九年级数学两个圆的公切线1

数学教案－两圆的公切线引言数学中，圆是一种基本的几何形状，而公切线是指两个圆之间的切线。

研究两个圆的公切线对于培养学生的几何思维、分析问题的能力以及解决实际问题有着重要的作用。

本教案将引导学生通过探究两个圆的公切线的性质，加深对圆形和切线的理解。

教学目标1.了解切线的定义和性质。

2.探究两个圆的公切线的存在条件。

3.理解和应用两个圆的公切线的性质。

教学重点1.公切线的定义和性质。

2.两个圆的公切线的存在条件。

3.两个圆的公切线的性质。

教学内容1. 切线的定义和性质切线的定义在平面几何中，给定一个圆和其上的一个点，过这个点可以作出无数条切线。

切线是与圆仅有一个交点的直线。

切线的性质1.切线与半径的垂直关系：切线与过切点的半径垂直。

2.切线与圆弧的夹角：切线和过切点的切线与圆弧之间的夹角为直角。

2. 两个圆的公切线的存在条件外公切线当两个圆半径之和大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条外公切线。

#### 内公切线当两个圆半径之差大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条内公切线。

3. 两个圆的公切线的性质1.公切线与两个圆心的关系：两个圆的公切线与两个圆心的连线垂直。

2.公切线的切点：两个圆的公切线与两个圆的切点在一条直线上。

3.外公切线和内公切线的夹角：两个圆的外公切线和内公切线的夹角为直角。

教学步骤1.导入知识：回顾切线的定义和性质。

2.提出问题：给定两个圆，请确定它们的公切线是否存在。

3.探究实践：让学生自主探究两个圆的公切线的存在条件。

4.总结归纳：让学生总结并提出存在条件和性质。

5.拓展应用：将所学的知识运用到解决实际问题中。

6.小结复习：对所学知识进行小结和复习。

教学资源•教材：数学教材•演示工具：黑板和粉笔思考题1.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。

请推导出两个圆的外公切线的长度的表达式。

2.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。

请推导出两个圆的内公切线的长度的表达式。

初中数学公切线的性质有哪些
公切线是两个圆或两个球体之间的一条直线，具有以下性质：
1. 公切线与两个圆或两个球体的切点构成等腰三角形：
公切线与两个圆或两个球体的切点，以及连接两个切点的直线构成一个等腰三角形。

在这个等腰三角形中，两个切点与切点直线的中点连线相等。

2. 公切线在切点处与切线相切：
公切线在两个圆或两个球体的切点处与切线相切。

切点的切线方向相反且互相垂直。

3. 公切线与切点连线互相垂直：
公切线与两个圆或两个球体的切点连线在切点处互相垂直，即两个切点与切点连线互相垂直。

4. 公切线在切点处的切线长度相等：
公切线在两个圆或两个球体的切点处的切线长度相等，即两个切点与切点连线的长度相等。

5. 外公切线与内公切线：
如果两个圆或两个球体相离，它们之间的公切线是外公切线。

外公切线与两个圆或两个球体的切点在同一侧。

如果两个圆或两个球体内切或相交，它们之间的公切线是内公切线。

内公切线与两个圆或两个球体的切点在不同侧。

6. 公切线上的切点坐标关系：
如果已知两个圆或两个球体的半径和圆心坐标，可以通过求解公切线上的切点坐标来确定公切线的方程。

7. 公切线的应用：
公切线在几何问题中有广泛的应用。

例如，可以利用公切线的性质来求解两个圆或两个球体之间的距离、判断两个圆或两个球体的位置关系、构造切线等。

以上是公切线的一些基本性质。

在实际问题中，还可以通过引入向量、三角函数等概念来更深入地研究公切线的性质和应用。

希望以上内容能够满足你对公切线性质的了解。

初中数学公切线与圆的位置关系是什么
公切线与圆的位置关系主要有三种情况：外公切线、内公切线和不相交。

1. 外公切线：
-外公切线是指一条直线与圆相切，且位于圆的外部。

-外公切线与圆的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。

-外公切线与圆的切点构成的线段与圆的半径之差相等。

-外公切线与圆的位置关系是切点位于圆的外部，切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。

2. 内公切线：
-内公切线是指一条直线与圆相切，且位于圆的内部。

-内公切线与圆的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。

-内公切线与圆的切点构成的线段与圆的半径之和相等。

-内公切线与圆的位置关系是切点位于圆的内部，切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。

3. 不相交：
-当两个圆之间的距离大于两个圆的半径之和时，它们没有公共切点，也就是不存在公切线。

-不相交的圆之间有两种情况：一个圆在另一个圆的内部或两个圆完全分离。

需要注意的是，公切线与圆的位置关系是由两个因素决定的：切点的位置和切线与圆的关系。

公切线的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。

切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。

希望以上内容能够满足你对公切线与圆的位置关系的了解。

怎样确定两圆的内公切线和外公切线答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图1(1)．两个圆在公切线6d22aeae8db846b70d2b475bba1b063c两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；(5)当两圆内含时，没有公切线．反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．介绍两圆相外离时公切线的作法如下．作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．如图2所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．1421-1638-9529-3184。

两圆的公切弦圆1.引言1.1 概述公切弦是圆与圆之间的一种重要的几何关系，指的是两个圆之间存在一条切线，同时这条切线也是两个圆的弦。

公切弦在数学和几何学中有着广泛的应用，并且具有许多有趣的性质。

本文旨在研究两个圆的公切弦，即通过分析两个不相交的圆之间存在的公切弦的特性和性质，来探讨公切弦的存在性和唯一性。

研究两个圆的公切弦的存在性和唯一性，有助于我们深入理解圆与圆之间的几何关系，同时也能够为其他几何问题的解决提供思路和方法。

文章将分为引言、正文和结论三个部分，每个部分都会对公切弦的概念、定义和性质进行详细介绍和探究。

首先，在引言部分我们会对公切弦的概念进行简要介绍，明确文章的研究目标和意义。

然后，在正文部分我们将具体探讨公切弦的定义和性质，包括公切弦的判定方法、公切弦的长度和位置等方面，以及两圆的公切弦的存在性和唯一性的证明。

最后，在结论部分我们将对公切弦圆的定义和性质进行总结，并得出研究两圆的公切弦圆存在性和唯一性的结论。

通过本文的研究，我们将对公切弦的概念和性质有更加深入的理解，同时也能够应用这些知识解决其他相关的几何问题。

在实际应用中，公切弦的概念和性质经常被用于光学、工程和计算机图形学等领域，有助于设计和优化相关的几何模型和算法。

因此，本文的研究具有一定的学术和实际应用价值。

1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。

引言部分首先对文章的整体内容进行概述，介绍了文章所要讨论的主题——两圆的公切弦圆。

接着，引言部分明确了文章的结构和目的。

正文部分是文章的主体，主要包括两个小节：公切弦的定义和性质，以及两圆的公切弦的存在性和唯一性。

在这一部分，我们将详细介绍公切弦的概念、特点和相关性质，并论述两个圆存在公切弦的条件以及公切弦的唯一性。

结论部分对整个文中所述的内容进行总结和归纳。

首先，我们会给出公切弦圆的定义和性质。

然后，我们将总结公切弦的存在性和唯一性的相关结果，对之前的讨论进行概括和回顾。

圆与圆之间的公切线公式
在几何学中，公切线是两个或多个几何形状共有的切线。

对于两个圆来说，它们之间可能存在公切线，这些切线与两个圆都相切于同一点。

根据两个圆的位置关系，公切线的数量可能是0条、1条或2条。

1. 外公切线
当两个圆外离时，它们之间有两条外公切线。

这两条切线分别在两个圆上各有一个切点，并且这两个切点之间的线段称为两圆的连心线。

外公切线的长度可以通过以下公式计算：
设两个圆的半径分别为 R1 和 R2，圆心距为 d，外公切线的长度为 L，则有：
L = √(d² - (R1 - R2)²)
2. 内公切线
当两个圆内含或内切时，它们之间有一条内公切线。

这条切线在两个圆上各有一个切点，并且这两个切点之间的线段同样称为两圆的连心线。

内公切线的长度可以通过以下公式计算：
设两个圆的半径分别为 R1 和 R2（R1 ≥ R2），圆心距为 d，内公切线的长度为 L，则有：
L = √(d² - (R1 + R2)²)
注意事项
●以上公式仅适用于两个圆外离或内含的情况。

当两个圆相交时，它们之间
没有公切线。

●圆心距 d 应小于等于两圆半径之和且大于等于两圆半径之差，即|R1 -
R2| ≤ d ≤ R1 + R2。

●公切线长度 L 可能会有多个解，需要根据具体情况选择合适的解。

通过掌握圆与圆之间的公切线公式，我们可以更好地理解和解决与几何形状相关的数学问题。

这些公式在绘图、工程设计和数学分析等领域都有广泛的应用。

初三数学圆和圆的位置关系知识精讲圆和圆的位置关系1. 基本概念（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义；（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义； （3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。

两圆的位置 圆心距d 与两圆的半径R 、r 的关系 外公切线条数内公切线条数公切线条数外离 d R r >+ 2 2 4 外切 d R r =+2 13 相交 R r d R r R r -<<+≥()2 0 2 内切 d R r R r =->()1 0 1 内含d R r R r <->()说明：（1）两圆的位置关系和半径，圆心距的数量关系是互相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系，知道数量关系也可以确定位置关系；（2）如果遇到“相离”或“相切”问题时，都要分两种情况来解决。

3. 相交两圆的性质相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4. 相切两圆的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

5. 两圆中常引用的辅助线（1）相切：过切点引公切线，引连心线。

（2）相交：引连心线、公共弦（将两圆半径、圆心距、公共弦的一半集中在一个三角形中） （3）遇两条内公切线或外公切线：引过切点的半径，构造直角三角形（将半径、圆心距、例：（1997某某）如图，已知：两圆内切于点A，P是两圆公切线上的一点过P作小圆的割线PBC，连结AB、AC，并延长分别交大圆于D、E，求证：PCPBAEAD=22。

证明：连结DEPA是两圆的公切线，∴∠=∠=∠PAD PCA E∴∴=BC DEAEADACAB//PA是⊙O1的切线，PBC是⊙O1的割线∴=⋅PA PB PC2又 ∠=∠∠=∠PCA PAB CPA APB，∴∴=∆∆PAB PCAACABPCPA~∴=∴==⋅=AEADPCPAAEADPCPAPCPB PCPCPB22222即PCPBAEAD=22说明：相切两圆中公切线是联系两圆中角的最有利条件，利用两圆的公切线，构造两圆的弦切角来进行角的转化。

初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构数学教案－两圆的公切线教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。

本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。

第一课时两圆的公切线（一）教学目标：（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；（2）培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）实际问题（引入）很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）（二）两圆的公切线概念1、概念：教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．（三）两圆的位置与公切线条数的关系组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材p143练习第2题表．（四）应用、反思、总结例1、已知：⊙o₁、⊙o₂的半径分别为2cm和7cm，圆心距o₁o₂=13cm，ab是⊙o₁、⊙o₂的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．分析：首先想到切线性质，故连结o₁a、o₂b，得直角梯形ao₁o₂b．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）解：连结o₁a、o₂b，作o₁a⊥ab，o₂b⊥ab．过 o₁作o₁c⊥o₂b，垂足为c，则四边形o₁abc为矩形，于是有o₁c⊥c o₂，o₁c=ab，o₁a=cb．在rt△o₂co₁和．o₁o₂=13，o₂c=o₂b- o₁a=5ab=o₁c= (cm)．反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．例2*、如图，已知⊙o₁、⊙o₂外切于p，直线ab为两圆的公切线，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长．分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△pab是直角三角形，只需证△apb 中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作两圆的公切线cd如图，因为ab是两圆的公切线，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解．解：过点p作两圆的公切线cd∵ ab是⊙o₁和⊙o₂的切线，a、b为切点∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°∴∠cpa+∠cpb=90°即∠apb=90°在 rt△apb中，ab²=ap²+bp²说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．（五）巩固练习1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等边三角形 (d)以上答案都不对．此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)2、外公切线是指(a)和两圆都祖切的直线 (b)两切点间的距离(c)两圆在公切线两旁时的公切线 (d)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)3、教材p141练习（略）（六）小结（组织学生进行）知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；思想：“转化”思想．（七）作业：p151习题10，11．第二课时两圆的公切线（二）教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙o₁和⊙o₂的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o₁和⊙o₂的一条内公切线，切点分别是a，b．求：公切线的长ab。

两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线是指能同时切到两个圆的直线或射线。

在解析几何中，我们常常需要研究圆与圆之间的关系，其中两圆的公切线就是一个重要的问题。

本文将讨论两个圆的公切线方程的推导过程和应用实例。

一、两个圆的公切线分类在二维平面上，两个圆可能存在以下几种情况：1. 内含关系：一个圆完全包含在另一个圆内部，此时两圆没有公共切线。

2. 相交关系：两个圆相交于两个点，此时存在两条外公切线和两条内公切线。

3. 外切关系：两个圆相切于外部，此时存在一条外公切线。

4. 内切关系：一个圆完全包含在另一个圆内部且二者相切，此时存在一条内公切线。

下面我们以相交关系为例，推导两个圆的公切线方程。

二、两个圆的公切线方程的推导设两个圆的方程分别为：圆1：(x - a1)² + (y - b1)² = r1²圆2：(x - a2)² + (y - b2)² = r2²(a1, b1)和(a2, b2)分别为两个圆的圆心坐标，r1和r2分别为两个圆的半径。

圆1和圆2相交于两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则有：(x1 - a1)² + (y1 - b1)² = r1²(x2 - a1)² + (y2 - b1)² = r1²(x1 - a2)² + (y1 - b2)² = r2²(x2 - a2)² + (y2 - b2)² = r2²由上述四个方程可得到两个未知数x1和y1的线性方程组，通过求解线性方程组即可得到两个公切点P1和P2的坐标。

进一步，我们可以根据两点式求得直线P1P2的方程，即为两个圆的公切线方程。

计算两个圆的圆心坐标和半径：圆1：圆心坐标(2, 3)，半径4圆2：圆心坐标(-1, -1)，半径3根据上述推导方法，可以求得两个公切点P1(1, 2)和P2(-0.5, -0.5)的坐标，进而求得公切线P1P2的方程。

两圆的公切线(一)九年级数学教案教学目标：1、使学生理解两圆公切线等有关概念．2、使学生学会两圆外公切线的求法．3、通过对两圆公切线的直观演示的观察，培养学生能从直观演示中归纳出几何概念的能力；4、在指导学生学习求两圆外公切线长的过程中，培养学生的总结、归纳能力．教学重点：使学生理解两圆公切线等有关概念，会求两圆的外公切线长．教学难点：两圆公切线和公切线长学生理解得不透，容易搞混．教学过程：一、新课引入：运转着的机器上主动轮和从动轮和传动带之间，很明显地给我们留下了一条直线和两个圆同时相切的形象，现在我们来研究和两圆都相切的直线．二、新课讲解：在直线和圆的位置关系中，切线非常重要，那么在两圆的位置关系中，尤其是与两个圆都相切的切线，应该具有什么特殊的性质呢？请同学打开练习本，画出所有可能的一条直线同时与两个圆相切的情形．学生动手画，教师巡视，当所有学生把认为可能的情形画完之后，教师打开计算机或幻灯作演示，演示过程中提醒学生观察，每一种圆与圆的位置关系是否都能作出符合条件的直线？两个圆与所作出的直线的位置如何？不同的位置能作出的直线的条数，哪一种圆与圆的位置关系中的符合条件的直线上存在线段？线段的端点是什么？最终教师指导学生定义两圆公切线及有关概念：1．定义：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．2．分类：外公切线和内公切线．3．定义内外公切线．两个圆在公切线同旁时，公切线叫外公切线；两个圆在公切线两旁时，公切线叫内公切线．4．公切线长：公切线上两个切点的距离叫做公切线长．5．圆与圆各种位置的公切线及条数．九年级数学教案练习二，外公切线是指(a)和两圆都相切的直线．(b)两切点间的距离(c)两圆在公切线两旁时的公切线(d)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)例1 已知⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2、的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．例题解法参考教材p．140例1．练习三已知⊙o1、⊙o2的半径分别为15cm和5cm，它们外切于点t，外公切线ab与⊙o1、⊙o2分别切于点a、b．求外公切线长ab．此题中因为两圆外切，所以圆心距⊙o1o2等于两半径之和．解：连结o1a、o2b，过点o2作o2c⊥o1a，垂足为c．四边形aco2b是矩形在rt△o1co2中：o1o2=20，o1c=10，三、课堂小结：为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材p．140至p．141，从中总结出本课学习的主要内容：1．两圆公切线等有关内容，注意概念之间质的区别．2．两圆外公切线长的求法．如图7-105求两圆的外公切线长ab．就是要把ab转化到rt△o1co2中．。

圆与圆的公切线求法
求两个圆的公切线，可以根据两圆的位置关系分为三种情况：外离、相交、内切或内含。

以下是各种情况下的公切线求法：
外离的两圆：
有四条公切线，每两条公切线都互相垂直。

先找到两圆心连线的中点，再找到其中一个圆上的切点，则该切点与中点的连线与两圆心连线垂直。

通过解方程组（包括圆的方程和切线的斜率条件）可以求出具体的公切线方程。

相交的两圆：
有两条公切线，它们分别是两个圆在交点处的公共切线。

可以通过联立两个圆的方程求出交点，然后利用切线的定义求出公切线的方程。

内切或内含的两圆（一个圆在另一个圆内部，且仅有一个交点或无交点）：
只有一条公切线，若两圆内切，则在切点处有一条公切线；若两圆内含，则没有公切线。

对于内切的情况，公切线可以通过解圆的方程和切线的斜率条件来求出。

需要注意的是，以上方法都需要利用到圆的方程、切线的定义（切线与半径垂直）以及解方程组的技巧。

然而，更一般和实用的方法是使用几何性质和构造：
对于外离的两圆，可以通过找到一个圆上的切点，然后作该切点与另一个圆心的连线，再通过该连线作垂线得到公切线。

对于相交的两圆，直接利用交点和切线的定义即可找到公切线。

对于内切或内含的两圆，根据定义判断是否存在公切线，并利用切点和圆心连线来找到它（如果存在）。

在实际操作中，通常使用绘图工具（如圆规、直尺）或者几何软件来辅助构造和验证公切线的正确性。

在数学题目中，可能需要通过证明来展示公切线的存在性和性质。

第一课时两圆的公切线（一）教学目标：（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；（2）培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）实际问题（引入）很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）（二）两圆的公切线概念1、概念：教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．（三）两圆的位置与公切线条数的关系组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材P143练习第2题表．（四）应用、反思、总结例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．过O1作O1C⊥O2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，于是有O1C⊥C O2，O1C= AB，O1A=CB．在Rt△O2CO1和．O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5AB= O1C=(cm)．反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解．解：过点P作两圆的公切线CD∵AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点∴∠CPA=∠BAP∠CPB=∠ABP又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°∴2∠CPA+2∠CPB=180°∴∠CPA+∠CPB=90°即∠APB=90°在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．（五）巩固练习1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对．此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)2、外公切线是指(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断．答案：(D)3、教材P141练习（略）（六）小结（组织学生进行）知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；思想：“转化”思想．（七）作业：P151习题10，11．第二课时两圆的公切线（二）教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B．求：公切线的长AB。

从边长分别为a、b（a>b）的矩形纸片上
剪下一个最大的圆，然后再从剩下的余料
中又剪下一个尽可能大的圆，求第二次剪
下的圆的直径。
A
D
计算题： 两圆外切，通常
a
O1
辅助线的添法是
M
O2
连结两圆圆心，
B
b
C
平移外公切线，
构成直角三角形， a
利用勾股定理计
算。 b
如大求如A切求，图圆证图线证B，的：，，：C是弦⊙∠⊙BA、B⊙AOAO⊥辅CBP11O和和为C交A1＝助C和⊙⊙切小∠⊙OO点线圆B22O。于内外P：2DC的切切。、作公于于DP公。，切线O COAB DBAO Q NPMOC 切已(要公计两从径如 求计两如已(C公如通（1求C思要两两3求（两 （求求公（如求 求（求两两两求（两求计两4的1已(两两两切两 已(两（公已(从径两C（AAAAA、 、 、 、AAA线知做切算圆边。图证算圆图知切图常2证想做圆圆证1圆1证证切2图证证2证圆圆圆证2圆证算圆高知个圆圆线圆知圆2切知边。圆1)))))33333的的的） ） ） ） ） ） ⊙ ） ）如如如长 两 一 线 题 外 长 ，： 题 外 ， 两 线 ， 构 ： ： 一 半 外 ： 半： ： 线 ， ：： ： 半 在 内 ： 外 ： 题 外 ， 两 圆 内 半 长 半两 在 线 两 长 在延延延B图图若求当B设O图 B求有圆个数：切分⊙ A：切⊙圆数⊙造（构个径切（径 ∠∠数⊙A∠∠径公切（切（：切交圆是切径有径 圆公数圆分公DDD1长长长，，小证DE， 证CCAAAA(((((是222什半如量，别O，O半量O直1造如分时1分 量O分切时1时1，F半否时分什分 半切量半别切BBBBBFCPPPP∥线线∥线＝＝＝⊙）⊙）圆：））⊙ ：G1111=)))))△么径图&通为通径&角直图别，别 &＝别线，，通径一，别么别 径线&径为线CCCCBB22222和 和和和交交交于xDDD的四四△△△OOAO两两两两＝＝＝＝DDA，定分那常常分三角那为内为 为的内内常分定内为定为 分的分的a5aBAAA⊙ ⊙⊙⊙111⊙⊙M⊙。。半边边、TT，T、B圆圆圆圆∠∠∠∠···和和⊥和写理别样辅辅别角三样公两（公辅别有（理别同别同55555CCC，DDDCOOOOOOOBBBB径形形b和和 T和和和 b位位位位(((((⊙⊙A⊙DDD出CCC的？是的助助是形角的切旁外切助是公外？是旁是旁CCCCC（（2222PPPP111C且为33F333FC∽∽∽。。。置置置置外 外内外于于于)))))DDDDOO：O矩外你方线线方的形线）线线方切）你方方VV———11111a，， ，，， aEEA；△ △ △。。。。r形形关关关关>>切 切切22切2DDDHH，DT形接猜程的的程知，的公的的程线公猜程程———且且 且且且内外内bbTTT。。A。GG＝架架系系系系于 于于于））EAAAF圆想添添识利长切长添？切想xx内xx外x外＝两两 两两两切切切是是22222EDBBB(((((6，，点 点AP的的DDDDD，公法法点用怎线怎法线公公公公-----2圆圆 圆圆圆，H于；于；；于＝矩矩，，77777))))):将将AA矩矩G3xxxxx与无无无无无切是是：勾样的样是的切切切切共共 共共共BTPT形形、 两大、+++++时两两的形形C，，，⊙线连连垂股？长？连长线线线线55555有有 有有有；；B圆圆B，＝=====个个面纸纸⊙⊙AO的结结径定此怎此结怎的CC三三 三三三00000的的求8为钢钢积的的的的的1为 为片片OO长两两定理时样时两样长条条 条。条条内外弦A⊙11管管y两两两两两两 两上上相圆圆理，？，圆？相公公 公公公B与的的切公AO托托根根根根根圆 圆剪剪的应圆圆、外外圆应B切切 切切切x弦弦求于切1起起之交，，，，，外 外下下长上有心心切公公心有线线 线线线TT证点线，，间小圆圆圆圆圆公公AA一一。一什，，线切切，什，，，，，：AB、、已已的圆心 心 心 心 心切 切个个点的么平平长线线平么C则则 则则则大TT知知函于距距距距距线 线切最最，⊙性移移定长长移性BB两两 两两两圆钢钢数C分分为为为为为， ，⊙大大AO质外外理是是外质圆圆 圆圆圆的、B管管关别别77777BOB2的的？公公、两两公？的的 的的的切，，，，，半交、 D、1的的系交交圆圆写切切公圆圆切写于圆圆 圆圆圆。⊙那那那那那径ACC外外式⊙⊙，，B出线线切直直线出点心心 心心心为 为O么么么么么R于径径及OO然然结，，线径径，结=2B距距 距距距切 切两两两两两22于2F分分定，后后论构构的的构论于于等等 等等等点 点r，圆圆圆圆圆。B别别义切再再并成成比比成并CC于于 于于于， ，交,公公公公公交为为域和和⊙从从证直直例例直证AAA切切切切切⊙；22DDODD剩剩C明角角中中角明00线线线线线。。为 为2O于00下下。三三项项三。于的的的的的1mm⊙ ⊙G的的于角角，，角Cmm条条条条条，OO,余余E形形怎怎形和和连数数数数数11。。 。。。E，料料直 直，，样样，88结F是是是是是B00⊥中中径 径利利证证利AmmP（（（（（BB又又， ，、mm用用明明用C、，，剪剪A勾勾？？勾，）））））AP求求下下股股股垂C的VV；一一定定定足延形形个个理理理为长角角1尽尽计 计 计E线αα，可可算算算的的分1G能能。。。度度别H大大数数交⊥的的。。⊙B圆圆CO，，，12、垂求求足⊙第第为O二二2H次次于，剪剪CA下下、D2是的的D。△圆圆A的的B直直C

初三数学常考圆的知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!初三数学常考圆的知识点归纳在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线方程是解析几何中的一个重要概念，它可以帮助我们研究两个圆之间的关系以及它们之间的相互作用。

在数学领域中，圆是一种几何图形，具有一定的特定形状和性质。

而两个圆之间的公切线则是指相切于这两个圆的直线，也就是同时与两个圆相切的一条直线。

通过求解两个圆的公切线方程，我们可以得到关于两圆的一些重要性质和结论，进而为我们的研究和分析提供依据。

在解析几何中，我们通常将两个圆分别表示为两个圆心分别为（a，b）和（c，d），半径分别为r1和r2的圆。

现在我们来研究两个圆之间的公切线。

对于一个与两个圆都相切的公切线，我们可以将其表示为y=kx+m，其中k为斜率，m为截距。

公切线同时与两个圆相切，意味着公切线上的任意一点都满足圆的切线条件。

圆的切线条件是指：圆心到切点的距离等于半径，即（中文维基百科“公切线”一词解释：两个圆的公共切线，相对于两个圆在共同的一个切线。

两个固定圆，存在两个现实的共同切线，并在除开这两个半径正好即的地方，圆心的连线在不发生穿插），公切线的形成条件如下：两个圆的圆心之间的距离等于两个圆半径之差或之和。

根据两个圆的圆心和半径的不同相对位置，可以分为以下几种情况：1. 两个圆外切：当两个圆外切时，它们之间存在4条公共外切线。

这些外切线的斜率以两圆心之间的连线为基准，可以通过简单的几何推导来得到。

3. 一个圆包含另一个圆：当一个圆完全包含另一个圆时，它们之间不存在公共切线。

对于两个圆外切的情况来说，两个圆之间的公切线方程可以通过如下的方法得到。

我们可以设公切线的斜率为k，截距为m。

然后，我们可以根据圆的切线条件，得到两个方程：（a-c）² + (b-d)² = (r1+r2)² （1）y = kx + m （2）将公切线方程（2）代入圆的切线条件方程（1）中，并解方程组，就可以得到两个圆外切时的公切线方程。

A O1
B
P
C O2
证明：
连结O1A、O2B，作O1C⊥O2B于C
∵AB切两圆于点A、B ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB ∴ABCO1为矩形 ∴BC＝AO1，AB＝O1C ∴O2C＝r2－r1 又∵ ⊙O1与⊙O2外切于点P ∴O1O2＝r1＋r2 在Rt△O1O2C中 O1C2＝O1O22－O2C2＝(r1＋r2)2－(r2－r1)2＝4r1r2 ∴AB2＝4r1r2
B O1
C
A
O2
A．点在圆内 C．点在圆外
B．点在圆上 D．关系不确定
9．若两圆外切于P点，AB、CD是两圆的外公切线，A、B、C、 D是切点，过P点的公切线分别交AB、CD于E、F点，则可能是： ①AB＝CD ②CD＝EF )： B．只有②和③ D．①、②和③ ③AD与BC相交于P点。 以上结论正确的是( A．只有①和② C．只有①和③
M
M O2
O1
P N
O1 O2
P N
7(1)
7(2)
(2)两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时，则： ①由圆的对称性易知：两条外公切线的长相等；两条内公切线 的长相等。 ②两条外(内)公切线如果相交，那么由轴对称的性质易知，交 点一定在连心线上，并且进一步可以由切线定理推知，两圆连 心线平分两条外(内)公切线的夹角，如图8(1)中，∠APO1＝ ∠CPO1，如图8(2)中，∠FQO2＝∠HQO2。
3．如图(12)，⊙O1与⊙O2内切于P点，⊙O2的弦AB切 ⊙O1于点C，连结PA、 PB，PC的延长线交⊙O2于点D。 求证：(1)∠APC＝∠BPC，(2)PC2＋AC· BC＝PA· PB。
4．如图(13)，已知⊙O与⊙O′外切于A点，BC为外公切线，B、 C为切点，BC与OO′的延长线交于D，DE⊥BD交BA延长线 于E点。

⊙ 02分别切于点A、B。
求外公切线的长AB。 （2001武汉中考题；6分）
4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知