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专题强化竖直上抛运动追及和相遇问题一、选择题1．(多选)某人在高层楼房的阳台上以20m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m处时，所经历的时间可能是(不计空气阻力，g取10m/s2)()A．1sB．2sC．3sD．(2＋7) s[答案]ACD[解析]取竖直向上为正方向，当石块运动到抛出点上方离抛出点15m时，位移为x＝15m，由x＝v0t－12，解得t1＝1s，t2＝3s．其中t1＝1s对应着石块上升过程中离抛出点15m处时2gt所用的时间，而t2＝3s对应着从最高点下落时离抛出点15m处时所用的时间．当石块运动到抛出点下方离抛出点15m处时，位移为x′＝－15m，由x′＝v0t′－12，2gt′解得t1′＝(2＋7) s，t2′＝(2－7) s(舍去)．2．将一小球从足够高的塔顶以某初速度竖直向上抛出，经时间t＝2s小球的速度大小为v＝5m/s，忽略空气阻力，重力加速度g＝10m/s2.则下列说法正确的是()A．初速度大小一定为15m/s,2s末小球在抛出点上方10m处B．初速度大小一定为15m/s,2s末小球在抛出点下方10m处C．初速度大小可能为25m/s,2s末小球在抛出点上方30m处D．初速度大小可能为25m/s,2s末小球在抛出点下方30m处[答案] C[解析] 以竖直向上为正方向，如果2s 末小球的速度方向竖直向上，则由速度公式v ＝v 0－gt ，得小球的初速度为v 0＝v ＋gt ＝25m/s ，小球在0～2s 内的位移为h ＝v 0＋v2t ＝30m ，小球在抛出点的上方；如果2s 末小球的速度方向竖直向下，则由速度公式－v ＝v 0′－gt ，得小球的初速度为v 0′＝－v ＋gt ＝15m/s ，小球在0～2s 内的位移为h ′＝v 0′－v2t ＝10m ，小球仍在抛出点的上方，由以上分析可知C 正确．3．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A 的时间间隔是T A ，两次经过一个较高点B 的时间间隔是T B ，则A 、B 两点之间的距离为( ) A.18g (T A 2－T B 2) B.14g (T A 2－T B 2) C.12g (T A 2－T B 2) D.12g (T A －T B ) [答案] A[解析] 物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A 的时间t A ＝T A 2，从竖直上抛运动的最高点到点B 的时间t B ＝T B2，则A 、B 两点的距离x ＝12gt A 2－12gt B 2＝18g (T A 2－T B 2)．4.甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v －t 图像如图1所示，由图可知( )图1A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲B．t＝20s时，乙追上甲C．在t＝20s之前，甲比乙运动快；在t＝20s之后，乙比甲运动快D．由于乙在t＝10s时才开始运动，所以t＝10s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离[答案] C[解析]从题图中可以看出开始甲比乙运动快，且早出发，但是甲做匀速运动，乙做匀加速运动，最终乙是可以追上甲的，A项错误；t＝20s时，v－t图像中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B项错误；在t＝20s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20s之后，乙的速度大于甲的速度，C项正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，距离最大，对应的时刻为t＝20s，D项错误．5．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在如图2描述两车运动的v－t图像中，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是()图2A．在0～10s内两车逐渐靠近B．在10～20s内两车逐渐远离C．在t＝10s时两车在公路上相遇D．在5～15s内两车的位移相等[答案] D[解析]在0～10s内，乙车在甲的前方，而且乙的速度大于甲的速度，则两车逐渐远离，故A错误．在10～20s内，乙车在甲的前方，乙的速度小于甲的速度，则两车逐渐靠近，故B 错误．根据v－t图线和时间轴围成的“面积”表示物体的位移，可以看出，在t＝10s时乙车的位移大于甲车的位移，t＝0时刻又在同一位置出发，所以在t＝10s时两车没有相遇，故C 错误．在5～15s内两车图线与时间轴围成的“面积”相等，则通过的位移相等，故D正确．6．(多选)两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶，t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v－t图像如图所示，则下列图像对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是()[答案]AC[解析]选项A图中当t＝20s时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b追上a，所以选项A正确；选项B图中a图线与时间轴所围的“面积”始终小于b图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项B错误；选项C图中，在t＝20s时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b追上a，所以选项C正确；选项D图中a图线与时间轴所围的“面积”始终小于b图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项D错误．7.甲、乙两辆汽车同时从同一地点沿同一直线由静止出发，它们的速度－时间图像如图3所示，下列说法中正确的是()图3A．乙车在0～d时间内始终做匀减速运动B．乙车在a时刻以后一直做匀变速运动C．两辆汽车在b时刻相距最远D．甲车在c时刻被乙车追上[答案] B[解析]对于乙车，0～a时间内沿负方向做匀加速直线运动，a～b时间内沿负方向做匀减速直线运动，所以A错误；a～d时间内乙车做匀变速直线运动，整个过程的加速度不变，所以B正确；在c时刻甲、乙速度相同，可知此时甲、乙相距最远，甲并没有被乙追上，所以C、D错误．8．(多选)在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们的位移x(m)随时间t(s)变化的规律：汽车为x＝10t－14t2，自行车为x＝6t，则下列说法正确的是()A．汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速运动B ．不能确定汽车和自行车各做什么运动C ．开始经过路标后较短时间内汽车在前，自行车在后D ．当自行车追上汽车时，它们距路标96m [答案] ACD[解析] 汽车的位移时间关系为x ＝10t －14t 2，可知汽车做匀减速直线运动，自行车的位移时间关系为x ＝6t ，可知自行车做匀速直线运动，选项A 正确，B 错误；开始阶段汽车的初速度大于自行车的速度，所以在较短时间内汽车的位移大于自行车的位移，汽车在前，自行车在后，选项C 正确；根据10t －14t 2＝6t 得t ＝16s ，此时距路标的距离s ＝96m ，选项D 正确．二、非选择题9．(2019·银川一中高一上学期期末)高台跳水运动员从离水面高H ＝10m 的跳台上，以10m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，将人视为质点，取g ＝10m/s 2.求： (1)运动员上升的最大高度(以跳台平面为参考面)； (2)运动员从跳离跳台到入水的时间．(结果可用根式表示) [答案] (1)5m (2)(1＋3) s[解析] (1)运动员上升的最大高度h 1＝v 022g ＝5m.(2)由v ＝v 0－gt 1得运动到最高点的时间t 1＝－v 0－g＝1s运动员自由下落的总位移为：h 2＝h 1＋H ＝15m 由h 2＝12gt 22自由下落的时间t 2＝2h 2g＝3s 运动员从跳离跳台到入水的时间t 总＝t 1＋t 2＝(1＋3) s.10．A 、B 两车沿同一直线同方向运动，A 车的速度v A ＝4m/s ，B 车的速度v B ＝10m/s.当B 车运动至A 车前方7m 处时，B 车刹车并以大小为a ＝2m/s 2的加速度做匀减速运动，从该时刻开始计时，求：(1)A 车追上B 车之前，两车间的最大距离； (2)经多长时间A 车追上B 车． [答案] (1)16m (2)8s[解析] (1)当B 车速度等于A 车速度时，两车间距最大． 设经时间t 1两车速度相等， 有：v B ′＝v B －at 1，v B ′＝v A B 的位移：x B ＝v B t 1－12at 12，A 的位移：x A ＝v A t 1， 则：Δx m ＝xB ＋7－x A ， 解得：Δx m ＝16m.(2)设B 车停止运动所需时间为t 2， 则t 2＝v Ba＝5s ，此时A 的位移x A ′＝v A t 2＝20m ， B 的位移x B ′＝v B t 2－12at 22＝25m ，A 、B 间的距离Δx ＝x B ′－x A ′＋7m ＝12m ， A 追上B 还需时间t 3＝Δxv A ＝3s ，故A 追上B 的总时间t ＝t 2＋t 3＝8s.11．一只气球以10m/s 的速度匀速竖直上升，某时刻在气球正下方距气球6m 处有一小球以20m/s 的初速度竖直上抛，g 取10m/s 2，不计小球受到的空气阻力．(1)不考虑上方气球对小球运动的可能影响，求小球抛出后上升的最大高度和时间． (2)小球能否追上气球？若追不上，说明理由；若能追上，需要多长时间？ [答案] (1)20m 2s(2)小球追不上气球，理由见[解析][解析] (1)设小球上升的最大高度为h ，时间为t ，则h ＝v 022g ，解得h ＝20m ，t ＝v 0g，解得t ＝2s. (2)设小球达到与气球速度相同时经过的时间是t 1，则 v 气＝v 小＝v 0－gt 1， 解得t 1＝1s在这段时间内气球上升的高度为x 气，小球上升的高度为x 小，则 x 气＝v t 1＝10m x 小＝v 0t 1－12gt 12＝15m由于x 气＋6m>x 小，所以小球追不上气球．12．(拓展提升)(2019·唐山一中月考)一辆巡逻车能在t 1＝10s 内由静止加速到最大速度v 2＝ 50m/s ，并能保持这个速度匀速行驶．在平直的高速公路上，该巡逻车由静止开始启动加速，追赶前方2000m 处正以v 1＝35m/s 的速度匀速行驶的一辆卡车，问： (1)巡逻车在追上卡车之前，巡逻车与卡车间的最大距离为多少？ (2)巡逻车至少需要多长时间才能追上卡车？ [答案] (1)2122.5m (2)150s[解析] (1)当巡逻车加速到与卡车速度相等时，它们之间有最大距离L ，设此过程时间为t 2，则：对巡逻车：匀加速阶段有v 2＝at 1加速到与卡车速度相等时：v 1＝at 2，x 1＝12at 22对卡车：x 2＝v 1t 2 最大距离L ＝x 2＋d －x 1联立以上各式，代入数据解得L ＝2122.5m. (2)巡逻车加速过程的位移：x 3＝12at 12＝250m卡车在此过程中的位移：x 4＝v 1t 1＝350m因为x 3＜d ＋x 4，所以巡逻车在加速过程无法追上卡车，要追上，必须有一个匀速过程 设追上至少用的总时间为t .则： 12at 12＋v 2(t －t 1)＝d ＋v 1t 解得：t ＝150s.。
物理必修1第二章专题复习2：追及与相遇问题一、选择题。
1.如图所示，A、B两物体相距s=7m，物体A以v A=4m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度v B=10m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a=−2m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为（）A.7sB.8sC.9sD.10s2. 近年来，全国多地多次发生严重雾霾天气，能见度不足100m．在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前、甲在后同向行驶．某时刻两车司机同时听到前方提示，同时开始刹车，结果两辆车发生了碰撞．图示为两辆车刹车后若不相撞的v−t图像，由此可知（）A.两辆车刹车时相距的距离一定等于112.5mB.两辆车刹车时相距的距离一定小于90mC.两辆车一定是在刹车后的20s之内的某时刻相撞的D.两辆车一定是在刹车后的20s以后的某时刻相撞的二、多选题。
做直线运动的甲、乙两物体的位移一时间图像如图所示，则（）A.当乙开始运动时，两物体相距20mB.在0∼10s这段时间内，物体间的距离逐渐变大C.在10∼25s这段时间内，物体间的距离逐渐变小D.两物体在10s时相距最远，在25s时相遇三、解答题。
一辆违章汽车以v1=54km/ℎ的速度在平直道路上行驶，当这辆违章的汽车刚刚超过一辆警车时，警车立即从静止开始以a=2.5m/s2的加速度匀加速追赶．求：（1）警车启动后追上违章车所用的时间t；（2）警车追上违章车前，两车之间的最大距离d．在2016年学校田径运动会的800米比赛中，王明很想得冠军，他一直冲在最前面，由于开始体力消耗太大，最后在直道上距终点50米处时便只能保持5m/s的速度匀速前进而不能加速冲刺，此时一直保持在王明后面的李华在直道上距王明6.25米，速度为4m/s，李华立即发力并以恒定的加速度匀加速冲刺，到达终点时的速度为8.5m/s．试分析：（1）李华冲刺的加速度多大？（2）王明、李华谁先到达终点而获得冠军？（3）王明和李华中任意一个跑到终点前，他们之间的最大距离是多少？在一条平直的公路上，一货车以108km/ℎ的速率超速行驶，货车刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为5m/s2．问：（1）刹车后此货车最多前进多远？（2）司机突然发现前方40m处的路口有一人骑自行车驶进货车行驶的车道，并以5m/s速度同向匀速前进，司机开始制动，但司机的反应时间为0.4s，问骑自行车的人是否有危险？（3）若自行车和货车同向运动但不同道（因而不会相撞），货车司机由于误判仍然做出跟第二问相同的动作，那么，货车停车前与自行车相遇的时间是多少？（取√13= 3.6）如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B 间的距离为85m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1=2.5m/s2，甲车运动6s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2=5.0m/s2，问两辆汽车相遇几次？相遇处距A处多远？汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌（如图所示），以提醒后面驾车司机，减速安全通过．在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50m的物体，并且他的反应时间为0.6s，制动后最大加速度大小为5m/s2．求：（1）小轿车从刹车到停止所用的最短时间；（2）三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞．在平直的公路上，当一辆公共汽车以v0=12m/s的速度从某同学身旁经过时，该同学想乘车，立刻以v1=4m/s的速度跑动去追赶该公共汽车，司机看到有人追赶汽车想乘车，立刻制动，让公共汽车做加速度a=−2m/s2的匀减速直线运动（在运动过程中，可以把公共汽车看成质点），求：（1）该同学何时与汽车有最大距离，最大距离为多少？（2）该同学何时追上汽车？追赶过程运动的位移大小为多少？如果公路上有一列汽车车队以10m/s的速度正在匀速行驶，相邻车间距为25m，后面有一辆摩托车以20m/s的速度同向行驶，当它距离车队最后一辆车25m时刹车，以0.5m/s2的加速度做匀减速运动，摩托车在车队旁边行驶而过，设车队车辆数足够多，求：（1）摩托车从赶上最后一辆车到又被最后一辆车反超，共经历多长时间？（2）摩托车最多与几辆汽车相遇？最多与车队中汽车相遇几次？参考答案与试题解析物理必修1第二章专题复习2：追及与相遇问题一、选择题。
追及和相遇问题[学习目标] 1.会分析追及相遇问题，理解两者速度相等为临界条件.2.会根据位移关系、时间关系列方程．1．追及相遇问题两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题． 2．分析追及相遇问题的思路和方法(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系． 一个条件速度相等这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点 两个关系 时间关系和位移关系通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口(2)常用方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系图像法将两者的v -t 图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解数学分析法 设从开始到相遇的时间为t ，根据条件列位移关系方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s 2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m 处以5 m/s 的速度做同方向的匀速运动，问：(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？ (2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？ 答案 (1)40 s 20 m/s 400 m (2)10 s 225 m解析 (1)设甲经过时间t 追上乙，则有x 甲＝12a 甲t 2，x 乙＝v 乙t ，根据追及条件，有12a 甲t 2＝x 0＋v 乙t ，代入数据解得t ＝40 s 和t ＝－20 s(舍去)这时甲的速度v 甲＝a 甲t ＝0.5×40 m/s ＝20 m/s 甲离出发点的位移x 甲＝12a 甲t 2＝12×0.5×402 m ＝400 m.(2)在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小；当v 甲＝v 乙，甲、乙之间的距离达到最大值．由a 甲t ′＝v 乙，得t ′＝v 乙a 甲＝50.5 s ＝10 s ，即甲在10 s 末离乙的距离最大．x max ＝x 0＋v 乙t ′－12a 甲t ′2＝200 m ＋5×10 m －12×0.5×102 m ＝225 m.汽车以20 m/s 的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s 停下来．现在同一平直公路上以20 m/s 的速度行驶时发现前方200 m 处有一货车以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则：(1)求汽车刹车时的加速度大小；(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 答案 (1)0.5 m/s 2 (2)不会相撞 4 m 解析 (1)汽车制动加速度大小a ＝v At ＝0.5 m/s 2(2)当汽车减速到与货车共速时t 0＝v A －v Ba ＝28 s汽车运动的位移x 1＝v A 2－v B 22a ＝364 m此时间内货车运动的位移为x 2＝v B t 0＝168 m Δx ＝x 1－x 2＝196 m ＜200 m ，所以两车不会相撞．此时两车相距最近，最近距离Δs ＝x 0－Δx ＝200 m －196 m ＝4 m.一辆小汽车以30 m/s 的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m 处有一辆大卡车以10 m/s 的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图1所示，图线a 、b 分别为小汽车和大卡车的v －t 图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是( )图1A ．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故B ．在t ＝3 s 时发生追尾事故C ．在t ＝5 s 时发生追尾事故D ．若紧急刹车时两车相距40 m ，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m 答案 B解析 根据速度—时间图线与时间轴所围“面积”表示位移，由题图知，t ＝3 s 时大卡车的位移为：x b ＝v b t ＝10×3 m ＝30 m小汽车的位移为：x a ＝12×(30＋20)×1 m ＋12×(20＋15)×2 m ＝60 m则：x a －x b ＝30 m所以在t ＝3 s 时发生追尾事故，故B 正确，A 、C 错误；由v －t 图线可知在t ＝5 s 时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：Δx ＝12×(20＋10)×1 m＋12×10×4 m ＝35 m<40 m 则不会发生追尾事故且两车最近时相距Δs ＝x 0－Δx ＝5 m ，故D 错误．追及相遇问题的常见情况初速度小者追初速度大者情景图匀加速追匀速 匀速追匀减速匀加速追匀减速t ＝t 0以前(v 2＜v 1) 两物体距离增大t ＝t 0时(v 1＝v 2) 相距最远 t ＝t 0以后(v 2＞v 1)两物体距离减小 追及情况只能追上一次初速度大者追初速度小者情景图匀减速追匀速 匀速追匀加速匀减速追匀加速t 0时刻以前(v 2＞v 1)两物体距离减小 t 0时刻(v 2＝v 1)若Δx ＝x 0，恰好追上若Δx ＜x 0，追不上，有最小距离若Δx ＞x 0，相遇两次1．(多选)(2020·黄山市高一期末)A 、B 两物体在同一直线上运动的v －t 图像如图1所示，已知在第4 s 末两物体相遇，则下列说法正确的是( )图1A ．两物体从同一地点出发B ．出发时A 在B 前方4 m 处C ．两物体运动过程中，A 的加速度小于B 的加速度D ．第4 s 末两物体相遇之后，两物体可能再相遇 答案 BC解析 由速度－时间图像与t 轴所围的“面积”表示位移可知，两物体在0～4 s 内的位移不相等，而在第4 s 末相遇，可知出发点不同，A 错误； x A ＝12×4×4 m ＝8 mx B ＝12×6×4 m ＝12 m已知在第4 s 末相遇，则出发时A 在B 前方4 m 处，B 正确；由于A 图线的斜率小于B 图线的斜率，可知A 的加速度小于B 的加速度，C 正确； 相遇后A 的速度始终小于B 的速度，所以两物体不会再次相遇，D 错误．2．甲、乙两辆汽车(均可看成质点)在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t ＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v －t 图像中(如图2)，直线a 、b 分别描述了甲、乙两车在0～20 s 内的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是( )图2A ．在0～10 s 内两车逐渐靠近B ．在10～20 s 内两车逐渐远离C ．在5～15 s 内两车的位移相等D ．在t ＝10 s 时两车在公路上相遇 答案 C3．(2021·常州一中高一上期中)甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，此时甲的速度为5 m/s ，乙的速度为10 m/s ，甲车的加速度大小恒为1.2 m/s 2.以此时作为计时起点，它们的速度随时间变化的关系如图3所示，根据以上条件可知( )图3A ．乙车做加速度先增大后减小的变加速运动B ．在前4 s 的时间内，甲车的位移为29.6 mC ．在t ＝4 s 时，甲车追上乙车D ．在t ＝10 s 时，乙车又回到起始位置 答案 B解析 v －t 图像的斜率表示物体的加速度，由题图可知，乙的加速度先减小后增大，最后再减小，故A 错误；在前4 s 的时间内，甲车的位移为x ＝v 0t ＋12at 2＝5×4 m ＋12×1.2×16 m ＝29.6 m ，故B 正确；在t ＝4 s 时，两车的速度相同，但经过的位移不同，故两车没有相遇，故C 错误；在10 s 前，乙车速度一直为正，乙车一直沿正方向运动，故乙车没有回到起始位置，故D 错误．4．在十字路口，一辆汽车以0.5 m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速直线运动，此时恰好有一辆自行车以5 m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： (1)什么时候它们相距最远？最远距离是多少？(2)在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？ 答案 (1)10 s 时 25 m (2)距停车线100 m 处 10 m/s 解析 (1)由题意知两车速度相等时相距最远，设所用时间为t 汽车做初速度为零的匀加速直线运动，所以v 汽＝at ＝v 自 代入数据得t ＝10 s最远距离x ＝x 自－x 汽＝v 自t －12at 2＝25 m.(2)汽车追上自行车时，它们相对于停车线的位移相等，设汽车追上自行车所用时间为t ′ 此时x 自＝x 汽， 即：v 自t ′＝12at ′2.代入数据得t ′＝20 s.此时距停车线距离x ′＝v 自t ′＝100 m. 此时汽车速度v 汽′＝a t ′＝10 m/s.5．A 、B 两列火车，在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度v A ＝10 m/s ，B 车在后，其速度v B ＝30 m/s ，因大雾能见度低，B 车在距A 车x 0＝85 m 时才发现前方有A 车，这时B 车立即刹车，但B 车要经过180 m 才能停止．求： (1)B 车刹车的加速度大小；(2)若B 车刹车时A 车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B 车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？ 答案 (1)2.5 m/s 2 (2)不会相撞 5 m解析 (1)设B 车刹车过程的加速度大小为a B ，由运动学公式有 0－v B 2＝－2a B x 解得a B ＝2.5 m/s 2(2)设经过时间t 两车相撞，则有： v B t －12a B t 2＝x 0＋v A t ，即30t －12×2.5t 2＝85＋10t整理得t 2－16t ＋68＝0由Δ＝162－4×68＜0，可知t 无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时 v A ＝v B －a B t 1，代入数据得t 1＝8 s 此过程中x B ＝v B t 1－12a B t 12＝160 mx A ＝v A t 1＝80 m ，两车的最近距离Δx ＝x 0＋x A －x B ＝5 m.6．A 、B 两车沿同一直线同方向运动，A 车的速度v A ＝4 m/s ，B 车的速度v B ＝10 m/s.当B 车运动至A 车前方7 m 处时，A 车的速度保持不变，B 车刹车并以大小为a ＝2 m/s 2的加速度做匀减速运动，从该时刻开始计时，求： (1)A 车追上B 车之前，两车间的最大距离； (2)经多长时间A 车追上B 车． 答案 (1)16 m (2)8 s解析 (1)当B 车速度等于A 车速度时，两车间距最大． 设经时间t 1两车速度相等，有： v B ′＝v B －at 1，v B ′＝v A B 车的位移：x B ＝v B t 1－12at 12，A 车的位移：x A ＝v A t 1， 则：Δx m ＝xB ＋7 m －x A ， 解得：Δx m ＝16 m.(2)设B 车停止运动所需时间为t 2， 则t 2＝v Ba＝5 s ，此时A 车的位移x A ′＝v A t 2＝20 m ， B 车的位移x B ′＝v B t 2－12at 22＝25 m ，A 、B 两车间的距离Δx ＝x B ′－x A ′＋7 m ＝12 m ， A 车追上B 车还需时间t 3＝Δxv A＝3 s ， 故A 车追上B 车的总时间t ＝t 2＋t 3＝8 s.7．两辆玩具小车在同一水平轨道上运动，在t ＝0时刻，甲车在乙车前面s 0＝4 m 的地方以速度v 0＝2 m/s 匀速行驶，此时乙车立即从静止开始做加速度a ＝1 m/s 2的匀加速直线运动去追甲车，乙车达到速度v m ＝3 m/s 后开始匀速运动．(1)从开始经过多长时间乙车落后甲车最远，这个距离是多少？(2)从开始经过多长时间乙车追上甲车，此时乙车通过位移的大小是多少？ 答案 (1)2 s 6 m (2)8.5 s 21 m解析 (1)当两车速度相等时相距最远，即v 0＝at 0， 故t 0＝2 s ，此时两车距离x ＝s 0＋v 0t 0－12at 02解得x ＝6 m ；(2)先研究乙车从开始到速度达到v m 时与甲车的距离． 对乙车：v m ＝at 1,2ax 乙＝v m 2 对甲车：x 甲＝v 0t 1解得x 甲＝6 m ，x 乙＝4.5 m ，t 1＝3 sx 甲＋s 0>x 乙，故乙车达到最大速度时未追上甲车，此时两车间距为Δs ＝x 甲＋s 0－x 乙＝5.5 m ， 乙车追上甲车还需要时间t 2＝Δs v m －v 0＝5.53－2s ＝5.5 s ，故乙追上甲的总时间t 总＝t 1＋t 2＝8.5 s ，此时乙车的位移为x 总＝x 乙＋v m t 2＝(4.5＋3×5.5) m ＝21 m.8．一只气球以10 m/s 的速度匀速竖直上升，某时刻在气球正下方距气球6 m 处有一小球以20 m/s 的初速度竖直上抛，g 取10 m/s 2，不计小球受到的空气阻力．(1)不考虑上方气球对小球运动的可能影响，求小球抛出后上升的最大高度和时间． (2)小球能否追上气球？若追不上，说明理由；若能追上，需要多长时间？ 答案 (1)20 m 2 s(2)小球追不上气球 理由见解析解析 (1)设小球上升的最大高度为h ，时间为t ， 则h ＝v 022g ，解得h ＝20 m ，t ＝v 0g，解得t ＝2 s. (2)设小球达到与气球速度相同时经过的时间是t 1，则 v 气＝v 小＝v 0－gt 1， 解得t 1＝1 s设在这段时间内气球上升的高度为x 气，小球上升的高度为x 小，则x 气＝v 气t 1＝10 m x 小＝v 0t 1－12gt 12＝15 m由于x 气＋6 m>x 小，所以小球追不上气球．。
[学习目标] 1.知道竖直上抛运动是匀变速直线运动，会利用分段法或全程法求解竖直上抛的有关问题.2.会分析追及相遇问题，会根据两者速度关系和位移关系列方程解决追及相遇问题．一、竖直上抛运动1．竖直上抛运动将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动．2．运动性质先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程中加速度始终为g，全段为匀变速直线运动．3．运动规律通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g.(1)速度公式：v＝v0－gt.(2)位移公式：h ＝v 0t －12gt 2.(3)位移和速度的关系式：v 2－v 02＝－2gh . (4)上升的最大高度：H ＝v 202g.(5)上升到最高点(即v ＝0时)所需的时间：t ＝v 0g .4．运动的对称性 (1)时间对称物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t 上＝t 下． (2)速率对称物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反．气球下挂一重物，以v 0＝10 m/s 的速度匀速上升，当到达离地面高175 m 处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地前瞬间的速度多大？(空气阻力不计，g 取10 m/s 2) 答案 7 s 60 m/s 解析 解法一 分段法绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下降． 重物上升阶段，时间t 1＝v 0g ＝1 s ，由v 02＝2gh1知，h 1＝v 202g＝5 m 重物下降阶段，下降距离H ＝h 1＋175 m ＝180 m 设下落时间为t 2，则H ＝12gt 22，故t 2＝2Hg＝6 s重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s，落地前瞬间的速度v＝gt2＝60 m/s.解法二全程法取初速度方向为正方向重物全程位移h＝v0t－12＝－175 m2gt可解得t＝7 s(t＝－5 s舍去)由v＝v0－gt，得v＝－60 m/s，负号表示方向竖直向下．竖直上抛运动的处理方法1．分段法(1)上升过程：v0≠0、a＝g的匀减速直线运动．(2)下降过程：自由落体运动．2．全程法(1)整个过程：初速度v0向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律v＝v0－gt，h ＝v0t－12.2gt(2)正负号的含义(取竖直向上为正方向)①v＞0表示物体上升，v＜0表示物体下降．②h＞0表示物体在抛出点上方，h＜0表示物体在抛出点下方．(2019·天津益中学校高一月考)在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A ，物体上升的最大高度为20 m ，不计空气阻力，设塔足够高，则：(g 取10 m/s 2)(1)物体抛出的初速度大小为多少？(2)物体位移大小为10 m 时，物体通过的路程可能为多少？(3)若塔高H ＝60 m ，求物体从抛出到落到地面的时间和落地速度大小． 答案 (1)20 m /s (2)10 m 30 m 50 m (3)6 s 40 m/s解析 (1)设初速度为v 0，竖直向上为正，有－2gh ＝0－v 02，故v 0＝20 m/s.(2)位移大小为10 m ，有三种可能：向上运动时x ＝10 m ，返回时在出发点上方10 m ，返回时在出发点下方10 m ，对应的路程分别为s 1＝10 m ，s 2＝(20＋10) m ＝30 m ，s 3＝(40＋10) m ＝50 m.(3)落到地面时的位移x ＝－60 m ，设从抛出到落到地面用时为t ，有x ＝v 0t －12gt 2，解得t ＝6 s(t ＝－2 s 舍去)落地速度v ＝v 0－gt ＝(20－10×6) m /s ＝－40 m/s ，则落地速度大小为40 m/s. 二、追及、相遇问题 1．分析追及问题的注意事项(1)要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件；两个关系是时间关系和位移关系．通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动． 2．解题基本思路和方法分析两物体的运动过程⇒画运动示意图⇒找两物体位移关系⇒列位移方程(2019·汉阳一中月考)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在他前面x 0＝13 m 远处以v 0＝8 m/s 的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t 0＝2.5 s ，警车发动起来，以加速度a ＝2 m/s 2做匀加速直线运动，求：(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t ； (2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δx m . 答案 (1)11 s (2)49 m解析 (1)警车开始运动时，货车在它前面 Δx ＝x 0＋v 0t 0＝13 m ＋8×2.5 m ＝33 m 警车运动位移：x 1＝12at 2货车运动位移：x 2＝v 0t警车要追上货车满足：x 1＝x 2＋Δx联立并代入数据解得：t ＝11 s(t ＝－3 s 舍去) (2)警车速度与货车速度相同时，相距最远 对警车有：v 0＝at ′ x 1′＝12at ′2，x 2′＝v 0t ′最远距离：Δx m ＝x 2′－x 1′＋Δx ＝49 m.针对训练 (2019·宁夏育才中学高一上学期期末)汽车以20 m /s 的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s 停下来．现在同一平直公路上以20 m/s 的速度行驶时发现前方200 m 处有一货车以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则：(1)求汽车刹车时的加速度大小；(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 答案 (1)0.5 m/s 2 (2)不会相撞 最近相距4 m 解析 (1)汽车制动加速度大小a ＝v At ＝0.5 m/s 2(2)当汽车减速到与货车共速时t 0＝v A －v Ba ＝28 s汽车运动的位移x 1＝v 2A －v 2B 2a ＝364 m此时间内货车运动的位移为x 2＝v B t 0＝168 m Δx ＝x 1－x 2＝196 m ＜200 m ，所以两车不会相撞．此时两车相距最近，最近距离Δs ＝x 0－Δx ＝200 m －196 m ＝4 m.一辆小汽车以30 m /s 的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m 处有一辆大卡车以10 m/s 的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图1所示，图线a 、b 分别为小汽车和大卡车的v －t 图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是( )图1A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故B．在t＝3 s时发生追尾事故C．在t＝5 s时发生追尾事故D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m答案 B解析根据速度—时间图线与时间轴所围“面积”大小等于位移大小，由题图知，t＝3 s时大卡车的位移为：x b＝v b t＝10×3 m＝30 m小汽车的位移为：x a＝12×(30＋20)×1 m＋12×(20＋15)×2 m＝60 m则：x a－x b＝30 m所以在t＝3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误；由v－t图线可知在t＝5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：Δx＝12×(20＋10)×1 m＋12×10×4 m＝35 m<40 m则不会发生追尾事故且两车最近时相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D错误．追及相遇问题常见情况1．速度小者追速度大者类型图像说明2.速度大者追速度小者1．(竖直上抛运动)(多选)某物体以30 m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取10 m/s 2,5 s 内物体的( ) A ．路程为65 mB ．位移大小为25 m ，方向竖直向上C ．速度改变量的大小为10 m/sD ．平均速度大小为13 m/s ，方向竖直向上 答案 AB解析 初速度为30 m/s ，只需要t 1＝v 0g ＝3 s 即可上升到最高点，位移为h 1＝12gt 12＝45 m ，再自由下落2 s 时间，下降高度为h 2＝12gt 22＝20 m ，故路程为s ＝h 1＋h 2＝65 m ，A 项对；此时离抛出点高x ＝h 1－h 2＝25 m ，位移方向竖直向上，B 项对；5 s 末时速度为v 5＝v 0－gt ＝－20 m /s ，速度改变量大小为Δv ＝|v 5－v 0|＝50 m/s ，C 项错；平均速度为v ＝xt ＝5 m/s ，方向竖直向上，D 项错．2．(追及相遇问题)(2019·龙岩市期末)甲、乙两车在平直的公路上同时同地沿同一方向做直线运动，它们的v －t 图像如图2所示，在0～20 s 这段时间内，下列说法正确的是( )图2A ．在t ＝10 s 时两车相遇B ．在t ＝10 s 时两车相距最近C ．在t ＝20 s 时两车相遇D ．在t ＝20 s 时，乙车在甲车前面 答案 C解析 0～10 s 内甲车的速度比乙车的大，甲车在乙车的前方，两者间距增大；t ＝10 s 后乙的速度比甲的大，两者间距减小，所以t ＝10 s 时甲、乙两车相距最远，故A 、B 错误；根据v －t 图线与时间轴所围“面积”表示位移，可知t ＝20 s 时甲、乙的位移相等，两车相遇，故C 正确，D 错误．3．(竖直上抛与相遇综合问题)以初速度v 0＝20 m/s 竖直向上抛出一小球，2 s 后以相同的初速度在同一点竖直上抛另一小球，问两小球在离抛出点多高处相遇(g 取10 m/s 2)( ) A ．10 m B ．15 m C ．20 m D ．5 m 答案 B解析 先竖直向上抛出的小球到达最高点所用的时间为t ＝v 0g ＝2010 s ＝2 s ，所以另一小球抛出时，它恰好在最高点将要做自由落体运动．由竖直上抛运动的对称性可得，两小球再经过1 s 后相遇．故两小球相遇处离抛出点的高度为h ＝v 0t －12gt 2＝20×1 m －12×10×12 m ＝15 m.4．(追及相遇问题)当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a ＝2 m /s 2 的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s 的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则： (1)客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？答案(1)10 s100 m(2)25 m解析(1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，设经过t1时间客车追上货车，则v2t1＝12，2at1代入数据解得t1＝10 s，客车追上货车时离路口的距离x＝12＝12×2×102 m＝100 m.2at1(2)两车距离最远时，两车应具有相等的速度，设经过时间为t2，则v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s.最大距离Δx＝v2t2－12＝10×5 m－12×2×52 m＝25 m.2at2训练1竖直上抛运动1．(2019·莆田四中、莆田六中高一联考)某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高的横杆．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度约为() A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s答案 B解析由题可知，人的重心在跳高时升高约0.9 m，因而初速度v0＝2gh≈4 m/s，故选B.2.(2019·湛江市模拟)如图1所示，将一小球以10 m/s的初速度在某高台边缘竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2，则3 s内小球运动的()图1A ．路程为25 mB ．位移为15 mC ．速度改变量为30 m/sD ．平均速度为5 m/s 答案 A解析 由x ＝v 0t －12gt 2得位移x ＝－15 m ，B 错误；平均速度v ＝xt ＝－5 m/s ，D 错误；小球竖直上抛，由v ＝v 0－gt 得速度的改变量Δv ＝－gt ＝－30 m/s ，C 错误；上升阶段通过路程x 1＝v 22g ＝5 m ，下降阶段通过的路程x 2＝12gt 22，t 2＝t －v 0g＝2 s ，解得x 2＝20 m ，所以3 s 内小球运动的路程为x 1＋x 2＝25 m ，A 正确．3．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A 的时间间隔是T A ，两次经过一个较高点B 的时间间隔是T B ，则A 、B 两点之间的距离为( ) A.18g (T A 2－T B 2) B.14g (T A 2－T B 2) C.12g (T A 2－T B 2) D.12g (T A －T B ) 答案 A解析 物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A 的时间t A ＝T A 2，从竖直上抛运动的最高点到点B 的时间t B ＝T B2，则A 、B 两点的距离x ＝12gt A 2－12gt B 2＝18g (T A 2－T B 2)．4．(多选)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔为2 s，它们运动的v－t图像分别如图2中直线甲、乙所示．则()图2A．t＝2 s时，两球的高度差一定为40 mB．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等C．两球从抛出至落到地面所用的时间相等D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球的相等答案BD解析根据v－t图像与时间轴所围面积表示位移，t＝2 s时，甲球的位移为40 m，乙球位移为0，但需注意题干两球从距地面不同高度处抛出，故高度差不一定等于位移差，A错误；t ＝4 s时，对甲球位移为t轴上方面积减去下方面积，代表的位移为40 m，乙球位移也为40 m，B正确；由于初速度相同，两球从抛出到回到抛出点的运动情况一致，所以到达最高点的时间间隔和回到抛出点的时间相等，D正确；由于抛出点高度不同，回到抛出点之后的运动时间不同，所以落到地面的时间间隔不同，C错误．5．(多选)某人在高层楼房的阳台上以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经历的时间可能是(不计空气阻力，g取10 m/s2)()A．1 s B．2 s C．3 s D．(2＋7) s答案ACD解析取竖直向上为正方向，当石块运动到抛出点上方离抛出点15 m时，位移为x＝15 m，由x＝v0t－12，解得t1＝1 s，t2＝3 s．其中t1＝1 s对应着石块上升过程中离抛出点15 m处2gt时所用的时间，而t 2＝3 s 对应着从最高点下落时离抛出点15 m 处时所用的时间．当石块运动到抛出点下方离抛出点15 m 处时，位移为x ′＝－15 m ，由x ′＝v 0t ′－12gt ′2，解得t 1′＝(2＋7) s ，t 2′＝(2－7) s(舍去)．6．(2016·江苏卷)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v 和位置x 的关系图像中，能描述该过程的是( )答案 A解析 由运动学公式可得小球与地面碰撞后速度v 与位置x 的关系为v ＝v 20－2gx ，从最高点下落时二者的关系为v ＝－2g (x 0－x )，对比图像可知A 项正确．7．(2019·武威市第六中学月考)某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动．火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s 到达离地面40 m 高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2，求： (1)燃料恰好用完时火箭的速度大小； (2)火箭上升离地面的最大高度； (3)火箭从发射到返回发射点的时间． 答案 (1)20 m/s (2)60 m (3)9.46 s解析 (1)设燃料恰好用完时火箭的速度为v ，根据运动学公式有h ＝v 2t ，解得v ＝20 m/s.(2)火箭能够继续上升的时间t 1＝v g ＝2010s ＝2 s火箭能够继续上升的高度h1＝v22g ＝2022×10m＝20 m因此火箭离地面的最大高度H＝h＋h1＝60 m.(3)火箭由最高点落至地面的时间t2＝2Hg＝2×6010s＝2 3 s，火箭从发射到返回发射点的时间t总＝t＋t1＋t2≈9.46 s.训练2追及和相遇问题1．(多选)(2019·遵义航天高中模拟)在某次遥控车漂移激情挑战赛中，若a、b两个遥控车从同一地点向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图1所示，则下列说法正确的是()图1A．b车启动时，a车在其前方2 m处B．运动过程中，b车落后a车的最大距离为4 mC．b车启动3 s后恰好追上a车D．b车超过a车后，两车不会再相遇答案CD解析根据速度—时间图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b在t＝2 s时启动，此时a的位移为x＝12×1×2 m＝1 m，即a车在b车前方1 m处，选项A错误；当两车的速度相等时，相距最远，最大距离为x max＝1.5 m，选项B错误；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时两车才相遇，由题图可知，b车启动3 s后(即t＝5 s)的位移x b＝12×2×2m ＋2×1 m ＝4 m ，x a ＝12×1×2 m ＋3×1 m ＝4 m ，故b 车启动3 s 后恰好追上a 车，C 正确；b 车超过a 车后，由于b 的速度大，所以不可能再相遇，选项D 正确．2．(多选)两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶，t ＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v －t 图像如图所示，则下列图像对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是( )答案 AC解析 选项A 图中当t ＝20 s 时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b 追上a ，所以选项A 正确；选项B 图中a 图线与时间轴所围的“面积”始终小于b 图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项B 错误；选项C 图中，在t ＝20 s 时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b 追上a ，所以选项C 正确；选项D 图中a 图线与时间轴所围的“面积”始终小于b 图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项D 错误．3．A 、B 两车沿同一直线同方向运动，A 车的速度v A ＝4 m /s ，B 车的速度v B ＝10 m/s.当B 车运动至A 车前方7 m 处时，B 车刹车并以大小为a ＝2 m/s 2的加速度做匀减速运动，从该时刻开始计时，求：(1)A 车追上B 车之前，两车间的最大距离； (2)经多长时间A 车追上B 车． 答案 (1)16 m (2)8 s解析 (1)当B 车速度等于A 车速度时，两车间距最大． 设经时间t 1两车速度相等， 有：v B ′＝v B －at 1，v B ′＝v A B 的位移：x B ＝v B t 1－12at 12，A 的位移：x A ＝v A t 1， 则：Δx m ＝xB ＋7 m －x A ， 解得：Δx m ＝16 m.(2)设B 车停止运动所需时间为t 2， 则t 2＝v Ba＝5 s ，此时A 的位移x A ′＝v A t 2＝20 m ， B 的位移x B ′＝v B t 2－12at 22＝25 m ，A 、B 间的距离Δx ＝x B ′－x A ′＋7 m ＝12 m ， A 追上B 还需时间t 3＝Δxv A ＝3 s ，故A 追上B 的总时间t ＝t 2＋t 3＝8 s.4．(2019·连云港市模拟)甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图2所示．若甲车做匀加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长．图2(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？ (2)到达终点时甲车能否超过乙车？ 答案 (1)5 s 36 m (2)不能解析 (1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v 甲＋at 1＝v 乙，得t 1＝v 乙－v 甲a ＝60－502s ＝5 s ； 甲车位移x 甲＝v 甲t 1＋12at 12＝275 m ；乙车位移：x 乙＝v 乙t 1＝60×5 m ＝300 m ， 此时两车间距离Δx ＝x 乙＋L 1－x 甲＝36 m.(2)甲车追上乙车时，位移关系为x 甲′＝x 乙′＋L 1， 甲车位移x 甲′＝v 甲t 2＋12at 22，乙车位移x 乙′＝v 乙t 2，将x 甲′、x 乙′代入位移关系，得v 甲t 2＋12at 22＝v 乙t 2＋L 1，代入数据得，t 2＝11 s ，实际乙车到达终点的时间为t 3＝L 2v 乙＝10 s ， 所以到达终点时甲车不能超过乙车．5．(拓展提升)一只气球以10 m /s 的速度匀速竖直上升，某时刻在气球正下方距气球6 m 处有一小球以20 m/s 的初速度竖直上抛，g 取10 m/s 2，不计小球受到的空气阻力．(1)不考虑上方气球对小球运动的可能影响，求小球抛出后上升的最大高度和时间． (2)小球能否追上气球？若追不上，说明理由；若能追上，需要多长时间？ 答案 (1)20 m 2 s(2)小球追不上气球，理由见解析解析 (1)设小球上升的最大高度为h ，时间为t ， 则h ＝v 202g ，解得h ＝20 m ，t ＝v 0g，解得t ＝2 s. (2)设小球达到与气球速度相同时经过的时间是t 1，则 v 气＝v 小＝v 0－gt 1， 解得t 1＝1 s在这段时间内气球上升的高度为x 气，小球上升的高度为x 小，则x 气＝v 气t 1＝10 m x 小＝v 0t 1－12gt 12＝15 m由于x 气＋6 m>x 小，所以小球追不上气球．。
第二章 专题强化2合格考训练一、选择题1．(多选)(2023·重庆綦江高一期中)甲、乙两车在相邻的平行的直线道路上同向行驶，它们的x －t 图像如图所示。
已知t ＝0时刻两车在同一位置，甲车做初速度为零的匀加速直线运动。
下列说法正确的是( AC )A ．乙车做匀速直线运动，速度为5 m/sB ．0～2 s 内，乙车的位移大于甲车C ．甲车的加速度为5 m/s 2,2 s 末甲的速度是乙的2倍D ．t ＝1 s 时，乙领先甲最远，此时甲、乙相距3.0 m解析：乙车的x －t 图像是过原点的倾斜的直线，速度为v ＝Δx Δt ＝10－02 m/s＝5 m/s ，故A 正确；0～2 s 内，乙车的位移等于甲车的位移，故B 错误；由于甲车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移—时间公式x ＝12at 2，得加速度为a ＝2x t 2＝2×1022 m/s 2＝5 m/s 2，2 s 末甲的速度是v 甲＝at ＝5×2 m/s ＝10 m/s ，所以2 s 末甲的速度是乙的2倍，故C 正确；t ＝1 s 时，甲车的速度为5 m/s ，甲、乙两车的速度相等，所以在甲车追上乙车前，两车相距最远，此时甲、乙相距Δx＝x 乙－x 甲＝5×1 m －12×5×12 m ＝2.5 m ，故D 错误。
2．(多选)(2023·山东济南高一期末)甲、乙两车在一平直公路上同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v －t 图像如图所示，下列判断正确的是( AB )A ．乙车启动时，甲车在其前方50 m 处B ．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 mC ．乙车最终不能追上甲车D ．加速阶段甲车的加速度大于乙车的加速度解析：乙车启动时，甲车在其前方的距离为x 0＝12×10×10 m ＝50 m ，故A正确；当两车速度相等时，乙车落后甲车的距离最大，即Δx m ＝12×(5＋10)×10m ＝75 m ，故B 正确；根据图像面积可知，乙车在20 s 内未追上甲车，设乙在甲出发后经过时间t 追上甲，甲乙相遇时，则甲、乙两车的位移大小关系有12×10×10 m ＋10×(t －10) m ＝12×10×20 m ＋20×(t －20) m ，解得t ＝25 s ，即乙车在甲车出发25 s 时追上甲车，故C 错误；甲车的加速度大小为a 甲＝Δv Δt ＝1010m/s 2＝1 m/s 2，乙车的加速度大小为a 乙＝Δv ′Δt ′＝2010 m/s 2＝2 m/s 2，故D 错误。
追及相遇与图象重点知识回顾1．自由落体与竖直上抛运动基础知识2．竖直上抛运动处理方法⑴ 分段法：上升过程是a g =-，0t v =的匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动。
⑵ 全程法：将全过程看作是初速为0v ，加速度是g -的匀变速直线运动，可以对全过程列方程，但必须注意方程的矢量性。
习惯上取0v 为正方向，则0t v >表示正在上升，0t v <表示正在下降；h 为正表示物体在抛出点上方，h 为负表示在抛出点下方。
**************************************************************************************** 教师版说明：有关自由落体各种比例关系的推论，讲义中没有专门讲，暑假涉及过相关题目，让学生自己总结，如果老师认为有必要，可以把这些比例关系复习一下。
① 前s T ，前2s T ，前3s T ……位移之比为221:2:3:…… ② 第s T 内、第2s T 内、第3s T 内……的位移之比为1:3:5:…… ③ s T 末，2s T 末，3s T 末……速度之比为1:2:3:……④ 前x ，前2x ，前3x ……内所用的时间之比为…… ⑤通过连续相等的位移所用时间之比为1:::……****************************************************************************************1．以下对物体做自由落体运动的说法中正确的是A ．物体开始下落时，速度为零，加速度也为零B ．物体下落过程中速度增加，加速度保持不变C ．物体下落过程中，速度和加速度同时增大D ．物体下落过程中，速度的变化率是个恒量【答案】 B D 2．关于自由落体运动，下列说法中正确的是基础训练A．某段时间的中间时刻的速度等于初速度与末速度之和的一半B．某段位移的中点位置的速度等于初速度与末速度之和的一半C．在任何相等时间内速度的变化相同D．在任何相等时间内位移的变化相同【答案】A C3．关于自由落体运动，下面说法正确的是A．在开始连续的三个1s内通过的位移之比是1:4:9B．在开始连续的三个1s内通过的位移之比是1:3:5C．在开始连续的三个1s末的速度大小之比是1:2:3D．在开始连续的三个4.9cm位移内，所经历的时间之比为【答案】B C4．质点作竖直上抛运动，回到出发点，下列说法正确的是A．上升、下落经过同一位置时的速度相同B．在最高点时，速度和加速度均为零C．整个运动过程中，任何相等时间内速度的变化均相等D．不管上抛初速度多大，上升过程的最后1秒内的位移总是一样的。
[学习目标] 1.知道竖直上抛运动是匀变速直线运动，会利用分段法或全程法求解竖直上抛的有关问题.2.会分析追及相遇问题，会根据两者速度关系和位移关系列方程解决追及相遇问题．一、竖直上抛运动1．竖直上抛运动将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动．2．运动性质先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程中加速度始终为g，全段为匀变速直线运动．3．运动规律通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g.(1)速度公式：v＝v0－gt.(2)位移公式：h ＝v 0t －12gt 2.(3)位移和速度的关系式：v 2－v 02＝－2gh . (4)上升的最大高度：H ＝v 202g.(5)上升到最高点(即v ＝0时)所需的时间：t ＝v 0g .4．运动的对称性 (1)时间对称物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t 上＝t 下． (2)速率对称物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反．气球下挂一重物，以v 0＝10 m/s 的速度匀速上升，当到达离地面高175 m 处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地前瞬间的速度多大？(空气阻力不计，g 取10 m/s 2) 答案 7 s 60 m/s 解析 解法一 分段法绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下降． 重物上升阶段，时间t 1＝v 0g ＝1 s ，由v 02＝2gh1知，h 1＝v 202g＝5 m 重物下降阶段，下降距离H ＝h 1＋175 m ＝180 m 设下落时间为t 2，则H ＝12gt 22，故t 2＝2Hg＝6 s重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s，落地前瞬间的速度v＝gt2＝60 m/s.解法二全程法取初速度方向为正方向重物全程位移h＝v0t－12＝－175 m2gt可解得t＝7 s(t＝－5 s舍去)由v＝v0－gt，得v＝－60 m/s，负号表示方向竖直向下．竖直上抛运动的处理方法1．分段法(1)上升过程：v0≠0、a＝g的匀减速直线运动．(2)下降过程：自由落体运动．2．全程法(1)整个过程：初速度v0向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律v＝v0－gt，h ＝v0t－12.2gt(2)正负号的含义(取竖直向上为正方向)①v＞0表示物体上升，v＜0表示物体下降．②h＞0表示物体在抛出点上方，h＜0表示物体在抛出点下方．(2019·天津益中学校高一月考)在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A ，物体上升的最大高度为20 m ，不计空气阻力，设塔足够高，则：(g 取10 m/s 2)(1)物体抛出的初速度大小为多少？(2)物体位移大小为10 m 时，物体通过的路程可能为多少？(3)若塔高H ＝60 m ，求物体从抛出到落到地面的时间和落地速度大小． 答案 (1)20 m /s (2)10 m 30 m 50 m (3)6 s 40 m/s解析 (1)设初速度为v 0，竖直向上为正，有－2gh ＝0－v 02，故v 0＝20 m/s.(2)位移大小为10 m ，有三种可能：向上运动时x ＝10 m ，返回时在出发点上方10 m ，返回时在出发点下方10 m ，对应的路程分别为s 1＝10 m ，s 2＝(20＋10) m ＝30 m ，s 3＝(40＋10) m ＝50 m.(3)落到地面时的位移x ＝－60 m ，设从抛出到落到地面用时为t ，有x ＝v 0t －12gt 2，解得t ＝6 s(t ＝－2 s 舍去)落地速度v ＝v 0－gt ＝(20－10×6) m /s ＝－40 m/s ，则落地速度大小为40 m/s. 二、追及、相遇问题 1．分析追及问题的注意事项(1)要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件；两个关系是时间关系和位移关系．通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动． 2．解题基本思路和方法分析两物体的运动过程⇒画运动示意图⇒找两物体位移关系⇒列位移方程(2019·汉阳一中月考)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在他前面x 0＝13 m 远处以v 0＝8 m/s 的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t 0＝2.5 s ，警车发动起来，以加速度a ＝2 m/s 2做匀加速直线运动，求：(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t ； (2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δx m . 答案 (1)11 s (2)49 m解析 (1)警车开始运动时，货车在它前面 Δx ＝x 0＋v 0t 0＝13 m ＋8×2.5 m ＝33 m 警车运动位移：x 1＝12at 2货车运动位移：x 2＝v 0t警车要追上货车满足：x 1＝x 2＋Δx联立并代入数据解得：t ＝11 s(t ＝－3 s 舍去) (2)警车速度与货车速度相同时，相距最远 对警车有：v 0＝at ′ x 1′＝12at ′2，x 2′＝v 0t ′最远距离：Δx m ＝x 2′－x 1′＋Δx ＝49 m.针对训练 (2019·宁夏育才中学高一上学期期末)汽车以20 m /s 的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s 停下来．现在同一平直公路上以20 m/s 的速度行驶时发现前方200 m 处有一货车以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则：(1)求汽车刹车时的加速度大小；(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 答案 (1)0.5 m/s 2 (2)不会相撞 最近相距4 m 解析 (1)汽车制动加速度大小a ＝v At ＝0.5 m/s 2(2)当汽车减速到与货车共速时t 0＝v A －v Ba ＝28 s汽车运动的位移x 1＝v 2A －v 2B 2a ＝364 m此时间内货车运动的位移为x 2＝v B t 0＝168 m Δx ＝x 1－x 2＝196 m ＜200 m ，所以两车不会相撞．此时两车相距最近，最近距离Δs ＝x 0－Δx ＝200 m －196 m ＝4 m.一辆小汽车以30 m /s 的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m 处有一辆大卡车以10 m/s 的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图1所示，图线a 、b 分别为小汽车和大卡车的v －t 图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是( )图1A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故B．在t＝3 s时发生追尾事故C．在t＝5 s时发生追尾事故D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m答案 B解析根据速度—时间图线与时间轴所围“面积”大小等于位移大小，由题图知，t＝3 s时大卡车的位移为：x b＝v b t＝10×3 m＝30 m小汽车的位移为：x a＝12×(30＋20)×1 m＋12×(20＋15)×2 m＝60 m则：x a－x b＝30 m所以在t＝3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误；由v－t图线可知在t＝5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：Δx＝12×(20＋10)×1 m＋12×10×4 m＝35 m<40 m则不会发生追尾事故且两车最近时相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D错误．追及相遇问题常见情况1．速度小者追速度大者类型图像说明2.速度大者追速度小者1．(竖直上抛运动)(多选)某物体以30 m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取10 m/s 2,5 s 内物体的( ) A ．路程为65 mB ．位移大小为25 m ，方向竖直向上C ．速度改变量的大小为10 m/sD ．平均速度大小为13 m/s ，方向竖直向上 答案 AB解析 初速度为30 m/s ，只需要t 1＝v 0g ＝3 s 即可上升到最高点，位移为h 1＝12gt 12＝45 m ，再自由下落2 s 时间，下降高度为h 2＝12gt 22＝20 m ，故路程为s ＝h 1＋h 2＝65 m ，A 项对；此时离抛出点高x ＝h 1－h 2＝25 m ，位移方向竖直向上，B 项对；5 s 末时速度为v 5＝v 0－gt ＝－20 m /s ，速度改变量大小为Δv ＝|v 5－v 0|＝50 m/s ，C 项错；平均速度为v ＝xt ＝5 m/s ，方向竖直向上，D 项错．2．(追及相遇问题)(2019·龙岩市期末)甲、乙两车在平直的公路上同时同地沿同一方向做直线运动，它们的v －t 图像如图2所示，在0～20 s 这段时间内，下列说法正确的是( )图2A ．在t ＝10 s 时两车相遇B ．在t ＝10 s 时两车相距最近C ．在t ＝20 s 时两车相遇D ．在t ＝20 s 时，乙车在甲车前面 答案 C解析 0～10 s 内甲车的速度比乙车的大，甲车在乙车的前方，两者间距增大；t ＝10 s 后乙的速度比甲的大，两者间距减小，所以t ＝10 s 时甲、乙两车相距最远，故A 、B 错误；根据v －t 图线与时间轴所围“面积”表示位移，可知t ＝20 s 时甲、乙的位移相等，两车相遇，故C 正确，D 错误．3．(竖直上抛与相遇综合问题)以初速度v 0＝20 m/s 竖直向上抛出一小球，2 s 后以相同的初速度在同一点竖直上抛另一小球，问两小球在离抛出点多高处相遇(g 取10 m/s 2)( ) A ．10 m B ．15 m C ．20 m D ．5 m 答案 B解析 先竖直向上抛出的小球到达最高点所用的时间为t ＝v 0g ＝2010 s ＝2 s ，所以另一小球抛出时，它恰好在最高点将要做自由落体运动．由竖直上抛运动的对称性可得，两小球再经过1 s 后相遇．故两小球相遇处离抛出点的高度为h ＝v 0t －12gt 2＝20×1 m －12×10×12 m ＝15 m.4．(追及相遇问题)当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a ＝2 m /s 2 的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s 的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则： (1)客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？答案(1)10 s100 m(2)25 m解析(1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，设经过t1时间客车追上货车，则v2t1＝12，2at1代入数据解得t1＝10 s，客车追上货车时离路口的距离x＝12＝12×2×102 m＝100 m.2at1(2)两车距离最远时，两车应具有相等的速度，设经过时间为t2，则v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s.最大距离Δx＝v2t2－12＝10×5 m－12×2×52 m＝25 m.2at2训练1竖直上抛运动1．(2019·莆田四中、莆田六中高一联考)某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高的横杆．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度约为() A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s答案 B解析由题可知，人的重心在跳高时升高约0.9 m，因而初速度v0＝2gh≈4 m/s，故选B.2.(2019·湛江市模拟)如图1所示，将一小球以10 m/s的初速度在某高台边缘竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2，则3 s内小球运动的()图1A ．路程为25 mB ．位移为15 mC ．速度改变量为30 m/sD ．平均速度为5 m/s 答案 A解析 由x ＝v 0t －12gt 2得位移x ＝－15 m ，B 错误；平均速度v ＝xt ＝－5 m/s ，D 错误；小球竖直上抛，由v ＝v 0－gt 得速度的改变量Δv ＝－gt ＝－30 m/s ，C 错误；上升阶段通过路程x 1＝v 22g ＝5 m ，下降阶段通过的路程x 2＝12gt 22，t 2＝t －v 0g＝2 s ，解得x 2＝20 m ，所以3 s 内小球运动的路程为x 1＋x 2＝25 m ，A 正确．3．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A 的时间间隔是T A ，两次经过一个较高点B 的时间间隔是T B ，则A 、B 两点之间的距离为( ) A.18g (T A 2－T B 2) B.14g (T A 2－T B 2) C.12g (T A 2－T B 2) D.12g (T A －T B ) 答案 A解析 物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A 的时间t A ＝T A 2，从竖直上抛运动的最高点到点B 的时间t B ＝T B2，则A 、B 两点的距离x ＝12gt A 2－12gt B 2＝18g (T A 2－T B 2)．4．(多选)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔为2 s，它们运动的v－t图像分别如图2中直线甲、乙所示．则()图2A．t＝2 s时，两球的高度差一定为40 mB．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等C．两球从抛出至落到地面所用的时间相等D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球的相等答案BD解析根据v－t图像与时间轴所围面积表示位移，t＝2 s时，甲球的位移为40 m，乙球位移为0，但需注意题干两球从距地面不同高度处抛出，故高度差不一定等于位移差，A错误；t ＝4 s时，对甲球位移为t轴上方面积减去下方面积，代表的位移为40 m，乙球位移也为40 m，B正确；由于初速度相同，两球从抛出到回到抛出点的运动情况一致，所以到达最高点的时间间隔和回到抛出点的时间相等，D正确；由于抛出点高度不同，回到抛出点之后的运动时间不同，所以落到地面的时间间隔不同，C错误．5．(多选)某人在高层楼房的阳台上以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经历的时间可能是(不计空气阻力，g取10 m/s2)()A．1 s B．2 s C．3 s D．(2＋7) s答案ACD解析取竖直向上为正方向，当石块运动到抛出点上方离抛出点15 m时，位移为x＝15 m，由x＝v0t－12，解得t1＝1 s，t2＝3 s．其中t1＝1 s对应着石块上升过程中离抛出点15 m处2gt时所用的时间，而t 2＝3 s 对应着从最高点下落时离抛出点15 m 处时所用的时间．当石块运动到抛出点下方离抛出点15 m 处时，位移为x ′＝－15 m ，由x ′＝v 0t ′－12gt ′2，解得t 1′＝(2＋7) s ，t 2′＝(2－7) s(舍去)．6．(2016·江苏卷)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v 和位置x 的关系图像中，能描述该过程的是( )答案 A解析 由运动学公式可得小球与地面碰撞后速度v 与位置x 的关系为v ＝v 20－2gx ，从最高点下落时二者的关系为v ＝－2g (x 0－x )，对比图像可知A 项正确．7．(2019·武威市第六中学月考)某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动．火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s 到达离地面40 m 高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2，求： (1)燃料恰好用完时火箭的速度大小； (2)火箭上升离地面的最大高度； (3)火箭从发射到返回发射点的时间． 答案 (1)20 m/s (2)60 m (3)9.46 s解析 (1)设燃料恰好用完时火箭的速度为v ，根据运动学公式有h ＝v 2t ，解得v ＝20 m/s.(2)火箭能够继续上升的时间t 1＝v g ＝2010s ＝2 s火箭能够继续上升的高度h1＝v22g ＝2022×10m＝20 m因此火箭离地面的最大高度H＝h＋h1＝60 m.(3)火箭由最高点落至地面的时间t2＝2Hg＝2×6010s＝2 3 s，火箭从发射到返回发射点的时间t总＝t＋t1＋t2≈9.46 s.训练2追及和相遇问题1．(多选)(2019·遵义航天高中模拟)在某次遥控车漂移激情挑战赛中，若a、b两个遥控车从同一地点向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图1所示，则下列说法正确的是()图1A．b车启动时，a车在其前方2 m处B．运动过程中，b车落后a车的最大距离为4 mC．b车启动3 s后恰好追上a车D．b车超过a车后，两车不会再相遇答案CD解析根据速度—时间图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b在t＝2 s时启动，此时a的位移为x＝12×1×2 m＝1 m，即a车在b车前方1 m处，选项A错误；当两车的速度相等时，相距最远，最大距离为x max＝1.5 m，选项B错误；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时两车才相遇，由题图可知，b车启动3 s后(即t＝5 s)的位移x b＝12×2×2m ＋2×1 m ＝4 m ，x a ＝12×1×2 m ＋3×1 m ＝4 m ，故b 车启动3 s 后恰好追上a 车，C 正确；b 车超过a 车后，由于b 的速度大，所以不可能再相遇，选项D 正确．2．(多选)两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶，t ＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v －t 图像如图所示，则下列图像对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是( )答案 AC解析 选项A 图中当t ＝20 s 时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b 追上a ，所以选项A 正确；选项B 图中a 图线与时间轴所围的“面积”始终小于b 图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项B 错误；选项C 图中，在t ＝20 s 时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b 追上a ，所以选项C 正确；选项D 图中a 图线与时间轴所围的“面积”始终小于b 图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项D 错误．3．A 、B 两车沿同一直线同方向运动，A 车的速度v A ＝4 m /s ，B 车的速度v B ＝10 m/s.当B 车运动至A 车前方7 m 处时，B 车刹车并以大小为a ＝2 m/s 2的加速度做匀减速运动，从该时刻开始计时，求：(1)A 车追上B 车之前，两车间的最大距离； (2)经多长时间A 车追上B 车． 答案 (1)16 m (2)8 s解析 (1)当B 车速度等于A 车速度时，两车间距最大． 设经时间t 1两车速度相等， 有：v B ′＝v B －at 1，v B ′＝v A B 的位移：x B ＝v B t 1－12at 12，A 的位移：x A ＝v A t 1， 则：Δx m ＝xB ＋7 m －x A ， 解得：Δx m ＝16 m.(2)设B 车停止运动所需时间为t 2， 则t 2＝v Ba＝5 s ，此时A 的位移x A ′＝v A t 2＝20 m ， B 的位移x B ′＝v B t 2－12at 22＝25 m ，A 、B 间的距离Δx ＝x B ′－x A ′＋7 m ＝12 m ， A 追上B 还需时间t 3＝Δxv A ＝3 s ，故A 追上B 的总时间t ＝t 2＋t 3＝8 s.4．(2019·连云港市模拟)甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图2所示．若甲车做匀加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长．图2(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？ (2)到达终点时甲车能否超过乙车？ 答案 (1)5 s 36 m (2)不能解析 (1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v 甲＋at 1＝v 乙，得t 1＝v 乙－v 甲a ＝60－502s ＝5 s ； 甲车位移x 甲＝v 甲t 1＋12at 12＝275 m ；乙车位移：x 乙＝v 乙t 1＝60×5 m ＝300 m ， 此时两车间距离Δx ＝x 乙＋L 1－x 甲＝36 m.(2)甲车追上乙车时，位移关系为x 甲′＝x 乙′＋L 1， 甲车位移x 甲′＝v 甲t 2＋12at 22，乙车位移x 乙′＝v 乙t 2，将x 甲′、x 乙′代入位移关系，得v 甲t 2＋12at 22＝v 乙t 2＋L 1，代入数据得，t 2＝11 s ，实际乙车到达终点的时间为t 3＝L 2v 乙＝10 s ， 所以到达终点时甲车不能超过乙车．5．(拓展提升)一只气球以10 m /s 的速度匀速竖直上升，某时刻在气球正下方距气球6 m 处有一小球以20 m/s 的初速度竖直上抛，g 取10 m/s 2，不计小球受到的空气阻力．(1)不考虑上方气球对小球运动的可能影响，求小球抛出后上升的最大高度和时间． (2)小球能否追上气球？若追不上，说明理由；若能追上，需要多长时间？ 答案 (1)20 m 2 s(2)小球追不上气球，理由见解析解析 (1)设小球上升的最大高度为h ，时间为t ， 则h ＝v 202g ，解得h ＝20 m ，t ＝v 0g，解得t ＝2 s. (2)设小球达到与气球速度相同时经过的时间是t 1，则 v 气＝v 小＝v 0－gt 1， 解得t 1＝1 s在这段时间内气球上升的高度为x 气，小球上升的高度为x 小，则x 气＝v 气t 1＝10 m x 小＝v 0t 1－12gt 12＝15 m由于x 气＋6 m>x 小，所以小球追不上气球．。
