第四章系统的频率特性分析 机械工程控制基础 教案

Chp.4 频率特性分析
基本要求
1．掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响 应函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法； 掌握动刚度与动柔度的概念。
2．掌握频率特性的Nyquist图和Bode图的组成原理， 熟悉典型环节 的Nyquist图和Bode图的特点及其绘制， 掌握一般系统的Nyquist图和 Bode图的特点和绘制。
振幅为0；
输出相位总是滞后输入900。
3、 微分环节
G(s)=s
频率特性：G(jω)=jω →∣G(jω)∣=ω u(ω)=0
∠G(jω)=900 v(ω)=ω
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=0 ∠G(jω)=900
ω=∞ ∣G(jω)∣=∞ ∠G(jω)=900
轨迹：与正虚轴重合的直线，由原点无穷远点指向无穷远点，相
（例） 2、用jω替代s：
求出G(s)后，用jω替代s即可。（证明，例） 3、实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。
方法：①改变输入信号频率ω，测出相应输出的幅值和相位 ②画出XO(ω)/ Xi与ω曲线 →获幅频特性 画出Ф(ω)与ω曲线 →相频特性
系统数学模型获取方法： p.89 四、频率特性的特点：
① 幅频特性：
讨论：a)非线性，用渐近线表示。 b)ω《ωT（低频渐近线）：20lg|G(jω)|≈20lgωT20lgωT=0 一条与0dB线完全重合的直线，止于（ωT，0） c) ω》ωT（高频渐近线）：20lg|G(jω)|≈20lgωT20lgω 截距20lgωT，斜率-20dB/dec,始于（ωT，0） d) 转角频率ωT：低频渐近线与高频渐近线的交点 e) 低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。 高频输出很快衰减。 f) 误差：渐近线与精确对数曲线的差值e(ω) 低频：
本章难点
1．一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。 2．频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。
§1 概述
一、频域法的特点： 系统分析法：时域法、频域法 ① 仅数学语言表达不同：将t转换为ω，不影响对系统本身物理过 程的分析； ② 时域法侧重于计算分析，频域法侧重于作图分析； 工程上更喜欢频域法 ③ 优点：a)系统无法用计算分析法建立传递函数时，可用频域法求 出频率特性，进而导出其传递函数；
一条直线。
结论：高、低频信号都能全部通过，频率越高，增益越大，相位
越超前。 6、振荡环节：
变化：ω=0 （λ=0） ∣G(jω)∣=1
∠G(jω)=00
∠G(jω)=-900
ω= ωn
（λ=1）
∣G(jω)∣=1/2ζ
ω=∞
（λ=∞ ） ∣G(jω)∣=0
∠G(jω)=-1800
轨迹：在三、四象限内的曲线。起点（1，j0），终点（0，j0）
G(jω)是谐波输入下的时域中的稳态响应，而在频域中，系统随 ω变化反映系统动态特性。
3、频域分析比时域容易。 a) 分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析； b) 易于稳定性分析； c) 易于校正，使系统达到预期目标； d) 易于抑制噪声，用频率特性易于设计出合适的通频带，抑制噪 声。
§2频率特性的Nyquist图（极坐标图）
1、G(jω)是w(t)的F变换。 因为X0(s)=G(s)Xi(s) xi(t)=δ(t) Xi(s)=1 →x0(t)=w(t) 所以，X0(jω)= G(jω) 即F[w(t)]= G(jω) 结论：对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分 析。 2、G(jω)在频域内反映系统的动态特性。
20lg|G(jω)|=-20lgω 线性关系 ω=1 （lgω=0） 20lg|G(jω)|=0dB ω=10（lgω=1） 20lg|G(jω)|=-20dB 曲线通过（1，0）、（10，-20） 斜率:-20dB/dec 令y=20lg|G(jω)|，x= lgω，则y=-20x ②
与ω无关 过（0，90o）平行于横轴的直线。
3．了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。 4．掌握频域中性能指标的定义和求法； 了解频域性能指标与系统性 能的关系。 5． 解最小相位系统和非最小相位系统的概念。
重点与难点 本章重点
1．频率特性基本概念、代数表示法及其特点。 2．频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系 统频率特性的两种图形的绘制。 3． 频域中的性能指标。
坐标图。
二、典型环节的Nyquist图：
1、 比例环节：
G(s)=K
频率特性：G(jω)=K →∣G(jω)∣=K u(ω)=K
∠G(jω)=00
v(ω)=0
轨迹：一条与实轴重合的直线。
Байду номын сангаас
结论：比例环节的幅、相频率特性与ω无关；
输出量的振幅永远是输入量振幅的K倍，且相位永远相同。
2、 积分环节：
G(s)=1/s
频率特性分析常用图示法：极坐标图（Nyquist），对数坐标图 （Bode） 一、极坐标图的绘制：
Nyquist图：当ω由0→∞时，G(jω)（矢量）的端点在[G(jω)]复平 面上所形成的轨迹。 矢量：即为频率特性G(jω)
对ω=ω1 在实轴上投影：G(jω)实部，u(ω)=u(ω1) 在虚轴上投影：G(jω)虚部，v(ω)=v(ω1) G(jω1)= u(ω1)+ jv(ω1) 模
二、典型环节的Bode图： 1、 比例环节：G(jω)=K ① |G(jω)|=K 20lg|G(jω)|=20lgK 对数幅频特性曲线：一条水平线，分贝数20lgK K值大小使曲线上下移动。
② ∠G(jω)=arctg(0/k)=0o （图4.4.2） 2、 积分环节
与0o线重合，与K值无关。
①
b)验证原传递函数的正确性： 计算法建立的传递函数，通过实验求出频率特性以验证；
c)物理意义较直观。 ④ 缺点：仅适用于线性定常系统
工程上大量使用频域法。 二、基本概念： 1、频率响应：
定义：系统对正弦（或余弦）信号的稳态响应。 输入：xi(t)=Xisinωt 输出：包括两部分： ① 瞬态响应：非正弦函数，且t→∞时，瞬态响应为零。 ② 稳态响应：与输入信号同频率的波形，仍为正弦波，但 振幅和相位发生变化。
低端，轨迹的渐近线与负实轴平行，高端时，轨迹趋于原点
可见，无论0、Ⅰ、Ⅱ型系统，低端幅值都很大，高端都趋于0
→控制系统总是具有低通滤波的性能。
四、例题：
1、 已知系统的传递函数
，试绘制其Nyquist图。（图4.3.1） 2、已知系统的传递函数
，试绘制其Nyquist图。（图4.3.2） 3、已知系统的传递函数
G(jω)=jωT+1 →u(ω)=1 v(ω)= ωT
∠G(jω)=arctgωT
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=1
∠G(jω)=00
ω=1/T ∣G(jω)∣=1.414k ∠G(jω)=450
ω=∞ ∣G(jω)∣=∞
∠G(jω)=900
轨迹：始于正实轴点（1，j0），且平行于虚轴，在第一象限内的
③若
则
20lg|G(jω)|= 20lgk-20lgω 相当于y=b-20x 3、 微分环节G(jω)= jω
①|G(jω)|= ω 20lg|G(jω)|= 20lgω 为一条斜率20dB/dec的直线 ω=1 （lgω=0） 20lg|G(jω)|=0dB →直线通过（1， 0） ②
与ω无关 4、 惯性环节：
fig4.1.1 讨论：a)频率响应仅是时间响应的特例；
b)频率响应反映系统的动态特性：输出随ω变化（非t）； c)为何选简谐信号为输入？
原因：工程上绝大多数 周期信号可用F变换展开成叠加的离散谐波信号； 非周期信号可用F变换展开成叠加的连续谐波信号。 →用正弦信号作输入合理。
2、频率特性G(jω):（为幅频特性和相频特性的总称） 定义：频域中，系统的输入量与输出量之比。
讨论：①G(jω)是复数，可写成：
G(jω)=u(ω)+jv(ω)=∣G(jω)∣ejφ(ω)=A(ω)∠Ф(ω)
u(ω)：为G(jω)的实部 →实频特性； v(ω)：为G(jω)的虚部 →虚频特性。 ③ 幅频特性∣G(jω)∣：输出量的振幅与输入量的振幅之 比。
∣G(jω)∣反映输入在不同ω下，幅值衰减或增大的特 性。
频率特性：G(jω)=1/jω →∣G(jω)∣=1/ω u(ω)=0
∠G(jω)=-900
v(ω)=-1/ω
变化：ω=0 ∣G(jω)∣=∞ ∠G(jω)=-900
ω=∞ ∣G(jω)∣=0 ∠G(jω)=-900
轨迹：一条与负虚轴重合的直线，由无穷远点指向原点，相位总
是-900
结论：低频（ω→0）时，输出振幅很大，高频（ω→∞）时输出
轨迹：四象限内的一半圆。（图4.2.1）
结论：①低频端（ω→0）时，输出振幅等于输入振幅，输出相位
紧跟输入相位，即此时信号全部通过；
②随ω↑，输出振幅越来越小（衰减），相位越来越滞
后；
③高频端（ω→∞）时输出振幅衰减至0，即高频信号被完
全滤掉
（实际上是一个低通滤波器）
5、 一阶微分环节：G(s)=Ts+1
相角
Nyquist图既表示实频和虚频特性，也反映幅频和相频特性。 绘制步骤：①由G(jω)列出∣G(jω)∣和∠G(jω)表达式；
角∠G(jω)走向：逆正顺负
②ω在[0，∞]取不同值，代入∣G(jω)∣、
∠G(jω)，获得相应值；
③在相应于∠G(jω)射线上，截取∣G(jω)∣值；
④将∣G(jω)∣线段的终点连接起来，即获得G(jω)的极
位总是900
结论：低频（ω→0）时，输出振幅为0，高频（ω→∞）时输出
振幅很大；
输出相位总是超前输入900。