甘肃省岷县二中高二数学上学期期末试题 理

一、单选题1．圆的圆心为（ ）． 222430x y x y +-++=A ． B ．C ．D ．(1,2)-(1,2)-(2,4)-(2,4)-【答案】A【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标. 【详解】由，得， 222430x y x y +-++=22(1)(2)2x y -++=所以圆心为， (1,2)-故选：A2．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）222:1y C x b-=(2,0)-C A ． BC ． D0x =0y +=10x +-=10y +-=【答案】B【分析】由双曲线中a ，b ，c 的关系先求出b ，进而可求焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题意，，又，解得. 1,2ac ==222c a b =+b =所以双曲线的一条渐近线方程为. C by x a=-=0y +=故选：B.3．“”是“方程表示椭圆”的57m <<22175x y m m +=--A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且， 22175x ym m +=--705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩57m <<6m ≠所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.57m <<22175x y m m +=--点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论. 75m m -≠-4．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（ ） A ．127 B ．128C ．255D ．256【答案】C【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，，11a =2q =881225512S -==-故选：C.5．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（ ） A ．24 B ．48 C ．144 D ．240【答案】C【分析】结合捆绑法、插空法来求得不同的放置方式种数.【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”、 “谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，所以不同的放置方式种数有种.232234A A A 2612144⨯⨯=⨯⨯=故选：C6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，、，两点，若，22(0)y px p =>1(P x 1)y 2(Q x 2)y 123x x p +=则等于（　） PQ A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p【答案】A【详解】试题分析：由抛物线的定义可知．故A 正确． 1212()()422p pPQ x x x x p p =+++=++=【解析】抛物线的定义．7．P 是双曲线的右支上一点，M 、N 分别是圆和上的221916x y -=()2254x y ++=()2251x y -+=点，则的最大值为 PM PN -()A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P 与M 、221916x y -=1F 2F 三点共线以及P 与N 、三点共线时所求的值最大，可得答案.1F 2F 【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆221916x y -=1F 2F 心，由题意可得，当且仅当P 与M 、三点共线以及P 与N 、三点共线时所求的值最大，此时1F 2F ==6+3=9PM PN -21(2)(1)PF PF +--【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P 与M 、三点共线以及P 与N 、三1F 2F 点共线时所求的值最大是解题的关键.8．已知是椭圆的右焦点，是的上顶点，直线与交于F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>A C :340l x y -=C 两点.若，到的距离不小于，则的离心率的取值范围是（ ）,M N ||||6MF NF +=A l 45CA ．B ．C ．D ． ⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝⎛ ⎝【答案】C【分析】由，解得，根据到的距离为，得1||||||||26MF NF NF NF a +=+==3a =A l 4455b d -=≥，得.1b ≥0c <≤【详解】设椭圆的左焦点为，是的上顶点，连接，如图，1F A C 11,MF NF由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则, ,M N OM ON =因为,1OF OF =所以四边形为平行四边形， 1MFNF 所以，1MF NF =所以，解得，1||||||||26MF NF NF NF a +=+==3a =因为，到的距离为， :340l x y -=A l 4455b d -=≥解得，1b ≥所以， 1b =≥解得 0c <≤所以， c e a ⎛=∈ ⎝故选：C二、多选题9．已知是等差数列的前项和，且，，则（ ） n S {}n a n 70a >690a a +<A ．数列为递增数列 B ．数列为递减数列C ．D ．{}n a {}n a 130S >140S >【答案】BC【分析】利用等差数列的性质有，又，可得即可判断的单调76980a a a a =+<+70a >80a <{}n a 性，根据等差数列前n 项和判断、的符号. 13S 14S 【详解】由题设，，而，76980a a a a =+<+70a >∴，则，则为递减数列，A 错误，B 正确； 870a d a =+<70d a <-<{}n a ，，C 正确，D 错误. 11313713()1302a a S a +==>114146914()(07)2a a a a S ==+<+故选：BC.10．若为正整数，的展开式中存在常数项，则的可能取值为（ ）n 2nx ⎛⎝n A ．16 B ．10 C ．5 D ．2【答案】BC【分析】先得出展开式的通项公式，再令，由此可得选项. 45212C (1)n k kkk nTx -+=-4502n k-=【详解】解：的展开式的通项公式为，2nx ⎛ ⎝4522122C C (1)kn k k n k k kk n n T x x--+⎛==- ⎝⋅令，得，又，，所以结合选项知，可取5和10． 4502n k-=45n k =k ∈N *n ∈N n 故选：BC ．11．已知抛物线C 的方程为，焦点为F ，且过点，直线l ：，点P 是抛22y px =()2,4A 40y x --=物线C 上一动点，则（ ） A ．()2,0F B ．的最小值为2PF C ．点P 到直线l 的距离的最小值为2D ．点P 到直线l 的距离与到准线的距离之和的最小值为【答案】ABD【分析】对于A ，根据抛物线方程直接求解，对于B ，设点，然后表示出，结合抛物(),P x y PF 线的性质可求出其最小值，对于C ，设过点P 且与直线l 平行的直线为：，代入抛物l '0y x b -+=线方程化简，由判别式等于零可求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果，对于D ，由抛b 物线的性质可得点P 到直线l 的距离与到准线的距离之和的最小值就是点到直线l 的距离. ()2,0F 【详解】∵抛物线C 过点，则，∴，()2,4A 1622p =⨯4p =∴抛物线C 的方程为，则焦点的坐标为，故选项A 正确； 28y x =()2,0F设点，则，故选项B 正确；(),P x y 2x ==+min 2PF =设过点P 且与直线l 平行的直线为：，l '0y x b -+=与抛物线方程联立得，()22280x b x b -++=令，解得， ()222840b b ∆=+-=2b =-∴：，l '20y x --=∴点P 到直线l ，故选项C 错误；∵点P 到直线l 的距离与到准线的距离之和大于等于点到直线l 的距离， ()2,0F∴点P 到直线l 的距离与到准线的距离之和的最小值为点到直线l ()2,0F ，故D 选项正确， 故选：ABD ．12．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为P F 一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕P F 月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表P F 12c 22c示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是12a 22a （ ）A ．B ． 1122a c a c -=-1122a c a c +=+C ．D ．1212c c a a <1212c a a c >【答案】AD【分析】根据给定图形，由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断A ；由，结合不等式性质判断||PF 1212,a a c c >>B ；由变形推理判断C ，D 作答.1122a c a c -=-【详解】观察给定图形，由及得，A 正确； 11||PF a c =-22||PF a c =-1122a c a c -=-由，得，B 不正确；1212,a a c c >>1122a c a c +>+因，即，有，得，1122a c a c -=-1221a c a c +=+212122())(a c a c +=+22221112222122a c a c a c a c -+=-+令，，即有，由给定轨道图知，，2221111(0)b a c b =->2222222(0)b a c b =->2211222122b a c b a c +=+12b b >因此，，D 正确；而，C 不正确. 1212c a a c >12121212c c c a a c a a >⇔>故选：AD三、填空题13．双曲线的右焦点到直线的距离为________．22163x y -=280x y +-=【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，， 3c ==所以双曲线的右焦点为，(3,0)所以右焦点到直线(3,0)280x y +-===14．将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是______． 1y x =-(15︒【答案】y =【分析】由直线的倾斜角，得到逆时针方向旋转后的倾斜角，求出旋转后的斜率，1y x =15︒使用点斜式求出旋转后的直线方程即可.【详解】直线的斜率，倾斜角，1y x =11k =145α=︒绕直线上一点沿逆时针方向旋转后，倾斜角，斜率 (15︒2451560α=︒+︒=︒2tan 60k =︒=∴旋转后得到的直线方程为：，即. )1y x =-y =故答案为：.y =15．若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则的最22198x y +=OP FP ⋅ 小值为________． 【答案】6【分析】可设，可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，结合椭圆的方程(,)P x y OP FP即可求得其答案.【详解】点P 为椭圆上的任意一点，设，22198x y +=(,)P x y (33,x -≤≤-依题意得左焦点，(1,0)F -∴，(,),(1,)OP x y FP x y ==+∴， 222728(1)9x OP PF x x y x x -⋅=++=++ 21923(924x =++∵，∴，∴，33x -≤≤3915222x ≤+≤299225(424x ≤+≤∴，∴， 2119225()49236x ≤+≤219236()12924x ≤++≤即，故最小值为6.612OP FP ≤⋅≤【点睛】该题考查的是有关向量数量积的最值的求解问题，涉及到的知识点有椭圆上点的坐标所满足的条件，向量数量积的坐标运算式，椭圆上点的坐标的范围，二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题目.四、双空题16．若用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的五位数和四位数，则其中为5的倍数的五位数的个数是______，比1325大的四位数的个数是______． 【答案】 216 270【分析】对于空1，分别讨论个位上的数字是0或5，结合分类与分布计数原理即可求解；对于空2，结合题意，分别从千位，百位，十位，个位一一讨论，即可求解.【详解】满足条件的五位数中是5的倍数的数可分为两类：第一类，个位上的数字是0，有个；45A 第二类，个位上的数字是5，有个．故是5的倍数的五位数的个数．1344A A 413544A A A 216+=比1325大的四位数可分为三类：第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□的数，共个； 1345A A 第二类，形如14□□，15□□的数，共个； 1224A A 第三类，形如134□，135□的数，共个．1123A A 故比1325大的四位数的个数是．131211452423A A A A A A 270++=故答案为：216；270.五、解答题17．已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列． {}n a 11a =124,,a a a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设数列满足，求数列的前n 项和．{}n b 2n an n b a =+{}n b n T 【答案】（1）；（2）． n a n =n T 1(1)222n n n ++=+-【解析】（1）设数列的公差为d ，根据等比中项的概念即可求出公差，再根据等差数列的通项{}n a 公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根据分组求和法即可求出答案．2nn b n =+【详解】解：（1）设数列的公差为d ，由已知得， ，{}n a 2214a a a =即，解得或， 2(1)13d d +=+0d =1d =又，∴，0d ≠1d =∴；()11n a n n =+-=（2）由（1）得，2nn b n =+ ()()()123122232n T ∴=++++++()2n n ++()23(123)2222n n =+++++++++ 1(1)22212n n n ++-=+-．1(1)222n n n ++=+-【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的分组求和法，考查计算能力，属于基础题．18．已知，且．57A 56C n n =()201212nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+(1)求的值；n (2)求的值； 123n a a a a +++⋅⋅⋅+(3)求的值． 0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+【答案】(1) 15n =(2)2-(3)15312-【分析】由排列数和组合数公式求出的值，再通过赋值法，求和n 123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值即可.0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+【详解】（1）∵，∴，57A 56C n n =7n ≥*n ∈N ∴，()()()()()()()()()()1234561234567654321n n n n n n n n n n n n ----------=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∴，()()05619n n --=∴，解得（舍）或， 211600n n --=n =-415n =∴.15n =（2）由第（1）问，，15n =∴①，()152150121512x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+令①式中，则， 1x =()150121512a a a a -=+++⋅⋅⋅+∴，()15012151a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-1令①式中，则，即，0x =1501a =01a =∴.12312315112n a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=--=-（3）令第（2）问①式中，则，=1x -()150123141512a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-∴②，15012314153a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=由第（2）问，③， 012314151a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=-②，③两式相加，得，()150214231a a a ++⋅⋅⋅+=-∴.15024102414312n a a a a a a a a --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=19．平面内，动点M 与两个定点，的距离之比为，记动点M 的轨迹为曲线C .()1,0A -()3,0B 13(1)求曲线C 的方程；(2)若直线与曲线C 交于D ，E 两点，求线段DE 的长.:1l y x =+【答案】(1)223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【分析】（1）设，由题意得到关于，的等量关系，然后整理变形可得轨迹方程； (,)M x y x y （2）求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离及垂径定理与勾股定理计算可得；【详解】（1）解：设，即，所以(,)M x y 13=2222(1)1(3)9x y x y ++=-+，即，所以，22229(1)9(3)x y x y ++=-+2288240x y x ++=223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即动点的轨迹方程为．M 223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（2）解：由（1）可知曲线的方程为，表示以为圆心，为半径的圆，C 223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭32圆心到直线的距离3(,0)2-10x y -+=d 所以弦 DE ==20．已知椭圆C ：（ 4. 22221x y a b +=0a b >>（1）求椭圆方程；（2）过作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长.()2,1P 【答案】（1）（2）直线方程为，弦长为221164x y +=240x y+-=【分析】（1）由已知信息，待定系数即可求解椭圆方程；（2）设出交点坐标，由点差法，即可求得直线斜率，再求弦长.【详解】（1，c a=根据短轴长可得：，，24b =2b =设，，，所以，2a k =c =2b k ==4a =所以椭圆方程为. 221164x y +=（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，()2,1P ()11,A x y ()22,B x y 则，则，124x x +=122y y +=分别代入椭圆的方程得，，，两式相减可得 22111164x y +=22221164x y +=()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以， ()()1212480x x y y ∴-+-=212112y y k x x -==--故以点为中点的弦所在直线方程为；()2,1P 240x y +-=由，得， 222401164x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩()20y y -=所以，；，，0y =4x =2y =0x ==故该直线截椭圆所得弦长为【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的中点弦问题，涉及弦长的求解，属综合中档题.21．抛物线的焦点为F ，斜率为正的直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点，满足24y x =2AF FB=．(1)求直线l 的斜率；(2)设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形的面积的最小值．M AB O M C OACB【答案】(1) (2)4【分析】（1）依题意，设直线方程为，代入抛物线方程，由韦达定理知：(1,0)F AB 1x my =+，，由，，联立求解，即可求出直线l 的斜率．124y y m +=124y y =-2AF FB = 122y y =-m（2）由(1)知：1y -=四边形的面积等于，又 OACB 2AOB S 121222AOB S OF y y =⨯⋅⋅-代入化简可得，即可求出四边形的面积的最小值．4≥OACB 【详解】（1）依题意，设直线方程为，(1,0)F AB 1x my =+则 ，消去得， 214x my y x=+⎧⎨=⎩x 2440y my --=设，，由韦达定理可得11(,)A x y 22(,)B x y ，，①124y y m +=124y y =-，11(1,)AF x y =-- 22(1,)FB x y =-u u r 因为，所以，②2AF FB = 122y y =-联立①和②，消去得， 12,y y m =所以斜率为正的直线l 的斜率是(2)由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线l 的距离相等，C O M M OC O C 所以四边形的面积等于，OACB 2AOB S 因为 121222AOB S OF y y =⨯⋅⋅-== 所以，四边形的面积的最小值．0m =OACB 4【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，是解析几何中的常见题型，属于中档题．22．已知，分别为双曲线C ：的左、右焦点，过点作垂直于x 轴的1F 2F ()222210,0x y a b a b-=>>2F 直线，与双曲线C 交于点M ，N ，且三角形为等边三角形，双曲线C 与x 轴两交点间距离为1MNF 2．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，是否存在一个定点P 使为定值？如果3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭PA PB ⋅ 存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．P 【答案】(1) 2212y x -=(2)存在，1,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由双曲线C 与x 轴的交点间距离可得的值，再由过焦点且垂直于轴的焦点弦时双a x曲线的通径，长为，及等边三角形可得，再由之间的关系求出的值，进而22b a 222b c a=,,a b c b 求出双曲线的方程；（2）设直线的方程，与双曲线的方程联立求出两根之和即两根之积，设的坐标，由AB P PA PB⋅ 为定值可得对应系数成比例，可得的坐标，并求出定值.P 【详解】（1）因为双曲线与x 轴两交点间距离为2，C所以，． 1a =c ==)2F设点在x 轴的上方，则． M )()000M y y >因为点在双曲线上，所以． M C 220211y b b+-=因为，所以，所以．0b >20y b =222MF NF b ==因为为等边三角形，所以为直角三角形．1△MNF 21MF F A 在中，，所以． 21Rt MF F △1211302MF F MF N ∠=∠=︒21222MF MF b ==由双曲线的定义可知，21222MF MF a b -===故双曲线的方程为． C 2212y x -=（2）存在．理由如下：当直线斜率不为0时，设直线AB 的方程为，AB x my n =+根据双曲线的对称性可得如果存在这样的点，则点在x 轴上，设点，，P P (),0P t ()11,A x y ，()22,B x y 则，． ()11,PA x t y =- ()22,PB x t y =- 将代入得直线的方程为， 3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 32x my =+联立，消去x 得． 221232y x x my ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()22521602m y my -++=当时，，2210m -≠216100m ∆=+>则，， 122621m y y m -+=-122542y y m =-所以 ()()()21212121212PA PB x t x t y y x x t x x t y y ⋅=--+=-+++ ， ()()()2222121221213539913324424t m m y y t m y y t t t t m -+⎛⎫=++-++-+=+-+ ⎪-⎝⎭若为定值和参数m 无关，即， PA PB ⋅ 1213542t -=-解得，故定点坐标为． 14t =1,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭当直线的斜率为0时，则, (1,0),(1,0)A B -当时，也适合. 1(,0)4P 5315,0,,0,4416AP PB AP PB ⎛⎫⎛⎫==-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，存在一个定点使为定值． 1,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭PA PB ⋅ 【点睛】本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，判断是否过定点，考察运算求解能力及化归与转化思想，体现了数学运算，逻辑推理的核心素养.。

甘肃省定西市岷县第二中学2020-2021学年 高二上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（每小题5分,共60分, 请将答案写在答题卡上）1．若椭圆2221(5x y a a +=>的长轴长为6则它的焦距为( )A ．4B ．3C ．2D ．12．双曲线22220x y --=的渐近方程为（ ） A．2y x =±B．y =C ．12y x=± D ．2y x =±3．x ∈R ，则2x >的一个充分不必要条件是（ ） A ．3x >B ．3x <C ．1x <D ．1x > 4．命题“0+∃∈x N ，使得()00211x x +>”的否定是（ ） A ．+∀∈x N ，都有()211x x +> B ．+∀∉x N ，都有()211x x +≤ C ．0+∀∉x N ，都有()00211x x +≤D ．+∀∈x N ，都有()211x x +≤5．“1x >”是“11x <”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件6．设一个半径为r 的球的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B ，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（ ） A ．AB r< B ．AB r= C．AB = D．AB <7．已知双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b，且双曲线的焦距为 ）A ．2214x y -=B ．22132x y -= C ．2214y x -=D ．22123x y -=8．已知抛物线212y x=的焦点与椭圆2213x y m +=的一个焦点重合，则m =（ ） A ．114 B ．19164 C ．134 D ．193649．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，N 是圆22(6)(3)9x y -+-=上一点，则MN MF+的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．8D ．1010．如图：在平行六面体中，为与的交点。

2021-2021学年度二中(èr zh ōn ɡ)高二数学期末考试(理科)一．选择题(每一小题5分，一共50分) 1．命题“对任意的〞的否认是〔 〕 A ．不存在B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，2. 对于常数m ，n ，“m n ＞0〞是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆〞的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．双曲线的渐近线方程是〔 〕 A ．B.C ．D.的准线方程是( )A ．B ．C ．D ．5．向量，那么〔 〕6．△ABC 的周长为20，且定点B (0，－4)，C (0，4)，那么顶点A 的轨迹方程是〔 〕A ．〔x ≠0〕B ．〔x ≠0〕C ．〔x ≠0〕 D ．〔x ≠0〕7．以下命题中假命题是( ) A ．过抛物线焦点的直线被抛物线截得的最短弦长为.B ．命题“有些自然数是偶数〞是特称命题。

C ．离心率为2的双曲线的两渐近线互相垂直.D ．对于(du ìy ú)空间向量，，，那么有8．，那么= ( )A ．B.97C.9．假设双曲线上一点p 到左焦点的间隔 是3，那么点p 到右焦点的间隔 为〔 〕A ． 4B .5 C. 6 D .710．假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是( ) A ．B ．C ．D ．二．填空题：〔每一小题5分，一共20分〕 11．假设点到点的间隔 比它到直线的间隔 少1，那么动点P 的轨迹方程是 __________.12. 过椭圆x 23＋y 2＝1的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，那么A 、B 与椭圆的另一焦点构成的△的周长为 .13．在上求一点P ，使其到焦点F 的间隔 与到的间隔 之和最小，那么该点的坐标为 .14．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM与CN 所成角的余弦值是 .三．解答(jiědá)题：〔一共50分。

定远民族(mínzú)中学2021-2021学年度上学期期末考试卷高二〔理科〕数学考前须知：1．在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写上在答题卡上第I卷〔选择题〕一、选择题1. 命题，命题，那么以下判断正确的选项是〔〕A．是假命题 B．是真命题C．是假命题 D．是真命题有一共同的渐近线,且经过点P(1,4)的双曲线方程为〔〕A.B.C.D.4. 设分别是双曲线的左右焦点，假设双曲线的右支上存在一点P，使，且的三边长构成等差数列，那么此双曲线的离心率为〔〕A. B.：，直线(zhíxiàn)与一、三象限的角平分线垂直，且圆C上恰有三个点到直线l 的间隔 为，那么直线l 的方程为〔 〕A.B.C. 5y x =--或者3y x =-+D. 不能确定中，“〞是“〞的〔 〕A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要且与原点间隔 最大的直线方程是〔 〕 A. B. C.D.8.给出以下说法： ①方程表示一个圆；②假设，那么方程表示焦点在轴上的椭圆；③点，假设，那么动点的轨迹是双曲线的右支；④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切. 其中正确说法的个数是〔 〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.如图，抛物线的焦点为，直线l 过F 且依次交抛物线及圆于点四点，那么的最小值为〔 〕A.B.C.D.P在椭圆(tuǒyuán)上，、分别是椭圆的左、右焦点，的中点在y轴上，那么等于〔〕A. B. C. D.上的一点关于原点的对称点为，F为它的右焦点，假设，那么的面积是〔〕A. 2B. 4C. 1D.12.如图，梯形中，，在线段上，且满足，双曲线过三点，且以A、B为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是：，)A. []B. (710C. (]D.第II卷〔非选择题〕二、填空题=，那么(nà me)点A(2,)到这条直线的间隔为，且与原点间隔最大的直线方程为____________.的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，假设，那么双曲线的离心率为__________.l：，圆，假设在圆C上存在两点，在直线l 上存在一点，使得，那么r的取值范围是_________．三、解答题2+y2+4x+y=﹣1，x2+y2+2x+2y+1=0的交点，且有最小面积，求此圆的方程．的长轴长为4，且点在椭圆上．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕过椭圆右焦点斜率为的直线交椭圆于两点，假设，求直线l的方程19.如图，设双曲线的上焦点(jiāodiǎn)为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，的离心率为，且的面积.1〔2〕设抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与2C 相切于点P ，与2C 的准线相交于点，试推断以线段为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？假设是，求出定点M 的坐标；假设不是，请说明理由.C ：〔〕的左、右焦点分别为，过点2F 作直线l 与椭圆C交于两点.〔1〕，椭圆C 的离心率为，直线l 交直线于点P ，求的周长及的面积；〔2〕当且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，，证明：点M 在定直线上. 为坐标原点，⊙上有两点，满足关于直线轴对称.〔1〕求的值；〔2〕假设(jiǎshè)，求线段PQ 的长及其中点坐标.22.如图，抛物线1C ： 与椭圆2C ：在第一象限的交点为B ， O为坐标原点， A 为椭圆的右顶点， 的面积为.1〔Ⅱ〕过A点作直线l交1C于C、两点，射线、分别交2C于E、F两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线l，使得？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说明理由．参考答案1.13.14.250x y +-=23316.17.解：设所求圆x 2+y 2+2x+2y+1+λ〔x 2+y 2+4x+y+1〕=0， 即〔1+λ〕x 2+〔1+λ〕y 2+〔2+4λ〕x+〔2+λ〕y+1+λ=0，其圆心(yuánxīn)为〔-，-〕，∵圆的面积最小，∴圆M 以两相交圆的公一共弦为直径，相交弦的方程为2x ﹣y=0，将圆心〔-，-〕代人2x ﹣y=0，得λ=-，所以所求圆x 2+y 2+x+y+=0， 即为x 2+y 2+x+y+1=0． 18.19.20.〔1〕由题设知： 得，∴椭圆(tuǒyuán )C 的方程为∴1F MN ∆的周长由知直线l 的方程为，得，∴1F MP ∆的面积.两式联立消去点得满足(mǎnzú)，即；又点M 在椭圆C 上，即有22221x y a b +=， 即，∴两式联立得； 又224a b +=，即∴点(),M x y 满足，即点M 在定直线上.21.〔1〕⊙22:2610C x y x y ++-+=可化为，所以曲线为以为圆心， 3为半径的圆，由，直线过圆心，所以，解之得.〔2〕设PQ 的中点为，连结，那么且点M 必在〔1〕中所求直线上，即①又②由①②解得：的长度(chángdù)为，中点坐标为.22.〔1〕因为OAB ∆的面积为863，设，所以，代入椭圆方程得，抛物线的方程是：.〔2〕存在直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为.与28y x =联立，设，理由：显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+， 与28y x =联立得.设()11,C x y ， ()22,D x y ，那么，，∴.由直线OC 的斜率为，故直线OC 的方程为，与2211612x y +=联立得 ，同理，，所以.可得，要使，只需，即，解得， 所以存在(cúnzài)直线:1140l x y ±-=符合条件.内容总结（1）假设存在，求出直线的方程。

高二上学期期末考试(qī mò kǎo shì)数学〔理〕试题试题总分 150分考试用时120分钟第一卷一、选择题〔每一小题5分一共60分〕1、假设集合〔〕A、 B、 C、 D、2、函数的定义域为〔〕A、 B、 C、 D、3、设是两条不同的直线，是一个平面，那么以下命题正确的选项是〔〕A、假设B、C、 D、4、直线〔〕A、 B、 C、 D、5、〔〕A、第一或者二象限B、第二或者第三象限C、第一或者第三象限D、第二或者第四象限6、函数的一个递减区间是〔〕A、 B、 C、 D、7、A、 B、 C、 D、8、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别(fēnbié)是a、b、c且a=那么sinB=( )A、 B、 C、 D、9、在△ABC中，角A、B、C成等差数列，那么角B等于〔〕A、 B、 C、 D、10、双曲线的渐近线方程为,那么双曲线的离心率是〔〕A、 B、 C、 D、11、数列9，99,999,9999，...，的前n项和等于〔〕A、 B、 C、 D、12、过椭圆的左焦点F作倾斜角为的弦AB，那么弦AB的长为〔〕A、 B、 C、 D、第二卷二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13、不等式的解集是____________________14、等比数列中_________________15、x,y均为正数，且2x+y=1,那么的最小值是_____________16、平面(píngmiàn)上有三个点A〔-2，y〕，B〔0，〕，C〔x,y〕,假设，那么动点的轨迹方程为______________________三、解答题〔17题10分，其余各题12分，要求有必要的运算步骤和文字说明〕17、求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线的方程。

18、函数〔1〕、求的最小正周期及)f的最小值(x〔2〕假设=2，且，求 的值19、的对边，(1)求A(2)假设(jiǎshè)的面积为3，求b,c的值20、如下图，动物园要围成一样面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

高二数学一､选择题（每小题4分，共48分）1. 圆心为且过原点的圆的方程是()1,1A. ()()22111x y -+-=B. ()()22111x y +++=C ()()22112x y +++=D. ()()22112x y -+-=【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即()()2211(0)x y m m -+-=>，得，所以圆的方程为.故选D.()()220101(0)m m -+-=>2m =()()22112x y -+-=考点：圆的一般方程.2. 已知数列为各项均为正数的等比数列，若，则{}n a 243546225a a a a a a ++=35a a +=（） A. 5 B. C.D. 无法确5-5±定 【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，再利用各项均为正数即可求解. 223355225a a a a ++=【详解】由等比数列的性质可得：，，2243a a a =2465a a a =所以可化为，243546225a a a a a a ++=223355225a a a a ++=即，又因为数列为各项均为正数，所以，235()25a a +={}n a 355a a +=故选：.A 3. 已知等差数列的前项和为，若 {}n a n n S 45818,a a S =-=则A72 B. 68C. 54D. 90【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意得，.考点：等差数列的性质和前项和公式.4. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（）221259x y +=1F ,A B 2ABF △A. 20 B. 16C. 14D. 12【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得的周长为，从而可求得结果.2ABF △4a 【详解】由，得，得，221259x y +=225a =5a =所以的周长为2ABF △22112244520AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==⨯=， 故选：A5. 是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则P 2211620x y -=12,F F 19PF =2PF =（） A. 1 B. 17C. 1或17D. 2或18【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的定义即可求解.【详解】由双曲线方程为可得：，，2211620x y -=4a =6c =因为是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，P 2211620x y -=12,F F 由双曲线的定义可知：，又因为， 2128PF F a P -==19PF =所以或，由题意可知：，所以， 21PF =1722PF c a ≥-=217PF =故选：.B 6. 直线经过第一、二、四象限，则a 、b 、c 应满足（） 0ax by c ++=A.B.C.D.0,0ab bc ><0,0ab bc <<0,0ab bc >>0,0ab bc <>【答案】A 【解析】【分析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论. 0,0a cb b-<->【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为， a cy x b b=--∵直线经过第一、二、四象限， ∴， 0,0a cb b-<->∴且． 0ab >0bc <故选：A.7. 已知数列的前项和，，则（）{}n a 221n S n =+n *∈N 5a =A. 20 B. 17 C. 18 D. 19【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，由，即可得出结果． 554a S S =-【详解】因为数列的前项和， {}n a 2*21,n S n n N =+∈所以． 22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=故选：C ．8. 经过圆的圆心C ，且与直线垂直的直线方程是（） 2220x x y ++=0x y +=A. x ＋y ＋1＝0 B. x ＋y －1＝0C. x －y ＋1＝0D. x －y －1＝0 【答案】C 【解析】【详解】圆的圆心C 为（-1，0）， 2220x x y ++=而直线与x+y=0垂直，所以待求直线的斜率为1， 设待求直线的方程为y=x+b ，将点C 的坐标代入可得b 的值为b=1， 故待求的直线的方程为x-y+1=0． 故选 C9. 已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为{}n a n 55,5,15n S a S ==11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭A.B.C.D.1001019910199100101100【答案】A 【解析】【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⇒⇒a n ＝n. 1145{545152a d a d +=⨯+=111a d =⎧⎨=⎩∴＝＝， 11n n a a +⋅()11+n n 111n n -+S 100＝＋＋…＋112⎛⎫- ⎪⎝⎭1123⎛⎫- ⎪⎝⎭11100101⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1－＝. 110110010110. 经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）()2,2P -22:12x C y -=A.B.C.D.22142x y -=22124y x -=22124x y -= 22142-=y x 【答案】B 【解析】【分析】根据题意设出双曲线的方程，然后代入点的坐标求解出方程中的参数，由此求P 解出双曲线的方程.【详解】设满足题意的双曲线方程为，()2202x y λλ-=≠代入，所以，所以，()2,2P -()22222λ--=2λ=-所以双曲线方程为：，即，2222x y -=-22124y x -=故选：B.11. （2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：的左，右焦点，点M22221x y a b-=在E 上，M F 1与轴垂直，sin ,则E 的离心率为 x 2113MF F ∠=A.B.32C.D. 2【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.12. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射()2,3--y ()()22321x y ++-=光线所在直线的斜率为（） A. 或B. 或C. 或D. 或53-5335-3223-2343-34-【答案】D 【解析】【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线()2,3-的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：. k ()32y k x +=-230kx y k ---=又因为光线与圆相切，,()()22321x y ++-=1整理：，解得：，或,故选D ． 21225120k k ++=43k =-34k =-考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.二､填空题（每小题4分，共20分）13. 在等差数列中，已知，则___________.{}n a 593,6a a ==13a =【答案】 9【解析】【分析】方法一：根据等差数列的性质即可求解. 方法二：根据等数列的定义得出公差，代入等差数列的通项公式即可求解. 34d =【详解】方法一：由等差数列的性质可得：，所以， 95132a a a =+13952a a a =-又因为，所以， 593,6a a ==132639a =⨯-=故答案为：.9方法二：因为在等差数列中，已知，所以公差，则{}n a 593,6a a ==953954a a d -==-，1394639a a d =+=+=故答案为：.914. ，则双曲线的两条渐近线的夹角是___________. 【答案】 90 【解析】【分析】首先根据双曲线的离心率得到渐近线方程为，再求渐近线的夹角即可. y x =±，所以双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为. y x =±因为与的夹角为， y x =y x =-90 所以双曲线的两条渐近线的夹角是. 90 故答案为：90 15. 等比数列的各项均为正数，且，则{}n a 154a a =_____.2122232425log log log log log a a a a a ++++=【答案】. 5【解析】【详解】试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，21534a a a =={}n a 32a =，()()()223512345152433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==．()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．16. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆22650x y x +++=226910x y x +--=心的轨迹方程为___________.【答案】2213627x y +=【解析】【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，【详解】圆的圆心为，， 22650x y x +++=(3,0)A -1=2r 圆的圆心为，， 226910x y x +--=(3,0)B 210r =设动圆的圆心为，半径为，P r 由题意得，，则，， ||2PA r =+||10PB r =-||+||=12>212PA PB ABa =｜｜，3c =由椭圆定义得的轨迹方程为，P 2213627x y +=故答案为：2213627x y +=17. 已知双曲线的（为双曲22221(0,0)x y a b a b -=>>c 线的半焦距），则双曲线的离心率为___________. 【答案】 2【解析】【分析】根据点到直线的距离公式可得：双曲线一个焦点到一条渐近线的距离，根d b =据题意可得：，再利用即可求出离心率. b =222c a b =+【详解】不妨设右焦点，双曲线的渐近线方程为：(c,0)F 22221(0,0)x y a b a b-=>>，由点到直线的距离公式可得：焦点到渐近线的距离，0bx ay ±=d b ==根据题意则有，又因为，所以，则，b =222c a b =+2214a c =2c e a ==故答案为：.2三､解答题18. 记为等差数列的前项和，已知，． n S {}n a n 17a =-315S =-（1）求的通项公式； {}n a （2）求，并求的最小值．n S n S【答案】（1）；（2），最小值为–16．29n a n =-2=8n S n n -【解析】【分析】（1）方法一：根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；（2）方法二：根据等差数列前n 项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. n S 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，{}n a d 315S =-()3237152d ⨯⨯-+=-=2d 所以．29n a n =-[方法二]：函数+待定系数法设等差数列通项公式为，易得，由，即，即{}n a =+n a kn b +=7k b -315S =-2315a =-，解得：，所以．25k b +=-=2,=9k b -29n a n =-（2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以1(1)=+2n n n d S na -2=8n S n n -0n a <29<0n -14n ≤≤的最小值为，n S 41=4+6=16S a d -所以的最小值为． n S 16-[方法2]：函数法 由题意知，即， 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2=8n S n n -()2416n =--所以的最小值为，所以的最小值为．n S 24=44×8=16S --n S 16-【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n 项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n 项和的性质，用待定系数法解方程组求解；（2）方法一：利用等差数列前n 项和公式求，再利用邻项变号法求最值； n S 方法二：利用等差数列前n 项和公式求，再根据二次函数性质求最值．n S 19. 已知圆内有一点，为过点且倾斜角为22:2270C x y x y +---=(1,2)P -AB P α的弦 （1）当时，求弦长； 4πα=||AB （2）当弦被点平分时，求直线的方程.AB P AB【答案】（1）2） 240x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意求出直线的斜率，表示出的方程，利用点到直线的距离公AB AB 式求出圆心到直线的距离，再由半径，利用垂径定理及勾股定理求出弦的长AB d r ||AB 即可；（2）根据为弦的中点，得出垂直于，根据直线的斜率求出直线的P AB OP AB OP AB 斜率，即可确定出直线的方程．AB 【详解】解：圆的方程可化为：， C 22(1)(1)9x y -+-=则，半径， (1,1)C 3r =当时，直线的斜率为1， 4πα=AB 则直线方程为， 3y x =+则圆心到直线的距离， d ==所以弦长； ||AB ===（2）设直线的斜率为，根据条件可知， AB k CP AB ⊥则， 121112CP k -==-+所以，2AB k =则直线的方程为， AB 2(1)2y x =++即．240x y -+=【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，涉及的知识有：直线的斜率与倾斜角之间的关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．20. 设椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左､右焦2222:1(0)x y C a b a b+=>>(12,,F F C 点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. 1e 2=2F l C ,M N （1）求椭圆的方程；C （2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说l 2OM ON ⋅=-l 明理由.【答案】（1）22143x y +=（20y --=0y+=【解析】【分析】(1)椭圆的顶点为，即，椭圆的离心率，(b =1e 2c a ===2a =，即可求得椭圆的方程；C (2)由题意知，当直线斜率不存在时，经检验不合题意，当直线斜率存在时，设存在直线l 为，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得()1y k x =-，由，代入即可求得的值，求得直线的方程. 2251234k OM ON k--⋅=+ 2OM ON ⋅=-k l 【小问1详解】椭圆焦点在轴上，2222:1(0)x y C ab a b+=>>x 一个顶点为，则，椭圆的离心率(b =，解得，1e 2c a ===2a =椭圆的方程为. ∴C 22143x y +=【小问2详解】由题可知，直线与椭圆必相交. l 当直线斜率不存在时，经检验不合题意.当直线斜率存在时，设存在直线为，l ()1y k x =-且，.由，()11,M x y ()22,N x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩整理得：，()22223484120kxk x k +-+-=，， 2122834k x x k ∴+=+212241234k x x k-=+()()121211y y k x k x =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()212121k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦121212OM ON x x y y x x ⋅=+= ()212121k x x x x +-++⎡⎤⎣⎦2241234k k -=+， 22222412813434k k k k k ⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭2251234k k --=+由，即， 2OM ON ⋅=- 22512234k k--=-+解得：k =故直线的方程为或， l )1y x =-)1y x =-. 0y --=0y +-=。

一、单选题1．椭圆的长轴长为（ ）22152x y +=A ．BC ．4D ．2【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴.【详解】由椭圆，得，，22152x y +=25a =a =2a =故选：A ．2．在等比数列中，，公比（ ） {}n a 623a=q =10a =A ．6 B ．C ．12D ．【答案】A【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】.41062963a a q ==⨯=故选：A ．3．以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为()1,2A 10x y -+=2270x y -+=（ ）A ．B ． ()()229122x y +++=()()2225128x y -+-=C ． D ． ()()2225128x y +++=()()229122x y -+-=【答案】B【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 2270x y -+=702x y -+=则两条平行线之间距离，即圆的半径d ==r =所求圆的方程为：. ∴()()2225128x y -+-=故选：B.4．在等差数列中，，则（ ） {}n a 2610120a a a ++=6a =A ．70 B ．60C ．50D ．40【答案】D【解析】根据等差数列的性质，得到，即可求解． 63120a =【详解】根据等差数列的性质，可得， 21062a a a +=因为，即，可得． 2610120a a a ++=63120a =640a =故选：D.5．已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为1l 220x y --=θ2l 2θ2l y 3，则直线的一般式方程为（ ） 2l A ． B ． C ． D ．30x y +-=4390x y -+=3430x y -+=230x y +-=【答案】B【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴， 1l 220x y --=θ121tan 2θ=∵直线的倾斜角为，∴斜率为， 2l 2θ22tan 4tan 21tan 3θθθ==-∴的方程为，即. 2l 433y x =+4390x y -+=故选：B ．6．等比数列的前n 项和，则（ ） {}n a 32nn S a b =⋅-2ab -=A ．-2 B ．C ．0D ．32-32【答案】C【分析】由计算出，，，从而根据等比中项列出方程，求32nn S a b =⋅-132a a b =-26a a =318a a =出，得到答案.2a b =【详解】，当时，，32nn S a b =⋅-1n =132a a b =-当时，，故， 2n =1292a a a b +=-26a a =当时，， 3n =123272a a a a b ++=-从而，318a a =由于是等比数列，故，解得，{}n a ()()262138a a b a =-⋅2a b =故． 2022a ab b --==故选：C ．7．已知点，，，且满足，点D 为AB 的中点，则的最大值()1,0A x ()10,B y ()6,8C 22114x y +=CD 为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【分析】设D 点坐标，由中点坐标转化可得，即得点D 的轨迹，利用点与圆的位()00,x y 22001x y +=置关系，即可求得的最大值.CD 【详解】解：根据题意可得，设D 点坐标，可知，，则，，()00,x y 102x x =102yy =102x x =102y y =又，代入得，即，可得D 点是在以点为圆心，半径为1的22114x y +=2200444x y +=22001x y +=()0,0圆上，.max 111CD OC r =+=故选：C ．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 右支交于A ，B 两点．，，则双曲线C 的离心率为（ ） 222AF BF =1260F AF ∠=︒A ．2BC D【答案】C【分析】令，结合双曲线定义用表示、、，再在、中分别2BF m =m 2AF 1AF 1BF 1ABF A 12AF F △用余弦定理列式计算作答.【详解】依题意，设，，由双曲线的定义得，，2BF m =22AF m =122AF a m =+12BF a m =+在中，，由余弦定理，1ABF A 1260F AF ∠=︒22211112||||||2||||cos BF AF AB AF AB F AF =+-∠得，解得，即，222(2)(22)93(22)a m a m m m a m +=++-+3a m =1268AF m m m =+=设双曲线的焦距为2c ，在中利用余弦定理有，解得， 12AF F △22224(8)416c m m m =+-c =所以双曲线的离心率为． c e a ===故选：C二、多选题9．下列直线中，与圆相切的有（ ） 224x y +=A ． BC ．D ．2x y +=40y +-=x y +=80x +=【答案】BC【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可. 【详解】圆的圆心为，半径．224x y +=()0,02r =对于选项A ，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交；2d <对于选项B ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；2d 对于选项C ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；2d 对于选项D ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．42d ==>故选：BC.10．已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） {}n a 12n n a a +=A ．若，则B ．数列为等比数列12a =2n n a ={}n a C ．若，则数列的前n 项和为 D ．若，则数列单调递减 11a ={}n a 21n -11a =-{}n a 【答案】ACD【分析】由题知时，数列为等比数列，再根据等比数列的知识依次讨论各选项即可. 10a ≠{}n a 【详解】解：对于A 选项，当时，由得，所以数列为等比数列，12a =12n n a a +=12n na a +={}n a ，故A 选项正确；2n n a =对于B 选项，当时，，此时数列不是等比数列，故B 选项错误； 10a =0n a ={}n a 对于C 选项，当时，由得，所以数列为等比数列， 11a =12n n a a +=12n na a +={}n a 所以，数列的前n 项和为，故C 选项正确；{}n a ()()112121211221n n n ⨯-⨯-==---对于D 选项，当时，由得，所以数列为等比数列， 11a =-12n n a a +=12n na a +={}n a 所以，，所以数列单调递减，故D 选项正确．12n n a -=-1112220n n n n n a a --+-=-+=-<{}n a 故选：ACD11．如图，抛物线C ：的焦点为F ，过抛物线C 上一点P （点P 在第一象限）作准()220y px p =>线l 的垂线，垂足为H ，为边长为8的等边三角形．则（ ）PHF AA ．B ．2p =4p =C ．点P 的坐标为D ．点P 的坐标为((【答案】BD【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解.【详解】由题意可得：抛物线C 的焦点为，准线为，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭2p x =-设抛物线C 的准线与x 轴的交点为Q ，在中，则，， Rt △HFQ 60HFQ PHF ∠=∠=︒QF p =可得，解得，故A 错误，B 正确；28cos QFHF p HFQ===∠4p =∵P 的横坐标为，且点P 在第一象限， tan HQ QF HFQ =∠=826PH OQ -=-=故点P 的坐标为，故C 错误，D 正确． (故选：BD.12．已知以坐标原点为中心，焦点在坐标轴上的双曲线C 过点，且其中一条渐近线的倾)3-斜角为，则下列结论正确的是（ ） 5π6A ．CB ．双曲线C 与椭圆有相同的焦点2213620y x +=C ．直线与C 有两个公共点0x +=D ．直线经过C 的一个顶点()()23200k x ky k k -++=≠【答案】BD【分析】A 选项，求出一条渐近线，设出双曲线方程为，代入得到双曲线方223x y λ-=)3-程，得到离心率；B 选项，求出椭圆的焦点坐标，作出判断；C 选项，联立直线和双曲线方程，由的正负作出判断；D 选项，求出直线所过定点坐标，从而得到D 正确. ∆【详解】由题意得到双曲线的一条渐近线的斜率为5πtan 6=故双曲线C的一条渐近线为． y x =设C ：．代入，得．223xy λ-=)3-4λ=-因此双曲线C 的方程为，焦点在y 轴上，且，，则，221412y x -=2a =216c =4c =故离心率，故A 项不正确；2ce a==椭圆的焦点坐标为和，故B 项正确；2213620y x +=()0,4()0,4-联立，整理得，则，2214120y x x ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩280y-+=(2Δ480=--⨯=所以直线 与C有且只有一个公共点，故C 项不正确；0x +=直线，，即，，()2320k x ky k -++=R k ∈()()2320k x k y -++=R k ∈该直线必过点，即过双曲线C 的下顶点，故D 项正确． ()0,2-故选：BD三、填空题13．直线l 过点，若l 的斜率为3，则直线l 的一般式方程为______． ()2,1【答案】350x y --=【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程.【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. ()132y x -=-350x y --=故答案为：350x y --=14．已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则此椭圆的离心率33x y +=()222210x y a b a b+=>>______．e =【分析】由题知为椭圆的一个焦点，为椭圆的一个顶点，进而根据椭圆的性质求解即可. ()1,0()0,3【详解】解：∵直线与轴、轴的交点坐标分别为，33x y +=x y ()()1,0,0,3椭圆的焦点在轴上，()222210x y a b a b+=>>x ∴为椭圆的一个焦点，为椭圆的一个顶点， ()1,0()0,3∴，， 1c =3b =a =c e a ==15．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面l 宽米.【答案】米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为， 2x my =将A （2，-2）代入， 2x my =得m=-2，∴，代入B 得 22x y =-()0,3x -0x =故水面宽为 【解析】抛物线的应用16．已知各项均为正数的递增等差数列，其前n 项和为，公差为d ，若数列也是等差{}n a n S 数列，则的最小值为______． 182a d ++【答案】3【分析】根据为等差数列，求出{}n a 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭等差数列通项公式的特征，得到，从而利用基本不等式求出答案. 12da =【详解】因为为等差数列，且， {}n a 0d >故， 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为等差数列，即要能化成一个关于n 的一次函数， 则有，，102d a -=12da =则， 18828111322222d d a d d d ++=+=+-≥==+++当且仅当，时，等号成立， 2822d d +=+2d =故的最小值为3. 182a d ++故答案为：3四、解答题17．已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为． {}n a 12a =3d ={}n a n n S (1)求和； n a n S (2)设，求数列的前项和． nn S b n={}n b n n T 【答案】(1)，； 31n a n =-232n n nS +=(2).2354n n nT +=【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可求解； （2）根据题意，求出，结合等差数列求和公式，即可求解. n b 【详解】（1）根据题意，易知；()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-. ()()2113132222n n n n n n nS na d n --+=+=+=（2）根据题意，易知，因为，所以数列是首项为2，公差为的等差数312n n b +=132n n b b +-={}n b 32列，故． ()213524n n n b b n nT ++==18．已知圆的方程为． C 22460x y x y m +-+-=(1)求实数的取值范围；m(2)若圆与直线交于M ，N 两点，且，求的值． C :30l x y ++=MN =m 【答案】(1) 13m >-(2) 8m =-【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； C 130m +>（2）利用弦长公式求得的值. MN =r =m 【详解】（1）方程可化为， 22460x y x y m +-+-=22(2)(3)13x y m -++=+∵此方程表示圆，∴，即，即. 130m +>13m >-()13,m ∈-+∞（2）由（1）可得圆心，半径 (2,3)C -r =则圆心到直线的距离为(2,3)C -:30l x y ++=d ==由弦长公式及，得，MN =MN ==r =∴，得．r =8m =-19．在数列中，已知，且． {}n a 11a =-()*1234N n n a a n n +=+-∈(1)求证：数列是等比数列． {}13n n a a +-+(2)求数列的通项公式． {}n a 【答案】(1)证明见解析(2)()1*231N n n a n n -=-+∈【分析】（1）令，推出，证明出结论； 13n n n b a a +=-+()12113232n n n n n n b a a a a b ++++=-+=-+=（2）在（1）的基础上，求出，结合求出通项公式.1132n n n a a -+-+=()*1234N n n a a n n +=+-∈【详解】（1）令，13n n n b a a +=-+∴，()()12111323142343232n n n n n n n n b a a a n a n a a b +++++=-+=++---++=-+=∵，故， 21213a a =-=-12131b a a =-+=∴数列是公比为2的等比数列，{}n b 即数列是公比为2的等比数列．{}13n n a a +-+（2）由（1）易知，即，得， 12n n b -=1132n n n a a -+-+=123432n n n a n a -+--+=即．()1*231N n n a n n -=-+∈20．已知抛物线C ：过点．()220y px p =>()1,2A (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长度． 【答案】(1)，准线方程为 24y x ==1x -(2) 163【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程；（2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案.AB 【详解】（1）∵过点，()220y px p =>()1,2A ∴，解得，24p =2p =∴抛物线C ：，准线方程为； 24y x ==1x -（2）由（1）知，抛物线焦点为，()1,0设直线AB ：，，， )1y x =-()11,A x y ()22,B x y由，得：，则，)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩231030x x -+=12103x x +=则． 121016233AB x x p =++=+=21．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.C ()2,0)（1）求双曲线的方程；C（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原:=+l y kx C A B 2OA OB ⋅>O 点)，求实数取值范围.k【答案】（1）－y 2＝1 23x （2）(－1∪，1) 【详解】(1)设双曲线C 的方程为－＝1(a>0，b>0)． 22x a 22y b由已知得ac ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为－y 2＝1． 23x (2)将y ＝kx代入－y 2＝1中，整理得(1－3k 2)x 2－－9＝0， 23x 由题意得，()()()2222130{36133610k k k -≠∆=+-=->故k 2≠且k 2<1　①． 13设A(x A ，yA )，B(xB ，y B )，则x A ＋x B x A x B ＝， 2913k --由·>2得x A x B ＋y A y B >2， OA OB x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx AB＝(k 2＋1)x A x B k(x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·k·2913k --＋2＝， 223731k k +-于是>2，即>0，解得<k 2<3　②． 223731k k +-223931kk -+-13由①②得<k 2<1， 13所以k 的取值范围为(－1∪1)． 22．已知椭圆：，直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点. 22:12x C y +=l C A B 11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭AB (1)求直线的方程；l (2)若为坐标原点，求的面积.O OAB A 【答案】(1)2230x y +-=【分析】（1）由题意，直线的斜率存在，设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理即l l 可求出斜率，从而即可得答案；k （2）根据弦长公式求出弦的长，由点到直线的距离公式求出高，然后由三角形的面积公式即AB可求解.【详解】（1）解：由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，即l l ()112y k x -=-，， 12y kx k =+-()()1122,,,A x y B x y 由得，221212y kx k x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()222242484430k x k k x k k ++-+--=因为点为线段的中点，所以，解得， 11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 2122842142k k x x k -+==⨯+1k =-直线的方程为，即； l ()()1112y x -=-⨯-2230x y +-=（2）解：由（1）知，， 122x x +=21224435642k k x x k --==+所以AB ===到直线的距离 Old 所以1122OAB S AB d ===A。

高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）（时间120分钟，分值150分）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1.设集合{}220M x x x =--，{}1|128x N x -=≤≤，则M N ⋂=（ ）A. (]2,4 B. []1,4C. (]1,4-D. [)4,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】集合M 与集合N 的公共元素构集合M ∩N ，由此利用集合M={x|x 2﹣x ﹣2>0}={x|x<﹣1或x>2}，N={x|1x 4≤≤}，能求出M ∩N．【详解】∵集合M={x|x 2﹣x ﹣2>0}={x|x<﹣1或x>2}， N={}1|128x x -≤≤={x|1x 4≤≤}，∴M∩N={x|2＜x 4≤}． 故选A【点睛】本题考查集合的交集及其运算，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，是基础题． 2.不等式1021x x -≤+的解集为 ( ) A. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. [)1,1,2⎛⎤-∞-+∞⎥⎝⎦【答案】A 【解析】试题分析：不等式1021x x -≤+等价于(1)(21)0{210x x x -+≤+≠解得112x -<≤，所以选A.考点：分式不等式的解法.3.命题甲：动点P 到两个定点,A B 的距离之和2(PA PB a +=常数0)a >；命题乙：P 点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由题意得，当动点P 到两个定点,A B 的距离之和2(PA PB a AB +=> 常数0)a >时，点P 的轨迹为椭圆，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．4.记等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若141,20,2a S ==则6S = A. 16 B. 24C. 36D. 48【答案】D 【解析】本题考查数列求和公式的简单应用，直接代入即可 由得3d =，故．5.在ABC ∆中，23,22,45a b B ︒==∠=，则∠A 等于( ) A. 30°或150° B. 60°C. 60°或120°D. 30°【答案】C 【解析】 【分析】直接使用正弦定理，即可求得结果. 【详解】根据正弦定理a b sinA sinB=， 23245sin =︒，解得3sinA =A 为60°或120°； 又a b >，则A B >，显然两个结果都满足题意.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的直接使用，属基础题.6.一个等比数列{}n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A. 63 B. 108C. 75D. 83【答案】A 【解析】试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.7.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15, 即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.8.若抛物线22y x =上有两点,A B ，且AB 垂直于x 轴，若22AB =，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.18【答案】A 【解析】 【分析】设出两点的坐标，根据弦长求得两点的横坐标，即可求解. 【详解】因为AB 垂直于x 轴， 设()()11111,,,(0)A x y B x y y ->、因为AB =，故可得12y =1y =代入抛物线方程，可得11x =，又抛物线的焦点为1,?02⎛⎫ ⎪⎝⎭故抛物线的焦点到直线AB 的距离为11122-=. 故选：A.【点睛】本题考查求抛物线上的点的坐标，以及由抛物线方程求焦点坐标，属基础题. 9.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( ) A. 55986只 B. 46656只 C. 216只 D. 36只【答案】B 【解析】 【分析】先由题得到{a n }是公比为6的等比数列，再利用等比数列的通项求出a 6得解. 【详解】设第n 天所有的蜜蜂都归巢后共有a n 只蜜蜂，则有a n ＋1＝6a n ，a 1＝6， 则{a n }是公比为6的等比数列，则a 6＝a 1q 5＝6×65＝46656. 故答案为B【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.10.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34B. 1C.54D.74【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.11.（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 A. 2 B.32C. 3D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.12.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若223b a =，△AOB 3则p =（ ） A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程即可求解【详解】由2222333b bb a a a=⇒=⇒=3y x =，与抛物线的准线交于3322p p p p A ,,B ,⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，所以AOB ∆的面积为()133022p,p ⨯=>， 解得2p = 故选C【点睛】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，属于基础题型第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13.命题若220x y +=,则,x y 都为零的逆否命题是_______．【答案】若,x y 不全为零，则220x y +≠.【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以“若220x y +=,则,x y 都为零”的逆否命题是“若,x y 不全为零，则220x y +≠”，故答案为若,x y 不全为零，则220x y +≠.14.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，3813lg()3a a a =，则115a a 的值为______________. 【答案】100 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质，求得8a ，即可得115a a . 【详解】因为{}n a 是等比数列，故可得()338138a a a a =因为3813lg()3a a a =，故可得81lga =，解得810a =.故115a a ()28100a ==. 故答案为：100.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，属基础题.15.设集合S ＝{x ||2x -|3>}，T ＝{8x a x a <<+}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是____________．【答案】()3,1-- 【解析】 【分析】求解绝对值不等式可得集合S ，再根据S ∪T ＝R ，即可得参数的范围. 【详解】对集合S ：23x ->，解得集合()(),15,S =-∞-⋃+∞， 因为S ∪T ＝R ，故可得1,85a a -+ 解得()3,1a ∈--. 故答案为：()3,1--.【点睛】本题考查由集合之间的关系求参数范围的问题，涉及绝对值不等式的求解.16.过双曲线C ：22221x y a b-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为­ .【答案】2 【解析】【详解】双曲线22221x y a b -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b y x a =平行，其方程为()b y x c a =-，代入22221x y a b -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由2222a c a c+=，得2()410c c a a -+=，解之得2c a =+2c a =（舍去，因为离心率1ca>），故双曲线的离心率为2. 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin c A =. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆，求+a b 的值. 【答案】（1）60；(2) 5. 【解析】 【分析】（1）由2sin c A =，利用正弦定理可得sin C =，结合C 是锐角可得结果；(2)由1sin 2ab C =6ab =，再利用余弦定理可得结果.【详解】（12sin c A =2sin sin A C A =,因为sin A 0≠，所以sin C =, 因为C 是锐角， 所以60C =.(2)由于1sin 2ab C =6ab ∴=， 又由于2222cos60c a b ab =+-()()227318a b ab a b =+-=+-，()225a b +=，所以5a b +=.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.求适合下列条件的曲线的标准方程． （1）经过点15,34⎛⎫⎪⎝⎭，且一条渐近线方程为430x y +=的双曲线； （2）两个焦点坐标分别为()()2,0,2,0-，并且经过点5322⎛⎫- ⎪⎝⎭，的椭圆. 【答案】（1）221916x y -=； （2）221106x y +=.【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，待定系数即可求得； （2）根据椭圆的定义，以及已知条件，即可求得,,a b c .【详解】（1）因渐近线为4x ＋3y ＝0，故可设双曲线的方程为16x 2－9y 2＝k ，将15,34⎛⎫⎪⎝⎭代入得，k ＝225－81＝144. 代入①并整理得221916x y -=.故所求双曲线的标准方程为221916x y -=.（2）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>.又因为椭圆过点5322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，不妨设其为P ，则12PF PF +==由椭圆的定义知2a =a =又因为2c =，所以2226b ac =-=， 因此，所求椭圆标准方程为221106x y += .【点睛】本题考查已知双曲线渐近线求双曲线方程，以及已知椭圆上一点及焦点求椭圆方程. 19.已知正项等比数列{}n a ，112a =，2a 与4a 的等比中项为18. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n S . 【答案】（1）12n n a =； （2）222nn +-. 【解析】 【分析】（1）根据基本量，列方程即可求得等比数列的公式，写出通项公式即可； （2）根据通项公式的特点，利用错位相减法求解数列的前n 项和.【详解】（1）因为正项等比数列{}n a ，所以0n a >，设公比为q ，则0q >. 又因为2a 与4a 的等比中项为18，所以318a =，即2118a q =，由112a =，得12q =，于是，数列{}n a 的通项公式为12n n a =.（2）由题可知，2n nn b =， 于是，231232222n n nS =++++… ① 2341112322222n n nS +=++++… ②由①-②，得23411111112222222n n nn S +=+++++-…111(1)221212n n n +-=--11122n n n +=--， 解得222n n n S +=-【点睛】本题考查由基本量计算等比数列的通项公式，以及利用错位相减法求解数列的前n 项和，属数列基础题.20.如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东方向和港口B 北偏西方向上，一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东的OA 方向以每小时20海里的速度驶离港口O ，一艘快艇从港口B 出发，以每小时60海里的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？【答案】3 【解析】试题分析：由图可知OB=120，BC=60.OC=3快艇从B 到C 需要1小时，然后装物资需要1小时，所以考察船已经走了两小时 设快艇从C 到A 需t 小时； 则OA="40+20t,CA=60t,"30AOC ∠=，由余弦定理可得：222(60)(4020)(603)2603(4020)cos30o t t t =++-⨯+1t =共3小时考点：本题考查余弦定理点评：将应用题的条件标出图上各个边长及角度，然后用余弦定理计算21.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据离心率为3，即3c a =，OAB 的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.【详解】（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以. 当时，，所以. 综上，为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.22.设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

第一学期期末考试卷(理科)高二 数学总 分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，2．双曲线221916x y -=的渐近线方程是（ ）A. 430x y ±=B.1690x y ±= C ．340x y ±= D. 9160x y ±=3.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1222=-y x B. 1422=-y x C. 1222=-y x D. 13322=-y x4、命题“若3=x ，则01892=+-x x ”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、35.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点，则2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率是（ ）B 1213 6． “1x ≠”是“2320x x -+≠”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.已知向量b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k 的值是( )A ．1B ．51C ． 53D ．578.过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为045直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是（ ）A 8B 16C 32D 649.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为（ ）ABCD10．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0） B ．1362022=+y x （x ≠0） C ．120622=+y x（x ≠0） D ．162022=+y x （x ≠0）11．四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，13AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC 的长为( )A ．． 23 C ．D ．3212、已知P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点Q （2， 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A 、)1,41(-B 、)1,41( C 、)2,1( D 、)2,1(-二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，其中x ，y 是实数，若点M 与A 、B 、C 四点共面，x+y=___14．若命题P ：“∀x R ∈，022>+-ax x ”是真命题 ，则实数a 的取值范围是___． 15．已知椭圆x y y k x 12133222==+的焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是 ．y x 31++=16、方程k x -42+12-k y =1表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①曲线C 不可能是圆；②若1<k <4,则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <25。

甘肃省岷县第二中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题（每小题5分,共60分, 请将答案写在答题卡上）1．若椭圆2221(5x y a a +=>的长轴长为6则它的焦距为( )A ．4B ．3C ．2D ．12．双曲线22220x y --=的渐近方程为（ ）A ．y x =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±3．x ∈R ，则2x >的一个充分不必要条件是（ ） A ．3x >B ．3x <C ．1x <D ．1x >4．命题“0x N +∃∈，使得()00211xx +>”的否定是（ ） A ．x N +∀∈，都有()211xx +>B ．x N +∀∉，都有()211xx +≤ C ．0x N +∀∉，都有()00211xx +≤ D ．x N +∀∈，都有()211xx +≤5．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件6．设一个半径为r 的球的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B ，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（ ）A ．AB r <B ．AB r =C ．AB =D ．AB <7．已知双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为 ）A ．2214x y -=B ．22132x y -=C ．2214y x -=D ．22123x y -=8．已知抛物线212y x =的焦点与椭圆2213x y m+=的一个焦点重合，则m =（ ）A ．114B ．19164C ．134D ．193649．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，N 是圆22(6)(3)9x y -+-=上一点，则MN MF +的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．8D ．1010．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。