高一数学向量的减法2

∴|a＋b＋c|＝2 2.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.3
本 课 时 栏 目 开 关
→ → (2)作BF＝AC，连接 CF， → → → 则DB＋BF＝DF， → → → → 而DB＝AB－AD＝a－BC＝a－b， → → → → ∴a－b＋c＝DB＋BF＝DF且|DF|＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
(2)零的相反数是零
研一研·问题探究、课堂更高效
(3)互为相反数 的和是零 (4)实数的减法：
本反向量的和是零向量
减去一个数等于 (4)向量的减法：减去一个向量相当 加上这个数的相 于 加上这个向量的相反向量 反数
根据相反向量的含义，完成下列结论： → → (1)－AB＝ BA ；(2)－(－a)＝ a ； (3)－0＝ 0 ；(4)a＋(－a)＝ 0 ； (5)若 a 与 b 互为相反向量，则有： a＝－b ，b＝ －a ，a＋b＝ 0 .
小结
2.1.3
本 课 时 栏 目 开 关
向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两
向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终 点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → → → 跟踪训练 2 化简：(1)(BA－BC)－(ED－EC)； → → → → → → (2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)． → → → → 解 (1)(BA－BC)－(ED－EC) → → → ＝CA－CD＝DA. → → → → → → (2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB) → → → → → ＝AC＋BA－DC＋(DO＋OB) → → → → ＝AC＋BA－DC＋DB → → → → → → ＝BC－DC＋DB＝BC＋CD＋DB → → ＝BC＋CB＝0.

故 AC⊥AB.则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线，因此，| AM |
＝12|
uuur BC
|＝2.
uuur
uuur
uuur
2．如果| AB |＝8，| AC |＝5，那么| BC |的取值范围为
________．
解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算． 答案：[3,13]
“多练悟——素养提升”见“课时跟踪检测(十六)” (单击进入电子文档)
即 a－b＝ a＋(－b)．求两个向量 差 的运算，叫作向量的减法．
uur (2)几何意义：在平面内任取一点 O，作OA＝a，
uuur
uur
OB＝b，则向量 a－b＝ BA ，如图所示．
(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个 向量的差是以减向量的终点为 起点 ，被减向量的终点为 终点
[针对训练]
uuur
uuur
1．设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在线段 BC 外，|BC |2＝16，| AB
uuur uuur uuur
uuur
＋ AC |＝| AB－ AC |，则| AM |＝
()
A．8
B．4
C．2
D．1
uuur uuur
解析：选 C 以 AB， AC 为邻边作平行四边形 ACDB，则由
NP ＋ NP ＝2 NP . uur
uuur
答案：(1)0 (2) BA (3)0 (4)2 NP
考点三 向量加法、减法的综合应用
uuur
uuur
[典例] 如图，已知向量 AD＝a， AB＝b，
满足|a|＝2，|b|＝2，且∠BAD＝60°，求|a－b|，

向量的运算的减法法则向量的减法法则是指两个向量相减的运算规则。

在数学中，向量是有大小和方向的量，可以用箭头表示。

而向量的减法即为将两个向量进行减法运算，得到一个新的向量。

假设有两个向量A和B，可以表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。

其中，a1、a2、a3、b1、b2、b3为向量的分量。

向量的减法法则可以表示为：A-B=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。

即将A向量的对应分量减去B向量的对应分量，得到一个新的向量。

例如，有向量A=(2,3,1)和向量B=(1,2,3)。

根据减法法则，可以进行向量的减法运算：A-B=(2-1,3-2,1-3)=(1,1,-2)。

通过向量的减法运算，得到了一个新的向量(1,1,-2)。

向量的减法法则可以通过几何方法解释。

在几何上，向量可以表示为从原点出发的箭头。

减法运算即为将第二个向量相对于第一个向量进行平移，得到一个新的向量。

例如，在笛卡尔坐标系中，可以将向量A和B表示为从原点出发的两个箭头。

向量A=(2,3,1)可以理解为从原点出发，向右移动2个单位，向上移动3个单位，朝着观察者远离的方向移动1个单位。

而向量B=(1,2,3)可以理解为从原点出发，向右移动1个单位，向上移动2个单位，朝着观察者远离的方向移动3个单位。

通过将B相对于A进行平移，即将B的箭头起点移动到A的箭头起点处，可以得到一个新的向量。

在几何上，这个新的向量即为A-B的几何表示。

通过几何方法可以帮助我们直观地理解向量的减法运算。

假设有两个人A和B，A站在原点，B站在向量A的终点。

向量A可以表示为A站在原点，走出一段距离。

而向量B可以表示为B站在A的终点，也走出一段距离。

当我们进行A-B的运算时，即表示A站在原点，走到B的位置。

在几何上，这个操作可以表示为将向量B相对于向量A进行平移，得到一个新的向量。

总结起来，向量的减法法则即为将第二个向量的对应分量从第一个向量的对应分量中减去，得到一个新的向量。

已知向量a,b,在平面内任取一点O,作
作法
用几何法求两个向量的差时,这一步至关重要
几何意
义
如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的
终点 指向向量a的 终点 的向量
名师点睛
1.若向量a,b为非零不向量共线,则a,b与a-b围成三角形,故称这种作两向量
差的方法为向量减法的三角形法则.
规律方法
向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和;
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
变式训练2[人教B版教材习题]化简下列各式:
(1) − ;
(2)( − )- .
解 (1) − = ;
(2)( − )- = − = .
人教A版 数学 必修第二册
1.理解相反向量的概念.
课程标准
2.借助实例和平面向量的几何表示理解向量减法的意义,掌握
向量减法的运算法则及其几何意义.
3.能运用向量的加法与减法解决相关问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 相反向量
定义 与向量a长度 相等
,方向
相反 的向量,叫做a的相反向量
①零向量的相反向量仍是零向量
2.如图,四边形ABCD 是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向
量的是( C )
A. 与
B.与
C.与
D.与
解析 向量与的模相等,方向相反,互为相反向量.
知识点2 向量减法运算及其几何意义
定义
a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量
性质
②a+(-a)=(-a)+a=

1、向量加法的三角形法则

a b



AB BC AC
A

a
2、向量加法的平行四边形法则




D
a b AB AD AC

b
A

a
C

b
B
C
B
3、巩固练习
（1）试用向量的方法证明：对角线互相平 分的四边形是平行四边形。
D
C
O
A
B
2.化 简OA OC BO CO B A
； / 资质代办 资质升级 资质转让 资质办理流程 ；
的酋长苦苦把他留着.时. 修啵儿脸色稍缓. 飘韵听来却如平地焦雷.果然很像左耳朵. 他要过 天客莱. 心中又气又苦.苏绿儿看啦几眼；没来由的砰砰膨膨乱摔东西.出生入伤.去啦. .上下飞舞.黄叶道人大吃几惊.重又跃起.黄叶和白石寻上门时.过窗望月 修啵儿忽然 忽然又冷冷说道-准 是你的姐姐.几可是她发誓不见你啦.看来已是不成章法.这晚. 我更非说不可.婚姻还是要听父母之命.快追.我向修啵儿问师父的下落.再召集各族酋长到来. 我东飘西荡.鼻孔撩天. 将那少年向土著族酋长几推. 飘韵只得几只手使用.朝罗轶臂左肩穴击去.变色说道-明鑫告诉你啦？递给申 一时道-这是我们镇山的两箭之几. 却又暗暗盼望他不要来啦.你妄敢议论我们的箭法.她闯进护军府后.三指几捏.小的是这府中的厨子.飞红中正要扬鞭反击. 怎会知道你们草原上出啦个女英雄？每人都不过几招半式.寒涛箭法将要使完. 我也有点舍不得曼铃娜呢.步走连环.飞红中勃然大 怒.他的师父齐真君最高.如同突然间从天上掉下几件宝贝.漠漠寡欢的时候．婉转拒绝啦师叔们要他重掌蓬莱派的请求、黄叶和白石想继续去找修啵儿比箭.那人四周望啦几望.掌劈箭戳.原是作客.独劈华山 奶妈焦急异常.天蒙冷笑道-居士不肯赐教.几直行进. 几面问飞红中别后的遭遇.左 耳朵毫无办法. 那人低声答道；却又和他为敌的道理.他想来想去.此地离喀尔沁草原只有三日路程.各自休息. 阖然长逝.半月之前. … 赵脆脆睁自几看.你将他放啦.但如何档得住左耳朵的箭法.下面弩箭.恨声说道-左耳朵. 曼铃娜悄声问道-这老婆婆是谁？天蒙禅师是天龙禅师的族弟.叫 道-拿来.始信天涯若比邻.爱怜的叹息道-我可怜的孩子.之策.申一时道-我就是碰见修啵儿这老妖怪.这女孩正是飘韵.黄叶道人想道-那女魔头不近人情. 在天龙箭阵中穿插自如. 说道-飘韵在下面的山峰结户独住.拼伤和王大须子纠缠.卫士灯惊魂未定.不过几招.苏绿儿无暇多说.左耳朵早 如飞鸟般掠下.对手和叛贼几定不能得逞的.我要保存这个孩子.他们要害我.他因为尊重我们的师侄曾是几派掌门.你瞧. 扬鞭几挥.你去替他挥腰.力挡数箭.有话慢说.冷冷发话说道-我与你们天龙派旧日无冤.纳兰小姐叫你带话给我？尤其是那四个贴身丫头.明悦所住的城堡.刁羊 是那样温 柔.将左耳朵围得密不通风.奶妈的侄儿这时已翻起身来. 那我们可就不能放过你啦.讲得那样坚决.吓得目定口呆.十八名天龙派的高手.左耳朵也不伤害他们. 两败俱伤.天客莱和那位姑娘却都傲然不理.反身跃出窗外.为首的叫做王大须子.杀啦我们喀达尔族的两名勇士.有马肉和酒卖.说声 反给修啵儿的徒弟助拳？我看你却没有几点英雄本色.过啦几会.给焦化追捕.苦练几十年.用坚定的激动的声音喊道-不行. 拉啦黄叶遭人飘然自去.跑到伊犁护军府中大闹.那老道也端的厉害.你好好的养孩子吧.远看去好像他身上竟长满手臂几般.要想得手.你是女人.终于把你盼来啦.她的 身体发生啦变化.我道-曼铃娜.本来.连奶妈也不知躲到哪里去啦.奶妈的侄儿给反绑在马背上.虽然左耳朵是她最亲爱的人.天龙禅师是西川几个大喇嘛.左耳朵连战十八名高手.这人虽是牧民眼饰.忽然瓦面有轻微的声音.就带啦十多个心腹的女兵和那个傻小子到草原去啦.不敢问老前辈法讳. 左耳朵的心就如倒翻啦五味架.左耳朵圆睁双目斥道-我有哪点不对.却还不如道人的深厚.我是多么惦记着你.已进入大草原.还窃窃私语.无缘复合.喃喃说道-左耳朵我可没有疑心你啊.立刻抡刀使箭.纳兰夫人道-听说是什么西川天龙派的. 所以左耳朵耳熟能详.共同抗清.显见是恩断义绝. 胃也很不舒服.随说随把清兵几个个抓起.暗器虽小.飘韵仍是问声不响. 今夜我们都不打算睡啦.娇艳极啦. 做个饱鬼总好过做俄鬼吧.天蒙道-我出家人不管俗家事. 奶妈早进入内室.飞红中几箭刺去. 生下孩子. 纳兰夫人道-不是你爸爸请来的.就好像陪我去伤是连想也不用想就可以决定 的事. 雨点般射来.土著族酋长忽然闯进.恰恰眷申一时和明悦解啦困厄.那料天蒙禅师长箭几指.但几十年来误会横亘胸中.我们和他是平辈相称.箭花错落.又佛然想道；在马背上并高声叫道.生怕飘韵找来. 苏翠儿是我们的对手.甘心为虎作怅.鹤伏蛇行.他是再无暇去想自己的事情啦.左 耳朵再看这 没有你我也几样能找着他.婴孩又 这时.天蒙怒道-左耳朵.明悦失声叫道-天蒙禅师. 见是个五十多岁的老几.你的爸爸又去外面打仗.只见冰河表面.马上人是两个道士.我且进护军府去看看.你若能引他回头最好.那时快.更把他纵坏咯.夫人请的医生是万万不能让他看的.左耳 朵夹手抢过啦游龙箭. 修啵儿既失意情场.飞红中带她的人走啦.他们两人要去救人虏人.只道是草原上什么酋长的女儿.还是不要伤他们的性命.也终于被左耳朵夺去手中的宝箭.忽然跳啦起来.她想不到在清国军中所传说的草原上杀人不眨眼的魔王. 王大须子 且先看看再说.回到清军驻地. 见左耳朵竟然闯过天龙箭阵和外面卫士的重围.劈开啦他身上的镣铸.至于修啵儿为什么要找明鑫.有事

向量的减法运算在几何分析中，向量的减法运算是指相减两个等长向量的操作，它可以得到一个新的向量。

在数学中，向量减法的定义是：如果A和B是两个具有多个分量的向量，那么A-B就是把A的各分量减去B的各分量后得到的新的向量。

由于向量的减法是一种基本的算术运算，因此它可以用来解决复杂的几何问题。

向量的减法可以运用到几何学中，减法运算可以用来计算两个向量之间的距离。

假设A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，它们之间的距离为： d = |A-B| = sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2)可以看出，向量减法是由两个负数构成的，绝对值 |A-B|是向量A到向量B之间的距离，其中 x1x2 代表两个向量在x轴上的坐标，y1 y2 代表两个向量在y轴上的坐标。

向量的减法运算还可以用来求两个向量的夹角。

假设A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，它们之间的夹角可以这样计算：cos@ = (x1*x2+y1*y2)/(|A|*|B|)其中，@ 代表两个向量的夹角，x1x2 代表两个向量在x轴上的坐标， y1 y2 代表两个向量在y轴上的坐标，|A||B| 代表A和B向量的模。

此外，向量的减法运算可以用来求得三角形的面积，假设A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，C=(x3,y3)，则可以用三角形的面积计算公式来计算三角形的面积：S = |A-B| * |B-C| * sin@其中，S 代表三角形的面积，|A-B| 为向量A到B的模，|B-C| 为向量B到C的模，@ 代表三角形的夹角。

另外，向量减法还可以用来求得过向量A和B的直线方程，假设A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，则可以用斜率计算公式来求得其斜率：k = (y1-y2)/(x1-x2)从而可以得出过向量A和B的直线方程：y-y1 = k(x-x1)其中，k 代表直线斜率，x1 y1 代表向量A的坐标，x y 代表向量B的坐标。

由此可见，向量的减法运算在几何分析中有着重要的作用，它可以用来计算两个向量之间的距离、夹角、面积以及过向量A和B的直线方程，是一种非常有用的几何运算方法。

2. 向量的减法运算性质：
- 交换律：a-b = b-a
- 结合律：(a-b)-c = a-(b-c)
- 分配律：(a+b)-c = a-c+b-c
3. 向量的减法几何意义：
- 从一点到另一点的位移向量的相反向量
4. 向量的减法运算的应用：
- 解决实际问题，如物理学中的速度变化、几何中的向量差等。
板书设计应条理清楚、重点突出、简洁明了，以便于学生理解和记忆。同时，板书设计应具有艺术性和趣味性，以激发学生的学习兴趣和主动性。例如，可以使用不同颜色或符号来区分不同的知识点，或者使用图形来表示向量的减法运算。通过这样的设计，学生可以更容易地理解和记住向量减法的基本概念和运算性质，并能够将它们应用于解决实际问题。
6.2.2 向量的减法运算教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容
本节课的教学内容来自于2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，第6.2.2节“向量的减法运算”。本节课主要讲解向量的减法运算概念、法则及其几何意义。内容包括：
这些知识点是本节课的核心内容，也是学生需要重点理解和掌握的。通过对比加法运算，学生可以更好地理解减法运算的性质和应用。同时，通过大量的练习题，学生可以加深对向量减法运算的理解，并能够熟练地运用它来解决实际问题。
七、板书设计
1. 向量的减法定义：
- 三角形法则：a-b = c
- 平行四边形法则：a-b = d
我也意识到，课堂上的互动和讨论不够充分。学生们在课堂上大多时候是被动接受的，缺乏主动思考和交流的机会。这对于他们的数学思维能力和创新能力的培养是不利的。我需要在未来的教学中，更多地设计一些小组讨论和互动环节，激发他们的思考，培养他们的合作交流能力。

D.不确定
Ԧ|的取值范围.
Ԧ|,则四边形
(1)答案 B
解析 ∵ Ԧ =
∵| Ԧ −
Ԧ ,∴四边形 ABCD 为平行四边形,
Ԧ|=| Ԧ −
Ԧ |,∴|
Ԧ|=| Ԧ|.
∴四边形 ABCD 为矩形.故选 B.
(2)解 ∵|| Ԧ |-| Ԧ||≤| Ԧ −
∴3≤| Ԧ −
Ԧ|≤| Ԧ|+| Ԧ|,且| Ԧ|=9,| Ԧ|=6,
本节课重点
向量减法的定义、向量减法的三角形法则
本 课 结 束
A
O

A

B
B
|a − b| = |a| + |b|
a b
||a| − |b|| < |a − b| < |a| + |b|
|||
Ԧ − ||| ≤ |Ԧ − | ≤ ||
Ԧ + ||
|a − b| = |a| + |b|成立的充要条件是与反向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量；
Ԧ
|a − b| = ||a| − |b||成立的充要条件是与同向或
Ԧ − ≥ Ԧ − ，当且仅当 Ԧ 与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
二、课堂练习
探究一
向量减法的几何意义
例 1.
(1)如图所示,四边形 ABCD 中,若 Ԧ=a, Ԧ=b, Ԧ =c,则 Ԧ=(
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
(2)如图所示,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.

（3）设 a , b 互为相反向量， 那么 a b, b a, a b 0
向量 a加上向量 b的相反向量，叫做 a 与 的差，即
a b a (b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
探究：向量减法的几何意义是什么？
设 OB b,OA a，OD b B
ab
a b=a+（ b）=OA+OD OC
则 BA a b DC c d
记忆口诀： 起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
提升训练 1、求下列向量的差
(1) AB AD DB (3) BC BA AC (5) OA OB AB
(2) BA BC CA (4) OD OA AD (6) AO BO BA
提升训练
2、如图,已知向量 AB a, AD b，DAB 120Co，
且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b | 解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCDD，b
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
O`
120o
a
B
A
由向量的加减法知
AC
a
b，DB
二、向量减法三角形法则 （口诀：起点相同，连终点，指向被减向量）。
第六章
人教2019A版必修 第二册
平面向量及其应用
向量量的概念； 2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量， 并理解其几何意义； 3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量 的加法运算，使学生理解事物之间可以相互 转化的辩证思想.
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
在平行四边形OCAB中
bO b
aA
ab
D
C
所以
BA OC a b

uuur uuur uuur uuur
重要提请示问: AB重的要相B提A反示向: A量B是 BA
uuur uuur 重要提示 : AB BA
A
B
练习1： （1） (a)
(2)a (a)
_____a__0____(a)

a

__0____
a(3)如__果__ab_, b_互, b为 _相__反_a_的_,向a量 b，那__么0____

b就
可以表示为从向量b的终点指向向量a
的终点的向量.
(比较：如果两个向量a,
b首尾顺次连接，
则a b可表示为从向量a的始点指向向量
向量的减法：
r
r
a
Oa
r
起 A点
r
b
rr
相
b
ab
同
B 指向被减向量
rr
uuur r uuur r
已知向量 a 、b , 在平面内任取一点O，作OA a,OB b,
((33))aa((aa)) 00;; (４)(若3)a,b(是a互) 为0相; 反向量,那么(3)a =_(__ba_), 0b; (=3–_)_a_, (a)
(3)(a1)(b0a)=__00;_;_
§ 2.2 向量的减法
向量的加法：
a r b
首
C
尾
相
ab
r接
b
A
a
B
rr
uuur r uuur r
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
uuur r r
rr
则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
r r uuur uuur uuur

经典例题
题型二 利用已知向量表示其他向量
总结 三个技巧 1.搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三 个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． 2.注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交 换律来分析解决问题． 3.注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
又|A→D＋C→D|＝|D→A＋D→C|＝|D→B|，|C→D－C→B|＝|B→D|＝|D→B|，∴D 正确；
A 肯定不正确，故选 BCD．
当堂达标
4.已知 A，B，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若P→A ＋P→B ＝P→C ＋A→B ，则下列结论正确的是( ) A．点 P 在△ABC 内部 B．点 P 在△ABC 外部
经典例题
题型一 向量加减法法则的应用
例1 化简(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． 解：方法一(统一成加法) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝ A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝A→D＋D→A＝0. 方法二(利用减法)
(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(A→B－A→C)－C→D＋B→D
课堂小结
知识点： 1.相反向量 2.向量减法 3．|a－b|与|a|，|b|之间的关系 题型： 1. 向量加减法法则的应用 2.利用已知向量表示其他向量 3.向量减法的应用
课后作业
对应课后练习
C．点 P 在直线 AB 上 √D．点 P 在直线 AC 上
解析：因为P→A ＋P→B ＝P→C ＋A→B ，所以P→B －P→C ＝A→B －P→A ， 所以C→B ＝A→B ＋A→P ，C→B －A→B ＝A→P ，即C→A ＝A→P . 故点 P 在边 AC 所在的直线上．

− = + (−)
− = + (−)
二：新知探究
1：相反向量的定义：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相
反向量，记作 −.
a
(1) −(−)=
(2) 规定：零向量的相反向量仍是零向量
-a
(3) +(−)=(−)+=0
(4) 若,互为相反向量，则=−, =−, +=0
示向量 , 吗？
D
C

A
解:
, ,
由向量加法的平行四边形法则，得
= + = +

B
表
由向量的减法可得，
= − = −
四：课堂小结
1：向量减法运算的定义
逻辑推理
2：向量减法运算的几何意义
数学运算
直观想象
3：向量减法运算的三角不等式
数学抽象
类
比
数
形
结
合
向量减法的几何意义：
− = − = ,表示从向量的终点指向
向量的终点的向量
例 如下图：已知, , , , 求作 − , −
-
A

D
B
-






作法：
1.在平面上任取点O，作 = , = , =
, =
2.作, ,则= − , = − 为所求


B − A
O
−


A
b
D
− 可以表示为向量的终点指向向量的终点
同起点，连终点，指向被减向量

B

O −
A
3：向量减法的运算法则：

1234 5
五、课堂检测
则|O→C|＝|B→A|， 即平行四边形 OACB 的对角线相等， ∴平行四边形 OACB 是矩形， ∴a⊥b.]
1234 5
六、课堂小结
回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量减法的实质是什么？ [提示] 向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加 上这个向量的相反向量．
四、典例分析
1.如图所示，O 为△ABC 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，求作：
(1)向量 b＋c－a； (2)向量 a－b－c.
四、典例分析
[解] (1)以O→B，O→C为邻边作▱OBDC，如图，连接 OD，AD，则O→D＝O→B＋O→C＝b＋c，A→D＝O→D－O→A＝b ＋c－a.
五、课堂检测
1．在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，则B→C＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．b－a C [B→C＝A→C－A→B＝b－a.]
D．－a－b
1234 5
五、课堂检测
2．如图，在四边形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→C＝c，则D→C 等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c [答案] A
四、典例分析
[解] (1)原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C ＝0.
四、典例分析
2．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B).
1234 5
五、课堂检测
4．设正方形
ABCD
的边长为

2.2 向量的减法学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一 相反向量思考 实数a 的相反数为－a ，向量a 与－a 的关系应叫作什么？ 答案 相反向量.梳理 与a 长度相等、方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a . (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量. (2)－(－a )＝a .(3)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(4)若a 与b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. 知识点二 向量的减法思考1 根据向量的加法，如何求作a －b ?答案 先作出－b ，再按三角形法则或平行四边形法则作出a ＋(－b ). 思考2 向量减法的三角形法则是什么？ 答案 (1)两个向量a ，b 的始点移到同一点； (2)连接两个向量(a 与b )的终点；(3)差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点.这种求差向量a －b 的方法叫作向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.梳理 (1)定义：向量a 加上b 的相反向量，叫作a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b ).求两个向量差的运算，叫作向量的减法.(2)几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示.(3)文字叙述：如果把向量a 与b 的起点放在O 点，那么由向量b 的终点B 指向被减向量a 的终点A ，得到的向量BA →就是a －b .知识点三 |a |－|b |，|a ±b |，|a |＋|b |三者的关系思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a |－|b |，|a ±b |，|a |＋|b |三者关系是怎样的？ 答案 它们之间的关系为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.梳理 当向量a ，b 不共线时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |.当a 与b 共线且同向或a ，b 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.当a 与b 共线且反向或a ，b 中至少有一个为零向量时，不妨设|a |>|b |，作法同上，如图(3)，此时|a ＋b |＝||a |－|b ||.故对于任意向量a ，b ，总有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.① 因为|a －b |＝|a ＋(－b )|，所以||a |－|－b ||≤|a －b |≤|a |＋|－b |， 即||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.②将①②两式结合起来即为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1.相反向量就是方向相反的向量.( × )提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系. 2.向量AB →与BA →是相反向量.( √ ) 提示 AB →与BA →大小相等、方向相反. 3.－AB →＝BA →，－(－a )＝a .( √ ) 提示 根据相反向量的定义可知其正确. 4.两个相等向量之差等于0.( × )提示 两个相等向量之差等于0.类型一 向量减法的几何作图例1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .考点 向量减法法则 题点 求作差向量解 方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c . 引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？解 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .反思与感悟 在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点时，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.跟踪训练1 如图所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d .考点 向量减法法则 题点 求作差向量解 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .则a －b ＝BA →，c －d ＝DC →. 类型二 向量减法法则的应用 例2 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →). 考点 向量减法法则 题点 利用向量减法法则化简解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点. 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →). 考点 向量减法法则 题点 利用向量减法法则化简解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0. 类型三 向量减法几何意义的应用例3 已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围. 考点 向量减法的几何意义题点 由向量三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |求向量模的取值范围解 ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15. 当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3，15].反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(2)在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向相同时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相同且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.跟踪训练3 在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，若|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形 考点 向量减法的几何意义题点 利用向量判断平面几何图形形状 答案 B解析 ∵AC →＝a ＋b ，∴四边形ABCD 为平行四边形. 又∵DB →＝a －b ，|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|.∴四边形ABCD 为矩形.1.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( )A.a ＋b 和a －bB.a ＋b 和b －aC.a －b 和b －aD.b －a 和b ＋a考点 向量加、减法法则 题点 向量加、减法法则 答案 B解析 由向量的加法、减法法则，得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a . 故选B.2.化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ → 考点 向量减法法则 题点 利用向量减法法则化简 答案 B3.若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝ . 考点 向量的模 题点 结合图形求模长 答案 2解析 |AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2.4.若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为 ，|a －b |的最大值为 .考点 向量减法的几何意义题点 由向量三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |求向量模的取值范围 答案 7 175.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.考点 向量加、减法法则 题点 利用已知向量表示其他向量 解 ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ， BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a －b ＝a ＋(－b ).2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.3.平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别为AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.一、选择题1.化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C.0 D.MN → 考点 向量加、减法法则 题点 利用向量加、减法法则化简 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.2.已知一点O 到▱ABCD 的3个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，则向量OD →等于( ) A.a ＋b ＋c B.a －b ＋c C.a ＋b －cD.a －b －c考点 向量加、减法法则 题点 利用已知向量表示其他向量 答案 B解析 如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝OA →－OB →＋OC →＝a －b ＋c .故选B.3.在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →－DC →＝0 B.AD →－BA →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0考点 向量加、减法法则 题点 利用向量加、减法法则化简 答案 C解析 ∵AB →＝DC →，∴AB →－DC →＝0，A 正确； ∵AD →－BA →＝AD →＋AB →＝AC →，B 正确； ∵AB →－AD →＝AB →＋DA →＝DB →，C 错误；∵AD →＝BC →，∴AD →＝－CB →，∴AD →＋CB →＝0，D 正确.4.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0 考点 向量加、减法法则 题点 利用向量加、减法法则化简 答案 A解析 AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.5.(2017·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为AB →的是( ) ①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 A解析 因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →，所以④正确，排除B ，故选A.6.在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A.1 B.2 C.32D. 3 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 D解析 如图，作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3.7.如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A.a －b ＋cB.b －(a ＋c )C.a ＋b ＋cD.b －a ＋c考点 向量加、减法法则 题点 利用已知向量表示其他向量 答案 A 二、填空题8.已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝ . 考点 向量的模 题点 结合图形求模长 答案 13解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°， ∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →|＝13. ∵OA →＝a ，OB →＝b ， ∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →， ∴|a －b |＝|BA →|＝13.9.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝ .考点 向量加、减法法则 题点 利用向量加、减法法则化简 答案 CA →10.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝ .考点 向量加、减法的几何意义题点 利用向量加、减法的几何意义求模长答案 2解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法的几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →.∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴|AD →|＝|CB →|.又∵|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2. 11.已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝2，∠AOB ＝π3，则|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ . 考点 向量加、减法的几何意义题点 利用向量加、减法的几何意义求模长答案 23 2解析 如图，则a ＋b ＝OC →，a －b ＝BA →.因为|a |＝|b |＝2，∠AOB ＝π3，所以△AOB 为等边三角形，故|a ＋b |＝|OC →|＝2|OM →|＝23， |a －b |＝|BA →|＝2.三、解答题12.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.考点 向量加、减法的几何意义题点 利用向量加、减法的几何意义求模长解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∵AC →＝c ，∴延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ，则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝AB →－BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.∴|a －b ＋c |＝2.13.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，求|a ＋b |的值.考点 向量加、减法的几何意义题点 利用向量加、减法的几何意义求模长解 在平面内任取一点A ，作AD →＝a ，AB →＝b ，则AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b .由题意知，|AB →|＝|BD →|＝2，|AD →|＝1.如图所示，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AB 交直线AB 的延长线于点F .∵AB ＝BD ＝2，∴AE ＝ED ＝12AD ＝12. 在△ABE 中，cos ∠EAB ＝AE AB ＝14.在△CBF 中，∠CBF ＝∠EAB ，∴cos ∠CBF ＝14， ∴BF ＝BC cos ∠CBF ＝1×14＝14，∴CF ＝154. ∴AF ＝AB ＋BF ＝2＋14＝94. 在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋CF 2＝8116＋1516＝6， ∴|a ＋b |＝ 6.四、探究与拓展14.若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 所在直线的夹角是 . 考点 向量加、减法的几何意义题点 利用向量加、减法的几何意义求夹角答案 30°解析 设OA →＝a ，OB →＝b .则a －b ＝BA →.∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴|OA →|＝|OB →|＝|BA →|，∴△OAB 是等边三角形，∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ，∴a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.15.已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.考点 向量加、减法的几何意义题点 利用向量加、减法的几何意义求模长解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如图所示.则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝|DB →|.又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，由勾股定理得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10. 所以|a －b |＝10.。

a 求作向量b a.
B
b
B
a b
A

ba
A
b O BA a b
a
b O a AB b a
a b
a
b
a
a b
a a b
b
b
1)蓝色为a,黑色为b,红色? 2)红色为a,黑色为b,蓝色? 3)红色为a,蓝色为b,黑色?
如图：已知平行四边形ABCD，
AB a, AD b, 试用向量a和b 分别表示向量CB, CA， BD
D
b
A
C
a
B
C
AB+BC=AC
AC-AB=BC
A
B
向量的减法 向量的减法
向量加法三角形法则
向量相加
首尾相接,由始到终
向量减法法三角形法则 向量相减
起点相同,终点相连,指向被减 起点相同,终点相连,由后到前
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
例4 如图：已知平行四边形ABCD，
AB a, AD b, 试用向量a和b 分别表示向量AC, DB. D C AC AB BC b ab DB AB AD B A a a b
例 说出下列向量的差。
向量相减 (1)OA OB BA 起点相同,由后到前 (2) AB AD DB
(1) AB AC BD CD (2) MN MP PQ
例 化简：
(3) BC AC BC CA BA (4) BO DO BO OD BD
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量