1.3 二元一次方程组的应用

二元一次方程组的应用一、简介二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程集合。

在数学中，二元一次方程组广泛应用于解决各种实际问题。

本文将探讨二元一次方程组在实际应用中的一些例子，并说明其在解决问题中的重要性。

二、线性方程组的应用1. 计算问题：二元一次方程组常被用于计算相关问题。

例如，设想你在购买书籍和笔记本时共花费了100元，已知一本书的价格是10元，一台笔记本的价格是20元，那么用二元一次方程组可以表示为：x + y = 10010x + 20y = 100通过求解以上方程组，我们可以得到书籍和笔记本的具体数量。

2. 几何问题：二元一次方程组也可以应用于几何问题。

例如，在平面上给定两个直线的斜率和截距，我们可以用二元一次方程组表示这两条直线，并通过求解方程组确定两条直线的交点坐标。

三、应用案例分析1. 混合液体问题：假设有一瓶含有某种化学物质的溶液，溶液中物质的含量为x，另有一瓶纯净的溶液，其中物质的含量为y。

我们需要将两种溶液混合，使得混合后的溶液物质的含量为k。

根据物质守恒定律，可以得到以下方程组：x + y = kCx + Dy = E其中C、D、E为给定的常数。

通过求解该方程组，我们可以确定混合液体的比例，从而达到所需的物质含量。

2. 财务问题：考虑以下情境：张三和李四各自投资了一笔钱到同一项业务中，两人最终收益相等。

已知张三投资的金额为x，收益率为p，李四投资的金额为y，收益率为q。

我们可以列出以下方程组：x(1 + p) = y(1 + q)x + y = T其中T为总投资金额。

通过求解该方程组，我们可以确定张三和李四的具体投资金额，从而平衡他们的收益。

四、总结通过以上例子可以看出，二元一次方程组在实际问题中的应用非常广泛。

无论是计算问题、几何问题还是财务问题，二元一次方程组都能提供简洁而有效的数学解决方案。

因此，掌握二元一次方程组的求解方法对于解决实际应用问题非常重要。

总之，二元一次方程组在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。

1.3 二元一次方程组的应用第1课时用二元一次方程组解决较为简单的实际问题【知识与技能】1.通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识；2.能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义.【过程与方法】教师引导学生的自主探索，体会把实际问题转化到数学方程问题的数学思想方法，加强知识的综合运用，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度】使学生体验数学活动充满探索与创造，体会到经济社会中数学的应用价值，提高学生探索的精神与能力.【教学重点】把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立.【教学难点】在实践探索中寻找解题方案.一、情景导入，初步认知“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”你知道这四句话的意思吗？你能应用所学知识解决这个问题吗？分析：本题涉及的等量关系有：鸡头数+兔头数=鸡的腿数+兔子的腿数=解：设鸡有x只，兔子有y只，根据等量关系，得答：笼中有23只鸡，12只兔.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练，某次训练中，他骑自行车的平均速度为10米每秒，跑步的平均速度为103米每秒，自行车路段和长跑路程共5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度.分析：本题涉及的等量关系有：自行车路段长度+长跑路段长度=总路程.骑自行车的时间+长跑时间=总时间.解：设自行车路段的长度为xm,长跑路段长度为ym，依题意得：答：自行车路段和长跑路段的长度分别为3000米、2000米.2.某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100千克，现在有含蛋白质分别为20%、12%的甲、乙两种配料，用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？分析：本问题涉及的等量关系有：甲配料质量+乙配料质量=总质量，甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量=总蛋白质质量.解：设含蛋白质20%的配料需要xkg,含蛋白质12%的配料需要ykg，依题意，得答：可以配制出所要的食品，其中20%的配料需要37.5千克，12%的配料需要62.5千克. 3.根据上面的两个例题，你能总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？【归纳结论】 用二元一次方程组解实际问题的步骤：(1)审题，分析题目中的已知与未知；(2)找出数量关系；(3)设未知数列方程组；(4)求解方程组；(5)检验；(6)写出答案.【教学说明】感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.三、运用新知，深化理解1.如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x 厘米，宽是y 厘米依题意得答：小长方形的长是36厘米，宽是12厘米.2.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的54；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天.3.甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，依题意得答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒.4.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.(1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？解：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，根据题意，得答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元.(2)在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%=361.6(元).因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买.在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共需花费现金：360＋2＝362(元).因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买.因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱.【教学说明】让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能. 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业:教材第18页“习题1.3”中第1、2、3、4、5题.2.完成同步练习册中本课时的练习.列二元一次方程组和列一元一次方程解实际问题，是用两种不同的表达形式揭示了问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系.。

二元一次方程组的实际应用1.为了丰富同学们的业余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用了320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍x 元，每副乒乓球拍y 元，可列二元一次方程组为( )A.()506320x y x y +=+=⎧⎨⎩B.50610320x y x y +=+=⎧⎨⎩C.506320x y x y +=+=⎧⎨⎩D.50106320x y x y +=+=⎧⎨⎩2.如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意列方程组正确的是( )A.2753x y y x +==⎧⎨⎩ B.2753x y x y +==⎧⎨⎩ C.2753x y y x +==⎧⎨⎩ D.2753x y x y +==⎧⎨⎩3.有大小两种船,1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人,2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人.绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船,一次可以载乘客的人数为( ) A.129 B.120 C.108 D.964.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则为：明文a ，b 对应的密文为a-2b ，2a+b.例如，明文1，2对应的密文是-3，4时，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是( ) A.-1，1 B.1，3 C.3，1 D.1，15.乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组比乙组多15人，设甲组原有x 人，乙组原有y 人，则可得方程组为____________________.6.甲、乙两人去商店买东西，他们所带的钱数之比为7∶6，甲用掉50元，乙用掉60元，两人余下的钱之比是3∶2，则甲余下的钱为__________元，乙余下的钱为__________元.7.学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，全校师生一共表演了30个节目，其中歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，则全校师生表演的歌唱类节目有__________个．8.一筐苹果平均分给若干个小朋友，如果每个小朋友分9只，那么就多出10只；如果每个小朋友分10只，那么就缺4只，则有小朋友__________个. 9.某地准备对一段长120 m 的河道进行清淤疏通.若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道x m,乙工程队平均每天疏通河道y m,则(x+y)的值为__________.10.五一期间，春华旅行社组织一个由成人和学生共20人组成的旅行团到凤凰古城旅游，景区门票售票标准是：成人门票148元/张，学生门票20元/张，该旅行团购买门票共花费1 936元，问该团购买成人门票和学生门票各多少张？11.乔丹体育用品商店开展“超级星期六”促销活动：运动服8折出售，运动鞋每双减20元.活动期间,标价为480元的某款运动服装（含一套运动服和一双运动鞋）价格为400元.问该款运动服和运动鞋的标价各是多少元？12.体育文化用品商店购进篮球和排球共20个,进价和售价如下表,全部销售完后共获利润260元.(1)(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？13.第一档小于等于200 0.55第二档大于200小于400 0.6第三档大于等于400 0.85例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85=357（元）．某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？14.根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高__________cm，放入一个大球水面升高__________cm；(2)如果要使水面上升到50 cm，应放入大球、小球各多少个？15.小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买．三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购买 6 5 1 140（1）小林以折扣价购买商品A 、B 是第__________次购物； （2）求商品A 、B 的标价；（3）若商品A 、B 的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？参考答案1.B2.B3.D4.C5.1,2121533y x x y y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 6.90 60 7.22 8.14 9.2010.设购买成人门票x 张，学生门票y 张，据题意得20,148201936.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得12,8.x y ==⎧⎨⎩答：购买成人门票12张，学生门票8张.11.设该款运动服的标价是x 元，运动鞋的标价是y 元，则 480,0.820400.x y x y +=+-=⎧⎨⎩解得300,180.x y ==⎧⎨⎩答：该款运动服的标价是300元，运动鞋的标价是180元. 12.(1)设购进篮球x 个,排球y 个,由题意，得20,1510260.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得12,8.x y ==⎧⎨⎩ 答：购进篮球12个,排球8个.(2)6×10÷15=4（个）.答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等.13.因为两个月用电量为500度，所以每个月用电量不可能都在第一档， 假设该用户五、六月每月用电均超过200度，此时的电费共计：500×0.6=300（元），而300>290.5，不符合题意，又因为六月份用电大于五月份，所以五月份用电在第一档，六月份用电在第二档． 设五月份用电x 度，六月份用电y 度，根据题意，得0.550.6290.5,500.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得190,310.x y ==⎧⎨⎩答：该户居民五、六月份各用电190度、310度．14.(1)放入三个体积相同的小球水面升高32-26=6（cm ），则放入一个小球水面升高2 cm ，放入两个体积相同的大球水面升高32-26=6（cm ），则放入一个大球水面升高3 cm.故答案填：2,3. (2)设应放入x 个大球，y 个小球，由题意，得325026,10.x y x y +=-+=⎧⎨⎩解得4,6.x y ==⎧⎨⎩ 答：应放入4个大球，6个小球.15.(1)三.（2）设A 、B 两种商品的标价分别为x 元，y 元．根据题意，可得651140,371110.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得90,120.x y ==⎧⎨⎩答：A 、B 两种商品的标价分别为90元，120元． （3）设商店是打a 折出售的，则10a(90×9+8×120)=1 062,解得a=6. 答：商店是打6折出售商品A 、B 的．。

二元一次方程组实际应用
在我们的日常生活中，二元一次方程组可以被广泛应用。

这种方
程组由两个未知数和两个方程构成，其形式如下：
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
其中，a1、a2、b1、b2、c1和c2都是已知数，而x和y则是未知数。

这种方程组可以使用代数方法或者图形方法求解。

二元一次方程组在解决问题时有广泛的指导意义。

下面举几个例子：
1. 经济问题：我们可以使用二元一次方程组解决各种涉及到经济
问题的计算。

例如，我们可以用它来计算药品价格和医疗消费之间的
关系，或者计算房子的租金和用户需求之间的关系。

2. 教育问题：我们可以用二元一次方程组来计算学生数和教育资
源之间的关系，或者计算学生的成绩和学校教学水平之间的关系。

3. 质量问题：我们可以使用二元一次方程组来解决质量控制问题，比如计算两种不同材料的质量比较，或者计算不同等级的产品质量之
间的关系。

4. 科技问题：我们可以用二元一次方程组解决各种与科技相关的问题，例如计算电子设备之间的相关性或者计算不同农业技术对作物收成的影响。

二元一次方程组也可以帮助我们更好地理解和探索数学的本质，以及如何应用数学知识去解决实际问题。

当我们遇到一个包含未知数的问题时，通过建立相应的二元一次方程组来查找答案并进行计算，不仅可以帮助我们找到答案，而且可以帮助我们理解问题本质，并更好地掌握数学知识。

二元一次方程组的应用二元一次方程组是数学中常见的问题形式，可以通过解方程组来求解未知数的取值。

在实际生活和工作中，二元一次方程组有着广泛的应用。

本文将讨论二元一次方程组的一些常见应用场景。

一、消费问题在购物中，我们常常需要计算多个商品的总价。

假设商品A的价格为x元，商品B的价格为y元，购买A商品m件，B商品n件，总花费为p元。

此时可以列出如下二元一次方程组：mx + ny = p (1)m + n = t (2)其中，t为商品的总件数，p为总花费金额。

通过求解方程组，可以得到商品A和商品B的价格。

二、速度问题在物理学中，速度问题通常为二元一次方程组的典型应用。

设一个物体的速度恒定不变，物体在t秒内运动了s米，根据匀速运动的定义，可以得到如下方程组：vt - s = 0 (3)v' - v = 0 (4)其中，v为物体的速度，s为物体的位移，v'为物体的平均速度。

通过解方程组，可以求解物体的速度和位移。

三、投资问题在投资领域，经常需要计算不同投资项目的收益率。

假设我们有两个投资项目A和B，投资A的金额为x元，投资B的金额为y元，A项目的收益率为r1，B项目的收益率为r2，可以列出如下方程组：rx = r1x + r2y (5)x + y = t (6)其中，t为总投资金额。

通过求解方程组，可以得到投资项目A和B的收益率。

四、运动员的成绩在体育竞技中，运动员的成绩常常可以用二元一次方程组来表示。

假设运动员A和运动员B分别参加了两个项目，A在第一个项目中获得了x分，在第二个项目中获得了y分，B在第一个项目中获得了p分，在第二个项目中获得了q分。

根据成绩的计算方法，可以列出如下方程组：x + y = t (7)p + q = t (8)其中，t为满分。

通过解方程组，可以得到运动员A和运动员B在两个项目中的得分情况。

五、人员分配问题在人员分配和调度问题中，可以利用二元一次方程组来求解不同人数的分配。

高中数学目录第一章：方程和不等式1.1 一元一次方程及其应用1.2 二元一次方程组及其应用1.3 一元二次方程及其应用1.4 二元二次方程组及其应用1.5 一次不等式及其应用1.6 二次不等式及其应用第二章：函数2.1 函数的概念及初步认识2.2 幂函数和指数函数2.3 三角函数及其应用2.4 反三角函数及其应用2.5 导数和函数的变化率2.6 极限及其计算第三章：数列和数学归纳法3.1 数列的概念及性质3.2 等差数列和等比数列3.3 数列的极限和收敛性3.4 数学归纳法及其应用第四章：平面向量4.1 向量的概念及初步认识4.2 向量的加减及数量积4.3 向量的叉积及应用第五章：解析几何5.1 空间直线的方程及其相交关系5.2 空间平面的方程及其相交关系5.3 空间曲线及其参数方程5.4 二次曲线及其方程第六章：三角形6.1 三角形的性质及重要定理6.2 三角函数在三角形中的应用6.3 三角形相似及其判定方法6.4 三角形的内心、外心、垂心和重心第七章：概率统计7.1 随机事件和概率的概念7.2 概率的计算方法及其应用7.3 随机变量及其分布函数7.4 统计量及其应用第八章：数学证明思想和方法8.1 数学证明的思想及方法8.2 常用代数证明方法8.3 常用几何证明方法第九章：几何构图与解析几何9.1 常用几何构图方法及其应用9.2 解析几何的计算方法及其应用第十章：微积分基础10.1 导数及其应用10.2 微分及其应用10.3 积分及其应用第十一章：向量空间和线性代数11.1 向量空间的定义及其性质11.2 线性变换及其应用11.3 矩阵及其应用第十二章：复数及其应用12.1 复数的概念及其运算12.2 欧拉公式及其应用12.3 复函数及其应用第十三章：常微分方程及其应用13.1 常微分方程的基本概念及方法13.2 高阶线性常微分方程及其应用13.3 系统的常微分方程及其应用第十四章：数学思想和方法的发展历程14.1 古希腊数学的兴起及其特点14.2 数学分析的探索及其发展14.3 现代数学的新发展及其趋势以上就是我为大家总结的高中数学目录，希望能够对大家的学习有所帮助。