陕西省高中数学 第一章 推理与证明 归纳推理知识归纳及应用例题讲解素材 北师大版选修2-2

分析法--不等式证明的基本方法有关不等式的证明题是学习的重点和难点所在，往往以知识的纵横联系为依托，考查学生对不等式证明方法的掌握程度，是许多学生难以逾越的沟壑，不少学生常常望题兴叹或无功而返．为了解决此问题，在这向大家介绍分析法，这是不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释．例1 已知002a b c a b >>>+，，，求证：c a c <<． 分析：观察待证式子是连锁不等式，不易用比较法，又待证式子等价于a c -，即a c -分析法比较合适．证明：要证c a c <+只需证a c <-<只需证a c -<即证22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-．0a >∵，只需证2a c b -<-，即证2a b c +<，这为已知．故原不等式成立．点评：分析法的步骤是未知→需知→已知，在操作中“要证”，“只需证”，“即证”这些词语是不可缺少的．例2 已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个实根24a b αβ<+，，，且2b <．证明：22αβ<<，． 证明：要证22αβ<<，， 只需证2244αβ<<，，只需证22(4)(4)0αβ-->，且4αβ<，只需证224()(4)αβαβ+<+，且4αβ<，只需证224(4)a b <+，且4b <，只需证24a b >+，且4b <，即证24a b <+，且4b <．最后一式为已知条件，故原不等式成立．点评：应用分析法，一方面要注意寻找使结论成立的充分条件，另一方面要有目的性，逐步逼近已知条件或必然结论．例3 已知函数π()tan 02f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，若12π02x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且12x x ≠．证明：12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法基本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决．证明：要证12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 只需证12121(tan tan )tan 22x x x x ++>， 只需证12121212sin sin sin()12cos cos 1cos()x x x x x x x x ⎛⎫++> ⎪++⎝⎭（“化切为弦”）， 只需证12121212sin()sin()2cos cos 1cos()x x x x x x x x ++>++， 只需证1212121212sin()sin()cos()cos()1cos()x x x x x x x x x x ++>++-++， 只需证明120cos()1x x <-<，则以上最后一个不等式成立，在题设条件下易得此结论． 点评：分析法是思考问题的一种基本方法，容易找到解决问题的突破口．。

1.1 归纳推理教学过程： 1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理” 思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。

如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，…… 2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。

教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32E E E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=2”为“欧拉公式”。

3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。

定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。

4.例题解析例1：在数列{}n a 中，()*1121,,2nn n a a a n N a +==∈+猜想这个数列的通项公式？ 解析：先由学生计算：234521222,,,32456a a a a ===== 归纳：*2()1n a n N n =∈+ 说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.例2：（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。

§1概括与类比在平时生活中 , 人们经常需要进行各种各种的推理 . 如医生诊疗病人的病症 , 警察侦破案件, 数学家论证命题的真假等 , 此中都包括了推理活动 . 在数学中 , 证明的过程更离不开推理 .本节就开始学习有关数学推理的知识.能手支招 1 细品教材一、推理1.推理的观点依据一个或几个已知的事实 ( 或假定 ) 得出一个判断 , 这种思想方式叫推理 . 推理一般由两部分构成 : 前提和结论 .状元笔录合情推理中,目前提为真时, 结论可能为真 , 也可能为假 .2.合情推理(1)目前提为真时 , 结论可能为真的推理 , 叫做合情推理 .合情推理是指“符合情理”的推理 . 数学研究中 , 获得一个新结论以前 , 合情推理经常能帮助我们猜想和发现结论 ; 证明一个数学结论以前 , 合情推理经常能为我们供给证明的思路和方向 , 其推理过程为：(2)两种合情推理 : 概括推理和类比推理 .二、概括推理1.观点依据一类事物的部分事物拥有某种性质 , 推出这种事物中每一个都拥有这种属性的推理方式 , 叫做概括推理 ( 有时简称概括 ). 概括推理是从个别到一般 . 由部分到整体的过程 .状元笔录概括推理的前提与结论不拥有必定性联系, 其结论不必定正确.2.特色(1) 概括推理的前提是几个已知的特别现象, 概括所得的结论是尚属未知的一般现象, 该结论超越了前提所包含的范围.(2) 由概括推理获得的结论拥有猜想的性质, 结论能否真切, 还需要经过逻辑证明和实践查验.所以 , 它不可以作为数学证明的工具.(3)概括推理是一种拥有创建性的推理 . 经过概括推理获得的猜想 , 能够作为进一步研究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题 .3. 概括推理的步骤其一般步骤为:(1)经过察看个别状况发现某些同样性质;(2)从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题.示例 : 已知 : 数列 {a } 的第 1 项 a =1, 且 a =a n(n=1,2,3,,),试概括出这个数列的通项公n1n+11a n式.思路剖析：数列 {a n} 的通项公式是第 n 项 a n与序号 n 之间的对应关系 , 我们能够先依据已知条件算出数列 {a n} 的前几项 , 而后去概括出一般性的公式 .1111, 当 n=4解 ： 当 n=1 时 ,a 1=1, 当n=2 时 ,a 2=, 当 n=3 时 ,a 3=21121 3121 1时,a =3, ,,41 413经过察看可得 : 数列的前四项都等于相应序号的倒数, 由此概括出 :a n = 1.n三、类比推理 1. 观点两类不一样对象拥有某些近似的特色 , 在此基础上 , 依据一类对象的其余特色 , 推测另一类对象也拥有近似的其余特色 , 这种推理叫做类比推理 ( 简称类比 ).类比推理是数学推理的一种重要形式, 它的本质是依据两对象之间的相像 , 把信息从一 个对象转移到此外一个对象 , 类比推理不单是一种从特别到特别的推理方法, 也是一种探究解题思路、猜想问题答案或结论的一种有效的方法 . 这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用 .2. 特色(1) 类比推理是由特别到特别的推理 .(2) 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特色, 推测正在被研究的事物的特色 , 所以 , 类比推理的结果拥有猜想性 , 不必定靠谱 .(3) 类比推理以旧的知识作基础 , 推测新的结果 , 拥有发现的功能 . 类比推理在数学发现中有重要作用 .(4) 因为类比推理的前提是两类对象之间拥有某些能够清楚定义的近似特色，所以进行类比 推理的重点是明确地指出两类对象在某些方面的近似特色.状元笔录类比推理是一种由特别到特别的推理形式, 目的是找寻事物之间的共同或相像性质, 它是一种似真推理 . 类比推理的结论需要进一步证明其正确性, 类比的性质相像性越多, 相像的性质与推测的性质之间就越有关 , 进而类比得出的结论就越靠谱 .比如，据科学史上的记录 , 光波观点的提出者 , 荷兰物理学家、 数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较 , 发现它们拥有一系列同样的性质: 如直线流传、 有反射和干扰等 . 又已知声是由一种周期运动所惹起的、 呈颠簸的状态 , 由此 , 惠更斯作出推理 , 光也可能有呈颠簸状态的属性 , 进而提出了光波这一科学观点. 惠更斯在这里运用的推理就是类比推理.3. 类比推理的步骤其一般步骤为 :(1) 找出两类事物之间的相像性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 , 得出一个明确的命题 ( 猜想 ). 状元笔录类比推理是两类事物特色之间的推理, 利用类比推理得出的结论可能是正确的 , 也可能是错误的 .【示例】类比平面内正三角形的“三边相等 , 三内角相等”的性质, 可推知正四周体的以下哪些性质 , 你以为比较适合的是（）①各棱长相等 , 同一极点上的任两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形, 同一极点上的任两条棱的夹角都相等 .A.①B.①②C.①②③D.③思路剖析：因为正三角形的边和角能够与正四周体的面( 或棱 ) 和相邻的两面成的二面角( 或共极点的两棱夹角) 类比 , 所以①②③都适合.答案： C能手支招 2 基础整理推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思想形式. 任何推理都由前提和结论两部分构成 , 前提与结论的关系是原由与推测 . 原由与结果的关系 . 本节则主要叙述合情推理的两种种类 : 概括推理和类比推理 . 其主要知识构造以下 :。

解读归纳推理一、归纳推理的定义及理解归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，它是从特殊到一般的过程。

简而言之，归纳推理是有部分到整体，由个别到一般的推理，例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”归纳出“一切金属都能导电”。

由“直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°”，归纳出“所有三角形的内角和都是180°”等等，这些都是归纳推理。

在统计学中，我们总是从所研究的全体对象中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作出判断，这也是归纳推理。

应用归纳推理可以发现新的事实，获得新的结论。

二、归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。

三、典例剖析例1 如图1所示，在一张方格纸上画折线（用粗线表示的部分），图中每个小方格的边长为1，从A点出发依次给每条直线段编号。

⑴编号为2010的直线长度是多少？⑵长度为2010的直线段的编号是多少？分析：仔细观察表中的编号与长度列出表格，根据表格中的编号与长度的关系归纳出一般规律。

解：通过观察列出编号与长度的关系表：编号1、2 3、4 5、6 7、8 9、10 …长度 1 2 3 4 5 …从表中看出：长度为n的线段编号为2n-1和2n。

⑴编号为2010的线段长为2010÷2=1005。

⑵长度为2010的线段有两条，编号分别为：2010×2-1=4019，2010×2=4020。

点评：本题主要考查识图能力，利用表格将题目中的编号与长度都对应表示出来，从而使题目中的各种关系明朗化，便于解题。

四、拓展提高⑴归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的。

⑵归纳具有发现新知识和探索真理的功能，在数学中有预测答案，探索解题思路的作用，对于较为复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳猜想的办法，预测结论，从而找到解决问题的途径。

剖析演绎推理证明的几种常见错误1.偷换论题例1求证四边形的内角和等于0360。

证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有0000036090909090=+++=∠+∠+∠+∠D C B A ，所以，四边形的内角和等于0360。

剖析：上述推理过程是错误的。

犯了偷换论题的错误。

在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。

正证：对于任意四边形ABCD ，连结对角线AC ，则得CDA ABC ∆∆和。

因为三角形内角和等于0180，0180=∠+∠+∠∴BCA ABC CAB ，0180=∠+∠+∠DAC CDA ACD ，+∠+∠+∠∴BCA ABC CAB 0360=∠+∠+∠DAC CDA ACD ，又DAB DAC CAB ∠=∠+∠，BCD ACD BCA ∠=∠+∠，0360=∠+∠+∠+∠∴DAB CDA BCD ABC ， ∴四边形的内角和等于0360。

2.虚假论据例2已知2和3是无理数，试证32+也是无理数。

错证：依题设2和3是无理数， 而无理数与无理数的和是无理数， 所以32+也是无理数。

剖析：上述推理过程是错误的。

犯了虚假论据的错误。

使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。

因此，原题的真假性仍无法断定。

正证：假设32+不是无理数，那么它就是有理数， 于是，存在互质的正整数n m ，，使得32+nm=，从而有n m )32(+=，因此，22)625(n m +=，即222625n n m =-，422224)5(n n m =-∴，即0102244=-+n m n m ，222228)(n m n m =-∴，2222±=-∴mnn m 。

因为n m ，为互质的正整数，∴mnn m 222-为有理数，而2为无理数，2222±=-∴mn n m 矛盾，故假设不成立，32+∴也是无理数。

3.循环论证例3在ABC Rt ∆中，090=∠C 求证：222c b a =+。

1.1 归纳推理教学过程：一：创设情景，引入概念师：今天我们要学习第一章：推理与证明。

那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。

（学生观看flash动画）。

师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。

师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。

师：非常好！（引出推理的概念）。

师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。

那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。

大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。

师：对。

我们看来这些式子都是简单的加法运算。

但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。

大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。

师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。

师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。

师：那我们就可以得到什么结论？生：偶数=奇数+奇数。

师：这个结论我们在小学就知道了。

大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。

）师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。

生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。

师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。

（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

分析法的应用举例立体几何的证明是很多同学感到头疼的问题．我们做题时，若能根据题目的特点选用合理的证明方法，由常常能使问题较容易的得以解决．分析法是立几证明过程中经常用到的方法，即：首先从结论入手，用分析的方法，通过等价推理，寻求最终解题所需要的条件；然后再在分析的基础上，用综合法把证明过程条理清楚地表现出来．下面我们用分析法来分析两道立几证明题．例1 如图1，在四面体A VBC -中，60VA VB VC AVB AVC ==∠=∠=o ，，90BVC ∠=o ，求证：平面VBC ⊥平面ABC ．分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC 内作VD BC ⊥，则VD ⊥平面ABC ，所以VD 即为我们所要寻找的直线．要证明VD ⊥平面ABC ，除了已知的VD BC ⊥之外，还需要在平面ABC 内找一条直线与VD 垂直，哪一条呢？假设已知知道VD ⊥平面ABC ，则VD 与平面ABC 内的任意直线均垂直，即必有VD AB VD AC ，⊥⊥，但这两个垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？连结AD 呢？假设已经知道VD ⊥平面ABC ，则必有VD AD ⊥．通过计算可得到90VDA ∠=o ，原题得证．证明：设BC 的中点为D ，连结VD AD ，，因为VB VC =，所以VD BC ⊥； 设1VA VB VC ===，因为6090AVB AVC BVC ∠=∠=∠=o o，， 所以2122AB AC BC VD AD =====，，，所以90VDA ∠=o ，即VD AD ⊥， 又已知AD BC D =I ，所以VD ⊥平面ABC ，又VD ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面ABC ．例2 如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，证明：平面1A BD ∥平面11CB D ．分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行． 假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有11A B A D BD ，，均与平面11CB D 平行，选择任意两条均可，不妨选择11A B A D ，．要想证明11A B A D ，与平面11CB D 平行，需在平面11CB D 内寻找两条直线分别与11A B A D ，平行，假设11A B A D ，与平面11CB D 平行已知，则根据线面平行的性质定理，过1A B 的平面11A BCD 与平面11CB D 相交所得的交线1CD 与1A B 平行；过1A D 的平面11A DCB 与平面11CB D 相交所得的交线1B C 与1A D 平行．11CD B C ，即为所要寻找的直线．从而易知11CD B C ，分别与11A B A D ，平行，原题得证．证明：因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以有11A D BC∥，即四边形11A BCD 为平行四边形，从而有11A B CD ∥，又已知1A B ⊄平面111CB D CD ⊂，平面11CB D ，进而有1A B ∥平面11CB D ；同理有11A D B C ∥，从而有1A D ∥平面11CB D ；又已知111A B A D A =I ，所以有平面1A BD ∥平面11CB D ．从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用．。

高考中的合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比。

一、归纳推理例1、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。

解：f （1）＝1，观察图象可知f （2）＝4，f （3）＝10，f （4）＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，……，通项公式是2)1(+n n ，所以f （n ）＝f （n －1）＋2)1(+n n ， 所以有：f （2）－f （1）＝2)12(2+⨯ f （3）－f （2）＝2)13(3+⨯ f （4）－f （3）＝2)14(4+⨯ ……………………………………f （n ）－f （n －1）＝2)1(+n n 以上各式相加得：f （n ）＝f （1）＋24433222222n n ++++++++ ＝2)4321()4321(22222n n +++++++++++ ＝22)1(6)12)(1(++++n n n n n＝6)2)(1(++n n n 所以应该填：10；6)2)(1(++n n n 点评：求f （n ）的通项公式时运用累差法思想求解。

可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。

解决问题的关键是找到相邻两项的关系。

二、 类比推理（类比）例2、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。