(完整word版)线面角基础练习题

线与角练习题答案线与角练习题答案在数学学习中，线与角是非常基础且重要的概念。

掌握线与角的性质和运算规则，对于解题和推导都有着重要的作用。

然而，对于初学者来说，线与角的练习题往往是一大挑战。

本文将为大家提供一些线与角练习题的答案，以帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 线段AB的长度是5cm，线段BC的长度是3cm，求线段AC的长度。

解答：根据勾股定理，我们可以得知在直角三角形ABC中，AC的长度可以通过勾股定理计算得出。

根据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加上BC的平方。

所以，AC的长度可以通过计算√(5^2 + 3^2)来得出。

计算结果为√34 cm。

2. 已知直角三角形ABC中，∠B等于90度，AB的长度是6cm，BC的长度是8cm，求∠A的度数。

解答：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得知∠A + ∠B + ∠C =180度。

已知∠B等于90度，所以∠A + 90度+ ∠C = 180度。

进一步化简得到∠A +∠C = 90度。

又因为∠A和∠C是一个锐角和一个钝角，所以它们的度数之和必定等于90度。

因此，∠A的度数为90度减去∠C的度数。

根据勾股定理，我们可以得到AC的长度为√(6^2 + 8^2) = √100 = 10。

根据三角函数中正弦定理，我们可以得到sin(∠C) = BC / AC = 8 / 10 = 0.8。

通过查表或计算器，我们可以得到∠C的度数为53.13度。

因此，∠A的度数为90度减去53.13度，约等于36.87度。

3. 已知平行四边形ABCD中，∠A的度数是60度，AB的长度是5cm，求BC的长度。

解答：平行四边形的对边是平行且相等的，所以AB的长度等于CD的长度。

根据平行四边形的性质，我们可以得知∠B + ∠C = 180度。

已知∠A的度数是60度，所以∠B的度数为180度减去60度，即120度。

根据三角函数中正弦定理，我们可以得到sin(∠B) = BC / AB = BC / 5。

线、面角的计算测试（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面平面，，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法2.如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面平面，，则点到平面的距离是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离3.如图，三棱锥中，已知平面，，，二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，三棱锥中，已知平面，，，则与平面所成角的正弦值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角5.如图，若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的正弦值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，正四棱锥的侧棱与底面成45°角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离8.如图，在正三棱柱中，，若二面角的大小为60°，则点C到平面的距离为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中点到面的距离9.如图，正三棱锥的高是，侧棱长是，那么两侧面所成的二面角的正弦值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法10.如图，在三棱锥中，分别是的中点，平面，，，与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则的大小关系是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。

文科立体几何线面角二面角专题学校: ___________ 姓名：____________ 班级：____________ 考号： ___________一、解答题1 .如图，在三棱锥，「中，肚一二/,举一厂：- H-钗-化为的中点.(1)证明：卜「"-L平面；(2)若点鮎在棱吃上，且二面角材-PA弋为剜，求PC与平面P3所成角的正弦值.2 •如图，在三棱锥|P"BC中，嗣訂0 2辽，""，卩＜："04,0为蚯的中点.(1)证明：P°丄平面(2 )若点皿在棱比上，且MC = 2^B,求点匕到平面P°何的距离.3 . (2018 年浙江卷)如图，已知多面体ABCAiBiCi , AiA , BiB , CiC均垂直于平面ABC，/ ABC=120 ° , AiA=4 , CiC=1 , AB=BC=B iB=2 .(I)证明：ABi丄平面A1B1C1 ;(H)求直线ACi与平面ABB i所成的角的正弦值.4 .如图，在三棱柱ABC_A i B i C i中，点p, G分别是& 叽的中点，已知吗丄平面AAJ B#] A.B, A#」ABC , = =3 , = =2.(I)求异面直线与AB所成角的余弦值；(II)求证：丄平面吆匚』i;(III )求直线吒丄与平面BCG%所成角的正弦值5 •如图，四棱锥P-AB8,底面ABCO是正方形，PA = PD"E = 1 , PAPO型，E ,卜分别是阳，8的中点•(1)求证；(2)求二面角匚的余弦值.6 •如图，三棱柱ABC-A i B i C i中，侧棱吗丄底面ABC ,且各棱长均相等D , E , F分别为棱’•，, 的中点•(1)证明：•平面’ ;(2)证明：平面珀8」平面气曾；(3)求直线I町I与直线所成角的正弦值•7 .如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，/ AB D=30 ° , AB = 2CD = 2AD = 2 , DE 丄平面ABCD , EF// BD，且BD = 2EF .(I)求证：平面ADE丄平面BDEF ;(H)若二面角C BF D的大小为60。

立体几何（几何法）—线面角例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。

（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝233，FC＝2，从而PCFC＝6，ACEC＝ 6.因为PCFC＝ACEC，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝2 2.设D到平面PBC的距离为d.P A B C D-A B C D P A⊥A B C D A C=2P A=E PC2P E E C=P C⊥BEDAP BC--90PD PBC D因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，AD 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.方法二：(1)以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b >0，则P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫423，0，23，B (2，－b,0)．于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ，23，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP→＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)． 设＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，则·AP →＝0，·AB →＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0， 令x ＝b ，则＝(b ，2，0)．设＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则 ·PC →＝0，·BE→＝0， 即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2b ，2.因为面PAB ⊥面PBC ，故·＝0，即b －2b ＝0，故b ＝2，于是＝(1，－1，2)，DP→＝(－2，－2，2)， cos 〈，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，〈，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成的角和〈，DP→〉互余， 故PD 与平面PBC 所成的角为30°.例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）如图1－4，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，PC ＝23，PD ＝CD ＝2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．图1－4【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD ＝BC 且AD ∥BC ，又因为AD ⊥PD ，故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角．在Rt △PDA 中，tan ∠PAD ＝PDAD ＝2.所以，异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故AD ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD .(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB .由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PC sin30°＝ 3.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB＝3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为39 13.例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：(i)EF∥A1D1；(ii)BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．图1－5【答案】解：(1)证明：(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA，又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝2 2，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF BC1与面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝4 6 .在直角△BHC1中，BC1＝25，BH＝46，得sin∠BC1H＝BHBC1＝30 15，所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是30 15.。

空间向量与立体几何——线面角、二面角问题1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ︒∠=，1AB =，4BC =，15PA =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，.PM MD ⊥()Ⅰ证明：AB ⊥平面PDM ；()Ⅱ求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．2. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PA PD =，//BC AD ，DC DA ⊥，1BC CD ==，2AD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点，.PE CD ⊥(1)证明：PE BD ⊥；(2)若PC 与AB 所成角为45︒，求二面角F BE C --的余弦值.2AD PA =，PA AB BC ==，E 为PD 中点．(1)证明：//CE 平面PAB ；(2)求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值．4. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ︒∠=，14A A =，11C C =，1 2.AB BC B B ===(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．E 为BP 的中点，2AB =， 1.PA AD CD ===(1)证明：//EC 平面PAD ；(2)求平面EAC 与平面PAC 夹角的正弦值．6. 如图，四边形ABCD 是矩形，//AE DF ，90,22.EAB ADF AB AE AD DF ∠=∠=︒===(1)证明：DF ⊥平面.ABCD(2)求直线CE 与平面BEF 所成角的正弦值.7. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点.(1)求证：//MN 平面11BCC B ；(2)若1AB BB ⊥，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值.8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求证：1//BC 平面1AD E ；(2)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值；(3)若正方体的棱长为2，求点C 到平面1AD E 的距离．。

立体几何之“线面角”题型专项训练1、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC CA ===，12AA =N 为AB 的中点． （1）求证：1//AC 平面1NB C ； （2）求11B C 与平面1NB C 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接ON ，直三棱柱111ABC A B C -中，11BB C C 是矩形，O ∴是1BC 的中点， N 为AB 的中点，1//ON AC ∴， 1AC ⊂/平面1NB C ，ON ⊂平面1NB C ， 1//AC ∴平面1NB C ．（2）三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC CA ===，12AA =，N 为AB 的中点，∴以A 为原点，AB 为x 轴，1AA 为y 轴，过A 作平面11ABB A 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2B 20)，1(1C ，2，3)，(1N ，0，0)，(1C ，03)，11(1B C =-，03)，1(1NB =20)，(0NC =，03)，设平面1NB C 的法向量(n x =，y ，)z ，则12030n NB x y n NC z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取2x =，得(2n =，1-，0)， 设11B C 与平面1NB C 所成角为θ， 则11B C 与平面1NB C 所成角的正弦值为： 1111||26sin ||||23B C n B C n θ⋅===⋅2、已知四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，SBC ∆为等边三角形，平面SBC ⊥平面ABCD ． （1）求证：BC SD ⊥；（2）若点E 是线段SA 上靠近S 的三等分点，求直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：取BC 的中点F ，连接BD 、DF 和SF ，因为SBC ∆为等边三角形，所以SF BC ⊥； 又四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒， 所以BCD ∆为等边三角形，所以DF BC ⊥； 又SFDF F =，SF ⊂平面SDF ，DF ⊂平面SDF ，所以BC ⊥平面SDF ，又SD ⊂平面SDF ，所以BC SD ⊥； （2）因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC ⋂平面ABCD BC =，SF BC ⊥，SF ⊂平面SBC ，所以SF ⊥平面ABCD ；又DF BC ⊥，所以SF 、BC 、DF 两两垂直；以点F 为坐标原点，FC 、FD 、FS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系F xyz -，如图；不妨设2AB =，则(2A -，3，0)，(1B -，0，0)，(0S ，03)； 所以(1AB =，30)，(2AS =，3-3)； 设平面SAB 的一个法向量为(m x =，y ，)z ， 由00m AB m AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得302330x x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令1y =，得(3m =，1，1)-，又12(33SE SA ==-，3，3)，所以2(3E -，3，23，又(0D 30)，所以2(3DE =-，2323)，设直线DE 与平面SAB 所成的角为θ，则232323|||3105333sin ||||41212311999DE m DE m θ⋅==⨯++⨯++3、如图，直三棱柱111ABCA B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.【答案】（1）20；（25【解析】（1）直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.∴三棱柱111ABC A B C -的体积：1112ABC V SAA AB AC AA =⨯=⨯⨯⨯1425202=⨯⨯⨯=. （2）连接AM ，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5，M 是BC 中点， 1AA ∴⊥底面ABC ，11164522AM BC ==+ 1A MA ∴∠是直线1A M 与平面ABC 所成角，11tan 55AA A MA AM ∠=== ∴直线1A M 与平面ABC 54、如图，在矩形ABCD 中，3AB =，6AD =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且1AE =，4BF =，沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A EFB ''，使点B '在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上．（1）求证：平面B CD '⊥平面B HD '； （2）求证：//A D '平面B FC '；（3）求直线HC 与平面A ED '所成角的正弦值．【解析】（1）证明：矩形ABCD 中，CD DE ⊥，点B '在平面CDEF 上的射影为H ，则B H '⊥平面CDEF ，且CD ⊂平面CDEF ，B H CD ∴'⊥， 又B HBE H '=，CD ∴⊥平面B HD '，又CD ⊂平面B CD '，∴平面B CD '⊥平面B HD '； （2）证明：//A E B F ''，A E '⊂/平面B FC '，B F '⊂平面B FC '．//A E ∴'平面B FC '，由//DE FC ，同理可得//DE 平面B FC '， 又A EDE E '=．∴平面//A ED '平面B FC '，//A D ∴'平面B FC '；（3）如图所示，过E 作//ER DC ，过E 作ES ⊥平面EFCD ，分别以ER ，ED ，ES 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．B '在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上，设(0B '，y ，)(z y ，)z R +∈；(3F ，3，0)，且10B E '=4B F '=；∴2222109(3)16y z y z ⎧+=⎨+-+=⎩，解得26y z =⎧⎪⎨=⎪⎩(0B ∴'，26)；∴(3FB '=-，1-，6)，∴13(44EA FB '='=-，14-6；且(0ED =，5，0)，设平面A DE '的法向量为(n a =，b ，)c ，00n EA n ED ⎧'=⎪⎨=⎪⎩，36050a b c b ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩解得0b =，令1a =，得6c ， 得到平面A DE '的法向量为(1n =，06； 又(3C ，5，0)，(0H ，2，0)，∴(3CH =-，3-，0)，∴直线HC 与平面A ED '所成角的正弦值为sin |cos CH θ=<，5||||||||6109904CH nn CH n >===⨯++⨯++．5、已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】（1）证明：连接AF ，设点O 为AF 的中点，连接GO ，OH ，在ACF 中，又因为点G 为AC 中点，所以//OG CF . 同理可证得//OH AB ，又因为E ，F 分别为正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点， 故//EF AB ，所以//OH EF .又因为OH OG O ⋂=，所以平面//GOH 平面EFCD . 又因为GH ⊂平面GOH ，所以//GH 平面EFCD . （2）因为ABCD 为正方形，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，所以四边形EFCD 为矩形，则CF EF ⊥. 又因为二面角C EF B --为直二面角，平面EFCD平面ABFE EF =，CF ⊂平面EFCD ，所以CF ⊥平面ABFE ，则AF 为直线AC 在平面ABFE 内的射影， 因为CAF ∠为直线AC 与平面ABFE 所成的角. 不妨设正方形边长为a ，则2aCF BF ==， 在Rt ABF 中，222252a a AF AB BF a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为CF ⊥平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以CF AF ⊥，在Rt AFC △中，22225622a a a AC AF CF ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 62sin 6aCF CAF AC a∠===AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.6、如图，三棱锥S ﹣ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ．（1）若P 点是线段SA 的中点，求证：SA ⊥平面PBC ； （2）点Q 在线段出上且满足AQ ＝，求BQ 与平面SAC 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：∵△ABC 和△SBC 都是等边三角形，且有公共边BC ，∴AB ＝SB ＝AC ＝SC ，∵P 是SA 的中点，∴SA ⊥BP ，SA ⊥CP ， ∵BP ∩CP ＝P ，∴SA ⊥平面PBC ．（2）取BC 的中点O ，连结OA ，OS ，由条件得OA ，BC ，OS 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝2，则AO ＝OS ＝，则A （，0，0），B （0，1，0），C （0，﹣1，0），S （0，0，），Q （，0，），∴＝（，1，0），＝（），＝（，﹣1，），设平面SAC 的一个法向量为＝（x ，y ，z ）， 则，令x ＝1，得＝（1，﹣，1），设BQ 与平面SAC 所成角为θ，则BQ 与平面SAC 所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．7、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,15ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥； （2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（215【解析】（1）在DCM △中，1DC =，2CM =，60DCM ∠=，由余弦定理可得3DM = 所以222DM DC CM +=，∴DM DC ⊥． 由题意DC PD ⊥且PD DM D ⋂=，DC ∴⊥平面PDM ，而PM ⊂平面PDM ，所以DC PM ⊥，又//AB DC ，所以AB PM ⊥．（2）由PM MD ⊥，AB PM ⊥，而AB 与DM 相交，所以PM ⊥平面ABCD ，因为7AM =22PM =取AD 中点E ，连接ME ，则,,ME DM PM 两两垂直， 以点M 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则(3,2,0),(0,0,2),(3,0,0)A P D -,(0,0,0),(3,1,0)M C -又N 为PC 中点，所以313352,2222N AN ⎛-=- ⎝⎝. 由（1）得CD ⊥平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量(0,1,0)n = 从而直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值为5||152sin ||2725244AN n AN n θ⋅===++‖8、在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =． （1）求证：11A F C E ⊥； （2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析； （2919【解析】（1）证明：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，因为13AE AB =，13BF BC =，设正方体的棱长为3a ， 则点()()()()()1113,,0,2,3,0,3,0,3,0,3,3,3,3,3E a a F a a A a a C a a B a a a ， 则()1,3,3A F a a a →=--，()13,2,3C E a a a →=--， 所以222113690A F C E a a a →→⋅=--+=，即11A F C E ⊥.（2）设平面1B EF 的法向量为(),,n x y z →=，直线1A F 与平面1B EF 所成角为θ，(),2,0EF a a →=-，()10,2,3B E a a →=--，由100n EF n B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20230x y y z -=⎧⎨+=⎩，令2z =，得6,3x y ==，则()6,3,2n →=-，所以111919sin cos ,719A F nA F n A F nθ→→→→→→⋅=<>=== 所以直线1A F 与平面1B EF 9199、如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ； （2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （210【解析】（1）连接AC ，由11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11ACC A 为平行四边形，即11//A C AC ，由ABCD 为等腰梯形，结合题设：23AC =222AC CD AD +=， 则AC CD ⊥.由1C C ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 则1C C AC ⊥，又1CD CC C =，∴AC ⊥平面11CDD C ，故11A C ⊥平面11CDD C .（2）法一：过C 作CG AB ⊥于G ，延长1BB 至BE 使1=BE AA ，过G 作1//GF AA 交1A E 于F ，连接1,C F BF ， 1AA ⊥面ABCD ，CG ⊂面ABCD ，则1AA CG ⊥，又CG AB ⊥，1AA AB A =，CG ∴⊥面1ABEA ，11//,,FG AA FG AA =即1FGAA 为平行四边形，11//,,FG CC FG CC ∴=则四边形1FGCC 为平行四边形，1//C F CG ∴1C F ∴⊥面1ABEA ，则1C BF ∠即为所求线面角，由题意：//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==. 在梯形ABCD 中，易得=3BAD π∠，所以=3CBG π∠，得3CG =则13C F CG = 在1Rt BFC 中，易得122BC =136sin 22C BF ∠.∴110cos C BF ∠=. 法二：以D 为原点，DA 为x 轴，1DD 为z 轴，作y 轴，建立空间直角坐标系， 易得(4,0,0)A ，(3,3,0)B ，13,1)B ，13,2)C ，(1,3,0)BA =，1(0,0,1)BB =，1(2,0,2)=-BC ，设面11AA B B 的一个法向量为(,,)m x y z =，由1?0?BA m x y BB m z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，可得(3,1,0)m =，记1BC 与面11AA B B 所成角为θ，116sin 4BC m BC mθ⋅==⋅ 10cos θ∴=，即1BC 与面11AA B B 10.10、如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，E 是1BB 的中点，F 是1AC 与1A C 的交点． （1）求证：//EF 底面ABC ；（2）求BC 与平面1A AB 所成角θ的正弦值．【解析】（1）证法一：取1CC 的中点M ，连接EM ，FM ，F 是1AC 与1A C 的交点，且侧面11ACC A 是菱形， F ∴是1AC 的中点，//FM AC ∴，FM ⊂/底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，//FM ∴底面ABC ， 11//BB CC ，11BB CC =，E 为1BB 中点，//BE CM ∴，BE CM =，∴四边形BCME 为平行四边形，//EM BC ∴，EM ⊂/底面ABC ，BC ⊂底面ABC ， //EM ∴底面ABC ，EMFM M =，EM ⊂平面EFM ，FM ⊂平面EFM ，∴平面//EFM 底面ABC ，EF ⊂平面EFM ，//EF ∴底面ABC ．证法二：取AC 中点O ，连接OB ，OF ，F 是1AC 与1A C 的交点，且侧面11ACC A 为菱形，F ∴是1A C 的中点，1//OF AA ∴，112OF AA =， E 是1BB 的中点，11//AA BB ，11AA BB =， E 是1BB 的中点，11//AA BB ，11AA BB =，//OF BE ∴，OF BE =，∴四边形OBEF 是平行四边形，//EF OB ∴，又EF ⊂/底面ABC ，OB ⊂底面ABC ，//EF ∴底面ABC ． （2）连接1OA ，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，∴△1A AC 是正三角形，1AO AC ∴⊥， 侧面11ACC A ⊥底面ABC ，侧面11ACC A ⋂底面ABC AC =， 1A O ⊂侧面11ACC A ， 1A O ∴⊥底面ABC ，底面ABC 为正三角形，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，底面ABC 是边长为2的正三角形，(0A ∴，1-，0)，(3B ，0，0)，(0C ，1，0)，1(0A ，03)，∴(3AB =1，0)，1(0AA =，13)，(3BC =-1，0)，设平面1A AB 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，由13030n AB x y n AA y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得(1n =，31)， BC ∴与平面1A AB 所成角θ的正弦值为：|||33|15sin |cos ,|||||25BC n BC n BC n θ⋅--=<>===⋅⨯11、如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（1）求证：BF ⊥平面ACFD ； （2）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（221. 【解析】（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示.因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以AC ⊥平面BCK ，因此，BF AC ⊥. 又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥ 所以BF ⊥平面ACFD .（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角.在Rt BFD 中，33,2BF DF ==，得21cos 7BDF ∠=. 所以，直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为217.12、已知棱台ABC ﹣A 1B 1C 1，平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，∠B 1A 1C 1＝60°，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝AC ＝CC 1＝，D ，E 分别是BC 和A 1C 1的中点（1）证明：DE ⊥B 1C 1； （2）求DE 与平面BCC 1B 1所成角的余弦值．【解析】（1）证明：过点A 作AO ⊥平面A 1B 1C 1，交A 1C 1于O ，连结B 1O ，设AA 1＝AC ＝CC 1＝＝1，则A 1O ＝1，A 1B 1＝2，∴B 1O ⊥A 1C 1，B 1O ＝，以O 为原点，OB 1，OC 1，OA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （，﹣，），C （0，1，），D （，，），E （0，，0），B 1（），C 1（0，3，0）， ＝（﹣，，﹣），＝（﹣，3，0），＝0，∴DE ⊥B 1C 1．（2）＝（），＝（0，2，﹣），设平面BCC 1B 1的法向量＝（x ，y ，z ），则，取y ＝，得＝（3，，2），＝（﹣，，﹣），设DE 与平面BCC 1B 1所成角为θ，则sinθ＝＝＝．cosθ＝＝．∴DE 与平面BCC 1B 1所成角的余弦值为．13、如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：11D A BC A ⊥平面； （2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（27【解析】（1）设E 为C B 中点，由题意得1A E ⊥平面C AB ，所以1A E AE ⊥.因为AB AC =，所以AE BC ⊥.所以AE ⊥平面1A BC .由D ，E 分别为11,B C BC 的中点，得1//DE BB 且1DE BB =，从而1//DE AA 且1DE AA =，所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE . 因为AE ⊥平面1A BC ，所以1A D ⊥平面1A BC . （2）作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结F B .因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥. 因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE .所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C .所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角. 由2,90AB AC CAB ==∠=，得2EA EB == 由AE ⊥平面1A BC ，得1114,14A A A B A E ===. 由1114,2,90DE BB DA EA DA E ===∠=，得17A F =. 所以17sin A BF ∠=14、如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，△P AD 为正三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AD ，CD 的中点．（1）证明：BD ⊥PF ； （2）若∠BAD =60°，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析 （26【解析】（1）连接AC ，因为在△ADC 中，E ，F 分别是AD ，CD 的中点，所以EF //AC ，又因为在菱形ABCD 中AC ⊥BD ，所以BD ⊥EF ； 因为△P AD 为正三角形，E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ；又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥BD ； 因为PE ∩EF =E ，,PE EF ⊂平面PEF ，所以BD ⊥平面PEF ， 又PF ⊂平面PEF ，所以BD ⊥PF ；（2）连接BE ，因为∠BAD =60°，所以△ADB 为等边三角形，所以BE ⊥AD ；由（1）知，PE ⊥平面ABCD ，故以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系设AD =2a ，则()()()()00303023000P a B a C a a D a --，，，，，，，，，，， 则()()()2333003PC a a a BD a a PD a a =--=--=-，，，，，，，设平面PBD 的法向量为()n x y z ，，=，则3030n BD ax ay n PD ax az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取()311n =-，，所以6cos<5PC n >=，，故直线PC 与平面PBD 615、某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，3AE AF ==23BE DF ==将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹． （1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --21，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （237【解析】（1）由菱形ABCD 的边长为3，3AE AF ==23BE DF ==可得：222BE AB AE =+，即有AB AE ⊥ 同理222DF AD AF =+，即有AD AF ⊥在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得：PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD A ⋂=． 可得PA ⊥底面ABCD（2）解法一：如图，以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 作AB 的垂线为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系．由第（1）问可得PA ⊥底面ABCD ，可得：PA AB ⊥，PA AT ⊥． 则BAT ∠为二面角B PA T --的平面角，由题意可得：21sin BAT ∠=考虑BAT △，60ABT ∠=︒，可得()321sin sin 60ATB ABT ∠=∠+︒= 利用正弦定理sin sin AB BTATB BAT=∠∠可得：1BT =，可得点T 的坐标为532⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．点(3P ，()0,0,0A ，3332C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭设面PAT 的法向量为(),,m x y z →=，则有0m AP m AT ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即：30530z x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．令3x =，则有()3,53,0m →=-，33332PC →⎛= ⎝ 则有：37cos ,m PC m PC PC m→→→→→→⋅==⋅，则PC 与面P AT 37． 解法二：由第（1）问可知PA ⊥底面ABCD ，3AC =， 所以PA AB ⊥，PA AT ⊥，3PC =则BAT ∠为二面角B PA T --的平面角，由题意可得：21sin BAT ∠=考虑BAT △，60ABT ∠=︒，可得()321sin sin 6014ATB ABT ∠=∠+︒=． 利用正弦定理sin sin AB BTATB BAT=∠∠可得：1BT =，即点T 为BC 上靠近点B 的三等分点所以在ABT 中，由余弦定理可得222cos 7AT AB BT AB BT ABT +-⋅∠ 设过点C 作平面P AT 的垂线，垂足为Q ，连接PQ ， 所以CPQ ∠为PC 与面P AT 所成角考虑三棱锥P ACT -，由于111333233322P ACT ACT V S PA -=⋅=⨯⨯=△，11173332C PAT ATP V S CQ CQ -=⋅=⨯△，因为P ACT C PAT V V --=，所以3217CQ =，所以37sin CQ CPQ PC ∠==所以PC 与面P AT 37解法三：由PA ⊥面ABCD ，可得：PA AB ⊥，PA AT ⊥． 故BAT ∠为二面角B PA A --的平面角，由题意可得：21sin BAT ∠=因为BAT ∠为锐角，所以57cos BAT ∠= 故()21sin sin 607CAT CAT ∠=︒-∠=过点C 作CQ 垂直于AT 于Q ，连接CQ 、AC则sin=⋅∠=CQ AC CAT⊥，∴PC=∵PA AC⊥∵PA⊥面ABCD，∴PA CQ⋂=，故CQ⊥面P AT 又因为AT CQ⊥，AT PA A故CPQ∠为PC与面P AT所成的角，∴sin CPQ∠=即PC与面P AT。

1 8.7.1 利用空间向量求线线角与线面角 核心考点·精准研析 考点一 异面直线所成的角

1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 ( )

A. B. C. D. 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,点P在A1B1

上,则直线PQ与直线AM所成的角为________.

3.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=λ,若异面直

线D1E和A1F所成角的余弦值为,则λ的值为________.

【解析】1.选C.建立如图所示空间直角坐标系. 设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).

所以cos<,>== ==. 2

2.建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2, 则A(0,0,0),M(0,2,1), P(t,0,2)(0≤t≤2),Q(1,1,0),故=(0,2,1),=(1-t,1,-2),而·=0,故⊥.

所以PQ与AM所成的角为. 答案: 3.以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则

A1,D1,E,A , 所以

=,=+=+λ=+λ=,所以

cos<,>===,解得λ=(λ=-舍去).

答案: 求异面直线所成的角的两个关注点 (1)用向量方法求两条异面直线所成的角, 是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.

(2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈0,,两方向向量的夹角α的范围是(0,π),所 3

以要注意二者的区别与联系,应有cos θ=|cos α|. 考点二 直线与平面所成的角 【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD. (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 【解题导思】 序号 联想解题 (1)要证面面垂直,先想到判定定理 (2)要求线面角,考虑用向量法,想到如何建立空间坐标系. 【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)方法一:作PH⊥EF,垂足为H. 由(1)得,PH⊥平面ABFD.

1、.【2017天津，文17】如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC∥，PDPB，1AD，3BC，4CD，2PD.

（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （II）求证：PD平面PBC； （Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

2. 【2018湖南五市十校教研教改共同体联考】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形， 60DABDBF，且FAFC.

（1）求证： AC平面BDEF； （2）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值. 3．【2018湖北八校第一次联考】四棱锥SABCD中， AD∥BC， ,BCCD 060SDASDC， ADDC

1122BCSD， E为SD的中点.

（1）求证：平面AEC平面ABCD； （2）求BC与平面CDE所成角的余弦值.

4.如图，在三棱柱111ABCABC中， D为BC的中点， 00190,60BACAAC， 12ABACAA.

（1）求证： 1//AB平面1ADC； （2）当14BC时，求直线1BC与平面

1ADC所成角的正弦值. 5.在矩形ABCD中， 22BCAB， E是边AD的中点，如图（1），将CDE沿直线CE翻折到CPE的位置，使PCPB，如图（2）.

（Ⅰ）求证：平面PCE平面ABCE；

（Ⅱ）已知M， N， Q分别是线段PC， CE， BN上的点，且PMCM， 2CNNE，

MQ平面PAB，求直线QM与平面PCE所成角的正弦值.

6.如图，五面体ABCDE中，四边形ABDE是菱形， ABC是边长为2的正三角形， 60DBA， 3CD．

（1）证明： DCAB； （2）若点C在平面ABDE内的射影H，求CH与平面BCD所成的角的正弦值． 7、 8、