8.4整式的乘法(1)

数学初二上册整式的乘法数学初二上册整式的乘法是指在整式之间进行乘法运算，下面将详细介绍整式的乘法运算原理及应用。

整式（也称为代数式）是由多项式经过加、减、乘及其运算得来的，它是变量及其系数的有限和。

整式的一般形式可以表示为：f(x) = aₙₓⁿ + aₙ₋₁ₓⁿ⁻¹ + ... + a₁ₓ + a₀其中，aₙₓⁿ为整数系数，x为变量，n为非负整数。

整式的乘法运算即是将两个整式相乘得到新的整式。

首先，我们来看整式乘法的步骤：Step 1:将被乘数和乘数按照竖式排列，并对齐。

例如，计算(2x + 3) * (4x - 5)：```(2x + 3)* (4x - 5)```Step 2:从被乘数的个位开始，依次与乘数的每一位相乘。

```(2x + 3)* (4x - 5)__________8x² - 10x <-- (2x * 4x) + (3 * -5)```Step 3:上一步的结果需要与被乘数的下一位继续相乘，并最终相加。

```(2x + 3)* (4x - 5)__________8x² - 10x <-- (2x * 4x) + (3 * -5)- 10x² + 15x <-- (3 * 4x) + (2x * -5)```Step 4:将所有相乘的结果相加得到最终结果。

```(2x + 3)* (4x - 5)__________8x² - 10x <-- (2x * 4x) + (3 * -5)- 10x² + 15x <-- (3 * 4x) + (2x * -5)__________- 2x² + 5x - 15```因此，(2x + 3) * (4x - 5)的结果是-2x² + 5x - 15。

整式乘法的应用非常广泛，特别在代数中的各种问题解决中起着重要作用。

在解方程、推导公式、求极限、求导数等数学运算中，整式的乘法都扮演着至关重要的角色。

章节测试题1.【题文】[ab(1-a)-2a(b-)]·(2a3b2);【答案】-2a5b3- 2a4b3+2a4b2【分析】先算括号内的乘法，再合并，最后算乘法即可．【解答】解：原式=（ab-a2b-2ab+a）·(2a3b2)=(-a2b-ab+a)·(2a3b2)=-2a5b3- 2a4b3+2a4b2.2.【题文】;【答案】m5n2+m4n2-m3n【分析】根据多项式乘多项式法则展开，再计算单项式的积即可得. 【解答】解：原式=m5n2+m4n2-m3n.3.【题文】计算：（）．（）．（）．【答案】(1) ;(2) ;(3)【分析】按照整式的乘法和除法法则进行运算即可.【解答】解：（）,．（）,,．（）,．4.【题文】先化简，再求值：，其中满足【答案】原式【分析】先求出x、y的值，再把原式化简，最后代入求出即可．【解答】解：原式，∵，∴，原式.5.【题文】阅读后作答:我们知道,有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示,例如(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图1所示的面积关系来说明.(1)根据图2写出一个等式;(2)已知等式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,请画出一个相应的几何图形加以说明.【答案】(1) 2a2+5ab+2b2;(2)见解析【分析】根据图2写出等式即可；根据已知等式画出相应图形即可．【解答】解：(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.(2)等式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq可以用以下图形面积关系说明:6.【题文】计算：(32x5－16x4＋8x2)÷(－2x)2【答案】8x3－4x2＋2【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．根据多项式除以单项式的计算法则得出答案．【解答】解：原式＝8x3－4x2＋27.【题文】若关于x的多项式(x2＋x－n)(mx－3)的展开式中不含x2和常数项，求m，n的值．【答案】m＝3，n＝0.【分析】本题考查了利用多项式的不含问题求字母的值，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可.【解答】解：原式＝mx3＋(m－3)x2－(3＋mn)x＋3n，由展开式中不含x2和常数项，得到m－3＝0，3n＝0，解得m＝3，n＝0.8.【题文】计算：(1)x·x7；(2)a2·a4＋(a3)2；(3)(－2ab3c2)4；(4)(－a3b)2÷(－3a5b2)．【答案】(1) x8；(2) a6＋a6＝2a6；(3) 16a4b12c8；(4)原－a.【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算；（2）先算幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项；（3）根据积的乘方法则计算；（4）先算积的乘方，再算单项式除以单项式.【解答】解：(1)x·x7= x8；(2)a2·a4＋(a3)2= a6＋a6=2a6；(3)(－2ab3c2)4=16a4b12c8；(4)(－a3b)2÷(－3a5b2)=a6b2÷(－3a5b2)= ．9.【题文】已知一个长方形的面积为（6x2y+12xy﹣24xy3）平方厘米，它的宽为6xy厘米，求它的长为多少厘米？【答案】（x+2﹣4y2）厘米．【分析】利用矩形面积公式，结合整式的除法运算法则求出答案．【解答】解：∵一个长方形的面积为（6x2y+12xy﹣24xy3）平方厘米，它的宽为6xy厘米，∴它的长为：（6x2y+12xy﹣24xy3）÷6xy=（x+2﹣4y2）厘米．10.【题文】化简：a(3－2a)＋2(a＋1)(a－1).【答案】3a－2.【分析】先去括号，然后再合并同类项即可.【解答】解：原式＝3a－2a2＋2(a2－1)＝3a－2a2＋2a2－2＝3a－2.11.【题文】先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝－2.【答案】-6【分析】先分别利用平方差公式、单项式乘多项式进行展开，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可得.【解答】解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4，当x＝－2时，原式＝－2－4＝－6.12.【题文】先化简，再求值：，其中，【答案】，14．【分析】先根据整式的乘法计算化简，然后代入求值即可.【解答】解：原式当时，原式13.【题文】已知，求的值【答案】【分析】根据完全平方公式、单项式乘以单项式的乘法法则、平方差公式把所给的整式展开，合并同类项化为最简后，再代入求值即可.【解答】解：原式=当原式=5.14.【题文】先化简，再求值：(3x－y)2+(3x+y)（3x－y) ,其中x=1，y=-2.【答案】30【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值．【解答】解：.当时，原式=.15.【题文】计算：（1）6mn2·（2－mn4）＋（－mn3）2；（2）（1＋a）（1－a）＋（a－2）2（3）（x＋2y）2－（x－2y）2－（x＋2y）（x－2y）－4y2．【答案】（1）12mn2- 7m2n6；（2）-4a+5；（3）-x2+8xy．【分析】（1）根据单项式乘多项式法则和积的乘方法则计算后，再合并同类项即可；（2）根据乘法公式计算后，再合并同类项即可；（3）根据乘法公式计算后，再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式=12mn2- 6m2n6-m2n6=12mn2- 7m2n6（2）原式=1-a2+a2-4a+4=-4a+5（3）原式=x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2-x2+4y2－4y2=-x2+8xy16.【题文】计算：(2m-3)(2m+5) -(4m-1).【答案】【分析】先进行多项式乘法运算，然后再合并同类项即可.【解答】解：原式=.17.【题文】计算：(a-b)(a+b)+2ab3÷ab【答案】【分析】按运算顺序先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行后面的除法运算，然后再合并同类项即可.【解答】解：原式==.18.【题文】已知(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的展开式中不含x2和x3项，求p，q的值．【答案】p＝3，q＝1.【分析】根据整式的乘法，化简完成后，根据不含项的系数为0求解即可.【解答】解：∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）=x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q．∵乘积中不含x2与x3项，∴p﹣3=0，q﹣3p+8=0，∴p=3，q=1．19.【题文】老师在黑板上写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了多项式,形式如下:-(a2+4ab+4b2)=a2-4b2(1)求所捂的多项式;(2)当a=-1,b=时求所捂的多项式的值.【答案】(1)2a2+4ab(2)0【分析】（1）所捂的多项式是被减式，根据被减式=减式+差求解；（2）把a，b的值代入到（1）中所求的多项式中求值.【解答】解：(1)所捂多项式=a2-4b2+a2+4b2+4ab=2a2+4ab;(2)当a=-1,b=时,所捂多项式=2×(-1)2+4×(-1)×=2-2=0.20.【题文】先化简，再求值：(1)(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝；(2)(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－3.【答案】（1）－4a＋5；3；（2）x2－5；4.【分析】（1）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：(1)原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5．当a＝时，原式＝－4×＋5＝3．(2)原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5．当x＝－3时，原式＝(－3)2－5＝4．。

冀教版数学七年级下册8.4《整式的乘法》教学设计2一. 教材分析冀教版数学七年级下册8.4《整式的乘法》是整式乘法运算的基础内容。

本节课主要让学生掌握单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则，并能灵活运用这些法则进行整式的乘法运算。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步理解和掌握整式乘法的运算方法。

二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了整式的加减运算，对整式的基本概念和运算规则有一定的了解。

但是，对于整式的乘法运算，学生可能还存在以下问题：1. 对整式乘法运算的理解不够深入，容易混淆；2. 运算法则的记忆不够牢固，容易出错；3. 缺乏实际的操作经验，对于如何将乘法法则应用到具体题目中还有一定的困难。

三. 教学目标1.理解整式乘法的运算法则；2. 能够运用整式乘法的运算法则进行简单的整式乘法运算；3. 培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.整式乘法的运算法则；2. 如何将乘法法则应用到具体题目中。

五. 教学方法采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，通过教师的讲解和示范，学生的练习和讨论，使学生理解和掌握整式乘法的运算法则，并能够灵活运用。

六. 教学准备1.教材；2. 投影仪；3. 的黑板；4. 练习题；5. 教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习整式的加减运算，引导学生思考整式的乘法运算，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现整式乘法的运算法则，并通过例题进行讲解和示范。

3.操练（10分钟）学生根据教师给出的例题，进行模仿练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。

4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师选取部分学生的作业进行讲评，巩固学生对整式乘法运算的理解和掌握。

5.拓展（10分钟）学生分组讨论，探索整式乘法的运算规律，分享自己的发现，教师进行总结和讲解。

6.小结（5分钟）教师引导学生对整式乘法运算进行总结，巩固所学知识。

冀教版数学七年级下册8.4《整式的乘法》教学设计1一. 教材分析冀教版数学七年级下册8.4《整式的乘法》是整式乘除单元的重要内容。

本节内容通过实例引入整式乘法，让学生掌握整式乘法的基本法则和运算技巧。

教材从实际问题出发，引导学生探究整式乘法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整式的基本知识，对加减乘除运算有了初步了解。

但学生在进行整式乘法运算时，容易出错，对乘法分配律的理解不够深入。

因此，在教学过程中，需要帮助学生巩固整式乘法的基本规则，引导学生发现运算规律，提高运算速度和准确性。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握整式乘法的基本法则，能够熟练进行整式乘法运算。

2.过程与方法：通过实例探究，让学生理解并掌握整式乘法的运算过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：整式乘法的基本法则和运算过程。

2.难点：乘法分配律的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入整式乘法，让学生在实际问题中感受数学的价值。

2.启发式教学法：引导学生主动探究整式乘法的运算规律，培养学生的逻辑思维能力。

3.小组合作学习：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示整式乘法的运算过程和实例。

2.练习题：准备一些整式乘法的练习题，用于巩固所学知识。

3.板书设计：设计板书，突出整式乘法的基本法则和运算规律。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如计算商品的折扣，引入整式乘法的学习。

激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何进行整式乘法运算。

2.呈现（10分钟）展示整式乘法的运算过程，让学生观察和思考。

通过讲解和示范，使学生掌握整式乘法的基本法则。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流。

8.4 整式的乘法（1） 单项式乘以单项式学习目标：1、探索并了解单项式乘以单项式的法则；(重点)2、灵活运用单项式乘以单项式的法则进行运算．（难点） 自主学习(7分钟)自学79页单项式乘以单项式的内容,完成下列问题1.练习：（1）下列计算对不对？如果不对，应当怎样改正：①623623a a a =⋅② 422632x x x =⋅③ 2221243x x x =⋅ ④15531535y y y =⋅2.归纳：单项式与单项式相乘,把它们的_______、________分别相乘， 其余字母则___________________.三、合作探究运用单项式乘以单项式的法则时，可按如下三个步骤进行： 一是先把各因式的__________相乘，作为积的系数；二是把各因式的______相乘，底数不变，指数相加；三是只在一个因式里出现的________，连同它的________作为积的一个因式。

随堂练习1.下列计算中，正确的是（ ）A.2a ³·3a ²=6a 6B.4x ³·2x 5=8x 8C.2x ·2x 5=4x 5D.5x ³·4x 4=9x 72.计算: （1）)(22xy x -⋅ （2）abc b a 41)2(2⋅-(3) )3()2(222ab c a -⋅- (4) 222)3()2(y x xy ⋅-归纳反思:单项式乘以单项式法则：当堂检测1.下列运算正确的是（ ）A.x ²·x ³=x 6B.x ²+x ²=2x 4C.(-2x)²=-4x ²D.(-2x ²)(-3x ³)=6x 52.化简()3223x x ⋅-的结果是（ ）A.56x -B. 53x -C. 52xD. 66x -3.计算: （1）)3(5222y x y x -⋅（2）)5(212xy xy -⋅-(3) (－a )·(－a)²·a ³（4）23)2(xyyz x ⋅-()22421)5(xy y x xy ⋅⋅-（6）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-3222214y y x y x拓展延伸：1.已知n m y x 2132+-与m n y x ---364的积与y x 4-是同类项,求m 、n 的值.。