2003年高考数学试题(江苏)及答案-精编解析版

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）（A ）81（B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1）（B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的a (A)(B) (C) (D)（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心（6）函数1ln ,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） （A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tgθ的取值范围是（ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()ny x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑（Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .05.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()C ()B ()(C B A P B A P C A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区 域（不包含边界）为 （ ）A ．B ．C ．D ． 2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[||||(+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xxA ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范 围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ） A ．[a 1,0] B ．]21,0[a C ．|]2|,0[a b D ．|]21|,0[ab - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆.15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 18．（本小题满分12分） 已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.已知n a ,0>为正整数.（Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(；（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

a(A) (B) (C)(D) 2003年江苏高考数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81 B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[||||(+∞∈+=λλAC AC AB AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[aC ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题 ①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 18．（本小题满分12分） 已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.D EKBC 1A 1B 1 A F CG 19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k ka a a121.31)(一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P 因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为 .012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分解：由),()(,)(x f x f x f =-得是偶函数.0cos ,0,sin cos sin cos ),sin()sin(=>=-+=+-ϕωωϕωϕϕωϕω所以得且都成立对任意所以即x xx x x.232,;]2,0[)2sin()(,310,0;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0.,2,1,0),12(32,,3,2,1,243,0,043cos ,43cos )243sin()43(,43cos )243sin()43(,0),43()43(,)(.2,0==+==≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=∴=+==+-=-=≤≤ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππωππωπππππϕπϕ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设x x f k x x f k x x f k k k k k f f x x f x f M x f19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AED A V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ， 则ED S h S AB A AED ⋅=⋅∆∆1 .2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AE A 又 .362.36226221的距离为到平面即AED A h =⨯=∴解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平ABD 所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设CA=2a ， 则A(2a ,0,0),B(0,2a ,0),D(0,0,1).37arccos .372131323/14||||cos ).31,34,32(),2,2,2(.1.03232).1,2,0(),32,3,3().31,32,32(),1,,(),2,0,2(1111121所成角是与平面解得ABD B A BG BA BG A BG BA a a BD GE a BD a a CE a a G a a E a A =⋅=∠∴-=-=∴==+-=⋅∴-==∴（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) .,,0)0,1,1()2,0,0(,0)0,1,1()1,1,1(11AED ED E AA ED ED AA ED AE 平面又平面⊂⊥∴=--⋅=⋅=--⋅-=⋅（Ⅰ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（Ⅱ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121()2,2121(22a a F a a E ---和 （Ⅲ）当,22时>a 方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0())21(21,0(22---+a a F a a E 和为合乎题意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为nk knnCa x 0)(=∑=-k k n x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk k n xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数n n n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>-即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a aa aQ a a aP a a Q ⋅⋅++- ∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a a a a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n a a a a a a a ， ∴.)(121-=n aa a a n （Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-n k n k k nk k k k a a a a a a a 1111121.321)(161)(161)(（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-n k i i i i nk k k k a a a aa aa a a n k k k 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i ia a a a a a a = .31121151<++a a a。

a(A)(B)(C)(D)2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区 域（不包含边界）为（ ）2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[),(+∞∈++=λλOA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xxB ．),0(,11+∞∈-+=x e e y x xC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范 围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[aC ．|]2|,0[abD ．|]21|,0[ab -9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43C ．21D ．8310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ）A ．14322=-yxB ．13422=-yxC ．12522=-yxD ．15222=-yx11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx展开式中x 9的系数是 .14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆.15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G . （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.D E KBC 1A 1B 1FC G已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.已知n a ,0>为正整数.（Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221-14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P 因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P 答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数y ax2bx a的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）b b b bOa O a OaOaA．B．C．D．2．抛物线y ax2的准线方程是y 2，则a的值为（）1 1C．8 D．－8 A．B．－8 83．已知x (,0),cosx 4 ,则tg2x（）2 57 7 24D．－24A．B．－C．724 24 72x1,x0,4．设函数f(x) 1若f(x0) 1,则x0的取值范围是（）x2,x0A．（－1，1）B．(1,)C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足AB AC 的轨迹一定通过ABC的OPOA( ), 0,则,PAB ACA．外心B．内心C．重心D．垂心6．函数yln x1,x(1, )的反函数为（）x 1A．y e x1,x (0, ) B．e x 1C．y e x1,x ( ,0) D．e x 1 y e x1,x (0, )e x 1y e x1,x ( ,0)e x 17．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）a3a3a3a3 A．B．C．D．3 4 6 128．设a 0,f(x) ax2bx c，曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0, ,则P到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为（）4A．0,1B．0,1C．0,b D．0,b1a 2a 2a 2a9．已知方程(x22x m)(x22x n) 0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，4则|mn| （）A．1 B．3C．1D．34 2 810．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y x 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是（）3A．x 2y2B．x2y2C．x2y2x2y21 1 1 1D．3 4 4 3 5 2 2 511．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tg的取值范围是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）3 3 3 5 2 5 3 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3 B．4 C．33 D．62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．(x21)9的展开式中x9系数是2x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不56 1 432同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB AC,BD CD,则BC AD②若AB CD,AC BD,则BC AD③若AB AC,BD CD,则BC AD④若AB CD,AC BD,则BC AD其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）18．（本小题满分12分）已知函数f(x)sin( x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(3,0)对称，且在区间0,上是单调函数求和的值4 219．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90 ，侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求A1B与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点A1到平面AED 的距离C1A1 B1DEGCA B 20．（本小题满分12分）已知常数a 0,向量c (0,a),i(1,0) 经过原点O以c i 为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R 试问：是否存在两个定点E、F，使得PE PF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由21．（本小题满分12分）已知a 0,n为正整数（Ⅰ）设y(x a)n，证明y' n(xa)n1；（Ⅱ）设f n(x)x n(x a)n，对任意na，证明f n1'(n1)(n1)f n'(n) 22．（本小题满分14分）设a0，如图，已知直线l:y ax及曲线C:yx2,C上的点Q1的横坐标为作直线平行于x轴，交直线l于点P n1，再从点P n1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q n1.Q n(n1,2,3,⋯）的横坐标构成数列a n（Ⅰ）试求an1与a n的关系，并求a n的通项公式；（Ⅱ）当a1n1(ak1,a1时，证明ak1)ak22 k 132c n1y l（Ⅲ）当a 1时，证明(a k a k1)a k23k 1r2Q3r1Q2Q1Oa1a2a3 x2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分60分.1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分16分.13．2114．6,30,10 15．12016．①④2三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（Ⅰ）P(A) 0.90,P(B) P(C)0.95，P(A)0.10,P(B) P(C)0.50. 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95P(A)P(B)0.176P(C)答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.90 0.0522 0.10 0.05 0.95 0.10 0.0520.012解法二：三件产品都合格的概率为 P(ABC) P(A) P(B) P(C) 0.90 0.9520.812由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为1 [P(ABC)0.176] 1 (0.812 0.176) 0.012.答：至少有两件不合的概率为0.012.（ 18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案5 c 数学试题（江苏卷）答案一、选择题本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 1 ． c 2 ． B 3 ． D 4 ． D 5 ． B6 ． B7 ． c8 ． B9 ． c 10 ． D 11 ． c 12 ． A 二、填空题本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分 13 ． 14 ． 6,30,10 15 ． 120 16 ．①④ 三、解答题 17 ．本小题要主考查相互独立事概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分解设三种产品各抽取一，抽到合格产品的事分别为 A 、 B 和 c （Ⅰ），因为事 A ， B ， c 相互独立，恰有一不合格的概率为答恰有一不合格的概率为 0176 解法一至少有两不合格的概率为解法二三产品都合格的概率为由（Ⅰ）知，恰有一不合格的概率为 0176 ，所以至有两不合格的概率为答至少有两不合的概率为 0012 （ 18 ）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满 12 分分。

解由 19 ．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分 12 分解法一（Ⅰ）解连结 BG ，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠ EBG 是 A 1 B 与平面 ABD 所成的角设 F 为 AB 中点，连结 EF 、 Fc ，（Ⅱ）连结 A 1 D ，有 , 设 A 1 到平面 AED 的距离为 h ，则解法二（Ⅰ）连结 BG ，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠ A 1 BG 是 A 1 B 与平 ABD 所成的角如图所示建立坐标系，坐标原点为，设 cA=2a ，则 A(2 a ,0,0),B(0,2 a ,0),D(0,0,1) （Ⅱ）由（Ⅰ）有 A(2,0,0)A 1 (2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) （Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F ；（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点（Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点（ 21 ）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分 12 分证明（Ⅰ）因为，所以（Ⅱ）对函数求导数∴ 即对任意 22 ．本小题主要。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .05.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()C ()B ()(C B A P B A P C A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）2．抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ） A ．81 B ．－81 C ．8 D ．－8 3．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－724 4．设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） A ．（－1，1）B ．(1,)-+∞a A ．B ．C ．D ．C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） A ．1,(0,)1x xe y x e -=∈+∞+ B ．1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- C ．1,(,0)1x xe y x e -=∈-∞+ D ．1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．34aC ．36aD ．312a8．设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） A ．10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,2ba⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ） A ．1B ．43C ．21D ．8310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） A ．14322=-y xB ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） A ．（31，1）B ．（31，32） C ．（52，21） D ．（52，32） 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A ．π3B ．4πC ．π33D ．π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）18．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值 19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 120．（本小题满分12分）已知常数0,(0,),(1,0)a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由21．（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+22．（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷附解答一、选择题1. 设函数 $f(x) = \log_2(x - 2) - 2$，则 $f^{-1}(2)$ 的值为多少？解答：由于 $f(x) = 2$，我们可以得到 $2 = \log_2(x - 2) - 2$。

将方程两边加上 2 并移项可得 $\log_2(x - 2) = 4$。

由对数的定义可知 $2^4 = x - 2$，解得 $x = 18$。

因此，$f^{-1}(2) = 18$。

2. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的抛物线与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点，且 $AB$ 的中点为 $M(1,-2)$，则函数 $f(x)$ 的解析式为什么？解答：由题意可知，抛物线的对称轴为 $x = 1$，且 $M(1,-2)$ 是抛物线上的一个点。

因此，函数 $f(x)$ 的顶点坐标为 $(1,-2)$。

由顶点坐标可知，对称轴上的点 $(0, f(0))$ 和 $(2, f(2))$ 的纵坐标相等且等于顶点的纵坐标。

即$$f(0) = f(2) = -2$$将 $f(x)$ 的解析式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 代入上述两个等式中，得到以下两个方程：$$\begin{cases} f(0) = c = -2 \\ f(2) = 4a + 2b + c = -2 \end{cases}$$联立方程解得 $a = 1$，$b = -6$，$c = -2$。

因此，函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x) = x^2 - 6x - 2$。

二、填空题1. 在梯形 $ABCD$ 中，若 $AB \parallel CD$，$AB = 6$，$BC = 8$，$AD = 10$，$M$、$N$ 分别是 $AD$、$BC$ 的中点，则 $MN$ 的长度为 \_\_\_。

解答：由题意，$ABCD$ 是一个梯形，$AB \parallel CD$。

a(A) (B) (C)(D) 2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81 B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[),||||(+∞∈+=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为],0[π，则P到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[a C ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题 ①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）D EKBC 1A 1B 1 A F CG 18．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分 解：由),()(,)(x f x f x f =-得是偶函数.0cos ,0,sin cos sin cos ),sin()sin(=>=-+=+-ϕωωϕωϕϕωϕω所以得且都成立对任意所以即x xx x x.232,;]2,0[)2sin()(,310,0;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0.,2,1,0),12(32,,3,2,1,243,0,043cos ,43cos )243sin()43(,43cos )243sin()43(,0),43()43(,)(.2,0==+==≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=∴=+==+-=-=≤≤ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππωππωπππππϕπϕ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设x x f k x x f k x x f k k k k k f f x x f x f M x f 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AEDA V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED ⋅=⋅∆∆1.2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AE A 又 .362.36226221的距离为到平面即AED A h =⨯=∴解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平ABD 所成的角.则A(2a ,0,0),B(0,2a ,0),D(0,0,1).37arccos .372131323/14cos ).31,34,32(),2,2,2(.1.03232).1,2,0(),32,3,3().31,32,32(),1,,(),2,0,2(1111121所成角是与平面解得ABD B A BG A BA a a BD GE a BD a a CE a a G a a E a A =⋅=∠∴-=-=∴==+-=⋅∴-==∴（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).,,0)0,1,1()2,0,0(,0)0,1,1()1,1,1(11AED ED E AA ED ED AA 平面又平面⊂⊥∴=--⋅=⋅=--⋅-=⋅（Ⅰ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （Ⅱ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121()2,2121(22a a F a a E ---和 （Ⅲ）当,22时>a 方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0())21(21,0(22---+a a F a a E 和为合乎题意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k k n x a --)(， 所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数n n n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>-即对任意).()1()1(,1n f n n f a nn n '+>+'≥+（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a aa a Q a a a P a a Q ⋅⋅++- ∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a a a a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n a a a a a a a ， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k n k k k ka a a a a a a1111121.321)(161)(161)( （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k ka a a a a a a a an k kk 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪江苏）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，)b 在aOb 平面上的区域（不包含边界）为A. B. C. D. 2. （2003▪江苏）抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为 A.18 B.18- C.8 D.﹣83. （2003▪江苏）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x = A.247 B.724- C.724 D.247- 4. （2003▪江苏）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是A.1(-，)1B.1(-，)∞+C.-∞(，0()2 -，)∞+D.-∞(，1()1 -，)∞+5. （2003▪江苏）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()([0||||AB AC OP OA AB AC λλ=++∈，))∞+，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心6. （2003▪江苏）函数1ln1x y x +=-，1(∈x ，)∞+的反函数为 A.11x x e y e -=+，0(∈x ，)∞+ B.11x x e y e +=-，0(∈x ，)∞+ C.11x x e y e -=+，-∞∈(x ，)0 D.11x x e y e +=-，-∞∈(x ，)0 7. （2003▪江苏）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33a B.43a C.63a D.123a 8. （2003▪江苏）设0a >，2()f x ax bx c =++，曲线)(x f y =在点0(x P ，))(0x f处的切线的倾斜角的取值范围为0[，]4π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为A.[0，1]aB.[0，1]2aC.[0，||]2b aD.[0，1||]2b a- 9. （2003▪江苏）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n mA.1B.43C.21 D.8310. （2003▪江苏）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0)，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 11. （2003▪江苏）已知长方形的四个顶点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为4(x ，0)，若412x <<，则θtan 的取值范围是 A.1(3，1) B.1(3，23） C.2(5，1)2 D.2(5，2)312. （2003▪江苏）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003▪江苏）92)21(xx -展开式中9x 的系数是________________. 14. （2003▪江苏）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、__________、__________辆.15. （2003▪江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____.（以数字作答）16. （2003▪江苏）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB AC =，BD CD =，则BC AD ⊥；②若AB CD =，AC BD =，则BC AD ⊥；③若AB AC ⊥，BD CD ⊥，则BC AD ⊥；④若AB CD ⊥，BD AC ⊥，则BC AD ⊥.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+12+14=74分）17. （2003▪江苏）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．⑴求恰有一件不合格的概率；⑵求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）18. （2003▪江苏）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19. （2003▪江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，侧棱12AA =，D E 、分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G .⑴求1A B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；⑵求点1A 到平面AED 的距离.20. （2003▪江苏）已知常数0a >，向量(0c =，)a ，(1i =，0)，经过原点O 以c iλ+为方向向量的直线与经过定点(0A ，)a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E F 、，使得||||PE PF +为定值.若存在，求出E F 、的坐标；若不存在，说明理由.21. （2003▪江苏）已知0a >，n 为正整数．⑴设()n y x a =-，证明1()n y n x a -'=-；⑵设()()n n n f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1(1)(1)()n n f n n f n +''+>+.22. （2003▪江苏）设0a >，如图，已知直线l ：y ax =及曲线C ：2y x =，C 上的点1Q 的横坐标为11(0)a a a <<.从C 上的点(1)n Q n ≥作直线平行于x 轴，交直线l 于点1n P +，再从点1n P +作直线平行于y 轴，交曲线C 于点1n Q +.(n Q n =1，2，3，…）的横坐标构成数列{}n a .⑴试求1n a +与n a 的关系，并求{}n a 的通项公式；⑵当1a =，112a ≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑； ⑶当1a =时，证明1211()3n k k k k a a a ++=-<∑.2003年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•江苏）如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C．D．【分析】由y=ax2+bx+a的图象与x轴有两上交点，知△＞0；进一步整理为a、b的二元一次不等式组，再画出其表示的平面区域即可．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，所以a≠0，△=b2﹣4a2＞0，即（b+2a）（b﹣2a）＞0，即或，则其表示的平面区域为选项C．故选C．【点评】本题主要考查由二元一次不等式组（数）画出其表示的平面区域（形）的能力．2．（5分）（2003•天津）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．3．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．4．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．5．（5分）（2003•天津）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC 的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．6．（5分）（2003•天津）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（）A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）C．，x∈（﹣∞，0）D．，x∈（﹣∞，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．【解答】解：由已知，解x得，令，当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），则，∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）故选B．【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．7．（5分）（2003•天津）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：．故选C．【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．8．（5分）（2003•天津）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，] B．[0，] C．[0，||] D．[0，||]【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+∴x0∈[，]．∴d=x0+∈[0，]．故选：B．【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心．9．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q 时，am+an=ap+aq的性质．10．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．11．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1） B．（，）C．（，）D．（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tan θ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故答案选A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•天津）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．15．（4分）（2003•天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有120 种．（以数字作答）【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，③与⑤同色，则②④或⑥④同色，②与④且③与⑥同色，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种．∴共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种．故答案为：120【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3有A43种不同的栽法，不妨设1，2，3已分别栽种A，B，C，则4，5，6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见．根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A43×5=120．16．（4分）（2003•辽宁）对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．其中真命题的序号是①④．（写出所有真命题的序号）【分析】证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直．①的证明可转借化证明BC ⊥面AHD．④的证明可转化为证垂心，然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD．②③条件下不能求出两线的夹角，也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对．【解答】证明：如图对于①取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故①对；对于②条件不足备，证明不出结论；对于③条件不足备，证明不出结论；对于④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出DE⊥BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．综上知①④正确，故应填①④．【点评】本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是一个常用的方法，本题用其来将线线证明转化线面证明，三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•天津）在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）【分析】（1）要求恰有一件不合格的概率，我们根据P=P（A•B•）+P（A••C）+P （•B•C），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．（2）我们可以根据至少有两件不合格的概率公式P=P（A••）+P（•B•）+P（••C）+P（••），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．也可以从对立事件出发根据（1）的结论，利用P=1﹣P（A•B•C）+P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）进行求解．【解答】解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C．（Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95．P=0.10，P=P=0.05．因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）=P（A）•P（B）•P（）+P（A）•P（）•P（C）+P（）•P（B）•P（C）=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176；（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P（A••）+P（•B•）+P（••C）+P（••）=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012．解法二：三件产品都合格的概率为P（A•B•C）=P（A）•P（B）•P（C）=0.90×0.952=0.812．由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1﹣P（A•B•C）+0.176=1﹣（0.812+0.176）=0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012．【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．18．（12分）（2003•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．【分析】由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点对称可得函数关系，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．【解答】解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且w＞0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以解得φ=，由f（x）的图象关于点M对称，得，取x=0，得f（）=sin（）=cos，∴f（）=sin（）=cos，∴cos=0，又w＞0，得=+kπ，k=0，1，2，3，…∴ω=（2k+1），k=0，1，2，…当k=0时，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，满足题意；当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）=cos2x，在[0，]上是减函数，满足题意；当k=2时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．19．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD 所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；（2）连接A1D，有，建立等量关系，求出点A1到平面AED的距离即可．【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连接EF、FC，∵D，E分别是CC1，A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=FD2，∵EF=1，∴FD=．于是ED=，EG=∵FC=，CD=1∴AB=2，A1B=2，EB=，∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；（Ⅱ）连接A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则，，．∴，即A1到平面AED的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．20．（12分）（2003•天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点．【解答】解：∵=（0，a），=（1，0），∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．整理得．①因为a＞0，所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．21．（12分）（2003•江苏）已知a＞0，n为正整数．（Ⅰ）设y=（x﹣a）n，证明y′=n（x﹣a）n﹣1；（Ⅱ）设fn（x）=xn﹣（x﹣a）n，对任意n≥a，证明fn+1′（n+1）＞（n+1）fn′（n）．【分析】（I）这里用导数的定义证明．（II）我们易得当x＞a＞0时，fn（x）=xn﹣（x﹣a）n是关于x的增函数，且n ≥a时，有：（n+1）n﹣（n+1﹣a）n＞nn﹣（n﹣a）n，求出f′n+1（n+1）后，用不等式的性质即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）解：本题可以对y=（x﹣a）n展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：y′==n（x﹣a）n﹣1（Ⅱ）证明：fn′（x）=nxn﹣1﹣n（x﹣a）n﹣1=n[xn﹣1﹣（x﹣a）n﹣1]，∵a＞0，x＞0，∴fn′（x）＞0，∴fn（x）在（0，+∞）单调递增，∴当n≥a时，有：（n+1）n﹣（n+1﹣a）n＞nn﹣（n﹣a）n，∴fn+1′（x）=（n+1）[xn﹣（x+a）n]，∴fn+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）n﹣（n+1﹣a）n]＞（n+1）[nn﹣（n﹣a）n]=（n+1）[nn﹣（n﹣a）（n﹣a）n﹣1]，∵（n+1）f′n（n）=（n+1）n[nn﹣1﹣（n﹣a）n﹣1]=（n+1）[nn﹣n（n﹣a）n ﹣1]，∵（n+2）＞n，∴f′n+1（n+1）＞（n+1）f′n（n），【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式，是解答问题的关键22．（14分）（2003•江苏）设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0＜a1＜a）．从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1，再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1．Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{an}．（Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）当a=1时，证明．【分析】（Ⅰ）根据Qn，Pn+1，Qn+1的坐标进而求得，进而通过公式法求得{an}的通项公式．（Ⅱ）把a=1代入，根据可推断，由于当k≥1时，．进而可知．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，代入中，进而根据证明原式．【解答】（Ⅰ）解：∵．∴，∴==，∴．（Ⅱ）证明：由a=1知an+1=an2，∵，∴．∵当k≥1时，．∴；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，，因此==．【点评】本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，参与本试卷答题和审题的老师有：wzj123；zhwsd；minqi5；wsj1012；liuerq；qiss；rxl；geyanli；danbo7801；gongjy；涨停；xintrl；豫汝王世崇；yhx01248；whgcn （排名不分先后）菁优网2017年5月28日。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点,则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为( ）2．抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ） A ．81 B ．－81 C ．8 D ．－8 3．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－724 4．设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是( ) A ．（－1,1)B ．(1,)-+∞C ．(－∞，－2）∪（0,+∞）D ．（－∞，－1）∪(1,+∞)a A ．B ．C ．D ．5．O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） A ．1,(0,)1x xe y x e -=∈+∞+ B ．1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- C ．1,(,0)1x xe y x e -=∈-∞+ D ．1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- 7．棱长为a 的正方体中,连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( ）A ．33aB ．34aC ．36aD ．312a8．设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） A ．10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2a⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,2ba⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ） A ．1B ．43C ．21D ．8310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） A ．14322=-y xB ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x11．已知长方形的四个顶点A(0，0)，B （2，0），C （2，1）和D(0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角)，设4P 的坐标为（4x ，0)，若214<<x ,则tg θ的取值范围是 （ ） A ．（31，1)B ．（31，32) C ．(52，21） D ．（52，32） 12．一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为（ ) A ．π3B ．4πC ．π33D ．π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷)数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二。

2003年高考数学试题（江苏卷）第I卷（选择题共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）如果函数的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（）（2）抛物线的准线方程是，则a的值为（）A. B. C. 8 D.（3）已知，，则（）A. B. C. D.（4）设函数，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.（5）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（）A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心（6）函数的反函数为（）A. B.C. D.（7）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A. B. C. D.（8）设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围为（）A. B. C. D.（9）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（）A. 1B.C.D.（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A. B.C. D.（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点和（入射角等于反射角），设的坐标为（），若，则的取值范围是（）A. B. C. D.（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共90分）二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）展开式中的系数是________。

（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_________，_________，_________辆。