高二空间几何练习进步题

空间向量与立体几何练习题（带答案）5 c一、选择题1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不同的方向B．有不相等的模c．不可能是平行向量 D．不可能都是零向量【解析】若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．【答案】 D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABcD－A1B1c1D1，在下列选项中，cD→的相反向量是( )ABA→B．A1c1→cA1B1→ D．AA1→【解析】由相反向量的定义可知，A1B1→是cD→的相反向量．【答案】 c图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，Ac→〉相等的是( )A．〈AB→，Bc→〉B．〈Bc→，cA→〉c．〈c1B1→，Ac→〉D．〈Bc→，B1A1→〉【解析】∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，Bc→〉＝〈AB→，Ac→〉＝〈Bc→，B1A1→〉＝60°，故选D．【答案】 D4．在正三棱锥A BcD中，E、F分别为棱AB，cD的中点，设〈EF→，Ac→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等于( )Aπ6 B．π4cπ3 D．π2【解析】如图，取Bc的中点G，连接EG、FG，则EG∥Ac，FG∥BD，故∠FEG＝α，∠EFG＝β∵A－BcD是正三棱锥，∴Ac⊥BD．∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2∴α＋β＝∠FEG＋∠EFG＝π2【答案】 D5．如图2－1－9所示，正方体ABcD－A1B1c1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有( )图2－1－9A．8个 B．7个c．6个 D．5个【解析】与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，B1A1→，c1D1→，D1c1→，cD→，Dc→，共8个，故选A【答案】 A二、填空题6．在正方体ABcD－A1B1c1D1中，若E为A1c1的中点，则向量cE→和BD→的夹角为________．【解析】∵BD→为平面Acc1A1的法向量，而cE在平面Acc1A1中，∴BD→⊥cE→∴〈BD→，cE→〉＝90°【答案】90°7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④8．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知在集合P中模为3的向量的个数为8【答案】 8三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABcD－A1B1c1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，cc1→，c1c→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，Bc1→，c1B→，B1c→，cB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，Dc→及D1c1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABcD中，为底面中心，求平面SBD的法向量与AD→的夹角．【解】∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥Ac，S⊥Ac又∵BD∩S＝∴Ac⊥平面SBD．∴Ac→为平面SBD的一个法向量．∴〈Ac→，AD→〉＝45°图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P—ABcD中，PD⊥平面ABcD，底面ABcD为正方形且PD＝AD，E、F分别是Pc、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBc的一个法向量．【解】 (1)取AD的中点，连接F，连接EF，∵E、F分别是Pc、PB的中点，∴EF綊12Bc，又Bc綊AD，∴EF 綊12AD，则由EF綊D知四边形DEF是平行四边形，∴F∥DE，∴F→就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABcD，∴PD⊥Bc，又Bc⊥cD，∴Bc⊥平面PcD，平面PcD，∴DE⊥Bc，又PD＝cD，E为Pc中点，∴DE⊥Pc，从而DE⊥平面PBc，∴DE→是平面PBc的一个法向量，由(1)可知F→＝ED→，∴F→就是平面PBc的一个法向量5 c。

专题二十二立体几何（一）——空间几何体（一）知识梳理：1、空间几何体分多面体和旋转体两大类（详见必修二322222O A B C''''1cm），则该几何体的体积为易错笔记：例6（b 级）、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

则该集合体的俯视图可以是（ ） 易错笔记： （三）练习巩固： 一、选择题1、半径为2的球的体积等于 （ ） A 83π B 163π C 323π D16π2、已知棱台的上、下底面的面积之比是1:4，则这个棱台的高和截得这个棱台的原棱锥的高 之比是 （ ）A4:5 B3:4 C2:3 D1:23、如图，直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60︒，F 是A 1D 1的中点，则BF= （ ） A 6 B 23 C 14 D4 4、正四棱台的上、下底面边长分别是2，5，高是3，则棱台的体积是 （ ）A17 B39 C117 D1295、正三棱柱的底面边长是2，高为3，则体积是 （ ）A 3B 332C 33D 636、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ） （ ）（A ）48122+ （B ）48242+（C ）36122+ （D ）36242+二、填空题7、已知长方体的长、宽、高分别是2、3、4，那么它的一条对角线长为________8、圆台的上、下底面半径分别为3，5 ，侧面积为32π，则这个圆台的母线长为 、高为__________ D 1 C 1F A 1 B 1D CA B9、将圆心角为1200，面积为3 的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为________________10、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_______三、解答题11、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH图5、图6分别是该标识墩的正视图和俯视图（1）请画出该安全标识墩的侧视图;（2）求该安全标识墩的体积。

.空间向量练习题1. 如下图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠ BCD ＝60°， E 是 CD的中点， PA ⊥底面 ABCD ，PA ＝2.〔Ⅰ〕证明：平面 PBE ⊥平面 PAB;〔Ⅱ〕求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角〔锐角〕的大小 .如下图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 .那么相关各点的坐标分别是 A 〔 0， 0， 0〕， B 〔 1， 0， 0〕，C(3 ,3,0), D(1 ,3,0), P 〔 0，0， 2〕 , E(1, 3,0).2 22 22〔Ⅰ〕证明因为 BE (0,3,0) ，2平面 PAB 的一个法向量是 n(0,1,0) ，所以 BE 和n 共线 .从而 BE ⊥平面 PAB.又因为 BE平面 PBE ，故平面 PBE ⊥平面 PAB.(Ⅱ)解易知 PB(1,0, 2), BE(0,3，0〕， PA (0,0, 2), AD( 1 ,3,0)22 2n ( x 1 , y 1 , z 1 ) n 1 PB 0,设是平面PBE 的一个法向量，那么由得1n 1 BE 0x 1 0 y 1 2z 1 0,0 x 13y 2 0 z 2 0.所以y 1 0, x 12z 1.故可取 n 1 (2,0,1).2设 n 2( x 2 , y 2 , z 2 )PAD 的 n 2 PA 0, 是 平 面 一个法向量，那么由AD得n 2 00 x 2 0 y 2 2z 2 0,1 3 所以 z2 0, x 23 y 2 .故可取 n 2 ( 3, 1,0).2 x 22 y 2 0 z 20.于是， cosn 1, n 2n 1 n 22 3 15 .n 1 n 2 5 25故平面和平面所成二面角〔锐角〕的大小是15PADPBEarccos..2. 如图，正三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2， D 为 CC 1 中点。

立体几何练习题1 -在直四棱住ABCD A i B i C i D i中，AA,2 ,底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点•( I )求证：平面AD1E //平面BGF ; ( n )求证:D1E 面AEC .2•如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2, E为AB的中点.(1)求证：AC 平面BDD1(2)求点B到平面A1EC的距离•3.如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1 中，AA 平面ABC, ACB 90°, AB 2 BC 1 AA '3 .(I)求三棱锥A1 AB1C1的体积；(n)若D是棱CG的中点，棱AB的中点为E ,证明：DE //平面AB1C1C1B1CC14.如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF 中，设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于 0，若BF 丄平面AEC ，AB AE .(1)求证：A0丄平面FEBC ; (2)求三棱锥B DEF 的体积•5.如图，在体积为1的三棱柱ABC ABQ ,中，侧棱AA , 底面ABC , AC AB , AC AA , 1 , E 为线段AB 上的动点•(I) 求证：C A i CE ;7.如图，在底面 为平行四 边形的 四棱锥 P ABCD 中，AB AC ,PA 面ABCD ，点E 是PD 的中点。

(I)求证：AC PB (n)求证：PB//平面 AEC如图，在四棱锥 P ABCD 中，ABCD 是矩形，PA 平面ABCD , PA AD点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。

(1) 求三棱锥E PAB 体积；(2) 当点E 为CD 的中点时，试判断 EF 与 平面PAC 的关系，并说明理由； (3)求证：PE AF1(2)线段AB 上是否存在一点 E ，使四面体E-AB 1C 的体积为1?若存在, 6存在，请说明理由.6.已知三棱柱 ABC-ABG 的直观图和三视图如图所示，其主视图 其中(1) (2) (3) BBAAAA=4。

阶段质量检测（一） 空间几何体(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D.3个解析：选C 本题考查四棱柱的结构特征，画出示意图即可．2.用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A ′B ′C ′.已知点O ′是斜边B ′C ′ 的中点，且A ′O ′＝1，则△ABC 的边BC 上的高为( )A ．1B ．2 C. 2D.2 2解析：选D ∵△ABC 的直观图是等腰直角三角形A ′B ′C ′，∠B ′A ′C ′＝90°，A ′O ′＝1，∴A ′C ′＝ 2.根据直观图平行于y 轴的长度变为原来的一半，∴△ABC 的高为AC ＝2A ′C ′＝2 2.故选D.3.如图，已知平面A 1B 1C 1与平面ABC 平行，则能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1解析：选C 根据棱台是由棱锥截成的进行判断．选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不正确；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不正确；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC ，故C 正确；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD.b ，d解析：选A 正视图和侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线．故选A.5．已知某个几何体的三视图如图(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是( )A ．(368π＋65)cm 2B ．(368＋56π)cm 2C ．(386＋56π)cm 2D.(386＋65π)cm 2解析：选B 从该几何体的三视图可知，这个几何体是由两部分构成的，下部分是长方体，上部分是半个圆柱．且长方体的三边长分别为8 cm,10 cm,8 cm ，半个圆柱的底面半径为4 cm ，高为10 cm.所以其表面积为(368＋56π) cm 2.6．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180°D.240°解析：选C 设圆锥的底面半径为R ，母线长为L .由题意，πR 2＋πRL ＝3πR 2，∴L ＝2R ，圆锥的底面圆周长l ＝2πR .展开成扇形后，设扇形圆心角为n ，则扇形的弧长l ＝n πL 180°＝n π×2R 180°，∴2πR ＝2n πR180°，∴n ＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.7．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38 mm ，“大球”的直径为40 mm ，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为( )A.19∶20 B ．19∶20 C ．192∶202D.193∶203解析：选C 因为S 小球＝4π·192，S 大球＝4π·202，所以S 小球∶S 大球＝(4π·192)∶(4π·202)＝192∶202.8．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.12B.14 C ．1D.39129解析：选D 设上，下底半径分别为r 1，r 2，过高中点的圆面半径为r 0，由题意得r 2＝4r 1，r 0＝52r 1，所以V 上V下＝r 21＋r 1r 0＋r 20r 22＋r 2r 0＋r 20＝39129. 9．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D.1∶6解析：选D 设正方体的棱长为a ，则棱锥的体积V 1＝13×12×a ×a ×a ＝a 36，又正方体的体积V 2＝a 3，所以V 1∶V 2＝1∶6.10．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A ．3034B ．6034C ．3034＋135 D.135解析：选A 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为 ⎝⎛⎭⎫922＋⎝⎛⎭⎫1522＝3234，则这个直棱柱的侧面积为4×3234×5＝3034. 11.已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )A.7π4 B ．2π C.9π4D.3π解析：选C 由题意知，正三角形ABC 的外接圆半径为22－12＝3，则AB ＝3，过点E 的截面面积最小时，截面是以AB 为直径的圆，截面面积S ＝π×⎝⎛⎭⎫322＝9π4.12．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26πD.6π解析：选D 设PA ＝PB ＝PC ＝2a ，则EF ＝a ， 又FC ＝3，∴EC 2＝3－a 2.在△PEC 中，cos ∠PEC ＝a 2＋3－a 2－(2a )22a 3－a 2.在△AEC 中，cos ∠AEC ＝a 2＋3－a 2－42a 3－a 2.∵∠PEC 与∠AEC 互补， ∴3－4a 2＝1，解得a ＝22， 故PA ＝PB ＝PC ＝ 2.又∵AB ＝BC ＝AC ＝2，∴PA ⊥PB ⊥PC ， ∴外接球的直径2R ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝6， ∴R ＝62，∴V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫623＝6π.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．底面直径和高都是4 cm 的圆柱的侧面积为________cm 2.解析：圆柱的底面半径为r ＝12×4＝2(cm)，∴S 侧＝2π×2×4＝16π(cm 2)．答案：16π14.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为3，圆心角为90°，若扇形AOB 绕直线OB 旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为________．解析：扇形AOB 绕直线OB 旋转一周，阴影部分旋转后所得几何体的体积为半个球的体积减去一个圆锥的体积．因为球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为3.所以所求体积为12×43×π×33－13×π×32×3＝18π－9π＝9π.答案：9π15．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：先求面数，有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V )＋面数(F )－棱数(E )＝2(欧拉公式)． 由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24， 故由V ＋F －E ＝2，得面数F ＝2＋E －V ＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH ，如图，设其边长为x ，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF ，过H ，G 分别作HM ⊥AF ，GN ⊥AF ，垂足分别为M ，N ，则AM ＝MH ＝NG ＝NF ＝22x .又AM ＋MN ＋NF ＝1，即22x ＋x ＋22x ＝1. 解得x ＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1. 答案：262－116．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 的体积的最大值为92，则球O 的表面积为________．解析：如图所示，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径的端点时，三棱锥O -ABC 的体积最大．设球O 的半径为R ，∴V O -ABC ＝V C -AOB ＝13×12×R 2×R ＝R 36＝92，解得R ＝3，则球O 的表面积S ＝4πR 2＝36π. 答案：36π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5， S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝148π3.18.(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是A 1A ，CC 1的中点，求四棱锥C 1-B 1EDF 的体积．解：连接EF ，B 1D 1.设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2. ∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分 别是A 1A ，CC 1的中点，∴h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a .又S △C 1EF ＝12C 1F ·EF ＝12×a 2×2a ＝24a 2，∴VC 1-B 1EDF ＝VB 1-C 1EF ＋VD -C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝13×24a 2×2a ＝16a 3.19．(本小题满分12分)已知圆柱OO 1的底面半径为2，高为4.(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；(2)若平行于轴OO 1的截面ABCD 将底面圆周截去四分之一，求截面面积； (3)在(2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求V Ⅰ∶V Ⅱ(体积之比)．解：(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形，邻边长分别是4π和4，则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长41＋π2.(2)连接OA ，OB ，∵截面ABCD 将底面圆周截去14，∴∠AOB ＝90°，∵OA ＝OB ＝2，∴AB ＝22， 而截面ABCD 是矩形且AD ＝4， ∴S 截面ABCD ＝22×4＝8 2. (3)依题知V 圆柱＝Sh ＝16π， 三棱柱AOB -DO 1C 的体积是8， 则V Ⅰ＋8＝14V 圆柱＝4π，∴V Ⅰ＝4π－8，而V Ⅱ＝V 圆柱－V Ⅰ＝12π＋8， 于是V Ⅰ∶V Ⅱ＝π－23π＋2.20.(本小题满分12分)如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′-BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′-BC ′D 的体积．解：(1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′-ABD 、C ′-BCD 、D -A ′D ′C ′、 B -A ′B ′C ′是完全一样的，∴V 三棱锥A ′-BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′-ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a＝a 33. 21．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是一个长为8，宽为6的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8、高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图．(1)几何体的体积V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 22．(本小题满分12分)直三棱柱的高为6 cm ，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.因为在△ABC 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，所以△ABC为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5，所以R＝1 cm，所以V圆柱＝πR2·h＝6π (cm3)．而三棱柱的体积为V三棱柱＝13)，2×3×4×6＝36(cm所以削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm3)．。

高二数学空间几何体试题答案及解析1.过正三棱柱底面一边所作的正三棱柱的截面是（）A．三角形B．三角形或梯形C．不是梯形的四边形D．梯形【答案】B【解析】本题考查线线平行的相关知识，该截面与底面一边的对棱相交时，截面是三角形，与另一底面相交时是梯形。

2.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，，若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，设，所成的角为，则．【考点】线面角.3.在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱中，若，点是的中点，所以，所以，设平面的法向量为，因为，所以，所以，所以点到平面的距离是，故选B．【考点】点到平面的距离的求解．【方法点晴】本题主要考查了点到平面的距离问题，其中解答中涉及到空间向量的应用、平面法向量的求解、点、线、面的位置关系的判定等知识点综合考查，解答中要认真审题，合理地运用空间向量法进行合理求解，其中向量法是求解点到平面距离问题的一种常用方法，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．4.有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.【考点】根据三视图求几何体的体积【名师】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】该几何体是四棱锥，，．【考点】三视图，棱锥的体积．6.一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析三视图可知，该几何体为半个圆锥与四棱锥的组合，故其体积，故选A．【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积．7.如图，三棱柱中，，，．（1）证明：；（2）若，，求三棱柱的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取的中点O连接、、，由得，由是等边三角形得，故平面，于是；（2）根据等边三角形性质求出，，由勾股定理逆定理得出，求出，于是三棱柱的体积，故可求得三棱锥的体积.试题解析：(1)取的中点O,连接、、,因为，所以,由于, ,故为等边三角形,所以.因为,所以平面.又平面,故.(2)由题设知：与都是边长为2的等边三角形，∵是边长为2的等边三角形，所以，又，则，故又∵且，所以平面，为棱柱的高，又的面积，故三棱柱的体积，所以三棱锥的体积为1.8.五边形是由一个梯形与一个矩形组成的，如图甲所示，B为AC的中点，．先沿着虚线将五边形折成直二面角，如图乙所示．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）．【解析】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力．第一问，由四边形为矩形，得，再由直二面角，得，再由勾股定理得，利用线面垂直的判定，得，最后利用面面垂直的判定，得平面平面；第二问，把图乙中的多面体拆成两个几何体，一个是锥体，一个是锥体，利用锥体体积公式分别计算，再求和即可．试题解析：（1）证明：四边形为矩形，故，又由于二面角为直二面角，故，故,由线段易知，，即，因此，所以平面；（5分）（2）解：连接CN，过作，垂足为，，又，所以平面平面，且平面，，，∴，此几何体的体积．（12分）【考点】线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积．9.五边形是由一个梯形与一个矩形组成的，如图甲所示，B为AC的中点，．先沿着虚线将五边形折成直二面角，如图乙所示．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）．【解析】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力．第一问，由四边形为矩形，得，再由直二面角，得，再由勾股定理得，利用线面垂直的判定，得，最后利用面面垂直的判定，得平面平面；第二问，把图乙中的多面体拆成两个几何体，一个是锥体，一个是锥体，利用锥体体积公式分别计算，再求和即可．试题解析：（1）证明：四边形为矩形，故，又由于二面角为直二面角，故，故,由线段易知，，即，因此，所以平面；（5分）（2）解：连接CN，过作，垂足为，，又，所以平面平面，且平面，，，∴，此几何体的体积．（12分）【考点】线线垂直、线面垂直、面面垂直、锥体的体积．10.如图，在三棱柱中，平面，为正三角形，，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】（Ⅰ）要证面面垂直，就要证线面垂直，由于其中一个面是正三棱柱的一个侧面，它的垂线在图中易证得有一条是，而是平面内的直线，因此可得面面垂直；（Ⅱ）三棱锥的体积，可选为底面，高为，也可选为底面，高为．由体积公式可得．试题解析：（Ⅰ）证明：因为底面，所以因为底面正三角形，是的中点,所以因为，所以平面因为平面平面,所以平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知中，，所以所以【考点】面面垂直的判断，三棱锥的体积．11.在三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.（1）求证：；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）首先根据直三棱柱可得，再由条件平面易得，从而根据线面垂直的判定可证平面，即有；（2）根据条件中给出的数据可得，因此可得，再由为的中点，因此可将转化为求，从而可得．试题解析：（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵平面，且平面，∴，又∵平面，平面, , ∴平面，又∵平面，∴； 5分（2）在直三棱柱中，，∵平面，其垂足落在直线上，∴，在中，, , ，，在中，， 8分由（1）知平面，平面，从而，，∵为的中点，， 10分∴． 12分【考点】1．线面垂直的性质与判定；2．空间几何体的体积．12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有条对角线且为实线的正方形，故选B.【考点】1、阅读能力及空间想象能力；2、几何体的三视图.13.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()A．B．C．D．【答案】D【解析】几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为，底面为正方形；半圆锥高为，底面为半径为1的半圆，因此体积为，选D.【考点】三视图【名师】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．14.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）【答案】D【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合【考点】简单空间图形的三视图15.若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为__________．【答案】【解析】由侧面积是底面积的倍得：因此高为，圆锥的体积为【考点】圆锥的体积16.如图，棱长为1的正方体中，是侧面对角线，上一点，若是菱形，则其在底面上投影的四边形面积（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在棱长为的正方体中，，设，则，解得，即菱形的边长为，则在底面上的投影四边形是底边为，高为的平行四边形，其面积为，故选B.【考点】平面图形的投影及其作法.17.棱长为2的正方体外接球的表面积为____________【答案】【解析】由题意得，正方体与外接球之间满足正方体的对角线长即为球的直径，所以可得，即，所以球的表面积为.【考点】球的组合体及球的表面积公式.18.棱长为2的正方体外接球的表面积为____________【答案】【解析】由题意得，正方体与外接球之间满足正方体的对角线长即为球的直径，所以可得，即，所以球的表面积为.【考点】球的组合体及球的表面积公式.19.平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题球心到平面的距离为，可得；，则球的表面积为；,，故选B【考点】球的截面性质及表面积．20.如图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，，且，为线段的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】（Ⅰ）要证线线垂直，一般先证线面垂直，注意到底面，考虑证明与平面平行（或其内一条直线平行），由于是中点，因此取中点（实质上是与的交点），可证是平行四边形，结论得证；（Ⅱ）求三棱锥的体积，采用换底，即，由已知可证就是三棱锥的高，从而易得体积．试题解析：（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结，∵为线段的中点，∴且又且∴且∴四边形为平行四边形，∴, 即．又∵平面, 面,∴,∵, ∴,（Ⅱ）∵平面，平面,∴平面平面∵，平面平面，平面，∴平面.三棱锥的体积【考点】线面垂直的判定与性质，三棱锥的体积．。

高考数学空间几何练习题一、选择题1. 已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，求线段AB的中点坐标。

2. 给定平面α：2x-y+3z=0，求平面α的法向量。

3. 若直线l与平面α垂直，且直线l的方程为x-y+z=0，求平面α的方程。

4. 已知四面体ABCD的四个顶点坐标分别为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(1,1,1)，求四面体ABCD的体积。

5. 给定球O的方程为(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1，求球O与平面x+y+z=3的交线方程。

二、填空题6. 已知向量a=(2,-3,1)，向量b=(1,1,-1)，求向量a与向量b的夹角。

7. 给定空间直角坐标系中，点P(2,-1,3)到原点O的距离。

8. 若直线m与直线n相交于点P，且直线m的方程为2x-y+z=0，直线n的方程为x+y-z=0，求点P的坐标。

9. 已知平面α：x+2y-3z+4=0与平面β：2x-y+z-1=0的交线方程。

10. 给定圆柱体的底面半径为1，高为2，求该圆柱体的侧面积。

三、解答题11. 证明：若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的任意直线都平行。

12. 已知点A(1,1,1)，点B(2,2,2)，求过点A且与线段AB平行的直线方程。

13. 给定一个圆锥，其底面半径为2，高为3，求该圆锥的体积。

14. 已知一个长方体，其长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的对角线长度。

15. 给定一个球心在原点，半径为R的球，求该球的表面积。

以上题目涵盖了空间几何中的点、线、面、体的基本问题，包括坐标计算、向量运算、平面与直线的关系、体积与面积的计算等，旨在帮助学生巩固和提高空间几何的解题能力。

（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()答案：C2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的是()A．只有两个面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，侧棱也互相平行4．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：选D从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．5．下列命题中正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：选D A中的平面不一定平行于底面，故A错；B中侧棱不一定交于一点；C中底面不一定是正方形．6.观察如图的四个几何体,其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台解析:结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.答案:B7.纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一条棱将正方体剪开,外面朝上展平得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是()A.南B.北C.西D.下答案:B8.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台解析:剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.答案:B9.棱锥的侧面和底面可以都是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:三棱锥的侧面和底面均是三角形.答案:A10.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()解析:动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.答案:C11.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定形状.答案:A12.用一个平面去截四棱锥,不可能得到()A.棱锥B.棱柱C.棱台D.四面体解析:根据棱椎的特点，侧棱不平行，所以肯定得不到棱柱答案:B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．答案：三 514.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________ cm.答案：1315．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”、“不一定”、“一定不”)解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．答案：(1)不一定(2)不一定16.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.解析:n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.答案:12三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．18．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底． 19.按下列条件分割三棱台ABC-A 1B 1C 1(不需要画图,各写出一种分割方法即可). (1)一个三棱柱和一个多面体; (2)三个三棱锥.20.正三棱台的上、下底面边长及高分别为1,2,2,则它的斜高是多少？ 解析:如图,MF=OF-O'E=. 在Rt △EMF 中,∵EM=2, ∴EF=.所以斜高是21.如图,在棱锥A-BCD中,截面EFG平行于底面,且AE∶AB=1∶3,已知△DBC的周长是18,求△EFG的周长.解:由已知得EF∥BD,FG∥CD,EG∥BC,∴△EFG∽△BDC.∴.又,∴.∴△EFG的周长=18×=6.22.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.。

1.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（）A．4+4根号3 B. 12 C. 4根号3 D. 82.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点，求证：（1）EF∥侧面PAD；（2）平面PAD⊥平面PDC。

3.如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为…()A. B.5 C.6 D.4.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点。

（1）求证：AC//平面B1DE；（2）求三棱锥A-BDE的体积。

5.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；6.如图，在五面体EF-ABCD中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△CDE是等边三角形，棱。

（1）证明FO//平面CDE；（2）设，证明EO⊥平面CDF.7.如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点. 证明EF//平面A1CD。

8.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为______．9.已知正四面体A-BCD中+P为棱AD的中点+则过点P与侧面ABC和底面BCD所在平面都成60的平面有几个？10.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，过长方体的顶点A与长方体12条棱所成的角都相等的平面有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11.在四面体ABCD中，已知DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是（）A. B. C. D.12.[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围为( )A．(0，) B．(0，) C．(1，) D．(1，)13.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=π/2，AB=AC=A1A=1，已知G与E 分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（[1/5, 2））14.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如图所示，则其俯视图为（）A、B、C、D、15.己知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧视图的周长为16.三棱锥s-abc的所有顶点都在球O的球面上，三角形abc为边长为一的正三角形，sc为球o 的直径sc=2，求三棱锥V.17.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6．BC=2，则棱锥O-ABCD的体积为．18.如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。

上海高二立体几何练习题1. 问题描述在三维空间中，有一个直角三角形ABD，其中AB=3 cm，AD=4 cm，角BAD为直角。

又有一条直线DE与平面ABD垂直交于点D，且DE=4 cm。

点E 位于线段AB上，且AE=3 cm。

请你计算以下几个量：a) ∠ADE的度数；b) 点E到平面ABD的距离；c) 点E到线段BD的距离；d) 线段DE在平面ABD上的投影长度。

2. 解题过程a) ∠ADE的度数：根据问题描述，我们可以得知三角形ADE是等腰直角三角形。

根据勾股定理，我们可以计算∠ADE的度数。

由于AE=3 cm，DE=4 cm，我们可以计算出AD的长度为5 cm。

根据正弦定理，我们可以得到：sin(∠ADE) = AE/AD = 3/5解得：∠ADE ≈ arcsin(3/5) ≈ 36.87°b) 点E到平面ABD的距离：我们可以通过点到平面的垂直距离公式来计算点E到平面ABD的距离。

根据向量的知识，我们可以得到法向量n=(3,0,4)，点E的坐标为(3,0,0)。

点E到平面ABD的距离d = |(3,0,0)·(3,0,4)| / |(3,0,4)| = |0| / 5 = 0c) 点E到线段BD的距离：同样利用点到线段的垂直距离公式，我们可以计算点E到线段BD 的距离。

线段BD的方向向量为v = (3,0,-4)，点B的坐标为(0,0,0)，点D的坐标为(0,4,0)，点E的坐标为(3,0,0)。

点E到线段BD的距离d = |(3,0,0)·[(3,0,-4)×(3,4,-4)]| / |(3,4,-4)| = |(-16,0,-12)| / 5 ≈ 5.6569d) 线段DE在平面ABD上的投影长度：首先，根据平面法向量n=(3,0,4)和向量DE=(3,0,-4)，我们可以计算得到向量DE在平面法向量n上的投影方向向量u：u = [(3,0,-4)·(3,0,4)] / |(3,0,4)|² = -16/25 * (3,0,4) ≈ (-0.96,0,-1.28)线段DE在平面ABD上的投影长度为线段DE与投影方向向量u的点积：DE' = |DE|·|u|·cosθ = |DE|·1·cosθ = |DE|·cosθ = 4·cosθ其中，cosθ = (DE·u) / |DE|·|u| = [(3,0,-4)·(-0.96,0,-1.28)] / (4*1)= (-15.36 + 0 + 5.12) / 4 = -2.56 / 4 = -0.64因此，DE' = 4·cosθ ≈ 4·(-0.64) = -2.563. 结论总结根据计算，我们得到：a) ∠ADE的度数≈ 36.87°；b) 点E到平面ABD的距离为0；c) 点E到线段BD的距离约为5.6569；d) 线段DE在平面ABD上的投影长度约为-2.56。

（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()答案：C2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的是()A．只有两个面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，侧棱也互相平行4．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：选D从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．5．下列命题中正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：选D A中的平面不一定平行于底面，故A错；B中侧棱不一定交于一点；C中底面不一定是正方形．6.观察如图的四个几何体,其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台解析:结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.答案:B7.纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一条棱将正方体剪开,外面朝上展平得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是()A.南B.北C.西D.下答案:B8.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台解析:剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.答案:B9.棱锥的侧面和底面可以都是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:三棱锥的侧面和底面均是三角形.答案:A10.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()解析:动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.答案:C11.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定形状.答案:A12.用一个平面去截四棱锥,不可能得到()A.棱锥B.棱柱C.棱台D.四面体解析:根据棱椎的特点，侧棱不平行，所以肯定得不到棱柱答案:B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．答案：三 514.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________ cm.答案：1315．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”、“不一定”、“一定不”)解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．答案：(1)不一定(2)不一定16.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.解析:n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.答案:12三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．18．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底． 19.按下列条件分割三棱台ABC-A 1B 1C 1(不需要画图,各写出一种分割方法即可). (1)一个三棱柱和一个多面体; (2)三个三棱锥.20.正三棱台的上、下底面边长及高分别为1,2,2,则它的斜高是多少？ 解析:如图,MF=OF-O'E=. 在Rt △EMF 中,∵EM=2, ∴EF=.所以斜高是21.如图,在棱锥A-BCD中,截面EFG平行于底面,且AE∶AB=1∶3,已知△DBC的周长是18,求△EFG的周长.解:由已知得EF∥BD,FG∥CD,EG∥BC,∴△EFG∽△BDC.∴.又,∴.∴△EFG的周长=18×=6.22.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.。

一、选择题1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）2、直线:330l x y ++=的倾斜角α为 （ ）A 、30；B 、60；C 、120；D 、150。

3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ）A 、334a ； B 、3312a ； C 、234a ； D 、23a 。

4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是 （ ）A 、在y 轴上的截距是6；B 、在x 轴上的截距是6；C 、在x 轴上的截距是3；D 、在y 轴上的截距是3-。

5、已知,a b αα⊂//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ）A 、平行；B 、相交或异面；C 、异面；D 、平行或异面。

6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则知足条件a 的值为A 、12-； B 、12； C 、2-； D 、2。

7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 别离是,,,AB BC CD DA 的中点。

若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ）A 、238a ； B 、234a ； C 、232a ； D 、23a 。

8、在右图的正方体中，M 、N 别离为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．90°D ． 60°图（1）1 D 1 B 1A 1MDB A9、下列叙述中错误的是 （ ）A 、若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈；B 、三点,,A BC 肯定一个平面；C 、若直线a b A =，则直线a 与b 能够肯定一个平面；D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α⊂。

10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）A 、两条平行直线；B 、一点和一条直线；C 、两条相交直线；D 、两个点。

高二空间角练习题1. 已知ABCD为平行四边形，AB的延长线与AD交于点E，CE交BD于点F。

若∠BAD = 60°，求∠BFC的度数。

解析：首先，连接BF并延长线与CD交于点G。

由于ABCD为平行四边形，所以∠C = ∠D = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°。

由三角形内角和为180°可知，∠BCD = ∠B + ∠C = ∠B + 120°。

同时，根据平行四边形的性质可知∠BCD + ∠BDC = 180°，即∠B + 120° +∠BDC = 180°。

解方程可得∠BDC = 60°。

由三角形内角和为180°可知，∠BFD = 180° - ∠BDC = 180° - 60° = 120°。

同理，∠BGF = 180° - ∠BCD = 180° - (∠B + 120°) = 60°。

根据平行线与截线的性质可知，∠BFC = ∠BFD - ∠BGF = 120° - 60° = 60°。

因此，∠BFC的度数为60°。

2. 已知四面体ABCD中，AB = AC = 10，∠BAC = 60°，∠BAD = 90°，∠BCD = ∠BDC = ∠CAD = 60°。

求四面体ABCD的体积。

解析：首先，连接AD、BD和CD，分别交于点E、F和G。

根据勾股定理可知，由直角三角形ABD可得BD = AB√3 = 10√3。

由于AD为等边三角形，所以AD = AB = 10。

根据等边三角形的高可知，从点A到BD的距离为AD/2 = 5，即AE = 5。

根据四面体的高可知，从点A到BC的距离为AE + ME，其中ME为四面体高的垂直投影，即ME = CD×sin(∠BCD) = 5×sin60° = 5√3/2。

高中数学必修2立体几何练习题一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．27．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．16．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．参考答案一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．答案：A解析：解：设正四棱台的高为h，斜高为x，由题意可得4••（3+6）x=32+62，∴x=．再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得h==2，故选A．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答案：C解析：解析：如图，四棱锥P-A B C D中，过P作P O⊥平面A B C D于O，连接A O则A O是A P在底面A B C D上的射影．∴∠P A O即为所求线面角，∵A O=，P A=1，∴c o s∠P A O==．∴∠P A O=45°，即所求线面角为45°．故选C．3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S答案：A解析：解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：消去r，然后代入一个方程，可得2故选A．4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解：把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，如图所示，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥，当侧面A C D⊥底面A B C时，体积最大值==，正确；②由①可知：当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为∠O B D=45°，正确；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，），因此不正确；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，由①可知：异面直线B C与A D所成角为90°，因此不正确．综上可知：只有①②正确．故选：C．5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm答案：B解析：解：因为底面是一个正方形，一共有四条棱，皮球心距这四棱最小距离是10，∵四条棱距离正方形的中心距离为10，所以皮球的表面与8根铁丝都有接触点时，半径应该是边长的一半∴球的半径是10故选B．6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．2答案：A解析：解：将平面A B A1和平面B C D D1A1放在同一个平面上，如图，则A M+M D1的最小值即为线段A D1，在直角三角形A E D1中，A E=，E D1=，∴A D1==，故选A．7．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．答案：B解析：解：如图所示：A．如图（1）符合条件但却不是棱柱；B．图中P A⊥底面A B C，A B是圆O的直径，点C是圆上的一点，则四个面都是直角三角形，符合题意；C．其侧棱不相较于一点，故不是棱台；D．以直角三角形的斜边A B为轴旋转得到的是两个对底的圆锥．综上可知：只有B正确．故选B．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：平行六面体，如图所示：∵∠B A A1=∠D A A1=60°∴A1在平面A B C D上的射影必落在直线A C上，∴平面A C C1A1⊥平面A B C D，∵A B=1，A D=2，A A1=3，∵=∴||2=（）2=||2+||2+||2+2+2+2=1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23，∴||=，∴A C1等于．故选：B．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]答案：D解析：解：∵正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y m i n=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y m a x=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体答案：C解析：解：若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直，则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，故C满足要求；各个面都是矩形的平行六面体，其底面可能不是正方形，故D不满足要求；故选C二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•答案：解析：解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．答案：64π解析：解：圆柱的侧面展开图是正方形，如图；设圆柱的底面半径为r，高为l，∵圆柱的底面面积是16，∴πr2=16，∴r=；∴l=2πr=2π×=8，∴圆柱的侧面积是l2==64π；故答案为：64π．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．答案：（0，）解析：解：根据条件，四根长为1的直铁棒与两根长为x的直铁棒要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为1的正三角形，三条侧棱长为1，x，x，如图，此时x应满足：∵A D=，S D=，且S D＜S A+A D，∴＜1+，即x2＜2+，∴＜x＜；②构成三棱锥的两条对角线长为x，其他各边长均为1，如图所示，此时应满足0＜x＜；综上，x的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．答案：解析：解：∵一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，∴正方体的面对角线与棱的夹角，∵设正方体的棱长为1，∴A到三角形A B1D1中心的距离为：×=，∴A1点到面A B1D1距离为：=，∴s i nα=∴s i n12α=（）6=，故答案为：15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．答案：解析：解：∵四棱锥的中截面与底面相似，且相似比为1：2，面积比为1：4，∴若正四棱锥的中截面的面积为Q，则底面面积为4Q，∵底面为正方形，面积为边长的平方，∴它的底面边长为2故答案为216．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．答案：解析：解：∵四棱锥有5个面组成，∴n=5，当四棱锥的底面是矩形，一条侧棱与底面垂直时，四棱锥的4个侧面都是直角三角形，∴m=4，∴四棱锥“直度”的最大值为，故答案为：．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．答案：①④⑤解析：解：①若P A⊥B C，P B⊥A C，因为P H⊥底面A B C，所以A H⊥B C，同理B H⊥A C，可得H是△A B C的垂心，正确．②若P A=P B=P C，易得A H=B H=C H，则H是△A B C的外心，不正确．③如果棱P A和B C所成的角为60°，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1或；不正确．④如果三棱锥P-A B C的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于，正确．⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s，正确．故答案为：①④⑤．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．答案：解：设长方体的三度分别为：a，b，c，由题意可知：a b=6，b c=2，a c=3所以，a=3，b=2，c=1，所以长方体的对角线长为：故答案为：．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．答案：36解析：解：如图所示，四面体A B1C D1与四面体A1B C1D的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体，摘出如图，设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则a b c=216，重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和，等于．故答案为：36．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______答案：解：因为在长方体中，底面对角线的平方是底面长和宽的平方和，体对角线的平方等于面对角线的平方加上高的平方；长方体对角线的长：故答案为：三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．答案：解：（1）如图所示，∵P O⊥平面A B C D，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，∴∠P A O=45°，∴P O=O A=，P O1=O1A1=a．分别取A B，A1B1的中点E，E1，连接O E，O1E1．则P E==，P E1==．∴斜高E E1=P E-P E1=．∴棱台的侧面积S侧==；（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，∴=a2+b2，∴E E1=．∴O O1===．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．答案：解：如图，S A⊥平面A B C，∠A B C=90°，则∠S A C=∠S A B=90°，又A B⊥B C，所以B C⊥S B，所以∠S B C=90°，即四个面S A B，S A C，S B C，A B C为直角三角形．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．答案：证明：（1）∵S A⊥S B，S A⊥S C，∴S A⊥平面S B C，B C⊂平面S B C．∴S A⊥B C．而A D是S A在平面A B C上的射影，∴A D⊥B C．同理可证A B⊥C F，A C⊥B E，故O为△A B C的垂心．（2）证明△A B C为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，则底面三角形A B C中，A B=为最大，从而∠A C B为最大角．用余弦定理求得c o s∠A C B=＞0，∴∠A C B为锐角，△A B C为锐角三角形．故O在△A B C内．（3）S B•S C=B C•S D，故S D=，=+，又S A•S D=A D•S O，。