微积分学基本定理(新编2019教材)

§2 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答案 不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常用函数积分公式表1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × )2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ； (2)2π2sin cos d 22x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； (3)ʃ30(x －3)(x －4)d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )|21 ＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.(2)∵⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x 2 ＝1－sin x ， ∴2π2sin cos d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π20(1sin )d x x ⎰－＝π20(cos )|x x ＋＝⎝⎛⎭⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (3)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12，∴ʃ30(x －3)(x －4)d x ＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－72x 2＋12x 30＝⎝⎛⎭⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 求下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)π222cos sin d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰；(3)ʃ94x (1＋x )d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3＋ln x 21＝⎝⎛⎭⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝⎛⎭⎫12－13＋ln 1＝ln 2－56.(2)π222cos sin d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π20cos d x x ⎰＝π20sin |x ＝1. (3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝3292421|32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝322219932⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭－322214432⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭＝2716.命题角度2 求分段函数的定积分 例2 求下列定积分：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求ʃ40f (x )d x ；(2)ʃ20|x 2－1|d x .考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解(1)ʃ40f (x )d x ＝π2sin d x x ⎰＋2π21d x ⎰＋ʃ42(x －1)d x＝π20(cos )|x －＋2π2|x ＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－x 42＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝2. 反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝_______.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋e x，0≤x ≤1，x －1x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x ＝______.考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 (1)2e －2 (2)e ＋32－ln 2解析 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝－e 0＋e 1＋e 1－e 0＝2e －2.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10(2x ＋e x )d x ＋ʃ21⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝(x 2＋e x )|10＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x 21＝(1＋e)－(0＋e 0)＋⎝⎛⎭⎫12×22－ln 2－⎝⎛⎭⎫12×1－ln 1 ＝e ＋32－ln 2.类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________. (2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)3 (2)⎣⎡⎦⎤23，2解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2，求t . 解 由ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ， 又f ⎝⎛⎭⎫t 2＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值． 解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14(t >0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)[0,2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2，x ∈(0,1]． ∴f (x )的值域为[0,2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 D解析 ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.2．π2312sin d 2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D 解析π2312sin d 2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π3cos d θθ⎰＝π30sin |θ＝32. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝56. 4．已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ31f (－x )d x ＝________.考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 23解析 ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (－x )＝x 2－2x ，∴ʃ31f (－x )d x ＝ʃ31(x 2－2x )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 231＝9－9－13＋1＝23. 5．求函数f (a )＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．考点 微积分基本定理的综合应用 题点 微积分基本定理的综合应用解 ∵ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2，∴f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1， ∴当a ＝－1时，f (a )有最小值1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2－ln 2 B ．e 2－e －ln 2 C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D解析 ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2. 2．若π2(sin cos )d x a x x ⎰－＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3D. 3考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 A 解析π2(sin cos )d x a x x ⎰－＝π20(cos sin )|x a x －－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分答案 B解析 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫4x －13x 320＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233.5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用解析 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于() A ．－13 B ．－1C.13 D ．1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10＝13＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝－13.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 sin 1－23解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|10＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 －1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4， 2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 13解析 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________. 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812B.4＋3π12C.4＋π4D.－4＋3π12 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ，ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝ ⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一， 故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e -，f ′(x )>0时，0<x <12e -，f ′(x )<0时，x >12e -，所以f (x )在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减．所以f (x )max ＝12e f -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。

什么是微积分基本定理
微积分基本定理是数学中重要的定理，被广泛用于其他理论的建立。

它可以帮助我们找到两个量之间的关系，从而可以解决许多数学和物理问题。

首先要搞清楚的是，什么是微积分基本定理？它指的是将定积分等同于要积分函数的原函数求得的定理。

定积分，即定积减积，是指将一个定义域上的函数从一个边界的 x 值积分至另一个边界的 x 值，从而求出两个边界之间的函数量。

而要积分函数，则是指在定积减积之后，把求得的积分量与 x 值结合起来，所得到的函数。

为了更好地解释微积分基本定理，我们先来看看其应用实例。

比如有函数
y=f(x)，它的解析解为 y=ax+b，那么它的反函数就是 y=f^(-1)(x)=b/a-x/a。

而反函数的积分就对应于原函数，只要把积分结果与 x 值捆绑，就可以得到原函数（即要积分函数）的值了。

以上就是微积分基本定理的应用，新兴的微分方程学中也有着广泛的应用，微积分基本定理是微分方程学中基本的定理，它可以帮助我们解决定常系统的可积存在性，将微分方程转化为定常方程，只要通过微积分基本定理，就可以将微分方程的解更为方便地求得。

从上面的分析中，我们可以看出，微积分基本定理是非常重要的定理，它不仅在微积分中被广泛运用，还在物理和工程等研究中发挥着重要作用。

因此，微积分基本定理为解决许多数学问题提供了重要的理论依据，为解决微分方程和定动系统提供了有效的解决方案，它在物理和工程等研究中发挥了重要作用。

微积分七个基本定理
1、定义域定理（积分定义域定理）：如果函数f（x）有连续的导数f'(x)，那么f（x）在定义域内具有定义连续性。

2、基本定理（积分基本定理）：设内一区间上有一函数f（x），若f（x）在这区间上存在连续的导数f'(x)，那么f（x）的定积分就存在，且可以用反常积分形式表示。

3、基本定理（积分变换定理）：如果函数f(x)和函数g(x)都在某一区间(a,b)上具有反常积分，则有f(x)g(x)在区间(a,b)上有定积分。

4、分部积分定理（部分积分定理）：若f（x）是a到b范围内任意一点x上的可积函数，则有∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx。

5、置换定理：积分置换定理正如名字说的，即把函数f（x）的变量由x换成g（x）的变量，在规定的变换空间内，得到的积分值相等。

6、定理（积分级数定理）：积分级数定理表明，若函数f（x）在区间[a,b]上连续，那么函数的定积分值等同于其积分级数的和。

7、变量替换定理：变量替换定理定义为：如果函数f（x）与变量x 具有连续导数，且变量u=g（x）具有连续导数，那么：∫f（u）d u=∫f （x）g'（x）dx。