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第九章第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题

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专题---圆锥曲线中的最值与范围问题

专题---圆锥曲线中的最值与范围问题

高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。

解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。

以下从五个方面予以阐述。

一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，假设AB=4，那么AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F 〔0 ，41〕，准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，那么所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。

练习：1、(2021海南、宁夏理)点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q 〔2，－1〕的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为〔 A 〕A. 〔41，－1〕 B. 〔41，1〕 C. 〔1，2〕 D. 〔1，－2〕2、〔2021安徽文〕设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：2422AB COS θ=-;〔Ⅲ〕过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解 ：〔1〕由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由〔1〕知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率22e =设l 为椭圆的左准线。

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。

一. 最值问题求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

例1：如图所示，设点1F ，2F 是22132xy+=的两个焦点，过2F 的直线与椭圆相交于A 、B两点，求△1F AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。

分析：12112F F B F AB F FAS S S =+ ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11212121||||||(1)2F AB F F y y y y c S =⋅-=- =设直线A B 的方程为1x ky =+代入椭圆方程得22(23)440k y ky ++-=12122244,2323k y y y y k k --⇒+==++即122||123y y k - ==+令1t =≥，∴12FA Bt tS +=12t t+（1t ≥）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用1()2f t t t=+（1t ≥）的单调性易得在1t =时取最小值1F AB S 在1t =即0k =时取最大值为3，此时直线A B 的方程为1x =例2．设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA + )O B ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||N P的最小值与最大值.解（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为 （0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（2）由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x xx y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为1;4① ②当16x =-时，||NP 取得最大值，最大值为.621对于()*，有∆=m 2+4b =10-m 2>0，所以m <<。

圆锥曲线的最值与参数范围

圆锥曲线的最值与参数范围

圆锥曲线的最值与参数范围
圆锥曲线是微积分教学中的重要概念，其最值及参数范围也是学习者需要掌握的重要内容。

本文旨在探讨圆锥曲线的最值与参数范围。

首先，我们从定义谈起。

圆锥曲线是由两个圆弧及一条直线组成的曲线，该曲线对称且连接着两个有限定点，形状由两个参数决定，分别为圆心角α和高h。

其次，我们来讨论圆锥曲线的最值。

圆锥曲线的极值是在其上的直线段的端点处，也就是左右的圆弧的交点。

我们可以利用数学知识来求出该点的坐标，即最大值点。

另外，如果曲线以y=kx+b的直线
对称，其最小值点就是y轴上的端点。

最后，让我们来讨论圆锥曲线的参数范围。

圆心角α的取值范围是0到2π，而高h的范围依赖于圆心角的取值。

当圆心角α取值为0时，圆锥曲线为一个圆，此时高h的取值范围是0到无穷大。

而当α取值在0到2π之间时，高h的取值范围就会发生变化，其最小取值为0，最大值不定。

以上就是圆锥曲线的最值与参数范围简述。

从定义出发到最值的求解以及参数范围，从多角度深入地讨论圆锥曲线。

圆锥曲线是众多曲线中的一种，其最值与参数范围的掌握不仅是数学知识的重要内容，同时也对更为深入的曲线学习有着重要的意义。

- 1 -。

圆锥曲线中的范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题

【解】 (1)由题意，c＝1，b2＝3，所以 a2＝4， 所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
y＝x＋1， 消去 y，得 7x2＋8x－8＝0，Δ＝288＞0， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＋x2＝－87，x1x2＝－87， 所以|CD|＝ 2|x1－x2|＝ 2 （x1＋x2）2－4x1x2＝274.
(× ) (× ) (√ ) (√ ) (× )
二、易错纠偏 常见误区 (1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大； (2)不会用函数法解最值问题； (3)错用双曲线的几何性质．
1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
பைடு நூலகம்()
解析：选 A.直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故 直线与椭圆相交．故选 A.
(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x＝－1，
此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S1－S2|＝0； 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)， 联立方程，得x42＋y32＝1，
y＝k（x＋1）， 消去 y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ>0，且 x1＋x2＝－3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122，
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线 和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平 行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．

圆锥曲线中的最值(范围)问题-高中数学总复习课件

圆锥曲线中的最值(范围)问题-高中数学总复习课件
1）＝8（ x 2－ xQ ），解得 xQ ＝2，
过点 P 作 PH 垂直准线于点 H ，根据抛物线的定义，
得｜ PF ｜＋｜ PQ ｜＝｜ PH ｜＋｜ PQ ｜，
高中总复习·数学
1
设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），解得 x 1＝3， x 2＝ .
3
设 Q （ xQ ， yQ ），因为5 ＝8 ，所以5（ x 2－ x
高中总复习·数学
代数法求最值（范围）
考向1 借助不等式求最值（范围）
【例2】
2
2
已知椭圆Γ： 2 ＋ ＝1（ m ＞0， m ≠

3
3 ）.
（1）若 m ＝2，求椭圆Γ的离心率；
2
2
解：当 m ＝2时，椭圆Γ的方程为 ＋ ＝1，
4
3
则 a ＝2， b ＝ 3 ，∴ c ＝ 2 − 2 ＝1，
解题技法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直
线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.
高中总复习·数学
已知过抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点 F 且倾斜角为60°的直线交 C 于 A ， B
两点（ A 在 B 的右边）， P 为 C 上一点，若5 ＝8 ，求｜ PF ｜
2
2，
高中总复习·数学
1
即点 B （ ，±
2
2 ），
2
将点 B 代入 x ＝ my ＋1，得 m ＝± ，所以直线 l 的方程为 x ＝
4
2
± y ＋1，即4 x ±
4
2 y －4＝0.
高中总复习·数学
2. 已知点 A 1（－ 6 ，0）， A 2（ 6 ，0），直线 PA 1， PA 2的斜率之

圆锥曲线最值范围定值(总结)

圆锥曲线最值范围定值(总结)

l
与椭圆x2＋ 2
y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得
向量O→P＋O→Q与A→B共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2， 代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1，整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q，得 Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，
a
2
思路二：利用二次方程有实根
由椭圆定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又由 F1PF2 90 知 PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ， 则可得 | PF1 || PF2 | 2(a 2 c2 ) ，这样| PF1 | 与| PF2 | 是方程 u 2 2au 2(a 2 c2 ) 0 的两个
证明 由题意，知 F1(－1,0)，F2(1,0)， 设 B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 直线 y＝k(x－1)，代入x92＋y82＝1， 得 8yk＋12＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0， 则 y1＋y2＝－8＋169kk2，y1y2＝－8＋649k2k2. 同理，将 y＝k(x－1)代入 y2＝4x，得 ky2－4y－4k＝0， 则y3＋y4＝4k，y3y4＝－4，
a2 ，即 0
2c 2 a 2 e2
a 2 ，所以 e [
2 ，1）. 2
思路五：利用基本不等式
由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | ，平方后得

圆锥曲线中的最值、范围问题2

圆锥曲线中的最值、范围问题2

则 x0＝x1＋2 x2＝1－＋33kkt2，y0＝kx0＋t＝1＋t3k2， ∴H－1＋3k3tk2，1＋t3k2. ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－1k. ∴－1＋1＋t33kk3t2k＋2－20＝－1k，化简得 t＝1＋3k2，② 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
F，
离心率为 2 ，过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 .
2
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（II）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P2,0的直线与椭圆相交于不同两点 M,N.
（i）求证： AFM BFN ；
（ii）求 MNF 面积的最大值.
解：（1） e c 2 , 又 2b2 2 ,所以 a 2,b 1.所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1…………（4 分）
5．定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数 表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变 化，而始终是一个确定的值．
6．最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但 总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线 的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求 解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表 达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等 式方法等进行求解．
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数 和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类 问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数 或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够 表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、 点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．

圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题

圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题

法 、函数 法 、不 等式 法．几 何 法是根 据 图形几 何性 质
求解 的方法 ；函数 法是指 将所 求 变量 表示成 某个 相
关 变量 的 函数 ，再 求 函数 的最 值 ；不 等式 法 是 根 据
曲线 性 质及条 件建 立一个 关 于所 求 变量 的不 等式 ，
再解 不 等式求 其最 值 的方法 ．
参 考 文 献
刘 清源．构建 高效教 学 探 求数 学本 质— — 如何 解好 三 角形 ［Ｊ］．数 学教 学与研 究 ，２０１１ （３６）：７８—７９． ［２］ 覃埋 基 ．一 类解三 角形 问题 的 另一 解 法 ［Ｊ］． 数 学通 讯 ，２００３（１２）：９．
圆 锥 曲 线 中 最 值 、范 围 、定 值 及 存 在 性 问 题
·３５ ·
显然 △＝（３ｍ） 一４×３（ｍ 一３）＝３（１２一ｍ ）＞０，
故
一 １２＜ｍ＜￣／／ｌ２且 ｍ≠Ｏ．
由韦 达定 理 ，得
ｍ 一３
Ｘａ＋ｘＢ ｍ，ＹＡ＋ＹＢ 丁 ’
因此 ｌＡＢ ｌ＝ｖ／１＋ｋＡＢ Ｉ Ａ一 Ｂ Ｉ＝
【
＝
பைடு நூலகம்
·
又 因为点 Ｐ（２，１）到直 线 Ｚ的距离 为
●Ｊ寞金 龙 （绍兴市第一中学 浙江绍兴 ３１２０００）
１ 考点 回顾
圆锥 曲线中最值 、范 围、定值及存在性 问题是 历年 高考 命题 的热 点之 一．此 类 问题 涉及 的知识 面
广、综合性大、隐蔽性强 、计算量大 ，常常令考生头
疼．解决 此类 问题 常 常 要 用 到 数学 思 想 方 法 ，有 时
【△＝（一４ｍ） 一４（ｍ ＋３）＞０，
解得

2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线中的范围、最值问题分层演练文(最新整理)

2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线中的范围、最值问题分层演练文(最新整理)

2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线中的范围、最值问题分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线中的范围、最值问题分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线中的范围、最值问题分层演练文的全部内容。

第9讲圆锥曲线中的范围、最值问题1．如图,抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧错误!上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W 于点Q，则△PQC的周长的取值范围是（)A．(10,14） B.(12，14）C．(10，12) D．(9，11）解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0）,由抛物线定义可得|QC|＝x Q＋1,圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1,0），半径为5,可得△PQC的周长＝|QC｜＋|PQ｜＋|PC|＝x Q＋1＋(x P－x Q）＋5＝6＋x P，由抛物线y2＝4x及圆（x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4,即有x P∈（4,6）,可得6＋x P∈（10，12)，故△PQC的周长的取值范围是（10，12)．故选C.2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为错误!的直线交抛物线于A，B两点，若错误!＝λ错误!（λ＞1）,则λ的值为________．解析：根据题意设A（x1，y1），B(x2,y2),由错误!＝λ错误!，得错误!＝λ错误!，故－y1＝λy2，即λ＝错误!.设直线AB的方程为y＝错误!错误!,联立直线与抛物线方程，消元得y2－错误!py－p2＝0。

第9节 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

第9节 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
INNOVATIVE DESIGN
第九章
第9节 圆锥曲线中的最值、范围、证明 问题
内
1
///////
知识分类落实
容
2 微课一 圆锥////
引
3 微课二 圆锥曲线中的证明问题
///////
1
知识分类落实
回扣知识
夯实基础
知识梳理
///////
1．最值问题的常用方法
几何转化代数法：将常见的几何问题所涉及的结论转化为代数问题求解．常见的 几何问题所涉及的结论：(1)两圆相切时半径的关系；(2)三角形三边的关系；(3) 动点与定点构成线段的和或差的最值，经常在两点共线时取到，注意同侧与异侧； (4)几何法转化所求目标，常见的有勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等． 函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函 数，再求出这个函数的最值．求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等 式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等．
，
令 y＝0 得点 P 的横坐标 a＝－4k32k＋b 1，
则 a2＝（49kk2＋2b21）2＜9k（2（4k42k＋2＋1）1）2 ＝4＋9 k12＜94，所以－32＜a＜32.
索引
6．(2021·北京顺义区期末)过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交抛物线的准线于点 C，满足：B→C＝λF→B(λ＞0)，若|AF|＝6，则λ＝
索引
感悟升华
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方 法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定 理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式 表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．

2019版高考复习理数：第九章 第九节 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

2019版高考复习理数：第九章 第九节 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋＋48kk2121.
由题意可知 sin∠S2OT＝r＋|rOC|＝1＋1|OrC|，
1＋8k21
而|OrC|＝2
பைடு நூலகம்
3
2·
1＋1k＋21·4k121＋8k21＝3 1＋2k21
4
2·
1＋14＋k122·k211＋k21，
令 t＝1＋2k21，则 t＞1，1t ∈(0,1)，
04
课时达标检测
你是我今生最美的相遇遇上你是我
2
的缘
01 突破点（一） 圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题， 综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面 几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把 要求最值的几何量或代数表达式表示为某个些参数的函数 解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(n,0)，直线 l：x＝my＋n，与椭圆
交点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 x＝my＋n，x42＋y2＝1，得(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0，
y1,2＝－2mn± 2m2n42＋－m424＋m2n2－4，
所以y1＋2 y2＝－4＋mnm2，y1y2＝4n＋2－m42，
解：(1)由题意知 e＝ac＝ 22，2c＝2， 所以 a＝ 2，b＝1，因此椭圆 E 的方程为x22＋y2＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x22＋y2＝1，
联立方程
y＝k1x－
3 2
消去 y，
得(4k21＋2)x2－4 3k1x－1＝0，由题意知 Δ＞0，
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第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题范围问题[学生用书P169][典例引领](2018·云南第一次统一检测)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．【解】 (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .因为椭圆E 的离心率等于223，所以c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.因为以线段PF 1为直径的圆经过F 2， 所以PF 2⊥F 1F 2. 所以|PF 2|＝b 2a .因为9PF 1→·PF 2→＝1， 所以9|PF 2→|2＝9b 4a2＝1.由⎩⎨⎧b 2＝a 299b 4a 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9b 2＝1，所以椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(2)因为直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，所以直线l 不可能与x 轴垂直， 所以设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. 因为直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，所以Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kmk 2＋9.因为线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， 所以2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2kmk 2＋9＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0－2km k 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.因为k 2＋9>0， 所以k 2＋94k 2－1<0，所以k 2>3，解得k >3或k <－3.所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[通关练习]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0，2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围．解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4，0)，B (4，0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4.由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 所以－20<OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20. 综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为⎣⎡⎦⎤－20，－523.最值问题(高频考点) [学生用书P170]圆锥曲线中的最值问题是每年高考的热点，常涉及不等式，函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变．主要命题角度有：(1)利用三角函数的有界性求最值； (2)数形结合利用几何性质求最值； (3)建立目标函数求最值； (4)利用基本不等式求最值．[典例引领]角度一 利用三角函数的有界性求最值过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( )A ．2 B. 2 C ．4D ．2 2【解析】 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4.【答案】 C角度二 数形结合利用几何性质求最值(1)已知点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，定点A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．(2)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点A (2，4)，则|P A |－|PF |的最小值为________．【解析】 (1)如图1，设双曲线右焦点为F ′.|PF |＋|P A |＝|PF |－|PF ′|＋|P A |＋|PF ′|＝2a ＋|P A |＋|PF ′|≥4＋|AF ′|＝9.(2)如图2，设椭圆的左焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝4，所以|PF |＝4－|PF ′|，所以|P A |－|PF |＝|P A |＋|PF ′|－4.当且仅当P ，A ，F ′三点共线时，|P A |＋|PF ′|取最小值|AF ′|＝（2＋1）2＋16＝5，所以|P A |－|PF |的最小值为1.【答案】 (1)9 (2)1角度三 建立目标函数求最值(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【解】 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）.因为|P A |＝ 1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.角度四 利用基本不等式求最值(2018·太原模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1，0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． 【解】 (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，Δ＝288，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝247.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1），消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 1＋x 2)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为3.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．[通关练习]已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率e ＝12，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求该椭圆的方程；(2)椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＜0，设△F 1AB 的内切圆的半径为R ，易知△F 1AB 的周长为4a ＝8，则S △F 1AB ＝12(|AB |＋|F 1A |＋|F 1B |)R ＝4R ，所以当S △F 1AB 取得最大值时，R 取得最大值，△F 1AB 的内切圆的面积取得最大值． 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.则S △F 1AB ＝12|F 1F 2|·(y 1－y 2)＝12m 2＋13m 2＋4，令m 2＋1＝t ，则m 2＝t 2－1(t ≥1)，所以S △F 1AB ＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t(t ≥1)， 令f (t )＝3t ＋1t (t ≥1)，则f ′(t )＝3－1t2，当t ≥1时，f ′(t )≥0，f (t )在[1，＋∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)＝4， 所以S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，即m ＝0时，S △F 1AB 取得最大值，最大值为3， 由S △F 1AB ＝4R ，得R max ＝34，所以所求内切圆面积的最大值为916π.故△F 1AB 的内切圆面积的最大值为916π，此时直线l ：x ＝1.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围．圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．求解范围、最值问题的两个易错点 (1)求范围问题要注意变量自身的范围；(2)利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系．注意特殊关系，特殊位置的应用．[学生用书P325(单独成册)]1．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( )A ．(10，14) B.(12，14) C ．(10，12)D ．(9，11)解析：选C .抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1，圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C (1，0)，半径为5，可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ， 由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝25可得交点的横坐标为4， 即有x P ∈(4，6)， 可得6＋x P ∈(10，12)，故△PQC 的周长的取值范围是(10，12)．故选C .2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB→(λ＞1)，则λ的值为________．解析：根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.答案：43．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．解：(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0，22)，F (0，－22)， OE →·OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设l 过该椭圆的上焦点，则l 的方程为y ＝kx ＋2，设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8， 因为0＜202＋k 2≤10，所以－8＜OE →·OF →≤2， 所以OE →·OF →的取值范围是[－8，2]．4．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋mx 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <22.且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22m x 1x 2＝m 2－44，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2| ＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2＋4 ＝3·4－m 22.又P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3， 所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝32·4－m 22·|m |3＝12⎝⎛⎭⎫4－m 22·m 2＝122m 2（8－m 2）≤122·m 2＋（8－m 2）2＝2.当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号，所以(S△P AB )max ＝2.1．如图所示．已知点E 为抛物线y 2＝4x 内的一个焦点，过E 作斜率分别为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线于点A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)若k 1k 2＝－1，求三角形EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)抛物线y 2＝4x 的焦点E (1，0)，因为k 1k 2＝－1，所以AB ⊥CD ，设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，因为AB 中点M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1， 同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)．所以S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·（2k 21）2＋（－2k 1）2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. (2)证明：设直线AB 方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4， 因为AB 中点M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N ⎝⎛⎭⎫2k 22＋1，2k 2， 所以k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2， 所以直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2[x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋1]， 即y ＝k 1k 2(x －1)＋2，所以直线MN 恒过定点(1，2)．2．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，点N 是M 关于O的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．解：(1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)． 又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b2＝2， 所以a 2＝4，b 2＝2，因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝4， 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，由Δ>0得m 2<4k 2＋2. (*)且x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1， 因此y 1＋y 2＝2m 2k 2＋1， 所以D ⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1， 又N (0，－m )，所以|ND |2＝⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫m 2k 2＋1＋m 2， 整理得|ND |2＝4m 2（1＋3k 2＋k 4）（2k 2＋1）2， 因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝4（k 2＋3k 2＋1）（2k 2＋1）2＝1＋8k 2＋3（2k 2＋1）2. 令t ＝8k 2＋3，t ≥3.故2k 2＋1＝t ＋14， 所以|ND |2|NF |2＝1＋16t （1＋t ）2＝1＋16t ＋1t＋2. 令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1t 2. 当t ≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1t在[3，＋∞)上单调递增， 因此t ＋1t ≥103， 等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0，所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4， 由(*)得－2<m <2且m ≠0.故|NF ||ND |≥12，设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12， 所以θ的最小值为π6. 从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0. 综上所述：当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3.。