2017高考数学理冲刺复习习题：一三角函数、解三角形专练 含答案 精品

新数学高考《三角函数与解三角形》专题解析一、选择题1．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22225ααααα++=+=-65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解【详解】由正弦定理：2sin sin b cR B C==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中，A B C π++=故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题4．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ）A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.5．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A C+=，1a =，b =c =（ ）A B ．1CD 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=所以sin()A B +=sin 2cos C C C=，因为sin 0C ≠，所以cos C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B 【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9π）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518π个单位长度 B ．向右平移518π个单位长度 C ．向左平移536π个单位长度 D ．向右平移536π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭转化为7sin 218y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移536π个单位长度，故选D ． 【点睛】本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．7．在ABC ∆中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】1sin 1sin 2BCD BCD ∠=∴∠=2242BD BD ∴=-=∴=,选C8．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（ ）A ．15 B ．14C ．12D ．34【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=, 故1sin 22θ=.所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.9．已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则cos α的值为( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，结合三角函数的定义即可得到cos α的值. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -， 所以34,,155x y r =-==， 所以3cos 5α=-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.10．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.11．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）A．5BC．3D．2【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u rsin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u ur因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 9355OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.12．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.13．ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =，若c =4a =，则b 的值为（ ）A ．6B ．2C ．5D【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan C C C =，结合sin 0C ≠，可求得tan C =()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理24120b b --=，解方程可求b 的值． 【详解】解：∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：)()sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =+=+=，∵sin 0C ≠，∴可得tan C = ∵()0,C π∈，∴3C π=，∵c =4a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得212816242b b =+-⨯⨯⨯，可得24120b b --=，∴解得6b =，（负值舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.14．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.15．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πω<）的最小正周期为π，且其图象向左平移3π个单位后，得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(,0)12π对称D ．关于点5(,0)12π对称 【答案】C 【解析】试题分析：依题意()()2,sin 2f x x ωϕ==+，平移后为2sin 2cos 2,36x x ππϕϕ⎛⎫++==- ⎪⎝⎭，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.考点：三角函数图象与性质.17．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈，又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.18．将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（ ）A ．8π B ．4π C ．38π D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而根据函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，即可求解. 【详解】由题意，将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位， 可得函数sin 2sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又由函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.19．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。

三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x ﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016•新课标Ⅲ）若ta nθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：122．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案 左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案 π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________． 答案 －725解析 由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8， 所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25， 则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

2017届高三数学专题练习解三角形答 案【重点把关】1~5．BCCCA 6．B7．78．339．解：（1）因为cos222cos 20C C ++=，所以22cos 22cos 10C C ++=，即()22cos 10C +=，所以2cos 2C =-，又0πC <<，所以3π4C ∠=．（2）因为22222cosC 5c a b ab a =+-=，所以5c a =，由正弦定理，得sinC 5sin A =，所以110sin sin 105A C ==．因为1sin 2ABC S ab C ∆=，且2sin sin 2ABC S A B ∆=，所以12sin sin sin 22ab C A B =，所以sinC 2sin sin abA B =，由正弦定理得2sinC 2sinC c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1c =．【能力提升】10．B11．52017届高三数学专题练习解三角形解析【重点把关】1．解析：由正弦定理可得sin A===．因为a=<b=，所以0<A<，所以A=，故选B．2．解析：已知等式利用正弦定理化简得=，即c2-b2=ac-a2，所以a2+c2-b2=ac，所以cos B==，因为B为三角形的内角，所以B=．故选C．3．解析：因为bcos B=acos A，所以sin Bcos B=sin Acos A，所以sin 2A=sin 2B，所以A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，即△ABC为等腰或直角三角形，故选C．4．解析：因为△ABC中，asin Asin B+bcos2A=a，所以根据正弦定理，得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A，可得sin B(sin2A+cos2A)=sin A，因为sin2A+cos2A=1，所以sin B=sin A，可得=．故选C．5．解析：因为在锐角△ABC中，sin A=，S△ABC=，所以bcsin A=bc×=，所以bc=3，①又a=2，A是锐角，所以cos A==，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即(b+c)2=a2+2bc(1+cos A)=4+6(1+)=12，所以b+c=2，②由①②得解得b=c=．故选A．6．解析：因为b2+c2+bc-a2=0，所以cos A==-，所以A=120°．由正弦定理可得====．故选B．7．解析：因为82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D⇒cos D=-，所以AC==7．答案：78．解析：因为∠A=60°，所以∠BOC=120°．又·=-，设△ABC外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以·=R2·cos∠BOC=-．所以R=1．由正弦定理得，=2R，所以a=2×sin 60°=．由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2，所以b+c≤2，所以a+b+c≤3，即三角形ABC周长的最大值为3．答案：39．【能力提升】10．解析：依题意可知1-cos Acos B-cos2=0，因为cos2===，所以1-cos Acos B-=0，整理得cos(A-B)=1，所以A=B，所以三角形为等腰三角形．故选B．11．解析：因为BD=2DC，所以设CD=x，AD=y，则BD=2x，因为cos ∠DAC=，cos C=，所以sin ∠DAC=，sin C=，则由正弦定理得=，即=，即y=x，sin ∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=×+×=，则∠ADB=，∠ADC=，在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos ，即2=4x2+2x2-2×2x×x×=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos =2+1-2××(-)=5，即AC=．答案：。

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知α为第四象限角，1sin cos 5αα+=，则tan 2α的值为 A.12-B.12C.13- D.13 3、（荆门市2017届高三元月调考）若将函数1π()sin(2)23f x x =+图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到()g x 的图象， 则函数()g x 的单调递增区间为A ．ππ[π,π]()44k k k Z -+∈B ．π3π[π,π]()44k k k Z ++∈C ．2ππ[π,π]()36k k k Z --∈D ．π5π[π,π]()1212k k k Z -+∈ 4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=AB．2CD ．125、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知1tan()42πα+=，且02πα-<<， 则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A． B．C．D6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知函数()()17sin cos 0326f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为2π，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.34 B. 327、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值是（ ）A ．4 B．．8、（襄阳市2017届高三1月调研）已知2sin cos 2sin ,sin 22sin ,θθαθβ+==，则 A. cos 2cos βα= B. 22cos 2cos βα= C. cos 22cos 2βα= D. cos 22cos 2βα=-9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知函数()()()()()sin ,0cos ,0x x f x x x αβ+≤⎧⎪⎨->⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是 A. ,48ππαβ==B. 2,36ππαβ== C. ,36ππαβ== D. 52,63ππαβ== 10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）下列命题中正确的是（ ）A ．函数y sin x =，[]0,2x π∈是奇函数B ．函数y sin26x π=-（））在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 C ．函数y 2sin(2)cos 2()36x x x R ππ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是6x π= D ．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期为2，且它的最大值为111、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知()s i n2017c o s 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin(2)3πθ+=（ ）A ．310--B ． 410--C ．310-D ．410- 13、（荆门市2017届高三元月调考）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC △的面积为S =，则ab 的最小值为 ▲ .14、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知1tan()42πα-=，则sin cos sin cos αααα+-的值为A ．1/2B ．2C ．2 2D ．-215、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）在ABC ∆中，角60C =，且t an t a n 122A B+=，则sinsin 22A B⋅= . 16、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为 ．二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象. （1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径R=2，求ABC ∆的面积的最大值.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知函数3c o s s i n 2s i n 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．3、（荆门市2017届高三元月调考） 已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且（a ＋b ）（sinA －sinB ）＝（c －b ）sinC （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若f （x 2cos cos 222x x x⋅＋，求f （B ）的取值范围．4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知函数3c o s s i n 2s i n 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()sin cos f x ax x x =+，且()f x 在4x π=. （Ⅰ）求a 的值，并讨论()f x 在[,]ππ-上的单调性；（Ⅱ）设函数1()ln(1),01xg x mx x x-=++≥+，其中0m >，若对任意的1[0,)x ∈+∞总存在2[0,]2x π∈，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围.6、（襄阳市2017届高三1月调研）已知函数()22sin cos .f x x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.7、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）在ABC ∆中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =，求cos cos sin sin A CA C+的值；（2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ∆的周长为l ，求()l f α=的最大值.8、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos .2b c a C -= （1）求角A ;（2）若()43,b c bc a +==ABC ∆的面积S .9、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知231()cos cos 224f x x x x =+-. （Ⅰ）求()y f x =的最小正周期T 及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5(),14f A a ==，求ABC ∆面积的最大值.参考答案一、选择、填空题1、D2、C3、B4、D5、A6、A7、C8、C9、B10、B 11、B 12、C13、1214、B1516、14.4二、解答题1、（Ⅰ）由图知，解得∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a =b 等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分2、（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤ ∴函数()f x的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径r =，sin 2323a b A B r r ======……………………8分1cos 3A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin 2223ABC S ab C ∆∴==⨯=分 3、解：（1）因为()(sin sin )()sin .a b A B c b C +-=-由正弦定理有()()()a b a b c b c +-=- 即有222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，60A ∴=︒ …………6分 （2）由题，21()cos cos sin 22262B B B f B B π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 且在锐角ABC ∆中，62B ππ<<，2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()f B ∴的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.…………12分4、（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤ ∴函数()f x的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径r =，sin 2222a b A B r r ======分1cos 3A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin 222ABC S ab C ∆∴==⨯=分 5、 【解析】（Ⅰ）∵()sin cos sin (1)sin cos f x a x ax x x a x ax x '=+-=-+ ………………1分222()(1)44f a a πππ'=-+=∴1a =，()cos f x x x '=………………………………………………………3分 当()0f x '>时，2x ππ-<<-或02x π<<当()0f x '<时，02x π-<<或2x ππ<<∴()f x 在(,),(0,)22πππ--上单调递增；在(,0),(,)22πππ-上单调递减 (6)分（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 单调递增，∴min ()(0)1f x f ==，则只需()1g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立即可 (7)分222()()(0,0)(1)(1)m m x m g x x m mx x -+'=≥>++①当2m ≥时，20m m-≥ ∴()0g x '≥在[0,)+∞上恒成立， 即()g x 在[0,)+∞上单调递增 又(0)1g =，∴()1g x ≥∴()1g x ≥在[0,)+∞上恒成立，故2m ≥时成立；………………………9分 ②当02m <<，x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减 ∴()(0)1g x g <=，故02m <<时不成立....................................11分 综上所述，m 的取值范围是[2,)+∞ (12)分6、(Ⅰ)解：错误！未找到引用源。

2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=， （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。

8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值； （2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。

2017年高考数学—三角函数（选择+填空+答案）1.（17全国1理9）已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 2.（17全国1文8）.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为3.（17全国1文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π34.（17全国2文3）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π 5.（17全国3文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．796.（17全国3文6）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35 D ．157.（17全国3文7）函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8.（17山东理（9））在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（17山东文（4））已知34cosx =,则2cos x = A ．-14B. 14C. - 18D.1810.（17山东文（7））函数sin2cos23+=y x x 最小正周期为A.2πB.23πC.πD.2π11.（17天津理（7））设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=12.（17全国3理6）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减13. （17全国1文15）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。

二、大题练规范—-5个解答题分类练(一)三角函数、解三角形专练1．在△ABC中，角A，B,C的对边分别是a,b，c,已知(a－3b）·cos C＝c（3cos B－cos A)．（1)求错误!的值；(2)若c＝错误!a，求角C的大小．2．已知在△ABC中,角A,B，C的对边分别是a，b，c，向量m ＝（2b,1)，n＝(2a－c，cos C)，且m∥n。

（1）若b2＝ac，试判断△ABC的形状；（2）求y＝1－错误!的值域．3．已知函数f（x）＝2sin x cos x＋2错误!cos2x－错误!。

(1)求函数y＝f（x)的最小正周期和单调递减区间；（2)已知△ABC的三个内角A,B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f错误!＝错误!，且sin B＋sin C＝错误!,求△ABC 的面积．4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝53，CD＝5，BD＝2AD。

(1)求AD的长；（2）求△ABC的面积．答案1．解：（1)由正弦定理得,（sin A－3sin B)cos C＝sin C（3cos B －cos A）,∴sin A cos C＋cos A sin C＝3sin C cos B＋3cos C sin B，即sin（A＋C)＝3sin(C＋B），即sin B＝3sin A，∴错误!＝3.（2）由(1）知b＝3a，∵c＝错误!a，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋9a2－7a22×a×3a＝错误!＝错误!，∵C∈(0，π），∴C＝错误!。

2．解：（1)由已知，m∥n，则2b cos C＝2a－c，由正弦定理，得2sin B cos C＝2sin(B＋C)－sin C,即2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin C.在△ABC中，sin C≠0，因而2cos B＝1，则B＝π3。

专题4.3 解三角形【三年高考】1. 【2021高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上高等于13BC ,那么cos A 〔 〕〔A 〕31010 〔B 〕1010〔C 〕 〔D 〕 【答案】C2.【2021高考新课标2理数】ABC ∆内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，假设，，1a =，那么b = ． 【答案】2113【解析】因为，且,A C 为三角形内角，所以，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为， 所以.3．【2021高考上海理数】ABC ∆三边长分别为3,5,7，那么该三角形外接圆半径等于_________. 73【解析】由3,5,7a b c ===，∴，∴，∴4．【2021年高考北京理数】在∆ABC 中，2222+=a c b ac . 〔1〕求B ∠ 大小；〔22cos cos A C + 最大值.5．【2021高考新课标1卷】 ABC ∆内角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ,2cos (cos cos ).C a B+b A c = 〔I 〕求C ； 〔II 〕假设7,c ABC =∆33,求ABC 周长． 【解析】〔I 〕由及正弦定理得,()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =,即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得,所以．〔II 〕由,．又,所以6ab =．由及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=． 故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 周长为57．6. 【2021 高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，，D 为边C B 上点，D ∆AB 与CD ∆A 面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，那么D DF E⋅= ． 【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 24125255A A AB AC A AB AC =⋅⋅=+⇒⋅=112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(151255DE DF A π⋅⋅-==-7.【2021 高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75方向上，仰角为30，那么此山高度CD = m.【答案】61008.【2021 高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕求()f x 单调区间；〔Ⅱ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ,假设,求ABC ∆面积最大值.【解析】〔I 〕由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ ； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔II 〕由 得 ，由题意知A 为锐角，所以 ，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ，可得：22132bc b c bc =+≥ ，即：23,bc ≤+ 当且仅当b c =时等号成立.因此 ，所以ABC ∆面积最大值为9.【2021 高考四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 四个内角. 〔1〕证明：〔2〕假设180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====求tantan tan tan 2222A B C D+++值.A BCD222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，那么2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是223210sin 1cos 1()7A A =-=-=.连结AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是221610sin 1cos 1()19B B =-=-=tan tan tan tan 2222A B C D +++. 10. 【2021全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 面积是12，AB=1，2，那么AC=( ) 5【答案】B11.【2021天津高考理第12题】在ABC 中，内角,,A B C 所对边分别是,,a b c ．，2sin 3sin B C ，那么cos A 值为_______． 【答案】14-． 【解析】因为32sin 3sin ,23,,2B C b c bc 代入得2a c ，由余弦定理得2221cos 24b c a Abc． 12.【2021高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c .,3a b c ≠=22cos -cos 3cos 3cos .A B A A B B =〔I 〕求角C 大小；〔II 〕假设，求ABC ∆面积.【三年高考命题回忆】纵观前三年各地高考试题, 解三角形问题，是每年高考必考知识点之一，题型一般是选择和填空形式，大题往往结合三角恒等变换，也有单独解三角形,主要考察正弦定理或余弦定理运用，以及在三角形中运用三角公式进展三角变换能力和利用三角形面积求边长等,考察利用三角公式进展恒等变形技能，以及根本运算能力，特别突出算理方法考察．【2021年高考复习建议与高考命题预测】由前三年高考命题形式可以看出 , 高考对解三角形考察，以正弦定理、余弦定理综合运用为主，从近几年高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考热点，主要涉及三角形边角转化、三角形形状判断、三角形内三角函数求值以及三角恒等式证明问题，立体几何体空间角以及解析几何中有关角等问题.今后高考命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用.题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度解答题, 主要考察学生分析问题、解决问题能力和处理交汇性问题能力．故在2021年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间关系或各角之间关系，并结合三角形内角和为180°，诱导公式，同角三角函数根本关系，两角和与差正弦、余弦、正切公式进展化简求值．预测2021年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理综合应用为主要考点，重点考察计算能力以及应用数学知识分析和解决问题能力．【2021年高考考点定位】高考对解三角形考察有两种主要形式：一是直接考察正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考察涉及三角形边角转化、三角形形状判断、三角形内三角函数求值以及三角恒等式证明问题.从涉及知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数根本关系，两角和与差正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这局部内容一种趋势.【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 【备考知识梳理】1．直角三角形中各元素间关系：如图，在ABC 中，90C =︒，,,AB c AC b BC a ===. 〔1〕三边之间关系：222a b c +=.〔勾股定理〕 〔2〕锐角之间关系：90A B +=︒； 〔3〕边角之间关系：〔锐角三角函数定义〕 ，，.46810a b c CBA2．斜三角形中各元素间关系：如图，在ABC 中，,,A B C 为其内角，,,a b c 分别表示,,A B C 对边. 〔1〕三角形内角和：A B C π++=.〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角正弦比相等2sin sin sin a b cR A B C===.〔R 为外接圆半径〕 变形：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =;sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===; ::sin :sin :sin a b c A B C =；2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++.〔3〕余弦定理：三角形任何一边平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角余弦积两倍2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-.推论：;;.变形：2222cos bc A b c a =+-;2222cos ac B a c b =+-;2222cos ab C a b c =+-.【规律方法技巧】解斜三角形常规思维方法是：〔1〕两角和一边〔如,,A B c 〕，由A B C π++=求C ，由正弦定理求,a b ；〔2〕两边和夹角〔如,,a b C 〕，应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对角，然后利用A B C π++=，求另一角；〔3〕两边和其中一边对角〔如,,a b A 〕，应用正弦定理求B ，由A B C π++=求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞b a ≤b解 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.〔4〕三边,,a b c ，应余弦定理求,A B ，再由A B C π++=，求角C .(5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中运用．(6)在含有三角形内角三角函数和边混合关系式中要注意变换方向选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形试题中方程思想是主要数学思想方法，要注意从方程角度出发分析问题．(7)如何恰中选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理量与未知量关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间关系等结论，对于相关问题是十分有益.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是两角和一角对边，求其他边角；二是两边和一边对应角，求其他边角，由于此时三角形不能确定，应对它进展分类讨论.利用正弦定理解题一般适应特点〔1〕如果所给等式两边有齐次边形式或齐次角正弦形式，可以利用正弦定理进展边角互换，这是高考中常见形式；〔2〕根据所给条件构造〔1〕形式，便于利用正弦定理进展边角互换，表达是转化思想灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切联系，常解决一下两类问题：一是两边和它们夹角，求其他边角；二是三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定，所以其解也是唯一. 余弦定理重要应用(8)三角形余弦定理作为解决三角形问题利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-那么22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+. ②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，那么2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立.③联系数量积定义式妙转化：在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. (9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而到达求值、证明或判断目．解题时要注意隐含条件． 【考点针对训练】1. 【2021年山西三校高三联考】在ABC ∆ 中，2,B A ACB =∠ 平分线CD 把三角形分成面积比为4:3两局部，那么cos A = . 【答案】232. 【2021年湖北省八校高三第二次联考】如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，7AC =，23ABC π∠=，3ACD π∠=. 〔Ⅰ〕求sin BAC ∠； 〔Ⅱ〕求DC 长.【解析】〔Ⅰ〕在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅，即260BC BC +-=，解得：2BC =，或3BC =-〔舍〕， 由正弦定理得：sin 21sin .sin sin 7BC AC BC B BAC BAC B AC =⇒∠==∠【考点2】利用正余弦定理求三角形面积 【备考知识梳理】ACDB(第17题图)三角形面积公式：〔1〕111222a b c S ah bh ch ===〔,,a b c h h h 分别表示,,a b c 上高〕； 〔2〕111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===； 〔3〕()()()222sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a B C b A C c A B S B C A C A B ===+++； 〔4〕22sin sin sin S R A B C =；〔R 为外接圆半径〕〔5〕S =Rabc 4； 〔6〕S =△＝))()((c s b s a s s ---；；〔7〕S rS =.〔r 为内切圆半径,〕【规律方法技巧】利用来求ABC 面积是在两边及夹角前提下来求，事实上，两边及夹角中某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形根本量技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析等式中边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进展三角形中边角互化，假设要把“边〞化为“角〞，常利用“2sin a R A =，，2sin b R B =，2sin c R C =;〞，假设要把“角〞化为“边〞，常利用sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===，;;等；然后利用三角形内角和定理、大边对大角等知识求出三角形根本量．解三角形中，应特别注意问题中隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形面积公式，三角形中边角关系，内角和定理等．例如利用边值判断隐含条件b a ≤或b c ≤，极其隐蔽．另外常见错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等，(2)在利用正弦定理解三角形两边和其中一边对角求另一边对角，进而求出其他边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进展分类讨论．【考点针对训练】1. 【2021届邯郸市一中高三第十研】如图，在Rt ABC ∆中，090A ∠=，,D E 分别是,AC BC 上一点，满足030ADB CDE ∠=∠=，4BE CE =．假设CD =BDE ∆面积为________．【答案】435 2. 【2021届河北省石家庄市高三二模】在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对边，且满足C b a cos 3=.〔Ⅰ〕求值；〔Ⅱ〕假设3tan ,3==A a ，求ABC ∆面积.【解析】〔I 〕由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可得： 2sin =32sin cos R A R B C ⨯, A B C π++=sin sin()=3sin cos A B C B C ∴=+，即sin cos cos sin =3sin cos B C B C B C +cos sin =2sin cos B C B C ∴ ,故．【考点3】利用正余弦定理判断三角形形状【备考知识梳理】解斜三角形主要依据是：设ABC 三边为,,a b c ，对应三个角为,,A B C .〔1〕角与角关系：A B C π++=；〔2〕边与边关系：a b c +>，b c a +>，c a b +>，,,a b c b c a c a b -<-<-<；〔3〕边与角关系：正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C===.〔R 为外接圆半径〕； 余弦定理 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-.它们变形形式有：2sin a R A =，，.5．三角形中三角变换三角形中三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身特点.〔1〕角变换因为在ABC 中，A B C π++=，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-.2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； 〔2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半.〔3〕在ABC 中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列充分必要条件是60B =︒；ABC 是正三角形充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中边角关系判断三角形形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边相应关系，从而判断三角形形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角关系，从而判断出三角形形状，此时要注意应用A B C π++=这个结论．如何利用余弦定理判定三角形形状由于cos A 与222b c a +-同号，故当2220b c a +->时，角A 为锐角；当2220b c a +-=时，三角形为直角三角形；当2220b c a +-<时，三角形为钝角三角形．三角形中常见结论(1) A B C π++=.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在ABC 中，sin sin A B >是A B >充要条件【考点针对训练】1. 【2021届福建省泉州市高三5月质检】,,a b c 分别是ABC ∆ 中角,,A B C 对边sin 4sin 4sin ac A C c A +=.〔1〕求a 值；〔2〕圆O 为ABC ∆外接圆〔O 在ABC ∆内部〕, ABC ∆面积为,判断ABC ∆形状, 并说明理由.【解析】〔1〕由正弦定理可知,sin ,sin 22a c A C R R==, 那么2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=,()2220,444420c a c c ac a a a ≠∴+=⇔+=⇔-=,可得2a =.2. 【2021年山西榆林高三月考】如图，平面上直线12//l l ，,A B 分别是12,l l 上动点，C 是12,l l 之间一定点，C 到1l 距离1CM =，C 到2l 距离3CN =ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为,,a b c ，a b >，且cos cos b B a A =.〔1〕判断ABC ∆形状；〔2〕记()11,ACM f AC BC θθ∠==+，求()f θ最大值.【解析】〔1〕由正弦定理得：，结合cos cos b B a A =，得sin 2sin 2B A =，又a b >，所以A B >，且(),0,A B π∈，所以22A B π+=，∴，所以ABC ∆是直角三角形;〔2〕ACM θ∠=，由〔1〕得，那么()131132,BC ,cos sin cos cos sin 363AC f AC BC πθθθθθθ⎛⎫===+=+=- ⎪⎝⎭， 所以时，()f θ最大值为233.【考点4】正、余弦定理实际应用【备考知识梳理】仰角和俯角在同一铅垂平面内水平视线和目标视线夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间水平夹角叫做方位角．如B 点方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．易混点：易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成锐角．【规律方法技巧】三角形应用题解题要点：解斜三角形问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求量，从而得到实际问题解．有些时候也必须注意到三角形特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少．把握解三角形应用题四步：(1)阅读理解题意，弄清问题实际背景，明确与未知，理清量与量之间关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题复原为实际问题，注意实际问题中有关单位问题、近似计算要求等．求距离问题考前须知：(1)选定或确定要求解三角形，即所求量所在三角形，假设其他量那么直接解；假设有未知量，那么把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算定理．求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线夹角；(2)准确理解题意，分清条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关三角形，逐步求解问题答案，注意方程思想运用．解决测量角度问题考前须知：(1)明确方位角含义；(2)分析题意，分清与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决问题后，注意正、余弦定理“联袂〞使用．【考点针对训练】1. 【2021届福建厦门双十中学高三下热身考】为了应对日益严重气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新“弹射型〞气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进展气象观测．如下图，,,A B C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进展弹射实验，观测点,A B两地相距100米，60BAC∠=︒，在A地听到弹射声音时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H处仰角为30．〔Ⅰ〕求A，C两地距离；〔Ⅱ〕求这种仪器垂直弹射高度HC〔声音传播速度为340米/秒〕．2. 【2021届江苏省清江中学高三下学期周练】如图是某设计师设计Y 型饰品平面图，其中支架OA ，OB ，C O 两两成120，C 1O =，C AB =OB+O ，且OA >OB ．现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k 〔k 为正常数〕；在C ∆AO 区域〔阴影区域〕内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝价值为N ，且N 与C ∆AO 面积成正比，比例系数为3k ．设x OA =，y OB =．〔1〕求y 关于x 函数解析式，并写出x 取值范围；〔2〕求N-M 最大值及相应x 值．【应试技巧点拨】1. 余弦定理重要应用三角形余弦定理作为解决三角形问题利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见几种变形形式，介绍如下. ①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-那么22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+.②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，那么2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立.③联系数量积定义式妙转化： 在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. 2.如何恰中选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理量与未知量关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间关系等结论，对于相关问题是十分有益.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是两角和一角对边，求其他边角；二是两边和一边对应角，求其他边角，由于此时三角形不能确定，应对它进展分类讨论.利用正弦定理解题一般适应特点〔1〕如果所给等式两边有齐次边形式或齐次角正弦形式，可以利用正弦定理进展边角互换，这是高考中常见形式；〔2〕根据所给条件构造〔1〕形式，便于利用正弦定理进展边角互换，表达是转化思想灵活应用.3. 三角函数起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角范围缩小了，因此常见三角变换方法和原那么都是适用.4. .解决三角实际问题关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题实际背景，理清问题中各个量之间数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间内在联系，选用恰当代数式表示问题中关系；三是建立与求解相应三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应数学模型，求解数学模型，得出数学结论.二年模拟1. 【2021届山西省四校高三年级第四次联考】 在ABC ∆中，2,105,4500===BC C A 那么AC = .【答案】1【解析】在ABC ∆中，由A B C π++=，0045,105A C ==，那么030B =，由正弦定理得 00sin sin 3021sin sin 45B AC b a A ⇒==⨯==. 2. 【河北省衡水中学2021届高三七调】在ABC 中，5,,BC G O =分别为ABC 重心和外心，且5OG BC ⋅=，那么ABC 形状是〔 〕A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能【答案】B3. 【2021届湖北省级示范高中联盟高三模拟】22cos ,sin ,,33a OA a b OB a b ππ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，假设OAB ∆是以O 为直角顶点等腰直角三角形，那么OAB ∆面积等于〔 〕A ．1B ．12 C ．2 D ．32 【答案】B【解析】因OAB ∆是等腰三角形,故||||OB OA =,又AOB ∠是直角,故0OA OB ⋅=，即022=-b a ,也即1||||==b a ,所以OAB ∆面积为,应选B.4. 【2021届宁夏石嘴山三中高三下四模】ABC ∆三内角,,A B C 所对边长分别是c b a ,,，假设sin sin 3sin B A a c C a b-+=+，那么角B 大小为〔 〕 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 【答案】D【解析】由sin sin 3sin B A a c C a b-+=+得,即ac c a b 32222++=,故，，故应选D. 5. 【2021届福建厦门双十中学高三下热身考】在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,.假设A b A a sin cos =，且，那么C A sin sin +最大值是〔 〕A ．2B ．89 C ．1 D ．87 【答案】B6. 【2021届海南省农垦中学高三考前押题】在ABC ∆中， 60=A ，10=BC ，D 是AB 边上一点，2=CD ，BCD ∆面积为1，那么AC 长为〔 〕A.32B.3C.33D.332 【答案】D【解析】因为1=∆BCD S ，可得1sin 21=∠⨯⨯⨯DCB BC CD ，即，所以，在BCD ∆中，由余弦定理5522cos 222=⋅-+=∠BC CD BD BC CD DCB ，解得2=BD ，所以101032cos 222=⋅-+=∠BC BD CD BC BD DBC △ABC 中，由正弦定理可知，可得,应选D.7. 【2021届广西来宾高中高三5月模拟】如图，平面四边形ABCD 中，005,22,3,30,120AB AD CD CBD BCD ===∠=∠=，那么ADC ∆面积S 为_____________．【答案】8. 【2021届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】在ABC ∆中, 角,,A B C 对边分别为,,a b c ,且33b c =.〔1〕假设2B C =,求sin B 值；〔2〕假设3,c ABC =∆面积为32求a . 【解析】〔1〕2B C =,∴由33b c =得，解得，216632sin 1cos 1sin sin 22sin cos 233C C B C C C ∴=-=-=∴====〔2〕3,323,23,c b c b ABC ==∴=∆面积为116sin 32332,sin 22bc A A A =⨯⨯==那么,291212a ∴=+±,解得333a a ==或 9. 【2021届宁夏银川二中高三5月适应性训练】设△ABC 内角A 、B 、C 对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 面积，满足. 〔1〕求B ； 〔2〕假设3b =A x =，(3-1)2y a c =+（），求函数()y f x =解析式和最大值.10. 【2021届安徽六安一中高三下学期第三次模拟】ABC ∆内角C B A ,,对边分别为c b a ,,假设()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +== 且n m //.〔1〕求角A 值.〔2〕假设ABC ∆面积，试判断ABC ∆形状.【解析】〔1〕由n m //，得0cos cos cos 2=+-A c C a A b ，由正弦定理，得C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=， 即()B C A A B sin sin cos sin 2=+=，在ABC ∆中，0sin >B ， 所以，又()π,0∈A ，所以.〔2〕由ABC ∆得面积，得bc a =2，由余弦定理，得()bc c b A bc c b a +-=-+=2222cos 2，所以()02=-c b ，所以c b =，此时有c b a ==，所以ABC ∆为等边三角形.11. 【湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测2021 届高三期中】由以下条件解ABC ∆,其中有两解是〔 〕A ．︒=︒==80,45,20c A bB ．︒===60,28,30B c aC ．︒===45,16,14A c aD ．3,42,60a b A ===︒【答案】C【解析】∵︒===45,16,14A c a ，∴sin 16242sin 1sin sin 14a c c A C A C a =⇒===<，∴C 有两个解.12.【2021-2021 学年度上学期省五校协作体高三期中考试】在ABC 中，角,,A B C 所对应边分别为,,a b c ，cos cos b C c B b += ，那么ab=______ .【答案】113.【黄冈中学2021年秋季高三年级11月月考】ABC ∆中内角为,,A B C ，重心为G ，假设2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，那么cos B = .【解析】112设,,a b c 为角,,A B C 所对边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，那么2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=---，即()()23330a c GA b c GB -+-=，又因为,GA GB 不共线，那么23=0a c -, 33=0b c -,即233,a b c ==所以，2221cos 212a cb B ac +-∴==.14.【河南省信阳市2021 届高中毕业班第二次调研检测】在ABC 中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ,假设ABC 面积为S ,且222()S a b c =+-，那么tan C 等于 〔 〕 (A)34(B)43(C) 43-(D)34- 【答案】C15.【2021 届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】在ABC ∆中，角A B C 、、所对边分别为a b c 、、，sin()2cos()06A B C π+++=．〔1〕求A 大小；〔2〕假设6=a ，求b c +取值范围． 【解析】〔1〕由条件结合诱导公式得，从而所以cos 0A ≠，tan 3A =，因为0A π<<，所以．〔2〕由正弦定理得：643sin sin sin 3b c B C π===，所以43sin b B =，43sin c C =，所以243(sin sin )43sin sin()3b c B C B B π⎡⎤+=+=+-⎢⎥⎣⎦333143sin cos 12sin cos 2222B B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为5666B πππ<+<，所以，即612b c <+≤〔当且仅当3B π=时，等号成立〕．拓展试题以及解析1. ,,a b c 为ABC ∆三个角,,A B C 所对边，假设3cos (13cos )b C c B =-，那么sin :sin C A =〔 〕 A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【答案】C【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理等根底知识，意在考察综合应用和计算能力.此题难度适中，出题有一定新意,应选此题.△ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，假设,b c 是方程2560x x -+=两根，且，那么a = 〔 〕A.2B.3 D.7 【答案】C【解析】因为,b c 是方程2560x x -+=两根，故5b c +=，6bc =，由余弦定理，得()222212cos 22cos 25262672a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=-⨯-⨯⨯=，∴a =C ．【入选理由】此题主要考察了余弦定理，以及一元二次方程根与系数关系等根底知识，意在考察根本运算能力及推理能力.此题符合高考要求, 难度适中，应选此题.3.△ABC 三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，那么角A 取值范围是〔 〕A. B. C. D. 【答案】C【解析】在△ABC 中，由正弦定理化简等式得A A B B A A sin 2cos sin sin sin sin 2=+， 即A A A B sin 2)cos (sin sin 22=+，所以A B sin 2sin =，由正弦定理得a b 2=，由余弦定理得2343243442cos 22222222=≥+=-+=-+=ac ac ac c a ac a c a bc a c b A 〔当且仅当223a c =，即a c 3=时取等号，因为A 为△ABC 内角，且x y cos =在),0(π上是减函数，所以，那么角A 取值范围是．应选C. 【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理，以及同角三角函数关系，三角函数单调性等根底知识，意在考察综合分析问题,转化与化归能力,以及函数单调性巧妙结合一起,难度适中，符合高考小题目综合化要求,应选此题.ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,,a b c 且满足2sin sinA sinC B =⋅，cos 12,ac B a c =+则= .【答案】【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理，以及同角三角函数关系等根底知识，意在考察综合分析问题,转化与化归能力,以及计算能力. 此题是三角恒等变换、三角函数求值和解三角形综合运用，灵活运用正弦定理和余弦定理，结合转化思想和方程思想求解三角形问题.综合性强,应选此题. 5．如图，在四边形ABCD 中，，:2:3AB BC =，7AC =．〔1〕求sin ACB ∠值；〔2〕假设，1CD =，求CD ∆A 面积．【解析】〔1〕由:2:3AB BC =，可设2AB x =，3BC x =．又∵7AC =，，∴由余弦定理，得222(7)(3)(2)232cos3x x x x π=+-，解得1x =，∴2AB =，3BC =，由正弦定理，得32sin 212sin 77AB ABCACB AC⨯∠∠===．【入选理由】此题主要考察正弦定理、余弦定理、三角变换等根底知识，意在考察学生识图能力、空间想象能力、运算求解能力，以及考察转化思想、方程思想．此题考察比拟综合，难度适中，符合高考题型，应选此题. 6.如图，290,,3OCkm AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域〔含边界〕，雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r t tkm =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开场沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点距离OE ； 〔Ⅱ〕假设无人侦察机在C 点处雷达就开场开机，且，那么雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.【解析】(Ⅰ) 在COE △中，90,15,OC CE t OCE θ==∠=，由余弦定理可知：22222cos 2252700cos 8100OE OC CE OC CE t t θθ=+-⋅=-+，那么21512cos 36OE t t θ=-+.【入选理由】此题考察解三角形，利用导数研究函数单调性等根底知识，意在考察根本运算能力、 分类讨论思想、分析问题和解决问题能力． 三角应用题每过几年都会涉及，要么为选择题，要么为解答题，故押此题．7.在锐角三角形ABC ，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且满足222()sin cos cos()b a c A A ac A C --=+. (1)求角A ； (2)假设2a =△ABC 面积最大值.【解析】〔1〕由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，代入式222()sin cos cos()b a c A A ac A C --=+得：2cos sin cos cos(π)cos ac B A A ac B ac B -=-=-， 〔*〕又因为cos 0B ≠，所以化简〔*〕式得：2sin cos 1A A -=-，所以sin 21A =，因为,所以. 〔2〕22222a b c 2bccos A 2b c 2bc=2=+-=+，即，222bc b c 22bc 2=+-≥-，。