2007-2019新课标理 - 极坐标参数方程--有答案教师版

参数方程易错题1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程⎩⎨⎧+=--=ty tx 321 (t 为参数)所表示的图形分别为( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线 【答案】A 【解析】试题分析：将极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程得:x y x =+⇔=⇔222cos θρρ知表示圆;而将参数方程⎩⎨⎧+=--=t y tx 321 (t 为参数)消去参数化为普通方程得:013=++y x 知表示直线，故选A.考点：1.极坐标方程;2.参数方程. 2．已知直线l的参数方程为132x y t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数 ），则直线l 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．34π D ．56π 【答案】D 【解析】试题分析：因为直线l 的参数方程为132x y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，消去t 得到1x +=+即333y x =-++，所以直线l 的斜率为3-，设直线l 的倾斜角为(0)ααπ<<，则由tan α=，可得56πα=，故选D.考点：1.参数方程；2.直线的倾斜角.3．直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=050cos 150sin t y t x (t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．40°B ．50°C ．140°D ．130°【答案】C 【解析】试题分析：()00005090tan 50cot 50sin 50cos 1tan +=-=-=+=x y α,所以0140=α，故选C. 考点：直线的参数方程 4．曲线为参数）为参数），曲线θθθ(sin cos 2:(11:21⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=+=y x C t t y t x C ，若21,C C 交于A 、B 两点，则弦长AB 为（ ）A ．54 B ．524 C ．2 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：设),(),,(2211y x B y x A ，因曲线1C 方程为2=+y x ，曲线2C 方程为1422=+y x ， 交于A,B 两点，1C ，2C 联立得0121652=+-x x ，512,5162121==+x x x x ，2121x x k AB -+=，解得524=AB . 考点：直线与圆锥曲线的综合问题.5．直线l 的参数方程为()x a tt y b t =+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）A【答案】C【解析】 试题分析：()()1212112t b t b a t a P P =-++-+=,故选C.考点：参数方程6．直线11,2()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为 A ．(3,3)- B ．(C ．3)- D ．(3,【答案】D【解析】试题分析：由题可得直线方程为y =-2680x x -+=，设直线与圆的交点坐标为A ()11,x y ，B ()22,x y ，可得126x x +=，1212y y +=--=-，所以中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭为(3,． 考点：参数方程，直线与圆的位置关系．7到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（ ）．A．2【答案】A 【解析】试题分析：将点4π⎫⎪⎭化为直角坐标为()1,1，将直线cos sin 10ρθρθ--=化为直角坐标方程为10x y --=，则所求距离为2d ==。

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.3.参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：①代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 ②三角法：利用三角恒等式消去参数③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

请注意：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

4.常见曲线的参数方程（1）圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）（3）椭圆12222=+by ax 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） （4）双曲线12222=-byax 参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y22=参数方程⎩⎨⎧==Pty Pt x 222（t 为参数） （6）直线的参数方程①标准式过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）②一般式 过定点),(00y x P 斜率ab k ==αtan 的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 是参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若122=+b a ,②即为标准式，此时， t表示直线上动点p 到定点0p 的距离；若122≠+b a ，则动点P 到定点P 0的距离是t b a 22+.5.直线参数方程的应用设过点),(00y x P ,倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00 (t 是参数)若21,p p 是l 上的两点，它们所对应的参数分别为21,t t 则(1) 21,p p 两点的坐标分别是()ααsin ,cos 1010t y t x ++，()ααsin ,cos 2020t y t x ++ (2)2121t t p p -=；(3)线段21p p 的中点p 所对应的参数为t ，则221t t t +=中点p 到定点0p 的距离2210t t t pp +==(4)若0p 为线段21p p 的中点，则021=+t t .6.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定 考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的互化1．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 【解析】：C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2 B ．31(,)42-C． D．【解析】：B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12y =3．曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数的普通方程为____21y x =+______4．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈5．参数方程()2()t t t tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__ 答案:221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t tt tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ 6.已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 . 【解析】)552,1(⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤ )π<消去参数后的普通方程为)10,55(1522≤≤≤<-=+y x yx，⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245消去参数后的普通方程为x y 542= 联立两个曲线的普通方程得,1(5=-=x x 舍）或 552=y 所以,所以它们的交点坐标为).552,1(7.在平面直角坐标系xO y 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。

金材教育 极坐标与参数方程未命名1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.（1（写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程（（2）直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ，求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程的意义，求出线段AB 的长。

详解：（1）C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数）的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，∴C 2的直角坐标方程为x +y =4； 故C 1:x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4.（2）直线y =x 的极坐标方程为θ=π4，C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4)，即ρA =√2,ρB =2√2， 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛：本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等，属于基础题。

考查了推理论证能力，运算求解能力。

2．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）85。

【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，两式相加消去参数，即可得到普通方程；由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，可化为直角坐标方程；（2）将，代入直角坐标方程，整理后，利用=t1t2即可求解．试题解析：（1）两式相加消去参数t可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，整理可得曲线的直角坐标方程．（2）将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得，所以|MA||MB|=考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√55ty=9+2√55t（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16；2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析：（1）消元法解出直线C 1的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程（2）将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。

极坐标参数方程一、解答题（本大题共19小题，共228.0分）1. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{y =sinθx=3cosθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为{y =1−t x=a+4t，（t 为参数）．（1）若a =-1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ．【答案】解：（1）曲线C 的参数方程为{y =sinθx=3cosθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2=1；a =-1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y -3=0； 联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0， 解得{y =0x=3或{x =−2125y =2425，所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和（-2125，2425）．（2）l 的参数方程{y =1−t x=a+4t（t 为参数）化为一般方程是：x +4y -a -4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =|3cosθ+4sinθ−a−4|√17=|5sin(θ+φ)−a−4|√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当-a -4≤0时，即a ≥-4时，|5sin （θ+φ）-a -4|≤|-5-a -4|=|5+a +4|=17 解得a =8和-26，a =8符合题意． ②当-a -4＞0时，即a ＜-4时|5sin （θ+φ）-a -4|≤|5-a -4|=|5-a -4|=17， 解得a =-16和18，a =-16符合题意．【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；（2）曲线C 上的点可以表示成P （3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为√17进行分析，可以求出a 的值． 本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C 上的点到直线l 距离的最大值求出a ．2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设M 的极坐标为（√2，π4），过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若|MA |=2|MB |，求AB 的弦长．【答案】解：（1）∵曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ=0， 即曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）由点M 的极坐标为（√2，π4），设直线l 的参数方程是{x =1+t ⋅cosθy =1+t ⋅sinθ（θ为参数）①，曲线C 的直角坐标方程是x 2+y 2-4y =0，②， ①②联立，得t 2+2（cosθ-sinθ）t -2=0， ∴t 1t 2=-2，且|MA |=2|MB |，∴t 1=-2t 2， 则t 1=2，t 2=-1或t 1=-2，t 2=1， ∴AB 的弦长|AB |=|t 1-t 2|=3．【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用．（1）由曲线C 的参数方程先求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）先求出直线l 的参数方程，与曲线C 的直角坐标方程联立，得t 2+2（cosθ-sinθ）t -2=0，由此能求出AB 的弦长．3. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2，A ，B 两点的极坐标分别为A(2，π2)，B(2，π)． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最小值．【答案】解：（1）由{x =−5+√2cost y =3+√2sint ，化简得：{x +5=√2costy −3=√2sint ，消去参数t ，得（x +5）2+（y -3）2=2， ∴圆C 的普通方程为（x +5）2+（y -3）2=2． 由ρcos （θ+π4）=-√2，化简得√22ρcosθ-√22ρsinθ=-√2，即ρcosθ-ρsinθ=-2，即x -y +2=0， 则直线l 的直角坐标方程为x -y +2=0；（Ⅱ）将A （2，π2），B （2，π）化为直角坐标为A （0，2），B （-2，0）， ∴|AB |=√(0+2)2+(2−0)2=2√2，设P 点的坐标为（-5+√2cos t ，3+√2sin t ）， ∴P 点到直线l 的距离为d =|−5+√2cost−3−√2sint+2|√2=|−6+2cos(t+π4)|√2，∴d min =4√2=2√2，则△PAB 面积的最小值是S =12×2√2×2√2=4．【解析】（1）由圆C 的参数方程消去t 得到圆C 的普通方程，由直线l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x =ρcosθ，y =ρsinθ转化为直角坐标方程即可； （2）将A 与B 的极坐标化为直角坐标，并求出|AB |的长，根据P 在圆C 上，设出P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB 面积的最小值．此题考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，熟练掌握参数方程与普通方程间的转换是解本题的关键．4. 已知直线l ：{x =1+12ty =√36t（t 为参数），曲线C 1：{x =cosθy =sinθ（θ为参数）．（1）设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；（2）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的√32倍，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值． 【答案】解：（1）l 的普通方程y =√33(x −1)，C 1的普通方程x 2+y 2=1，联立方程组{y =√33(x −1)x 2+y 2=1， 解得l 与C 1的交点为A （1，0），B(−12，−√32)，则|AB|=√3；（2）C 2的参数方程为{x =12cosθy =√32sinθ（θ为参数），故点P 的坐标是(12cosθ，√32sinθ)，从而点P 到直线l 的距离是|12cosθ−32sinθ−1|2=|√102sin(θ−φ)+1|2，由此当sin （θ-φ）=1时，d 取得最大值，且最大值为√104+12．【解析】本题考查参数方程与普通方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．（1）设l 与C 1相交于A ，B 两点，利用普通方程，求出A ，B 的坐标，即可求|AB |； （2）点P的坐标是(12cosθ，√32sinθ)，点P 到直线l 的距离是|12cosθ−32sinθ−1|2=|√102sin(θ−φ)+1|2，即可求它到直线l 的距离的最大值．5. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C 1的参数方程为{y =sinαx=cosα，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C 2的极坐标方程为ρ=-2sinθ．（1）求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；（2））若P 是C 1上任意一点，过点P 的直线l 交C 2于点M ，N ，求|PM |•|PN |的取值范围．【答案】解：（1）消去参数可得x 2+y 2=1，因为α∈[0，π），所以-1≤x ≤1，0≤y ≤1， 所以曲线C 1是x 2+y 2=1在x 轴上方的部分，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…（2分） 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y +1）2=1…（5分） （2）设P （x 0，y 0），则0≤y 0≤1，直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：{y =y 0+tsinαx=x 0+tcosα（t 为参数）．…（7分）代入C 2的直角坐标方程得（x 0+t cosα）2+（y 0+t sinα+1）2=1， 由直线参数方程中t 的几何意义可知|PM |•|PN |=|1+2y 0|，因为0≤y 0≤1，所以|PM |•|PN |=∈[1，3]…（10分）【解析】（1）求出C 1的普通方程，即可求C 1的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C 2的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程为：{y =y 0+tsinαx=x 0+tcosα（t 为参数），代入C 2的直角坐标方程得（x 0+t cosα）2+（y 0+t sinα+1）2=1，由直线参数方程中t 的几何意义可知|PM |•|PN |=|1+2y 0|，即可求|PM |•|PN |的取值范围．本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{y =sinα−cosαx=sinα+cosα（α为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+12=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |．【答案】解：（1）曲线C 的参数方程为{y =sinα−cosαx=sinα+cosα（α为参数）． 由已知sinα=x+y 2，cosα=x−y 2，整理得：普通方程为(x+y 2)2+(x−y 2)2=1，化简得x 2+y 2=2．（2）由√2ρsin （π4-θ）+12=0，知ρ(cosθ−sinθ)+12=0，化为普通方程为x -y +12=0 圆心到直线l 的距离h =√24，由垂径定理|AB|=√302． 【解析】（1）直接把参数方程转化为直角坐标方程．（2）首先把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离和垂径定理求出结果．本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，垂径定理得应用．7. 在直角坐标系xoy 中，已知点P （0，√3），曲线C 的参数方程为{x =√2cosφy =2sinφ（φ为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=√32cos(θ−π6)．（Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求1|PA|+1|PB |的值． 【答案】解：（Ⅰ）点P 在直线l 上，理由如下：直线l ：ρ=√32cos(θ−π6)，即2cos(θ−π6)=√3，亦即√3ρcosθ+ρsinθ=√3，∴直线l 的直角坐标方程为：√3x +y =√3，易知点P 在直线l 上． （Ⅱ）由题意，可得直线l 的参数方程为{x =−12ty =√3+√32t （t 为参数），曲线C 的普通方程为y 24+x 22=1． 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得5t 2+12t -4=0， 设两根为t 1，t 2， ∴t 1+t 2=-125，t 1•t 2=-45，∴|PA |+|PB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=4√145， ∴1|PA|+1|PB|=|PA |+|PB ||PA|⋅|PB|=4√145|−45|=√14．【解析】（Ⅰ）点P 在直线l 上，理由如下：直线l ：ρ=√32cos(θ−π6)，展开可得√3ρcosθ+ρsinθ=√3，可得直线l 的直角坐标方程即可验证． （Ⅱ）由题意，可得直线l 的参数方程为{x =−12t y =√3+√32t（t 为参数），曲线C 的普通方程为y 24+x 22=1．将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得5t 2+12t -4=0，可得|PA |+|PB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2，即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{y =2+tsinαx=tcosα(t 为参数，0≤α＜π），曲线C 的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ(β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于M ，N 两点（异于原点），求|OM |+|ON |的最大值． 【答案】解：（1）∵曲线C 的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ(β为参数）， ∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+（y -2）2=4， 化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）∵直线l 的参数方程为{y =2+tsinαx=tcosα(t 为参数，0≤α＜π），∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点（0，2），也就是圆C 的圆心，则∠MON =π2， 不妨设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ+π2)，其中θ∈(0，π2)，则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)， 所以当θ=π4，|OM |+|ON |取得最大值为4√2．【解析】本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．（1）曲线C 的参数方程消去参数β，得曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过圆C 的圆心（0，2），则∠MON =π2，设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ+π2)，则|OM |+|ON |=4√2sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM |+|ON |取得最大值为4√2.9. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2sinαx=2+2cosα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α（0＜α＜π2），将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2；θ=α-π6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |•|OQ |的最大值．【答案】解：（1）曲线C 1的参数方程为{y =2sinαx=2+2cosα（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C 1的普通方程为（x -2）2+y 2=4，展开可得：x 2+y 2-4x =0，利用互化公式可得：ρ2-4ρcosθ=0， ∴C 1极坐标方程为ρ=4cosθ．曲线C 2的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ（β为参数），消去参数可得： 曲线C 2的普通方程为x 2+（y -2）2=4，展开利用互化公式可得C 2极坐标方程为ρ=4sinθ． （2）设点P 极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α−π6))，即ρ2=4sin(α−π6)．则|OP|⋅|OQ|=ρ1ρ2=4cosα⋅4sin(α−π6)=16cosα⋅(√32sinα−12cosα)=8sin(2α−π6)−4．∵α∈(0，π2)，∴2α−π6∈(−π6，5π6)， 当2α−π6=π2，即α=π3时，|OP |•|OQ |取最大值4．【解析】（1）曲线C 1的参数方程为{y =2sinαx=2+2cosα（α为参数），利用平方关系消去参数可得曲线C 1的直角坐标方程，利用互化公式可得曲线C 1极坐标方程．曲线C 2的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ（β为参数），消去参数可得：曲线C 2的普通方程，利用互化公式可得C 2极坐标方程．（2）设点P 极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α−π6))，即ρ2=4sin(α−π6)．代入|OP |•|OQ |，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、直线与曲线相交弦长公式、直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{y =1+sint x=cost（t 为参数），曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y -2）2=4．以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=α，（0＜α＜π）（1）求曲线C 1、C 2的极坐标方程；（2）设点A 、B 为射线l 与曲线C 1、C 2除原点之外的交点，求|AB |的最大值． 【答案】解（1）由曲线C 1的参数方程{y =1+sint x=cost（t 为参数）消去参数t 得x 2+（y -1）2=1，即x 2+y 2-2y =0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ．由曲线C 2的直角坐标方程x 2+（y -2）2=4，得x 2+y 2-4y =0， ∴曲线C 2的极坐标方程ρ=4sinθ．（2）联立{ρ=2sinθθ=α，得A （2sinα，α），∴|OA |=2sinα， 联立{ρ=4sinθθ=α，得B （4sinα，α），∴|OB |=4sinα． ∴|AB |=|OB |-|OA |=2sinα．∵0＜α＜π，∴当α=π2时，|AB |有最大值2．【解析】（1）由曲线C 1的参数方程消去参数t 得x 2+（y -1）2=1，由此能求出曲线C 1的极坐标方程；由曲线C 2的直角坐标方程转化为x 2+y 2-4y =0，由此能求出曲线C 2的极坐标方程．（2）联立{ρ=2sinθθ=α，得A |OA |=2sinα，联立{ρ=4sinθθ=α，得|OB |=4sinα．由此能求出|AB |的最大值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．11. 在直角坐标系xOy 中，将曲线C ：{x =1+costy =12sint（t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C 1；以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρcos(θ−π6)=3√3． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知点M （1，0），直线l 的极坐标方程为θ=π3，它与曲线C 1的交点为O ，P ，与曲线C 2的交点为Q ，求△MPQ 的面积．【答案】解：（1）∵曲线C ：{x =1+costy =12sint （t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C 1，∴由题意知，曲线C 1的参数方程为{y =sint x=1+cost（t 为参数）， ∴曲线C 1的普通方程为（x -1）2+y 2=1，即x 2+y 2-2x =0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ （2）设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2）， 则由{θ1=π3ρ1=2cosθ1，得P 的极坐标为P （1，π3），由{θ2=π32ρ2cos(θ2−π6)=3√3，得Q 的极坐标为Q （3，π3）．∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1-ρ2|=2， 又M 到直线l 的距离为√32，∴△MPQ 的面积S △MPQ =12×√32×2=√32．【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化公式的合理运用． （1）由题意求出曲线C 1的参数方程，从而得到曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 1的极坐标方程．（2）设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），由直线l 的极坐标方程为θ=π3，它与曲线C 1的交点为O ，P ，与曲线C 2的交点为Q ，分别求出P ,Q 的极坐标，从而求出|PQ |=|ρ1-ρ2|=2，再由M 到直线l 的距离为√32，能求出△MPQ 的面积．12. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2√2sin （θ-π4），直线l 的参数方程为{y =1+t x=−tt 为参数，直线l 和圆C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设l 上一定点M （0，1），求|MA |•|MB |的值． 【答案】（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）∵圆C 的极坐标方程为：ρ=2√2sin （θ-π4）=2√2（sinθcos π4-cosθsin π4）=2sinθ-2cosθ， ∴ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ，∴圆C 的直角坐标方程x 2+y 2=2y -2x ，即（x +1）2+（y -1）2=2． （Ⅱ）直线l 的参数方程为{y =1+t x=−t，t 为参数， 直线l 的参数方程可化为{x =−√22t ′y =1+√22t ′，t ′为参数，代入（x +1）2+（y -1）2=2，得（-√22t ′+1）2+（√22t ′）2=2， 化简得：t '2-√2t ′-1=0， ∴t 1′⋅t 2′=-1，∴|MA |•|MB |=|t 1′⋅t 2′|=1．【解析】（Ⅰ）圆C 的极坐标方程转化为ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程．（Ⅱ）直线l 的参数方程化为{x =−√22t ′y =1+√22t ′，t ′为参数，代入（x +1）2+（y -1）2=2，得t '2-√2t ′-1=0，由此能求出|MA |•|MB |．本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．13. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{y =1+sinϕx=cosϕ（其中φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 极坐标方程是ρsin （θ+π3）=2，射线OM ：θ=π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【答案】解：（Ⅰ）∵圆C 的参数方程{y =1+sinϕx=cosϕ（其中φ为参数）． ∴圆C 的普通方程为x 2+（y -1）2=1，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．…………（5分） （Ⅱ）∵直线l 极坐标方程是ρsin （θ+π3）=2，射线OM ：θ=π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ， ∴把θ=π6代入圆的极坐标方程可得ρP =1， 把θ=π6代入直线l 极坐标方程可得ρQ =2， ∴|PQ |=|ρP -ρQ |=1．…………（10分）【解析】（Ⅰ）先求出圆C 的普通方程，由此能求出圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）把θ=π6代入圆的极坐标方程可得ρP =1，把θ=π6代入直线l 极坐标方程可得ρQ =2，由此能求出|PQ |．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14. 在平面直角坐标系xOy 中曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t2（其中t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ−π4）=-√22．（1）把曲线C 1的方程化为普通方程，C 2的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，AB 的中点为P ，过点P 作曲线C 2的垂线交曲线C 1于E ，F 两点，求|EF||PE|⋅|PF|．【答案】解：（1）曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2（其中t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：y 2=2x ．曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ−π4）=-√22．转换为直角坐标方程为：x -y -1=0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且中点P （x 0，y 0）， 联立方程为：{y 2=2x x −y −1=0，整理得：x 2-4x +1=0 所以：x 1+x 2=4，x 1x 2=1， 由于：x 0=x 1+x 22=2，y 0=1．所以线段AB 的中垂线参数方程为{x =2−√22ty =1+√22t （t 为参数），代入y 2=2x ，得到：t 2+4√2t −6=0，故：t 1+t 2=−4√2，t 1•t 2=-6，所以：EF =|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√14， |PE ||PF |=|t 1•t 2|=6 故：|EF||PE|⋅|PF|=2√146=√143．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果． （2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2+sinαx=2+cosα，（α为参数），直线C 2的方程为y =√3x ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|．【答案】解：（1）曲线C 1的参数方程为{y =2+sinαx=2+cosα（α为参数），直角坐标方程为（x -2）2+（y -2）2=1，即x 2+y 2-4x -4y +7=0，极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0 直线C 2的方程为y =√3x ，极坐标方程为tanθ=√3；（2）直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2-（2+2√3）ρ+7=0，设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2√3，ρ1ρ2=7， ∴1|OA|+1|OB|=|ρ1+ρ2||ρ1ρ2|=2+2√37．【解析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论； （2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求1|OA|+1|OB|．本题考查三种方程的转化方法，考查极坐标方程的运用，属于中档题．16. 设直线l 的参数方程为{x =1+12ty =t +1，（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C 是什么曲线； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |． 【答案】解：（Ⅰ）由于ρsin 2θ=4cosθ， 所以ρ2sin 2θ=4ρcosθ，即y 2=4x ，因此曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线． （Ⅱ）{x =1+12ty =t +1，化为普通方程为y =2x -1，代入y 2=4x ，并整理得4x 2-8x +1=0，所以|AB|=√1+k 2|x 2−x 1|， =√1+22⋅√(x 2+x 1)2−4x 1x 2， =√5×√22−4×14=√15．【解析】（Ⅰ）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程．（Ⅱ）首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用直线和圆锥曲线的位置关系，建立方程组利用弦长公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，弦长公式的应用．17. 在平面直角坐标系xoy ，已知椭圆的方程为：x 220+y 212=1，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q ．（Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 的参数方程为{x =12t y =√32t ，（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N两点，求弦长|MN |．【答案】解：（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x ，y ），则点P 的坐标为（2x ，2y ）， 由点P 在椭圆上得(2x)220+(2y)212=1，化解可得：x 25+y 23=1①．由x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入①得ρ2cos 2θ5+ρ2sin 2θ3=1，化简可得点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2（3+2sin 2θ）=15． （Ⅱ）（法一）把直线l 参数方程{x =12t y =√32t （t 为参数）代入①得t 245+3t 243=1化简得：t 2=103． 所以t 1=√303，t 2=−√303， ∴弦长|MN|=|t 1−t 2|=2√303；（法二）由直线l 参数方程{x =12ty =√32t（t 为参数）知，直线l 过极点，倾斜角为π3，∴直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R))．由{θ=π3ρ2(3+2sin 2θ)=15解得：{θ=π3ρ1=√303或{θ=π3ρ2=−√303.． ∴弦长|MN|=|ρ1−ρ2|=2√303． （法三）由直线l 参数方程{x =12ty =√32t （t 为参数）知，直线l 的普通方程为y =√3x ，联立①解得{x 1=√306y 1=√102，{x 2=−√306y 2=−√102．弦长|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2√303．【解析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x ，y ），则点P 的坐标为（2x ，2y ），然后将点P 的坐标代入椭圆的方程可得出有关点Q 的坐标所满足的方程，即为点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）解法一是将直线l 的参数方程与椭圆C 的方程联立，消去x 、y ，得到关于t 的二次方程，并列出韦达定理，并利用弦长公式|MN |=|t 1-t 2|结合韦达定理可求出答案； 解法二是将直线l 的方程化为普通方程，将直线l 的普通方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理与弦长公式可计算出|MN |；解法三是写出直线l 与椭圆C 的极坐标方程，将直线l 的极坐标方程与椭圆的极坐标方程联立，列出有关ρ的二次方程，列出韦达定理，结合韦达定理以及|MN |=|ρ1-ρ2|可计算出答案．本题考查直线与椭圆的综合问题，同时也考查了参数方程与极坐标方程的应用，考查计算能力与变形能力，属于中等题．18. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ-6sinθ+1ρ=0，直线l 的参数方程为{x =3+12t y =3+√32t（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为（3，3），求|PA |+|PB |的值．【答案】解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ-2cosθ-6sinθ+1ρ=0， 可得：ρ2-2ρcosθ-6ρsinθ+1=0， 可得x 2+y 2-2x -6y +1=0，曲线C 的普通方程：x 2+y 2-2x -6y +1=0． （2）由于直线l 的参数方程为{x =3+12t y =3+√32t （t 为参数）．把它代入圆的方程整理得t 2+2t -5=0，∴t 1+t 2=-2，t 1t 2=-5， |PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6． ∴|PA |+|PB |的值2√6．【解析】（1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可．（2）把直线方程代入圆的方程化简可得t 的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|求出|PA |•|PB |．本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数t 的几何意义，是基础题．19. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =a +√3costy =√3sint（t 为参数，a ＞0）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1上一点A 的极坐标为（1，π3），曲线C 2的极坐标方程为ρ＝cosθ． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）设点M ，N 在C 1上，点P 在C 2上（异于极点），若O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线l 上，且|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，求l 的极坐标方程． 【答案】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =a +√3costy =√3sint（t 为参数，a ＞0）．转换为直角坐标方程为：（x -a ）2+y 2=3， 化简为：x 2+y 2-2ax +a 2-3=0，转换为极坐标方程为：ρ2-2a ρcosθ+a 2-3=0，把曲线C 1上一点A 的极坐标（1，π3），代入曲线得极坐标方程得到：a 2-a -2=0， 解得：a =2或a =-1（舍去）．所以曲线的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+1=0．（Ⅱ）由题意知：设直线l 的极坐标方程为θ=α（ρ∈R ）， 设点M （ρ1，α），N （ρ2，α），P （ρ3，α）， 则：ρ1＜ρ2．联立{ρ2−4ρcosθ+1=0θ=α得到：ρ2-4ρcosα+1=0，所以：ρ1+ρ2=4cosα，ρ1•ρ2=1． 联立：{ρ=cosθθ=α，得到：ρ3=cosα．由于|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，所以：ρ32=(ρ3−ρ1)(ρ2−ρ3)，则：2cos2α=4cos2α-1，，解得：cosα=√22所以直线l的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R）．【解析】（Ⅰ）直接利用转化关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系，利用等比中项求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，等比中项的应用．。

坐标系与参数方程1．(2008东莞调研文、理)极坐标内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为．2．(2008佛山二模文、理)球坐标(2,,)63ππ对应的点的直角坐标是1(2 ⎽⎽⎽⎽，对应点的柱坐标是(1,3π⎽⎽⎽⎽.3. (2008佛山一模文、理)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为_____22(2)4x y +-=_____，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为____ )2,2(π_____．4．(2008广州一模文、理)在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 cos 2ρθ= ．5. (2008广州二模文、理)已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin ,1cos y x (θ为参数), 则点()4,4P 与圆C 上的点的最远距离是 6 .6．(2008广州调研文、理) 在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为．7．(2008惠州一模理) 已知动圆：0sin 2cos 222=--+θθby ax y x),,(是参数是正常数，θb a b a ≠，则圆心的轨迹是______椭圆__________8. (2008惠州调研二文) 极坐标系中，圆22cos 30ρρθ+-=上的动点到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最大值是2 ．第13题9、(2008惠州调研二理) 曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上的点到曲线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）上的点的最短距离为 1 ．10.(2008惠州调研三文)直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为82 ．11．(2008惠州调研三理) 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为22(2)4x y +-= .12．(2008揭阳一模文、理) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为____sin()32πρθ-=__________.13．(2008揭阳调研文、理) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝14．(2008梅州一模文) 已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=,则圆心到直线距离为．15. (2008汕头一模理)在极坐标系中，点A (1,)4π到直线sin 2ρθ=-的距离是__2+。

专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。

极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕的对称中心〔 B 〕.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位。

直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为〔 D 〕〔A 〕14 〔B 〕214 〔C 〕2 〔D 〕223(2014) (2).〔坐标系与参数方程选做题〕假设以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为〔 〕 A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭所以选A 。

二．填空题1. (2014)〔选修4-4：坐标系与参数方程〕曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，〔α为参数〕交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 3 (2014)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014)曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是。

22．[2019年I 卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．22．[2019年II 卷]（理科）（10分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P. （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.22．[2019年III 卷]（理科）（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标.22．[2018年I 卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．22．[2018年II 卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=22．[2018年III卷]（理科）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．22．[2017年I卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．22．[2017年II卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．22．[2017年III卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t 为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．22．[2016年I卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．22．[2016年II卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．22．[2016年III卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．22．[2015年I卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．22．[2015年II卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．22．[2014年I卷]（理科）（10分）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．22．[2014年II卷]（理科）（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．22．[2013年I卷]（理科）（10分）已知曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x=4+5costy=5+5sint（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

…○…………○………极坐标参数方程专项练习一、解答题1．【选修4-4：坐标系与参数方程】已知半圆C 的参数方程为{1x cos y sin αα==+，其中α为参数，且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.（1）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，设T 是半圆C 上的一点，且OT =，试写出T 点的极坐标.【答案】（1）2sin ρθ=， 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）3πθ= 【解析】（1）根据半圆C 的参数方程{1x cos y sin αα==+，其中α为参数，且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得圆的普通方程为： ()2211x y +-= ()01x ≤≤，所以，半圆C 的极坐标方程为： 2sin ρθ=， 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为OT =2sin θ=， 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则解得3πθ=.故点T 的极坐标为3π⎫⎪⎭.点睛：考察极坐标与参数方程，方程之间的互化要熟悉2．选修4-4： 坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线的参数方程，若直线与曲线有公共点，求的取值范围;（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）[0,π4]∪[3π4,π);（Ⅱ）[−1,7]．【解析】试题分析：（I ）利用公式ρ2=x 2+y 2,x =ρcosθ，化简ρ2−6ρcosθ+1=0得x 2+y 2−6x +1=0，直线的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα，代入圆的方程整理得t 2−8tcosα+8=0，直线与圆有交点，所以判别式大于等于零，由此求得倾斜角的范围为[0,π4]∪[3π4,π)；（II ）圆x 2+y 2−6x +1=0的参数方程为{x =3+2√2cosθy =2√2sinθ，则x +y =3+2√2cosθ+2√2sinθ=3+4sin(θ+π4)，所以范围为[−1,7]. 试题解析：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣6x+1=0，∵直线l 经过点P （﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =tsinα，（t 为参数），将{x =−1+tcosαy =tsinα ，代入x 2﹣y 2﹣6x ﹣1=0，整理，得t 2﹣8tcosα+8=0，∵直线l 与曲线C 有公共点，∴△=64cos 2α﹣32≥0，即cosα≥√22，或cosα≤﹣√22， ∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）．（2）曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2﹣6x+1=0可化为（x ﹣3）2+y 2=8，其参数方程为{x =3+2√2cosθy =2√2sinθ，（θ为参数）， ………7分∵M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，∴x+y=3+2√2cosθ+2√2sinθ=3+4sin （θ+π4）， ∴x+y 的取值范围是[﹣1，7]．考点：坐标系与参数方程第3页 共34页 ◎ 第4页 共34页…………外…………○…………装…○…………订…………○…※※请※※不※※要※※在※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…○…………订…………○…3．在直角坐标系xoy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x ()为参数θ．若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：t 224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ（其中t 为常数）（1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离【答案】（1）451212-=+≤<+-t t 或；（2）823【解析】试题分析：（1）将曲线M 的参数方程化为直角坐标方程为抛物线的一部分，将曲线N 的极坐标方程化为直角坐标方程为一条直线，通过平移直线观察曲线N 与曲线M 只有一个公共点时t 的取值范围；（2）当2t =-时，曲线N 为2x y +=-， 设曲线M 上的点坐标，利用点到直线距离公式表示目标函数，进而转化为求函数最值问题求解． 试题解析：解：对于曲线M ，消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ．曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角方程为t y x =+，曲线N 是一条直线． （1）若曲线,M N 只有一个公共点，则有直线N 过点()12，时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点()12-，之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以1212+≤<+-t 满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得012=--+t x x ，()0141=++=∆t ，求得45-=t ．综合可求得t 的取值范围是：451212-=+≤<+-t t 或．（2）当2-=t 时，直线N ：2-=+y x ，设M 上点为()2,1,0200≤-x x x ，则823243212120020≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=x x x d ．当210-=x 时取等号，满足20≤x ，所以所求的最小距离为823．考点：1．参数方程和普通方程的互化；2．极坐标方程和直角坐标方程的互化；3．点到直线距离公式．4．（本小题满分12分）已知在直角坐标系xΟy 中，圆锥曲线的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数），定点，是圆锥曲线的左、右焦点．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l 与圆锥曲线交于两点，求．【答案】（Ⅰ）2ρsin(θ−π3)=√3;（Ⅱ）125． 【解析】试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法. 试题解析：解：（1）圆锥曲线的参数方程为（为参数），………○…………订…………○………线…………○…________班级：___________考号：__________………○…………订…………○………线…………○…所以普通方程为：2分3分直线极坐标方程为：5分（2）直线的参数方程是（为参数），7分代入椭圆方程得8分9分10分考点：1、极坐标方程的应用；2、直线与椭圆的位置关系.5．在极坐标系中，已知曲线2:cosCρθ=，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线1C，又已知直线cos3:sin3x tly tππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t是参数），且直线l与曲线1C交于A，B两点.（1）求曲线1C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P，求11||||PA PB+.【答案】(1)2214xy+=，表示焦点坐标为()),，长轴长为4的椭圆.(2)32.【解析】【分析】（1）先把曲线C的极坐标方程化成直角方程，在利用变换得到曲线1C，它是椭圆．（2）点P在直线l上，可用直线参数方程中参数的几何意义来求11PA PB+．【详解】（1）曲线C的直角坐标方程为：2220x y x+-=即()2211x y-+=．∴曲线1C的直角坐标方程为2214xy+=，∴曲线1C表示焦点坐标为()),，长轴长为4的椭圆．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程2214xy+=中，得21312804t t++=．设,A B两点对应的参数分别为12,t t，∴12124832,1313t t t t+=-=，∴121211111132PA PB t t t t⎛⎫+=+=-+=⎪⎝⎭．【点睛】如果直线l的参数方程是0cossinx x ty y tαα=+⎧⎨=+⎩（t是参数且t R∈，α是直线的倾斜角），那么t表示(),P x y与()00,P x y之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．第7页 共34页 ◎ 第8页 共34页6．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθθ=-． （1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长． 【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-【解析】 【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C 的直角坐标方程，结合cos xρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即2240x y x +-=，可得24cos 0ρρθ-=，所以曲线1C的极坐标方程为：4cos ρθ=.曲线2C ：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-，则2C 的直角坐标方程为：(()2214x y++=. （Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为3y x =-， 所以l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得A ρ=-联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-，4A B AB ρρ=-=-.解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为3y x =-， 联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ， 联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得()2B -， 所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.7．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C :452x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C :26cos10sin 90ρρθρθ--+=．（Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程； （Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系． 【答案】（Ⅰ） 1:C 23y x =-，2:C 35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数） ；（Ⅱ）相交.【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数t 可得曲线1C 的普通方程，将2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，可写出其参数方程；（Ⅱ）由直线1C 过点圆2C 内点(4,5)P 可判断两曲线相交.试题解析：（Ⅰ）∵4,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩，∴4t x =-，代入52y t =+得，52(4)y x =+-，即23y x =-． ∴曲线1C 的普通方程是23y x =-． 将ρ=cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的方程26cos 10sin 90ρρθρθ--+=，得2261090x y x y +--+=，即 22(3)(5)25x y -+-=．设35cos x α-=，55sin y α-=得曲线2C 的参数方程：35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线1C 是经过点(4,5)P 的直线，曲线2C 是以(3,5)O '为圆心半径为5r =的圆．∵1PO r '=<，∴点(4,5)P 在曲线2C 内， ∴曲线1C 和曲线2C 相交．考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=．（1）直接写出曲线2C 的普通方程；（2）设A 是曲线1C 上的动点，B 是曲线2C 上的动点，求AB 的最大值．【答案】（1）2214y x +=；（2）max23AB =+ 【解析】 【分析】（1）利用互化公式即可将曲线2C 的极坐标方程化成普通方程；（2）消去参数，求出曲线1C 的普通方程为2224x y -+=（），从而得出2C 的参数方程，由题可知，max max 2AB BC =+，设cos 2sin B ββ（，），利用两点间的距离公式求出BC ，运用二次函数的性质求出max BC ，从而得出AB 的最大值． 【详解】第11页 共34页 ◎ 第12页 共34页解：（1）曲线2C 的普通方程为2214y x +=；（2）由曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得曲线1C 的普通方程为2224x y -+=（）， 它是一个以20C （，）为圆心，半径等于2的圆， 则曲线2C的参数方程为：cos (2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数），∵A 是曲线1C 上的点，B 是曲线2C 上的点， ∴max max 2AB BC =+．设cos 2sin B ββ（，），则BC ， ∴当2cos =3β-时，max 3BC ∴max 23AB =+． 【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，利用消参法将参数方程化为普通方程，运用曲线的参数方程表示点坐标，以及结合两点间的距离和二次函数的性质，求出距离最值，考查转化思想和计算能力. 9．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosφy =sinφ（φ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =acosφy =bsinφ（a >b >0,φ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l:θ=α与C 1,C 2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合．（1）分别说明C 1,C 2是什么曲线，并求a 与b 的值；（2）设当α=π4时，l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1，当α=−π4时，l 与C 1,C 2的交点分别为A 2,B 2，求直线A 1A 2,B 1B 2的极坐标方程．【答案】（1）C 1是圆，C 2是椭圆，a =3，b =1；（2）直线A 1A 2和B 1B 2的极坐标方程分别为ρsinθ=√22，ρsinθ=3√1010. 【解析】试题分析：（1）曲线C 1的参数方程为{x =cosφy =sinφ，平方消去参数可得x 2+y 2=1，故曲线C 1为圆，曲线C 2的参数方程为{x =acosφy =bsinφ消去参数可得x 2a 2+y 2b 2=1 ，所以曲线C 2为椭圆；把两曲线方程中的φ分别换成0、π2，可得四个交点，根据交点距离或重合可求a 与b 的值；（2）由（1）得C 1，C 2的普通方程分别为x 2+y 2=1和x 29+y 2=1,.当α=π4时，求射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为x =√22，与C 2的交点B 1的横坐标为x ′=3√1010。

2007－2019年全国课标卷坐标系与参数方程试题1.（本小题满分10分）1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．8.己知直线l 的参数方程为132x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值．9.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。

易错点17 极坐标和参数方程易错点1.极坐标1．极坐标与直角坐标的互化：①互化条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。

②互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)(0)ρθρ≥，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩说明：若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ； 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。

易错点2.参数方程 1.常见的参数方程: (1)直线的参数方程：若直线过00(,)x y ，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，其中参数t 的几何意义是直线上定点P 0到动点P 的有向线段P 0P 的数量，若动点P 在定点P 0的上方，则t >0；若动点P 在定点P 0的下方，则t <0；若动点P 与定点P 0重合，则t ＝0.定点P 0到动点P 的距离是|P 0P |＝|t |. （2）圆的参数方程：①圆222x y r +=的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）②圆()()222x a y b r -+-=的参数方程为：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（3）椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）（4）抛物线22y px =的参数方程222x Pt y Pt⎧=⎨=⎩（t 为参数）2.关于参数几点说明：（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐 标 系1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2．极坐标的概念 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。

(2)极坐标：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)。

当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。

(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。

如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。

3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。

(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ4．常见曲线的极坐标方程1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程。

极坐标系与参数方程（教师版）一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。

3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。

）①设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。

那么有序数对(, ρθ称为点M 的极坐标。

其中ρθ约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。

4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(, ρθ，则x =2ρ=y =tan θ=二、曲线的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(, M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：sin( sin( ρθ-α=ρθ-α几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2）直线过点M(a,0且垂直于极轴（3）直线过(, 2M b π且平行于极轴图：方程：2．圆的极坐标方程：若圆心为00(, M ρθ，半径为r 的圆方程为：2220002cos( 0r ρρρθθρ--+-=几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点（2）当圆心位于(,0 M r （3）当圆心位于(, 2M r π图：方程：3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化x =2ρ=y =θ=三、参数方程1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(, P x y 满足((x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数 2．参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；⑵00(x x at t y y bt =+⎧⎨=+⎩为参数）（3）2sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩[0,2 θπ∈（4）1( 21(2a x t t b y t t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）（5）cos sin x a r y b r ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）常见化普通方程为参数方程，1、圆222( ( x a y b r -+-=的参数方程。

欢迎阅读极坐标与参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 3.常见圆与直线的极坐标方程 曲线 图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆圆心为(,0)r ,半径为r 的圆圆心为(,)2r π,半径为r 的圆过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线过点(,)2a π,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。

2021高考二轮专题复习：极坐标与参数方程1．极坐标的根本概念极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的〔极角相差2的正数倍〕．2．极坐标与直角坐标的互化．假设极点在原点且极轴为x轴的正半轴，那么平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：x＝ρcosθ，x2＋y2，tanθ＝y，或者ρ＝y＝ρsinθx其中要结合点所在的象限确定角θ的值，一般取[0,2).3．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线：x＝x0＋tcosα，y＝y0(t为参数)，＋tsinα其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论：①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，那么|AB|＝|tB－tA|＝〔t B＋t A〕2－4t A·t B；②线段AB的中点所对应的参数值等于tA＋tB.2(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：x＝x0＋rcosθ，(θ为参数)y＝y0＋rsinθ(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：x＝acosθ，x＝bcosθ，(θ为参数)或.y＝bsinθy＝asinθ4．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制．1高考热点突破〔掌握极坐标方程与直角坐标方程；参数方程与普通方程；极坐标方程与参数方程之间的互化是前提〕例：在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为 x tcos〔t 为参数， y tsin〕，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为p 〔p0〕，写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程.cos1突破点1：求交点坐标x 4 5cost,(2021全国1卷)曲线C 1的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，55sint轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将x45cost,消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，y 55sint 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将xcos,代入 x 2＋y 2－8 x－10＋16＝0得ysinyρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由x 2 y 2 8x 10y160,x 2y 2 2y解得x 1, 或 x 0,所以C 1与C 2交点的极坐标分别为2,π，2,π.y 1 y2.42相关练习：x 1 cos1.在直角坐标系 xoy 中，圆C 的参数方程( 为参数〕,以O 为极点，x 轴的y sin 非负半轴为极轴建立极坐标系。