2017-2018学年苏科版九年级数学课后练习：第38讲 与圆有关的计算

复习作业29 与圆有关的计算一、选择题1．[2013·淮安] 若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π2．正六边形的边心距与边长之比为( )A .3∶3B .3∶2C ．1∶2D .2∶23．要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( )A ．288°B ．144°C ．216°D ．120°4．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD.若∠A＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )A .4π3－ 3B .4π3－2 3C ．π－ 3D .2π3－ 3（第4题） （第10题）二、填空题5．圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形的面积为________cm 2.6．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为________．7．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是________．8．一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．9．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合(接缝粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是________．10．如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径OA ＝2 cm ，C 为AB ︵的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为________cm 2.三、解答题11．[2015·淮安] 如图，菱形OAB C 的顶点A 的坐标为(2，0)，∠COA ＝60°.将菱形OAB C 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到菱形ODEF.(1)直接写出点F 的坐标； (2)求线段OB 的长及图中阴影部分的面积．12．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，tan B ＝12.半径为2的⊙C 分别交AC 、BC 于点D 、E ，得到DE ︵. (1)求证：AB 为⊙C 的切线； (2)求图中阴影部分的面积．B 组：如图①，半径为R ，圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝n πR 2360.由弧长l ＝n πR 180，得S 扇形＝n πR 2360＝12·n πR 180·R ＝12lR.通过观察，我们发现S 扇形＝12lR 类似于S 三角形＝12底×高．类比扇形，我们探索扇环(如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得一部分叫做扇环)的面积公式及其应用．(1)设扇环的面积为S 扇环，AB ︵的长为l 1，CD ︵的长为l 2，线段AD 的长为h(即两个同心圆半径R 与r 的差)，类比S 梯形＝12×(上底＋下底)×高，用含l 1，l 2，h 的代数式表示S 扇环，并证明． (2)用一段长为40 m 的篱笆围成一个如图②所示的扇环花园，线段AD 的长h 为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？。

2023-2024学年苏科版九年级数学教学设计：第38讲与圆有关的计算一. 教材分析本讲内容是苏科版九年级数学的与圆有关的计算。

通过本讲的学习，学生将掌握与圆有关的基本计算方法，包括圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等。

这些计算方法在实际生活中有广泛的应用，对于培养学生的数学应用能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于与圆有关的计算方法，学生可能还不太熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生运用已学的知识解决与圆有关的问题，帮助学生建立知识体系。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握与圆有关的基本计算方法，包括圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.重点：与圆有关的基本计算方法。

2.难点：如何将实际问题转化为与圆有关的计算问题。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生运用已学的知识解决与圆有关的问题。

2.案例分析法：通过分析实际案例，使学生掌握与圆有关的计算方法。

3.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教材：苏科版九年级数学教材。

2.课件：与圆有关的计算方法的PPT。

3.案例：与圆有关的实际问题案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本讲内容，如“一个圆的直径为10cm，求这个圆的周长和面积。

”2.呈现（10分钟）教师讲解与圆有关的计算方法，包括圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等。

3.操练（10分钟）教师给出几个练习题，让学生独立完成。

题目包括计算圆的周长、面积、弧长和扇形的面积等。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，共同解决与圆有关的实际问题。

如“一个圆的半径为5cm，求这个圆的周长和面积。

”5.拓展（10分钟）教师引导学生思考与圆有关的其他计算问题，如圆的直径、半径和周长之间的关系。

圆全章复习【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC定在三角形内部三角形三条角平分线(1)(2)OABAC心在三角形内部2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识例1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过P点P 且与OA 平行（或重合）的直线与⊙O 有公共点, 设OP=x ，则的取值范围是（ ）.A ．－1≤≤1B ．≤≤C ．0≤≤ D ．＞【解析】如图，平移过P 点的直线到P′，使其与⊙O 相切，设切点为Q ，连接OQ ，由切线的性质，得∠OQP′=90°， ∵OA ∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°， ∴△OQP′为等腰直角三角形， 在Rt △OQP′中，OQ=1， OP′=2，∴当过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点时，0≤OP≤，当点P 在x 轴负半轴即点P 向左侧移动时，结果为-2≤OP ≤0． 故答案为：-2≤OP≤2．举一反三：x x x 2x 2x 2例2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF 交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴．∵，∴．∴∠C＝∠CBE．∴ CE＝BE．CF CB=CB GB=CF BC=CF GB=证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ ，， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ ，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ ，．∴ ，．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10 CB BG =CB CF =CF BC BG ==12BN BF =12CD CG =CF BC =BG BC =CF BG BC ==BF CG =ON OD =12OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系例3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴=+= ∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：类型四、圆中有关的计算例4．如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ，∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°， ∴∠DOB=60°，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∵OD=6，∴DG=3， ∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．．m D ．m第1题图 第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm 2B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm 2D.(3π+16)cm 24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．1r 2r 2680x x -+=d13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___； (2)求图(m)中n 条弧的弧长的和为____ ____(用n 表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm 2，高为3.5m ，外围高4 m 的蒙古包，至少要____ ____m 2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ． （1）证明：AF 平分∠BAC ； （2）证明：BF ＝FD.18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】由AB 为⊙O 的切线，则AB ⊥OD ．又BD ＝OB ，则AB 垂直平分OD ，AO ＝AD ，∠DAB ＝∠BAO ．由AB 、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO ＝∠BAO ＝∠DAB ．所以，∠DAB ＝∠DAC ＝26°． ∠ADO ＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C ；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO ⊥AB 于O ，∴ ∠SOA ＝∠SOB ＝90°．又SA ＝SB ，∠ASB ＝120°，∴ ∠SAB ＝∠SBA ＝，设SO ＝x m ，则AS ＝2x m ．∵ AO ＝27，由勾股定理，得(2x)2-x 2＝272，解得．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形ABCD 中，AB=2BC ，AB=8cm ， ∴ AD=BC=4cm ，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm ， ∴，∴ .4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，180120302=°-?°x =∴MN 为△POQ 的中位线， ∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程 的两实根、分别是4、2，则-<<+,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，5136010092⨯⨯=°°413608092⨯⨯=°°122680x x -+=1r 2r 1r 2r d 1r 2r圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】； ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL，∴ ，，即正八边形的边长为．．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，， 则，∴ n 条弧长的和为．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴，∴ ，1)a 22)a 2x 22x x a ⨯+=1)x a =1)a 2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-5l ==223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19. 【答案与解析】 (1)如选命题①．2036720S ππ=⨯=总BF FC =D证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°， ∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． ∴ ∠MBC ＝∠NCD ．又∵ ∠DBC ＝∠ECD ＝36°， ∴ ∠DBM ＝∠ECM ． ∴ △BDM ≌△CEN ， ∴ BM ＝CN ．(2)180n n°。

第38讲 与圆有关的计算题一：如果⊙O 半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB = 8cm ，CD = 6cm ，那么AB 与CD 之间的距离是 cm ．题二：已知在⊙O 中，半径等于13，两条平行弦AB 、CD 的长度分别为24和10，则AB 与CD 的距离为 ．题三：如图，已知点E 是圆O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点，，则46BOC ∠=︒AED ∠的度数为 ．题四：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OBC = 42°，则∠A 的度数是 ．题五：如图，直角三角形ABC 的斜边AB 在直线l 上，把△ABC 按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A ′′B ′′C ′′的位置，设BC = 1，AC A 运动到点A ″的位置时，点A 两次运动所经过的路线长为 (计算结果不取近似值)．题六：如图，把Rt △ABC 的斜边AB 放在直线L 上，按顺时针方向在L 上转动两次，使它转到△DEF 的位置，设BC ，AC = 1，则点A 运动到点D 的位置时，点A 经过的路线长是多少？点A 经过的路线与直线L 所围成的面积是多少？题七：如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，以AB 边所在的直线为轴，将△ABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是 ．题八：在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 2cm ，AB =cm ，以直角边所在的直线为轴，将△ABC 52旋转一周，则所得的几何体的全面积是 cm 2(结果保留π).参考答案题一：1或7．详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB = 8cm，CD = 6cm，∴AE = 4cm，CF = 3cm，∵OA = OC = 5cm，∴EO = 3cm，OF = 4cm，∴EF = OF－OE = 1cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB = 8cm，CD = 6cm，∴AE = 4cm，CF = 3cm，∵OA = OC = 5cm，∴EO = 3cm，OF = 4cm，∴EF = OF+OE = 7cm．题二：7或17．详解：分两种情况考虑：(i)当弦AB与弦CD在圆心O同侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，与AB交于F点，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，连接OA，OC，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∴E、F分别为CD、AB的中点，∵AB = 24，CD = 10，∴CE = DE = 5，AF = BF = 12，又∵半径OA = OC = 13，∴在Rt △AOF 中，根据勾股定理得OF = 5，在Rt △COE 中，根据勾股定理得OE = 12，则两弦间的距离EF = OE －OF = 12－5 = 7；(ii)当弦AB 与弦CD 在圆心O 异侧时，如图2所示，过O 作OE ⊥CD ，延长EO ，与AB 交于F 点，由AB ∥CD ，可得出OF ⊥AB ，连接OA ，OC ，∵OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∴E 、F 分别为CD 、AB 的中点，∵AB = 24，CD = 10，∴CE = DE = 5，AF = BF = 12，又∵半径OA = OC = 13，∴在Rt △AOF 中，根据勾股定理得：OF = 5，在Rt △COE 中，根据勾股定理得：OE = 12，则两弦间的距离EF = OE +OF = 12+5 = 17，综上，两条弦间的距离为7或17．题三：69º．详解：由B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点知，圆心角∠AOB = ∠BOC = ∠COD ，又因为，所以∠AOD = 138º，46BOC ∠=︒根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，从而有AED ∠＝69º．题四：48°．详解：连接OC ，∵OB = OC ，∠OBC = 42°，∴∠OCB = ∠OBC = 42°，∴∠BOC = 180°－∠OBC －∠OCB = 96°，∴∠A =∠BOC = 48°．12题五：．43π详解：∵在Rt △ABC 中，BC = 1，AC AB = 2，∴AB = 2BC ，∴∠CAB = 30°，∠CBA = 60°，∴∠ABA ′ = 120°，∠A ″C ″A ′ = 90°，∴点A 两次运动所经过的路线长为120241803π⨯π+=故答案为．43π题六：点A 经过的路线长是，点A 经过的路线与直线L 所围成的面积是．136π2312π详解：在Rt △ABC 中，∵BC ，AC = 1，∴∠ABC = 30°，∴∠CBF = 150°，∴点A 经过的路线长=，1502901131801806π⨯π⨯π+=点A 经过的路线与直线L 所围成的面积=．15049012336036012π⨯π⨯π+=题七：16.8π．详解：∵Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，∴AB = 5，∴AB 边上的高为3×4÷5 = 2.4，∴所得几何体的表面积是×2π×2.4×3+×2π×2.4×4 = 16.8π．1212故答案为16.8π．题八：6π或9π．详解：∵∠C = 90°，AC = 2cm ，AB =cm ，∴由勾股定理得BC = 1.5cm ，52(1)当以AC 边所在的直线旋转一周时，形成的圆锥的底面半径为1.5 cm ，母线长为cm ，52此时圆锥的全面积为πr 2+πra = 2.25π+3.75π = 6π(cm 2)；(2)当以BC 边所在的直线旋转一周时，形成的圆锥的底面半径为2 cm ，母线长为cm ，52此时圆锥的全面积为πr 2+πra = 4π+5π = 9π(cm 2)．。

课时作业二、中心对称图形------圆（二）与圆有关的计算问题一、正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪ 二、圆与三角形的关系：1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点,即三角形外接圆的圆心。

4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。

内切圆半径公式：5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心。

6、圆内接四边形的对角互补,并且每一个外角等于它的内对角。

三、计算公式：正多边形的计算：正n 边形半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形,根据这个性质可以把正n 边形的有关计算问题归纳为解直角三角形的问题。

弧长和扇形的面积：1． 弧长计算公式：因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR ,所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π,即180R π。

这样,在半径为R 的圆中, n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l =180R n π。

2．扇形面积计算公式：（1）类比弧长的计算公式可知：圆心角为n°的扇形面积与整个圆面积的比和n°与360°的比一致,因此,扇形的面积应等于圆的面积乘以扇形的圆心角占360的几分之几,即圆心角是360°的扇形面积就是圆面积S=πR 2,所以圆心角是1°的扇形面积是。

3602R π这样,在半径为R 的圆中,圆心角为的扇形面积的计算公式为：S=360n πR 2 （2）扇形面积的另一个计算公式 比较扇形面积计算公式与弧长计算公式,可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=360n πR 2化为S=180R n π·21R,从面可得扇形面积的另一计算公式：S=21lR 。

第三节 与圆有关的计算1.正多边形与圆正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形称为正多边形.注：①由定义看出，判断一个多边形是否是正多边形，边、角两个条件缺一不可，②前面学习过的等边三角形、正方形分别是正三角形、正四边形，一般地，如果正多边形有n 条边，那么称之为正n 边形．③把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心. ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． (3) 正多边形的性质可归纳为以下几点：①正多边形的各边都相等，各角都相等．②正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，有偶数条边的正多边形还是中心对称图形，它的中心是对称中心，③任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圜，这两个圆是同心圆． (4) 对于正n 边形的有关计算应掌握以下几点：①每个内角度数都等于,180)2(n n 也可写成 n360180 ②每个中心角度数为,360n a n 每个外角度数为 n 360(5)画正多边形有两种方法：用量角器等分圆；用尺规等分圆．用尺规等分圆只能对一些特殊的正多边形适用，比如：正四边形、正八边形……；正三角形、正六边形、正十二边形…… 2.弧长的计算圆周长公式：.2R c弧长公式：180Rn l（弧长为,l 圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 注：①在弧长的计算公式中，n 是表示1的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位，②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长. ③题设未标明精确度的，可以将弧长用7c 表示，④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 3.扇形面积的计算（1） 圆面积公式：.2r s（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是,0n 圆的半径为R 的扇形面积为,S 则2360R n S扇形或lR S 21 扇形 （其中l 为扇形的弧长）．（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法， ②和差法．③割补法． 4. 圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：.221rl l r s侧 （4）圆锥的全面积：.2rl r s s s 侧定全（5）圆锥的体积31底面积×高． 注：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等， ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．1.判定一个多边形是正多边形的方法通常有三种（1)定义，这种方法具有一定的普遍性，是另两种判定方法的依据，但证明的过程较繁；（2）把圆分成)3( n n 等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这种方法可以判定圆内接多边形是正多边形；（3）把圆分成)3( n n 等份，经过各分点作圆的切线，以相邻的切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，这种方法可以判定圆外切多边形是正多边形．2.在弧长公式中， 已知R n l ,,中的任意两个量，都能求出第三个量.3.求阴影面积的主要思路是将不规划图形面积转化为规则图形的面积.例1．（内蒙古包头中考）120的圆心角对的弧长是,6 则此弧所在圆的半径是( )3.A4.B 9.C 18.D检测1．（贵州遵义中考）如图4-3-1，半圆的圆心为0，直径AB 的长为12，C 为半圆上一点， AC CAB ,30的长是( )134 234 33412.A 6.B 5.C 4.D例2．已知圆内接正六边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则 r R a ：：——3:1:1.A 3:2:2.B 3:2:1.C 3:2:1.D检测2．（山东济南二模）如图4-3-2所示，半径为r 的圆形纸片在边长为)332(r a a的正六边形内部任意移动，则在正六边形内部这个圆形纸片“不能接触到的面积”是______例3．（山东枣庄模拟）如图4-3-3所示，在半径为2，圆心角为90的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积为( )1. A 12. B 21. C 2. D检测3．(1)（河北石家庄一模）如图4-3-4所示，在平行四边形ABCD 中，,4,2 AB AD ,30A 以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ．连接CE ，则阴影部分的面积是______（结果保留 )；(2)（重庆巴蜀一模）如图4-3-5所示，在Rt△ABC 中，,1,90 BC AC ACB将Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30后得到,ADE Rt 点B 经过的路径为,BD 则图中阴影部分的面积是_____例4．（广东珠海校级一模）如图4-3-6所示，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径,2cm r 扇形的圆心角,120求该圆锥的高h 的长，434 534 634检测4．（江苏模拟）小明家收获一堆粮食，（如图4-3-7所示）在门前操场上堆成圆锥形，用皮尺测得底面圆周长为25.12m ，粮食堆成的高度为3m ，为防止淋雨，至少需要面积为_____塑料薄膜才能将其盖住 （取3.14）．例5．如图4-3-8所示，已知圆锥的底面半径为,20cm r 高,1520cm h 现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短距离______734 834 934检测5．如图4-3-9所示，一只纺锤可近似看作由两个圆锥拼合而成，.3,9,18 r AD AB(1)求纺锤的表面积；(2)一只蚂蚁要从C 点出发绕这只纺锤爬一圈回到原地，求蚂蚁爬过的最短路线长．第三节 与圆有关的计算建议用时 40分钟实战演练1．如果一个正多边形的中心角为,72那么这个正多边形的边数是( )4.A5.B6.C7.D2．（山东泰安二模）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是( )3:2:1.A 4:3:2.B 2:3:1.C 3:2:1.D3．（上海普陀区二模）如果圆形纸片的直径是8cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过( )cm A 2. cm B 32. cm C 4. cm D 4.4．（河南三门峡二模）如图4-3—1所示．AB 与⊙O 相切于点B ．AO 的延长线交⊙O 于点C ．连接BC ，若,3,120 OC ABC则BC 的长为( ).A 2.B 3.C 5.D134 234 3345．（广东深圳一模）一个底面半径为5cm ，母线长为16cm 的圆锥，它的侧面展开图的面积是( )280.cm A 240.cm B 280.cm C 240.cm D6．（四川成都中考）如图4-3-2所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若,50OCA ,4 AB 则 BC 的长为( )310.A 910.B 95.C 185.D7．用半径为30cm ，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为( )cm A 10. cm B 30. cm C 45. cm D 300.8．（广东深圳中考）如图4-3-3所示，在扇形AOB 中,90AOB 正方形CDEF 的顶点C 是 AB 的中点，点D 在OB上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( )42. A 84. B 82. C 44. D9．边长为6的正六边形外接圆半径是______10.（黑龙江大庆一模）如图4-3-4所示，△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为AB 边的中点，以CD 为直径画圆，则图中阴影部分的面积为_______ 11．如图4-3-5所示，已知正五边形,//,CD AF ABCDE 交DB 的延长线于点F ．则DFA =_______度．434 534 63412.（山东东明县一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图4-3-6所示是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上．设定AB 边如图，则△ABC 是直角三角形的个数有_______． 13.如图4-3-7所示，点M ，N 分别是正八边形相邻的边AB ，BC 上的点，且,BN AM 点0是正八边形的中心，则MON ————734 83414.（山东威海中考）如图4-3-8所示，正方形ABCD 内接于⊙O 其边长为4，则⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为 15.如图4-3-9所示，有一堆圆锥形的稻谷，垂直高度,24m CO 底面⊙O 的直径 AB B m ,4处有一小猫想去捕捉母线AC 中点D 处的老鼠，求出小猫绕侧面前行的最短距离．93416.如图4-3 - 10所示．(1)在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积； (2)若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径； (3)能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．103417.在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图4-3-11所示．(1)通过计算（结果保留根号与丌）．①图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______cm ； ②图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 _______cm ； ③图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______cm;(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径，1134拓展创新18.如图4-3 - 12所示，一个直角三角形两条直角边分别为3cm 和4cm ，以直角边AC 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，在虚线框内画出这个几何体的草图，求这个几何体的表面积.1234拓展1．如图4 -3 - 13所示，一个直角三角形两条直角边分别为3cm 和4cm ，以直角边BC 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，在虚线框内画出这个几何体的草图，求这个几何体的表面积，1334拓展2.如图4 -3 -14所示，一个直角三角形两条直角边分别为3cm 和4cm ，以斜边AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，在虚线框内画出这个几何体的草图，求这个几何体的表面积．1434极限挑战19.（浙江金华模拟）如图4-3 -15所示，在正三角形GHT 上截得一个每一个内角都相等周长为20的六边形ABCDEF ，又.3,4 EF AF(1)连结AE ，则AE 的长为______(2)已知设,x AB 六边形ABCDEF 的面积为y ，则y 的最大值为________1534。

第30讲圆与圆的位置关系的应用题一：下图是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在．．．的位置关系是( )A外离 B内切 C外切 D相交题二：两圆的位置关系有多种，图中的卡通形象中不存在的位置关系是．题三：若两圆仅有一个公共点，则两圆的位置关系是_______．题四：若两圆有两个公共点，则两圆的位置关系．题五：已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是．题六：已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范围是( )A．0<d<2 B．1<d<2 C．0<d<3 D．0≤d<2题七：已知⊙O的半径为2cm，P为⊙O内一点，且OP = 0.5cm，以P为圆心的⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为．题八：如图，⊙O的半径为4 ，点P是⊙O外一点，OP = 6，求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？题九：已知两圆外切，圆心距为5，若其中一个圆的半径是3，则另一个圆的半径是( )A．8 B．5 C．3 D．2题十：圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为( )A．1 B．3 C．1或2 D．1或3题十一：已知两个圆的半径之比为3:5，两圆内切时，圆心距为6，则两圆的半径分别是；这两圆外切时，圆心距为．题十二：两圆的半径之比为4:3，外切时两圆圆心距是28厘米，则两圆内切时的圆心距为厘米第30讲圆与圆的位置关系的应用题一：B．详解：观察图形，五个圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆有两个公共点，即相交．因此它们的位置关系有外离、外切、相交．故选B．题二：相交．详解：由图中的卡通形象可以看到圆与圆的位置关系有外切、内切、内含、外离，没有相交这种位置关系．题三：外切或内切．详解：根据定义可知，两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．外切和内切可以统称为相切．题四：相交．详解：根据圆与圆之间的位置关系可知：两圆有两个公共点，则两圆相交．题五：相交．详解：根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)．∵两圆半径之差2cm＜圆心距3cm＜两圆半径之和8cm，∴两圆的位置关系是相交．题六：D．详解：根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)．因此，由题意知，两圆内含，则0≤d＜3－1．故选D．题七： 1.5cm或2.5cm．详解：如图，直径AB经过P点，当AP为⊙P的半径时，⊙P与⊙O相切，此时⊙P的半径AP = OA－OP = 1.5cm；当BP为⊙P的半径时，⊙P与⊙O相切，此时⊙P的半径BP = OB+OP = 2.5cm；所以，⊙P的半径为1.5cm或2.5cm．题八：(1)2；(2)10．详解：(1)若两圆外切，则小圆⊙P的半径为6－4 = 2；(2)若两圆内切，则大圆⊙P的半径为6+4 = 10．题九：D．详解：根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)．∵两圆外切，圆心距为5，若一个圆的半径是3，∴另一个圆的半径= 5－3 = 2．故选D．题十：D．详解：根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)．因此，两圆相切可能外切或内切．当两圆外切时，另一个圆的半径为1(1＋1＝2)；当两圆内切时，另一个圆的半径为3(3－1＝2)．故选D．题十一：9，15；24．详解：设两圆半径分别为3x，5x，内切时，5x－3x = 6，解得x = 3，∴两圆半径分别为9，15．外切时，圆心距= 9+15 = 24．题十二：4．详解：∵两圆的半径之比为R1：R2 = 4：3，两圆外切时圆心距是28厘米，∴R1+R2 = 28；联立两式可得R1 = 16，R2 = 12，∴两圆内切时的圆心距为R1－R2 = 4厘米，故答案为4．。

与圆有关的
计算(第2.1~2.8节复习)
1．B ⊙O的半径为10cm，弦AB//CD，
AB=16 cm，CD=12 cm，则AB、CD间的距离是_________.
2．B 如图，⊙M的半径为2，弦AB长为，以AB为直径作圆O，点C在⊙M的优弧上
运动，且AC交圆O于E， CB交圆O于D. 求∠C的度数.
3．B 如图，把R t△ABC的斜边放在直线l上，按顺时针方向转动一次，使它转到
△A’BC’ 的位置. 若BC=1，∠A=30°. 求点A运动到A’位置时，点A经过的路线长及扫过区域的面积.
4．B Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把它分别沿三边所在直线旋转一周，求所得的三个几何体的全面积.
5．B 如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC//RQ，则∠AOR=（）
A. 30°
B. 65 °
C. 72 °
D. 75 °
6．C 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和△ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是________.
——————————————————
与圆有关的计算(第2.1~2.8节复习) 1．2 cm或14 cm
2．60°
3．4
3
π
，
4
3
π
4．以AC所在直线为轴时，全面积为36π；以BC所在直线为轴时，全面积为24π；
以AB所在直线为轴时，全面积为84
5
π
.
5．D. 6．4.。

第15讲圆的定义及垂径定理题一：如图，一条赛道的急转弯处是一段AC，点O是这段弧所在圆的圆心，AC=10m，B是AC上一点，OB⊥AC，垂足为D，BD=1m，求这段弯路的半径．题二：如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，且BC是BC边上高的6倍，求BC的长.题三：有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位时下宽AB=24m，水面到拱顶距离CD=8m，当洪水泛滥时，水面宽MN=10m，求水面到拱顶距离DE．题四：如图为桥洞的形状，其正视图由CD和矩形ABCD构成的，O点为CD所在⊙O的圆心，点O又恰好在水面AB处，若桥洞跨度CD为8米，拱高EF为2米(OE⊥弦CD于点F )．(1)求CD所在⊙O的半径DO；(2)若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．第15讲圆的定义及垂径定理题一： 13m ． 详解：∵OB ⊥AC ，AC =10m ， ∴AD =21AC =5m ， 设OA =OB =r ，∵BD =1m ，∴OD =OB BD = (r )m ，在Rt △AOD 中，∵AD 2+OD 2=OA 2，∴52+(r)2=r 2， 解得：r =13(m)，∴这段弯路的半径是13m ．题二： 6 cm.详解：连结AO 交BC 于D ，连结BO ， 由AB ＝AC 得AB =AC ， 由垂径定理可得AO 垂直平分BC ，∵BC 是BC 边上高的6倍，设AD ＝x cm ，则BD ＝3x cm ，∴OD ＝(5)x -cm ，在Rt △BOD 中，2225(3)(5)x x -=-，解得11x =，20x =(舍去)，∴BD ＝3 cm ，BC ＝6 cm.题三： 1m ．详解：设OA =R ，在Rt △AOC 中，AC =12m ，CD =8m ，∴R 2=122+(R 8)2= 144+R 216R +64，解得R =13(m)，连接OM ，设DE =x (m)，在Rt △MOE 中，ME =5(m)，∴132=52+(13x )2，解得x 1=1，x 2=25（不合题意,舍去），∴DE =1m ．题四： (1)5米，(2)4米．详解：(1)∵OE ⊥弦CD 于点F ，CD 为8米，EF 为2米，∴EO垂直平分CD，∴DF=4m，FO=(DO) m，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，∴DO2=(DO)2+42，解得：DO=5m，∴CD所在⊙O的半径DO为5m；(2)如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿以中点O为中心通过，连接MO，∵MN=6m，∴MY=YN=3m，在Rt△MOY中，MO2=YO2+MY2，∴52=YO2+32，解得：YO=4m，∴船能通过桥洞时的最大高度为4m．。

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】 专题13与圆有关的计算问题【方法指导】1.垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．2.圆心角与圆周角（1）在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（2）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．3.圆内接四边形：（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．4. 正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．4.圆的有关计算：（1）扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr（2）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（3）阴影部分的面积计算常通过添加辅助线转化为规则图形的面积的计算.【题型剖析】【类型1】垂径定理及应用【例1 】（2019•泰州一模）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上任意一点，AB ＝3，则△ABC 周长的最大值是（）A．2 3 B．3 3 C．2 3 D．9【分析】当点C在中点时，△ABC周长最大，然后根据AB＝3计算即可．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2＝32＝9，AC+BC，当S△ABC最大时，AC+BC最大，∵S△ABC AB•CD，当点C在中点时，CD＝CO AB为最大，此时S△ABC最大，S△ABC，即AC+BC最大，△ABC周长的最大值＝AC+BC+AB3．故选：B．【变式1-1】（2019•滨湖区一模）如图，在⊙O中，已知弦AB长为16cm，C为的中点，OC交AB于点M，且OM：MC＝3：2，则CM长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】连接OA，根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理列式计算，得到答案．【解析】连接OA，∵C为的中点，∴，∴OC⊥AB，∴AM AB＝8，设OM＝3a，则CM＝2a，∴OC＝5a，由勾股定理得，OA2＝AM2+OM2，即（5a）2＝82+（3a）2，解得，a＝2（负值舍去），则CM＝2a＝4（cm），故选：B．【变式1-2】（2019•吴兴区校级一模）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】连接OA，根据垂径定理求出OM⊥AB，求出AM长，根据勾股定理求出OA即可．【解析】连接OA，∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，OM过O，∴AM＝BM＝4，OM⊥AB，∴由勾股定理得：OA5，故选：C．【类型2】弧弦圆心角之间分关系【例2】（2019•东台市模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．【解析】∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴，∴∠ADC∠BOC＝25°．故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．【变式2-1】（2019秋•连云港期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，BC＝3．劣弧BC沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O．当对角线BD最大时，则弦AB的长是（）A．B．2C．D．2【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，如图，利用垂径定理得到BH BC，再根据折叠的性质得到OH OB，则∠OBH＝30°，于是可计算出OH，OB，接着利用BD为直径时，即BD＝2时，对角线BD最大，根据圆周角得到此时∠BAD＝90°，再判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算出AB的长．【解析】作OH⊥BC于H，连接OB，如图，则BH＝CH BC，∵劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O，∴OH OB，∴∠OBH＝30°，∴OH BH，∴OB＝2OH，当BD为直径时，即BD＝2时，对角线BD最大，则此时∠BAD＝90°，∵AB＝AD，∴此时△ABD为等腰直角三角形，∴AB BD2．故选：A．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了折叠的性质和垂径定理．【变式2-2】（2018秋•邗江区校级月考）如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°【分析】在△AOB中，由OA＝OB，∠OAB＝α得∠OBA＝α，∠AOB＝180°﹣2α，分别取各选项的特殊值代入分析即可得解．【解析】∵在△AOB中，OA＝OB，∠OAB＝α∴∠OBA＝α，∠AOB＝180°﹣2α∴当α＝36°时，∠AOB＝180°﹣2×36°＝108°108×5＝540°∵转360°恰好位于点A，540°﹣360°＝180°＞108°∴此时不位于弧AB上，A错误；当α＝60°时，∠AOB＝60°，60×5＝300°∴此时小华还没到达点A，故C错误；当α＝60°时，∠AOB＝60°，60×5＝300°当α＝90°时，点B在圆外，不符合题意，故D错误；故选：B．【类型3】圆周角定理【例3】（2019秋•滨湖区期末）在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝3，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．30°B．45°C．30°或150°D．45°或135°【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．【解析】如图所示，连接OA，OB，则OA＝OB＝3，∵B＝3，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，故选：D．【变式3-1】（2019秋•海州区校级期中）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2 C．D．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时CP最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解析】∵∠ABC＝90°，。