五年级 第四讲 加法、乘法原理

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。

而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。

让我们先来聊聊加法原理。

想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。

那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。

加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。

比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。

假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。

那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。

再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。

那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。

接下来，我们说一说乘法原理。

假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。

那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。

这就是乘法原理。

乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。

比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。

加法原理,乘法原理运算是现代社会不可缺少的一种基本技能，它不仅在学校教育中被广泛的使用，在实际的日常生活中同样也被广泛的使用。

基本的运算有加法、减法、乘法和除法，加法和乘法是其中最重要的。

加法原理指：加法是求和，两数相加，求它们之和。

乘法原理指：乘法是求积，两数相乘，求它们之积。

加法原理的核心思想是“多位一体”，即可以把多个小的数字合并成一个大的数字。

它的标准形式是“两个数字相加，求它们之和”，其具体步骤如下：1、从个位开始，对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其十位数记录在结果中，将十位数和个位数相加，得出最终的结果。

2、从十位开始，对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其百位数记录在结果中，将百位数和十位数相加，得出最终的结果。

3、以此类推，不断对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其余位数记录在结果中，将余位数和相邻位数相加，得出最终的结果。

乘法原理的核心思想是“重复加法”，即可以连续的进行加法运算来进行乘法运算。

它的标准形式是“两个数相乘，求它们之积”，其具体步骤如下：1、将乘数乘以被乘数的每一位，得到一个临时结果，然后把所有的临时结果相加，得到最终的结果。

2、如果某一位的结果大于等于10，则将其结果的十位数加到下一位中，将其个位数留在当前位中，然后将所有的结果相加，得到最终的结果。

以上就是加法原理和乘法原理的基本概念，只要掌握了这两个原理的基本概念，我们就可以轻松的完成加法和乘法的运算。

在数学学习和实际应用中，加法和乘法原理是不可缺少的必修课程，能够帮助我们理解和掌握运算，有助于我们日常生活的更科学、更高效的运用。

加法原理和乘法原理
1.加法原理：
加法原理也称为分情形原理，是指对一个由相互独立的事件构成的事件总和，其计数等于这些事件各自计数的总和。

简单来说，当我们需要从A和B两个集合中选择元素，或者进行两个动作时，可以使用加法原理来计数。

加法原理的表达式可以表示为：，
A∪B，=，A，+，B，-，A∩B。

一个例子是，有5个红球和3个蓝球，我们要从中选3个球。

这里红球和蓝球是分别独立的集合，使用加法原理可以直接将选红球的方式数目与选蓝球的方式数目相加，即C(5,3)+C(3,3)=10+1=11
2.乘法原理：
乘法原理也称为连乘法则，是指对一个多步操作的计数问题，其计数等于每个步骤计数的乘积。

乘法原理可以用于计数多个独立事件同时发生的可能性。

乘法原理的表达式可以表示为：，A×B，=，A，×，B。

一个例子是，有4个人，每个人有3种选择，问有多少种不同的选择方式。

我们可以将这个问题分解成4个独立的选择过程，并将每个选择过程的可能性相乘：3^4=81
乘法原理还可以推广到更多步骤的操作。

比如，在一个密码中，每位密码有10个可能的选项，密码有4位。

使用乘法原理，我们可以计算出总共有10^4=10,000种不同的密码可能性。

总结起来，加法原理和乘法原理是计数问题中非常重要的基本原理。

它们可以帮助我们计算各种可能性的总数，从而解决各种实际问题。

在实际应用中，我们通常需要灵活地使用这两个原理，结合具体问题进行推理和计算。

加法原理和乘法原理首先，我们来了解一下加法原理。

加法原理是指求解一个问题的总数时，将问题分解为若干个子问题，并将每个子问题的解相加，从而得到整体的解的过程。

例如，假设一个班级有10个男生和15个女生，要从中选出一名学生担任班长。

根据加法原理，我们可以将问题分解为两个子问题：选出一个男生作为班长和选出一个女生作为班长。

然后，我们计算每个子问题的解的个数，并将它们相加，得到总的解的个数：男生子问题的解的个数为10个，女生子问题的解的个数为15个。

因此，根据加法原理，总的解的个数为10+15=25个。

在实际应用中，加法原理常常用于计算组合问题的总数。

例如，假设我们有4种不同的水果可以选择，要选择其中一个水果。

根据加法原理，我们可以将问题分解为4个子问题：分别选择苹果、橙子、香蕉和草莓。

然后，计算每个子问题的解的个数，并将它们相加，得到总的解的个数：4个。

也就是说，根据加法原理，我们共有4种选择。

接下来，我们来了解一下乘法原理。

乘法原理是指求解一个问题的总数时，将问题分解为若干个独立的步骤，并将每个步骤的解相乘，从而得到整体的解的过程。

例如，假设我们要从一副扑克牌中抽出一张红心牌并抽出一张A牌。

根据乘法原理，我们可以将问题分解为两个独立的步骤：先抽出一张红心牌，再从红心牌中抽出一张A牌。

然后，计算每个步骤的解的个数，并将它们相乘，得到总的解的个数：抽出一张红心牌的解的个数为26个（一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有26张），从红心牌中抽出一张A牌的解的个数为4个（红心牌中有4张A牌）。

因此，根据乘法原理，总的解的个数为26*4=104个。

综上所述，加法原理和乘法原理是数学中的基本原理，用于计算和解决组合问题和概率问题。

它们在实际应用中具有广泛的应用价值，帮助我们更好地理解和解决各种复杂的计算问题。

通过加法原理和乘法原理，我们可以将复杂的问题拆解为简单的子问题，从而更容易得到问题的解。

乘法原理与加法原理乘法原理和加法原理是数学中常用的两个基本原理，它们在概率、组合数学和统计等领域中扮演着重要的角色。

本文将介绍乘法原理和加法原理的概念、应用以及一些实际问题中的例子。

一、乘法原理乘法原理是指当两个同时进行的事件分别有m和n种可能结果时，这两个事件同时进行所产生的结果有m × n 种可能。

例如，现有一件衣服有3种颜色可选，一件裤子有2种颜色可选，那么选择一件衣服和一条裤子的组合共有3 × 2 = 6种可能。

乘法原理的应用也可以扩展到更多个事件同时进行的情况。

假设有一道选择题，每个题目有4个选项，共有10道题目，那么这套题目的总可能性为4的10次方（4^10）。

乘法原理还可以用于计算排列组合的问题。

假设有8个人排成一排，那么第一个位置有8种可能，第二个位置有7种可能，以此类推，直到第八个位置有1种可能。

因此，这8个人的排列方式总共有8 × 7× ··· × 1 种可能。

二、加法原理加法原理是指当两个事件互不相容，即不同时发生时，这两个事件的总结果为m + n 种可能。

例如，一条裤子的价格可能是200元或者300元，那么购买一件裤子时有两种可能的价格情况，即200元或者300元，因此总共有2种可能。

加法原理的应用也可以拓展到更多个事件的情况。

假设一个班级由30位男生和40位女生组成，那么该班级中一共有30 + 40 = 70位学生。

在计算概率时，加法原理可以用来计算两个事件同时发生的概率。

例如，在一副扑克牌中，黑桃的数量为13张，红桃的数量也为13张，那么从中随机抽出一张牌，这张牌是黑桃或者红桃的概率为13/52 +13/52 = 26/52 = 1/2。

三、乘法原理与加法原理在实际问题中的应用1. 随机密码的生成假设一个随机密码由8位字符组成，每一位字符可以是数字、大写字母或小写字母。

根据乘法原理，对于每一位字符，有10种数字选择、26种大写字母选择和26种小写字母选择，因此总共有10 × 26 × 26× ··· × 26种可能。

加法原理乘法原理加法原理和乘法原理是概率论中重要的基本原理，它们在计算概率问题时起到了至关重要的作用。

本文将详细介绍加法原理和乘法原理，并从实际问题的角度解释这两个原理。

一、加法原理：加法原理是指当可能发生的两个事件互不相容时，其概率可以通过将两个事件的概率相加来计算。

假设有两个事件A和B，它们互不相容，即A和B不可能同时发生。

那么，这两个事件的概率可以用加法原理进行计算。

对于事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么事件“A或B 发生”的概率可以表示为P(A∪B)。

根据加法原理，有以下公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)加法原理可以简单地理解为，当两个事件互不相容时，事件“A或B 发生”的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。

举例说明：假设考虑一个掷骰子的问题，事件A表示掷骰子出现1的概率，事件B表示掷骰子出现2的概率。

由于掷骰子不可能同时出现1和2，所以事件A和B互不相容。

根据加法原理，事件“A或B发生”的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。

假设掷骰子出现1的概率为1/6，出现2的概率为1/6，那么事件“A或B发生”的概率为1/6+1/6=1/3加法原理的应用不仅仅局限于两个事件，它可以推广到多个互不相容的事件之间。

如果有n个互不相容的事件A1，A2，...，An，那么它们的概率之和可以表示为：P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)二、乘法原理：乘法原理指出当一个事件发生的次数与另一个事件发生的次数有关联时，可以通过将两个事件的概率相乘来计算它们同时发生的概率。

假设有两个事件A和B，它们的发生次数有一定的关联。

那么，这两个事件同时发生的概率可以用乘法原理进行计算。

对于事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么事件“A和B 同时发生”的概率可以表示为P(A∩B)。

根据乘法原理，有以下公式：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)乘法原理可以简单地理解为，事件“A和B同时发生”的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率。

加法原理和乘法原理（5年级）----关于计数类问题一、加法原理：如果完成一件事，有几“类”不同的方法，而每一类又有若干种方法（每种方法都能完成这件事），那么完成这件事的方法总数等于每类方法种数的和。

二、乘法原理：如果完成一件事，有几个必不可少的“步”骤，而每个步骤又有若干种不同的方法，那么完成这件事的方法总数等于每个步骤的方法种数的乘积。

注意：“类”和“步”的不同之处,是正确运用加法原理和乘法原理的关键.如果方法能独立地完成某一件事,则把所有这类方法相加,简称为“分类-----加法”.如果方法不能独立地完成某一件事,只是完成了一个步骤,还需要其它步骤的方法配合完成,那么完成这件事的不同方法数,应该把相应每步骤的不同方法相乘,简称为“分步------乘法”例1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。

一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。

那麽，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？解：因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9 种不同的走法。

加法原理:做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。

例2 由 A 村去 B 村的道路有3条，由 B 村去 C 村的道路有2条。

从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？解：从A 村去B 村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B 村到达C 村又有2种不同的走法。

因此，从A 村经B 村去C 村共有 3 × 2 = 6 种不同的走法。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n步有mn种不同的方法。

加法原理、乘法原理基础知识：1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法.3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）第999位数字是多少？（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？（4）数字0一共出现了多少次？问题（1）这个多位数一共有多少位？[答疑编号5721040101]【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了.详解1：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×90=180位；3位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题（2）第999位数字是多少？详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看成百位数为0）.考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，第2类100—199；第3类200—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900—999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有20×9＋120=300个9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题（4）数字0一共出现了多少次？详解4：按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9×10=90次；同理，当0出现在个位时，共有9×10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了99＋90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？[答疑编号5721040102]【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5×6×6=180个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有________个.[答疑编号5721040103]【答案】162【解答】①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9×4＝36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90＋36＋36＝162个符合条件的三位数.例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有________个.[答疑编号5721040104]【答案】480个【解答】方法1：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5×4×3×2=120个；如果包含3个互不相同的数字，我们可以先从5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120＋360＝480个四位数.方法2：排除法.所有可能的四位数有5×5×5×5＝625个；只包含1个数字的有5个，包含2个数字的有5×4×（2×2×2－1）＝140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625－5－140=480个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？[答疑编号5721040105]【答案】774【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学书，根据乘法原理一共有1×9×9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有1×9×7种拿法，同理另外两种情况分别有1×9×7种和9×9×7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1×9×9＋1×9×7＋1×9×7＋9×9×7＝1×9×16＋10×9×7＝144＋630＝774种拿法.例1.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.[答疑编号5721040201]【答案】（1）120（个）；（2）96（个）；（3）36（个）.【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2×3×3×2=36（个）.例2.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?[答疑编号5721040202]【答案】90（种）【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由乘法原理得（10×9）/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有（10×9）/2=45种取法.根据加法原理共有45＋45=90种不同取法.例3.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？[答疑编号5721040203]【答案】150（种）【解答】5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，可以分成3，1，1和2，2，1两类，第一类：分成3，1，1，完成此件事可以分成3步，第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个人，共有种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3，1，1时，根据乘法原理，共有3×10×2=60（种）；第二类：分成2，2，1，完成此件事可以分成3步，第1步：5个人中选出一个人，共有5种选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个，最后一个人去另外一个馆，共有（种），所以当分配成2，2，1时，根据乘法原理，共有5×3×6=90（种）；所以根据加法原理，不同的分配方案共有60＋90=150（种）.例4.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数有多少个？[答疑编号5721040204]【答案】40（个）【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个，共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2×2=4种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有5种排法.根据乘法原理：共有2×4×5=40（种）.例5.在一个3行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？[答疑编号5721040205]【答案】81（种）；1944（种）【解答】「问题1」4枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分4个步骤考虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置；第2步考虑第2列的棋子放在什么位置；第3步考虑第3列的棋子放在什么位置；第4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以方法数一共有3×3×3×3=81种.「问题2」假设4枚互不相同的棋子为A，B，C，D.将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法.第2步放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其它的格子都可以放B，所以一共有9种方法.第3步放棋子C，A、B那两列一共6个格子不能选，所以一共有6种方法.第4步放棋子D，A、B、C三列一共9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法.利用乘法原理，放入4个不同棋子的方法数一共有12×9×6×3=1944种方法.另外一种解法.「问题2」4个棋子要占4个方格，先选出放棋子的4个方格.实际上挑出4个方格的方法数和第1问是完全相同的，总共有3×3×3×3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第1列的方格可以选择A，B，C，D中的任何一个棋子，所以有4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有3种方法；第3列的方格还剩下两个棋子可供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共是4×3×2×1=24种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有24种方法，所以将表格中放入4个互不相同的棋子的总方法数是81×24=1944种.例6. 如图，把图中的8个部分用红、黄、绿、蓝4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？[答疑编号5721040206]【答案】768（种）【解答】按照A，B，D，E，C，G，F，H的步骤进行染色.对A进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对B进行染色的时候由于不能和A同色，所以有3种染色的方法；对D进行染色的时候由于不能和A，B同色，所以只剩2种染色的方法；对E进行染色时不能和B，D同色，所以有2种染色的方法；对C进行染色时不能和B，E 同色，所以有2种染色方法；对G进行染色时不能和D，E同色，所以有2种染色的方法；对F进行染色时不能和D，G同色，所以有2种染色的方法；对H进行染色时不能和E，G同色，所以有2种染色的方法.综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4×3×2×2×2×2×2×2=768种着色的方法.「评议」本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色是否可以？可能有同学发现按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色会算出另外一个答案4×3×3×2×1×3×1×2=432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里要提到利用乘法原理一条重要的原则：“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种染色方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.而按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤来染色就违反了这个原则.请看下面图中的例子：在上面的例子中，左图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、蓝，第5步对E进行染色时只有1种方法；右图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、绿，这样第5步对E进行染色时有2种方法.于是第5个步骤对E进行染色无法确定到底有几种染色的方法，前4步不同的染色方案影响到了第5步的方法数，既然不能确定是1种还是2种，乘法原理自然也就无法应用了.例7.如果一个数与11作竖式乘法的过程中不需要进位，那么就称这个数是“好数”.例如，11、131和142就都是“好数”，而65、78和75都不是“好数”.那么小于300的三位数中共有________个“好数”.[答疑编号5721040207]【答案】106（个）【解答】首先看首位数字是1的“好数”，其十位数字不能是9.在十位数字是8的“好数”中，只有180和181；在十位数字是7的“好数”中，只有170，171和172这3个……在十位数字是0的“好数”中，有100，101……109这10个.因此首位数字是1的“好数”有2＋3＋……＋10=54个.同样方法，可以求出首位数字是2的“好数”有3＋4＋……＋10=54个.因此，小于300的“好数”有54+52=106个.。

乘法原理和加法原理乘法原理和加法原理是数学中常用的两种组合计数方法，它们在解决排列组合问题时起着非常重要的作用。

下面我们将分别介绍乘法原理和加法原理的概念和应用。

乘法原理。

乘法原理是指如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件同时发生的方式有mn种。

换句话说，如果一个事件有m种可能，另一个事件有n种可能，那么这两个事件同时发生的可能性就是mn种。

举个例子，如果有一条裤子有3种颜色，一件衬衫有2种颜色，那么一套上衣下裤的搭配方式就有32=6种。

这就是乘法原理的应用。

在实际生活中，乘法原理常常用于解决排列组合问题，比如在购买商品时，不同商品的搭配方式；在安排活动时，不同活动的组合方式等等。

加法原理。

加法原理是指如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件至少有一种发生的方式有m+n种。

换句话说，如果一个事件有m种可能，另一个事件有n种可能，那么这两个事件至少有一种发生的可能性就是m+n种。

举个例子，如果有一条裤子有3种颜色，一件衬衫有2种颜色，那么至少有一件衣服是红色的搭配方式就有3+2=5种。

这就是加法原理的应用。

在实际生活中，加法原理常常用于解决选择问题，比如在选择课程时，不同课程的选择方式；在选购商品时，不同商品的选择方式等等。

综合运用。

乘法原理和加法原理常常在实际问题中相互结合，通过综合运用这两种原理，我们可以更灵活地解决各种排列组合问题。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择使用乘法原理或加法原理，或者两者结合使用，以便更好地解决问题。

总结。

乘法原理和加法原理是数学中常用的两种组合计数方法，它们在解决排列组合问题时起着非常重要的作用。

通过学习和掌握乘法原理和加法原理，我们可以更好地解决实际生活中的各种组合问题，提高解决问题的能力和效率。

通过上面的介绍，相信大家对乘法原理和加法原理有了更深入的了解，希望大家在实际应用中能够灵活运用这两种原理，解决各种排列组合问题。

加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理是数学中常用的计数原理，它们在解决组合计数问题时非常有用。

这两个原理分别适用于不同的情况，可以帮助我们计算出一系列事件发生的可能性。

加法原理是指，当有两个或更多个事件互斥（即不能同时发生）时，所有事件发生的总数等于各个事件发生的次数之和。

这意味着我们可以将问题拆分为若干个独立的子问题，然后将结果相加。

例如，假设有一个抽奖活动，有3个奖品可以选择。

如果一个人可以选择获得1个奖品或不获得奖品两种情况，那么总共的可能性就是2^3=8种。

这是因为每个奖品都有两个选择：获得或不获得。

加法原理帮助我们将这些选择情况进行累加，得到最终的结果。

乘法原理则适用于有多个步骤或条件的问题。

当每个步骤或条件的选择数目独立且互不影响时，我们可以将各个步骤或条件的选择数目相乘，得到总的组合数目。

例如，假设有一个4道选择题的考试，每道题有3个选项。

我们可以使用乘法原理计算出总的考试可能性数目。

因为每道题都有3个选项，所以一共有3^4=81种可能性。

需要注意的是，加法原理和乘法原理只适用于互斥事件或独立事件。

如果有关联的事件，则不能简单地使用这两个原理。

此外，加法原理和乘法原理提供了一种计算可能性的方法，但并
不保证所有可能都是合理或可行的。

因此，在使用这两个原理时，仍需要结合实际情况进行判断和验证。

加法乘法原理
加法乘法原理是数学中常用的计算原则，它们被广泛应用于各个领域。

加法原理指的是当有多个事件同时发生时，可以将这些事件的数量相加来计算总数。

乘法原理则是用于计算事件之间的组合情况。

加法原理可以简单地理解为“或”的概念。

例如，某班级有男生
和女生两个组别，男生有20人，女生有30人，那么整个班级的总人数就是20+30=50人。

这里的加法原理就是将两个事件
的结果相加来得到总数。

乘法原理则可以理解为“和”的概念。

例如，某班级举行篮球比赛，共有10名男生和8名女生报名参赛。

由于男生和女生是
两个组别，所以男生和女生组成的队伍数就是10乘以8=80个。

这里的乘法原理就是将两个事件的结果相乘来得到组合数。

加法乘法原理在实际生活中有着广泛的应用。

比如，在购物时，如果有3种商品可供选择，每种商品有4种颜色可选，那么总的购买方案数就是3乘以4=12种。

在排列组合问题中，加法
乘法原理也是必不可少的计算工具。

总之，加法乘法原理是数学中重要的计算原则，通过运用加法和乘法，可以灵活地计算事件的数量和组合方式。

加法原理与乘法原理讲义加法原理和乘法原理是概率论中的重要概念，用于解决事件的组合计数问题。

在进行组合计数时，有时会遇到需要同时满足多个条件的情况，这时就可以利用加法原理和乘法原理进行统计计算。

下面就来介绍一下加法原理和乘法原理的定义和应用。

一、加法原理加法原理是指，如果一个事件可以按照若干个步骤分解，每个步骤都有若干种可能，那么整个事件的总数等于各个步骤可能性的和。

换句话说，如果事件A和事件B是两个互不相容的事件，即事件A和事件B不可能同时发生，那么事件A和事件B的总数等于事件A的可能性加上事件B的可能性。

例如，一些班级中有男生和女生两个性别，每个性别中有不同颜色的眼睛，现在要统计班级中总共有多少人。

如果男生有3个选项，女生有2个选项，眼睛颜色有4个选项，那么根据加法原理，男生和女生的总数等于3+2=5，而加上眼睛颜色的选项后，总数为5*4=20。

二、乘法原理乘法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个步骤，并且每个步骤都有若干种可能，那么每个步骤可能性的乘积就是整个事件的可能性。

换句话说，如果事件A可以分解为事件B和事件C两个步骤，事件B有m种可能性，事件C有n种可能性，那么事件A的总数等于m*n。

例如，一位学生要从一本书中选择一章节进行阅读，这本书有6个章节，每章节中有3个段落，每段落有5个句子。

那么根据乘法原理，这位学生选择读一章节的总数等于6*3*5=90。

三、加法原理与乘法原理的应用加法原理和乘法原理可以应用于各种组合计数问题的求解，例如排列组合、样本空间的计算等。

1.排列组合排列组合是计算从一些集合中选择若干个元素的不同方式的方法。

对于排列问题，加法原理和乘法原理可以应用于确定每个位置的可能性。

例如，有4个不同的球员竞争3个奖项，每个奖项只能被一个球员获得。

根据加法原理，每个奖项的选出方式等于4，所以总数是4+4+4=12种。

对于组合问题，乘法原理可以应用于确定每个位置的可能性。

例如，从8个不同的球员中选择3个球员组成一个小组。

加法原理和乘法原理是数学中常用的两个基本原理，它们在组合计数和概率问题中起着重要的作用。

在本文中，我们将详细介绍加法原理和乘法原理，并通过一些实际例子来帮助你更好地理解和应用这两个原理。

【加法原理】加法原理是指当两个事件分别有m种和n种可能结果时，这两个事件同时发生的可能结果有m+n种。

假设有一枚硬币，它的正反面各有两种可能结果，分别是“正面”和“反面”。

如果我们要计算这枚硬币抛掷两次的可能结果，根据加法原理，我们就可以得到2+2=4种可能的结果，即正-正、正-反、反-正、反-反。

这个原理可以用于求解各种组合计数问题。

对于一个实际问题，如果其中有几个独立事件，我们可以通过加法原理将这些独立事件的可能结果进行累加，从而得到整个问题的可能结果。

举一个例子，假设有一个箱子里面有3个红球和4个蓝球。

现在我们要从中随机抽取两个球，问有多少种可能的结果。

根据加法原理，我们可以将这个问题分成两个独立事件：第一个事件是从箱子中抽取一个球，可能有3种结果（红球、红球、蓝球）；第二个事件是从箱子中抽取另一个球，可能有4种结果（红球、红球、蓝球、蓝球）。

根据加法原理，这两个事件同时发生的可能结果有3+4=7种。

因此，从这个箱子中随机抽取两个球的可能结果为7种。

【乘法原理】乘法原理是指当两个事件分别有m种和n种可能结果时，这两个事件同时发生的可能结果有m×n种。

假设有一张扑克牌，其中有4个花色（红桃、方块、黑桃、梅花）和13个大小（2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A）。

如果我们要计算从整副扑克牌中抽取一张牌的可能结果，根据乘法原理，我们就可以得到4×13=52种可能的结果。

乘法原理可以用于求解多个事件同时发生的可能结果。

对于一个实际问题，如果其中有几个相互独立的事件，我们可以通过乘法原理将这些事件的可能结果相乘，从而得到整个问题的可能结果。

举一个例子，假设有一个四位数的密码锁，每个位置上的数字都可以是0～9中的任意一个数字。

加法原理和乘法原理一、原理描述加法原理：如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。

例、从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？乘法原理：如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。

例、用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？二、加法原理和乘法原理的区别什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。

从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。

三、加法原理和乘法原理的应用例1．从1、2、3、4、5这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例2．从数字1、2、3、4、5中选若干个数字组成一个三位数，可以组成多少个三位数（数字可以重复用）？例3．从0、1、2、3、4这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例4．从0、1、2、3、4这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？例5．从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？例6．有6个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？例7．A、B、C、D、E 5人排成一排，如果C不站在中间，一共有多少有种不同的排法？例8．（涂色问题）如图，用红、绿、蓝、黄四色去涂编号为1、2、3、4号的长方形，要求任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？例9．成都市的电话号码全是8位数，第一位必须是8，问成都市一共可以有多少个不同的电话号码？五、练习1、用2、4、6、8这四个数字可以组成多少个没有重复数字的4位数？2、用2、4、6、8这四个数字可以组成多少个4位数（数字可以重复用）？3、用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的4位偶数（双数）？4、从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有4条路可走，从甲地到丙地有3条路可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？5、从1到100的所有自然数中，不含数字2的自然数有多少个？6、有5个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？7、A、B、C、D、E、 5人排成一排，如果A不站在最左端并且E不站在最右端，一共有多少有种不同的排法？8、A、B、C、D、E、 5人排成一排，如果A不能站在最左端也不能站在最右端，一共有多少有种不同的排法？9、编号是1、2、3、4的四位同学，坐在编号是1、2、3、4的四个位置上，要求编号和位置要不同（比如1号同学不能坐在1号位置上），一共有多少种坐法？10、用红、黄、蓝三种颜色去涂下面的图形，要求相邻的区域不能同色，一共有多少种涂法？。

加法和乘法原理讲解加法原理和乘法原理是数学中两个基本的计数原理，可以用来解决一种常见的计数问题，即在给定一些条件下计算总数的问题。

下面将详细讲解这两个原理。

一、加法原理加法原理是指在给定一些条件下计算总数的原理，即当两个或多个事件不同时发生时，可以将每个事件的计数结果相加得到总数。

例如，假设有两个班级，第一班有30名男生和35名女生，第二班有25名男生和40名女生。

我们需要计算这两个班级总共有多少学生。

根据加法原理，我们可以将男生和女生的数量相加得到总数。

第一班男生和女生的数量相加为30+35=65，第二班男生和女生的数量相加为25+40=65、因此，这两个班级总共有65+65=130名学生。

加法原理也可以应用于更复杂的计数问题。

例如，假设有一个公司，分为研发部门和销售部门。

研发部门有10名员工，销售部门有8名员工。

我们需要计算这个公司总共有多少员工。

根据加法原理，我们可以将研发部门和销售部门的员工数量相加得到总数。

因此，这个公司总共有10+8=18名员工。

二、乘法原理乘法原理是指在给定一些条件下计算总数的原理，即当两个或多个事件同时发生时，可以将每个事件的计数结果相乘得到总数。

例如，假设一些班级有30名男生和35名女生，我们需要计算同时是男生和女生的学生数量。

根据乘法原理，我们可以将男生的数量乘以女生的数量得到结果。

即，男生的数量为30，女生的数量为35，男生和女生的数量为30×35=1050。

因此，同时是男生和女生的学生数量为1050。

乘法原理也可以应用于更复杂的计数问题。

例如，假设一些公司中的每个员工都有一个独一无二的员工号，由字母和数字组成，字母部分有26个字母，数字部分有10个数字。

这个公司的员工号可以由一个字母和一个数字组成。

我们需要计算员工号的可能数量。

根据乘法原理，字母部分有26个选择，数字部分有10个选择，因此，员工号的可能数量为26×10=260。

综上所述，加法原理和乘法原理是解决计数问题的基本原理。

加法原理与乘法原理的区别
加法原理和乘法原理是排列和组合计数中非常重要的两个原理。

弄清楚这两个原理之间的区别，有利于我们正确的解决相关的计数问题。

它们都是为计数服务的。

加法原理是以“分类”的方式来计数，乘法原理是以“分步”的方式来计数。

因此，“分类”与“分步”来解决问题，是它们最大的不同。

属于用分类来解决计数问题的，就用加法原理；属于用分步来解决问题的就用乘法原理。

那么，在实际的问题中，“分类”与“分步”到底是如何确定的呢？我怎么能知道是要分类呢还是分步？其实。

分类也好，分步也好，都是我们要解决问题所确定的一个解题策略。

这个策略是在宏观的层面上来把握计数方式的。

这个策略的确定我们是根据问题的实际情况而选择的。

实际问题的本身早已揭示了处理的方式：要么分类，要么分步。

我们要做的只是来选择哪一个方式更便于我们自己操作。

因此，对实际问题的理解和挖掘，弄清楚做完事情的过程和方式，对确定分类还是分步是非常关键的。

做一件事情，可以有很多的方法，每个方法都可以独立的完成此事，那就选择分类的方法来计数；做一件事情，有很多环节，每个环节（其实完成每个环节也许还有许多方法）之间是相继的，只有把每个环节都做完了，这件事情才完成，那就选择分步的方法来计数。

还有一个问题我们要注意，那就是在实际问题中，解决一个问题，往往不是一个分类或一个分步就能解决的，而是二者要同时使用，连续、连动的解决问题。

也就是说，我们不能单独的孤立只使用一种原理来解决问题。

更多的时候是分类中有分步，同样的分步中也有分类。

一个计数问题的解决过程，其实就是这个两个原理不断的、连续的交替使用的过程。

加法原理和乘法原理一、加法原理加法原理（也叫做并法则）是指对于两个或多个互不相容事件的概率之和等于每个事件概率的总和。

互不相容事件是指它们不能同时发生的事件。

假设有两个事件A和B，它们是互不相容的事件。

事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么根据加法原理，事件A或者事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率，即：P(A或B)=P(A)+P(B)这个原理可以进一步推广到多个事件的情况。

如果有n个互不相容的事件A1,A2,...,An，它们的概率分别为P(A1),P(A2),...,P(An)，那么这些事件中至少有一个事件发生的概率等于每个事件概率之和，即：P(A1或A2或...或An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)加法原理的应用可以帮助计算出一系列互不相容事件的概率和，从而推断出整个概率空间的概率。

二、乘法原理乘法原理（也叫做积法则）是指对于两个或多个独立事件的概率乘积等于每个事件概率的乘积。

独立事件是指它们的发生与其它事件无关。

假设有两个事件A和B，它们是独立事件。

事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么根据乘法原理，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘上事件B发生的概率，即：P(A且B)=P(A)×P(B)这个原理可以进一步推广到多个事件的情况。

P(A1且A2且...且An)=P(A1)×P(A2)×...×P(An)乘法原理的应用可以帮助计算出多个独立事件同时发生的概率，从而推断出复杂事件的概率。

三、加法原理和乘法原理的关系加法原理和乘法原理在概率论中是相辅相成的。

乘法原理可以看作加法原理的特殊情况。

当事件A和事件B同时发生时，可以将事件A和事件B看作两个互不相容的子事件，此时根据加法原理，事件A或者事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。

而根据乘法原理，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘上事件B在事件A发生的条件下发生的概率。