三角函数复习与建议

三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在实际问题中的应用；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）通过例题解析，提高学生解决实际问题的能力；（3）培养学生运用三角函数解决几何问题的技巧。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的学习兴趣；（2）培养学生的团队合作精神；（3）鼓励学生勇于探索，提高自主学习能力。

二、教学内容1. 三角函数的定义及性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数的图像与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像；（2）三角函数的值域；（3）三角函数的零点与极值。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数的定义及性质；（2）三角函数的图像与性质；（3）三角函数在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）三角函数的图像分析；（2）三角函数在实际问题中的运用；（3）复杂三角函数计算。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生复习三角函数的基本概念；2. 利用多媒体展示三角函数的图像，帮助学生直观理解；3. 通过例题解析，培养学生解决实际问题的能力；4. 组织小组讨论，促进学生团队合作，共同探索；5. 鼓励学生提问，及时解答学生疑惑。

五、教学过程1. 导入：回顾三角函数的基本概念，引导学生进入复习状态；2. 讲解：讲解三角函数的定义及性质，引导学生理解和记忆；3. 展示：利用多媒体展示三角函数的图像，让学生直观感受；4. 例题解析：分析实际问题，运用三角函数解决问题；5. 小组讨论：学生分组讨论，共同探索三角函数的应用；6. 提问与解答：学生提问，教师解答，及时巩固知识点；7. 总结：对本节课复习内容进行总结，强调重点知识点；8. 作业布置：布置适量作业，巩固复习成果。

特级教师高考复习方法指导三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考考试中经常涉及的知识点。

为了帮助特级教师进行高考复习，以下是一些建议的指导方法。

1.系统学习基本概念：首先，特级教师应该对三角函数的基本概念进行系统学习。

了解正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义和性质，掌握它们的图像、周期、对称性和变化规律等。

2.熟悉基本公式：特级教师应该熟悉三角函数的基本公式。

这包括和差化积公式、倍角公式、半角公式等。

掌握这些公式可以帮助特级教师解决一些复杂的三角函数问题。

3.理解三角函数的几何意义：特级教师应该理解三角函数的几何意义。

例如，正弦函数对应一个圆的y坐标，而余弦函数对应同一个圆的x坐标。

这样的理解可以帮助特级教师更好地解决几何中的问题。

4.学会绘制函数图像：特级教师应该掌握三角函数图像的绘制方法。

可以通过手工绘图和使用计算机软件进行练习。

绘制函数图像可以帮助特级教师更直观地理解函数的性质和特点。

5.善于利用恒等变换：特级教师应该善于利用恒等变换来解决问题。

恒等变换是指一些等式或不等式，通过对等式或不等式两侧同时进行变换而得到的等价关系。

善于利用恒等变换可以简化问题的求解过程。

7.多做练习题：特级教师在复习三角函数时，应该多做一些练习题。

练习题可以帮助特级教师巩固知识点，提高解题能力。

选择不同难度的题目进行练习，可以帮助特级教师逐渐提高解题水平。

8.注重知识的应用：特级教师应该注重将三角函数的知识应用到实际问题中。

通过解决实际问题，特级教师可以更深入地理解三角函数的应用价值。

可以通过寻找一些与三角函数相关的实际问题，并尝试求解这些问题来提高应用能力。

三角函数的复习与综合问题解析与证明通过本文，我们将对三角函数进行复习，并解析和证明一些综合问题。

三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域具有广泛的应用。

本文将围绕三角函数的定义、性质、图像、周期性以及一些典型的综合问题展开讨论。

一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

我们先来了解它们的定义：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一角的对边与斜边的比值，定义为正弦函数。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一角的邻边与斜边的比值，定义为余弦函数。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一角的对边与邻边的比值，定义为正切函数。

4. 余切函数（cot）：在直角三角形中，对于一角的邻边与对边的比值，定义为余切函数。

5. 正割函数（sec）：在直角三角形中，对于一角的斜边与邻边的比值，定义为正割函数。

6. 余割函数（csc）：在直角三角形中，对于一角的斜边与对边的比值，定义为余割函数。

二、三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，包括：1. 周期性：sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，而 tan(x) 和 cot(x) 的周期是π。

2. 平移性：对于任意实数 a，sin(x + a) = sin(x)cos(a) + cos(x)sin(a)，cos(x + a) = cos(x)cos(a) - sin(x)sin(a)，tan(x + a) = (tan(x) + tan(a))/(1 - tan(x)tan(a))。

3. 对称性：sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)，cot(-x) = -cot(x)，sec(-x) = sec(x)，csc(-x) = -csc(x)。

4. 奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)，cot(-x) = -cot(x)，sec(-x) = sec(x)，csc(-x) = -csc(x)。

高中数学三角函数的学习方法总结9篇第1篇示例：高中数学三角函数是高中数学中的一个重要内容，学好三角函数对于学生未来的数学学习以及数理能力的提高都有着非常重要的意义。

对于很多学生来说，三角函数的学习可能会感到有些困难，不知道如何下手学习。

本文将就高中数学三角函数的学习方法做一个总结，希望可以帮助学生更好地学习和掌握这一重要的数学知识。

要想学好高中数学三角函数，最基本的就是掌握好三角函数的定义和性质。

学生应该从最基础的定义开始，牢固掌握正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义，明确它们在坐标系中的图像和相关的周期性、奇偶性等性质。

在掌握了基本的概念之后，还要通过大量的练习来熟练掌握这些概念，掌握三角函数图像的绘制、周期性和单调性等性质。

高中数学三角函数还涉及到了三角函数的基本关系式、化简、同角三角函数等内容。

学生需要掌握三角函数的基本关系式，熟练运用三角函数的化简方法，掌握三角函数的同角三角函数之间的关系等。

这些内容需要学生对数学知识的掌握要求较高，需要多花时间进行思考和练习。

高中数学三角函数还包括了三角函数的图像变换和解三角形的相关内容。

学生需要掌握三角函数图像的平移、伸缩、翻转等变换规律，熟练运用这些变换规律进行函数图像的绘制。

学生还需要掌握解三角形的相关知识，包括解三角形的方法、解三角形的计算、解三角形的应用等内容，这些内容需要学生集中精力进行学习和应用。

学生在学习高中数学三角函数的过程中，还可以通过一些学习方法来提高学习效果。

比如说，学生可以通过多媒体辅助教学的方式进行学习，通过观看相关的视频、PPT等资料来加深对三角函数知识的理解；可以通过参考相关的教材和习题集来进行练习和巩固知识；可以利用互联网资源，通过搜索相关的知识点来进行拓展学习。

学生还可以通过参加数学兴趣小组、数学比赛等活动，来增强对数学知识的学习和掌握。

学习高中数学三角函数还需要学生通过多次的练习和实践来加深对知识的理解和掌握。

只有在实践中，学生才能够真正做到“学以致用”，才能够更好地掌握数学知识。

千里之行，始于足下。

2024届全国新高考数学精准复习三角函数知识点总结2024届全国新高考数学考试中，三角函数是一个重要的知识点。

以下是三角函数的主要内容和考点总结：1. 基本概念：- 弧度与角度的转换：1弧度=180°/π，1度=π/180弧度。

- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义与关系。

2. 三角函数的图像与性质：- 正弦函数和余弦函数的图像特点：周期为2π，在x轴上的零点为kπ，振幅为1。

- 正切函数的图像特点：周期为π，在x轴上的零点为kπ，无振幅。

- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数、余弦函数是偶函数、正切函数是奇函数。

- 三角函数的周期性：正弦、余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

3. 三角函数的性质与关系：- 三角函数的基本关系：tanx=sinx/cosx，cotx=1/tanx，secx=1/cosx，cscx=1/sinx。

- 三角函数的倒数关系：sinx=1/cscx，cosx=1/secx，tanx=1/cotx。

- 三角函数的平方关系：sin^2x+cos^2x=1，1+tan^2x=sec^2x，1+cot^2x=csc^2x。

4. 三角函数的性质与特殊值：- 正弦函数和余弦函数的取值范围：-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 正切函数和余切函数的取值范围：tanx属于R，cotx属于R。

- 三角函数的特殊值：sin0=0，cos0=1，sin90°=1，cos90°=0，tan45°=1，cot45°=1。

5. 三角函数的解析式与性质：- sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny。

- cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny。

- tan(x±y)=(tanx±tany)/(1∓tanxtany)。

高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。

它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。

通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。

二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。

常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。

这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。

正切函数的周期性稍有不同，为π。

2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。

例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。

3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。

例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。

4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。

例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。

四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。

例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。

2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。

例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。

3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。

例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。

4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。

例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。

三角函数专题复习（一）1. 三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

一、要点●疑点●考点1、任意角和弧度制：①、任意角：正角（按逆时针方向旋转形成的角）、负角（按顺时针方向旋转形成的角）、零角（没有作任何旋转的角）；②、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；【注意】：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

③、a：终边相同的角的集合：S={β︱β=α+k·360o，k∈Z}；b：终边在x轴上的角的集合：S={β︱β=k•180o，k∈Z}；c：终边在y轴上的角的集合：S={β︱β=90o+k·180o，k∈Z}；d：终边在坐标轴上的角的集合：S={β︱β=k·90o，k∈Z}；e：终边在直线y=x上的角的集合：S={β︱β=45o+k•180o，k∈Z}④、角度制与弧度制：用度作为单位来度量角的单位制叫着角度制；用实数作为单位来度量角的单位制叫着弧度制；把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫着1弧度的角，用符号rad表示，读着弧度。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角αα的正负由角α的终边的旋转方向决定。

角度制与弧度制的转化只要通过【注意】：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。

高考三角函数的复习建议三角函数是函数的一个分支，其特点是函数种类多，公式多，周期性、对称性等性质突出，函数图象变化有代表性载体，三角函数和解三角形与实际问题联系紧密。

这些特点使三角函数试题灵活多变，高考中虽以容易题、中等题为主，但依然是许多学生学习中的一大难点。

本文通过对近几年来宁夏高考三角函数试题研究，提出相应的高考复习建议，使学生在复习过程中有的放失，事半功倍。

1考查类型1.1三角代数式求值。

它主要依据基本关系式、诱导公式、两角和与差公式、倍角公式、异名化同名公式进行化简，并应用三角函数定义及特殊三角函数值求解。

如：例1（2007年宁夏）若cas2asin（a-π4）=-22，求cosa+sina的值。

例2 （2011年宁夏）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，求cos2θ。

[评析]：例1、例2考查三角函数的定义，三角恒等变化，要注意识别公式。

1.2函数性质。

主要考查定义域、值域、周期性、对称性、单调性及奇偶性。

通常也是象求三角代数式的值一样要先进行化简。

例3（2010年宁夏）求函数f （x）=2sinxcosx的最小正周期并判断它的奇偶性。

例4（2012年宁夏）当函数y=sinx-3cosx，（0≤x0，|φ|<π2）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），判断f（x）在（0，π2）及（π4，3π4）单调性。

[评析]：例3～例5考查三角函数简单恒等变换和性质（周期性、奇偶性、周期性、对称性、最值）.1.3y=asin（ωx+φ）+k的图像。

这类图象主要考查五点作图法及图象变换，解决此类问题的关键是理解a，ω，φ的意义，特别是ω对φ的影响（分先周期后相位、先相位后周期两种类型）。

例6（2010全国卷）为了得到函数y=sin（2x-π3的图象，只需把函数y=sin（2x+π6的图象向____平移____个长度单位。

1.4解三角形。

此类问题题主要考查三角函数在三角形中的利用. 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理.例7（2010年宁夏）在△abc中，已知b=45°，d是bc边上的一点，ad=10，ac=14，dc=6，求ab的长.[评析]：第一步，在△adc中，利用余弦定理求出得∠adc；第二步，在△abd中，直接应用正弦定理，求出ab的长。

三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标：1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。

2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和运用能力。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 三角函数的图像与性质的基本概念和公式。

2. 三角函数的周期性及其图像。

3. 三角函数的奇偶性及其图像。

4. 三角函数的单调性及其图像。

5. 三角函数的极值及其图像。

三、教学重点与难点：1. 三角函数的周期性及其图像。

2. 三角函数的奇偶性及其图像。

3. 三角函数的单调性及其图像。

4. 三角函数的极值及其图像。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。

2. 采用案例分析法，分析三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的图像特点。

3. 采用练习法，让学生通过练习题目的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入：通过复习三角函数的图像与性质的基本概念和公式，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解三角函数的周期性及其图像，引导学生理解周期性的含义和周期函数的图像特点。

3. 分析：分析三角函数的奇偶性及其图像，引导学生理解奇偶性的含义和奇偶函数的图像特点。

4. 讲解：讲解三角函数的单调性及其图像，引导学生理解单调性的含义和单调函数的图像特点。

5. 分析：分析三角函数的极值及其图像，引导学生理解极值的含义和极值函数的图像特点。

6. 练习：布置练习题目，让学生通过练习的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像与性质的重要性。

教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握三角函数的图像与性质的基本概念和公式，提高他们对三角函数图像与性质的理解和运用能力。

要关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导，帮助他们解决学习中的问题。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对三角函数图像与性质的基本概念和公式的掌握程度。

三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在实际问题中的应用；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念、公式和性质；（2）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（2）培养学生勇于探索、积极向上的精神风貌。

二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性、奇偶性、单调性。

2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。

3. 三角函数在实际问题中的应用（1）角度与弧度的互化；（2）三角函数在工程、物理等领域的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：（1）三角函数的定义与性质；（2）三角函数公式的运用；（3）三角函数在实际问题中的应用。

2. 难点：（1）三角函数公式的灵活运用；（2）解决实际问题时，三角函数的转化与运用。

四、教学措施1. 采用讲解、例题、练习、讨论等方式进行教学；2. 利用多媒体课件，直观展示三角函数的图象和性质；3. 注重引导学生发现规律，培养学生的逻辑思维能力；4. 针对不同层次的学生，给予适当的辅导和指导。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生作业、测验等的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力；4. 课后反馈：收集学生对教学内容的反馈意见，为下一步教学提供参考。

六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生复习三角函数的基本概念和性质。

2. 新课内容：讲解三角函数的公式，并通过例题展示其在实际问题中的应用。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固知识点。

4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养学生的合作能力。

高中数学复习教案：三角函数应用一、引言本教案旨在帮助高中生复习和掌握三角函数应用的相关知识点。

三角函数在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、航海导航等领域。

通过本教案的学习和练习，学生将更好地理解和运用三角函数的概念和技巧。

二、基础知识回顾1. 角度与弧度制•角度制是我们常见的测量角度的方式，以360°为一个完整圆。

•弧度制是数学上使用最广泛的角度单位，以弧长比半径定义。

一个完整圆周对应的弧度为2π。

2. 三角函数定义与性质•正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）是最常见的三角函数。

•正弦函数表示直角三角形中斜边与 hypotenuse 的比值；余弦函数表示邻边与 hypotenuse 的比值；正切函数表示对边与邻边的比值。

•注意，正切函数在某些特殊情况下可能无定义或者无意义。

3. 特殊角及其值•30度、45度和60度的三个特殊角值是非常重要的，需要记住它们在角度制和弧度制下的数值。

三、三角函数应用1. 射线问题•射线问题是三角函数应用中最常见的一个类型。

我们可以利用已知角的正弦、余弦或正切值求解未知长度或高度。

#### 示例：树木高度测量问题描述：一棵树与观察者之间形成一个直角三角形，观察者站在离树10米的地方，从眼睛到顶部的角度为30°。

求该树的高度。

解题步骤：1.利用正切函数计算tan(30°) = X/10，得到 X 的值。

2.确定 X 的单位后，即可得到树木的高度。

2. 角分析问题•角分析问题包括求解已知两边长度和夹角，则可以利用余弦定理或正弦定理来求解第三边或第二个夹角数值。

#### 示例：桥梁高空抛物线轨道计算问题描述：一座桥梁上有一个高空抛物线轨道，其中两座桥塔相距150米，高差50米。

桥塔顶部与水平线夹角为60°，求抛物线的方程。

解题步骤：1.分析桥塔与水平线构成的三角形，并计算斜边的长度。

2.利用已知条件，使用正弦函数计算箭头发射点的高度与水平距离之间的关系。

三角函数的复习与拓展复习篇一、正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本和常见的函数之一。

在直角三角形中，正弦函数可以定义为对边与斜边的比值：sinθ = 对边 / 斜边除了直角三角形，正弦函数还可以用单位圆来表示。

单位圆是以圆心为原点、半径为1的圆。

在单位圆上，角度θ等于点P与正 x 轴的夹角。

那么点P的 y 坐标即为正弦函数的值，可以表示为：sinθ = y坐标二、余弦函数（cos）余弦函数也是一种常见的三角函数。

在直角三角形中，余弦函数可以定义为邻边与斜边的比值：cosθ = 邻边 / 斜边与正弦函数类似，余弦函数也可以用单位圆来表示。

在单位圆上，角度θ等于点P与正 x 轴的夹角。

那么点P的 x 坐标即为余弦函数的值，可以表示为：cosθ = x坐标三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中最常用的函数之一。

在直角三角形中，正切函数可以定义为对边与邻边的比值：tanθ = 对边 / 邻边与正弦函数和余弦函数不同，正切函数在单位圆上不容易表示。

但是可以通过正弦函数和余弦函数的关系来计算：tanθ = sinθ / cosθ拓展篇一、三角函数的周期性正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为360度或2π弧度。

这意味着他们的图像在一定角度范围内会重复出现。

二、三角函数的性质1. 正弦函数的值范围在-1到1之间，其最大值为1，最小值为-1。

2. 余弦函数的值范围也在-1到1之间，同样最大值为1，最小值为-1。

3. 正切函数的值范围是无穷大到无穷小。

三、三角函数的图像三角函数的图像可以通过绘制函数曲线来表示。

正弦函数和余弦函数的图像都是波浪形状，而正切函数的图像则是由无穷多的渐近线组成。

四、三角函数的应用除了在几何学和三角学中的应用外，三角函数还广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

例如在振动学中，正弦函数可以描述物体的周期性振动。

结语三角函数是数学中的重要概念，具有广泛的应用。

通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的复习与拓展，我们可以更好地理解它们的定义、性质和图像，并应用于实际问题中。

高中三角函数知识点归纳总结（最新8篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三角函数复习（同角三角函数基本关系与诱导公式）. （2）商数关系：sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1（3）倒数关系：tan α=co 1t∝2.六组诱导公式（1）诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． （2）同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 二、课前自测1. tan 等于 ( ) A. √B. √C.√D.√2. 若 α=1，α ./，则 tanα 等于 ( )A.√B.√C. √D. √3. 已知 tanα= 1，且 α 为第二象限角，则 nα 的值为 ( )A. 1B. 11C.1D.14. .1 / n.1/= ．5. 已知 tanα= ，则的值为 ．三、典型例题1. 已知 α 是三角形的内角，且 nα α=1．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ把1用tanα表示出来，并求其值；Ⅲ求：的值；Ⅳ求 nα nα α的值．2. （1） n()() n()=；（2）已知 .α/=√，则 .α/ n.α/的值为．（3）已知 n.1 α/=，则 .α111/=．（4）若 .α/=1，则 n.α/=．3. （1）已知=()()()，则的值构成的集合是()A. *+B. *+C. *+D. *+（2）()() . /()()=．（3）已知α为第三象限角，(α)= . / . / ()()()．Ⅰ化简(α)；Ⅱ若 .α/=1，求(α)的值．同角三角函数基本关系式与诱导公式答案课前自测 1. D 2. C 3. C4. √5. 1典型例题1. （1） 解法一： 联立 { nα α=1n αα=由 得 α=1nα， 将其代入 ，整理得 n α nα = ． 因为 α 是三角形的内角， 所以 nα=，所以 α=， 所以 tanα=． 解法二：因为 nα α=1，所以 ( nα α)=.1 /，则 nα α=1，所以 nα α=，所以 ( nα α) = nα α==． 因为 nα α= 1且 α ， 所以 nα ， α ， 所以 nα α ． 所以 nα α= ．由 { nα α=1nα α=得 { nα=α=所以 tanα= ．（2）1 === 11因为tanα=，所以α nα=tanαtanα=. /. /=（3）tanα=，则：==. /=．（4）nα nα α==1=1=2. （1）；（2）√（3）（4）. 13. （1）C 【解析】当为偶数时，==；当为奇数时，==．所以的值构成的集合是*+．（2）.【解析】原式=0 ./1 ( ), ( )-=./( ) =( ) ===（3）(α)= . / ./ ( ) ( ) ( )=( ) ( )( )= α（4） 因为 .α/=1， 所以 nα=1，从而 nα= 1． 又 α 为第三象限角， 所以 α= √ n α= √，所以 (α)= √．同角三角函数基本关系式与诱导公式课堂练习与作业一、选择题（共7小题；共35分） 1. n 的值为 ( ) A. 1B. √C.D. √2. 已知 ./=√，且，则 tan = ( )A. √B. √C. √D. √3. 若 α 是第三象限角，且 tanα=1，则 α= ( )A. √11B.√11C.√11D. √114. 在 中，若 tan = 则 = ( )A. √B. √C. √D. √5. 已知 n ( )= n./ 则 n = ( )A.B.C. 或D. 16. 已知 (α)=( ) ( )( )，则 .1/ 的值为 ( )A. 1B. 1C. 1D. 17. 已知函数 ( )= n ( α) ( )，且 ( )= ，则 ( ) 的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）8. 已知α为锐角，且 tan(α) . /=，tan(α) n()=，则 nα的值是．三、解答题（共2小题；共26分）9. 已知 n(α)= n.α/，求下列各式的值：（1）；（2） nα nα α．10. 已知 n(α)(α)=√.α /，求下列各式的值．（1） nα α；（2） n.α/.α/．答案第一部分1. A【解析】 n = n ( ) ( )= n ( )= n =1 1=12. D 【解析】 ./= n =√，又，则 =1，所以 tan =√ ．3. C【解析】因为 α 是第三象限角，且 tanα= =1， n α α= ，所以 α= √1 1．4. B【解析】在 中，当 tan = 时， ./，所以 =√1=√= √． 5. B【解析】由已知等式得 n = ， 所以 n = = ，所以 =1，故 n = =． 6. C【解析】因为 (α)== α，所以 . 1/= .1/= ./== 1．7. c【解析】因为 ( )= n ( α) ( )= nα = ，所以( )= n ( α) ( )= n (α) ( )=第二部分 8. √1 1【解析】由已知可得 tanα n = ，tanα n = ， 解得 tanα= ， 又 α 为锐角，故 nα= √11． 第三部分9. （1） 解法一：由 n ( α)= n.α/ 得 tanα= ．原式=== 1．解法二：由已知得 nα= α．原式==1．（2）解法一：原式==1=．解法二：原式===．10. （1）由 n(α)(α)=√，得 nα α=√．将两边平方，得 nα α=，故 nα α=．又α，所以 nα， α．( nα α)= nα α= . /=1 ，所以 nα α=．（2） n.α/.α/=α nα=( α nα)(α α nα nα)= .1/=。

《三角函数》复习教案【知识网络】学法：1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．第1课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y=x上D．在直线y=－x上．3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα} ，tanα= ．4．tan(－3)cot5cos8的符号为．5．若cosθtanθ＞0，则θ是( ) A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P （－ 3 ，m ），且sin θ=24m ，求cos θ与tan θ的值． 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程．解 由题意知r= 3＋m 2 ，则sin θ= m r = m3＋m 2．又∵sin θ=2 4m ， ∴ m 3＋m 2= 24 m ． ∴m=0，m=±5 ． 当m=0时，cos θ= －1 ， tan θ=0 ； 当m= 5 时，cos θ= －6 4， tan θ= － 153； 当m= － 5 时，cos θ= －6 4，tan θ=153． 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．例2 已知集合E=｛θ｜cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tan θ＜sin θ}，求集合E ∩F ．分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之．解 E=｛θ｜π4 ＜θ＜5π4}， F =｛θ｜ π2＜θ＜π，或3π2＜θ＜2π}，∴E ∩F=｛θ｜π2＜θ＜π}．例3 设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，θ2是哪个象限的角?解 ∵θ是第二象限角， ∴2k π+π2＜θ＜2k π+3π2，k ∈Z ． ∴k π+π4＜θ2＜k π+ 3π4，k ∈Z ． ∴θ2是第一象限或第三象限角． ① 又∵｜sin θ2|= －sin θ2 ， ∴sin θ2＜0. ∴ θ2是第三、第四象限的角． ②由①、②知，θ2是第三象限角． 点评 已知θ所在的象限，求θ2或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错． 【知能集成】注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式． 【训练反馈】1． 已知α是钝角，那么α2是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一与第二象限角D ．不小于直角的正角2． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是 （ ）A ．3 5 B ． 45 C ．－ 35 D ．－ 453．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4)B ．( π4， π2)∪(π， 5π4)C ．(π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2) D ．( π4， π2 )∪(3π4，π) 4．若sinx= － 35，cosx =45 ，则角2x 的终边位置在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－ 2π3终边相同，则α= ．6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ． 8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)·sin(sin θ)的符号为什么？9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．第2课 同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin αcos α=tan α，tan αcot α=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ． 【知识在线】1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( ) A ． 14 B ． 34 C ． 114 D ． 942．已知sin(π+α)=－35，则 ( )A ．cos α= 45B ．tan α= 34C ．cos α= －45D ．sin(π－α)= 353．已tan α=3，4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值为 ．4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ= 59，那么sin2θ等于 ( )A ．2 23 B ．－2 2 3 C ．23 D ．－ 23【讲练平台】例1 化简sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α)(-cos α)(-tan α)= sin α·cos αsin αcos α=1 ．点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．分析 已知式为sin θ、cos θ的二次式，欲求式为sin θ、cos θ的一次式，为了运用条件，须将cos θ－sin θ进行平方．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34．∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ．∴cos θ－sin θ= －32． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值． 变式2 已知cos θ－sin θ= －32， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 点评 sin θcos θ，cos θ+sin θ，cos θ－sin θ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．分析 因为cos 2θ+sin θcos θ是关于sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成tan θ的式子．解 原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin θcos θ cos 2θ+sin 2θ = 1+tan θ 1+tan 2θ = 25 ．点评 1．关于cos θ、sin θ的齐次式可转化成tan θ的式子．2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos 2θ等．【知能集成】1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos 2θ．3．要注意观察式子特征，关于sin θ、cos θ的齐次式可转化成关于tan θ的式子． 4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ． 【训练反馈】1．sin600°的值是 （ ） A ．12 B ．－ 12 C ． 3 2 D ．－ 3 22． sin(π4+α)sin （π4－α）的化简结果为 （ ）A ．cos2αB ．12cos2αC ．sin2αD ． 12sin2α3．已知sinx+cosx=15，x ∈［0，π］，则tanx 的值是 （ ）A ．－34B ．－ 43C ．±43D ．－34或－434．已知tan α=－13，则12sin αcos α+cos 2α = ．5．1－2sin10°cos10° cos10°－1－cos 2170°的值为 ．6．证明1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α．7．已知2sin θ+cos θsin θ－3cos θ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．第3课 两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题． 【知识在线】1．cos105°的值为 （ ） A ．6 ＋ 2 4 B ． 6 － 2 4 C ． 2 － 6 4 D ． － 6 － 242．对于任何α、β∈（0，π2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin β C ．sin(α+β)=sin α+sin β D ．要以α、β的具体值而定 3．已知π＜θ＜3π2，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ）A ． a+1B ．－ a+1C ． a 2+1D ．±a 2+1 4．已知tan α=13，tan β=13，则cot(α+2β)= ．5．已知tanx=12，则cos2x= ．【讲练平台】例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12，求cos(α－β)的值 ．分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cosβ的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 12， ②①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= 1336． ∴cos(α－β)=7259． 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．例2 求 2cos10°-sin20°cos20° 的值 ．分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解 ∵10°=30°－20°，∴原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30°cos20°= 3 ．点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例3 已知：sin(α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin ［(α+β)+α］=－2sin ［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=－2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α． 若cos(α+β)≠0 ，cos α≠0，则3tan(α+β)=tan α．点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体 【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想． 【训练反馈】1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45，则sin β等于 （ ）A ．0B ．0或2425C ． 2425D ．0或－24252．sin7°+cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8° 的值等于 （ ）A ．2+ 3B ．2+ 32 C ．2－3 D ． 2－ 3 23． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 （ ）A ．π6 B ． 5π6 C ． π6或5π6 D ． π3或2π34．若α是锐角，且sin(α－π6)= 13，则cos α的值是 ． 5．cos π7cos 2π7cos 3π7= ．6．已知tan θ=12，tan φ=13，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．8． 已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 13，求tan αtan β．第4课 两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题． 【知识在线】 求下列各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 2．12（cos15°+ 3 sin15°）= ． 3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ． 5．11－tan θ－ 11＋tan θ= ． 【讲练平台】例1 求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2．(1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+ 3 tan10°tan50°= 3 ． （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．解 原式= （ 3 ·sin12°cos12°－3）1 sin12°2 cos24° =︒︒-︒24cos 212sin 312cos 3=︒︒-︒=︒︒︒︒-︒48sin 21)12cos 2312sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3=.3448sin )6012sin(34-=︒︒-︒点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=22b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．例2 求证1+sin4θ-cos4θ2 tan θ = 1+sin4θ+cos4θ1-tan 2θ．分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4θ-cos4θ 1+sin4θ+cos4θ =2tan θ1-tan 2θ ，此式的右边等于tan2θ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．证略点评 注意倍角公式cos2α=2cos 2α－1，cos2α=1－2sin 2α的变形公式：①升幂公式1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin 2α，②降幂公式sin 2α= 1-cos2α2 ，cos 2α= 1＋cos2α2的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．例3 已知cos(π4+x)= 35，17π12＜x ＜ 7π4，求sin2x ＋sin2xtanx 1-tanx的值．解 原式= sin2x （1＋tanx ） 1-tanx =sin2x ×tan π4＋tanx 1-tan π4tanx=sin2xtan （π4+x ）= －cos ［2(x+π4)］tan(x+π4)= －［2cos 2(x+ )－1］tan （π4+x ）∵17π12＜x ＜ 7π4， ∴ 5π3＜x+π4＜2π． ∴sin(π4+x) = －45 ，∴tan （π4+x ）=－ 43．∴原式 = －2875． 点评 （1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan π4等；（3）注意化同角，将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+π4．【知能集成】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］；asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用． 【训练反馈】1．cos75°+cos15°的值等于 （ ） A ． 6 2 B － 6 2 C ． － 2 2 D ． 2 22．a=2 2（sin17°+cos17°），b=2cos 213°－1，c= 2 2，则 （ ） A ．c ＜a ＜b B ． b ＜c ＜a C ． a ＜b ＜c D ． b ＜a ＜c 3．化简1+sin2θ-cos2θ 1+sin2θ+cos2θ= ．4．化简sin(2α+β)－2sin αcos(α+β)= ．5．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2+tan C 2+ 3 tan A 2tan C2的值为 ．6．化简sin 2A+sin 2B+2sinAsinBcos(A+B)．7 化简sin50°(1+ 3 tan10°)．8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．第5课 三角函数的图象与性质（一）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质． 【知识在线】1．若 3 +2cosx ＜0，则x 的范围是 ． 2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是 （ ）A ．[π2，π]B ． ［0，π4］C ． ［－π，0］D ． [π4，π2]3．下列函数中，周期为π2的偶函数是 （ ）A ．y=sin4xB ． y=cos 22x －sin 22xC ． y=tan2xD ． y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x 2cos2x 是 函数；（2）y=｜sin2x ｜－xcotx 是 函数；（3）y=sin(7π2+3x)是 函数．5．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为 ． 【讲练平台】 例1 （1）函数y=xx sin 21)tan 1lg(--的定义域为(2)若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足 （C ）A ．α＞βB ．α＜βC ．α+β＜π2D ． α+β＞π2分析 （1）函数的定义域为⎩⎨⎧>>0.2sinx -10,tanx -1 (*) 的解集，由于y=tanx 的最小正周期为π，y=sinx 的最小正周期为2π， 所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx 和y=sinx 的图象先求出(－π2， 3π2)上满足（*）的x 的范围，再据周期性易得所求定义域为{x ｜2k π－π2＜x ＜2k π+π6 ，或2k π+ 5π6＜ x ＜2k π+5π4 ，k ∈Z} ．分析（2）sin α、cos β不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos β转化成sin(π2－β)，运用y=sinx 在［0，π2］的单调性，便知答案为C ． 点评 （1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．例2 判断下列函数的奇偶性：(1)y=x x x cos 1cos sin +-； (2)y=.cos sin 1cos sin 1xx xx +--+分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)是否等于f(x)或－f(x) ．解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos 2 x2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数．（2）定义域不关于原点对称（如x=－π2，但x ≠π2），故不是奇函数，也不是偶函数．点评 将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．例3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π3) ；(2)y=.)32cos(2cos )32sin(2sin ππ++++x x x x分析 对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．解 （1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π2－π6)= 12sin(4x －π3)， 所以最小正周期为2π4 = π2． （2）y=23)2(sin 21)2(cos 2cos 23)2(cos 21)2(sin 2sin ⨯-⨯+⨯+⨯+x x x x x x =x x x x 2sin 232cos 232cos 232sin 23-+ =).62tan(2tan 331332tan 2tan 312tan 3π+=-+=-+x x x x x ∴是小正周期为π2． 点评 求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k 或y=Acos(ωx+φ) ＋k 或y=Atan(ωx+φ) ＋k 的形式（其中A 、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．例4 已知函数f(x)=5sinxcosx －53cos 2x+235 (x ∈R) ． (1)求f(x)的单调增区间；（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．分析 函数表达式较复杂，需先化简．解 f(x)= 52sin2x －53×1+cos2x 2＋235 =5sin(2x －π3)． （1）由2k π－π2≤2x －π3≤2k π+π2，得［k π－π12 ，k π+5π12］（k ∈Z ）为f(x)的单调增区间．（2）令2x － π3=k π+π2，得x= k 2π+5π12 （k ∈Z ），则x= k 2π+5π12（k ∈Z ）为函数y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x －π3 =k π，得x=k 2π+π6（k ∈Z ），∴ y=f(x)图象的对称中心为点（k 2π+π6，0）（k ∈Z ）． 点评 研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t ，从而归结为讨论y=Asint 的单调性．【知能集成】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．【训练反馈】1．函数y=lg(2cosx －1)的定义域为 （ ）A ．{x ｜－π3＜x ＜π3}B ．{x ｜－π6＜x ＜π6｝ C ．{x ｜2k π－π3＜x ＜2k π+π3，k ∈Z} D ．{x ｜2k π－π6＜x ＜2k π+π6，k ∈Z} 2．如果α、β∈（π2，π），且tan α＜cot β，那么必有 （ ） A ．α＜β B ． β＜α C ． α+β＜3π2 D ． α+β＞3π23．若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）A ．sinxB ． cosxC ． sin2xD ． cos2x4．下列命题中正确的是 （ ）A ．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sin α＞sin βB ．函数y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k π－π2，2k π+π2），k ∈Z C ．函数y=1－cos2x sin2x的最小正周期是2π D ．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y 轴对称，则φ=k π2＋π4，k ∈Z 5．函数y=sin x 2+cos x 2在（－2π，2π）内的递增区间是 ． 6．y=sin 6x+cos 6x 的周期为 ．7．比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；(2)cos 2θ，sin 2θ，tan 2θ（π4＜θ＜π2）．8．设f(x)=sin(k 5x+π3) (k ≠0) ． (1)写出f(x)的最大值M ，最小值m ，以及最小正周期T ；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M 与m ．第6课 三角函数的图象与性质（二）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．【知识在线】1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ ）A ．y=cosx+1B ．y=cosx －1C ．y=－cosx+1D ．y=－cosx －12．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （ ）A ． (12k π，0)， k ∈ZB ．（13k π，0）， k ∈Z C ．（14k π，0）， k ∈Z D ．（k π，0），k ∈Z 3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为 （ ）A ．x=－－π2B ．x=－ π4C ．x= π8D ．x=π 4．为了得到函数y=4sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π4)的图象上所有点（ ） A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变． 5．要得到y=sin(2x － π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移π3个单位B ． 向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ． 向右平移π6个单位 【讲练平台】例1 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．分析 求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T 2=3π．得 T=6π，所以ω=13．所以y=2sin(x 3+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(x 3 ＋π6）． 解略点评 y=Asin(ωx+φ)中的A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 解：（1）T= 13π3－ π3 =4π．∴ω=2πT = 12 ．又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的． ∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)． (2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）． 点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例3 已知函数y=12cos 2x+ 3 2sinxcosx+1 (x ∈R)． (1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解 (1)y= 12·1+cos2x 2 + 3 2·12 sin2x +1= 12sin(2x+π6)+ 54． 当2x+π6 =2k π+π2 ，即x=k π+π6，k ∈Z 时，y max = 74． (2）由y=sinx 图象左移π6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移 54个单位即可．思考 还有其他变换途径吗？若有，请叙述．点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．【知能集成】已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．【训练反馈】1．函数y= 12sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 （ ） A ．θ=2k π+π2 B ．θ=k π+π2C ．θ=2k π+πD ．θ=k π+π(k ∈Z) 2．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）A ．y=sin(－2x+π3 )B ．y=sin(－2x －π3) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π3)3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ ）A ．sin(1+x)B ． sin(－1－x)C ．sin(x －1)D ． sin(1－x)4．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是 （ ）5．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是 ．6．将y=sin(3x － π6)的图象向（左、右） 平移 个单位可得y=sin(3x+π3）的图像． 7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－ 12，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式．8．已知函数y= 3 sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b ．（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式． -B A C D第7课 三角函数的最值【考点指津】掌握基本三角函数y=sinx 和y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．【知识在线】1．已知（1）cos 2x=1.5 ；(2)sinx －cosx=2．5 ；(3)tanx+1tanx =2 ；(4)sin 3x =－ π4．上述四个等式成立的是 （ ）A ．（1）（2）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（1）（3）2．当x ∈R 时，函数y=2sin(2x+π12)的最大值为 ，最小值为 ，当x ∈〔－5π24， π24〕时函数y 的最大值为 ，最小值为 . 3．函数y=sinx － 3 cosx 的最大值为 ，最小值为 ．4．函数y=cos 2x+sinx+1的值域为 ．【讲练平台】例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值． 分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2 当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π8 (k ∈Z)时，y max = 2 +2 ．点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=a 2+b 2 sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值． 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］ =－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1=－2［cos(θ+π4)－14］2+98． ∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］． ∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －12 ． 点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］， ∴y min =34 ，y max =3+ 2 ．点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12． 【训练反馈】1．函数y =12+sinx+cosx 的最大值是 （ ） A ． 2 2 －1 B ． 2 2 ＋1 C ． 1－ 2 2 D ． －1－ 2 22．若2α+β=π，则y=cos β－6sin α的最大值和最小值分别为 （ ）A ．7，5B ． 7，－112 C ． 5，－112D ． 7，－5 3．当0≤x ≤π2时，函数f(x)= sinx+1 cosx+1的 （ ） A ．最大值为2，最小值为12 B ．最大值为2，最小值为0 C ．最大值为2，最小值不存在 D ．最大值不存在，最小值为04．已知关于x 的方程cos 2x －sinx+a=0，若0＜x ＜π2时方程有解，则a 的取值范围是（ ） A ．［－1，1］ B ．（－1，1） C ．［－1，0］ D ．（－∞，－54）5．要使sin α－ 3 cos α= 4m －6 4－m有意义，则m 的取值范围是 ． 6．若f(x)=2sin ωx(0＜ω＜1），在区间［0，π3］上的最大值为 2 ，则ω= ．三、解答题7．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0， π3］时函数y 的最大值．8．已知函数f(x)=－sin 2x －asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a ＞0，求a ，b的值．9．已知函数f(x)=2cos 2x+ 3 sin2x+a ，若x ∈［0，π2］，且｜f(x)｜＜2，求a 的取值范围．第8课 解斜三角形【考点指津】掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题．【知识在线】1．△ABC 中，若sinAsinB ＜cosAcosB ，则△ABC 的形状为 ．2．在△ABC 中，已知c=10，A=45°，C=30°，则b= ．3．在△ABC 中，已知a= 2 ，b=2，∠B=45°，则∠A 等于 （ ）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°4．若三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为 （ ）A ．60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°5．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有灯塔，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测灯塔A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是 （ ）A ．10 6 kmB ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10（ 6 ＋ 2 ）km【讲练平台】例1 在△ABC 中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×12 3 = 3 2， ∴∠C=60°，或∠C=120°． ∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6．当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·（b 2+c 2—a 22bc ）=b ·（a 2+c 2—b 22ac ），∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ．∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ．∴a 2－b 2=0，或c 2－a 2－b 2=0．∴a=b ，或c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或2A=π－2B ．∴A=B ，或A+B=π2． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．例3 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程．解 连结BD ，则有四边形ABCD 的面积 S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ． ∵A+C=180°， ∴sinA=sinC ．故S=12（2×4+6×4）sinA=16sinA ． 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cosC=52－48cosC ．∴20－16cosA=52－48cosC ．∵cosC=－cosA ， ∴64cosA=－32，cosA=－ 12． 又∵0°＜A ＜180°，∴A=120°． 故S=16sin120°=8 3 ． 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用． 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b · A B CD O下端距水平视线a 米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析 如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB 的目标函数．由于已知有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解 设观察者距墙壁x 米的P 处观察，PC ⊥AB ，AC=b ，BC=a(0＜a ＜b)，则∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xa xb x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x ≤b —a 2ab ， 当且仅当x= ab x, 即x=ab 时，y 最大． 由θ∈（0，π2）且y=tan θ在（0，π2）上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大． 点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．【知能集成】运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解．在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用． 【训练反馈】1．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 3 4，则该三角形是 （ ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或直角三角形2．在△ABC 中，已知（b+c ）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 （ ）A ．120°B ．150°C ．60°D ．90°3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cosB －sinA ，sinB －cosA ）在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．5．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 ．6．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．7．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小．8．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC ，问点在什么位置时，四边形OACB 大面积．【单元检测】单元练习（三角函数）（总分100分，测试时间100分钟）一、选择题：本大题共12小时，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α满足sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若f(x)sinx 是周期为π的偶函数，则f(x)可以是 （ ） A ．sin2x B ． cosx C ． sinx D ． cox2x3．若sinx=m －3m+5，cosx=4－2 m m+5，且x ∈［π2，π］，则m 的取值范围为 （ ）A ．3＜m ＜9B ． m=8C ． m=0D ． m=0或m=8 4．函数f(x)=log 13(sin2x+cos2x)的单调递减区间是 （ ）A ．（k π－π4，k π+π8）(k ∈Z)B ．（k π－π8，k π+π8）(k ∈Z)C ．（k π+π8，k π+3π8）(k ∈Z)D ．（k π+π8，k π+ 5π8）(k ∈Z)5．在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是 （ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 6．△ABC 中，∠A=60°，b=1，其面积为 3 ，则a+b+csinA+sinB+sinC 等于 （ ）A ．3 3B ．239 3C ．26 3 3D ．3927．已知函数y= 2 cos(ωx+φ)(0＜φ＜π2）在一个周期内的函数图象如图，则 （ ）A ．T=6π5，φ= π4B ．T=3π2，φ=π4C ．T=3π，φ=－ π4D ．T=3π，φ= π48．将函数y=f(x)sinx 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则f(x)可以是（ ） A ．cosx B ．2cosx C ．sinx D ．2sinx9．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a ，b ］上是增函数，且f(a)=－M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在区间［a ，b ］上 （ ） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M10．在△ABC 中，∠C ＞90°，则tanA ·tanB 与1的关系适合 （ ）A ．tanA ·tanB ＞1 B ．anA ·tanB ＜1C ．tanA ·tanB=1D ．不确定 11．设θ是第二象限角，则必有 （ A ）A ．cot θ2＜tan θ2B ．tan θ2＜cot θ2C ．sin θ2＞cos θ2D ．sin θ2＜cos θ212．若sin α＞tan α＞cot α(－π2＜α＜π2}，则α∈ （ ）A ．（－π2，－ π4 ）B ．（－π4，0）C ．（0，π4）D ．（π4，π2）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上．13．sin390°+cos120°+sin225°的值是 ． 14．sin39°－sin21°cos39°－cos21°= ．15．已知sin θ+cos θ= 15，θ∈（０，π），cot θ的值是 ．16．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4·cos(2x －π6)；(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点（－π6，0）对称； （4）y=f(x)的图象关于直线x=－π6对称． 其中正确的命题序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题8分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P （－1，2），求sin(2α+2π3)的值．18．（本小题8分）已知sin 22α+sin2αcos α－cos2α=1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．19．(本小题9分)设f(x)=sin 2x －asin 2x2，求f(x)的最大值m ．20．(本小题9分)已知α、β∈（0，π4），且3sin β=sin(2α+β)，4tan α2 =1－tan 2α2，求α+β的值．21．（本小题9分）某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据：。

三角函数基础知识复习（一）一、任意角：知识点1、角的概念的推广：1、“旋转”形成角（角包括顶点、始边、终边）；2、角的分类：正角、负角、零角（逆时针、顺时针、没有旋转）。

例1、（1）钟表经过10分钟，分针转了______度；（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了______度。

知识点2、象限角和轴线角：1、象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；2、轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角叫轴线角，它不属于任何象限。

如：00，900，1800，2700，3600，-900，-1800，-3600，等等。

例2、（1）3700位于第___象限；（2）-1200位于第___象限；（3）2900位于第___象限；（4）-2600位于第____象限；（5）4弧度的角位于第___象限。

例3、A=｛小于900的角｝，B=｛第一象限的角｝，则A∩B=（）A、｛锐角｝B、｛小于900的角｝C、｛第一象限的角｝D、以上都不对例4、已知集合A=｛α|α=k·900-360，k∈Z｝，B=｛β|-1800<β<1800｝，则A∩B=（）A、｛-360，540｝ B、｛-1260，1440｝ C、｛-1260，-360，540，1440｝ D、｛-1260，540｝知识点3、终边相同的角：所有与α终边相同的角（包括α本身在内）构成一个集合, 这个集合可表示为｛β|β=________________________｝，终边相同的角相差3600的整数倍。

例5、已知角α=450，则在区间[-7200，00]内且与α终边相同的角是____________________。

例6、已知α是第二象限的角，且2α与7α的终边相同，则α=________________________。

例7、用描述法写出下列角的集合：（1）第一象限的角___________________；（2）第二象限的角___________________；（3）第三象限的角___________________；（4）第四象限的角___________________；（5）x轴正半轴上的角________________；（6）x轴负半轴上的角_____________________；（7）x轴上的角_______________；（8） y轴正半轴上的角_________________；（6）y轴负半轴上的角___________________________；（7）y轴上的角________________；（8）坐标轴上的角______________________________。

期末复习二———两角和与差的三角函数复习一、复习要点：2.化特殊式子：sin cos a x b x +为一个角的一个三角函数形式，如：cos 2sin()6x x x π=+ 3.角的代换。

要学会灵活拆角，如：2()(),ααβαβ=++-()βαβα=+-等等。

4.公式的逆用和变用。

如：cos()cos sin()sin cos αββαββα---= tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβαβαβαβ+=+⋅--=-⋅+二、典型例题 23331sin ,(,),cos ,(,2),3242cos()sin()ππααπββπβααβ=-∈=∈-+例.已知求、的值例2.求值：①cos 24cos36cos66cos54-= ②tan17tan 433tan17tan 43++=sin()cos 0,tan()6212πππαααα++=-<<+例3.已知求的值。

,,)αβθαθββθααβαβ--例4.已知都为锐角，且sin +sin =sin ,cos +cos =cos .求(1)求cos(的值;(2)求的值例5求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++ 33536.cos(),sin(),0sin()45413444πππππαβαβαβ-=+=<<<<+例已知其中，求的值三、巩固练习。

1.,33αβαβαβππππ+已知sin ==且为锐角，则的值是( )510 A. B.或 C. D.以上都不对44442、已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π )为 （ ） A ． 1318 B ．1322 C ．722 D ．318+tan20)+tan10tan20的值是( )1114.,,tan ,tan ,tan 25855αβγαβγαβγππππ===++都是锐角，，则等于（ ） A. B. C. D.34645.sin(36)cos(54)cos(36)sin(54)______αααα+-++-=化简6.已知)0,2(π-∈x ,53sin -=x ,则tan2x= ABC 357.在中，若sinA=,cosB=-,则sinC=______513 312,cos()sin 213ππβααβαβα<<<-=+38.已知,sin()=-,求的值2459.化简:①tan70cos10(3tan 201)- ②证明:sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=11),)23sin cos 5cos sin ;(2)5αβαβαβαβαβ+=-===10.已知sin(sin(求证：(1)tan tan11.,()cos 22x f x x x x ππ-≤≤=+若求的最大值和最小值，并求出此时的值。