线性代数期末试卷B

线性代数B 期末试题一、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分)1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。

（ ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。

（ ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。

( )5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。

（ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。

（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。

则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。

（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）1．01210n n -。

22
212
1213352626x x x x x x x ，则此二次型的秩为命题教师：1.出题用小四号、宋体输入打印， 纸张大小为8K.
考 生：1.不得用红色笔，铅笔答题，不得在试题纸外的其他纸张上答题，否则试卷无效。

2.参加同卷考试的学生必须在“备注”栏中填写“同卷”字样。

3.考试作弊者，给予留校察看处分；叫他人代考或代他人考试者，双方均给予开除学籍处理。

并取消授予学士学位资
命题教师：1.出题用小四号、宋体输入打印， 纸张大小为8K.
考 生：1.不得用红色笔，铅笔答题，不得在试题纸外的其他纸张上答题，否则试卷无效。

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同济大学课程考核试卷（B 卷）2009—2010学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名：课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空题（每空3分，共24分）1．已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ=, ()1232,2,,B αααβ=, 且 4A =-，2B =-，则行列式 =+B A 6 。

2. 设行列式1131100021034512D =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .3. 已知矩阵222222a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 C .(A) 2=a ； （B ） 2=a 或4-=a ； (C) 4-=a ； (D) 2≠a 且4-≠a .4. 向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是 B(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价. 5. 已知3阶矩阵A 与B 相似且010100001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭, 则201222B A -=300030001⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的特解，12,,,s ξξξ是齐次方程组0Ax =的基础解系，则以下命题中错误的是 B(A) 001020,,,,s ηηξηξηξ---是Ax b =的一组线性无关解向量；(B) 0122s ηξξξ++++是Ax b =的解；(C) Ax b =的每个解均可表为001020,,,,s ηηξηξηξ+++的线性组合.7. 设4阶矩阵A 有一个特征值为2-且满足5T AA E =，||0A >，则其伴随矩阵*A 的一个特征值为 _________8. 已知实二次型2221,231231323(,)2624f x x x x x x ax x x x =++++正定,则常数a 的取值范围为22a -<<.二、（10分）设矩阵A 的伴随矩阵*110011102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且0A >, E BA ABA 311+=--。

《线性代数》期末考试试卷B一、(30分)填空题(E 表示相应的单位矩阵).1. 设3阶矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式|A | = 3, 矩阵B = (α2, α3, α1), 则矩阵A − B 的行列式|A − B | =______.解: (法一) |A − B | = |α1−α2, α2−α3, α3−α1| = |α1, α2−α3, α3−α1| + |−α2, α2−α3, α3−α1|= |α1, α2−α3, α3| + |−α2, −α3, α3−α1| = |α1, α2, α3| + |−α2, −α3, −α1| = |α1, α2, α3| − |α2, α3, α1| = |α1, α2, α3| − |α1, α2, α3| = 0.(法二) A − B = (α1−α2, α2−α3, α3−α1) = (α1, α2, α3)101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠= AP ,其中P =101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, |P | =101110011−−−= 0, 故|A − B | = |AP | = |A ||P | = 0.2. 若矩阵A 满足A 2 = O , 则E +A 的逆矩阵(E +A )−1 = _______.解: A 2 = O ⇒ (E +A )(E −A ) = E 2 −A 2 = E ⇒ (E +A )−1 = E −A .3. 若向量组α1 = (1, t , 1), α2 = (1, 1, t ), α3 = (t , 1, 1)的秩为2, 则参数t 满足条件___________.解: 令A = (α1, α2, α3), 则秩(A ) = 秩(α1, α2, α3) = 2 ⇒111111tt t = |A | = 0 ⇒ (t +2)(t −1)2 = 0 ⇒ t = −2或1.当t = −2时, 秩(A ) = 2; 当t = 1时, 秩(A ) = 1. 故t = −2.4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1, 矩阵B = E −2A *, 其中A *是A 的伴随矩阵, 则B 的行列式|B |= _______.解: 3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1 ⇒存在P 使得P −1AP =100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠记为Λ, 而且|A | = 1×2×(−1) = −2.故P −1A −1P = (P −1AP )−1 = Λ−1 =10001/20001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 由A *A = |A |E 可得A * = |A |A −1 = −2A −1, 于是有|B | = |P |−1⋅|B |⋅|P | = |P −1|⋅|B |⋅|P | = |P −1BP | = |P −1(E −2A *)P | = |P −1EP −2P −1A *P | = |E − 2P −1A *P |= |E + 4P −1A −1P | = |E + 4Λ−1| =500030003−= −45.5. 若矩阵A =10022312x −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与矩阵B =03y ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似, 则(x , y ) =________.解: |A | = 2(1−x ), |B | = 0, tr(A ) = 1+x , tr(B ) = 3+y . 因为矩阵A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).由此可得x = 1, y = −1. (x , y ) = (1, −1). 6. 设(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量. 若A 不可逆,则A 的另一个特征值为______, 相应的一个特征向量为__________.解: 3阶矩阵A 有非零二重特征值而且A 不可逆 ⇒ A 的另一个特征值为0.设ξ为对应于0的特征向量, 则ξ与(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 正交, 即ξ为12130x x x x −=⎧⎨−=⎩的非零解向量. 由此可得A 的一个对应于0的特征向量为ξ = (1, 1, 1)T .7. 已知3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2, 并且α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量, 其中α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T , 则Ax = b 的通解是_______________.解: 3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2 ⇒ Ax = 0的基础解系中有且仅有1个解向量.α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量 ⇒ A (α2 + α3 − 2α1) = A α2 + A α3 − 2A α1 = b + b − 2b = 0. α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T ⇒ α2 + α3 − 2α1 = (0, 2, 4)T . 可见ξ = (0, 2, 4)T 是Ax = 0的基础解系,因而Ax = b 的通解是x = k (0, 2, 4)T + (1, 1, 1)T , 其中k 为任意实数. 8. 若4阶方阵A , B 的秩都等于1, 则矩阵A +B 的行列式|A +B | = ________.解: 4阶方阵A , B 的秩都等于1 ⇒ 秩(A +B ) ≤ 秩(A )+秩(B ) = 2 < 4 ⇒ |A +B | = 0. 9. 若矩阵A =211x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠与矩阵B =1221⎛⎞⎜⎟−⎝⎠合同, 则参数x 满足条件___________.解: 设λ1, λ2为A 的特征值, µ1, µ2为B 的特征值.µ1µ2 = |B | = −5 < 0 ⇒ µ1, µ2异号 ⇒ B 的秩为2, 正惯性指数为1.A 与B 合同 ⇒ A 的秩为2, 正惯性指数为1 ⇒ λ1, λ2异号 ⇒ 2x − 1 = |A | = λ1λ2 < 0 ⇒ x < 1/2.二、(10分)计算下述行列式的值: D =111+11111+11111111x x x x −−. 解: +1111+111111111111x x x x −−=1111+111111111111x x x −−+1111+11000111111x x x x−−=0000001111x x x−−+ x111+111111x x x −− =000000x x x −−+ x 111+111111x x x −−= x 3 + x 2111+00x x x x x −−= x 3 + x 22111+000x x x x x−= x 3 + (x 4 − x 3) = x 4. 三、(15分)设线性方程组1231231233032314x x x x x x x x x λµ++=⎧⎪++=−⎨⎪−++=⎩. 问: 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有唯一解? 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有无穷多组解? 当线性方程组有无穷多组解时, 求出其通解.解: 该方程组的增广矩阵(A , b ) =1310(3)1323114λµ×−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→13100701071λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+⎝⎠→131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠. (1) 当λ ≠ −1, µ为任意实数时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 3, 此时线性方程组有唯一解.(2) 当λ = −1, µ = 1时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 2 < 3, 此时线性方程组有无穷多组解,131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠=1713100701()0000⎛⎞⎜⎟−−×−⎜⎟⎝⎠→171310010(3)0000⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎝⎠→37171010100000−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠由此可得3137127x x x +=−⎧⎨=⎩, 即3137127x x x =−−⎧⎨=⎩. 故通解为x = k (−1, 0, 1)T + (−37,17, 0)T , 其中k 为任意实数.四、(12分)设矩阵A =101012001⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, C =103101⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, 矩阵X 满足A −1X = A *C + 2X , 其中A *是A 的伴随矩阵,求X .解: |A | = −1, 在A −1X = A *C + 2X 两边同时左乘以A 得X = −C + 2AX . 故(E −2A )X = −C .(E −2A , −C ) =10210(1)0343100101(1)−−−×−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟−−×−⎝⎠→1021003431001014(2)⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟××−⎝⎠→13100120303500101−⎛⎞⎜⎟−×⎜⎟⎝⎠→5312100010100101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可得X =5312101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 五、(10分)已知向量组η1, η2, η3线性无关, 问: 参数a , b , c 满足什么条件时, 向量组a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1线性相关?解: (a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) = (η1, η2, η3)011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 令P =011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则|P | = abc + 1. 由条件可知:a η1+η2,b η2+η3,c η3+η1线性相关 ⇔ 秩(a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) < 3 ⇔ 秩(P ) < 3 ⇔ |P | = 0 ⇔ abc = −1. 六、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + 2x 22 + x 32 − 2x 1x 3.1. 写出二次型f 的矩阵;2. 求一正交变换x = Qy , 将f 变成其标准形(并写出f 的相应的标准形)；3. 求当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3)的最大值.解: 1. 二次型f 的矩阵A =101020101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.2. |λE −A | =101020101λλλ−−−= (λ−2)2λ, 可见A 的特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 0.解(2E −A )x = 0得对应于λ1 = λ2 = 2的两个正交的特征向量ξ1 = (1, 0, −1)T , ξ2 = (0, 1, 0)T ,解(0E −A )x = 0得对应于λ3 = 0的一个特征向量ξ3 = (1, 0, 1)T .令Q = (11||||ξξ,22||||ξξ,33||||ξξ) =1/00101/0⎛⎜⎜⎜−⎝, 则正交变换x = Qy 将f 变成标准形2y 12 + 2y 22.3. x T x = 1 ⇔ (Qy )T (Qy ) = 1 ⇔ y T Q T Qy = 1 ⇔ y T y = 1 ⇔ y 12 + y 22 + y 32 = 1, 此时y 12 + y 22 ≤ 1. 故当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3) = 2y 12 + 2y 22的最大值为2.七、(8分)证明题.1. 设向量组α1, α2, α3, α4中, α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, 证明: α1能由α2, α3, α4线性表示. 证明: 因为α1, α2, α3线性相关, 所以α1, α2, α3, α4线性相关.又因为α2, α3, α4线性无关, 所以α1能由α2, α3, α4线性表示.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: 矩阵A +A −1−E 也是正定矩阵.证明: 设λ1, …, λn 为A 的特征值, Λ =1n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠O . A 是n 阶正定矩阵 ⇒ 存在可逆矩阵P 使得P −1AP = Λ, 其中λ1, …, λn > 0⇒ P −1(A +A −1−E )P = P −1AP + P −1A −1P − P −1EP = Λ + Λ−1 − E =111111n n λλλλ+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠O, 其中 λ1+11λ−1, …, λn +1n λ−1> 0 ⇒ A +A −1−E 也是正定矩阵.。

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15。

线性代数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案：C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(A^2 = I\)，则\(A\) 一定是：A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案：A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案：B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(\det(A) = 0\)，则 \(A\) 的秩：A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\)，则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。

答案：82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的特征值为1，2，3，则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。

线性代数试卷一单项选择题（每题3分，共18分）1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的（）(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件；(D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式，，则行列式（）(A) 40；(B) －16； (C) －3；(D) －40。

3．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是（）(A) 向量组线性无关；(B) 对任一个，向量组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。

4．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则（）(A) 交换的第1，2行得；(B) 交换的第1，2行得；(C) 交换的第1，2列得；(D) 交换的第1，2列得。

5．设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则（）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

6．设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是的基础解系的是（）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

二填空题（每题3分，共18分）7. 已知列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量。

则＝，＝，＝。

8．设维列向量，其中。

已知矩阵可逆,且，则___ ______。

9．已知实二次型正定，则常数的取值范围为________________。

10．设矩阵，是中元素的代数余子式。

已知，，且，则。

11．设,，其中是非齐次线性方程组的解，已知为矩阵，且。

则线性方程组的通解为。

12．设，已知相似于对角阵，则= ，= 。

三计算题（每题8分，共48分）13．设，计算阶行列式。

14．设线性方程组为，试问取何值时，此线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。

设为4阶方阵，其中为4维列向量，且线性无关，。

已知向量，试求线性方程组的通解。

已知为阶矩阵，且满足 ，其中。

求矩阵。

已知；都是线性空间的基，，在基和下的坐标分别为和，且，其中： ；。

试求：(1) ；(2) 基（用线性表示）。

,考试作弊将带来严重后果！期末考试《 线性代数》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；单项选择题（每小题2分，共30分）。

．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. A=A -1B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=12-,则*A = 【 】 A. 14-B. 14C. 1-D. 1 设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D. 02131= b b a a 9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. 121{(,,,)|1}n a a a a = D. }1|),,,{(21∑=n inaa a a14. 下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. 1 -10 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1 00 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

2008 -2009学年第二学期《线性代数 B 》试卷量组1，2， ，m ， 的秩为5. 设A 为实对称阵，且AI M 0,则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x= __________ .T6. 设 R 3 的两组基为 a 11,1,1 ，a 2 1,0, 1 ，a 3 1,0,1 ；2,3,4 , 3 3,4,3 ，则由基 a !,a 2,a 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵为、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18 分）一一一-二二 -三四五六总分(共 0 0 12. A 为n 阶方阵,AA T = E 且A 0,则A E |.3•设方阵A1 2 24 t 3 , B 为三阶非零矩阵，且AB=O,则t 3114.设向量组m线性无关，向量 不能由它们线性表示，贝U 向1(1,2,1,)T ，22009年6月22日6小题，每小题3分，满分18分）、填空题 1 0 0 10 01.设D n 为n 阶行列式，则D n = 0的必要条件是[]. (A) D n 中有两行元素对应成比例； (B) D n 中各行元素之和为零； (C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组 ，，线性无关，，， 线性相关，则[](A)必可由，， 线性表示； (B)必可由，， 线性表示； (C)必可由，， 线性表示； (D)必可由，，线性表示.3.设3阶方阵A 有特征值0,— 1,1，其对应的特征向量为P i , P 2,P 3, 令1 亠( P 1, P 2, P 3)，则 P —1AP =[ ].1 0 00 0 0(A) 01 0 ；(B) 01 0 ；0 0 0 0 0 10 01 0(C) 0 10 ；(D) 0 00 .0 0 —10 0—14. 设 a 1, a, a 线性无关，则下列向量组线性相关的是[](A) a, a, a - a ；(B) a 1,a + a, a 1+ a ；(C) a +( 也， a + a, a + a ； (D) a 1- a, a - a, a - a .5. 若矩阵A a x 4有一个3阶子式不为0,则A 的秩R ( A )=[]. (A) 1； (B) 2; (C) 3；(D) 4.6. 实二次型f 二X T A X 为正定的充分必要条件是[].(A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零；(C)AI > 0 ；(D) R(A) = n .、解答题(共5小题，每道题8分，满分40分)。

线性代数B期末试卷及答案2008 – 2009学年第⼆学期《线性代数B 》试卷⼀⼆三四五六总分⼀、填空题(共6⼩题，每⼩题 3 分，满分18分）1。

设??-=*8030010000100001A ,则A ＝。

2。

A 为n 阶⽅阵，T AA =E 且=+3．设⽅阵12243,311t -??=-A B 为三阶⾮零矩阵，且AB=O ，则=t . 4。

设向量组m ααα,,,21 线性⽆关，向量不能由它们线性表⽰，则向量组,,,,21m ααα的秩为。

5．设A 为实对称阵，且｜A |≠0,则⼆次型f =x T A x 化为f =y T A —1 y 的线性变换是x = ．６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；),1,2,1(1=βT ，()()232,3,4,3,4,3ββ==T T，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 .得分6⼩题，每⼩题3分，满分18分）1.设D n为n阶⾏列式，则D n＝0的必要条件是[ ].（A）D n中有两⾏元素对应成⽐例；(B) D n中各⾏元素之和为零;(C） D n中有⼀⾏元素全为零；（D）以D n为系数⾏列式的齐次线性⽅程组有⾮零解．2．若向量组，，线性⽆关，，，线性相关，则[ ].(A)必可由，,线性表⽰；（B) 必可由，,线性表⽰;(C）必可由,,线性表⽰；(D）必可由，，线性表⽰.３．设3阶⽅阵A有特征值0，－1，1,其对应的特征向量为P1，P2，P3,令P＝（P1，P2，P3），则P－1AP＝[ ]。

（A)100010000-；（B)000010001-；（C)000010001－； (D）100000001－．４．设α1，α2，α3线性⽆关，则下列向量组线性相关的是[ ］.（A）α1，α2，α3 - α1；（B)α1，α1+α2，α1+α3；(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1； (D)α1-α2，α2—α3，α3—α1.５．若矩阵A3×4有⼀个3阶⼦式不为0，则A的秩Ｒ（A） =[ ].（A) 1； (B）2；（C）3； (D）4．６．实⼆次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件是［］.（A) A的特征值全⼤于零；（B） A的负惯性指数为零；（C）｜A| > 0 ; （D) R(A) = n .得分三、解答题（共5⼩题，每道题8分，满分40分）1。

一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18分)1. n 阶行列式122222222222322222122222n n−的值为______.2. 设矩阵001110123010,010,023*********A C D −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3阶方阵B 满足ABC D =，则1B −=______. 3. 已知2R 中两组基为ααββ===−=1212(1,1),(0,1);(1,1),(1,2),T TTT则从基αα12,到基ββ12,的过渡矩阵是 ， 已知α在基αα12,下的坐标为(3,0)T ，则α在基ββ12,下的坐标为 .4.设111101,1101a A b α−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为A 的属于特征值2−的特征向量，则a =______，b =______.5.设3阶实对称矩阵A 的秩()2r A =且A 满足22A A O −=(O 表示零矩阵)，则4I A −=______.6. 已知实二次型22212312313(,,)2f x x x x ax x x x =+++经正交变换x Py =可化为标准型221223f y y =+，则a =______.二、选择题(共 8题，每题 3分，共 24分) 1. 下列(2)n n ≥阶行列式的值必为0的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素均为0 (B) 行列式零元素的个数多于n 个 (C) 行列式零元素的个数多于2n n −个 (D) 行列式非零元素的个数比+1n 少2. 将2阶方阵A 的第二列加到第一列得方阵B ，再交换B 的第一行与第二行得单位矩阵， 则A =（ ）.（A ）0111⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）0111⎛⎫ ⎪−⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1110−⎛⎫ ⎪⎝⎭3．设A 是n 阶矩阵，O A =3，则 =−−1)(A I （ ）.（A ）2A A I +− （B ）2A A I ++ （C ）2A A I −+ （D ）2A A I −−4. 齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在3阶非零矩阵B 使得AB O =，则（ ）.中国海洋大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B卷（A ）2λ=−且0B = （B ）2λ=−且0B ≠ （C ）1λ=且0B = （D ）1λ=且0B ≠ 5. 已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同解，12,αα是对应齐次方程组0Ax =的基础解系， 则Ax b =的一般解是（ ）.（A ）1211212()2k k ββααα−+++ （B ）1211221()2k k ββααα++−+（C ）1211212()2k k ββαββ−+++ （D ）1211212()2k k ββαββ++−+6.下列矩阵中不能对角化的是（ ）.（A ）1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 1102⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C) 1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1212⎛⎫ ⎪⎝⎭注：以下两道为多选题 7. 对向量组12,,,m ααα，其中,1,2,,n i R i m α∈=，下列说法正确的是（ ）.(A)设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性相关，则12,,,m A A A ααα也线性相关 (B) 设A 为n 阶方阵，若12,,,m ααα线性无关，则12,,,m A A A ααα也线性无关(C) 12,,,m ααα线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出 (D) 若12,,,m ααα中有一个是零向量，则此向量组线性相关(E)零向量可由12,,,m ααα线性表出8. 下列说法正确的是（ ）.(A)对矩阵A 不管施行初等行变换还是初等列变换都不会改变矩阵的秩的值 (B)若A 、B 均可逆，则()()r ACB r C =(C)若n 阶方阵A 的秩()1r A n =−，则*()0r A =，其中*A 为A 的伴随矩阵 (D)若1212=(,,,),=(,,,),m n a a a b b b αβ，其中,i j a b (1,2,,;1,2,,i m j n ==)均非零，则()1T r αβ=三、计算题 (共 3题，共24分)1．（8分）已知4阶行列式42134102315211152D =−,ij A 表示第i 行第j 列元素ij a 的代数余子式，求1323432A A A ++的值。

河海大学2019–2020学年第二学期期末考试《线性代数》试题（B）卷考核方式：闭卷课程性质：必修课适用对象：2018级、2019级相关专业题号一二三四总分复核人满分102016得分一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1、设1D =3512，2D =345510200，则D =12D D O O=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（）（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2；2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（）（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=（）54100（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（）（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（）（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，mα线性无关；（B ）向量组1,α2α， ，mα若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α， ，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α， ，m α的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α， ，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，12342=-+αααα，向量41i i ==∑βα，则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同，且123,2D D ==-，则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ，则矩阵X 为（ ）.A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵，且()3R =A ，则*()R =A （ ）. A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是（ ）.A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似，则下列说法错误的是（ ）. A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则a 满足（ ）.A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2=+AX A X ，求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ，将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ，证明2不是A 的特征值。

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。

《线性代数》期末考试试卷附答案B 卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.设行列式=m ，=n ，则行列式等于（ ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2. 设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ）A. A =0B. B C 时A =0C. A 0时B =CD. |A |0时B =C 3.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 5.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为06.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解 7.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解8.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关9.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则a a a a 11122122a a a a 13112321a a a a a a 111213212223++≠≠≠1212必有（ ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3D. k>3 10.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. .2.设A =，B =.则A +2B = .3.设A =(a ij )3×3，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= .4.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .5.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .6.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .7.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 8.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 9.设矩阵A =，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 . 10.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、.设A =，B =.求（1）AB T ；（2）|4A |.11135692536=111111--⎛⎝⎫⎭⎪112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪010********---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪2、给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列7352164的逆序数为（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（ ） （A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T TA A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（ ） （A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换 （B ）左乘初等矩阵 （C ）左右同乘初等矩阵 （D ）和一个单位矩阵相加 5、 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（ ）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（ ）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示 （B ）2β可由143,,βββ 线性表示 （C ）3β可由124,,βββ 线性表示 （D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、 以下结论正确的是（ ）（A ）一个零向量一定线性无关； （B ）一个非零向量一定线性相关； （C ）含有零向量的向量组一定线性相关； （D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（ ）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（ ）（A ）实对称矩阵 （B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵 （C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 （D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)TTx y ==--，则[],x y = .10、 设向量T )2,2,3(-=α与向量Tt ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果） 1、计算4222242222422224n D =L L MM M M L L2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A . 四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,T T Tααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基 并求12(1,2,3),(2,3,1)T Tββ==-在这个基中的坐标。

一、选择题（每小题3分，共18分）1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）。

A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。

2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（ ）。

A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。

3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。

A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。

4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（ ）。

A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。

5．下列命题错误的是（ ）。

A ．相似矩阵有相同的特征多项式； B ．1n +个n 维向量必线性相关；C ．矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1T QQ -=；D ．若矩阵A 的秩是r ，并且存在1r -阶子式，则其所有的1r -阶子式全为0。

6．下列命题正确的是（ ）。

A ．若A ，B 为同阶方阵，且TA A =，则TB AB 也是对称阵；厦门大学《线性代数》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（B 卷） 2017.06.28B ．若AX AY =，且A O ≠，其中O 为零矩阵，则X Y =；C ．齐次线性方程组AX O =（A 是m n ⨯矩阵）有唯一解的充分必要条件是()r A m =；D ．设非齐次线性方程组AX b =有无穷多解，则相应的齐次线性方程组AX O =有唯一解。

2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （B ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。

(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．下列等式中正确的是（ ） A ．()222A B A AB BA B +=+++ B ．()TT T AB A B = C ．()()A B A B A B -+=-22　D ．()33A A A A -=-22.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311132213A 则21a 的代数余子式21A 的值为 （ ）A. 1.B. 1-C. 2.D. 2-3．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ） A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 4．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（ ）A ．210λ B ．021λ C ．20λD ．2λ 5．设向量组(I)：1α，2α，…r α，向量组(II)：1α，2α，…r α，1r +α，…，s α则必有（ ）。

A ．若(I)线性无关，则(II)线性无关B ．若(II)线性无关，则(I)线性无关C ．若(I)线性无关，则(II)线性相关D ．若(II)线性相关，则(I)线性相关6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121113A 的三个特征值分别是321,,λλλ，则321λλλ++的值等于（ ） A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.7.已知A 是一个43⨯阶矩阵，则下列命题正确的是( )__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………2 A. 若A 中所有三阶子式都为零，则 2.R AB. 若 2.R A则A 中所有三阶子式都为零C. 若A 中所有二阶子式都不为零，则 2.R AD. 若 2.R A则A 中所有二阶子式都不为零8.．设n 阶方阵A 的0=A 则A 的列向量（ ）A ．0)(=A RB ． 0)(≠A RC ．线性相关D ．线性无关 9.设向量组A 可由向量组B 线性表示，则有（ ）A. )()(B R A R ≤B. )()(B R A R ≥C. )()(B R A R =D. 不能确定)(A R 和)(B R 的大小. 10．设n 元线性方程组Ax =b 且为()()n b A R A R ==,，则该方程组（ ）A.有唯一解；B.有无穷多解；C.无解；D.不确定。