第1章矢量分析

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1 / 12 第1章 矢量分析

§1.1 标量场与矢量场

一、场的概念

如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。

二、标量场与矢量场

标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。

),(truu

矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。

),(trAA

三、静态场和时变场

静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。

)(ruu)(rAA

时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。

),(truu),(trAA

标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。

§1.2 矢量场的通量 散度

一、矢量线 矢量场的通量

1、矢量线

(1)矢量场的表示

在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。

矢量场可以用一个矢量函数)(rA来表示。在直角坐标系中表示为：

),,()(zyxArA

(2)矢量线

在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。

矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。

例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。

(3)矢量线方程

0)(rArd

在直角坐标系下为： .

2 / 12 )()()(rAdzrAdyrAdxzyx

2、矢量场的通量

通过面积元的通量：SdrAd)(

通过有限面积的通量：SSdrA)(

通过闭合曲面的通量：SSdrA)(

二、矢量场的散度

1、散度的定义

在矢量场)(rA中的任意一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，所限定的体积为。矢量场)(rA在点M处的散度记作Adiv，其定义为：

SSdrAAdiv)(lim0

2、散度在坐标系下的表示

AAdiv

定义哈密顿算符：

zeyexezyx

(1)在直角坐标系中的表示

zuyuxuA

(2)在圆柱坐标系中的表示

zAAAAz11

(3)在球坐标系中的表示

ArArArrrArsin1sinsin1122

3、散度的性质

(1)散度是通量源的密度；

0A表示该点有发出通量线的正通量源；

0A表示该点有接收通量线的负通量源； .

3 / 12 0A表示该点无通量源。

(2)矢量场的散度是一个标量场。

4、散度运算的基本公式

(1) )(0为常矢量CC

(2) AcAc)(

(3) BABA)(

(4) AuAuAu)(

(5) 3r

三、散度定理

SSdAdA

散度定理是矢量场的体积分与面积分之间的一个变换关系。

【例题1】求矢量场zyxezyeyxexyA222的矢量线方程。

【解】矢量线应满足的微分方程为

zydzyxdyxydx222

从而有

zydzxydxyxdyxydx2222

所以

2221cyxxcz

1c和2c是积分常数。

【例题2】原点处点电荷q产生的电位移矢量rrqrrqD324ˆ4，试求电位移矢量D的散度。

【解】

3334,4,4rqzDrqyDrqxDzyx

52252252234,34,34rxrqrxrqyDrxrqxDyx

zyxerzeryerxqD3334 .

4 / 12 0)(33452222rzyxrqzDyDxDDdivDxxx

【例题3】球面S上任意点的位置矢量为zyxezeyexr，求SSdr

【解】根据散度定理知

VSdVrSdr

而r的散度为

3zzyyxxr

所以

3343433RRdVdVrSdrVVS

§1.3 矢量场的环量 旋度

一、矢量场的环量与环量面密度

1、矢量场的环量

矢量场)(rA沿场中的一条闭合路径l的曲线积分称为矢量场)(rA沿闭合路径l的环量。

lldA

物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢量场的旋涡源。

2、环量面密度

SldAArotlSn0lim

在矢量场中，一个给定点M处沿不同方向n，其环量面密度的值是不同的。

二、矢量场旋度

1、旋度的定义

方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。

大小：等于该环量面密度最大值。即

max0limSldAnArotlS

2、旋度在坐标系下的表示

AArot .

5 / 12 (1)在直角坐标系中的表示

zyxzyxAAAzyxeeeA

(2)在圆柱坐标系中的表示

zzAAAzeeeA1

(3)在球坐标系中的表示

ArrAArerererArrsinsinsin12

3、旋度的性质

(1)矢量场的旋度是一个矢量。

(2)矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。

(3)矢量场在某点处沿n方向的环量面密度，等于旋度在该方向上的投影。

4、旋度运算的基本公式

(1) )(0为常矢量CC

(2) AcAc)(

(3) BABA)(

(4) AuAuAu)(

(5) BAABBA)(

三、斯托克斯定理

lSldASdA

斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转换关系。

四、旋度与散度的区别

(1)矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。

(2)旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。

(3)如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果矢量场散度为零，则称为无源场。

(4)旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描述场分量沿着各自方向上的变化规律。 .

6 / 12 【例题1】求矢量场zyxexyzezxyeyzxA)()()(在点M(1，0，1)处的旋度以zyxeeen362方向的环量面密度。

【解】矢量场A的旋度

)()()(xyzzxyyzxzyxeeeAArotzyx

zyxexyezxeyz)()()(

在点M(1，0，1)处的旋度

zyxMeeeA2

n方向的单位矢量

zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222

在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度

7177327672nAM

【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为

)(4433zyxezeyexrqrrqE

求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。

【解】

0443333330333rxyryxerzxrxzeryzrzyqrzryrxzyxeeeqEyxzyx

§1.4 标量场的梯度

标量场)(ru：用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为： .

7 / 12 ),,()(zyxuru

一、等值面

1、等值面

标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。

例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中，由电位相同的点构成等位面。

2、等值面方程

Czyxu),,(

常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族，等值面族充满整个场空间，且不同的等值面互不相交。

二、方向导数

为研究标场量),,()(zyxuru在空间任一点的邻域沿各个方向的变化规律，引入了标量场的方向导数和梯度的概念。

1、方向导数的定义

考虑标量场中两个等值面,uuu，标量函数(,,)uxyz沿给定方向le的变化率：

00limlimuuuuuuulPMPM

称为标量函数(,,)uxyz在P沿方向le的方向导数。

2、方向导数在直角坐标系中的表示

coscoscoszuyuxulu

其中，

coscoscoszyxleeee

cos,cos,cos是le的方向余弦：

dldzdldydldxcos,cos,cos

3、方向导数的性质

(1)方向导数是标量场在点P处沿方向le对距离的变化率。

(2)标量场中，在给定点P处沿不同方向le的方向导数不相同。

二、梯度

1、梯度的定义

标量场)(ru的梯度gradu：是一个矢量，其方向为标量场)(ru变化率最大的方向、