不等式恒成立、能成立、恰成立问题

专题：不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题不等式恒成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上A x f >min )]([ 若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上B x f <max )]([当)(x f 的最值取不到时，注意表达要准确，如1)(<x f ，则)(x f m >恒成立⇔1≥m 不等式中能成立．．．问题（有解） 若在区间D 上存在实数X 使不等式A x f >)(成立，则等价于在区间D 上A x f >max )]([ 若在区间D 上存在实数X 使不等式B x f <)(成立，则等价于在区间D 上B x f <min )]([ 不等式中恰成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式A x f >)(的解集为D 若不等式B x f <)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式B x f <)(的解集为D 利用一次函数的性质对于一次函数]),[)(0()(n m x a b ax x f ∈≠+=有：①0)(>x f ?恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(n f m f ②0)(<x f ?恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(n f m f 结论：若一个不等式中有两个变量，如果已知最高次数是一次变量的范围求另一变量范围的问题构造一次函数例：已知1log 6log )1()(323++⋅--=x a x a x x f ,当]1,0[∈x 时，)(x f 恒为正数，求a 的取值范围。

[3331<<a ]变式：当]4,2[∈x 时，若不等式042)2(2<-+-a a x 恒成立，求实数a 的范围()1,2-∈a变式：已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数且(1)(2)f ax f x +≤+对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数a 的取值范围 (]2,∞- 利用二次函数的判别式对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=有①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆>⇔0402ac b a②0)(<x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆<⇔0402ac b a结论：若一个不等式中有两个变量，如果已知高次变量的范围求另一变量范围的问题构造高次函数或分离参数。

１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中 曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用问题引入：例1 ：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。

思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。

思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：⑴若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A⑵若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。

2、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。

3．转换成函数图象问题⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；⑵若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【变式练习：】 对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？例2：已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xab x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。

(1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题例 区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化 组一1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。

2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是A ．1B ．2C ．4D ．86.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0，则不等式f(2－x 2)＞f(x)的解集是________ 7.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞8.设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 组二1.已知函数x x x f ln )(=，(1)求)(x f 的最小值； (2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.2.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，当13a =时， 若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围；3.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

不等式恒建立、能建立、恰建立问题一、不等式恒建立问题的办理方法1、变换求函数的最值：（ 1）若不等式 f x A 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmin A ， f ( x) 的下界大于 A（ 2）若不等式 f x B 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmax B , f ( x) 的上界小于 A例 1、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ] 时，都有 f(x) a 恒建立，求 a 的取值范围。

例 2、已知f x x 2 2x a, 对随意 x 1, , f x 0 恒建立,试务实数 a 的取值范围; x例 3 、 R 上的函数 f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2f cos2 2m sinf 2m 2 0 恒建立，务实数m的取值范围.例 4、已知函数f (x) 4 ln 4 ( 0) 在处获得极值3 c，此中 a 、b为常数.（）试ax x bx c x x 1 1确立 a 、b的值；（ 2）议论函数 f ( x) 的单一区间；（ 3）若对随意x 0 ，不等式 f ( x) 2c 2恒建立，求 c 的取值范围。

2、主参换位法例 5、若不等式ax 1 0对 x 1,2 恒建立，务实数 a 的取值范围例 6、若对于随意 a 1 ，不等式x2(a 4) x 4 2a 0 恒建立，务实数x 的取值范围例 7、已知函数a 3 3 2，此中 a 为实数．若不等式2f ( x) x x (a 1)x 1 f ( x) x x a 1对随意3 2 ＞a(0， ) 都建立，务实数 x 的取值范围．3、分别参数法（ 1）将参数与变量分别，即化为g f x （或 g f x ）恒建立的形式；（ 2）求f x在x D 上的最大（或最小）值；（ 3）解不等式g f ( x) max(或 g f x min)，得的取值范围。

合用题型：（ 1）参数与变量能分别；（2）函数的最值易求出。

高频考点：恒成立、能成立、恰成立 一、不等式恒成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，2、若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,二、不等式能成立问题的处理方法1、若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；2、若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上()min f x B<.三、不等式恰成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；2、若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 补例：（1）（判别式法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：若0122>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（10<≤a ） （2）若0122>+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（1<a ）（函数最值法） （分离系数法）变式：若0122<+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（45>a ）（3）（构造函数法）若]3,1[∈∃a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，求实数x 的取值范围；（21>-<x x 或）（4）（数形结合法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：当21<<x 时，不等式xax log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围；（21≤<a ）（5）思辨：已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++， 其中k 为实数.①对∀[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（45≥k ）②对∀[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围；（141≥k ）③对∀)3,3(2-∈x ，总存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（13≥k ）④对∀1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-，使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.（913k ≤≤） 【分析及解】 ① 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .②由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x.∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f .由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或,∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .③∀)3,3(2-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)()(21x g x f ≤min:-21 存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)(1x f min )(2x g ≤ 所以218-≤--k 所以13≥k④若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由②可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤。

恒成立，能成立，恰成立作者：汪程来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第12期摘要：证不等式的恒成立、能成立与恰成立求参数范围问题是一种常见的题型，也是高考的热点之一. 这三类问题既有区别又有联系，在教学过程中很多学生容易混淆，它们的意义和转化方法是不同的. 本文结合实例来辨析这三种问题的区别和联系.关键词：不等式；恒成立；能成立；恰成立；辨析不等式恒成立、能成立、恰成立时求参数范围的问题既有区别又有联系，容易混淆，下面举例说明.恒成立例1 （1）若不等式x-4+x-3>a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是______；（2）若不等式x2-2mx+2m+1>0对0≤x≤1的实数x恒成立，则实数m的取值范围是______；（3）对于满足0≤p≤4的实数p，使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是______.解：（1）即（x-4+x-3）min>a.由绝对值的几何意义知，当且仅当3≤x≤4时，x-4+x-3取到最小值（最小值是1），从而得实数a的取值范围是（-∞，1）.（2）设f（x）=x2-2mx+2m+1（0≤x≤1），题意即f（x）min>0，通过分类讨论可求出f （x）min，进而求解本题.但以下的分离常数法更简洁：题意即不等式x2-2mx+2m+1>0对0≤x0），得x2+1>2m（x-1）（0≤x该式成立，即2-2m（3）题意即当0≤p≤4时，f（p）=（x-1）p+x2-4x+3>0恒成立，即f（p）min>0，它又等价于f（0）=x2-4x+3>0，f（4）=x2-1>0，从而可求得x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）.能成立例2 若存在实数x，使不等式x-4+x-3解：题意即（x-4+x-3）min恰成立例3 若关于x的不等式1x+2x+…+（n-1）x+nxa>0（n>1，且n是已知的整数）恰在x 解：题意即关于x的不等式x+x+…+x>-a的解集为（-∞，1）.设f（x）=x+x+…+x，则f（x）是R上的减函数（因为f（x）的每一项都是减函数）.又x∈（-∞，1）？圳f（x）>f（1），所以题意即f（x）>-a？圳f（x）>f（1）.注意到f（x）是R上的减函数，所以-a=f（1）（若-a-a不能推出f（x）>f（1）；若-a>f （1），则f（x）>f（1）不能推出f（x）>-a），得-a=f（1）=，a=，所求a的取值范围是.。

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题作者：谢道仁来源：《科技创新导报》2011年第22期摘要:“恒成立”，“能成立”，“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计,但这些内容是高中内容的重点、难点,同时也是高考和数学竞赛的热点,又因为它们的解法多样,所以这三类问题考生容易混淆不清,笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点,所以在解决“恒成立”，“能成立”，“恰成立”问题是很好的方法。

关键词:恒成立能成立恰成立方法中图分类号:G40 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)08(a)-0189-011 “恒成立”问题[例1](2010天津理数)设函数,对任意,≤恒成立,则实数的取值范围是_______。

【解析】(分离变量法)依据题意并分离变量得：≤在上恒成立。

当时函数取得最小值,所以≤,解得≤或≥。

另解(函数法)接上解得:≥0在上恒成立。

令,则∴令≥在上恒成立。

∴≥且≥ ∴得≤或≥【提示1】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解,即通过分离使其成为≤,然后解这个函数的最小值得≥(或),所以≤,若对原有不等式通过分离变量的方法他离出变量式使其成为,然后解这个函数的最小值得≥或,所以(或≤),其基本步骤:分离变量,构造函数,求最值。

同学们可以类比得出若通过分离变量的方法分离出变量式使其成为≥或的结论。

解决恒成立问题的第二种解法是函数法,即通过构造函数,再利用函数的特性分析解决问题,此例充分体现了分离变量的优越性,显然要比函数法简单且不易出错。

变式引深:若函数在上为增函数,求的取值范围。

解:依题意得:≥在上恒成立,即≤在上恒成立令,∴0,∴在[0,2]可能的最小值为、、∴解得≤【提示2】若此类问题分离变量后(见提示1),的最值难以确定,我们只须分析可能的最值就可以了。

[例2]已知函数,若≥对任意,恒成立,求实数的取值范围。

解:利用导数易得的最小值是∴≤在上恒成立即≤在[-1,1]上恒成立令∴解得【提示3】若分离变量不容易时,应选择函数法求解。