考点38 正态分布和条件概率——2021年高考数学专题复习真题练习

11.3 二项分布与正态分布基础篇 固本夯基考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式1.(2022届长沙长郡中学月考,7)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为23,34,只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进人第三关的概率为( ) A.12B.56C.89D.1516答案 B2.(2022届武汉部分学校质检,5)在一次试验中,随机事件A,B 满足P(A)=P(B)=23,则( ) A.事件A,B 一定互斥 B.事件A,B 一定不互斥 C.事件A,B 一定互相独立 D.事件A,B 一定不互相独立 答案 B3.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答案 B4.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 答案 B5.(2021辽宁丹东质检,2)10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回地抽取一张奖券,甲先抽,乙后抽,在甲中奖的条件下,乙没有中奖的概率为( ) A.35B.23C.34D.4156.(2021江苏徐州第三次调研,2)清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比赛,经过初赛,共10人进入决赛,其中高一年级2人,高二年级3人,高三年级5人,现采取抽签的方式决定演讲顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级2人不相邻的概率为( ) A.112 B.13 C.12 D.34答案 D7.(多选)(2021福建厦门外国语学校月考,12)甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球;乙罐中有5个红球,3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列结论正确的为( ) A.P(M)=12B.P(M|A 1)=611 C.事件M 与事件A 1不相互独立 D.A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件 答案 BCD8.(2022届山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量ξ~B (6,13),则P(ξ=4)= ,D(ξ)= .(用数字作答) 答案20243;439.(2022届山东潍坊10月段考,15)一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次,如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n,则算过关.甲同学参加了该游戏,他连过前两关的概率是 .答案5910.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 答案16;2311.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .12.(2022届江苏苏州调研,19)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. (1)试通过计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y 的分布列及数学期望和方差. 解析 (1)∵在8个试题中甲能答对6个,∴甲通过自主招生初试的概率P 1=C 63C 21C 84+C 64C 84=1114,又∵乙能答对每个试题的概率为34, ∴乙通过自主招生初试的概率P 2=C 43(34)314+C 44(34)4=189256,∵P 1>P 2,∴甲通过自主招生初试的可能性更大.(2)由题意可知,乙答对题的个数X 的可能取值为0,1,2,3,4,X~B (4,34), P(X=k)=C 4k (34)k (14)4−k(k=0,1,2,3,4)且Y=5X, 故Y 的分布列为∴E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×4×34=15, D(Y)=D(5X)=52D(X)=25×4×34×(1−34)=754. 13. (2022届山东潍坊阶段测,20)智能体温计测温方便、快捷,已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.调查发现,使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致,而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言,如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同,我们认为智能体温计“测温准确”;否则,我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计测量体温,数据如下:(1)试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率;(2)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温,设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)题表20人的体温数据中,用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12个, 由此估计所求概率为1220=35. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)可知,用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35. 所以P(X=0)=C 30(35)0(1−35)3=8125, P(X=1)=C 31(35)1(1−35)2=36125, P(X=2)=C 32(35)2(1−35)1=54125, P(X=3)=C 33(35)3(1−35)0=27125, 所以X 的分布列为故X 的数学期望E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=225125=95. 14.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.考点二 正态分布1.(2022届河北邢台9月联考,6)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ>2c+1)=P(ξ<2c-1),则c 的值为( )A.32 B.2 C.1 D.12答案 A2.(2021广东深圳一模,5)已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题: 甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2). 乙:P(ξ>a)=0.5. 丙:P(ξ≤a)=0.5.丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).如果只有一个假命题,则该命题为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 D3.(2020广东深圳七中月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 B4.(2021江苏七市第二次调研,13)已知随机变量X~N(2,σ2),P(X>0)=0.9,则P(2<X ≤4)= . 答案 0.45.(2021广东韶关一模,20)在一次大范围的随机知识问卷调查中,通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示:(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ξ~N(μ,196),μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求μ的值;②若P(ξ>2a-5)=P(ξ<a+3),求a 的值;(2)在(1)的条件下,为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案:①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次获赠的随机话费和对应的概率为:现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)①由题意得30×2+40×13+50×21+60×25+70×24+80×11+90×4100=60.5,∴μ=60.5.②由题意得2a-5+a+3=2×60.5,解得a=41.(2)由题意知P(ξ<μ)=P(ξ≥μ)=12,获赠话费X(单位:元)的可能取值为20,40,50,70,100, P(X=20)=12×34=38,P(X=40)=12×34×34=932,P(X=50)=12×14=18,P(X=70)=12×34×14+12×14×34=316,P(X=100)=12×14×14=132,∴X 的分布列为∴E(X)=20×38+40×932+50×18+70×316+100×132=1654. 综合篇 知能转换考法一 条件概率的求法1.(2021广东二模,3)2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动.甲同学答对第一道题的概率为23,连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”,事件B 表示“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)=( ) A.13B.12C.23D.34答案 D2.(2022届全国学业质量检测,9)某公司为方便员工停车,租了6个停车位,编号如图所示,公司规定:每个车位只能停一辆车,每个员工只允许占用一个停车位,记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”,事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”,则P(A|B)=( ) A.16B.310 C.12 D.35答案 D3.(多选)(2021江苏海安高级中学月考,7)已知A ,B 分别为随机事件A,B 的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是( ) A.P(B|A)+P(B |A)=P(A) B.P(B|A)+P(B |A)=1C.若A,B 独立,则P(A|B)=P(A)D.若A,B 互斥,则P(A|B)=P(B|A) 答案 BCD考法二 n 重伯努利试验及二项分布问题的求解方法1.(2021广东深圳外国语学校月考,5)某同学进行3分投篮训练,若该同学投中的概率为12,他连续投篮n 次至少得到3分的概率大于0.9,那么n 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)一个袋中有大小、形状相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ( ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 答案 B3.(多选)(2022届山东济宁一中开学考,11)某单位举行建党100周年党史知识竞赛,在必答题环节共设置了5道题,每道题答对得20分,答错扣10分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某选手每道题答对的概率均为23,其必答题环节的总得分为X,则( ) A.该选手恰好答对2道题的概率为49B.E(X)=50C.D(X)=1003D.P(X>60)=112243答案 BD4.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= . 答案 1.965.(2022届山东济宁一中开学考试,21)由于抵抗力差的人感染新冠肺炎的可能性相对更高,特别是老年人群体,因此某社区在疫情控制后,及时给老年人免费体检,通过体检发现“高血糖,高血脂,高血压”,即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表,还特地建设了一个老年人活动中心,老年人每天可以到该活动中心去活动,以增强体质.通过统计每周到活动中心运动的老年人的活动时间,得到了以下频率分布直方图.(1)从到活动中心参加活动的老年人中任意选取5人.①若将频率视为概率,求至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率;②若抽取的5人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为2人,从5人中选出3人进行健康情况调查,记3人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为ξ,求ξ的分布列和期望;(2)将某人的每周活动时间量与所有老年人的每周平均活动时间量比较,当超出所有老年人的每周平均活动时间量不少于0.74h 时,称该老年人为“活动爱好者”,从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到k 人为“活动爱好者”的可能性最大,试求k 的值.(每组数据以区间的中点值为代表)解析 (1)由题图可知,从到活动中心参加活动的老年人中任意选取1人,每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率为25.①记“至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)”为事件A, 则P(A)=C 53·(25)3·(1−25)2+C 54·(25)4·(1−25)+C 55(25)5=9923 125.②随机变量ξ所有可能的取值为0,1,2,P(ξ=0)=C 33C 53=110,P(ξ=1)=C 32C 21C 53=35,P(ξ=2)=C 31C 22C 3=310,则ξ的分布列如下:故E(ξ)=0×110+1×35+2×310=65. (2)老年人的每周活动时间的平均值为6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.4+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h),则老年人中“活动爱好者”的活动时间为[9,11](单位:h),参加活动的老年人中为“活动爱好者”的概率为p=0.19,若从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到X 人为“活动爱好者”,则X~B(10,0.19), 若k 人的可能性最大,则P(X=k)=C 10k p k(1-p)10-k,k=0,1,2,3, (10)由题意有{P(X =k)≥P(X =k −1),P(X =k)≥P(X =k +1),即{C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k−1(0.19)k−1(0.81)11−k ,C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k+1(0.19)k+1(0.81)9−k , 解得1.09≤k ≤2.09,由k ∈N *,得k=2.6.(2022届广东汕头金山中学期中,19)如图,李先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家开车到公司上班路上有L 1、L 2两条路线,L 1路线上有A 1、A 2、A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L 2路线上有B 1、B 2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L 1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望;(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条较好的上班路线,并说明理由.解析 (1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A,则P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(1−12)2=12, 所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意,X 的可能取值为0,1,2. P(X=0)=(1−34)×(1−35)=110,P(X=1)=34×(1−35)+(1−34)×35=920,P(X=2)=34×35=920. 随机变量X 的分布列为所以E(X)=0×110+1×920+2×920=2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y 服从二项分布Y~B (3,12),所以E(Y)=3×12=32. 因为E(X)<E(Y),所以选择L 2路线上班较好.7.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P(X=k)=C 3k ·(23)k (13)3−k ,k=0,1,2,3. 所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}. 由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立, 从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243. 8.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1-p)18.因此f'(p)=C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2C 202p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,当p ∈(0,0.1)时,f'(p)>0; 当p ∈(0.1,1)时,f'(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.考法三 正态分布问题的求解方法1.(2022届江苏苏州调研,3)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.84,则P(-1<ξ≤0)=( )A.0.34B.0.68C.0.15D.0.07 答案 A2.(2022届江苏徐州期中,5)某单位招聘员工,先对应聘者的简历进行评分,评分达标者进入面试环节,现有1000人应聘,他们的简历评分X 服从正态分布N(60,102),若80分及以上为达标,则估计进入面试环节的人数为( )(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973)A.12B.23C.46D.159 答案 B3.(多选)(2022届湖南湘潭9月模拟,10)已知随机变量X 服从正态分布N(0,22),则( ) A.X 的数学期望为E(X)=0 B.X 的方差为D(X)=2 C.P(X>0)=12D.P(X>2)=12 答案 AC4.(2022届河北9月开学摸底联考,7)含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐,是新一代的碘盐产品.海藻中的碘80%为无机碘,10%~20%为有机碘,海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点.某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X(单位:克)服从正态分布N(400,4),某顾客购买了4袋海藻碘食用盐,则至少有2袋的质量超过400克的概率为( ) A.1116 B.34 C.58 D.516答案 A5.(2022届(新高考)第一次月考,19)数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动,已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图.(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望;(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)≈0.9973.解析 (1)由题中频率分布直方图和分层随机抽样的方法,可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4. 因此,ξ的可能值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)=C 64C 104=114,P(ξ=1)=C 41C 63C 104=821,P(ξ=2)=C 42C 62C 104=37,P(ξ=3)=C 43C 61C 104=435,P(ξ=4)=C 44C 104=1210.故ξ的分布列为所以ξ的数学期望E(ξ)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85. (2)由题意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18.由X 服从正态分布N(μ,σ2),得P(64-18<X ≤64+18)=P(46<X ≤82)≈0.6827,则P(X>82)=12(1-0.6827)=0.15865,P(X>46)=0.6827+0.15865=0.84135,60×0.84135≈50,所以估计此次竞赛受到奖励的人数为50.6.(2022届辽宁渤海大学附中考试,20)随着我国国民消费水平的不断提升,进口水果受到了人们的喜爱,世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国:泰国的榴莲、山竹、椰青,厄瓜多尔的香蕉,智利的车厘子等水果走进了千家万户.某种水果按照果径大小可分为五个等级:特等、一等、二等、三等和等外.某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:(1)若将样本频率视为概率,从这批水果中随机抽取6个,求恰好有3个水果是二等级别的概率; (2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果,则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,Y 表示抽取的优级水果的数量,求Y 的分布列及数学期望E(Y).解析 (1)设从500个水果中随机抽取一个,抽到二等级别水果的事件为A,则P(A)=250500=12, 随机抽取6个,设抽到二等级别水果的个数为X,则X~B (6,12), 所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P(X=3)=C 63(12)3(12)3=516.(2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个, 其中优级水果有3个,非优级水果有7个. 则Y 所有可能的取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C 73C 103=724,P(Y=1)=C 72C 31C 103=2140,P(Y=2)=C 71C 32C 103=740,P(Y=3)=C 33C 103=1120.所以Y 的分布列为所以E(Y)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.7.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9 5经计算得x=116∑i=116x i=9.97,s=√116∑i=116(x i−x)2=√116(∑i=116x i2−16x2)≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,√0.008≈0.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09.。

2021届高考数学（理）考点复习二项分布与正态分布1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)P(A)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A).(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 概念方法微思考1．条件概率中P (B |A )与P (A |B )是一回事吗？提示 不一样，P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率．2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．1．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X 及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.0080.09≈．【解析】（1）由题可知尺寸落在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则落在(3,3)μσμσ-+之外的概率为10.99740.0026-=，因为001616(0)(10.9974)0.99740.9592P X C ==⨯-⨯≈， 所以(1)1(0)0.0408P X P X =-==， 又因为~(16,0.0026)X B ， 所以()160.00260.0416E X =⨯=；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由9.97x =，0.212s ≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ0.0080.09．1．（2020•青羊区校级模拟）设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，若5(1)9P X =，则()(D Y = )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，5(1)9P X =， 0224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=⨯⨯-=，4()9()949D Y D X ∴==⨯=． 故选A ．2．（2020•奎文区校级模拟）设随机变量X 服从1(6,)2B ，则(3)P X =的值是( )A ．316B ．516 C ．38D ．58【答案】B【解析】随机变量X 服从1(6,)2，3336611205(3)()()22216P X C ∴====故选B ．3．（2019•道里区校级三模）已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()2E X =，4()3D X =，则(p = ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】C【解析】由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又()2E X =，4()3D X =， 所以24(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13p =，故选C ．4．（2019•道里区校级一模）设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9P ξ=，则(2)P η的值为( ) A ．3281B ．1127C ．6581D ．1681【答案】B【解析】随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9P ξ=， 002251(1)9C p p ∴--=，13P ∴=，1~(4,)3B η∴，22233144044412121211(2)()()()()()()33333327P C C C η∴=⨯+⨯+=， 故选B ．5．（2020•江西模拟）已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则(25)(P ξ<= )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7【答案】B【解析】根据题意，正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则5μ=，即这组数据对应的正态曲线的对称轴5x =，则(5)0.5P ξ<=， 又由(2)0.15P ξ<=，得(25)0.50.150.35P ξ<=-=． 故选B ．6．（2020•红岗区校级模拟）在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附2:~(,)x N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=．)A ．906B ．1359C ．2718D ．3413【答案】B 【解析】~(2,4)X N -∴ 阴影部分的面积(02)S P X =1[(62)(10)]2P x P x =--- 1(0.95450.6827)0.13592=-=， 则在正方形中随机投一点， 该点落在阴影内的概率为0.13594P =， ∴ 落入阴影部分的点的个数的估计值为0.13594000013594⨯≈． 故选B ．7．（2020•辽宁三模）已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(02)0.3P X =，则(4)(P X >=) A ．0.6 B ．0.2C ．0.4D ．0.35【答案】B【解析】由随机变量X 服从正态分布2(2,)N o ，所以正态曲线的对称轴是2x =， 又(02)0.3P X =，所以(4)(0)0.50.30.2P X P X >=<=-=． 故选B ．8．（2020•运城模拟）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6，则ξ在(2,)+∞内取值的概率为( ) A ．0.8 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2【答案】D【解析】2~(1,)N ξσ，(2)(0)P P ξξ∴>=<， 又(02)0.6P ξ<<=，∴10.6(2)0.22P ξ->==． 故选D ．9．（2020•益阳模拟）若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<+=，设2~(1,)N ξσ，且(3)0.15865P ξ=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上恰有两个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围为( ) A ．(26-，13)(13-⋃，26) B ．(26,26)-C ．(39-，13)(13-⋃，39)D ．(39,39)-【答案】C【解析】由题意知：1(3)(1)[1(13)]2P P P ξξξ=-=--<<，(13)0.6827P ξ∴-<<=，11σ∴-=-，13σ+=．2σ∴=．故圆的方程为224x y +=，圆心为(0,0)，半径为2．如图，1L ，2L 表示与1250x y c -+=平行的直线，OA ，OB ，OC 共线且垂直于1L ，2L ． 当1BC AC ==时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1．当直线介于1L ，2L 之间时，符合题意． 故221312(5)<<+-，13||39c ∴<<，3913c ∴-<<-或1339c <<．故选C ．10．（2020•安阳二模）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标~(15,0.0025)N ξ，单位为g ，该厂每天生产的质量在(14.9,15.05)g g 的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为()参考数据：若2~(,)N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=，(33)0.9973P μσξμσ-<<+=．A ．158 700B ．22 750C ．2 700D ．1 350【答案】D【解析】由题意知，~(15,0.0025)N ξ，即15μ=，20.0025σ=，即0.05σ=； 所以0.68270.9545(14.915.05)(2)0.81862P P ξμσξμσ+<<=-<<+==，所以该厂每天生产的口罩总量为8186000.81861000000÷=（件)， 又10.9973(15.15)(3)2P P ξξμσ->=>+=， 所以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为10.9973100000013502-⨯=（件)． 故选D ．11．（2020•重庆模拟）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6826P X μσ-≈，(||2)0.9544P X μσ-≈，(||3)0.9974P X μσ-≈．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布(110,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为( ) A ．159 B ．46 C ．23 D ．13【答案】C【解析】由题意，110μ=，10σ=， 故10.9544(130)(2)0.02282P X P X μσ->=>+==． ∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为10000.022822.823⨯=≈．故选C ．12．（2020•福建模拟）已知随机变量(2,1)X N ∽，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为( )附：若随机变量2~(,)N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-+=，(22)0.9544P μσξμσ-+=．A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641【答案】D【解析】由题意1(01)(0.95440.6826)0.13592P X <=⨯-=．在正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为110.13590.864111P ⨯-==⨯．故选D ．13．（2020•重庆模拟）某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为( )A ．200B ．300C ．400D ．600【答案】B【解析】因为综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=． (80)(120)0.2P x P x ∴<=>=，(100)(100)0.5P x P x ==． (100120)(100)(120)0.3P x P x P x ∴=->=．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为10000.3300⨯=． 故选B ．14．（2020•唐山一模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，随机变量Y 服从正态分布(1,1)N ，且(1)0.1587P X >=，则(12)(P Y <<= )A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.6587【答案】B【解析】由已知得(1)0.1587(2)P X P Y >==>， (2)1(2)0.8413P Y P Y ∴<=->=．又(1)(1)0.5P Y P Y ==，(12)(2)(1)0.3413P Y P Y P Y ∴<<=<-=．故选B ．15．（2020•广西模拟）已知随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，(2)0.3P X >=，(0)(P X <= ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8【答案】B【解析】随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，∴正态分布曲线的对称轴为1X =，2μ=，又(2)0.3P X >=，(0)(2)0.3P X P X <=>=， 故选B ．16．（2020•道里区校级一模）某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布(120,9)N ，成绩在(117，126]之外的人数估计有( )（附：若X 服从2(,)N μσ，则()0.682P X μσμσ-<+=，(22)0.9545)P X μσμσ-<+= A ．1814人 B ．3173人 C ．5228人 D ．5907人【答案】A【解析】由数学分数服从正态分布(120,9)N ，得120μ=，3σ=． 则(117126)(117123)(123126)P x P X P X <=<+<1()[(22)()]2P X P X P X μσμσμσμσμσμσ=-<++-<+--<+10.682(0.95450.682)0.818252=+-=．则成绩在(117，126]之内的人数估计有8183，∴成绩在(117，126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选A ．17．（2020•青岛模拟）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布(2000N ，2100)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A ．0.9759B ．0.84C ．0.8185D ．0.4772【答案】C【解析】ξ服从正态分布(2000N ，2100)， 2000μ∴=，100σ=，则1(19002200)()[(22)()]2P P P P ξμσξμσμσξμσμσξμσ<<=-<<++-<<+--<<+10.6826(0.95440.6826)0.81852=+-=．故选C ．18．（2020•毕节市模拟）已知2~(1,)X N σ，若(11)P X a -<<=，则(3)(P X >= ) A ．12a - B ．1a - C ．aD ．12a +【答案】A【解析】作出该函数图象，易知关于直线1x =对称，所以(11)(13)P X P X a -<<=<<=， 则121(3)(1))22a P X P X a ->=<-==-即为所求． 故选A ．19．（2019•西宁模拟）设随机变量1~(6,)2X B ，则(3)P X ==__________．【答案】516【解析】随机变量X 服从二项分布1(6,)2B ，3336115(3)()(1)2216P X C ∴==⨯-=．故答案为：516． 20．（2020•呼和浩特模拟）为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36．（Ⅰ）估计该样本校学生体能测试的平均成绩； （Ⅱ）求该样本校40名学生测试成绩的标准差s ；（Ⅲ）假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布2(,)N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？ （注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数； ②若随机变量z服从正态分布，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974)P Z μσμσ-<<+=．【解析】（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16， 则这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==．故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74． （2）由2211()n i i s x x n ==-∑变形得22211()n i i s x nx n ==-∑，设第一组学生的测试成绩分别为1x ，2x ，3x ，⋯，24x ， 第二组学生的测试成绩分别为25x ，26x ，27x ，⋯，40x ， 则第一组的方差为222222112241[()2470]424s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222212224(1670)x x x ++⋯+=⨯+． 第二组的方差为22222225264021[()1680]616s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222225264016(3680)x x x ++⋯+=⨯+． 这40名学生的方差为2222222212242526401[()40]40s x x x x x x x =++⋯++++⋯- 2221[24(1670)16(3680)4074]4840=⨯++⨯+-⨯=， 所以48437s =． 综上，标准差7s =．（3）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=， 故(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=，即(6088)0.9544P X <<=， 所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=．从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人)． 而235%1000<， 故可估计该样本校学生“体能达标”测试合格．21．（2020•潍坊模拟）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：)cm ．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布2(,)N μσ．如果加工的零件内径小于3μσ-或大于3μσ+均为不合格品，其余为合格品．（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L （单位：元）与零件的内径X 有如下关系：5,3,4,3,6,3,5,3.X X L X X μσμσμσμσμσμσ-<-⎧⎪--⎪=⎨-+⎪⎪->+⎩求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0026． 因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为： 100000.002626⨯=；（2）由题意，(3)0.0013P X μσ<-=．1(3)(0.99740.6826)0.15742P X μσμσ-<+=-=；(3)0.99740.15740.8400P X μσμσ-+=-=； (3)0.0013P X μσ>+=．故随机抽取10000个零件的平均利润：为1000010000(50.001340.157460.840050.0013)56566L =-⨯+⨯+⨯-⨯=元．22．（2020•济南模拟）法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如表，经计算25个面包总质量为24468g ． 庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：)g 981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978 989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959 98710061000977966尽管上述数据都落在(950,1050)上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附：①若2~(,)X N μσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知：随机变量2~(,)25Y N σμ；②若2~(,)N ημσ，则()0.6826P μσημσ-<<+=，(22)0.9544P μσημσ-<<+=，(33)0.9974P μσημσ-<<+=；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件． 【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2， 0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．ξ∴的分布列为：ξ0 1 2 P1412141110121424E ξ∴=⨯+⨯+⨯=；（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ． 假设面包师没有撒谎，则~(1000X N ，250)，根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则~(1000Y N ，210)，庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据． 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=． 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<． 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件．∴ “假设面包师没有撒谎”有误．故庞加莱认为面包师撒谎．。

高考数学复习专题训练—统计与概率解答题1.(2021·广东广州二模改编)根据相关统计,2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势,2011~2019年全国农村贫困发生率的散点图如下:注:年份代码1~9分别对应年份2011年~2019年.(1)求y 关于t 的经验回归方程(系数精确到0.01);(2)已知某贫困地区的农民人均年纯收入X (单位:万元)满足正态分布N (1.6,0.36),若该地区约有97.72%的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准,则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元?参考数据与公式:∑i=19y i =54.2,∑i=19t i y i =183.6. 经验回归直线y ^=b ^t+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n t i y i -nt y ∑i=1n (t i -t )2 ,a ^=y −b ^t . 若随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.2.(2021·湖北黄冈适应性考试改编)产品质量是企业的生命线.为提高产品质量,企业非常重视产品生产线的质量.某企业引进了生产同一种产品的A,B 两条生产线,为比较两条生产线的质量,从A,B 生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测,把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.(1)依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析数据,能否据此推断是否为一级品与生产线有关.(2)生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品则亏损20元,以频率估计概率.①分别估计A,B生产线生产一件产品的平均利润;②你认为哪条生产线的利润较为稳定?并说明理由.附:①参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.②临界值表:3.(2021·福建宁德模拟改编)某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格,从中随机抽测100个零件的长度d(单位:mm).该样本数据分组如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63],得到如图所示的频率分布直方图.经检测,样本中d大于61的零件有13个,长度分别为61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6.(1)求频率分布直方图中a,b,c的值及该样本的平均长度x(结果精确到1 mm,同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)视该批次样本的频率为总体的概率,从工厂生产的这批新零件中随机选取3个,记ξ为抽取的零件长度在[59,61)的个数,求ξ的分布列和数学期望;(3)若变量X满足|P(μ-σ≤X≤μ+σ)-0.682 7|<0.03且|P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-0.954 5|≤0.03,则称变量X满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批样本的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利出厂;否则不能出厂.请问,能否让该批零件出厂?4.(2021·山东潍坊期末)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0<r<1),它们之间相互不影响.(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r的最小值;(2)当r=0.9时,求能正常工作的设备数X的分布列;(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万元的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方案:方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.9,更新设备硬件总费用为8万元; 方案2:对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策?答案及解析1.解 (1)t =1+2+3+4+5+6+7+8+99=5, y =12.7+10.2+8.5+7.2+5.7+4.5+3.1+1.7+0.69≈6.02, b ^=∑i=19t i y i -9t y∑i=19(t i -5)2=183.6-270.960≈-1.46,a ^=y −b ^t =6.02-(-1.46)×5=13.32.故y 关于t 的经验回归方程为y ^=-1.46t+13.32.(2)因为P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,所以P (X>μ-2σ)=0.954 5+1-0.954 52=0.977 25. 因为某贫困地区的农民人均年纯收入X 满足正态分布N (1.6,0.36),所以μ=1.6,σ=0.6,μ-2σ=0.4,P (X>0.4)=0.977 25,故该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元.2.解 (1)根据已知数据可建立列联表如下:零假设为H 0:是否为一级品与生产线无关.χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=200×(20×65-35×80)255×145×100×100≈5.643>5.024=x 0.025,依据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H 0不成立,即认为是否为一级品与生产线有关.(2)A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15,35,15.记A 生产线生产一件产品的利润为X ,则X 的取值为100,50,-20,其分布列为B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为720,25 ,14.记B生产线生产一件产品的利润为Y,则Y的取值为100,50,-20, 其分布列为①E(X)=100×15+50×35+(-20)×15=46,E(Y)=100×720+50×25+(-20)×14=50.故A,B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.②D(X)=(100-46)2×15+(50-46)2×35+(-20-46)2×15=1 464.D(Y)=(100-50)2×720+(50-50)2×25+(-20-50)2×14=2 100.因为D(X)<D(Y),所以A生产线的利润更为稳定.3.解(1)由题意可得P(61≤d<62)=10100=0.1,P(62≤d≤63)=3100=0.03,P(59≤d<60)=P(60≤d<61)=12(1-2×0.03-0.14-0.1)=0.35,所以a=0.031=0.03,b=0.11=0.1,c=0.351=0.35.x=(57.5+62.5)×0.03+58.5×0.14+(59.5+60.5)×0.35+61.5×0.1=59.94≈60.(2)由(1)可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件,长度d在(59,61]的概率P=2×0.35=0.7,且随机变量ξ服从二项分布ξ~B(3,0.7),所以P(ξ=0)=C30×(1-0.7)3=0.027,P(ξ=1)=C31×0.7×(1-0.7)2=0.189,P(ξ=2)=C32×0.72×(1-0.7)=0.441,P(ξ=3)=C33×0.73=0.343,所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.(3)由(1)及题意可知x=60,σ=1.所以P(x-σ≤X≤x-σ)=P(59≤X≤61)=0.7.|P(x-σ≤X≤x+σ)-0.682 7|=|0.7-0.682 7|=0.017 3≤0.03,P(x-2σ≤X≤x-2σ)=P(58≤X≤62)=0.14+0.35+0.35+0.1=0.94,|P(x-2σ≤X≤x+2σ)-0.954 5|=|0.94-0.954 5|=0.014 5≤0.03.所以这批新零件的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布.所以能让该批零件出厂.4.解(1)要使系统的可靠度不低于0.992,则P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值为0.8.(2)X为正常工作的设备数,由题意可知,X~B(3,r),P(X=0)=C30×0.90×(1-0.9)3=0.001,P(X=1)=C31×0.91×(1-0.9)2=0.027,P(X=2)=C32×0.92×(1-0.9)1=0.243,P(X=3)=C33×0.93×(1-0.9)0=0.729,从而X的分布列为(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1,X2,采用方案1,更换部分设备的硬件,使得设备可靠度达到0.9,由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001,不断掉的概率为0.999,故E(X1)=80000+0.001×500 000=80 500元.采用方案2,对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008,故E(X2)=50 000+0.008×500 000=54 000元,因此,从期望损失最小的角度,决策部门应选择方案2.。

§11.3 条件概率、二项分布及正态分布基础篇固本夯基【基础集训】考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12 答案 C2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34B.23C.57D.512答案 D3.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( ) A.127 B.227 C.281 D.881答案 B4.某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为( )A.15B.12C.35D.38答案 D5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X 的数学期望为( )A.400B.300C.200D.100 答案 C6.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的,A 学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X 分,B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y 分,则D(Y)-D(X)=( )A.12512 B.3512 C.274 D.234 答案 A7.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为.答案512考点二正态分布8.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4)A.0.977 2B.0.682 6C.0.997 4D.0.954 4答案 A9.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( )A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99答案 D10.在某项测量中,测得变量ξ~N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(1,2)内取值的概率为( )A.0.2B.0.1C.0.8D.0.4答案 D11.已知随机变量x服从正态分布N(3,σ2),且P(x≤4)=0.84,则P(2<x<4)=( )A.0.84B.0.68C.0.32D.0.16答案 B12.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000 名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49);(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数.(i)求EX;(ii)问:10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大?附:若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 3.√0.24≈0.49. 解析(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2, 从而T 服从N(2,0.24),又σ=√0.24≈0.49,从而P(1.51<T<2.49)=P(μ-σ<T<μ+σ)=0.682 7. (2)(i)任意抽取1名客户,该客户是目标客户的概率为 P(2<T<2.98)=P(μ<T<μ+2σ)=12P(μ-2σ<T<μ+2σ)=12×0.954 5=0.477 25.由题意知X 服从B(10 000,0.477 25), 所以EX=10 000×0.477 25=4 772.5. (ii)X 服从B(10 000,0.477 25),P(X=k)=C 10 000k0.477 25k (1-0.477 25)10 000-k =C 10 000k0.477 25k ·0.522 7510 000-k (k=0,1,2,…,10 000). 设当X=k(k≥1,k∈N)时概率最大, 则有{P (X =k )>P (X =k +1),P (X =k )>P (X =k -1),得{0.522 75C 10 000k >0.477 25C 10 000k+1,0.477 25C 10 000k >0.522 75C 10 000k -1, 解得k=4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大.解题关键 对于(2),得出X 服从B(10 000,0.477 25)是解题的关键.综合篇知能转换【综合集训】考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法1.(2018山东潍坊模拟,6)某篮球队对队员进行考核,规则是:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过,已知队员甲投篮1次投中的概率为23,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( ) A.3 B.83C.2D.53答案 B2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B.35 C.18125 D.54125答案 D3.(2018广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数其中A 的各位数字中,a 1=1,a k (k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X 的方差为 . 答案30 8007294.(2019河北模拟,19)某种植户对一块地的n(n∈N *)个坑进行播种,每个坑播种3粒种子,每粒种子发芽的概率均为12,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.(1)当n 取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少? (2)当n=4时,用X 表示要补播种的坑的个数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)对于一个坑而言,要补播种的概率为(12)3+C 31(12)3=12.有3个坑需要补播种的概率为C n3×(12)n,要使C n 3×(12)n 最大,只需{C n 3(12)n≥C n 2(12)n ,C n 3(12)n≥C n 4(12)n ,解得5≤n≤7,∵n∈N *,故n=5,6,7.(2)n=4时,要补播种的坑的个数X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,X~B (4,12),P(X=0)=C 40(12)4=116,P(X=1)=C 41×(12)4=14,P(X=2)=C 42(12)4=38,P(X=3)=C 43(12)4=14,P(X=4)=C 44(12)4=116.所以随机变量X 的分布列为X0 12 3 4 P 116 1438 14 116因为X~B (4,12),所以E(X)=4×12=2.5.(2020届辽宁阜新中学10月月考,18)某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一户居民月用电量标准a,用电量不超过a 的部分按平价收费.超出a 的部分按议价收费,为此,政府调查了100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图所示,用电量在[240,260)的居民户数比用电量在[160,180)的居民户数多11户.(1)求直方图中x,y 的值;(2)①用样本估计总体,如果希望至少85%的居民用电量低于标准,求月用电量的最低标准应定为多少度,并说明理由;②若将频率视为概率,现从该市所有居民中随机抽取3户,其中月用电量低于①中最低标准的居民户数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ). 解析 (1)由题意,得{(x +0.009 5+0.010 0+0.013 5+y +0.005 0+0.002 5)×20=1,100×(y -x )×20=11,所以{x =0.002 0,y =0.007 5.(2)①样本中月用电量不低于260度的居民户数为(0.005 0+0.002 5)×20×100=15,占样本总量的15%,用样本估计总体,要保证至少85%的居民月用电量低于标准,故最低标准应定为260度.②将频率视为概率,设A(单位:度)代表居民月用电量,易知P(A<260)=1720,由题意得,ξ~B (3,1720),P(ξ=i)=C 3i(1720)i(320)3-i(i=0,1,2,3).所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 278 000 4598 000 2 6018 000 4 9138 000所以E(ξ)=0×278 000+1×4598 000+2×2 6018 000+3×4 9138 000=2.55.或由ξ~B (3,1720)及二项分布的期望公式可得E(ξ)=3×1720=2.55考法二 正态分布问题的解题方法6.(2018山东淄博一模,5)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a -3)=P(ξ>a+2),则a 的值为( ) A.73 B.53 C.5 D.3答案 A7.(2019河北冀州期末,4)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,62),P(ξ≤5)=0.89,则P(ξ≤3)=( ) A.0.89 B.0.78 C.0.22 D.0.11 答案 D8.(2019江西南昌模拟,6)在某次高三联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该生成绩高于115分的概率为( ) A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.5 答案 C9.(2019山西运城一模,19)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x ,σ2近似为样本方差s 2.①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X -μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=P (Y ≤a -μσ),利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10);②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z 的数学期望.参考数据:√178≈403,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.解析 (1)x =6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9, s 2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78. (2)①由题知μ=9,σ2=1.78,∴X~N(9,1.78),σ=√1.78=√178100≈43.∴P(X≤10)=P (Y ≤10-943)=P(Y≤0.75)=0.773 4.②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,由题意得Z~B(20,0.226 6),P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)=1-0.773 420-C 201×0.226 6×0.773 419≈1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7. Z 的数学期望E(Z)=20×0.226 6=4.532.【五年高考】考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 答案 B2.(2015课标Ⅰ,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案 A3.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 . 答案 0.184.(2015广东,13,5分)已知随机变量X 服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= . 答案 135.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析 本题主要考查独立事件概率的求解.考查学生的逻辑推理及数据处理能力;考查的核心素养是数据分析和逻辑推理.(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.思路分析 (1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可.(2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事件的概率公式可求解. 6.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P(X=k)=C 3k (23)k (13)3-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X 的分布列为X0 12 3 P 127 2949 827随机变量X 的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立, 从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243. 思路分析 (1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断X~B(n,p),从而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即{X =3,Y =1或{X =2,Y =0.从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.7.(2016北京,16,13分)A,B,C 三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(1)试估计C 班的学生人数;(2)从A 班和C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)解析 (1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法,C 班的学生人数估计为100×820=40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”,i=1,2,…,5, 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”, j=1,2,…,8. 由题意可知,P(A i )=15,i=1,2,…,5;P(C j )=18, j=1,2,…,8. P(A i C j )=P(A i )P(C j )=15×18=140,i=1,2,...,5, j=1,2, (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4. 因此P(E)=P(A 1C 1)+P(A 1C 2)+P(A 2C 1)+P(A 2C 2)+P(A 2C 3)+P(A 3C 1)+P(A 3C 2)+P(A 3C 3)+P(A 4C 1)+P(A 4C 2)+P(A 4C 3)+P(A 5C 1)+P(A 5C 2)+P(A 5C 3)+P(A 5C 4)=15×140=38.(3)μ1<μ0.考点二 正态分布8.(2015湖北,4,5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t) 答案 C9.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 答案 B10.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.04 10.059.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^,用样本标准差s 作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附:若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2), 则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.0.997 416≈0.959 2,√0.008≈0.09.解析 本题考查正态分布、二项分布的概念和性质、概率的计算以及数学期望的求法,考查学生逻辑推理能力、数据处理能力、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8. X 的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x =9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为 115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09.教师专用题组考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2014课标Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 答案 A考点二正态分布2.(2014课标Ⅰ,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:√150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z< μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z< μ+2σ)=0.954 4.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知X~B(100,0.682 6),所以EX=100×0.682 6=68.26.思路分析(1)根据直方图求得样本平均数x和样本方差s2;(2)(i)由(1)知Z~N(200,150),从而得出概率.(ii)依题意知X~B(100,0.682 6),从而求得EX.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2020届福建南安侨光中学第一次阶段考,3)已知随机变量ξ~B(3,12),则E(ξ)=()A.3B.2C.32D.12答案 C2.(2019安徽安庆二模,7)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)=( )A.14B.34C.29D.59答案 C3.(2018广东茂名一模,6)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587 答案 D4.(2019福建宁德二模,6)某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A.150 B.200 C.300 D.400 答案 C5.(2020届山西大学附中第二次诊断,9)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1),发球次数为X,若X 的数学期望E(X)>1.75,则p 的取值范围为( )A.(0,12) B.(0,712) C.(12,1) D.(712,1)答案 A6.(2020届广东深圳七中第二次月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 B7.(2020届广东广州执信中学10月月考,5)社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和23,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )A.35B.215C.1315D.815答案 C二、多项选择题(每题5分,共10分)8.(改编题)下列对各事件发生的概率判断正确的是( )A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为25C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为12 D.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率是29 答案 AC9.(改编题)已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0<Y<2)=p,则( ) A.p=0.4 B.p=1.6C.P(Y>4)=0.1D.P(Y>4)=0.3 答案 AC三、填空题(每题5分,共15分)10.(2020届湖北十堰二中月考,13)已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.88,则P(0<X<4)= . 答案 0.7611.(2019上海金山二模,9)若生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02,每道工序生产废品相互独立,则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 .(结果用小数表示) 答案 0.970 212.(2020届广东珠海9月摸底测试,15)研究珠海市农科奇观的某种作物,其单株生长果实个数x 服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.1,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X 服从二项分布,则X 的方差为 . 答案 2.4四、解答题(共35分)13.(2020届广东湛江9月调研考试,18)某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛,学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练.每队四名运动员,并统计了以往多次比赛成绩,按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗,每场对抗赛都互不影响,当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次.按以往多次比赛统计的结果,甲、乙两队同名次进行对抗时,甲队队员获胜的概率分别为12,23,13,12.(1)进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果?(2)计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分,失败一方所在的队得0分.设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X,求X 的分布列及数学期望.解析 (1)因为甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生,所以进行一个轮次对抗赛后一共有24=16种对抗结果. (2)X 的可能取值分别为4,3,2,1,0, P(X=4)=12×23×13×12=236=118;P(X=3)=12×23×13×12+12×13×13×12+12×23×23×12+12×23×13×12=936=14;P(X=2)=12×13×13×12+12×13×23×12+12×23×23×12+12×23×23×12+12×23×13×12+12×13×13×12=1436=718; P(X=1)=12×13×23×12+12×23×23×12+12×13×13×12+12×13×23×12=936=14; P(X=0)=12×13×23×12=236=118. 所以X 的分布列为X 4 3 2 1 0 P11814718 14 118E(X)=4×118+3×14+2×718+1×14+0×118=2.14.(2019江西红色七校第二次联考,19)当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区2018年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如图所示的频率分布直方图,且规定计分规则如下表.每分钟跳绳个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185,+∞)得分 17 18 19 20(1)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率;(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布N(μ,σ2),用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差s 2≈169(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时增加10个,现利用所得正态分布模型:①预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)②若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.附:若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4.解析 (1)两人得分之和不大于35分,即两人得分均为17分或两人中1人得17分,1人得18分, 所以所求概率P=C 62+C 61C 121C 1002=291 650.(2)X=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08=185(个),用样本方差s 2≈169估计σ=13,所以正式测试时,μ=195,σ=13, 设正式测试时,学生每分钟跳绳个数为Y,则Y 服从正态分布N(195,132). ①P(Y>182)=P(Y>195-13)=1-1-0.682 62=0.841 3,0.841 3×2 000=1 682.6≈1 683(人).∴预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数为1 683.②由Y 服从正态分布N(195,132)知,全年级所有学生中任意选取1人,每分钟跳195个以上的概率为0.5,易得ξ~B(3,0.5),∴P(ξ=0)=C 30(1-0.5)3=0.125,P(ξ=1)=C 310.5×(1-0.5)2=0.375,P(ξ=2)=C 320.52×(1-0.5)=0.375,P(ξ=3)=C 330.53=0.125, ∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P0.125 0.375 0.375 0.125E(ξ)=3×0.5=1.5.15.(2019北京朝阳二模,16)某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分,场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如下表:专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7场外有数万名观众参与评分,将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组,绘成频率分布直方图如图.(1)求a 的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9分的概率;(2)从5名专家中随机选取3人,X 表示评分不小于9分的人数;从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率,Y 表示评分不小于9分的人数;试求E(X)与E(Y)的值; (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分:方案一:用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分; 方案二:分别计算专家评分的平均数x 1和观众评分的平均数x 2,用x 1+x 22作为该选手的最终得分.请直接写出x 与x 1+x 22的大小关系.解析 (1)由题图知a=1-0.2-0.5=0.3,某场外观众评分不小于9分的概率是12. (2)X 的可能取值为2,3.P(X=2)=C 42C 11C 53=35;P(X=3)=C 43C 53=25.所以X 的分布列为X 23 P35 25所以E(X)=2×35+3×25=125.由题意可知,Y~B (3,12),所以E(Y)=np=32.(3)x <x 1+x 22.。

2021届高考数学（理）考点复习二项分布与正态分布1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)P(A)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A).(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 概念方法微思考1．条件概率中P (B |A )与P (A |B )是一回事吗？提示 不一样，P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率．2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．1．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X 及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.0080.09≈．【解析】（1）由题可知尺寸落在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则落在(3,3)μσμσ-+之外的概率为10.99740.0026-=，因为001616(0)(10.9974)0.99740.9592P X C ==⨯-⨯≈， 所以(1)1(0)0.0408P X P X =-==， 又因为~(16,0.0026)X B ， 所以()160.00260.0416E X =⨯=；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由9.97x =，0.212s ≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ0.0080.09．1．（2020•青羊区校级模拟）设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，若5(1)9P X =，则()(D Y = )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，5(1)9P X =， 0224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=⨯⨯-=，4()9()949D Y D X ∴==⨯=． 故选A ．2．（2020•奎文区校级模拟）设随机变量X 服从1(6,)2B ，则(3)P X =的值是( )A ．316B ．516 C ．38D ．58【答案】B【解析】随机变量X 服从1(6,)2，3336611205(3)()()22216P X C ∴====故选B ．3．（2019•道里区校级三模）已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()2E X =，4()3D X =，则(p = ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】C【解析】由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又()2E X =，4()3D X =， 所以24(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13p =，故选C ．4．（2019•道里区校级一模）设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9P ξ=，则(2)P η的值为( ) A ．3281B ．1127C ．6581D ．1681【答案】B【解析】随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9P ξ=， 002251(1)9C p p ∴--=，13P ∴=，1~(4,)3B η∴，22233144044412121211(2)()()()()()()33333327P C C C η∴=⨯+⨯+=， 故选B ．5．（2020•江西模拟）已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则(25)(P ξ<= )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7【答案】B【解析】根据题意，正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则5μ=，即这组数据对应的正态曲线的对称轴5x =，则(5)0.5P ξ<=， 又由(2)0.15P ξ<=，得(25)0.50.150.35P ξ<=-=． 故选B ．6．（2020•红岗区校级模拟）在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附2:~(,)x N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=．)A ．906B ．1359C ．2718D ．3413【答案】B 【解析】~(2,4)X N -∴ 阴影部分的面积(02)S P X =1[(62)(10)]2P x P x =--- 1(0.95450.6827)0.13592=-=， 则在正方形中随机投一点， 该点落在阴影内的概率为0.13594P =， ∴ 落入阴影部分的点的个数的估计值为0.13594000013594⨯≈． 故选B ．7．（2020•辽宁三模）已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(02)0.3P X =，则(4)(P X >=) A ．0.6 B ．0.2C ．0.4D ．0.35【答案】B【解析】由随机变量X 服从正态分布2(2,)N o ，所以正态曲线的对称轴是2x =， 又(02)0.3P X =，所以(4)(0)0.50.30.2P X P X >=<=-=． 故选B ．8．（2020•运城模拟）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6，则ξ在(2,)+∞内取值的概率为( ) A ．0.8 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2【答案】D【解析】2~(1,)N ξσ，(2)(0)P P ξξ∴>=<， 又(02)0.6P ξ<<=，∴10.6(2)0.22P ξ->==． 故选D ．9．（2020•益阳模拟）若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<+=，设2~(1,)N ξσ，且(3)0.15865P ξ=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上恰有两个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围为( ) A ．(26-，13)(13-⋃，26) B ．(26,26)-C ．(39-，13)(13-⋃，39)D ．(39,39)-【答案】C【解析】由题意知：1(3)(1)[1(13)]2P P P ξξξ=-=--<<，(13)0.6827P ξ∴-<<=，11σ∴-=-，13σ+=．2σ∴=．故圆的方程为224x y +=，圆心为(0,0)，半径为2．如图，1L ，2L 表示与1250x y c -+=平行的直线，OA ，OB ，OC 共线且垂直于1L ，2L ． 当1BC AC ==时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1．当直线介于1L ，2L 之间时，符合题意． 故221312(5)<<+-，13||39c ∴<<，3913c ∴-<<-或1339c <<．故选C ．10．（2020•安阳二模）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标~(15,0.0025)N ξ，单位为g ，该厂每天生产的质量在(14.9,15.05)g g 的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为()参考数据：若2~(,)N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=，(33)0.9973P μσξμσ-<<+=．A ．158 700B ．22 750C ．2 700D ．1 350【答案】D【解析】由题意知，~(15,0.0025)N ξ，即15μ=，20.0025σ=，即0.05σ=； 所以0.68270.9545(14.915.05)(2)0.81862P P ξμσξμσ+<<=-<<+==，所以该厂每天生产的口罩总量为8186000.81861000000÷=（件)， 又10.9973(15.15)(3)2P P ξξμσ->=>+=， 所以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为10.9973100000013502-⨯=（件)． 故选D ．11．（2020•重庆模拟）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6826P X μσ-≈，(||2)0.9544P X μσ-≈，(||3)0.9974P X μσ-≈．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布(110,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为( ) A ．159 B ．46 C ．23 D ．13【答案】C【解析】由题意，110μ=，10σ=， 故10.9544(130)(2)0.02282P X P X μσ->=>+==． ∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为10000.022822.823⨯=≈．故选C ．12．（2020•福建模拟）已知随机变量(2,1)X N ∽，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为( )附：若随机变量2~(,)N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-+=，(22)0.9544P μσξμσ-+=．A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641【答案】D【解析】由题意1(01)(0.95440.6826)0.13592P X <=⨯-=．在正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为110.13590.864111P ⨯-==⨯．故选D ．13．（2020•重庆模拟）某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为( )A ．200B ．300C ．400D ．600【答案】B【解析】因为综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=． (80)(120)0.2P x P x ∴<=>=，(100)(100)0.5P x P x ==． (100120)(100)(120)0.3P x P x P x ∴=->=．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为10000.3300⨯=． 故选B ．14．（2020•唐山一模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，随机变量Y 服从正态分布(1,1)N ，且(1)0.1587P X >=，则(12)(P Y <<= )A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.6587【答案】B【解析】由已知得(1)0.1587(2)P X P Y >==>， (2)1(2)0.8413P Y P Y ∴<=->=．又(1)(1)0.5P Y P Y ==，(12)(2)(1)0.3413P Y P Y P Y ∴<<=<-=．故选B ．15．（2020•广西模拟）已知随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，(2)0.3P X >=，(0)(P X <= ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8【答案】B【解析】随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，∴正态分布曲线的对称轴为1X =，2μ=，又(2)0.3P X >=，(0)(2)0.3P X P X <=>=， 故选B ．16．（2020•道里区校级一模）某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布(120,9)N ，成绩在(117，126]之外的人数估计有( )（附：若X 服从2(,)N μσ，则()0.682P X μσμσ-<+=，(22)0.9545)P X μσμσ-<+= A ．1814人 B ．3173人 C ．5228人 D ．5907人【答案】A【解析】由数学分数服从正态分布(120,9)N ，得120μ=，3σ=． 则(117126)(117123)(123126)P x P X P X <=<+<1()[(22)()]2P X P X P X μσμσμσμσμσμσ=-<++-<+--<+10.682(0.95450.682)0.818252=+-=．则成绩在(117，126]之内的人数估计有8183，∴成绩在(117，126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选A ．17．（2020•青岛模拟）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布(2000N ，2100)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A ．0.9759B ．0.84C ．0.8185D ．0.4772【答案】C【解析】ξ服从正态分布(2000N ，2100)， 2000μ∴=，100σ=，则1(19002200)()[(22)()]2P P P P ξμσξμσμσξμσμσξμσ<<=-<<++-<<+--<<+10.6826(0.95440.6826)0.81852=+-=．故选C ．18．（2020•毕节市模拟）已知2~(1,)X N σ，若(11)P X a -<<=，则(3)(P X >= ) A ．12a - B ．1a - C ．aD ．12a +【答案】A【解析】作出该函数图象，易知关于直线1x =对称，所以(11)(13)P X P X a -<<=<<=， 则121(3)(1))22a P X P X a ->=<-==-即为所求． 故选A ．19．（2019•西宁模拟）设随机变量1~(6,)2X B ，则(3)P X ==__________．【答案】516【解析】随机变量X 服从二项分布1(6,)2B ，3336115(3)()(1)2216P X C ∴==⨯-=．故答案为：516． 20．（2020•呼和浩特模拟）为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36．（Ⅰ）估计该样本校学生体能测试的平均成绩； （Ⅱ）求该样本校40名学生测试成绩的标准差s ；（Ⅲ）假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布2(,)N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？ （注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数； ②若随机变量z服从正态分布，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974)P Z μσμσ-<<+=．【解析】（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16， 则这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==．故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74． （2）由2211()n i i s x x n ==-∑变形得22211()n i i s x nx n ==-∑，设第一组学生的测试成绩分别为1x ，2x ，3x ，⋯，24x ， 第二组学生的测试成绩分别为25x ，26x ，27x ，⋯，40x ， 则第一组的方差为222222112241[()2470]424s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222212224(1670)x x x ++⋯+=⨯+． 第二组的方差为22222225264021[()1680]616s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222225264016(3680)x x x ++⋯+=⨯+． 这40名学生的方差为2222222212242526401[()40]40s x x x x x x x =++⋯++++⋯- 2221[24(1670)16(3680)4074]4840=⨯++⨯+-⨯=， 所以48437s =． 综上，标准差7s =．（3）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=， 故(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=，即(6088)0.9544P X <<=， 所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=．从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人)． 而235%1000<， 故可估计该样本校学生“体能达标”测试合格．21．（2020•潍坊模拟）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：)cm ．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布2(,)N μσ．如果加工的零件内径小于3μσ-或大于3μσ+均为不合格品，其余为合格品．（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L （单位：元）与零件的内径X 有如下关系：5,3,4,3,6,3,5,3.X X L X X μσμσμσμσμσμσ-<-⎧⎪--⎪=⎨-+⎪⎪->+⎩求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0026． 因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为： 100000.002626⨯=；（2）由题意，(3)0.0013P X μσ<-=．1(3)(0.99740.6826)0.15742P X μσμσ-<+=-=；(3)0.99740.15740.8400P X μσμσ-+=-=； (3)0.0013P X μσ>+=．故随机抽取10000个零件的平均利润：为1000010000(50.001340.157460.840050.0013)56566L =-⨯+⨯+⨯-⨯=元．22．（2020•济南模拟）法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如表，经计算25个面包总质量为24468g ． 庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：)g 981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978 989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959 98710061000977966尽管上述数据都落在(950,1050)上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附：①若2~(,)X N μσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知：随机变量2~(,)25Y N σμ；②若2~(,)N ημσ，则()0.6826P μσημσ-<<+=，(22)0.9544P μσημσ-<<+=，(33)0.9974P μσημσ-<<+=；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件． 【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2， 0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．ξ∴的分布列为：ξ0 1 2 P1412141110121424E ξ∴=⨯+⨯+⨯=；（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ． 假设面包师没有撒谎，则~(1000X N ，250)，根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则~(1000Y N ，210)，庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据． 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=． 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<． 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件．∴ “假设面包师没有撒谎”有误．故庞加莱认为面包师撒谎．。

高中数学正态分布测试题及答案高二数学随机变量的数字特征；正态分布人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：2.3 随机变量的数字特征2.4 正态分布二. 教学目的1、能够求出随机变量的分布列，并利用分布列求出随机变量的均值和方差，能解决简单实际问题。

2、掌握正态分布的性质，能够计算有关概率值；了解假设检验的思想。

三. 教学重点、难点利用分布列求出随机变量的均值和方差；正态分布的性质。

四. 知识分析1、离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 … xi … xnP p1 p2 … pi … pn则称为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

①若X为随机变量，Y = aX + b（其中 a , b 为常数），则Y也是随机变量，且有E（aX + b）= aE（X） + b②若 X ～ B （ n , p ），则 E（X） = np③期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。

④E（X）是一个实数，由X的分布列惟一确定．即作为随机变量X是可变的，可取不同值，而E（X）是不变的，它描述X取值的平均状态．⑤ ＋… 直接给出了E（X）的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．2、离散型随机变量的方差设离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 … xi … xnP p1 p2 … pi … pn则[xi－E（X）]2描述了xi （i = 1,2,…,n）相对于均值E （X）的偏离程度．而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值E （X）的偏离程度，我们称D（X）为随机变量X的方差，其算术平均根为随机变量X 的标准差。

记作．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小。

设X 为离散型随机变量，则（1）D（aX + b）＝a2D（X）（2）若X 服从二点分布，则 D（X） = p （1－p）（3）若 X～ B（n，p），则D（X） = np（1－p）3、正态分布我们称，xR（其中是参数，且）为正态变量X的概率密度函数，其图象叫做正态分布密度曲线，简称正态曲线。

概率与统计 专题三： 正态分布一、知识储备1、若随机变量X 的概率分布密度函数为对任意的x R ∈,()0f x >,它的图象在x 轴的上方.可以证明x 轴和曲线之间的区域的面积为 1.我们称()f x 为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X 的概率分布密度函数为()f x ,则称随机变量X 服从正态分布(normal dis-tribution ),记为2(,)XN μσ.特别地,当0,1μσ==时,称随机变量X 服从标准正态分布，即(0,1)X N .由X 的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： （1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交。

（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称. （3）曲线在x μ=处达到峰值(最高点)（4）当||X 无限增大时，曲线无限接近x 轴. （5）X 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 . 2、正态分布的3σ原则22()2(),,x f x x R μσ--=∈()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈ (33)0.9973P X μσμσ-≤≤+≈二、例题讲解1．（2022·湖南高三其他模拟）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用样本平均数近似代替，2σ可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．2．（2022·全国高三其他模拟）中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数X 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数X ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()47.279.9P X <<；（ii ）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=10.9≈，60.95440.76≈，50.97720.89≈，60.97720.87≈.三、实战练习1．（2022·全国高三专题练习（理））在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分z 服从正态分布(,210)N μ，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求(3679.5)P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: (ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； (ⅰ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:现有市民甲要参加此次问卷调查，记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望.14.5，若2~(,)X N μσ， 则①()0.6827P X μσμσ-<≤≤=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③3309().973P X μσμσ-<≤+=.2．（2022·沙坪坝·重庆八中高三月考）消费扶贫是社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增收脱贫的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径.某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况，该地民政部门从本地的贫困户中随机抽取2000户时2021年的收入进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（1）将调查的2000户贫困户按照收入从低到高依次编号为1，2，3，……，2000，从这些贫困户中用系统抽样方法等距抽取50户贫困户进行深度帮扶，已知8号被抽到；（i ）收入在[)12,14和[]16,18的贫困户卬被抽到进行深度帮扶的户数分别为多少？（ii ）收入在[)12,14和[]16,18的贫困户中被抽到进行深度帮扶的凡中随机选取2户，记选取的2户中来自[)12,14的户数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为该地贫困户的收入X 近似服从正态分布()211,2.6N .现从该地的所有贫困户中随机抽取10户，记收入在(]8.4,16.2之外的户数为Y ，求()2P Y ≥(精确到0.001).参考数据1：当()2~,t N μσ时，()0.6827P t μσμσ-<≤+=，()220.9545P t μσμσ-<≤+=，()330.9973P t μσμσ-<≤+=.参考数据2：100.81860.135≈，90.81860.165≈.3．（2022·湖北高三开学考试）从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.（1）求m ，n ，a 的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，其中已计算得252.6σ=.如果产品的质量指标值位于区间()10.50,39.50，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间()10.50,39.50之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X 为抽取的20件产品所获得的总利润，求()E X .7.25，()0.6826P x μσμσ-<<+=，()220.9544P x μσμσ-<<+=.4．（2022·四川高三其他模拟（理））在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198Z N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求()74.588.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．14≈．若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤.5．（2022·辽宁）《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人オ为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列．质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（1）写出频率分布直方图（甲）中a 的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为2212,S S ，试比较2212,S S 的大小（只需给出答案）；（2）若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标进行判断，是否有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异？22()().()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++)20k（3）由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ．其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差22S ，设X 表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的架数，求X 的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得211.9S ；②若()2,Z N μσ~，则(P Z μσ-<<0.6826,(22)0.9544P Z μσμσμσ+=-<<+=．6．（2022·山西高三三模（理））2022年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2022年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2022年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，经计算2192.44s =.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？13.9≈，()0.6827P X μσμσ-<+=，()220.9545P X μσμσ-<+=，()330.9974P X μσμσ-<+=.7．（2022·全国高三其他模拟）从2021年开始，部分高校实行强基计划，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，越来越多的学生通过参加数学竞赛来证明自己的数学实力.某省举行的数学联赛初赛有10000名学生参加，成绩数据服从正态分布N （80，100），现随机抽取了某市50名参赛学生的初赛成绩进行分析，发现他们的成绩全部位于区间[50，110]内.将成绩分成6组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如图所示的频率分布直方图，该50名学生成绩的平均分是77分.（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，则分数线应定为多少？（ii）若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书，现从本市这50名同学里面能成功进入决赛的同学中任意抽取3人，记这3人中得到初赛一等奖的数为X，求X的分布列和数学期望.附：若X~N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.8．（2022·河南郑州·（理））已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）N．服从正态分布(280,25)（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为14．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y 的分布列与数学期望．参考数据：若~(,2)Z N μσ，则()0.6827P p Z σμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈．9．（2022·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升．下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：（1）根据上表数据可知，y 与t 之间存在线性相关关系，用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程； （2）据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X 服从正态分布(,16)N μ，其中μ为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分．（i ）若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金．一等奖学金分数线应该设定为多少分？请说明理由．（ii ）若A 同学2022年高考考了562分，他很想报考这所大学的数学专业，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给该同学一个合理的建议．（第一志愿录取可能性低于60%，则建议谨慎报考）参考公式：()()()1122211ˆnnii i i i i nniii i tty y t y ntybtttnt ====---==--∑∑∑∑，x ˆˆay bt =-． 参考数据：()0.683P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.954P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.997P X μσμσ-<≤+≈10．（2022·合肥一六八中学高三其他模拟（理））2021年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg ，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg ）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg ．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg ）的平方和为117．（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数z 和方差2s ； （2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X 服从正态分布()2,N μδ，用z 作为μ的估计值，用2s作为2δ的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在[]1.21,3.21的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼的质量在[]1,21,3.21的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望．附：（1）数据1t ，2t ，…n t 的方差()22221111nn i i i i s t tt nt n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑， （2）若随机变量X 服从正态分布()2,N μδ，则()0.6827P X μδμδ-≤≤+=；()22P X μδμδ-≤≤+0.9545=；()330.9973P X μδμδ-≤≤+=．13．（2022·湖南师大附中高三其他模拟）某工厂引进新的生产设备M ，为对其进行评估，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值.（1）为评估设备M 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y 和原料中的该材料含量x 之间的相关关系，现取了8对观测值，求y 与x 的线性回归方程. 附：①对于一组数据()()()()112233,,,,,,,,n n x y x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-=-∑∑，ˆˆˆay bx =-；②参考数据：8152i i x ==∑，81228i i y ==∑，821478i i x ==∑，811849i ii x y==∑.（2）为评判设备M 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)；①()0.6826P X μσμσ-<+；②(22)0,9544P X μσμσ-<+； ③(33)0.9974P X μσμσ-<+.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（3）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y 的数学期望E (Y ).。

考点38 正态分布与条件概率【思维导图】【常见考法】考点一 条件概率1．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38B ．1340C ．1345D ．342．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率(A |B)P 的值为（ ）A ．6091B ．12C ．518D ．912163．已知某同学在高二期末考试中，A 和B 两道选择题同时答对的概率为23，在A 题答对的情况下，B 题也答对的概率为89，则A 题答对的概率为( ) A ．14B ．3 4C ．1 2D ．794．已知随机事件,A B ，且()12P A =，()13P B =，()12P B A =，则()P A B =______.考点二 正态分布1．已知2~(4,)X N σ，且(2)P X p ≤=，则(6)P X ≤=（ ）A ．pB ．12p -C ．12p -D ．1p -2．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(4)0.8P X ≤=，则(24)P X <<=（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.23．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z落在(38.45,50.4)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望及方差．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈；②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<+=．4．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），按数据分成[]1.21.3，，(]1.3,1.4，(]1.4,1.5，(]1.5,1.6，(]1.6,1.7，(]1.7,1.8这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m ，n ，t 的值；（2）若从这批零件中随机选取3个，记X 为抽取的零件长度在(]1.4,1.6的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足()0.68260.05P S μσμσ-<≤+-≤且()220.95440.05P S μσμσ-<≤+-≤，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布.如果这批零件的长度Y （单位：分米）满足近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？5．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：[)1,3、[)3,5、[)5,7、[)7,9、[]9,11，统计结果如下表所示：（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润Z （单位：万元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差222.1s ≈.若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润Z 在区间()1.9,8.2内的户数.（每区间数据用该区间的中间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为12.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元.求参与调查的某农户所获奖金X 的数学期望. 参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈.6．2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布(280,25)N ．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入i x （千元）与年收益增量i y （千元）．(1,2,3,,8)i =⋅⋅⋅的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y a =+46.6,x =563,y = 6.8,t =()821289.8,ii x x =-=∑()8211.6ii tt=-=∑，()()811469,i i i x x y y =--=∑()()81108.8i i i t ty y =--=∑，其中i t =8118i i t t ==∑．根据所给的统计量，求y 关于x 的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量~(1,4)Z N ，则(57)0.9974,P Z -<<=100.99870.9871≈;对于一组数据()11,,u v ()22,,u v ,⋅⋅⋅(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆ,niii nii u u v v u u β==--=-∑∑ˆˆv u αβ=-． 如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

高考数学总复习经典测试题解析版12.7正态分布(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考数学总复习经典测试题解析版12.7正态分布(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高考数学总复习经典测试题解析版12.7正态分布(word版可编辑修改)的全部内容。

12。

7 正态分布一、选择题1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1），且P （2≤X ≤4）＝0。

6826，则P （X >4）＝（ )A ．0。

1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0。

1585 解析 通过正态分布对称性及已知条件得 P （X ＞4)＝错误!＝错误!＝0。

1587，故选B . 答案 B2。

设随机变量ξ服从正态分布 ),1(2σN ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为（ )A 。

41 B 。

31 C.21 D.32 解析 函数2()2f x x x ξ=++不存在零点，则440,1,ξξ∆=-<> 因为2~(1,)N ξσ，所以1,μ=()11.2P ξ>= 答案 C3．以Φ（x ）表示标准正态总体在区间（－∞，x ）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则概率P (｜ξ－μ|＜σ)等于（ ）． A ．Φ(μ＋σ)－Φ（μ－σ) B ．Φ（1）－Φ（－1） C ．Φ错误! D ．2Φ(μ＋σ) 解析 由题意得，P (｜ξ－μ|＜σ）＝P 错误!＝Φ（1)－Φ（－1)． 答案 B4．已知随机变量X ~N （3,22)，若X ＝2η＋3，则D （η)等于( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析 由X ＝2η＋3，得D （X )＝4D (η）,而D （X )＝σ2＝4，∴D (η）＝1. 答案 B5．标准正态总体在区间（－3，3)内取值的概率为( ）．A ．0。