（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件） 3. 函数，的单调递增区间是． 4. 有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根” 的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。

其中真命题的个数是________. 5．若，则等于 6．已知数列{an}的前n项和，则数列{an}成等比数列的充要条件是r＝． 7．计算 8．观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ____ ________. 9．已知复数满足 =2，则的最大值为． 10．设… ，则 . 11．已知函数在处有极大值，则 = 。

12. 已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f’(1)= .13．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 .二、解答题 15.（本小题满分14分）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分）已知 p：，q：．⑴ 若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围；⑵ 若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围．17. (本题满分15分) 已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1, 求证：(1) ab≤ (2) + ≥8; (3) + ≥ . (5分+5分+5分)18. (本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an （n∈N*）. （1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (7分) （2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. (8分) 19.（本小题满分16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) （ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？ (6分) 20．（本小题满分16分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直． (1) 求实数的值； (6分) (2) 求在（为自然对数的底数）上的最大值； (5分) (3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？ (5分) 2010～2011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

2010～2011学年度上学期期中阶段测试高二理科数学试卷考试时间；120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1、命题“若b a >，则88->-b a ”的逆否命题是 A 、若b a <，则88-<-b a B 、若88->-b a ，则b a > C 、若b a ≤，则88-≤-b a D 、若88-≤-b a ，则b a ≤2、若实数c b a ,,满足||||b c a <-，则下列不等式中成立的是 A 、||||||c b a ->B 、||||||c b a +<C 、b c a ->D 、c b a +<3、已知条件2|1:|>+x p ，条件a x q >:，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是A 、1-≥aB 、1≤aC 、1≥aD 、3-≤a4、“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的（ ）条件 A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要5、在平面直角坐标系中，设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≤>>)4(00x n y y x 所表示的平面区域记为D n ，记D n 内的整数点的个数为n a )(*N n ∈，则2a 是 A 、6B 、8C 、10D 、126、命题"1||1||||R ,:"的充分不必要条件是，则若>+>+∈b a b a b a p ，命题)"1,0(1|1|:"的解集为不等式->-x x x x q ，则有 A 、是假命题q p ∨ B 、是真命题q p ∧ C 、是假命题q p ∨⌝D 、是真命题q p ∨⌝7、如果椭圆193622=+y x 的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在直线方程是 A 、02=-y xB 、042=--y xC 、01232=-+y xD 、082=-+y x8、过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是另一个焦点，若21π=∠Q PF ，则双曲线的离心率e 为 A 、12-B 、2C 、12+D 、22+9、命题甲：“22,2,211x x x-⎪⎭⎫ ⎝⎛是等比数列”，命题乙：“)3lg(),1lg(,lg ++x x x 是等差数列”，则甲是乙成立的（ ）条件 A 、必要不充分 B 、充分不必要C 、充要D 、既不充分也不必要10、如图，目标函数y ax u -=的可行域为四边形OACB （含边界），若点C ⎪⎭⎫⎝⎛54,32是该目标函数的最优解，则a 的取值范围是 A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--125,310 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--103,512C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,103D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-103,512 11、已知F 1、F 2是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且︒=∠4521F AF ，则21F AF △的面积是A 、7B 、47 C 、27 D 、257 12、若21,b b 都满足关于x 的不等式021<--a x a x 且2121,a a b b <<，则下列结论正确的是 A 、2211b a b a <<< B 、2211a b a b <<< C 、2211a b b a <<<D 、2211b a a b <<<二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、21,72<<<<-b a ，则ba的取值范围是_____________ 14、∅≠⋂≤≤=+-==+-+=B A x y x y x B y mx x y x A },20,01|),{(},02|),{(2且，则实数m 的取值范围是____________15、不等式224142xx -<-的解集为_______________16、已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D内的弧长为_______________三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）已知命题02:221=--mx x x x p 是方程和的两个实根，不等式||35212x x a a -≥--对任意实数]1,1[-∈m 恒成立；命题有解不等式012:2>-+x ax q ，若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围 18、（本小题满分12分）如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为11,N M ， （1）求证：11FN FM ⊥；（2）记1111FNN N FM FMM 、△、△△的面积分别为321S S S 、、，试判断31224S S S =是否成立，并证明你的结论。

2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1~6题，每空4分；第7~12题，每空5分）1.已知空间向量()1,0,2a =-，()0,3,1b =-，则⋅=a b _________________.2.直线与平面所成角的范围是_________________.3.已知球的半径为3，则球的表面积为_______________4.若A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则平面ABC 与平面α的位置关系_________.5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于π的扇形，则该圆锥的体积为_____________.6.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为______.7.如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，其中3AC =，4PA =，5BC =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为_____________.8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则二面角11B AC D --的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.10.圆柱底面半径为1，高为2，AB为上底底面的直径，点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕着下底底面旋转一周，则ABCV面积的范围是___________________.11.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，当AB CD⊥，则四面体ABCD的体积为_____________.12.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则r a=___________.二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（）A.lAA lαα⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭B.lAA lαα⊂⎫⇒∈⎬∈⎭C.lAA lαα∈⎫⇒∈⎬⊂⎭D.lAA lαα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭14.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A.B.C.D.15.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m//α，n⊂α，则m//nB.若m//α，m⊥n，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，则n//αD.若m⊥α，n//α，则m⊥n16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A.55B.12C.255D.2三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，点P 为1DD 的中点.（1）求证:直线1//BD 平面PAC ;（2）求异面直线1BD 、AP 所成角的大小.18.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）求“浮球”的体积：（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需要胶多少克？19.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点.（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离；（3）线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D --的余弦值为63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；（3）在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度：若不存在，说明理由.2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1~6题，每空4分；第7~12题，每空5分）1.已知空间向量()1,0,2a =-，()0,3,1b =-，则⋅=a b _________________.【答案】2【解析】【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果.【详解】因为()1,0,2a =-，()0,3,1b =- ，所以()()1003212a b ⋅=⨯+⨯+-⨯-=故答案为：22.直线与平面所成角的范围是_________________.【答案】π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论.【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90︒；③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0︒．显然，斜线和平面所成角的范围是π(0,2；直线和平面所成的角的范围为π[0,]2．故答案为：π[0,2．3.已知球的半径为3，则球的表面积为_______________【答案】36π【解析】【分析】由球的表面积公式计算即可.【详解】因为球的半径为3，所以球的表面积为224π4π336πS r ⨯===.故答案为：36π.4.若A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则平面ABC 与平面α的位置关系_________.【答案】相交【解析】【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.【详解】因A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则面ABC 与面α有公共点A ，且不重合，所以面ABC 与面α的位置关系是相交.故答案为：相交5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于π的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】3【解析】【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为r ，则在展开图扇形中有ππ2rl=，求得r ，求得圆锥的高为h =，利用圆锥的体积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，则展开图扇形的弧长为2πr ，展开图的半径为母线长2l =，所以2πππ22r rl ==，解得1r ===，所以211π1333V S h ==⨯⨯⨯ .故答案为：3π3.6.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为______.【答案】60︒【解析】【分析】先利用平行关系找到11AD B ∠为异面直线EF 和11B D 所成的角或其补角，再利用正方体性质求角的大小即可.【详解】连接1BC ，1AD ，1AB ，则EF 为1BCC 的中位线，∴1//EF BC .又∵AB //CD //11C D ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，∴11//BC AD .∴1//EF AD .∴11AD B ∠为异面直线EF 和11B D 所成的角或其补角.正方体1111ABCD A B C D -中，易知，1111AB B D AD ==，∴11AB D 为正三角形，∴1160AD B ∠=︒.∴EF 与11B D 所成的角为60︒.故答案为：60︒.7.如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，其中3AC =，4PA =，5BC =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为_____________.【答案】2【解析】【分析】首先证明⊥BC 平面PAC ，然后可得PB 与平面PAC 所成角为BPC ∠，然后可得答案.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为BC AC ⊥，,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ，所以PB 在平面上的射影为PC ，所以PB 与平面PAC 所成角为BPC ∠，因为3,4,5AC PA BC ===，所以5PC ==，PB ==所以sin2BPC ∠==故答案为：28.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则二面角11B AC D --的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）【答案】1arccos 3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可.【详解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0)A C ，11(2,2,2),(0,0,2)B D ，∴11(2,2,0),(0,2,2),(2,0,2)AC AB AD =-==-.设平面1B AC 的法向量为(,,)n x y z = ，则220220x y y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1,1y z ==-，故(1,1,1)n =-，同理可得平面1ACD 的法向量为(1,1,1)m =，∴1cos ,3m n m n m n ⋅==，二面角11B AC D --的大小为1arccos 3.故答案为：1arccos3.9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.【解析】【分析】将正方形11DCC D 、11BCC B 铺平在同一平面上，当1,,D E B 三点共线时，1D E EB +最小，然后可得答案.【详解】如图，将正方形11DCC D 、11BCC B 铺平在同一平面上，当1,,D E B 三点共线时，1D E EB +=10.圆柱底面半径为1，高为2，AB 为上底底面的直径，点C 是下底底面圆弧上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC V 面积的范围是___________________.【答案】⎡⎣【分析】据题意，设上底面圆心为O ，下底面圆心为O '，连接OC ，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由于AB 为定值，故ABC V 面积的大小随CM 的长度的变化而变化，由图可知，当点M 与点O 重合时以及当点M 与点B 重合时，分别求出CM 的最大值和最小值，即可求出ABC V 面积的范围.【详解】如图1，设上底面圆心为O ，下底面圆心为O '，连接OC ，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，则12ABC S AB CM =⨯⨯△，据题意，AB 为底面直径，是定值，故ABC V 面积的大小随CM 的长度的变化而变化，由图2可知，当点M 与点O 重合时，CM OC ===此时ABC S 取得最大值为122⨯=如图3所示，当点M 与点B 重合时，2CM BC ==，此时ABC S 取得最小大值为12222⨯⨯=，综上所述，ABC V 面积的范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣11.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，当AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为_____________.【答案】43【解析】【分析】通过圆柱的特征可得线面垂直，把四面体看做两个共底面的三棱锥即可求体积.【详解】如图所示，圆柱底面圆心记为12,O O ，连接11,CO DO ，∵AB CD ⊥，12AB O O ⊥，122CD O O O =，CD ⊂平面1CDO ，12O O ⊂平面1CDO ，∴AB ⊥平面1CDO ，∴11111142223323ABCD A CDO B CDO CDO V V V S AB --=+=�创创=△.故答案为：43.12.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则r a=___________.【答案】)312-【解析】【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为R，从而利用R表达出小球最大半径r和正方体棱长a，进而求出比值.【详解】设储物盒所在球的半径为R，如图，小球最大半径r满足)1r R+=，所以)1r R==，正方体的最大棱长a满足)2222a R⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：23a R=，∴)131223ra==，故答案为：)312-二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（）A.lAA lαα⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭B.lAA lαα⊂⎫⇒∈⎬∈⎭C.lAA lαα∈⎫⇒∈⎬⊂⎭D.lAA lαα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭【答案】B【解析】【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可.⊂，【详解】 平面α内有一条直线l，∴lα点A在直线l上，∴A l∈，∴Aα∈.故选：B.14.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用斜二测画法判断.【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，故选：A15.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m//α，n⊂α，则m//nB.若m//α，m⊥n，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，则n//αD.若m⊥α，n//α，则m⊥n【答案】D根据线面关系的性质依次判断即可.【详解】对于A，若m//α，n⊂α，则m//n或,m n异面，故A错误；对于B，若m//α，m⊥n，则n与α相交、平行或n在α内，故B错误；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n在α内，故C错误；对于D，若m⊥α，n//α，则m⊥n，故D正确.故选：D.16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A.55B.12C.255D.2【答案】D 【解析】【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N 到底面B 的距离，再由边长关系可得四边形1NPC H 是平行四边形，从而侧面11CDD C 与桌面所转化成侧面11CDD C 与平面11HD C 所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.【详解】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,AA BB CC DD 交于,,,M N P Q ，由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD = ，所以322NB PC BC CD +⨯⨯=，即344322NB +⨯⨯=，解得1BN =，在平面11BCC B 内，过点1C 作1C H NP 交于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==，又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HD C 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠，在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ∠===.故选：D.【点睛】思路点睛：利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，点P 为1DD 的中点.（1）求证:直线1//BD 平面PAC ;（2）求异面直线1BD 、AP 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，证得1//PO BD ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知，1//PO BD ，得到异面直线1BD 与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，在直角APO△中，即可求解.【小问1详解】由题意得O 为BD 的中点，连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，故1//PO BD ，又因为PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，所以直线1//BD 平面PAC .由（1）知，1//PO BD ，所以异面直线1BD 与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，故APO ∠即为所求；因为11,2AB AD AA ===，P 为1DD 的中点，则1PD =，则易知1222PA PC AO AC ====，因为O 为AC 中点，则PO AO ⊥，在直角APO △中，可得212sin 2AO APO AP ∠===，又因为π0,2APO ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，所以π6APO ∠=.18.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）求“浮球”的体积：（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需要胶多少克？【答案】（1）354πcm （2）1200π克【解析】【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.该半球的直径6cm d =，柱筒高2cm h =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得球的半径与圆柱底面半径均为3cm R =，所以两个半球的体积之和为33144ππ2736πcm 33V R ==⋅=，而322ππ9218πcm V R h =⋅=⨯⨯=，该“浮球”的体积是31236π18π54πcm V V V =+=+=；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π=1200π⨯（克）．19.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.【答案】（1）32；（2）277.【解析】【分析】（1）根据等体积法，由11A AOP A A OP V V --=即可求出点A 到平面1A PO 的距离；（2）先证明PB AP ⊥，1PB AA ⊥，由线面垂直的判定定理可得PB ⊥面1AA P ，进而可得1A PA ∠即为所求二面角的平面角，在1Rt A PA 中，计算11cos APA PA A P∠=即可求解.【详解】（1）因为113AA OO ==，122AO AB ==，所以1AO ===在AOP中，由余弦定理可得：AP ===所以1A P ==，2OP =，在1AOP中，由余弦定理可得2221111cos 27A P OP A O A PO A P OP +-∠==⋅，所127sin 7A PO ∠=，所以11227A OP S =⨯= ，设点A 到平面1A PO 的距离为d ，由11A AOP A A OP V V --=，得111133AOP AO P S AA S d ⋅⋅=⋅⋅ ，即1111233223d ⨯⨯⨯⨯=⨯，解得：32d =，所以点A 到平面1A PO 的距离为32；（2）二面角1A PB O --即二面角1A PB A --，因为AB 是圆O 的直径，点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，所以PB AP ⊥，因为1AA ⊥面ABP ，PB ⊂面ABP ，可得1PB AA ⊥，因为1AP AA A ⋂=，所以PB ⊥面1AA P ，因为1A P ⊂面1AA P ，AP ⊂面1AA P ，所以PB ⊥AP ，PB ⊥1A P ，所以1A PA ∠即为二面角1A PB O --的平面角，在1Rt A PA中，1A P =，AP =所以1127cos 7AP A PA A P ∠==，所以二面角1A PB O --的余弦值为7.20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点.（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离；（3）线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D --的余弦值为3？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）63（2）3（3）存在，且12PQ QD =【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得⊥PO 平面ABCD .根据已知得出OC AD ⊥.以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出OA ⊥平面POC ，求出,P OA B的坐标，即可根据向量法求出答案；（2）求出平面PCD 的法向量，根据向量法即可得出距离；（3）假设存在，设()01PQ PD λλ=≤≤，得出()0,,1Q λλ-.求出平面CAQ 的法向量，根据二面角结合向量，列出方程，求解即可得出λ的值，进而得出答案.【小问1详解】在PAD △中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥.又因为面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以，⊥PO 平面ABCD .在PAD △中，PA PD ⊥，PA PD ==所以，2AD ==，112OP AD ==.在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，所以112OA AD BC ===.又//OA BC ，所以四边形OABC 为平行四边形，OC //AB .因为，AB AD ⊥，所以OC AD ⊥.以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0O，()0,0,1P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，所以()1,1,1PB =--.因为OA OP ⊥，OA OC ⊥，OP OC O ⋂=，OP ⊂平面POC ，OC ⊂平面POC ，所以OA ⊥平面POC ，所以()0,1,0OA =- 为平面POC 的法向量.因为cos ,3PB OA PB OA PB OA⋅==⋅，所以PB 与平面POC所成角的正弦值为3，余弦值为3=.【小问2详解】由（1）可得()1,1,1PB =--，()1,0,1PC =- ，()0,1,1PD =- ，设平面PCD 的法向量为(),,u x y z =r，则0u PC x z u PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()1,1,1u =.所以，B 点到平面PCD的距离3PB u d u⋅===.【小问3详解】假设存在，且设()01PQ PD λλ=≤≤.因为()0,1,1PD =-，所以()0,,OQ OP PQ λλ-==-，()0,,1OQ λλ=- ，()0,,1Q λλ-.设平面CAQ 的法向量为()111,,m x y z = ，()1,1,0AC =，()0,1,1AQ λλ=+- ，则()()11110110m AC x y m AQ y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ，取11z λ=+，得()1,1,1m λλλ=--+.因为OP ⊥平面ABCD ，所以平面CAD 的一个法向量为()0,0,1n =.因为二面角Q AC D --的余弦值为63，所以cos ,m n m n m n⋅=⋅3=，整理化简，得231030λλ-+=，解得13λ=或3λ=（舍去），所以，线段PD 上存在满足题意的点Q ，且12PQ QD =.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；（3）在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度：若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）π3（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）通过证明PO AD ⊥和PO CD ⊥，结合线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面EFG 和平面ABCD 的法向量，根据面面角的向量求法求解即可；（3）首先假设存在点M 满足条件，设PM PA λ=uuu r uu r ，[]0,1λ∈，得到()2,4,GM λ=- ，根据线面角的向量求法得到22320λλ-+=，由方程无解，得到假设不成立.【小问1详解】因为PAD △是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥，又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO CD ⊥，AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD ；【小问2详解】如图，以O 点为原点，分别以OA ，OG ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(2,4,0)C -，(2,0,0)D -，(0,4,0)G ，(0,0,P ，(E -，(F -，则(0,2,0)EF =- ，(1,2,EG =，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z = ，因为00mEFm EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2020y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则)m = ，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n = ，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，所以1cos 2m n m n θ⋅=== ，则π3θ=，所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3；【小问3详解】假设存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，设PM PA λ=uuu r uu r ，[]0,1λ∈，则()2,4,GM PM PG PA PG λλ=-=-=- ，由（2）知平面EFG的一个法向量为m = ，则π1sin cos ,62m GM m GM m GM ⋅===⋅，整理得22320λλ-+=，因为70∆=-<，所以方程无解，假设不成立.所以不存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6.。

一、填空题1．“点A 在直线上”用符号语言可以表示为_____________.l 【答案】∈A l 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.【详解】A 在直线上，即l ∈A l 故答案为：∈A l 2．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为________．a b //l a l b 【答案】异面或相交【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结果.【详解】由题意可知，与直线为两条异面直线，若，a b //l a 由平行直线的传递性可知，直线与直线不可能平行，l b 故直线与直线的位置关系为异面或相交.l b 故答案为：异面或相交3．圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到2,1,22DC AB R r h AE ======体积公式，即得解 【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于ABCD ,A B ,AE CD BF CD ^^,E F 由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此 4212DE CF -===AE ∴==由圆台的体积公式， 221()3V h R r R r π=++⋅其中，2,1,22DC AB R r h AE ======221(2121)3V π∴=++⋅=4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．1111ABCD A B C D -E 11A B E 11ABC D【分析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.E 11ABC D 1B 11ABC D 【详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面11//A B AB 11//A B 11ABC D E 11ABC D 1B 的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所11ABC D 11,BC B C O 111,B O BC B O AB ⊥⊥1B O ⊥11ABC D以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知1B O 111122B O B C ==⨯【点睛】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.5．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为ABC 2cm A B C '''∆A B C '''∆__________.【分析】根据平面图形的直观图画法，求出，再由斜二测的特点求出高，即可求解''O C h【详解】根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不OC AB发生变化，则， ''2A B =1''2O C OC ==则，则的面积为'''sin 45h O C =⋅︒==A B C '''∆122S =⨯=【点睛】本题考查平面图形斜二测的基本画法及对应边长的求法，属于基础题6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________ R 【答案】 214R π【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故. R πr 2r R ππ=12r R =故底面积为. 221124R R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故答案为： 214R π【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.7．若两个平行平面距离为1，其中一个平面截半径为5的球得到的截面面积为，则另一平面O 16π截球得到的截面面积为_________O 【答案】或9π21π【分析】将题中问题具体化，然后抓住以下两点求解：①用平面去截一个球，截面必为圆；②球心的半径，截面圆圆心的半径以及球心与截面圆圆心的连线构成一直角三角形.【详解】用平面去截一个球，截面必为圆，作出过球心，截面圆圆心的截面.设平面截半径为5的球得到的截面为圆，且圆面积为，αO 1O 1O 16π则圆的半径为，1O 14r =3=设平面平行平面，且两平面的距离为1，βα记平面截半径为5的球得到的截面为圆，半径为，βO 2O 2r当有，解得或.211OO OO -=22OO =24OO =当时，的面积为；22OO =2r ==2O 21π当时，，圆的面积为.24OO =23r ==2O 9π综上可知，所求截面面积为或.9π21π故答案为：或.9π21π8．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等ABCD ADE V BCF △腰三角形，，，若，且，则异面直线AE ED BF CF ====//EF AB 3AB EF =2AD EF =AE 与所成角的大小为______.CF【答案】π3##60°【分析】作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出AGFE //AE GF AE CF GFC ∠GFC 的边长求角即可.【详解】设，在上取点满足，如图，1EF =AB G 1AG EF ==故且，故四边形是平行四边形，故//AG EF AG EF =AGFE //AE GF异面直线与所成角为或其补角 ，AE CF GFC ∠GF CF ==CG ===故为等边三角形GFC 故 3GFC π∠=故答案为：3π9．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成2a 345a a a ，，0a >一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是a _______．【答案】0a <<【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a 的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：； ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+三棱柱表面积3a 边可以合在一起时, ； ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积4a 边合在一起时， . ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a ,4a ,5a 所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=()224536a a a +⨯=()223532a a a +⨯=， ()223428a a a+⨯=显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：. ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+四棱柱表面积由题意得：，解得：2224281248a a +<+0a <<故答案为 ：0a <<【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而x 2(0)1x y x x =>+x 成的几何体的体积的最大值为___________. 【答案】4π【分析】设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程21x y x =+()()12,,,x y x y 12,x x x 21x y x =+的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．12x x -212V y x x π=-【详解】设矩形在上的两个项点坐标为， 21x y x =+()()12,,,x y x y 由，知是方程的两个根. ()2201x y yx x y x*=⇒-+=+12,x x ()*，，， 121x x y +=121=x x 2212121221()()44x x x x x x y -=+-=-212V y x x y ππ∴=-==当且仅当时，. 218y =max 4V π=故答案为：． 4π二、单选题11．设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（ ） m n αβ（1）若，，则；（2）若，，则；//m α//m β//αβm α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则；（4）若，，则．//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可.【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确；//m α//m βαβ（2）若，，则，故（2）正确；m α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确；//m α//n αm n （4）若，，则，故（4）正确；m α⊥n α⊥//m n 综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2.故选：B ．12．对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为x 20x bx c ++=b ，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，c 各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 4912193659【答案】C【分析】记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到A =20x bx c ++=240b c ∆=-…24b c …事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解A 6636⨯=的概率．【详解】记事件 “方程有实根”．A =20x bx c ++=由，得：240b c ∆=-…24b c …又基本事件共个，6636⨯=其中事件包含19个基本事件，列举如下：A ，，，，，，,,，，，，(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(44),(51)(5,2)(5,3)(5,4)，，，，，，，(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以， 19()36P A =故选：C. 13．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是1111ABCD A B C D -1A 11AB D 11AB D 的________心，点在面上的射影一定是的________心（ ）1A 1BC D 1BC DA ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心【答案】C【解析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证111A AB D -11A BC D -明的射影点分别是和的哪一种心.1A 11AB D 1BC D 【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，111A AB D -1A 11AB D O 11,,AO B O D O因为，又平面，11111AA A D A B ==1A O ⊥11AB D所以 11111AA A D A B ===所以，所以为的外心；11AO OB OD ==O 11AB D 三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，11A BC D -1A 1BC D 1O 1111,,BO C O DO因为，且四边形是菱形，所以，所以，11//BC AD 11ADD A 11AD A D ⊥11BC A D ⊥又因为平面，所以，11A O ⊥1BC D 1111111,A O BC A O A D A ⊥= 所以平面，又因为平面，所以，1BC ⊥11AO D 1DO ⊂11AO D 11DO BC ⊥同理可知：，所以为的垂心，1111,BO DC C O DB ⊥⊥1O 1BC D 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关1A 系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.三、解答题14．在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. 715115(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一个红玻璃球的概率.【答案】(1) 815(2)1415【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解.【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件，A B 则，，即事件互斥， ()()71,1515P A P B ==()0P AB =,A B 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为. ()()()718151515P A B P A P B ⋃=+=+=（2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件，B 所以其概率为. ()114111515P B -=-=15．如图，在长方体中，，；1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =（1）求证：平面平面；11//AB D 1BDC （2）求与平面所成的角．11A B 11AB C D 【答案】（1）证明见详解；（2） 3arctan 4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点作于点，证明平面，得到为与平面所1A 1A O ⊥1AB O 1A O ⊥11AB C D 11∠A B A 11A B 11AB C D 成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且1111ABCD A B C D -11//BB DD 11BB DD =11//AB C D ，11AB C D =所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；11BB D D 11ABC D 因此，；11//BD B D 11//AD BC 又平面，平面；平面，平面；BD ⊂1C BD 11B D ⊄1C BD 1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 所以平面；平面；11//B D 1C BD 1//AD 1C BD 又平面，平面，，11B D ⊂11AB D 1AD ⊂11AB D 1111AD B D D ⋂=所以平面平面；11//AB D 1BDC （2）过点作于点，1A 1A O ⊥1AB O 因为在长方体中，易知：平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11B BAA 所以，又平面，平面，1⊥AD A O 1AB ⊂11AB C D AD ⊂11AB C D 所以平面，1A O ⊥11AB C D 因此，为与平面所成的角；11∠A B A 11A B 11AB C D 又在长方体中，，，1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =因此， 111113tan 4∠==A A A B A A B 所以； 113arctan 4∠=A B A 即与平面所成的角为. 11AB 11ABCD 3arctan 4【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.16．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个12cm 四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义V x 域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（i ）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积； x S （ii ）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．V '【答案】(1) ()321301282V x x x =-+<<(2)（i ），；（ii ） 6x =2S =3cm V '=【分析】（1）利用表示出三棱柱的高和底面三角形面积，根据棱柱体积公式可得函数关系式； x （2）（i ）利用减掉的三个四边形面积之和等于棱柱底面三角形面积可构造方程求得，进而根据棱x 柱侧面积求法可求得；S （ii ）根据底面三角形内切圆半径和棱柱的高可确定当球的直径与棱柱高相等时，球的体积最大，由此可得所求球的半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图所示，，又，， 12622x x DF -==-π6EDF ∠=πtan 662x EF DF ⎫∴=⋅=-⎪⎭即三棱柱的高，又棱柱底面积， 62x h ⎫=-⎪⎭221πsin 23S x x =⋅=三棱柱容器的体积， ∴232136282x V Sh x x ⎫==-=-+⎪⎭即所求函数关系式为. ()321301282V x x x =-+<<（2）（i ）减掉的三个四边形材料面积之和为， 2213266222x x ⎫⎫⨯⨯-=-⎪⎪⎭⎭，解得：， 2262x ⎫-=⎪⎭()6cm x =三棱柱容器的侧面积； ∴)2363cm S =⨯=（ii ）正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为， )16cm 3⨯=若球的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， ∴∴R =球体的最大体积. ∴()334πcm 3V R '==17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，OA 、OB 是底面半径，且PO =，M 为线段AB 的中点，如图所示.0OA OB ⋅=（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【答案】（1）；（2）12π【分析】（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该OA E PE EM EM PM PEM ∆三角形为直角三角形，与所成的角即tan PE PME EM ∠===PM OBPME ∠=【详解】（1）圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，，，PO =2OA ∴==.242412S r rl πππππ=+=+⨯=表面积（2）取OA 中点E ，连接PE 、EM ，E 为OA 的中点，M 为AB 的中点，，与所成角为所求，//EM OB ∴EM ∴PM ，，0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥ 为线段的中点，M AB， ，2OA OB ==OM ∴=在中，Rt POM PM =， ==在中，Rt POE △PE ===， 121EM OB ==，， 2221+= PE EM ∴⊥tan PE PME EM ∠===PME ∴∠=答：异面直线PM 与OB 所成的角的大小为【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，， AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以， BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，， (2,0,3)AE =-AG = (2,0,3)CG = 设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量． 222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60。

松江二中2010届高三第一学期期中考试试题数学一、填空题：（每题4分，共14题） 2009.11.91、化简行列式：sin sin cos cos αβαβ= 。

2、已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S , 则2lim n n Sn →∞= 。

3、已知关于t 的方程220t t a -+=的一个根为1()a R +∈，则实数a 的值是 。

4、函数13()2log f x x =+(3)x ≥的反函数的定义域是 。

5、函数x x x x f cos )cos (sin )(+=（R x ∈）的最小正周期为_______________。

6、袋中有5个白球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，已知得0分的概率为61，则袋中黑球的个数为 。

7、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是 。

8、一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午7时和9时该动点的坐标依次为()2,1和()2,3-，则下午5时该点的坐标是 。

9、方程lg(325)lg(43)xx⋅-=-的解是 。

10、已知双曲线2221(0)x y a a-=>的左焦点在抛物线216y x =的准线上，则a = 。

11、若()3211nn x x ax bx +=+++++，且3a b =，则n =_____ ____。

12、已知函数2()f x x x =-，若31log (2)1f f m ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，则实数m 的取值范围是 。

13、定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -,已知函数|log |)(21x x f =的定义域为],[b a ,值域为]2,0[,则区间],[b a 的长度的最大值与长度的最小值的差为 。

14、对于各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21 （n 是不小于2的正整数），如果在q p <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。

上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。

高二数学学科期中试卷一、填空题（每题4分，共48分） 1．若1312,2433A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=-B A 3 ． 2．设()()2,3,1,1a b →→=-=-，→c 是与→→-b a 同向的单位向量，则→c 的坐标是 ． 3．已知等比数列{}n a 中，,81,341==a a 则该数列的通项=n a ．4．计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+= ．5．设(22,4)a k →=+，(1,8)b k →=+，若→a //b →，则k 的值为 ． 6．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则=15S ． 7．已知向量5,3,7a b a b →→→→==-=，那么=⋅→→b a ．8．已知()(),2,3,5,2-N M 点P 在直线→MN 上，且满足→→=PN MP 3．则点P 的坐标为 ． 9．平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O ，若,,→→→→==b BD a AC 那么用→→b a ,表示的→AB 为 ． 10．设()111126121n S n n =+++++，且134n n S S +⋅=，则=n ．11．若数列{}n a 是等差数列，则数列na a ab n n +++=21（*∈N n ）也为等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{}n c 是等比数列，且0>n c ，则有=n d 也是等比数列．12．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a =+对于任意非零正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足11n n n x x x +-=-(*2,n n N ≥∈)且11x =，2x a =(),0a R a ∈≠，当{}n x 的周期最小时，该数列前2005项和是 ．二、选择题（每题3分，共12分）13．下列命题中，真命题是 （ ）()A 若→a 与→b 互为负向量，则0=+→→b a ()B 若0=⋅→→b a ，则→→=0a 或→→=0b()C 若→→b a ,都是单位向量，则1=⋅→→b a ()D 若k 为实数且,0→→=a k 则0=k 或→→=0a14．用数学归纳法证明：111131224n n n n +++>+++(*2,n n N ≥∈)的过程中，从“k 到1+k ”左端需增加的代数式为 （ ）()121+k A ()221+k B ()221121+++k k C ()221121+-+k k D15．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）()A 11a ()B 10a ()C 9a ()D 8a16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线1CA 、1223A A A A 、分别以A B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线12332313n n n CA A A A A A --的总长度n S 为 （ ）()A (31)n n π+ ()B (1)3n n π+ ()C 2(31)n π- ()D (1)n n π+三、解答题（每题8分，共40分）17．已知()2,1a →=，()0,1b →=-，c a k b →→→=+，d a b →→→=-，若→→⊥d c ，求实数k 的值．18． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．A19．已知正数数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1n a =+，求n a ．20．某市2003年共有一万辆燃油型公交车．现计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50％，试问：()1该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？()2到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的?3121．若有穷数列12,,...,n a a a （n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，....，1n a a =，即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”．（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项．（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S ．2010度第一学期高二数学学科期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．若,3321,4231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 则=-B A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛15374．2．设()(),1,1,3,2-=-=→→b a ，→c 是与→→-b a 同向的单位向量，则→c 的坐标是34(,)55-． 3．已知等比数列{}n a 中，,81,341==a a 则该数列的通项=n a ()*nn 3N∈．4．计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+=43．5．设{}{},8,1,4,22+=+=→→k b k a 若→a //,→b 则k 的值为1-． 6．等差数列{}n a 中，,201512841=++++a a a a a 则=15S 60． 7．已知向量,7,3,5=-==→→→→b a b a 那么=⋅→→b a 215-． 8．已知()(),2,3,5,2-N M 点P 在直线→MN 上，且满足→→=PN MP 3．则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-41,411 ． 9．平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O ，若,,→→→→==b BD a AC 那么用→→b a ,表示的→AB 为→→-b a 2121．10．设(),111216121+++++=n n S n L 且,431=⋅+n n S S 则=n 6． 11．若数列{}n a 是等差数列，则数列na a ab nn +++=21（*∈N n ）也为等差数列；类比上述性质，相应地若数列{}n c 是等比数列，且0>n c ，则有=n d )*n N ∈也是等比数列．12．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ,使得m T m a a =+对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 的周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足(),,2*11N n n x x x n n n ∈≥-=-+且()0,,121≠∈==a R a a x x ，当数列{}n x 的周期最小时，该数列前2005项和是1337．二、选择题（每题3分，共12分）13．下列命题中，真命题是 （ D ）.A 若→a 与→b 互为负向量，则0=+→→b a .B 若0=⋅→→b a ，则→→=0a 或→→=0b.C 若→→b a ,都是单位向量，则1=⋅→→b a .D 若k 为实数且,0→→=a k 则0=k 或→→=0a14．用数学归纳法证明：()*,224131312111N n n n n n n n ∈≥>++++++++ 的过程中，从＂k 到1+k ＂左端需增加的代数式为 （ D ）121.+k A 221.+k B 221121.+++k k C 221121D.+-+k k15．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ A ） A ．11a B ．10a C ．9a D ．8a16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线11223CA A A A A 、、分别以A B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线12332313n n n CA A A A A A --的总长度n S 为（ A ）A ．(31)n n π+B ．(1)3n n π+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+ 三、解答题（每题8分，共40分）17．已知()(),,,2,3,1,2→→→→→→→→-=+=-==b a d b k a c b a 若→→⊥d c ，求实数k 的值． 解：由条件得()k k b k a 21,32c -+=+=→→→，()3,1-=-=→→→b a d ，→→⊥d c 0=⋅∴→→d c ，()()()0321132=⨯-+-⨯-∴k k ，31=∴k ． 18． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解：设四个数分别为x y y x --16,12,,，根据题意得⎩⎨⎧-=-=-+2)12()16(2)12(y x y y y x ，解得⎩⎨⎧==40y x 或⎩⎨⎧==915y x ，所以这四个数为0、4、8、16或为15、9、3、1．20．某市2003年共有一万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50％，试问：()1该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？A()2到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的?3121．若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项 （2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，∴ 数列{}n b 为25811852，，，，，，． （2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626．。