第三章测验题答案(2010-05-11)班级______ 姓名______ 学号______ 做题时间____分钟********************************************************************************************一. 填空(共17分) 1. （5分）设随机变量()X P λ且{2}{4}P X P X ===，则λ= 解：因为()X P λ，属离散型随机变量，故{},0,1,2 0kP X k e k k λλλ-===>.由题设条件{2}{4}P X P X ===可知242!4!ee λλλλ--=，所以212.λ=又因为0,λ>所以λ=2. （12分，每空2分）根据定义完成下列各式：()()()(,(11)(,))1;(12)(,)1;(21);(22)(31)(,);(32)(,;()(.))X xxy X X xY Xx dx x dx x f f x y dxdy f F f f x y dx x y dx f dx f x y dy F dy F x y y x +∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞-∞-=-=-=--===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰二. 选择(共20分，每题5分)1. 设随机变量X 的绝对值不大于1，且{1}1,8P X =-=1{1}4P X ==，则{11}P X -<<=[ A ](A) (B) (C) (D)解：因为随机变量X 的绝对值不大于1，所以必定有X 的所有取值只可能在-1到1之间，即{||1}1P X ≤=，所以{11}{||1}{1}{1}P X P X P X P X -<<=≤-=--=1151.848=--=2. 设X 与Y 相互独立且同分布，1{1}{1}2P X P Y =-==-=，1{1}{1}2P X P Y ====，在下列各式中成立的是 [ A ] (A) 1{}2P X Y ==(B) {}1P X Y == (C)1{0}4P X Y +==(D) 1{1}4P XY == 解：因为111,22+=所以X 和Y 的取值只能是1或-1，因此利用X 与Y 的边缘分布律和两者独立性的条件可知(X , Y )的联合分布律，如下表所示：{1}{1}P X Y P X Y ===-+==111442=+=，故选项(A)正确，(B)错误；(){0}{1,1}{1,1}P X Y P X Y X Y +===-=⋃==- {1,1}{1,1}P X Y P X Y ==-=+==-111442=+=，故选项(C)错误；(){1}{1}{1}P XY P X Y X Y ====⋃==- {1}{1}P X Y P X Y ===+==-111442=+=，故选项(D)错误.3. 已知3{0,0}7P X Y ≥≥=，且4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥=[ C ].(A)37 (B)47 (C)57 (D) 1649解：本题关键是分析max 函数的含义，从而利用概率的加法公式来解. 具体过程如下：{max(,)0}{00}P X Y P X Y ≥=≥≥或者(){0}{0}P X Y =≥⋃≥(){0}{0}{0}{0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥⋂≥({0}{0})X Y ≥≥因为事件和事件不互斥，所以只能利用加法公式{0}{0}{0,0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥≥ 44357777=+-=4. 设随机变量2(,)XN μσ，则随着σ的增大，{}P X μσ-<[ ].(A)增大 (B)减小 (C)保持不变 (D)增减不定 解：||{||}{1}{11}(1)(1)2(1)1X X P X P P μμμσσσ---<=<=-<<=Φ-Φ-=Φ-，与σ无关，所以选(C).(0,)σσ>因为两边同时除以以后不等号不变号 三. 解答题（请写明求解过程，共63分）1. （18分，每小题6分）已知随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,0,21,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩求(1) A ; (2){||}6P X π<; (3)()f x .解：(1)利用分布函数的右连续性可知，在2x π=点，右连续性表现为2lim (x))2(x F F ππ→+=，根据(x)F 定义可知，当1x >时，()1F x =，所以左边=2lim (x)x F π→+=2lim 11x π→+=，右边(si 22)n F A A ππ===，故A =1.所以得到0,0()sin ,02,1,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩(2) 注意到这个(x)F 在整个实轴都是连续的，根据第二章的结论：只要分布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为0，因此有{||}{}{}66666X X P X P P πππππ<=-<=≤-<<()()66F F ππ=--0sin 6π=-=12=.(3)已知分布函数求概率密度，只需要在密度函数的连续点处对x 求导即可：因此有cos ,0().20,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（此题没有()f x 无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解答题第一题.）2. （15分）某元件寿命X 服从参数为11000λ=的指数分布，则三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少解：随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为1000,01(),.1000xxothe sfeexrwi->⎧⎪=⎨⎪⎩又因为11000100010001{1000}()1000.xP X f x dx e dx e-+∞+∞-≥===⎰⎰即元件能够使用超过1000小时的概率是1e-，又因为三个元件的寿命是相互独立的，所以最后所求概率值即为()313e e--=.3.（10分）已知二维随机向量(X, Y)的联合密度函数为8,01(,)0,xy x yf x y≤≤≤⎧=⎨⎩其它求(X, Y)的关于Y的边缘密度函数.解：通过以下四个步骤求边缘密度：①写定义：()(,)Yf y f x y dx∞-∞+=⎰②定区间： ____,001,y <<⎧=⎨⎩其它③化积分： 08,0,10y y xydx ⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎰其它④求积分： 34,00,1y y <<⎧=⎨⎩其它.4. （10分）设(1,2),XU 求2X Y e =的概率密度函数.解：因为(1,2),XU 所以有1,12().0,X x f x <<⎧=⎨⎩其它因为函数2x y e =是严格单调函数，所以可以利用书中第52页定理直接求Y 的密度函数.21ln ()2x y h y y e ==是的原函数，且242412,,,x e y e e e αβ<<<=<=当时则有即定理中的；1ln (2)2(,)1y h y ∈=所以(())1X f h y =. 又注意到'()12h y y=， 所以由定理可知·|'((()|)),0,()X Y h y h y f y y f αβ<<⎧=⎨⎩其它241,0,2e y e y⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它（10分）已知(X , Y )的概率密度为1(),0(,,)810x y f x y x y ≤≤⎧≤+⎪=⎨⎪⎩其它求1{}P X Y +≤.解：本题所求的是二维随机变量(X , Y )落在某区域中的概率，则{}(,)1GP X Y f x y dxdy ≤+=⎰⎰现要将此二重积分化成累次积分，则要确定这个区域{}(,)|1G x y x y =+≤与0(,)f x y ≠的区域的交集，如下图所示故{}(,)1GP X Y f x y dxdy ≤+=⎰⎰11201()8y ydy x y dx -=+⎰⎰1.48= 四. 选做题(10分,100分以外)设(X , Y )的分布函数为(,)(arctan 2)(arctan 3)F x y A B C x y=++,求(1) A,B,C; (2)(,)f x y ; (3)X 和Y 是否相互独立 解：(1)法一：利用二维随机变量的分布函数的性质：(,)0,(,)0,(,)1F y F x F -∞=-∞=+∞+∞=得到()(arctan )0(1)23(arctan )()0(2)22()()1(3)22y A B C x A B C A B C ππππ⎧-+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪++=⎪⎩式式式.由(3)式可知，0A ≠. 又因为(,)1F +∞+∞=, 所以(,)(arctan )(arctan )023x F x y A B C y=++≠故00.23arctanarctan B y C x ++≠≠并且 则又（１）（２）式可知21,2B C A ππ===． 因此21(,)(arctan )(arctan )2223x yF x y πππ=++． 法二：利用一维随机变量的分布函数的性质()0,()1F F -∞=+∞=来做：因为边缘分布()(,)lim (,)(arctan )()22X y x F x F x F x y A B C π→+∞=+∞==++()(,)lim (,)()(arcta )23n Y x F y F y F x y A B C yπ→+∞=+∞==++作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故1()lim (,)lim (arctan )(arctan 23)()()22X x x y F F x A B B x C A C y ππ→+∞→+∞→+∞=+∞=+∞=++=++0()lim (,)lim (arctan )(arctan 23)()()22X x x y F F x A B B x C A C y ππ→-∞→-∞→+∞=-∞=+∞=++=-+0()lim (,)lim (arctan )(arctan )3()22()2Y y x y F F y A B B x C A C y ππ→-∞→+∞→-∞=-∞=+∞=++=+-解此方程组得到21,2B C A ππ===.(2)22222222222(,)(,)1(arctan )(arctan )2211(arct 2313an )2111246.(4)(921213119)F x y f x y x yx y yx x y y x x y y πππππππ∂=∂∂⎡⎤∂++⎢⎥⎣⎦=∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂⨯+⨯⨯⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=∂=⨯⨯⨯=+++++(3)要判断独立性，就要先求边缘分布；法一：因为此题给出的条件是分布函数，所以这里我们先求X 和Y 的边缘分布函数. 根据分布函数的定义，我们有1()(,)lim (,)(arctan )()(arctan )2222X y x x F x F x F x y A B C πππ→+∞=+∞==++=+1()(,)lim (,)()(arctan )(arctan )3322Y x F y F y F x y A B C y yπππ→+∞=+∞==++=+所以对任意的x, y , 有(,)()()X Y F x y F x F y =成立，故X 与Y 独立. 法二：利用第(2)题联合密度求边缘密度后，判断是否独立.()(,)X f x f x y dy +-∞∞=⎰222222222222226(4)(9)61(4)9611(4)91arct 3613|(4)93613(4)924an 22()dyx y dy x y dy x y y x x x ππππππππ+-+-+-∞∞∞∞∞∞+∞-∞=++=++=⨯⨯+⎛⎫+ ⎪⨯⨯⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭=⨯+=⎝⎭⨯+=+⎰⎰⎰ ()(,)Y f y f x y dx +-∞∞=⎰222222222222226(4)(9)61(9)4611(9)41arct 2612|(9)42612(9)439an 22()dxx y dx y xdy y x x y y y ππππππππ+-+-+-∞∞∞∞∞∞+∞-∞=++=++=⨯⨯+⎛⎫+ ⎪⨯⨯⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭=⨯+=⎝⎭⨯+=+⎰⎰⎰ 22222623(,)(),(4)(9)(4)(9)()X Y f x y f y x y x y x f πππ==⨯=++++x y 对任意，均成立， 故X 与Y 独立.。
