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圆（二）圆的面积知 知识梳理1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S 表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导： （1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长因为： 长方形面积 = 长 × 宽所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径S 圆 = πr × r圆的面积公式： S 圆 = πr 2 r 2 = S ÷ π4、环形的面积:一个环形，外圆的半径是R ，内圆的半径是r 。
（R ＝r ＋环的宽度．）S 环 = πR²－πｒ² 或环形的面积公式： S 环 = π（R²－ｒ²）。
5、扇形的面积计算公式： S 扇 = πr 2×360n （n 表示扇形圆心角的度数） 6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
7、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
8、(选学)两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶99、常用平方数典题探究例1 填空1．鼓楼中心岛是半径 10米的圆，它的占地面积是（ ）平方米。
2．小华量得一根树干的周长是75.36厘米，这根树干的横截面大约是（）平方厘米3．用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（）厘米，画出的这个圆的面积是（）平方厘米。
平面图形面积————圆的面积在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的3.144 ,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的23.14例题1。
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
. 练习11.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
答例题2。
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
练习21、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。
答2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。
答1 2例题3。
如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC ＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
例题4。
如图所示，求图中阴影部分的面积。
. 练习41、如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。
以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。
求图中阴影部分的面积。
答例题5。
在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
.练习51、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
答2、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
答3、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
答.例题6。
在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。
求阴影部分的面积。
练习61、 如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
答圆的面积与组合圆积专题训练一、填空题1.算出下面圆内正方形的面积为 .2.,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 .4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)5.左下图三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB 长40厘米, BC 长 厘米6.如右下图,阴影部分的面积为2平方厘米,7.157平方厘米,这个扇形的圆心角是 .度。
面积计算〔一〕专题简析：在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，仔细思虑，看清组合图形是由几个根本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与条件和要求的问题间的关系。
例题 1。
求图中阴影局部的面积〔单位：厘米〕。
66619－ 1练习 1求下面各个图形中阴影局部的面积〔单位：厘米〕。
619－ 219－ 310例题 2。
求图 19－ 5 中阴影局部的面积〔单位：厘米〕。
419－ 5练习 2计算下面图形中阴影局部的面积〔单位：厘米〕。
19－ 719－ 819－ 9例题 3。
如图 19－10 所示，两圆半径都是 1 厘米，且图中两个阴影局部的面积相等。
求长方形ABO 1O 的面积。
A BO O1练习 31、如图 19－ 11 所示，圆的周长为 12.56 厘米， AC 两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分〔 1〕的面积与阴影局部〔2〕的面积相等，求平行四边形ABCD 的面积。
CA 1BAD2C AOBDCB819－ 1119－1219－ 132、 如图 19－ 12 所示，直径 BC ＝8 厘米，AB ＝ AC ，D 为 AC 的重点，求阴影局部的面积。
3、 如图 19－ 13 所示， AB ＝ BC ＝ 8 厘米，求阴影局部的面积。
例题 4。
如图 19－ 14 所示，求阴影局部的面积〔单位：厘米〕。
C6 DBIAE 419－ 14【思路导航 】我们可以把三角形ABC 看作是长方形的一局部，把它复原成长方形后〔如右图所示〕，因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等， 并且空白局部的两组三角形面积分别相等，所以I 和 II 的面积相等。
练习 41、如图 19－ 15 所示，求四边形ABCD 的面积。
2、如图 19－ 16 所示， BE 长 5 厘米，长方形AEFD 面积是 38 平方厘米。
求CD 的长度。
3、图 19－ 17是两个完满相同的直角三角形重叠在一起，依照图中的条件求阴影部分的面积〔单位：厘米〕。
CC3DFD○384030A45B BA E 5120719－ 1519－1619－17例题 5。
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第13讲—— 圆类面积计算授课类型 T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标 熟练掌握圆类面积计算的八种方法：相加法、相减法、重新组合法、割补法、平移法、旋转法、对称添补法、重叠法；并能运用上述方法快速解题。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂圆的面积：2r π，扇形的面积：2360r απ⨯。
无特殊说明，圆周率都取π=3.14。
考点1：相加法将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。
例1、下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
考点2：相减法典例分析知识梳理将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
例1、下图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形的面积再减去里面圆的面积即可。
考点3：重新组合法将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形的面积即可。
例1、欲求下图中阴影部分的面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时就可以采用相减法求出其面积了。
考点4：割补法将原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决。
例1、如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分的面积恰是正方形面积的一半。
考点5：平移法将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。
例1、下图中，欲求阴影部分的面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
考点6：旋转法将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或者某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。
圆（二）圆的面积知 知识梳理1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S 表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导： （1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长因为： 长方形面积 = 长 × 宽所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径S 圆 = πr × r圆的面积公式： S 圆 = πr 2 r 2 = S ÷ π4、环形的面积:一个环形，外圆的半径是R ，内圆的半径是r 。
（R ＝r ＋环的宽度．）S 环 = πR²－πｒ² 或环形的面积公式： S 环 = π（R²－ｒ²）。
5、扇形的面积计算公式： S 扇 = πr 2×360n （n 表示扇形圆心角的度数） 6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
7、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
8、(选学)两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶99、常用平方数典题探究例1 填空1．鼓楼中心岛是半径 10米的圆，它的占地面积是（ ）平方米。
2．小华量得一根树干的周长是75.36厘米，这根树干的横截面大约是（）平方厘米3．用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（）厘米，画出的这个圆的面积是（）平方厘米。
六年级圆的面积奥数题好嘞，今天咱们来聊聊圆的面积这个话题，听起来可能有点“高大上”，但是相信我，我们能把它变得简单又有趣，绝对不让你昏昏欲睡。
圆这个东西，咱们生活中可常见了，从盘子到足球，再到那美丽的月亮，圆形无处不在，真是个老朋友呢。
首先啊，圆的面积计算公式是个宝贝，大家听过吧？就是“πr²”。
这π啊，不是吃的，是个数学常数，大约等于3.14。
话说这个π，神奇得很，它能让我们把一圈圈的东西都转化成平面上的面积，真是魔法一般。
想象一下，一个圆，如果半径是3厘米，那面积就得用这个公式来算，3的平方就是9，然后再乘以π，结果差不多是28.26平方厘米。
哎呀，真是一点也不复杂，反正就是把半径先平方，然后乘以那神秘的π，呼啦，结果就出来了！有时候啊，老师在黑板上写这个公式的时候，脸上总是挂着一种“我在教你们最酷的东西”的表情，真让人觉得这个公式神奇极了。
记得有次上课，老师让我们用圆的面积去计算一些生活中的东西，比如说一个比萨饼。
哎呦，大家的眼睛都亮了，谁不爱吃比萨呢？想象一下，圆圆的比萨，切成几片，面积可是个不得了的数字！大家开始认真思考，几个人能吃得下这么大一块，想想就觉得口水直流。
再说说这些数字背后的故事，圆的面积不是单纯的数学题目，而是和生活息息相关。
想想看，咱们每天都在吃、在玩、在用那些圆形的东西，圆的面积给我们提供了一个了解这个世界的窗口。
像那个篮球场的圆圈，或者是公园里的圆形喷泉，都是这公式的体现。
没想到吧，圆的面积能让我们联想到这么多美好的事物，真是妙不可言。
哎，有时候身边的小伙伴们对数学不太感冒，觉得这东西就像个“抽象的怪物”。
可是只要我们用心去看，就会发现其实数学和生活是紧密相连的。
记得有一次，班里有个同学特别懒，连这个圆的面积都懒得算。
他就问：“老师，干嘛要知道这个啊？我只要吃到比萨就行了！”大家都哈哈大笑，觉得他说的有道理。
可是谁又能告诉他，这圆的面积能帮助我们算出比萨的大小，最后能吃到多少呢？生活中的小秘密，原来都藏在这简单的公式里。
奥数专题 圆的周长和面积1. 圆是平面上的曲线图形，它具有相对性。
2. 圆的周长=2r π=πd 圆的面积=2r π3. 计算圆的周长与面积常用割补法、旋转法、平移法等方法将不规则图形转化为规则图形求解。
在计算圆与其他平面图形组合而成的图形时，还可以用加减法，将不规则部分增加或减少一部分来求解。
4. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，其面积公式020=360n S r π⨯扇形，弧长公式0000=2360360n n L r d ππ⨯=⨯扇形。
一、 教材回顾1.把一个边长是6分米的正方形铁皮加工成一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。
2.一种汽车的车轮直径是1米。
如果它每分钟转动400圈，那么它通过一座长2.512千米的大桥需要多少分钟？3.两个大小不等的圆形仓库，小粮仓的底面周长是12.56米，它的占地面积是大粮仓的13。
大粮仓占地面积是多少平方米？4. 求下面图形的周长。
（单位：厘米）5. 已知圆的周长为6.28厘米，求这个圆的面积是多少？二、基础强化例1如图，已知一个大圆中紧紧地排列着两个不同的小圆，并且这三个圆的圆心恰好在直径上。
试比较外面的一个大圆的周长与两个小圆的周长的和哪个长？为什么？例2一个半圆的周长是10.28分米，这个半圆的的直径是多少厘米？当堂模拟1.如图，从点A到点C沿着大圆周走和沿着中小圆的圆周走，走的路程相同吗？2. 画一个周长12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是（）厘米。
三、能力提升例1求右图阴影部分的面积。
（单位：厘米）例2 如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。
求长方形ABO1O的面积。
你还有其他方法吗？当堂模拟1. 一个环形铁片，内圆直径是14厘米，外圆直径是18厘米，这个环形铁片的面积是多少？2.下图正方形边长为8厘米，求中间阴影部分的面积。
四、走进名校例1三角形的边长都为6厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚三次（如图），求A点经过的路程的长。
学科教师辅导讲义，扇形的面积：
考点2：相减法
将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
例1、下图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形的面积再减去里面圆的面积即可。
考点3：重新组合法
将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形的面积即可。
例1、欲求下图中阴影部分的面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时就可以采用相减法求出其面积了。
考点4：割补法
将原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决。
例1、如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分的面积恰是正方形面积的一半。
考点5：平移法
将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。
例1、下图中，欲求阴影部分的面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
考点6：旋转法
将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或者某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。
例1、欲求下图（1）中阴影部分的面积，可以将左半图形绕B点逆时针方向旋转180度，使A与C重合，从而构成如下图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。
考点7：对称添补法
作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形，原来图形的面积就是这个新图形的一半。
例1、下图中，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD。
弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
【解析】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1
圆的面积。
5、右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
【解析】正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为
22122
1=⨯⨯⨯(平方厘米).正方形内空白部分面积为4个41圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即2212-=-⨯ππ(平方厘米),所有空白部分面积为)2(2-π平方厘米.故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为
8)2(22412=-⨯-⨯⨯ππ(平方厘米)。
6、如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【解析1】先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，
再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。
如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42
×1/4）＝16.82（平方厘米）
【解析2】把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。
把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了
空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
3.14×42×1/4+3.14×62
×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）
课后反击
1、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【解析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.14×42×1/4－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）。
2、求如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
【解析】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）。
3、在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
【解析1】先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）。
【解析2】把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）。
4、三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB 长40厘米,求BC 长。
【解析】从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC 的面积.又已知①的面积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC 的面积小28平方厘米。
半圆面积为6282124014.32
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯(平方厘米),三角形ABC 的面积为628+28=656(平方厘米).BC 的长为8.32402656=÷⨯(厘米)。
5、如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。
求长方形ABO1O 的面积。
【解析】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。
又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。
所以3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米）。
6、如图所示，求图中阴影部分的面积。
直击赛场
厘米，以C为圆心，CA
①有些圆类面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
①在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的。
