九年级数学两个圆的公切线1

数学教案－两圆的公切线引言数学中，圆是一种基本的几何形状，而公切线是指两个圆之间的切线。

研究两个圆的公切线对于培养学生的几何思维、分析问题的能力以及解决实际问题有着重要的作用。

本教案将引导学生通过探究两个圆的公切线的性质，加深对圆形和切线的理解。

教学目标1.了解切线的定义和性质。

2.探究两个圆的公切线的存在条件。

3.理解和应用两个圆的公切线的性质。

教学重点1.公切线的定义和性质。

2.两个圆的公切线的存在条件。

3.两个圆的公切线的性质。

教学内容1. 切线的定义和性质切线的定义在平面几何中，给定一个圆和其上的一个点，过这个点可以作出无数条切线。

切线是与圆仅有一个交点的直线。

切线的性质1.切线与半径的垂直关系：切线与过切点的半径垂直。

2.切线与圆弧的夹角：切线和过切点的切线与圆弧之间的夹角为直角。

2. 两个圆的公切线的存在条件外公切线当两个圆半径之和大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条外公切线。

#### 内公切线当两个圆半径之差大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条内公切线。

3. 两个圆的公切线的性质1.公切线与两个圆心的关系：两个圆的公切线与两个圆心的连线垂直。

2.公切线的切点：两个圆的公切线与两个圆的切点在一条直线上。

3.外公切线和内公切线的夹角：两个圆的外公切线和内公切线的夹角为直角。

教学步骤1.导入知识：回顾切线的定义和性质。

2.提出问题：给定两个圆，请确定它们的公切线是否存在。

3.探究实践：让学生自主探究两个圆的公切线的存在条件。

4.总结归纳：让学生总结并提出存在条件和性质。

5.拓展应用：将所学的知识运用到解决实际问题中。

6.小结复习：对所学知识进行小结和复习。

教学资源•教材：数学教材•演示工具：黑板和粉笔思考题1.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。

请推导出两个圆的外公切线的长度的表达式。

2.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。

请推导出两个圆的内公切线的长度的表达式。

初中数学公切线的性质有哪些
公切线是两个圆或两个球体之间的一条直线，具有以下性质：
1. 公切线与两个圆或两个球体的切点构成等腰三角形：
公切线与两个圆或两个球体的切点，以及连接两个切点的直线构成一个等腰三角形。

在这个等腰三角形中，两个切点与切点直线的中点连线相等。

2. 公切线在切点处与切线相切：
公切线在两个圆或两个球体的切点处与切线相切。

切点的切线方向相反且互相垂直。

3. 公切线与切点连线互相垂直：
公切线与两个圆或两个球体的切点连线在切点处互相垂直，即两个切点与切点连线互相垂直。

4. 公切线在切点处的切线长度相等：
公切线在两个圆或两个球体的切点处的切线长度相等，即两个切点与切点连线的长度相等。

5. 外公切线与内公切线：
如果两个圆或两个球体相离，它们之间的公切线是外公切线。

外公切线与两个圆或两个球体的切点在同一侧。

如果两个圆或两个球体内切或相交，它们之间的公切线是内公切线。

内公切线与两个圆或两个球体的切点在不同侧。

6. 公切线上的切点坐标关系：
如果已知两个圆或两个球体的半径和圆心坐标，可以通过求解公切线上的切点坐标来确定公切线的方程。

7. 公切线的应用：
公切线在几何问题中有广泛的应用。

例如，可以利用公切线的性质来求解两个圆或两个球体之间的距离、判断两个圆或两个球体的位置关系、构造切线等。

以上是公切线的一些基本性质。

在实际问题中，还可以通过引入向量、三角函数等概念来更深入地研究公切线的性质和应用。

希望以上内容能够满足你对公切线性质的了解。

初中数学公切线与圆的位置关系是什么
公切线与圆的位置关系主要有三种情况：外公切线、内公切线和不相交。

1. 外公切线：
-外公切线是指一条直线与圆相切，且位于圆的外部。

-外公切线与圆的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。

-外公切线与圆的切点构成的线段与圆的半径之差相等。

-外公切线与圆的位置关系是切点位于圆的外部，切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。

2. 内公切线：
-内公切线是指一条直线与圆相切，且位于圆的内部。

-内公切线与圆的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。

-内公切线与圆的切点构成的线段与圆的半径之和相等。

-内公切线与圆的位置关系是切点位于圆的内部，切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。

3. 不相交：
-当两个圆之间的距离大于两个圆的半径之和时，它们没有公共切点，也就是不存在公切线。

-不相交的圆之间有两种情况：一个圆在另一个圆的内部或两个圆完全分离。

需要注意的是，公切线与圆的位置关系是由两个因素决定的：切点的位置和切线与圆的关系。

公切线的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。

切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。

希望以上内容能够满足你对公切线与圆的位置关系的了解。

怎样确定两圆的内公切线和外公切线答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图1(1)．两个圆在公切线6d22aeae8db846b70d2b475bba1b063c两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；(5)当两圆内含时，没有公切线．反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．介绍两圆相外离时公切线的作法如下．作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．如图2所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．1421-1638-9529-3184。

两圆的公切弦圆1.引言1.1 概述公切弦是圆与圆之间的一种重要的几何关系，指的是两个圆之间存在一条切线，同时这条切线也是两个圆的弦。

公切弦在数学和几何学中有着广泛的应用，并且具有许多有趣的性质。

本文旨在研究两个圆的公切弦，即通过分析两个不相交的圆之间存在的公切弦的特性和性质，来探讨公切弦的存在性和唯一性。

研究两个圆的公切弦的存在性和唯一性，有助于我们深入理解圆与圆之间的几何关系，同时也能够为其他几何问题的解决提供思路和方法。

文章将分为引言、正文和结论三个部分，每个部分都会对公切弦的概念、定义和性质进行详细介绍和探究。

首先，在引言部分我们会对公切弦的概念进行简要介绍，明确文章的研究目标和意义。

然后，在正文部分我们将具体探讨公切弦的定义和性质，包括公切弦的判定方法、公切弦的长度和位置等方面，以及两圆的公切弦的存在性和唯一性的证明。

最后，在结论部分我们将对公切弦圆的定义和性质进行总结，并得出研究两圆的公切弦圆存在性和唯一性的结论。

通过本文的研究，我们将对公切弦的概念和性质有更加深入的理解，同时也能够应用这些知识解决其他相关的几何问题。

在实际应用中，公切弦的概念和性质经常被用于光学、工程和计算机图形学等领域，有助于设计和优化相关的几何模型和算法。

因此，本文的研究具有一定的学术和实际应用价值。

1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。

引言部分首先对文章的整体内容进行概述，介绍了文章所要讨论的主题——两圆的公切弦圆。

接着，引言部分明确了文章的结构和目的。

正文部分是文章的主体，主要包括两个小节：公切弦的定义和性质，以及两圆的公切弦的存在性和唯一性。

在这一部分，我们将详细介绍公切弦的概念、特点和相关性质，并论述两个圆存在公切弦的条件以及公切弦的唯一性。

结论部分对整个文中所述的内容进行总结和归纳。

首先，我们会给出公切弦圆的定义和性质。

然后，我们将总结公切弦的存在性和唯一性的相关结果，对之前的讨论进行概括和回顾。

圆与圆之间的公切线公式
在几何学中，公切线是两个或多个几何形状共有的切线。

对于两个圆来说，它们之间可能存在公切线，这些切线与两个圆都相切于同一点。

根据两个圆的位置关系，公切线的数量可能是0条、1条或2条。

1. 外公切线
当两个圆外离时，它们之间有两条外公切线。

这两条切线分别在两个圆上各有一个切点，并且这两个切点之间的线段称为两圆的连心线。

外公切线的长度可以通过以下公式计算：
设两个圆的半径分别为 R1 和 R2，圆心距为 d，外公切线的长度为 L，则有：
L = √(d² - (R1 - R2)²)
2. 内公切线
当两个圆内含或内切时，它们之间有一条内公切线。

这条切线在两个圆上各有一个切点，并且这两个切点之间的线段同样称为两圆的连心线。

内公切线的长度可以通过以下公式计算：
设两个圆的半径分别为 R1 和 R2（R1 ≥ R2），圆心距为 d，内公切线的长度为 L，则有：
L = √(d² - (R1 + R2)²)
注意事项
●以上公式仅适用于两个圆外离或内含的情况。

当两个圆相交时，它们之间
没有公切线。

●圆心距 d 应小于等于两圆半径之和且大于等于两圆半径之差，即|R1 -
R2| ≤ d ≤ R1 + R2。

●公切线长度 L 可能会有多个解，需要根据具体情况选择合适的解。

通过掌握圆与圆之间的公切线公式，我们可以更好地理解和解决与几何形状相关的数学问题。

这些公式在绘图、工程设计和数学分析等领域都有广泛的应用。

初三数学圆和圆的位置关系知识精讲圆和圆的位置关系1. 基本概念（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义；（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义； （3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。

两圆的位置 圆心距d 与两圆的半径R 、r 的关系 外公切线条数内公切线条数公切线条数外离 d R r >+ 2 2 4 外切 d R r =+2 13 相交 R r d R r R r -<<+≥()2 0 2 内切 d R r R r =->()1 0 1 内含d R r R r <->()说明：（1）两圆的位置关系和半径，圆心距的数量关系是互相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系，知道数量关系也可以确定位置关系；（2）如果遇到“相离”或“相切”问题时，都要分两种情况来解决。

3. 相交两圆的性质相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4. 相切两圆的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

5. 两圆中常引用的辅助线（1）相切：过切点引公切线，引连心线。

（2）相交：引连心线、公共弦（将两圆半径、圆心距、公共弦的一半集中在一个三角形中） （3）遇两条内公切线或外公切线：引过切点的半径，构造直角三角形（将半径、圆心距、例：（1997某某）如图，已知：两圆内切于点A，P是两圆公切线上的一点过P作小圆的割线PBC，连结AB、AC，并延长分别交大圆于D、E，求证：PCPBAEAD=22。

证明：连结DEPA是两圆的公切线，∴∠=∠=∠PAD PCA E∴∴=BC DEAEADACAB//PA是⊙O1的切线，PBC是⊙O1的割线∴=⋅PA PB PC2又 ∠=∠∠=∠PCA PAB CPA APB，∴∴=∆∆PAB PCAACABPCPA~∴=∴==⋅=AEADPCPAAEADPCPAPCPB PCPCPB22222即PCPBAEAD=22说明：相切两圆中公切线是联系两圆中角的最有利条件，利用两圆的公切线，构造两圆的弦切角来进行角的转化。

初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构数学教案－两圆的公切线教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。

本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。

第一课时两圆的公切线（一）教学目标：（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；（2）培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）实际问题（引入）很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）（二）两圆的公切线概念1、概念：教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．（三）两圆的位置与公切线条数的关系组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材p143练习第2题表．（四）应用、反思、总结例1、已知：⊙o₁、⊙o₂的半径分别为2cm和7cm，圆心距o₁o₂=13cm，ab是⊙o₁、⊙o₂的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．分析：首先想到切线性质，故连结o₁a、o₂b，得直角梯形ao₁o₂b．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）解：连结o₁a、o₂b，作o₁a⊥ab，o₂b⊥ab．过 o₁作o₁c⊥o₂b，垂足为c，则四边形o₁abc为矩形，于是有o₁c⊥c o₂，o₁c=ab，o₁a=cb．在rt△o₂co₁和．o₁o₂=13，o₂c=o₂b- o₁a=5ab=o₁c= (cm)．反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．例2*、如图，已知⊙o₁、⊙o₂外切于p，直线ab为两圆的公切线，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长．分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△pab是直角三角形，只需证△apb 中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作两圆的公切线cd如图，因为ab是两圆的公切线，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解．解：过点p作两圆的公切线cd∵ ab是⊙o₁和⊙o₂的切线，a、b为切点∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°∴∠cpa+∠cpb=90°即∠apb=90°在 rt△apb中，ab²=ap²+bp²说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．（五）巩固练习1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等边三角形 (d)以上答案都不对．此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)2、外公切线是指(a)和两圆都祖切的直线 (b)两切点间的距离(c)两圆在公切线两旁时的公切线 (d)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)3、教材p141练习（略）（六）小结（组织学生进行）知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；思想：“转化”思想．（七）作业：p151习题10，11．第二课时两圆的公切线（二）教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙o₁和⊙o₂的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o₁和⊙o₂的一条内公切线，切点分别是a，b．求：公切线的长ab。

两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线是指能同时切到两个圆的直线或射线。

在解析几何中，我们常常需要研究圆与圆之间的关系，其中两圆的公切线就是一个重要的问题。

本文将讨论两个圆的公切线方程的推导过程和应用实例。

一、两个圆的公切线分类在二维平面上，两个圆可能存在以下几种情况：1. 内含关系：一个圆完全包含在另一个圆内部，此时两圆没有公共切线。

2. 相交关系：两个圆相交于两个点，此时存在两条外公切线和两条内公切线。

3. 外切关系：两个圆相切于外部，此时存在一条外公切线。

4. 内切关系：一个圆完全包含在另一个圆内部且二者相切，此时存在一条内公切线。

下面我们以相交关系为例，推导两个圆的公切线方程。

二、两个圆的公切线方程的推导设两个圆的方程分别为：圆1：(x - a1)² + (y - b1)² = r1²圆2：(x - a2)² + (y - b2)² = r2²(a1, b1)和(a2, b2)分别为两个圆的圆心坐标，r1和r2分别为两个圆的半径。

圆1和圆2相交于两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则有：(x1 - a1)² + (y1 - b1)² = r1²(x2 - a1)² + (y2 - b1)² = r1²(x1 - a2)² + (y1 - b2)² = r2²(x2 - a2)² + (y2 - b2)² = r2²由上述四个方程可得到两个未知数x1和y1的线性方程组，通过求解线性方程组即可得到两个公切点P1和P2的坐标。

进一步，我们可以根据两点式求得直线P1P2的方程，即为两个圆的公切线方程。

计算两个圆的圆心坐标和半径：圆1：圆心坐标(2, 3)，半径4圆2：圆心坐标(-1, -1)，半径3根据上述推导方法，可以求得两个公切点P1(1, 2)和P2(-0.5, -0.5)的坐标，进而求得公切线P1P2的方程。

两圆的公切线(一)九年级数学教案教学目标：1、使学生理解两圆公切线等有关概念．2、使学生学会两圆外公切线的求法．3、通过对两圆公切线的直观演示的观察，培养学生能从直观演示中归纳出几何概念的能力；4、在指导学生学习求两圆外公切线长的过程中，培养学生的总结、归纳能力．教学重点：使学生理解两圆公切线等有关概念，会求两圆的外公切线长．教学难点：两圆公切线和公切线长学生理解得不透，容易搞混．教学过程：一、新课引入：运转着的机器上主动轮和从动轮和传动带之间，很明显地给我们留下了一条直线和两个圆同时相切的形象，现在我们来研究和两圆都相切的直线．二、新课讲解：在直线和圆的位置关系中，切线非常重要，那么在两圆的位置关系中，尤其是与两个圆都相切的切线，应该具有什么特殊的性质呢？请同学打开练习本，画出所有可能的一条直线同时与两个圆相切的情形．学生动手画，教师巡视，当所有学生把认为可能的情形画完之后，教师打开计算机或幻灯作演示，演示过程中提醒学生观察，每一种圆与圆的位置关系是否都能作出符合条件的直线？两个圆与所作出的直线的位置如何？不同的位置能作出的直线的条数，哪一种圆与圆的位置关系中的符合条件的直线上存在线段？线段的端点是什么？最终教师指导学生定义两圆公切线及有关概念：1．定义：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．2．分类：外公切线和内公切线．3．定义内外公切线．两个圆在公切线同旁时，公切线叫外公切线；两个圆在公切线两旁时，公切线叫内公切线．4．公切线长：公切线上两个切点的距离叫做公切线长．5．圆与圆各种位置的公切线及条数．九年级数学教案练习二，外公切线是指(a)和两圆都相切的直线．(b)两切点间的距离(c)两圆在公切线两旁时的公切线(d)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)例1 已知⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2、的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．例题解法参考教材p．140例1．练习三已知⊙o1、⊙o2的半径分别为15cm和5cm，它们外切于点t，外公切线ab与⊙o1、⊙o2分别切于点a、b．求外公切线长ab．此题中因为两圆外切，所以圆心距⊙o1o2等于两半径之和．解：连结o1a、o2b，过点o2作o2c⊥o1a，垂足为c．四边形aco2b是矩形在rt△o1co2中：o1o2=20，o1c=10，三、课堂小结：为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材p．140至p．141，从中总结出本课学习的主要内容：1．两圆公切线等有关内容，注意概念之间质的区别．2．两圆外公切线长的求法．如图7-105求两圆的外公切线长ab．就是要把ab转化到rt△o1co2中．。