第三章 无动画 平面问题的直角坐标解答.ppt

多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加
上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
（3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
（4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直
（4） 特例：
ax4 ey4 （须满足：a + e =0）
y 12ax2 x 12ey2
xy 0
总结（：多项式应力函数 的性质）
（1） 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足4 0 。 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。
y

2
x2
2a
xy


2
xy

b
2a
2c
2c
x
结论2：
二次多项式对应于均匀应力分布。
y 2a xy b
例：试求图示板的应力函数。
0
0x
y
(x, y) 0 y2
2
3. 三次多项式
x
y
0
(x, y) 0xy
（1） ax3 bx2 y cxy2 dy3 其中: a、b、c 、d 为待定系数。
xy y h f x 2
y y h 0 2
xy y h 0 2
准确满足
2）检查左、右边界（次边界） x L,l 1, m 0
xy xL f x 0 满足
利用圣维南原理
要求当 x L 时,有
0
x
1）假设应力函数Φ : ay3
2）检查Φ 是否满足（2-23）
4
x4

2
4
x2y
2

4
y4
0
显然满足
3）根据（2—23）求出应力分量{；
x


2
y 2

fx x 6ay
y


2
x 2

fy y
0

xy


2
xy
其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4
4
0, 0,
0
x4
y4
x2y2
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 计算应力分量： (假定：fx=fy = 0 ; a >0 , b >0, c >0)
x

2
y2
2c
x


y)
y

1 E
(
y


x)
xy
xy
G
将式（a）代入得：
x

u x

1 E
My I
y

v y



E
My I
(c)

xy

u y

v x

0
（2）位移分量
x

u x

1 E
My I
y

v y



ELeabharlann My I(c)
xy

u y

v x

0
将式（c）前两式积分，得：
M
u EI xy f1( y)
(d)
v


M 2EI
y2

f2 ( x)
式中： f1( y), f2 (x) 为待定函数。
将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：
M EI
x
f1( y)
f 2( x)

0
整理得：
M EI
x

f 2( x)


f1( y)


2
xy

2bx
2cy
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
讨论：取 Ay3, ( fx fy 0) 可算得：
l
l
x 6Ay y 0 xy 0
h
图示梁对应的边界条件：
yh: 2
y
0, xy
0
M min 3Ah
2
M
x
x l : x 6Ay, xy 0 1 max 3Ah y
M xy EI
M
2EI
y
y2
u0 M 2EI
x2
x
(f)
v0
边界条件改写为：
u xl 0, v xl 0
y0
y0
v 0 x xl
h/2 h/2
y0
（中点不动） （轴线在端部不转动）
代入式（f），有
u0 0

M 2EI
l2
l

v0

0
u

M EI
xy y
u0
v
M
2EI
y2

M 2EI
x2
x v0
1


2v x2
M EI
常数
说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲 率相同。即
1 2v M
x2 EI
—— 材料力学中挠曲线微分方程
2. 位移边界条件的利用
（1）两端简支
其边界条件：
dy

0
2
A h3 M 2
(或A

2M h3
)
x

M I
y
可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
说明：
l
l
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。
M min 3Ah
h
2
M
x
(2) 若按其它形式分布，如：
则此结果不精确，有误差；
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u 0 xl
h y h
v 0 2
2
xl
由式（f）可知，此边界条件无法满足。
u v


0
三. 边界条件
检查所求应力分量{是否满足应力边界条件 （2-15）。（并求待定常数）
1）检查上、下边界（主边界）
x s m xy s f x xy s m y s f y
y h , l 0, m 1
2
y y h f y 2
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 0, 4 0, 4 0
x4
y4
x2y2
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 计算应力分量： (假定： f x= fy =0)
x

2
y2
2cx 6dy
y

2
x2
2by 6ax
xy
1. 一次多项式
（1） (x, y) ax by c 其中： a、b、c 为待定系数。
（2）
φ(x,y)显然满足双调和方程，
4

4
x4

2
4
x2y2

4
y4
0
因而可作为应力函数。
（3） 对应的应力分量：
x

2
y2

fxx

0
fxx

fxx
y



常数
x x0
u —— u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。
y
u |xx0 y

M EI
x0


常数
x x0
说明： 同一截面上的各铅垂 线段转角相同。
横截面保持平面 —— 材力中“平面保持平面”的假设成立。
（2） 将下式中的第二式对 x 求二阶导数：
1. 形变分量与位移分量
M
（1）形变分量
M xh
由前节可知，其应力分量为：
x

M I
y
My h3 /12
y 0 xy 0
(a)
l
y
x

1 E
My I
y



E
My I
（2）位移分量
1
xy 0
(b)
平面应力情况下的物理方程：
将式（b）代入几何方程得：
x

1 E
(

6ay

6
2M h3
y My h 1 3
12
M I
y
,
y 0 , xy 0
(3-1)
与材料力学计算结 果完全相同
关于M的符号规定：
组成 M 的应力分量随坐标的增大而增 加时，M 为“+”，反之为“-”
M
注：
x 分布规律 x
随坐标y的增 大而增加
y
1）组成梁端力偶的面力必须按线性分布，解 答（3-1）才 是完全精确的。若按其它形式分布（3-1）有误差。（即解 答为圣维南原理意义下的精确解）。
2EI
y2