退化系统的对数正态δ冲击维修模型

基于性能预测的优化
通过引入性能预测模型，预测设备的未来性能趋势，并根据 预测结果做出更换设备的决策。这种方法需要考虑设备的性 能预测精度和不确定性等因素。
04
联合决策方法
基于退化系统的维护与更换关联模型
基于设备退化过程的维护和更换关联模型
设备性能随时间逐渐降低，当性能降低到一定程度时，需要进行维护或更换。通过建立维护和更换的关联模型， 可以更准确地预测设备状态并制定相应的维护和更换策略。
考虑维护和更换成本的关联模型
在建立维护和更换关联模型时，需要考虑两者的成本。通过优化维护和更换的决策，可以降低总成本并提高设备 整体性能。
基于多目标优化算法的联合决策
多目标优化算法
针对设备维护和更换的联合决策问题， 需要同时考虑多个目标，如维护成本、 更换成本、设备性能等。通过使用多目 标优化算法，可以找到综合考虑所有目 标的最佳联合决策。
研究框架
首先对相关文献进行综述，明确 研究问题和目标；然后建立设备 性能退化模型，并进行参数估计 和模型验证；最后通过模拟实验 和实证分析验证模型的有效性， 并提出相应的管理策略。
02
基于退化系统的设备维护策略
设备退化模型
01
02
03
线性退化模型
假设设备的性能随时间线 性下降，适用于设备性能 随时间均匀下降的情况。
将其他影响因素如维护人员、 维护时间和维护资源等纳入研 究中，以更全面地优化设备维 护和更换决策。
加强与其他领域的交流与合作 ，借鉴和吸收先进的研究方法 和思路，推动设备维护和更换 联合决策的研究与发展。
THANKS。
基于时间序列分析的更换决策
通过分析设备的历史数据，利用时间序列分析方法预测设备的未来性能趋势， 进而根据预测结果做出更换设备的决策。这种方法需要收集设备的历史数据， 并进行数据处理和分析。

Strategy of Imperfect Maintenance Replacement Based on Censored Shock Model 作者： 贺澜[1];孟宪云[1]
作者机构： [1]燕山大学理学院,河北秦皇岛066004
出版物刊名： 运筹与管理
页码： 100-106页
年卷期： 2019年 第8期
主题词： 截断δ-冲击模型;N型更换策略;失效门限值;失效状态;几何过程
摘要：本文在截断δ-冲击模型的基础上,考虑了因系统劣化而导致的冲击失效门限值与维修时间的变化,扩充失效状态,从而提出一种新的截断δ-冲击模型。

以最小费用为目标,稳态可用度为约束条件,建立N型更换策略的不完全维修更换策略模型,并给出三种常用冲击到达间隔分布的期望寿命。

最后通过算例验证模型的有效性,并对参数进行灵敏度分析。

Ｊ １ ２ １ ｕ． ０ １
两 阶段 退化单部件 系统 的视 情维护和备件供 给策略建模
蒋云鹏 陈茂银 周东华
（ 华 大 学 自动 化 系 ， 京 ，０ ０ ４ 清 北 １０８） 摘 要 ： 虑 了 存 在 两 阶 段 退 化 的 单 部 件 不 可 修 系 统 ， 先 建 立 了 系统 的 两 阶 段 退 化 模 型 ， 退 化 过 程 分 为 正 常 考 首 将 （ ｏｍａ） Ｎ ｒ １阶段 和 缺 陷 （ ｅｅｔ阶 段 ， 常 阶 段 利 用 统 计 模 型 描 述 ， 缺 陷阶 段 利 用 Ｇａ Ｄ ｆｃ） 正 而 ｍｍａ过 程 描 述 。在 周期 检 测 的情况下 ， 结合 控 制 限视 情 维 护 策 略 和 控 制 限备 件 订 购 策 略 ， 析 了一 个 更新 周期 内所 有 可 能 出现 的 结 果 。 分 最 后 给 出 了优 化 模 型 ， 以最 小化 系统 长期 平均 总体 费 用 率 。 用
Ｇａ ｌ（ ２ １ ， ， 中 Ｇａ ｌ （ ｈ ） ） （ ａ ｈ 一＾ ） ） 其 （ 口 ＾ 一 ， 的
形式 为
／ （ ＾） （ １， ）＝ ， ＝ ＝ 二 ’
短 缺造 成 的单 位 时间损 失 备 件存储 的单位 时 间
费用 。
２） １ｅｌ芳（ 一． … ｘ一 ）） “ ） 』 １ 。＿ 、 － ｌ｛ ｙ ｐ １
备 件从 订 购 到获 得有 交 付 时间 ， 为 ｒ 。为 了研 记
究 方便 ， 认为其 是采 样 时间 的整 数倍 。
１ ５ 费用率 ．
描 述方 便 ， 坐标 轴 做 变换 ｈ ｍｕ和 Ｙ 一Ｘ 对 ：ｔ 一 Ｘ 即用 （ ＾一。 ， ｙ ）≥ 代替 （ 伽 。（ ≥ 有如 下特 性 ： Ｘ） ｙ） 。

Imperfect maintenance decision for a deteriorating system based on shock model
作者： 王小林[1];程志君[1];郭波[1];郭驰名[1]
作者机构： [1]国防科技大学信息系统与管理学院,长沙410073
出版物刊名： 系统工程理论与实践
页码： 2380-2386页
年卷期： 2011年 第12期
主题词： δ-冲击模型;几何过程;不完全维修;N型更换策略
摘要：以针对冲击夫效劣化系统，提出一种新的δ－冲击失效模型，并基于该模型研究了N 至更换策略下的不完全维修决策方法．首先通过扩充失效状态，在δ－冲击模型的基础上建立新的δ－冲击失效模型；其次以最小平均费用率为目标、可用度为约束，建立了N型更换策略下系统的不完全维修决策模型；最后用一个算例验证了该方法的合理性，并分析了参数对策略Ⅳ的
灵敏度．。

基于截断δ-冲击模型的不完全维修更换策略贺澜; 孟宪云【期刊名称】《《运筹与管理》》【年(卷),期】2019(028)008【总页数】7页(P100-106)【关键词】截断δ-冲击模型; N型更换策略; 失效门限值; 失效状态; 几何过程【作者】贺澜; 孟宪云【作者单位】燕山大学理学院河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】O2240 引言冲击模型是可靠性理论的重要分支之一，其在经济、管理、电子、通信、医学等领域具有广泛的应用前景。

根据冲击对系统造成的影响，可将冲击模型分为四类：累积模型、极端值模型、连续模型、δ-冲击模型。

近几年来，累积模型与、δ-冲击模型成为人们研究的重点。

累积模型指对系统逐次冲击的累积值达到失效门限值后，系统失效。

文献[1]研究了基于预防性维修及不完全检测的冲击模型维修策略。

李海霞[2]等研究了修理工多重休假及定期检测的累积冲击模型。

文献[3]在传统冲击模型的基础上，考虑系统劣化而导致的冲击门限值变化，提出推广的累积冲击模型；δ-冲击模型指当相邻两次冲击到达时间间隔小于给定参数时，系统失效。

当冲击量大小无法观察得到时，δ-冲击模型具有明显的优势。

文献[4～7]研究了δ-冲击模型的理论性质。

王冠军[8]等给出δ-冲击模型的可靠性指标，并研究以费用为目标函数的最优更换策略。

文献[9]将单阈值故障推广为多阈值故障。

岳德权[10]等研究两种失效状态下，考虑系统劣化而导致维修时间增大的最优维修策略。

截断δ-冲击模型是δ-冲击模型的推广，其含义为：当相邻两次冲击的时间间隔大于给定参数时系统失效。

截断δ-冲击模型在工程、医学、管理等众多领域应用广泛。

例如，可靠性工程中，系统需要定期养护或者使用，若超过最长允许时间系统则会报废；医学中，依靠药物维持生命的病人须在一定范围内服药，否则会出现生命危险；客户关系中，若顾客超过一定时间仍无响应，则公司将会重修或放弃与客户的关系[11]。

马明[12]等研究了截断δ-冲击模型的参数估计问题。

第62卷 第1期吉林大学学报(理学版)V o l .62 N o .12024年1月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J a n 2024d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023183Y u le -F u r r y 经典δ冲击模型的寿命性质马 明,拉毛措,彭 博,马 岚,黄 嫒(西北民族大学数学与计算机科学学院,兰州730030)摘要:采用取条件法㊁概率法和矩母函数法研究Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型的寿命问题,给出该模型的可靠度㊁矩母函数㊁寿命的矩等寿命性质的显式表达式,并将该模型的平均寿命应用在细胞癌变问题中进行数值验证.关键词:Y u l e -F u r r y 过程;经典δ冲击模型;可靠度;平均寿命中图分类号:O 213.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2024)01-0035-14L i f e t i m eP r o p e r t i e s o fY u l e -F u r r y Cl a s s i c a l δS h o c k M o d e l MA M i n g,L A M a o c u o ,P E N GB o ,MA L a n ,HU A N G A i (S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e rS c i e n c e ,N o r t h w e s tM i n z uU n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730030,C h i n a )A b s t r a c t :W eu s e dt a k i n g c o n d i t i o n m e t h o d ,p r o b a b i l i t y m e t h o da n d m o m e n t g e n e r a t i n g fu n c t i o n m e t h o d t o r e s e a r c h t h e l i f e t i m e p r o b l e mo fY u l e -F u r r y c l a s s i c a l δs h o c k m o d e l ,a n d g a v e t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n s o f t h e l i f e t i m e p r o p e r t i e s s u c ha s r e l i a b i l i t y ,m o m e n t g e n e r a t i n g fu n c t i o na n dm o m e n t o f l i f e t i m e o f t h em o d e l .T h em e a n l i f e t i m eo f t h em o d e lw a s a p p l i e d t o t h e p r o b l e mo f c e l l c a r c i n o g e n e s i s a n dn u m e r i c a l l y ve r if i e d .K e y w o r d s :Y u l e -F u r r yp r o c e s s ;c l a s s i c a l δs h o c km o d e l ;r e l i a b i l i t y ;m e a n l i f e t i m e 收稿日期:2023-05-09.第一作者简介:马 明(1971 ),男,回族,博士,教授,从事可靠性理论与数理关系营销的研究,E -m a i l :mm 9252@q q .c o m.通信作者简介:拉毛措(1996 ),女,藏族,硕士,从事可靠性数学理论的研究,E -m a i l :2242674488@q q .c o m.基金项目:中央高校基本科研业务费专项基金(批准号:31920210019)和甘肃省高等教育教学成果培育项目(批准号:2021G S J X C G P Y -03).1 引言与预备知识系统在运行过程中随机受某些外部因素的影响,如环境温度㊁机械参数㊁电流等,这些因素可能导致某些硬件的性能降低从而引起系统故障.为研究这类系统的可靠性,本文把这些外部因素视为可能导致系统故障的随机冲击,通过研究冲击系统的可靠度㊁平均寿命㊁冲击度等可靠性指标和寿命性质,预测该系统的寿命,从而给出相关更换策略,防止系统突发故障.因此,冲击模型在可靠性理论中具有重要意义.δ冲击模型是冲击间隔引起系统失效的冲击模型,关于δ冲击模型的基础研究目前已有很多结果,例如:L i 等[1]和李泽慧等[2]研究了冲击是按齐次P o i s s o n 过程到达的δ冲击模型;唐风琴等[3]研究了基于时倚P o i s s o n 过程的δ冲击模型;L i 等[4]将齐次P o i s s o n 过程进行一般化,研究了非齐次P o i s s o n δ冲击模型;E r y i l m a z [5]研究了冲击过程为P o l y a 过程的δ冲击模型.关于δ冲击模型的扩展研究目前也有一些成果,例如:W a n g 等[6]研究了间隔服从独立同分布的δ冲击模型与极端冲击模型相结合的混合冲击模型;P a r v a r d e h 等[7]分别讨论了混合δ冲击模型下模型Ⅰ(当连续两次冲击之间的时间小于阈值δ,或单个冲击幅度大于阈值γ时,系统失效)和模型Ⅱ(当连续两次冲击之间的时间小于一个阈值δ,或累积冲击幅度大于一个固定的阈值γ时,系统失效)的生存函数和寿命T 的L a pl a c e 变换;L o r v a n d 等[8]扩展了P a r v a r d e h 等[7]的研究,建立了混合δ冲击模型下具有多状态的系统,并推导了该系统在完全工作状态下和部分工作状态下的生存函数及相应的前两个矩;J i a n g [9]研究了冲击是按照P o i s s o n 过程到达的具有多失效阈值的广义δ冲击模型,分析并推导了平均成本率和平稳可用性,在可用性约束下,通过数值计算得到了最优的订货替换策略;K u s 等[10]研究了连续冲击之间的到达间隔时间属于一类矩阵指数分布的δ冲击模型的混合δ冲击模型,得到了系统寿命的L a p l a c e -S t i e l t j e s 变换的矩阵形式;G o y a l 等[11]研究了冲击过程为P o i s s o n 广义G a mm a 过程的δ冲击模型,推导了生存函数与平均寿命的关系,并研究了一些相关的随机性质.文献[12-14]给出了相关δ冲击模型的一些新成果.上述结果都是在冲击间隔服从独立同分布或冲击到达率不变的前提下研究的,但在实际应用中,系统遭受的冲击强度并非恒定.本文将讨论冲击到达率线性变化的Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型,建立Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型,给出Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型的系统冲击度及平均冲击度,给出可靠度的显式表达式及其性质,并讨论寿命T 的矩母函数和L a p l a c e 函数,给出该模型的平均寿命r 阶矩,最后给出该模型的一个实例.下面给出一些相关定义和引理.定义1[15] 设计数过程{X (t ),t ȡ0}是一个连续时间M a r k o v 链,给定常数λ>0,m =1,2, .若对∀t ȡ0,h >0,n =m ,m +1, ,{X (t ),t ȡ0}满足:1)X (0)=m ;2)P (X (t +h )-X (t )=1X (t )=n )=n λh +ο(h );3)P (X (t +h )-X (t )ȡ2X (t )=n )=ο(h ).则称{X (t ),t ȡ0}是一个参数为(m ,λ)的Y u l e -F u r r y 过程,也称为线性纯生过程,记作{X (t ),t ȡ0}~Y F P (m ,λ),其中λ称为生率系数,m λ称为初始生率.定义2[16] 事件点在时间轴上随机分布的现象称为随机点过程,简称点过程,记作Ψ.给定一个点过程Ψ,对于∀t >0,n =1,2, ,用N (t )表示在[0,t )上发生的事件点个数,S n 为第n 个事件点发生的时刻,Z n 表示第(n -1)个和第n 个事件点的时间间隔,其中Z 1表示首次冲击时刻,则随机过程{N (t ),t ȡ0},{S n ,n =1,2, },{Z n ,n =1,2, }分别称为点过程Ψ的点数过程㊁点时过程㊁点距过程,常用点过程的这3种随机过程表征随机点过程Ψ.定义3[16] 设{N (t ),t ȡ0}是点过程Ψ的点数过程,给定正整数m ,对∀t ȡ0,令X (t )=N (t )+m ,如果{X (t ),t ȡ0}~Y F P (m ,λ),则称Ψ是一个参数为(m ,λ)的Y u l e -F u r r y 点过程,记作Ψ~[Y F P (m ,λ)].引理1[15] 设点过程Ψ~[Y F P (m ,λ)].{N (t ),t ȡ0},{S n ,n =1,2, },{Z n ,n =1,2, }分别是Ψ的点数过程㊁点时过程㊁点距过程,则Ψ有以下性质(其中规定00=1):1)对于t ȡ0,点数N (t )服从参数为(m ,e-λt)的非负值负二项分布,其分布列为P (N (t )=n )=m +n -1æèçöø÷n e -mλt (1-e -λt )n , n =0,1, ; 2)对于n =1,2, ,点距Z 1,Z 2, ,Z n 相互独立且Z n 服从参数为(n +m -1)λ的指数分布,即Z n的生存函数为췍F Z n (t )=e -(n +m -1)λt ,t ȡ0,0,t <0{;3)若m =1,则对于n =1,2, ,点时S n 的分布函数为P (S n ɤt)=(1-e -λt )n ,t ȡ0,0,t <0{.定义4[17]对于非负随机变量X 和Y ,若∀t ȡ0,有P (X >t )ȡP (Y >t),则称X 随机地大于Y ,记作X ȡs tY .63 吉林大学学报(理学版) 第62卷引理2[17] 若X ȡs tY ,则E X ȡE Y .2 Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型考虑一个在连续时间尺度上运行的系统,该系统遭受外部随机冲击,假设冲击按一个参数为(m ,λ)的Y u l e -F u r r y 点过程到达,如果相邻两次冲击间隔小于给定的正实数δ,则系统失效(假设首次冲击时刻小于δ,系统也失效),这样的模型称为Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型.该模型定义如下:定义5[16] 设随机点过程Ψ~[Y F P (m ,λ)],{Z n ,n =1,2, }是Ψ的点距过程,给定实数δ>0,定义失效前总冲击次数M =i n f {n Z n <δ,n =1,2, }及系统寿命T =ðMn =1Z n ,规定i n f Ø=ɕ,其中Ø表示空集,则称系统寿命T 遵循冲击参数为(m ,λ)㊁失效参数为δ的Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型,记作T ~S M {[Y F P (m ,λ)],D (δ)}.下面讨论S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)}系统的冲击度㊁可靠度㊁矩母函数及平均寿命等指标.若无特殊说明,均记{N (t ),t ȡ0},{S n ,n =1,2, },{Z n ,n =1,2, }分别为点过程[Y F P (1,λ)]的点数过程㊁点时过程㊁点距过程.记(x )+=ma x {x ,0},规定若a >b ,则ðbi =axi=0.3 冲击度首先讨论点距Z i (i =1,2, )与系统失效前总冲击次数M 之间的关系.M 的分布列通常称为冲击度.定理1 在S M {Y F P (1,λ),D (δ)}中,系统的冲击度和平均冲击度分别为P (M =n )=(1-e -n λδ)e -n (n -1)λδ/2, n =1,2, 和E M =ðɕn =1e -n (n -1)λδ/2.(1) 证明:首先根据定义5,可得P (M =1)=P (Z 1<δ)=1-e -λδ.当n ȡ2时,由于P (M >n )=P (Z 1ȡδ,Z 2ȡδ, ,Z n ȡδ)=e -n (n +1)λδ/2,(2)P (M >n -1)=P (Z 1ȡδ,Z 2ȡδ, ,Z n -1ȡδ)=e -n (n -1)λδ/2,(3)因此由式(2)和式(3)得P (M =n )=P (M >n -1)-P (M >n )=e -n (n -1)λδ/2-e -n (n +1)λδ/2=(1-e -n λδ)e -n (n -1)λδ/2.(4)可知式(4)包含了P (M =1)的情形.由于正项级数ðɕn =1n (1-e -n λδ)e-n (n -1)λδ/2收敛,所以E M 存在,即E M =ðɕn =1n (1-e -n λδ)e -n (n -1)λδ/2.(5)事实上,一方面,由于l i m n ңɕ(n +1)e -n (n +1)λδ/2n e-n (n -1)λδ/2=l i m n ңɕ1+1æèçöø÷n e -n λδ=0<1,所以级数ðɕn =1ne -n (n -1)λδ/2收敛(同理,级数ðɕn =1n e -n (n +1)λδ/2也收敛);另一方面,数列1-e -n λδ在(0,ɕ)上单调有界,其界为(0,1),根据A b e l 判别法知,级数ðɕn =1n e -n (n -1)λδ/2(1-e-n λδ)收敛.从而易得E M =ðɕn =1n e-n (n -1)λδ/2-ðɕn =1n e -n (n +1)λδ/2=ðɕn =0(n +1)e -n (n +1)λδ/2-ðɕn =1n e -n (n +1)λδ/2=73 第1期 马 明,等:Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型的寿命性质ðɕn =0e-n (n +1)λδ/2+ðɕn =0n e -n (n +1)λδ/2-ðɕn =1n e -n (n +1)λδ/2=ðɕn =1e -n (n -1)λδ/2.(6)在式(6)中,由于l i m n ңɕe -(n +2)(n +1)λδ/2e -n (n +1)λδ/2=l i m n ңɕe -(n +1)λδ<1,因此级数ðɕn =0e-n (n +1)λδ/2收敛同理ðɕn =1e -n (n -1)λδ/2()也收敛.证毕.一般将式(2)中的P (M >n )称为系统的累积冲击度.4 可靠度下面给出S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)}系统可靠度的精确表达式.定理2 设T ~S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)},则系统可靠度为췍F T (t )=e -λt ðt /δn =0e-n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ))n , t ȡ0,(7)其中⌊t /δ表示不超过实数t /δ的最大整数.证明:对于∀t ȡ0,有P (T >t )=ðɕn =1P (T >t ,M =n )=P (T >t ,M =1)+ðɕn =2P (T >t ,M =n ),(8)其中{M =1}表示首次冲击导致系统失效,即T =Z 1ɤδ,则P (T >t ,M =1)=P (Z 1>t ,Z 1ɤδ)=0,t ȡδ,e -λt -e -λδ,0ɤt <{δ=e -λt -e -λδe -λ(t -δ)+.(9) 下面考虑n ȡ2的情形.由于{M =n }={n -1<M ɤn }且事件{M =n }发生时T =S n ,因此P (T >t ,M =n )=P (S n >t ,n ȡM >n -1)=P (S n >t ,M >n -1)-P (S n >t,M >n )=P (S n >t M >n -1)P (M >n -1)-P (S n >t M >n)P (M >n ).(10)由于点距Z i (i =1,2, ,n )服从参数为i λ的指数分布,因此由指数分布无记忆性得P (S n >t M >n -1)=P (S n >t Z 1ȡδ,Z 2ȡδ, ,Z n -1ȡδ)=P (S n >(t -(n -1)δ)),根据引理1中3)可得P (S n >(t -(n -1)δ))=1-(1-e -λ(t -(n -1)δ))n ,t ȡ(n -1)δ,1,t <(n -1){δ=1-(1-e -λ(t -(n -1)δ)+)n ,即P (S n >t M >n-1)=1-(1-e -λ(t -(n -1)δ)+)n .(11)同理P (S n >t M >n )=P (S n >t -nδ)=1-(1-e -λ(t -n δ)+)n .(12)将式(11),(3),(12),(2)依次代入式(10),得P (T >t ,M =n )=e -n (n -1)λδ/2[1-e -n λδ-(1-e -λ(t -(n -1)δ)+)n +e -n λδ(1-e -λ(t -n δ)+)n ].(13)式(13)包含了式(9),即n =1的情形.把式(13)代入式(8)得P (T >t )=ðɕn =1e -n (n -1)λδ/2[(1-e -n λδ)+e -n λδ(1-e -λ(t -n δ)+)n -(1-e -λ(t -(n -1)δ)+)n ].(14) 由定理1注意到e -n (n -1)λδ/2(1-e -n λδ)=P (M =n ),且ðɕn =1e-n (n -1)λδ/2(1-e -n λδ)=1,(15)所以83 吉林大学学报(理学版) 第62卷P (T >t )=1+ðɕn =1e -n (n -1)λδ/2[e -n λδ(1-e -λ(t -n δ)+)n -(1-e -λ(t -(n -1)δ)+)n ]=1+ðɕn =1e -n (n +1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n -e-n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -(n -1)δ)+)[]n .(16)当n =0时,e-n (n +1)λδ/2(1-e-λ(t -n δ)+)n=1,于是,式(16)可写为P (T >t )=ðɕn =0e-n (n +1)λδ/2(1-e-λ(t -n δ)+)n-ðɕn =1e-n (n -1)λδ/2(1-e-λ(t -(n -1)δ)+)n .(17)对式(17)中的第二项变量替换再合并,即P (T >t )=ðɕn =0e-n (n +1)λδ/2(1-e-λ(t -n δ)+)n-ðɕn =0e-n (n +1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n +1=ðɕn =0e-n (n +1)λδ/2e -λ(t -n δ)+(1-e-λ(t -n δ)+)n .由于当t ȡ0时,对∀n =1,2,,有(1-e-λ(t -n δ)+)n=(1-e -λ(t -n δ))n ,t ȡn δ,0,t <n δ{,因此P (T >t )=e-λt ðt /δn =0e-n (n -1)λδ/2(1-e-λ(t -n δ))n .证毕.根据定理2易得如下推论.推论1 若对于0<δ1<δ2,T δ1~S M {[Y F P (1,λ)],D (δ1)},T δ2~S M {[Y F P (1,λ)],D (δ2)},则有T δ1ȡs t T δ2.证明:由式(7)知,对于∀t ȡ0,有P (T δ1>t )=e -λt ðt /δ1n =0e -n (n -1)λδ1/2(1-e -λ(t -n δ1))n ,P (T δ2>t )=e -λt ðt /δ2n =0e-n (n -1)λδ2/2(1-e -λ(t -n δ2))n .由于0<δ1<δ2,故有以下关系:ðt /δ1n =0e-n (n -1)λδ1/2(1-e -λ(t -n δ1))n ȡðt /δ2n =0e-n (n -1)λδ1/2(1-e-λ(t -n δ1))n ,且对于0ɤn ɤt /δ2,有e -n (n -1)λδ1/2ȡe -n (n -1)λδ2/2>0, (1-e -λ(t -n δ1))n ȡ(1-e -λ(t -n δ2))n >0,其中n =0时等号成立.从而ðt /δ2n =0e-n (n -1)λδ1/2(1-e -λ(t -n δ1))n ȡðt /δ2n =0e-n (n -1)λδ2/2(1-e-λ(t -n δ2))n ,于是对于∀t ȡ0有ðt /δ1n =0e-n (n -1)λδ1/2(1-e -λ(t -n δ1))n ȡðt /δ2n =0e-n (n -1)λδ2/2(1-e-λ(t -n δ2))n ,故P (T δ1>t )ȡP (T δ2>t ).由定义4知,T δ1随机地大于T δ2.证毕.下面给出S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)}系统的存活概率,即直到时刻t 有n 次冲击发生但系统还未失效的概率(一般用췍P n (t )表示).推论2 对于t ȡ0,n =0,1, ,S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)}系统的存活概率为93 第1期 马 明,等:Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型的寿命性质췍P n (t )=e -n (n -1)λδ/21-e -λ(t -n δ)+1-e -λæèçöø÷t n . 证明:由于{T >t ,N (t )=n }⇔{N (t )=n ,M >n },因此췍P n (t )=P (T >t N (t )=n )=P (T >t ,N (t )=n )P (N (t )=n )=P (M >n ,N (t )=n )P (N (t )=n ).由定义5及引理1中1)得P (N (t )=0,M >0)=P (N (t )=0)=e -λt ,则췍P 0(t )=P (T >t N (t )=0)=P (M >0,N (t )=0)P (N (t )=0)=1.(18) 当n =1,2, 时,由于{N (t )=n ,M >n }⇔{S n ɤt <S n +1,M >n },所以P (N (t )=n ,M >n )=P (S n ɤt <S n +1,M >n )=P (S n ɤt <S n +1M >n )P (M >n ).(19)由于点距Z i (i =1,2, ,n )服从参数为i λ的指数分布,因此由指数分布无记忆性及引理1中1)得P (S n ɤt <S n +1M >n )=P (S n ɤt <S n +1Z 1ȡδ,Z 2ȡδ, ,Z n ȡδ)=P (S n ɤt -n δ<S n +1)=P (N (t -n δ)=n )=e -λ(t -n δ)+(1-e-λ(t -n δ)+)n .(20)将式(20)和式(2)代入式(19)可得P (N (t )=n ,M >n )=e-n (n +1)λδ/2e -λ(t -n δ)+(1-e -λ(t -n δ)+)n ,(21)从而对于n =1,2, ,∀t ȡ0,由式(21)和引理1中1)得췍P n (t )=e -n (n +1)λδ/2e -λ(t -n δ)+(1-e -λ(t -n δ)+)n e -λt (1-e-λt )n =e -n (n -1)λδ/21-e -λ(t -n δ)1-e -λæèçöø÷t n ,t ȡn δ,0,t <n ìîíïïïδ=e -n (n -1)λδ/21-e -λ(t -n δ)+1-e -λæèçöø÷t n .(22)易见,式(22)包含了式(18)即n =0的情形,所以式(22)对n =0,1,都满足.证毕.5 矩母函数下面给出S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)}系统寿命T 的矩母函数.定理3 设T ~S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)},则寿命T 的矩母函数为ϕT (t )=ðɕn =1e -(n λ-2t )(n -1)δ/2(1-eδ(t -n λ))ᵑnk =1k λk λ-t, t ɤa ,(23)且在任意区间(-ɕ,a ]上是一致收敛的,其中0<a <λ.证明:由定义5可得ϕT (t )=E e x p t ðMn =1Z {}()n =ðɕn =1E e x p t ðnk =1Z {}k M =()n P (M =n ).(24)由于点距Z k (k =1,2, )服从参数为k λ的指数分布,因此当n =1时,E (e x p {t Z 1}Z 1<δ)=λλ-t 1-e -δ(λ-t )1-e-λδ, t ʂλ;(25)当n >1时,E e x p t ðnk =1Z {}k M =()n =E [e t Z nZ n <δ]ᵑn -1k =1E [e t Zk Z k ȡδ].(26)由指数分布的无记忆性得E [e x p {t Z k }Z k ȡδ)]=e t δk λk λ-t, t <k λ, k =1,2, ,n -1,(27)E [e x p {t Z n }Z n <δ)]=1-e -δ(n λ-t )1-e-n λδn λn λ-t , t ʂn λ.(28)04 吉林大学学报(理学版)第62卷将式(27),(28)代入式(26)得E e x p t ðn k =1Z {}k M =()n =e (n -1)t δ-e (t -λ)n δ1-e -n λδᵑnk =1k λk λ-t , t <λ,(29)式(29)包含了式(25)即n =1的情形,将式(29),(4)代入式(24)可得式(23).下面考虑级数ðɕn =1e-(n λ-2t )(n -1)δ/2(1-eδ(t -n λ))ᵑnk =1k λk λ-t的一致收敛性.首先,对∀n ȡ1,有e-(n λ-2t )(n -1)δ/2ɤe-λ(n -2)(n -1)δ/2, 1-e -δ(n λ-t )<1.其次,讨论ᵑnk =1k λk λ-t的上界.当k =1时,设∀a ȡ0,使得满足-ɕ<t ɤa <λ,则λλ-t ɤλλ-a,而对∀n ȡ2,有ᵑnk =2k λk λ-t ɤᵑnk =2k λk λ-λ<n ,所以e-(n λ-2t )(n -1)δ/2(1-eδ(t -n λ))ᵑnk =1k λk λ-t <λλ-an e -(n -2)(n -1)λδ/2,又由于级数ðɕn =1n e-(n -2)(n -1)λδ/2收敛因为l i m n ңɕ(n +1)λe -(n -1)n λδ/2n e -(n -2)(n -1)λδ/2=l i m n ңɕ1+1æèçöø÷n e -(n -1)λδ=0<æèçöø÷1,因此级数ðɕn =1e-(n λ-2t )(n -1)δ/2(1-e-δ(n λ-t ))ᵑnk =1k λk λ-t在t ɪ(-ɕ,a ]上一致收敛,即矩母函数ϕT(t )在(-ɕ,a ]上存在.证毕.由于寿命T 的L a p l a c e 变换L T (t )和矩母函数ϕT (t )有以下关系:L T (t )=ϕT (-t ),所以由定理3易得如下推论.推论3 寿命T 的L a pl a c e 函数为L T (t )=ðɕn =1e-(n λ+2t )(n -1)δ/2(1-e-δ(t +n λ))ᵑnk =1k λk λ+t, t ȡ-a ,(30)其中0<a <λ.6 寿命的矩定理3表明,矩母函数ϕT (t )的级数形式在(-ɕ,a ]上一致收敛,由于矩母函数的存在域(-ɕ,a ]包含0,所以ϕT (t )在该存在域内的各阶导数存在,且T 的各阶矩都存在.定理4 设T ~S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)},则系统失效前平均寿命为E T =1λðɕk =1e-k (k -1)λδ/2k.(31) 证明:首先讨论级数ðɕk =1e -k (k -1)λδ/2k 的收敛性.由于l i m k ңɕk e -k (k +1)λδ/2(k +1)e-k (k -1)λδ/2=l i m n ңɕ1-1k +æèçöø÷1e -k λδ=0,显然,级数ðɕk =1e -k (k -1)λδ/2k 收敛.下面用3种方法证明式(31)成立.1)可靠度法.若ʏɕ0췍F T (t )d t <ɕ,则E T =ʏɕ0췍FT(t )d t ,所以先考虑可靠性函数的积分,由式(7)得14 第1期 马 明,等:Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型的寿命性质ʏɕ0췍F T (t )d t =ʏɕ0ðɕn =0e -λt e-n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n d t .(32)设A >0,式(32)等号右边可写成ʏɕ0ðɕn =0e -λt e-n (n -1)λδ/2(1-e-λ(t -n δ)+)nd t =l i mA ңɕʏA 0ðɕn =e -λt e-n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n d t .(33) 级数ðɕn =0e -λt e-n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n 在t ɪ[0,A ]上一致收敛.事实上,首先,对于t ɪ[0,A ],有0<e -λt e -n (n -1)λδ/2ɤe-n (n -1)λδ/2,而l i m n ңɕne-n (n -1)λδ/2=l i m n ңɕe-(n -1)λδ/2=0<1,于是级数ðɕn =0e-n (n -1)λδ/2收敛,所以正项级数ðɕn =0e -λt e-n (n -1)λδ/2在[0,A ]上一致收敛;其次,对于∀n ȡ0和∀t ɪ[0,A ],有(1-e-λ(t -n δ)+)nɤ1,所以函数(1-e -λ(t -n δ)+)n 在[0,A ]上一致有界;最后,考虑在固定t ɪ[0,A ]的条件下,函数列(1-e-λ(t -n δ)+)n 关于n 的单调性.为方便讨论,令f(x )췍(1-e -λ(t -x δ)+)x =(1-e-λ(t -x δ))x ,0<x ɤt δ,0,x >t δìîíïïïï.(34)由式(34)易知,当x >t δ时,d [f (x )]d x =0也可证明f ᶄt æèçöø÷δæèçöø÷=0;当0<x <t δ时,f (x )=(1-e-λ(t -x δ))x>0,两边取对数得l n f (x )=x l n (1-e -λ(t -x δ)),(35)对式(35)两边求导可得d [f (x )]d x=f (x )l n (1-e -λ(t -x δ))-λδx e -λ(t -x δ)1-e -λ(t -x δéëêêùûúú)<0,即函数(1-e -λ(t -x δ))x 关于x 单调递减,于是函数列(1-e-λ(t -n δ)+)n 关于n 单调递减.所以,根据A b e l 判别法知,函数项级数ðɕn =0e-λt e-n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ))n 在[0,A ]上一致收敛.下面讨论函数g (t )췍e -λt e-n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n 在[0,A ]上的连续性.对于g (t )=e -λt e -n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ))n ,t >n δ,0,t ɤn δ{,首先,在t ɪ(-ɕ,n δ)和t ɪ(n δ,ɕ)内,g (t )各段都是由初等函数构成的,所以在各自区间内g (t )连续;然后,考虑点t =n δ处的连续性,对于∀n ȡ1,由于l i m t ң(n δ+0)g (t )=l i m t ңnδe -λt e -n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ))n =0=g (n δ),即g (t )在点t =n δ处连续,因此g (t )在t ɪ(-ɕ,ɕ)上连续.由于级数ðɕn =0e -λt e -n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ))n 关于t 在[0,A ]上一致收敛,且函数项在[0,A ]上连续,因此该级数可逐项积分,即ʏA0ðɕn =0e -λt e-n (n -1)λδ/2(1-e-λ(t -n δ)+)nd t =ðɕn =0e -n (n -1)λδ/2ʏA 0e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)n d t,(36)对于n =0,1,,有ʏA0e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)nd t =ʏAn δe -λt (1-e -λ(t -n δ))n d t ,A ȡn δ,0,A <n {δ=(1-e -λ(A -n δ)+)n +1(n +1)λe -n λδ.(37)将式(37)代入式(36),再代入式(33),(32)得ʏɕ0췍F T (t )d t =1λl i m A ңɕðɕn =0e -n (n +1)λδ/2n +1(1-e -λ(A -n δ)+)n +1.(38)24 吉林大学学报(理学版) 第62卷下面讨论级数ðɕn =0e -n (n +1)λδ/2n +1(1-e -λ(A -n δ)+)n +1关于A 的一致收敛性.由于l i m n ңɕ(n +1)e -(n +2)(n +1)λδ/2(n +2)e-n (n +1)λδ/2=l i m n ңɕ1-1n +æèçöø÷2e -(n +1)λδ=0<1,因此级数ðɕn =0e -n (n +1)λδ/2n +1收敛.此外,对于∀A >0,有(1-e -λ(A -n δ)+)n +1ɤ1,函数列(1-e-λ(A -n δ)+)n +1关于n 单调递减(前面已证得函数列(1-e -λ(t -n δ)+)n 在t ɪ[0,A ]上关于n 单调递减),于是,级数ðɕn =0e -n (n +1)λδ/2n +1(1-e -λ(A -n δ)+)n +1关于A 在(0,ɕ)上一致收敛,且函数e -n (n +1)λδ/2n +1(1-e -λ(A -n δ)+)n +1在(0,ɕ)上连续.因此,式(33)等号右边极限与和号的次序可以交换,即l i m A ңɕðɕn =0e -n (n +1)λδ/2n +1(1-e -λ(A -n δ)+)n +1=ðɕn =0e -n (n +1)λδ/2n +1l i m A ңɕ(1-e -λ(A -n δ)+)n +1=ðɕn =0e -n (n +1)λδ/2n +1,将其代入式(38)得E T =ʏɕ0췍F T (t )d t =1λðɕn =0e -n (n +1)λδ/2n +1=1λðɕn =1e -n (n -1)λδ/2n. 2)取条件法.由双期望公式得E (T )=E [E (T M )]=ðɕn =1E (Z 1+Z 2+ +Z n M =n )P (M =n )=E (Z 1M =1)P (M =1)+ðɕn =2E (Z 1+Z 2+ +Z n M =n )P (M =n ).(39)易知E (Z 1M =1)P (M =1)=E (Z 1Z 1<δ)P (Z 1<δ)=1λ(1-e -λδ-λδe -λδ).(40)当n >1时,E (Z 1+Z 2+ +Z n M =n )=ðn -1i =1E (Z iZ i ȡδ)+E (Z n Z n <δ[]),给定条件Z i ȡδ(i =1,2, ,n -1)下点距Z i 的条件期望为E (Z i -δZ i ȡδ)=E (Z i )=1i λ,则E (Z i Z i ȡδ)=δ+1i λ, E (Z n Z n <δ)=1n λ-δe -n λδ1-e -n λδ,于是ðn -1i =1E (Z i Z i ȡδ)+E (Z n Z n <δ)=(n -1)δ+ðni =11i λ-δe -n λδ1-e-n λδ.(41)将式(41),(40),(4)代入式(39)得E T =1λ(1-e -λδ-λδe -λδ)+ðɕn =2e -n (n -1)λδ/2(1-e -n λδ)(n -1)δ+ðni =11i λ-δe -n λδ1-e -n éëêêùûúúλδ=ðɕn =1e-n (n -1)λδ/2(1-e -n λδ)(n -1)δ+ðni =11i λ-δe -n λδ1-e -n éëêêùûúúλδ=ðɕn =1e-n (n -1)λδ/2(1-e-n λδ)ðnk =11k λ+δðɕn =1n (1-e -λn δ)e -n (n -1)λδ/2-δðɕn =1e -n (n -1)λδ/2.(42)由式(5)和式(1)易知,ðɕn =1n (1-e -λn δ)e-n (n -1)λδ/2=EM =ðɕn =1e -n (n -1)λδ/2,则34 第1期 马 明,等:Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型的寿命性质E T =ðɕn =1(1-e-n λδ)e-n (n -1)λδ/2ðnk =11k λ.(43)由于ðnk =11k <n ,所以ðɕn =1(1-e -n λδ)e-n (n -1)λδ/2ðnk =11kλ<1λðɕn =1n (1-e -n λδ)e -n (n -1)λδ/2=1λE M <ɕ,则式(43)等价于ðɕn =1(1-e -n λδ)e -n (n -1)λδ/2ðnk =11k λ=ðɕn =11n λðɕk =n (1-e -k λδ)e -k (k -1)λδ/2(44)(在式(44)等号右边级数也收敛的条件下).再由式(3),(4)易知ðɕk =n(1-e -k λδ)e -k (k -1)λδ/2=P (M >n -1)=e -n (n -1)λδ/2,(45)从而由式(43)~(45)易得E T =ðɕn =11nλe -n (n -1)λδ/2.已证得ðɕn =11n λe -n (n -1)λδ/2<ɕ,即式(44)右边级数收敛.3)矩母函数法.对式(23)表示的矩母函数ϕT (t )关于t 逐项求导,可得d [ϕT (t )]d t =ðɕn =1n !λn e -n (n -1)λδ/2d d t e (n -1)δt (1-e δ(t -n λ))ᵑnk =11k λ-éëêêùûúút ,其中对函数e(n -1)δt (1-eδ(t -n λ))ᵑnk =11kλ-t 可采取对数求导法则,即d d te (n -1)δt (1-e δ(t -n λ))ᵑnk =11k λ-éëêêùûúút =e (n -1)δt (1-e δ(t -n λ))ˑ ᵑn k =11kλ-t d d t (n -1)δt +l n (1-e δ(t -n λ))+ðnk =1l n 1k λ-éëêùûút = e (n -1)δt (1-eδ(t -n λ))ᵑnk =11k λ-t ðnk =11k λ-t +(n -1)δ-δe δ(t -n λ)1-e δ(t -n λéëêêùûúú)= e(n -1)δt ᵑnk =11kλ-t (1-e δ(t -n λ))ðnk =11k λ-t +n δ(1-e δ(t -n λ))-éëêêùûúúδ,则d [ϕT (t )]d t =ðɕn =1n !λn e -n (n -1)λδ/2e (n -1)δt ᵑnk =11k λ-t (1-e δ(t -n λ))ðnk =11k λ-t +n δ(1-e δ(t -n λ))-éëêùûúδ. 由于ϕT (t )的存在域包含0,所以ϕT (t )在0点处可导,于是E T =d [ϕT (t )]d t t =0=ðɕn =1e -n (n -1)λδ/2(1-e -n λδ)ðnk =11k λ+δðɕn =1n (1-e -n λδ)e -n (n -1)λδ/2-δðɕn =1e -n (n -1)λδ/2,这与式(42)等价.证毕.由推论1和引理2易得平均寿命关于失效参数的单调性.推论4 设T ~S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)},则E T 关于δ单调递减.实际上,设0<δ1<δ2,则对∀k =1,2, ,有e -k (k -1)λδ1/2k ȡe -k (k -1)λδ2/2k,其中k =1时等号成立.因此,由定理4也可立得推论4.下面讨论寿命T 的任意阶矩.推论5 设T ~S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)},则寿命T 的r 阶矩为44 吉林大学学报(理学版) 第62卷E T r=ðr -1i =0r !δr -i -1(r -i -1)!λi +1ðɕn =0n r -i -1e n (n +1)λδ/2ðnk =0C k n (-1)k (1+k )i +1, r =1,2, .(46) 证明:若ʏɕ0r t r -1췍F T (t )d t <ɕ,则E T r =ʏɕ0r t r -1췍F T (t )d t,所以下面先讨论ʏɕ0r t r -1췍F T (t )d t 的收敛性.由式(7)易得ʏɕ0r t r -1췍F T (t )d t =r l i mA ңɕʏA0ðɕn =t r -1e -λt e -n (n -1)λδ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n d t . 下面证明级数ðɕn =0t r -1e -[n (n -1)δ+2t ]λ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n 关于t 在[0,A ]上一致收敛.一方面,对∀t ɪ[0,A ],有t r -1e -[n (n -1)δ+2t ]λ/2ɤA r -1e-n (n -1)δλ/2,而级数ðɕn =0e-n (n -1)δλ/2收敛,于是ðɕn =0t r -1e-[n (n -1)δ+2t ]λ/2关于t 在[0,A ]上一致收敛;另一方面,函数(1-e-λ(t -n δ)+)n关于t 在[0,A ]上一致有界且关于n 单调递减,根据A b e l 判别法知,函数项级数ðɕn =0t r -1e-[n (n -1)δ+2t ]λ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n 在[0,A ]上一致收敛,类似式(32)中级数项的连续性证法,对于r =1,2, ,函数项t r -1e -[n (n -1)δ+2t ]λ/2(1-e -λ(t -n δ)+)n 关于t 在(-ɕ,ɕ)上连续,所以可交换无穷和号与积分号的次序,即ʏɕ0rtr -1췍F T (t )d t =r l i m A ңɕðɕn =e -n (n -1)λδ/2ʏA 0t r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)n d t .(47) 下面考虑级数ðɕn =0e-n (n -1)λδ/2ʏA 0t r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)n d t 的收敛性.对∀r =1,2, ,n =0,1 ,有t r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)n ɤt r -1e -λt , ʏA 0t r -1e -λt d t ɤʏɕ0tr -1e -λt d t =(r -1)!λ-r ,(48)所以e-n (n -1)λδ/2ʏA 0t r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)n d t ɤλ-r (r -1)!e -n (n -1)λδ/2.易知级数ðɕn =0e-n (n -1)λδ/2收敛,因此级数ðɕn =0e -n (n -1)λδ/2ʏA 0t r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)n d t 关于A 在[0,ɕ)上一致收敛,由式(48)可知,当A ңɕ时,积分ʏA 0t r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)n d t 的极限存在,所以式(47)等价于ʏɕ0r t r -1췍F T (t )d t =r ðɕn =0e -n (n -1)λδ/2l i m A ңɕʏAt r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ)+)n d t =r ðɕn =0e-n (n -1)λδ/2ʏɕn δt r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ))n d t .(49) 下面计算积分ʏɕn δt r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ))n d t .对∀n ȡ0,做变换u =t -n δ可得ʏɕn δt r -1e -λt (1-e -λ(t -n δ))n d t =e-n λδʏɕ0(u +n δ)r -1e -λu (1-e -λu )n d u =e -n λδðr -1i =0Cir -1(n δ)r -i -1ðnk =0C k n(-1)k ʏɕ0u i e -λ(1+k )u d u =e-n λδðr -1i =0Ci r -1(n δ)r -i -1ðnk =0Ck n (-1)ki ![λ(1+k )]i +1.(50)将式(50)代入式(49)得ʏɕ0rtr -1췍F T (t )d t =ðr -1i =0r !δr -i -1(r -i -1)!λi +1ðɕn =0n r -i -1e -n (n +1)λδ/2ðnk =0C k n (-1)k (1+k )i +1. 下面证明级数ðɕn =0nr -i -1e-n (n +1)λδ/2ðnk =0C k n (-1)k(1+k )i +1收敛.对∀k =0,1, ,n ,i =0,1, ,r -1,r =1,2, ,有(1+k )i +1ȡ1+k ,且由文献[18]可知ðnk =0C k n (-1)k1+k =1n +1,则有ðnk =0C k n (-1)k(1+k )i +1ɤ1n +1,所以nr -i -1e-n (n +1)λδ/2ðnk =0C k n (-1)k (1+k)i +1ɤn r -i -1n +1e -n (n +1)λδ/2.又由于l i m n ңɕ(n +1)(n +1)r -i -1(n +2)nr -i -1e -(n +2)(n +1)λδ/2e n (n +1)λδ/2=l i m n ңɕe -(n +1)λδ1-1n +æèçöø÷21+1æèçöø÷n r -i -1=0<1,所以级数ðɕn =0n r -i -1n +1e -n (n +1)λδ/2收敛,从而级数ðɕn =0n r -i -1e -n (n +1)λδ/2ðn k =0C k n (-1)k (1+k )i +1也收敛.由于寿命T 的r 阶矩都存在,因此E T r=ʏɕ0rtr -1췍F T (t )d t =ðr -1i =0r !δr -i -1(r -i -1)!λi +1ðɕn =0n r -i -1e -n (n +1)λδ/2ðnk =0C k n (-1)k (1+k )i +1.证毕.易知,当r =1时,式(46)可约简为E T =1λðɕn =0e -n (n +1)λδ/2ðnk =0C k n (-1)k1+k =1λðɕn =011+n e -n (n +1)λδ/2,(51)式(51)与式(31)一致.7 实 例本文结合S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)}模型的构造,给出了该模型系统的可靠度㊁冲击度㊁平均寿命等可靠性指标.下面给出该模型的一个应用实例.癌症是一种常见的慢性病,一般由内源因素导致基因损伤,使早期癌细胞生长并侵害正常细胞,最终导致癌症.C h e n 等[19]发现了另一种引发癌症细胞的细胞机制 细胞分裂速度,即细胞增殖速图1 E T 关于参数α和δ的变化趋势F i g .1 C h a n g i n gt r e n do f E T w i t h p a r a m e t e r s αa n d δ度过快会导致细胞癌变.假设细胞增殖按Y u l e -F u r r y 过程进行分裂,S n 为细胞第n 次分裂的时刻,Z n 表示细胞第(n -1)次与第n 次分裂的时间间隔,常数δ为正常细胞分裂周期所需的最小时间.当首次存在某个n ,使得Z n <δ(即该细胞分裂的第n 个时间间隔小于δ)时细胞癌变.在细胞分裂过程中有许多酶参与,而内部因素会影响酶活性,酶活性越强,细胞分裂速度越快.假设酶的活性为α(α>0),则细胞分裂速率λ=f (α),其中f (α)是单调递增函数,设T 表示直到癌变为止细胞的寿命,则细胞寿命T 服从一个Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型,由定理4知该细胞的平均寿命E T 为E T =1f (α)ðɕk =1e-k (k -1)δf (α)/2k .下面数值模拟f (α)=α时细胞的平均寿命.本文对酶的活性α和时间δ取几个特殊值观察平均寿命E T 的变化情况,结果分别如图1和表1所示.由图1和表1可见,E T 关于参数α和δ都单调递减.说明细胞分裂中参与的酶活性越强,细胞分裂周期所需的时间越长,细胞分裂速度越快,越容易癌变.下面对P o i s s o n 经典δ冲击模型(S M {[H P P (0,λ)],D (δ)})与Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型的寿命性质进行比较,结果列于表2.由表2可见,这两类模型的平均寿命都关于失效参数δ单调递减,P o i s s o n 经典δ冲击模型的存活概率与冲击到达率λ无关,而Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型中,冲击到达率是线性变化的,所以其寿命指标均与冲击到达率有关.表1 参数α和δ取特殊值时E T 的值T a b l e 1 V a l u e s o f E T w h e n p a r a m e t e r s αa n d δt a k e s pe c i a l v a l u e s δE Tα=1α=1.5α=2α=2.5α=311.900.990.640.470.3723.121.540.950.660.4934.302.081.260.860.63表2 P o i s s o n 经典δ冲击模型与Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型的寿命指标T a b l e 2 L i f e t i m e i n d i c a t o r s o fP o i s s o n c l a s s i c a l δs h o c km o d e l a n dY u l e -F u r r y c l a s s i c a l δs h o c km o d e l 寿命指标S M {[H P P (0,λ)],D (δ)}S M {[Y F P (1,λ)],D (δ)}可靠度P (T >t )e-λt ðt /δn =0[λ(t -n δ)]nn !e-λt ðt /δn =0e-n (n -1)λδ/2(1-e-λ(t -n δ))n 平均寿命E T1λ(1-e-λδ)1λðɕn =11ne -n (n -1)λδ/2存活概率췍P n (t )(t -n δ)n +tn e-n (n -1)λδ/21-e-λ(t -n δ)+1-e-λ()tn矩母函数ϕT (t )λ(1-e -(λ-t )δ)λ(1-e -(λ-t )δ)-t,t <λðɕn =1e-(n λ-2t )(n -1)δ/2(1-e δ(t -n λ))ᵑnk =1k λkλ-t ,t ɤa . 综上所述,本文研究了冲击参数为(1,λ)的Y u l e -F u r r y 经典δ冲击模型,分别用取条件法㊁概率法㊁矩母函数法给出了系统可靠度㊁平均寿命和矩母函数的显式表达式,验证了可靠度和平均寿命关于失效参数δ单调递减的性质,并证明了寿命的任意矩均存在且可以用级数形式显式表示.最后,将该模型的平均寿命应用于癌细胞的病例研究中,发现酶的活性与细胞的平均寿命成反比关系,即细胞分裂过程中参与酶的活性越强,细胞的平均寿命越短,导致该细胞癌变.参考文献[1] L I Z H ,C HA N L Y ,Y U A N Z X.F a i l u r eT i m eD i s t r i b u t i o nu n d e ra δ-S h o c k M o d e la 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２ ０ １ ４ 牟第５ 期
文章 编号 ： １ ０ ０ ９— ２ ５ ５ ２ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ５— ０ ０ ｌ ｌ — ｏ ４ 中图分类号 ： Ｔ Ｍ５ ３ １ 文献标 识码 ： Ａ
退 化 和 冲 击 共 同 作 用 下 电 容 器 可 靠 性 评 估 方 法
孙志 旺 ，朱 斌 强 ，张 国龙 ，杨 勇。
Ｒｅ ｌ ｉ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｓ ｓ ｅ ｓ ｓ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｃ ａ ｐ ａ ｃ ｉ ｔ ｏ ｒ ｕ ｎｄ ｅ ｒ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ｅ ｄ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｄｅ ｇ ｒ ａ ｄａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎｄ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｓ ｈ ｏ ｃ ｋ ｓ

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பைடு நூலகம்
退 化 系统 状 态 维 修 决 策 与维 修 活 动 建 模
葛小凯 ，胡剑 波 ，张博锋 。
（ １ ．空军工 程 大学装 备 管理 与安全 工程 学 院 ，陕西 西 安 ７ １ ０ ０ ５ １ ； ２ ．上 海大 学计 算机 学院 ，上 海 ２ ０ ０ ０ ７ ２ ）
Ｅｎｇｉ ｎｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ，Ｘ ｉ ’ ａｎ ７ １ ００ ５１，Ｃｈｉ ｎ ａ；２． Ｃｏ ｍ ｐｕｔ ｅ ｒＣｏ ｌ ｌ ｅ ｇｅ， Ｓｈ ａｎ ｇｈａｉ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｓｈａｎ ｇｈａｉ ２０ ００７ ２， Ｃｈｉ ｎ ａ）
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基于ARMAS(p,q)退化冲击模型可靠性的预测
张权;莫祯祥;李艳君;韩旸
【期刊名称】《运筹与管理》
【年(卷),期】2022(31)7
【摘要】在实际的工程应用中,系统自身的许多因素和随机环境随着时间的影响,会引起系统的退化和损坏。

在退化模型中,系统的可靠度是重要的研究指标,系统的退化达到预警前的预测也十分必要。

基于此,提出了ARMAS(p,q)退化冲击模型,并用线性最小方差方法给出了冲击强度未来n步的预测值,并在正态假设下,推导出预测值Y _(t-n)|Y _(t),Y _(t-1),…的置信水平为1-α的置信区间。

此模型的提出,为有效控制系统损坏带来的经济损失提供了预判。

也为退化冲击模型的研究框架的进一步扩展提供了理论支撑,将在可靠性领域有广泛的应用。

【总页数】5页(P114-118)
【作者】张权;莫祯祥;李艳君;韩旸
【作者单位】齐齐哈尔大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O213;O211.62
【相关文献】
1.基于ARMA模型的水下爆炸冲击谱预测
2.基于ARMA模型的加速退化试验可靠性评估
3.贵州城乡可支配收入差距发展趋势预测——基于指数曲线预测模型与
ARMA模型分析4.基于拓展退化率布朗运动模型的可靠性预测5.银行房屋抵押贷款总额的时间序列预测——基于ARMA模型与趋势-ARMA组合模型的比较分析
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０ 引言
维修 决 策 优 化 是 一 个 重 要 的 研 究 课 题 ， 有效的 维修策略能够降低 系 统 的 停 机 时 间 和 维 修 费 用 ， 提 高系统运行效率和 维 修 质 量 ， 避免不必要的资源浪
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多阈值故障的δ-冲击模型最优维修更换策略
成国庆;李玲;柳炳祥;唐应辉
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2013(26)1
【摘要】将单阈值故障的δ-冲击模型推广为多阈值故障的情形,以用于处理不同的冲击间隔会导致不同程度故障的工程实际问题.在假设系统是退化的且有k个不同阈值的条件下,以降低系统的运行费用为目标,以部件故障次数N为更换策略,通过更新过程理论求得系统的平均费用率表达式.最后借助数值例子演示了本模型,并对相关参数进行了灵敏度分析.
【总页数】7页(P165-171)
【关键词】多阈值故障;δ-冲击模型;几何过程;平均费用率;更换策略
【作者】成国庆;李玲;柳炳祥;唐应辉
【作者单位】景德镇陶瓷学院信息工程学院;四川师范大学数学与软件科学学院【正文语种】中文
【中图分类】O213.2
【相关文献】
1.α-幂过程维修模型下的最优更换策略 [J], 陈建勇;应巨林;邹良影;闫长远
2.δ冲击模型及其最优更换策略 [J], 王冠军;张元林
3.退化系统的α-幂过程维修模型的最优更换策略的单调性 [J], 周玉霞
4.一般δ-冲击模型及其最优更换策略 [J], 王冠军;张元林
5.泊松冲击下阈值为几何过程的可修系统的最优更换策略（英文） [J], 杜倩男;黄凯;吴清太
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基于Gamma过程的退化系统状态维修策略研究基于Gamma过程的退化系统状态维修策略研究摘要：长期运行下的工业系统会经历不可避免的退化过程，从而导致系统性能逐渐下降。

为了提高系统的可靠性和维修策略的有效性，本研究基于Gamma过程，对退化系统状态维修策略进行了深入研究。

通过建立系统的退化模型和定义关键指标，采用Gamma过程分布模拟系统退化过程，并提出了一种基于周期性检测和修理的维修策略。

通过数值模拟实验，验证了该策略的有效性和优势。

1. 引言随着工业系统的可靠性要求越来越高，准确判断系统退化状态和采取合适的维修策略成为了研究的热点。

传统的维修策略主要基于固定时间间隔或者故障发生后立即维修的方法，在实际应用中存在一定的局限性。

因此，基于Gamma过程的退化系统状态维修策略研究具有重要的理论和应用价值。

2. 系统退化模型系统退化是指系统性能与时间的关系，在工业领域中普遍存在。

为了研究系统退化与维修策略之间的关系，本研究将系统的退化过程建模为Gamma过程。

Gamma过程是一种连续时间随机过程，其具有良好的数学性质和应用性。

通过合理选择Gamma分布的参数，可以较为准确地模拟系统的退化过程。

3. 维修策略分析针对退化系统，在设计维修策略时需要考虑维修的时机和维修的方法。

本研究提出了一种基于周期性检测和修理的维修策略。

该策略的核心思想是通过定期监测系统状态，当系统退化达到一定程度时进行维修，以保证系统性能不会进一步下降；同时，采用预防性维修和纠正性维修相结合的方式，既可以修复已经退化的系统，又可以预防潜在的故障。

4. 数值模拟实验为了验证所提出的维修策略的有效性和优势，本研究进行了一系列的数值模拟实验。

在不同的系统退化程度下，比较了基于Gamma过程的维修策略与传统维修策略的性能差异。

结果表明，基于Gamma过程的维修策略能够更加准确地控制系统退化，延长系统寿命，提高系统可靠性。

5. 结论本研究基于Gamma过程对退化系统状态维修策略进行了深入研究，提出了基于周期性检测和修理的维修策略，并通过数值模拟实验验证了策略的有效性。