2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书6.1数列的概念与简单的表示法试题部分

2021年1月浙江普通高中学考试卷数学学科一､选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.) 1. 已知集合{4,5,6},{3,5,7}A B ==，则A B =（ ）A. ∅B. {5}C. {4,6}D. {3,4,5,6,7}【答案】B【解析】因为{4,5,6},{3,5,7}A B ==，所以{}5A B =.故选：B.2. 函数1()2f x x =+的定义域是（ ） A. [3,)-+∞ B. (3,)-+∞C. [3,2)(2,)---+∞D. [3,2)(2,)-⋃+∞【答案】C【解析】根据题意可得3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，所以[)()3,22,x ∈---+∞.故选：C.3. 33log 18log 2-=（ ） A. 1 B.2 C. 3D.4【答案】B【解析】333318log 18log 2log log 922-===. 故选：B.4. 以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是（ ） A. 22(1)(2)20x y +++=B. 22(1)(2)20x y -+-=C. 22(1)(2)5x y +++=D. 22(1)(2)5x y -+-=【答案】D【解析】解：根据题意得AB 的中点即为圆心坐标，为()1,2， 半径r ==，所以以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是22(1)(2)5x y -+-=.故选：D.5. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 2B. 4C.23D.43【答案】C【解析】如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长为2，高为1，几何体的高为2，所以三棱柱的体积为11121223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯=.故选：C.6. 不等式|1|24x -<的解集是（ ） A. (1,3)- B. (,1)(3,)-∞-+∞C. (3,1)-D. (,3)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A的【解析】解：由指数函数2xy =在R 上单调递增，12242x -<=， 所以12x -<，进而得212x -<-<，即13x .故选：A.7. 若实数,x y 满足不等式组3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2x y +的最大值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由实数,x y 满足约束条件3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，画出可行域如图所示阴影部分：将2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-， 当直线经过点()2,1A 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时目标函数取得最大值，最大值是5， 故选：C8. 若直线1:3410l x y 与2:320()l x ay a -+=∈R 平行，则1l 与2l 间的距离是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】因为1l 与2l 平行，所以3120a -+=，得4a =，所以2:3420l x y -+=，所以1l与2l 间的距离为35d ==.故选：C.9. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin b A =，则B =（ ） A.6π B.6π或56πC.3πD.3π或23π【答案】D【解析】因为在ABC 中，2sin b A =，所以2sin sin B A A = 因为sin 0A ≠，所以sin B =， 因为则()0,B π∈,B =3π或23π故选：D10. 已知平面,αβ和直线l ，则下列说法正确的是（ ） A. 若//,//l l αβ，则//αβ B. 若//,l l αβ⊂，则//αβ C. 若,l l αβ⊥⊂，则αβ⊥ D. 若,l l αβ⊥⊥，则αβ⊥【答案】C【解析】解：对于A 选项，若//,//l l αβ，则//αβ或相交，故A 选项不正确； 对于B 选项，若//,l l αβ⊂，则//αβ或相交，故B 选项不正确；对于C 选项，若,l l αβ⊥⊂，则αβ⊥，为面面垂直的判定定理，故C 选项正确； 对于D 选项，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ，故D 选项不正确. 故选：C.11. 若,a b ∈R ，则“14ab ≥”是“2212a b +≥”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当14ab ≥，由于,a b ∈R ，22112242a b ab +≥≥⨯=，故充分性成立；当,a b ∈R ，不妨设1,1a b =-=，2212a b +≥成立，114ab =-≥不成立，故必要性不成立. 故“14ab ≥”是“2212a b +≥”的充分不必要条件. 故选：A. 12. 函数()2sin ()ln 2xf x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为()()()()()22sin sin ln +2ln 2x xf x f x x x ---===-⎡⎤-+⎣⎦，且()f x 的定义域为R 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，所以排除BC ， 又因为当0x >且x 较小时，可取0.1x =，所以()()()sin 0.10.10ln 20.01f =>+，所以排除D ，故选：A.13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*1112,1,n na a n a +=-=-∈N ，则（ ）A. 40100a a <B. 40100a a >C. 40100S S <D. 40100S S >【答案】D 【解析】211312a a =-=，321113a a =-=，43112a a =-=-，541312a a =-=，…… 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，前三项和316S =-， 40313112a a a ⨯+∴===-，100333112a a a ⨯+===-，所以40100a a =， 4034025136S S a =+=-，100310015332S S a =+=-，所以40100S S >. 故选：D14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,C D A D 的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是（ ）A.45B.35C.D.10【答案】A【解析】取11A B 的中点N ，连接,,EN FN AN由,E N 分别为1111,C D A B 的中点，则11//EN A D 且11EN A D =在正方体中11//AD A D 且11AD A D =,所以//EN AD 且EN AD = 所以四边形ANED 为平行四边形，所以//AN DE 则FAN ∠（或其补角）为异面直线DE 与AF 所成角.设正方体的棱长为2，则在ANF 中，1112NF D B ==AN AF === 所以2224cos25AF AN FN FAN AF AN +-∠===⋅ 故选：A15. 某简谐运动的图象如图所示.若,A B 两点经过x 秒后分别运动到图象上,E F 两点，则下列结论不一定成立的是（ ）A. AB GB EF GB ⋅=⋅B. AB AG EF AG ⋅>⋅C. AE GB BF GB ⋅=⋅D. AB EF BF AG ⋅>⋅【答案】B【解析】设()sin f x A x ω=， 由图知1A =，24T πω==，解得2πω=，所以()sin2f x x π=，假设00,sin2E x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()001,sin 12F x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭即001,cos 2F x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()1,1AB =，()1,0GB =，001,cos sin 22EF x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1AG =，00,sin 2AE x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，00,cos 12BF x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于选项A ：11101AB GB ⋅=⨯+⨯=，00cos si 110n 212EF x G x B ππ⎛⎫-=⎪⎝⎭⋅=⨯+⨯，所以AB GB EF GB ⋅=⋅，故选项A 成立； 对于选项B ：10111AB AG ⋅=⨯+⨯=，000cossin2224x x F AG x E ππππ⋅=⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭显然EF AG ⋅，AB AG EF AG ⋅>⋅不成立，故选项B 不成立；对于选项C ：0AE GB x ⋅=，0BF GB x ⋅=，所以AE GB BF GB ⋅=⋅，故选项C 成立； 对于选项D ：0coss 221inx AB EF x ππ⋅=+-，0cos12F x B AG π-⋅=所以00cossincos 12sin 21222x x AB EF AG x x BF ππππ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭⋅-⋅=+， 因为sin12x π≤，所以2sin02x π->，即0AB EF BF AG ⋅-⋅>，所以AB EF BF AG ⋅>⋅，故选项D 成立， 故选：B16. 已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A.2 B. 3C.4 D. 5【答案】D【解析】令()()21ln 1,011,0x x x t f x x x ⎧-+>⎪=+=⎨⎪+≤⎩. ①当0t >时，()1ln f t t t=-，则函数()f t 在()0,∞+上单调递增， 由于()110f =-<，()12ln 202f =->， 由零点存在定理可知，存在()11,2t ∈，使得()10f t =；②当0t ≤时，()22f t t t =+，由()220f t t t =+=，解得22t =-，30t =.作出函数()1t f x =+，直线1t t =、2t =-、0t =的图象如下图所示：由图象可知，直线1t t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点； 直线0t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点； 直线2t =-与函数()1t f x =+的图象有且只有一个交点. 综上所述，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数为5. 故选：D.17. 如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =（ ）A.B.C.12D.【答案】B【解析】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c =，所以直线:bAP y x b c=+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c =-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理为：6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得：64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得218e -=，或218e -=（舍）. 故选：B18. 如图，在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA ===，90,,,ABC E F O ︒∠=分别为棱,,BC DA AC 的中点，记直线EF 与平面BOD 所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）A. 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由AB BC =，90ABC ︒∠=，将底面补全为正方形ABCG ，如下图示，O 为ABCG 对角线交点且GB AC ⊥，又CD DA =有DO AC ⊥，DO GB O ⋂=， ∴AC ⊥面GDB ，而AC ⊂面ABCG ，故面GDB ⊥面ABCG ，若H 为DG 的中点，连接FH ，又,E F 为棱,BC DA 的中点，则//FH AG 且2AG FH =， 而//BC AG ，2BC AG EC ==，有,EC FH 平行且相等，即ECHF 为平行四边形.∴可将EF 平移至HC ，直线EF 与平面BOD 所成角为(0,)2CHO πθ∠=∈，且Rt CHO△中90COH ∠=︒，令2AB BC CD DA ====，OC =22tan tan OC BD OH θθ===， ∴△ABD 中，2222cos AB BD AB BD DAB BD +-⋅⋅∠=，即21cos 1tan DAB θ∠=-， ∵DAB DAG DCB DCG ≅≅≅，即(0,)2DAB π∠∈，∴21011tan θ<-<，解得tan 1θ>（tan 1θ<-舍去），综上有(,)42ππθ∈，故选：C二､填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分.)19. 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若141,64a a ==，则q =____，3S =____. 【答案】 (1). 4 (2). 21【解析】因为34164a q a ==，所以4q =. 33142114S -==-.故答案为：4；2120. 已知平面向量,a b 满足||2,||1,1a b a b ==⋅=-，则||a b +=______.【解析】因为||2,||1,1a b a b ==⋅=-， 所以()2||a b a b+=+，222a a b b =+⋅+，==21. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.【答案】【解析】解：以两焦点所在直线为y 轴，两焦点所在线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系， 设双曲线焦距为2c ，由题意得双曲线的渐近线方程为y x =±，48c =，所以,2a b c ==，进而得a =故双曲线的实轴长为：.故答案为：22. 已知,0a b ∈>R ，若存在实数[0,1)x ∈，使得2||bx a b ax --成立，则ab的取值范围是________.【答案】11,2+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：因为0b >，故不等式两边同除以b ，得21a a x x b b -≤-，令at b=∈R ，即不等式21x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解.去绝对值即得2211tx x t tx -≤-≤-，即2211tx x t x t tx ⎧-≤-⎨-≤-⎩ 即22111111x t x x t x x +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤即可， 由1()1f x x -=+在[0,1)x ∈上，1[1,2)x +∈，11,112x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，即()11,2f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故min ()1t f x ≥=-；由()()()22111()211221121x x g x x x x x x ++===+++-+++-+，利用基本不等式()211x x ++≥+211x x +=+即,)11[0x ∈=时等号成立，故1()2g x ≤=，即max ()g x =t ≤综上：t 的取值范围是1t -≤≤，即a b 的取值范围是1b a -≤≤.故答案为：11,2+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三､解答题(本大题共3小题，共31分.)23. 已知函数1()cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的最小正周期； （3）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）2；（2）2π；（3）[0,1].【解析】（1）1cos 322222f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即32f π⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）1()cos sin sin 2626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的最小正周期2T π=. （3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当3x ππ+=，即23x π=时，min ()sin 0f x π==； 当32x ππ+=，即6x π=时，max ()1f x =，故()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1]. 24. 如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.【答案】（1）1y =+；（2）12. 【解析】（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =，所以，直线l的方程为1y =+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，∴1020||||PA PB x x ⋅=--()()221201201kx xx x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-. 由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+.由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++-===++. 25. 设[]0,4a ∈，已知函数24(),1x af x x x -=∈+R .（1）若()f x 是奇函数，求a 的值； （2）当0x >时，证明：()22af x x a ≤-+； （3）设12,x x ∈R ，若实数m 满足()()212f x f x m ⋅=-，证明：1()(1)8f m a f --<. 【答案】（1）0a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】解：（1）由题意，对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-，即224()4()11x a x ax x ---=--++，亦即44x a x a --=-+，因此0a =；（2）证明：因为0x >，04a ≤≤，()222421422121a x a x a x x a a x a x x ⎛⎫---++ ⎪-⎛⎫⎝⎭--+= ⎪++⎝⎭()()()22212142121ax x x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦+()221(4)(1)021ax x x =-+-≤+. 所以，()22af x x a ≤-+. （3）设4t x a =-，则222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R ， 当0t =时，0y =；当0t ≠时，216162y a t at=+++；max ()0f x =>，min ()0 f x =<，()f x ≤≤由()()212f x f x m ⋅=-得2max min ()()4 m f x f x -⋅=-≥，即22m -≤≤.①当0m a -≤时，()0f m a -≤，4(1)02a f -=≥，所以1()(1)8f m a f --<；②当0m a ->时，由（2）知，4()(1)()222a a f m a f m a a ---≤--+-1(1)(1)228a a m a a =--≤-≤，等号不能同时成立综上可知1()(1)8f m a f --<. .。

第4讲 数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.2.常见的裂项公式(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( )解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(必修5P38A 改编)等差数列{a n }中，已知公差d ＝12，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝( ) A.50B.75C.100D.125解析 a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d )＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋50×12＝75. 答案 B3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( ) A.2n ＋n 2－1 B.2n ＋1＋n 2－1 C.2n ＋1＋n 2－2D.2n ＋n －2解析 S n ＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.答案 C4.(必修5P38T8改编)一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( ) A.100＋200(1－2－9) B.100＋100(1－2－9) C.200(1－2－9)D.100(1－2－9)解析 第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1（1－2－9）1－2－1＝100＋200(1－2－9). 答案 A5.(必修5P61A4(3)改编)1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝________(x ≠0且x ≠1). 解析 设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，②①－②得：(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝1－x n 1－x －nx n ， ∴S n ＝1－x n （1－x ）2－nx n1－x .答案 1－x n （1－x ）2－nx n1－x6.(2017·嵊州模拟)“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)则a 7＝________；若a 2 018＝m ，则数列{a n }的前2 016项和是________(用m 表示).解析 ①∵a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，∴a 3＝1＋1＝2，同理可得：a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，则a 7＝13.②∵a 1＝1，a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)， ∴a 1＋a 2＝a 3， a 2＋a 3＝a 4， a 3＋a 4＝a 5， …，a 2 015＋a 2 016＝a 2 017 a 2 016＋a 2 017＝a 2 018. 以上累加得，a 1＋2a 2＋2a 3＋2a 4＋…＋2a 2 016＋a 2 017＝a 3＋a 4＋…＋a 2 018， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 016＝a 2 018－a 2＝m －1. 答案 13 m －1考点一 分组转化法求和【例1】 (2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和.解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列. 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2.规律方法 (1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练1】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( ) A.n 2＋1－12n B.2n 2－n ＋1－12n C.n 2＋1－12n －1D.n 2－n ＋1－12n(2)(2017·杭州七校联考)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( ) A.1 008B.2 016C.504D.0解析 (1)该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . (2)a 1＝cos π2＝0，a 2＝2 cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….所以数列{a n }的所有奇数项为0，前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为－2，4，－6，8，…，－2 014，2 016.故S 2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008. 答案 (1)A (2)A 考点二 裂项相消法求和【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和. 解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3（2n ＋3）. 规律方法 (1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.考点三 错位相减法求和【例3】 (2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n .得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]. 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]. 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2.所以T n ＝3n ·2n ＋2.规律方法 (1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和.解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3， 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12， 从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2.所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.[思想方法]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. [易错防范]1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( ) A.120B.70C.75D.100解析 因为S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.答案 C2.(2017·杭州调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A.9B.8C.17D.16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200B.－200C.400D.－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案 B4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A.5B.6C.7D.16解析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.答案 C5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( ) A.22 016－1 B.3·21 008－3 C.3·21 008－1D.3·21 007－2解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B.答案 B 二、填空题6.(2017·嘉兴一中检测)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________.解析 由题意知所求数列的通项为1－2n 1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案 2n ＋1－2－n7.(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ， 则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6. 答案 68.(2017·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）1－4＝4n －1.答案 4n －1三、解答题9.(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由⎩⎨⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝3.∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n （1＋2n －1）2＋1－3n1－3＝n 2＋3n －12. 10.(2017·贵阳一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2).故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *). (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1， 因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016·郑州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 016中，有理数项的项数为( )A.42B.43C.44D.45解析 a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1＝（n ＋1）n －n n ＋1[（n ＋1）n ＋n n ＋1][（n ＋1）n －n n ＋1] ＝n n －n ＋1n ＋1. 所以S n ＝1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －n ＋1n ＋1＝1－n ＋1n ＋1， 因此S 3，S 8，S 15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n 2－1(n ≥2)， 所以n 2－1≤2 016，且n ≥2，所以2≤n ≤44，所以有理项的项数为43.答案 B12.(2017·济南模拟)在数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A.76B.78C.80D.82解析 因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，所以a 2－a 1＝1，a 3＋a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5＋a 4＝7，a 6－a 5＝9，a 7＋a 6＝11，…，a 11＋a 10＝19，a 12－a 11＝21，所以a 1＋a 3＝2，a 4＋a 2＝8，…，a 12＋a 10＝40，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋(a 9＋a 11)＋(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋(a 10＋a 12)＝3×2＋8＋24＋40＝78.答案 B13.(2017·台州调研)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n，则a 1a 2a 3…a 15＝________；设b n ＝(－1)n a n ，数列{b n }前n 项的和为S n ，则S 2 016＝________.解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，∴a 2＝1＋21－2＝－3，a 3＝1－31＋3＝－12，a 4＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋131－13＝2.∴a 4n ＋1＝2，a 4n ＋2＝－3，a 4n ＋3＝－12，a 4n ＝13.∴a 4n ＋1·a 4n ＋2·a 4n ＋3·a 4n ＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝1. ∴a 1a 2a 3…a 15＝a 13a 14a 15＝a 1a 2a 3＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3. ∵b n ＝(－1)n a n ，∴b 4n ＋1＝－2，b 4n ＋2＝－3，b 4n ＋3＝12，b 4n ＝13.∴b 4n ＋1＋b 4n ＋2＋b 4n ＋3＋b 4n ＝－2－3＋12＋13＝－256.∴S 2 016＝－256×2 0164＝－2 100.答案 3 －2 10014.(2015·山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前n项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13， 所以a 1a 2＝3.①令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25， 所以a 2a 3＝15.②解①②得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ×4n ，所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ×4n ＋1， 两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4（1－4n ）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43. 所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋19. 15.(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.解 (1)由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎨⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n .所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1， 当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n －n 2－5n ＋112， 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x⩾1} , B= {x|−1<x<2}，则A∩B=()A. B. C. D.2.已知a∈R，(1+ai) i =3+i(i为虚数单位)，则a=()A. B. C. D.3.已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗，则“a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗”是“a⃗=b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示(单位：厘米)，则该几何体的体积是(单位：cm3)()A.B.C.D.5.若实数x , y满足约束条件{x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0，则z=x−12y最小值是()A. B. C. D.6.已知正方体，，分别是，，，的中点，则()A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与异面，直线平面7.已知函数，则为右图的函数可能是()A.B. y =f(x)−g(x)−14 C.D.8. 已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有( )A. 个B. 个C. 个D. 个9. 已知 a , b ∈ R , a b >0，若函数f(x)=ax 2+b (x ∈R)，且f(s −t)，f(s)，f(s +t)成等比数列，则平面上点(s , t)的轨迹是( )A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10. 已知数列满足，，记数列的前和项，则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，则S1S 2= ．12. 已知，函数；若，则_________． 13. 已知多项式，则__________；__________．14. 在中，，，是的中点，，则__________；__________．15.袋中有4个红球，个黄球，个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为；若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_________，_________．16.已知椭圆，焦点，；过的直线和圆相切，并与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是_________，椭圆的离心率是__________．17.已知平面向量，，满足，，，，记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为，则的最小值的等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．1证明：；2求直线与平面所成角的正弦值．20.已知数列a n的前n项和为S n，a1=−9，且4S n+1=3S n−9(n∈N∗).4(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列{b n}满足3b n+(n−4)a n=0(n∈N∗)，记{b n}的前项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．21.如图，已知F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．(1)求抛物线方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A , B两点，若斜率为2的直线l与直线MA , MB , AB , x轴依次交于点P , Q , R , N，且满足|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．22.设a , b为实数，且a>1，函数f(x)=a x−b x+e2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>e4，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，且满足x2>blnb2e2x1+e2b．答案和解析1.【答案】D【知识点】相等关系与不等关系、交集及其运算【解析】【解析】由题意可知，A∩B= { x | 1⩽x<2 }，故选D．2.【答案】C【知识点】复数的概念、复数的四则运算、复数相等的充要条件【解析】【解析】∵(1+ai) i = −a+i = 3+i，∴a=−3.故选：C．3.【答案】B【知识点】推理、必要条件、充分条件与充要条件的判断、向量的数量积【解析】【解析】∵a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗，∴(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=0，即(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，但a⃗≠b⃗ 不一定成立，故充分性不满足，若a⃗=b⃗ ，则a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗必成立，故必要性满足，所以是必要不充分条件．故选：B．4.【答案】A【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、数学模型与数学探究活动、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间几何体的三视图【解析】【解析】由三视图可得，直观图如图所示，四棱柱A B C D−A1B1C1D1，由俯视图可知，底面A B C D为等腰梯形，将四棱柱补形成棱长为2的长方体，则BE=√22，所以V=12×(√2+2√2)×√22⋅1=32．故选：A．5.【答案】B【知识点】数学思想和方法、范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域【解析】【解析】由题意可知，可行域如图所示，令直线l：y=2x−2z，当直线l过点A(−1 ,1)时，z有最小值−32．故选：B．6.【答案】A【知识点】空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间中的位置关系 【解析】【解析】连接AD 1，则AD 1与A 1D 交于M ，AD 1⊥AD 1， 在正方体中，∵A B ⊥平面ADD 1A 1，∴A B ⊥A 1D ， ∴AD 1⊥平面ABD 1， ∴A 1D ⊥D 1 B ， ∵M 为AD 1中点， N 为D 1 B 中点， ∴M N//A B ，∴M N//平面A B C D ． 故选：A ．7.【答案】D【知识点】函数的图象、函数的奇偶性、复合函数的单调性、数学模型与数学探究活动 【解析】【解析】易知函数图像表示的是奇函数，y =f(x)+g(x)−14=x 2+sinx 与y =f(x)−g(x)−14=x 2−sinx 均为非奇非偶函数，排除A 和B ，对于C ，y =f(x)g(x)=(x 2+14) sinx 在[0， π2]上单调，与题意不符． 故选：D ．8.【答案】C【知识点】推理、运用反证法证明、三角恒等变换【解析】【解析】假设sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα均大于12，即sinαcosβ>12，sinβcosγ>12，sinγcosα>12，则(sinαcosβ)⋅(sinβcosγ)⋅(sinγcosα)>18，而另一方面，(sinαcosβ)(sinβcosγ)(sinγcosα)=(sinαcosα)(sinβcosβ)(sinγcosγ)，化简得，12sin2α⋅12sin2β⋅12sin2γ=18sin2α⋅sin2β⋅sin2γ≤18，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12，取β=π4，α=π3，γ=π6，得到sinαcosβ=√64>12，且sinβcosγ=√64>12，∴大于12的数至多有2个．故选：C．9.【答案】C【知识点】数学思想和方法、圆锥曲线中的对称性问题、直线方程的综合应用、双曲线的概念及标准方程【解析】【解析】∵f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，∴f2(s)=f(s−t)⋅f(s+t)⇒[a(s−t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2，⇒a2(s2−t2)2+a b(2s2+2t2)+b2=a2s4+2abs2+b2，⇒a2(s4−2s2t2+t4)+2abs2+2abt2+b2=a2s4+2abs2+b2，∴a2t4−2a2s2t2+2abt2=0⇒at4−2as2t2+2bt2=0⇒t2(at2−2as2+2b)= 0，当t=0时，(s , t)的轨迹是直线，当at2−2as2+2b=0时，2s2−t2=2ba>0，即s2ba−t2a=1，此时(s , t)的轨迹是双曲线．故选：C．10.【答案】A【知识点】运用放缩法证明不等式、数列的递推关系、数列的求和【解析】【解析】∵a n+1=n1+√a ⇒a n+1+a n+1√a n =a n ，∴a n+1=n n+1√a ，∵√a n >12(√a n +√a n+1)， ∴a n+1<n n+112(√a +√a )=2(√a n −√a n+1)，∴S 100<1+2(√a 1−√a 2+√a 2−√a 3+⋯+√a 99−√a 100)=1+2(1−√a 100)<3， 易知：n ⩾2时，a n ≤12，先证明：n ⩾2时，√a n <712(√a n +√a n+1)⇔5√a n <7√a n+1⇔25 a n <49 a n+1，即：25a n <49⋅n1+√a ⇔√a n <2425(n ⩾2)成立，当n ⩾2，a n+1>n n+1712(√a +√a )=127(√a n −√a n+1)， 由a n+1=n 1+√a ⇒1an+1=1+√a n a n=1a n+√1a n ⇒1a n+1−1a n =√1a n≥1，则1a 2−1a 1>1 , 1a 3−1a 2>1 , ⋯ , 1a100−1a 99>1 ⇒1a 10>100，即a 100<1100， ∴S 100>1+12+127(√a 2−√a 3+√a 3−√a 4+⋯+√a 99−√a 100)=1+12+6√27−127√a 100≥32+6√27−635>52，综上：52<S 100<3． 故选：A ．11.【答案】25．【知识点】数学思想和方法、数学模型与数学探究活动【解析】【解析】由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，则S 1S 2=251= 25．故答案为：25．12.【答案】2.【知识点】函数的解析式、复合函数、分段函数【解析】【解析】f(√6)=(√6)2−4=2，f(2)=|2−3|+a =3，解得a =2． 故答案为：2．13.【答案】5；10．【知识点】数学思想和方法、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】【解析】a 1 x 3=C 30x 3(−1)0+C 41x 3=5x 3，则a 1=5； a 2 x 2=C 31x 2(−1)1+C 42x 2=3x 2，则a 2=3； a 3 x =C 32x 1(−1)2+C 43x =7x ，则a 3=7； a 4=C 33x 0(−1)3+C 44=0；a 2+a 3+a 4=3+7+0=10． 故答案为：5；10．14.【答案】2√13；2√3913．【知识点】解三角形、数学模型与数学探究活动、余弦定理 【解析】【解析】因为= 60∘ ，AB =2 ，AM =2√3 ，所以BM =4 ，所以BC =8 ，AC = √AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB = 2√13 ， cos∠MAC =AC 2+AM 2−CM 22⋅AC⋅AM = 2√3913。

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法6.3 等比数列及其前n 项和教师用书1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n. 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S2＝a 11－q 51－q ·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－51－4＝－11.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18(2)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4等于( )A ．1 008B ．2 016C ．2 032D ．4 032答案 (1)C (2)B解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24， 又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.(2)由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n，S 10＝－2101－2＝211－2＝2 046，S 4＝－241－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2 016.故选B.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)(2016·诸暨市质检)已知等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，数列{a n }的前4项和S 4＝________.(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.答案 (1)1或－12 4或58(2)3n －1解析 (1)由a 2，a 4，a 3成等差数列得2a 1q 3＝a 1q ＋a 1q 2， 即2q 3＝q ＋q 2，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S 4＝4a 1＝4， 当q ＝－12时，S 4＝1－－1241－－12＝58. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列的通项a n ＝a 1qn －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋n ， ②由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究若将例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2， 又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，a 2＝3， 当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n－1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 （1）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋lna 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1.由a 11－q 61－q ÷a 11－q 31－q ＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，∴公比q ≠－1，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558 答案 (1)C (2)A解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18.14．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (15分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[3分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[5分](2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12nn ＋，n 为奇数，2＋12nn －，n 为偶数.[8分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[11分]当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[13分] 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136（n ∈N *）.[15分]1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8－4 2答案 C解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.2．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23D.23或－23答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.又a 1<0，因此q ＝－23.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ， 由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．(2016·绍兴期末)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5等于( ) A ．32 B ．62 C ．27 D ．81 答案 B解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 由a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，得a 2＋a 5＝2(a 4＋2)， 即2q ＋2q 4＝2(2q 3＋2)，(q －2)(1＋q 3)＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， ∴S 5＝－251－2＝62，故选B.5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793log ()＋＋a a a 的值是( ) A ．－15B ．－5C ．5 D.15答案 B解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n＝1， 解得a n ＋1a n＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列． 因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3， 所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以15793log ()＋＋a a a ＝513log 3＝－5.6．(2016·铜仁质量检测)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12 B.32 C ．1 D ．－32答案 B解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以π343.＝alog 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7) ＝log 3a 74＝π337log 3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4， 则q ＝a 4a 3＝4.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.答案 12n 解析 ∵a n ＋S n ＝1，① ∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)， ② 由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×(12)n －1＝12n . 10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.11．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ∈N *)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)qn －1＝2n －1. 从而b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)， 数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n －1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1. 12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。

专题十一计数原理【真题探秘】11.1排列、组合探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点排列、组合1.理解加法原理和乘法原理,会解决简单的计数问题.2.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题.2018浙江,16,4分排列组合的综合问题★★★2017浙江,16,4分组合问题分析解读 1.排列与组合是高考常考内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时还与概率相结合进行考查.2.常结合实际背景,以应用题形式出现,且背景灵活多变,常见的有排队问题,涂色问题等,也有跨章节、跨学科及以生活实际为出发点的问题.3.考查排列与组合的综合应用能力,涉及分类讨论思想.4.预计2021年高考试题中,排列、组合与概率一起考查的可能性很大.破考点练考向【考点集训】考点排列、组合1.(2020届浙江9＋1联盟11月联考,7)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示的弦图,由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有五种颜色可供涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有()A.180种B.192种C.420种D.480种【参考答案】C2.(2019浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,15)将9个相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,且每个盒子中球的个数互不相同,则不同的分配方法共有种.【参考答案】183.(2019浙江名校协作体联考,16)用黑白两种颜色随机地染如下6个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为.【参考答案】204.(2020届浙江台州一中期中,15)8×8的方格棋盘中,取出一个由3个小方格组成的“L”形(如图),共有种不同的取法.【参考答案】1965.(2020届山东夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种.【参考答案】36炼技法提能力【方法集训】方法排列组合综合问题的解题方法1.(2019浙江高考数学仿真卷,15)浙江省第一中学迎春晚会由6个节目组成,为考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲不排在第一位和最后一位,节目丙、丁必须排在一起,则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有种.【参考答案】1442.(2019浙江名校新高考研究联盟联考,15)一条笔直的公路的一侧有9根电线杆,现要移除2根,且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留,则不同的移除方法有种.【参考答案】213.(2020届浙江温州一模,15)学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果,西梅数量不多,只够一人购买,甲、乙、丙、丁4位同学前去购买,每人只选择其中一种,这4位同学购买后,恰好买了其中3种水果,则他们购买水果的可能情况有种. 【参考答案】6004.(2020届浙江绍兴一中期中,16)某中学安排A,B,C,D四支小队去3所不同的高校参观,上午每支小队各参观一所高校,下午A小队有事返回学校,其余三支小队继续参观.要求每支小队上、下午参观的高校不能相同,且每所学校上午和下午均有小队参观,则不同的安排有种.【参考答案】72【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点排列、组合1.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【参考答案】12602.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)【参考答案】660B组统一命题、省(区、市)卷题组考点排列、组合1.(2017课标全国Ⅱ理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【参考答案】D2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【参考答案】B3.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个【参考答案】C4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【参考答案】B5.(2018课标全国Ⅰ理,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)【参考答案】166.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)【参考答案】1080C组教师专用题组考点排列、组合1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72【参考答案】D2.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{－1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130【参考答案】D3.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)【参考答案】A4.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对【参考答案】C5.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【参考答案】D6.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【参考答案】C7.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【参考答案】B8.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【参考答案】B9.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{－1,0,1,2},且关于x的方程ax2＋2x＋b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10【参考答案】B10.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20【参考答案】C11.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279【参考答案】B12.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)【参考答案】156013.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种. 【参考答案】3614.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).【参考答案】48015.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).【参考答案】59016.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.【参考答案】96【三年模拟】一、选择题(共4分)1.(2019浙江浙南联盟期末,7)甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃,则他们一共吃到了3种不同食品的情况有()A.84种B.100种C.120种D.150种【参考答案】C二、填空题(每空4分,共28分)2.(2020届浙江Z20联盟开学联考,15)某高三班级上午安排五节课(语文,数学,英语,物理,体育),要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节,则不同的排法总数是(用数字作答).【参考答案】603.(2020届浙江浙南名校联盟联考,14)3名男学生、3名女学生和2位老师站成一排拍照合影,要求2位老师必须站正中间,队伍左右两端不能同时是一名男学生与一名女学生,则总共有种排法.【参考答案】5764.(2019浙江高考数学仿真卷(一),17)将各位数码之和为12的四位数,称为“知行数”,如2019,则不同的“知行数”共有个. 【参考答案】3425.(2020届浙江“超级全能生”联考,15)将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字组成没有重复数字的八位数,要求7与8相邻,且任意相邻的两个数字奇偶不同,这样的八位数的个数是.【参考答案】5046.(2019浙江高考信息优化卷(三),16)将颜色分别为红、黄、蓝、紫色的4个球,放入编号分别为1,2,3,4,5,6的六个盒子中,每个盒子至多放2个球,则不同的放法有种(用数字作答).【参考答案】11707.(2019浙江嵊州期末,15)将编号为1,2,3,4,5的五个小球全部放入A,B,C三个盒子内,若每个盒子不空,且放在同一盒子内的小球编号互不相连,则不同的放法种数为.【参考答案】428.(2020届浙江“绿色评价”联盟联考,15)某校从8名数学教师中选派4名同时去4个边远地区支教,每地1名教师,其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案的种数为.(用数字作答)【参考答案】600。

第1讲集合最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言【列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩【Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合【1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.【2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.【3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系【1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.【2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A. 【3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.【4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论【1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.【2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.【3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【4)∁U【A∩B)＝【∁U A)∪【∁U B)，∁U【A∪B)＝【∁U A)∩【∁U B).诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”)【1)任何集合都有两个子集.【)【2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{【x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.【) 【3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.【)【4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.【)解析【1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.【2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝【－∞，＋∞)；集合B是函数y ＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C 不相等.【3)错误.当x＝1，不满足互异性.【4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.答案【1)×【2)×【3)×【4)×2.【必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是【)A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a∉A.答案 D3.【2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝【)A.{1，3}B.{3，5}C.{5，7}D.{1，7}解析因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.答案 B4.【2017·杭州模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U 【A ∪B )等于【 )A.{1，4}B.{1，5}C.{2，5}D.{2，4}解析 由题意得A ∪B ＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U 【A ∪B )＝{2，4}.答案 D5.【2017·绍兴调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则A ∪B ＝________，【∁U A )∩B ＝________.解析 ∵A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，∴A ∪B ＝{x |x ≥0}，【∁U A )∩B ＝{x |0≤x <2}. 答案 {x |x ≥0} {x |0≤x <2}6.已知集合A ＝{【x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{【x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________.解析 集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素.答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 【1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是【 )A.1B.3C.5D.9【2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝【 ) A.92 B.98 C.0 D.0或98解析 【1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1；当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.【2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝【－3)2－8a ＝0，得a ＝98， 所以a 的取值为0或98.答案 【1)C 【2)D规律方法 【1)第【1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第【2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形.【2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 【1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.【2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________.解析 【1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.【2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去；当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98.答案 【1)2 【2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98 考点二 集合间的基本关系【例2】 【1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则【 )A.A BB.B AC.A ⊆BD.B ＝A【2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.解析 【1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}.因此B A .【2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为【－∞，4].答案 【1)B 【2)【－∞，4]规律方法 【1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.【2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 【1)【2017·镇海中学质检)若集合A ＝{x |x >0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是【 )A.{1，2}B.{x |x ≤1}C.{－1，0，1}D.R【2)【2016·郑州调研)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为【 )A.2B.－1C.－1或2D.2或2解析 【1)因为A ＝{x |x ＞0}，且B ⊆A ，再根据选项A ，B ，C ，D 可知选项A 正确.【2)由x ＝x 2－2，得x ＝2，则A ＝{2}.因为B ＝{1，m }且A ⊆B ，所以m ＝2.答案 【1)A 【2)A考点三 集合的基本运算【例3】 【1)【2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为【 )A.5B.4C.3D.2【2)【2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪【∁R Q)＝【)A.[2，3]B.【－2，3]C.[1，2)D.【－∞，－2)∪[1，＋∞)解析【1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.【2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪【∁R Q)＝{x|－2<x≤3}.答案【1)D【2)B规律方法【1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.【2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】【1)【2017·石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是【)A.N⊆MB.N∩M＝∅C.M⊆ND.M∩N＝R【2)【2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U【A∪B)＝【)A.{2，6}B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}解析【1)易知N＝【－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.【2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U【A∪B)＝{2，6}.答案【1)C【2)A[思想方法]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性【是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组【建议用时：25分钟)一、选择题1.【2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则【)A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.【2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝【)A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}解析由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3<x<3}，又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}. 答案 D3.【2017·肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则【)A.A ∩B ≠∅B.A ∪B ＝RC.B ⊆AD.A ⊆B解析 由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝【1，＋∞)，∴A ∪B ＝R .答案 B4.已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }.若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是【 )A.【－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.【－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1，1].答案 C5.【2016·山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝【 )A.【－1，1)B.【0，1)C.【－1，＋∞)D.【0，＋∞) 解析 由y ＝2x ，x ∈R ，知y >0，则A ＝【0，＋∞).又B ＝{x |x 2－1<0}＝【－1，1).因此A ∪B ＝【－1，＋∞).答案 C6.【2016·浙江卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则【∁U P )∪Q ＝【 )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴【∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}.答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是【 )A.1B.3C.7D.31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.答案 B8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U【A∪B)＝【)A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U【A∪B)＝{x|0<x<1}.答案 D二、填空题9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.解析∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案【－∞，1]10.【2017·宁波调研)集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A∩B ＝________；A∪B＝________；∁B A＝________.解析A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A⊆B，∴|x|＝1，∴A∩B ＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1}，∁B A＝{－1}.答案{0，1}{－1，0，1}{－1}11.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x【x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A －B＝________.解析由x【x＋1)>0，得x<－1或x>0，∴B＝【－∞，－1)∪【0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0).答案[－1，0)12.【2017·湖州质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.答案【2 016，＋∞)13.【2017·金华模拟)设集合A ＝{x ∈N |6x ＋1∈N }，B ＝{x |y ＝ln 【x －1)}，则A ＝________，B ＝________，A ∩【∁R B )＝________.解析 当x ＝0，1，2，5时，6x ＋1的值分别为6，3，2，1，当x ∈N 且x ≠0，1，2，5时，6x ＋1∉N ，∴A ＝{0，1，2，5}，由x －1>0，得x >1，∴B ＝{x |x >1}，∁R B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩【∁R B )＝{0，1}.答案 {0，1，2，5} {x |x >1} {0，1}能力提升题组【建议用时：10分钟)14.【2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |【x －2)【x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则【∁R S )∩T ＝【 )A.[2，3]B.【－∞，－2)∪[3，＋∞)C.【2，3)D.【0，＋∞)解析 易知S ＝【－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝【2，3)，因此【∁R S )∩T ＝【2，3).答案 C15.【2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln 【1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是【 )A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}解析 易知A ＝【－1，2)，B ＝【－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩【∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩【∁U B )＝{x |1≤x <2}.答案 B16.【2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln 【x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}.又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}，∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素.答案 117.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |【x －m )【x －2)<0}，且A ∩B ＝【－1，n )，则m ＋n ＝________.解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝【－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0.答案 018.【2017·丽水质检)若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的，若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则【1)“好集”P 中的元素最大值为________；【2)“好集”P 的个数为________.解析 【1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1b ＝2c ，a ＋c ＝2b⇒1a ＋2a ＋c ＝2c ⇒c 【a ＋c )＋2ac ＝2a 【a ＋c )⇒c 2＋ac －2a 2＝0⇒【c ＋2a )【c －a )＝0，∵c ≠a ，∴c ＝－2a ，b ＝a ＋c 2＝－a 2，∴c ＝4b ，令－2 014≤4b ≤2 014，得－503≤b ≤503，∴P 中最大元素为4b ＝4×503＝2 012.【2)由【1)知P ＝{－2b ，b ，4b }且－503≤b ≤503，所以“好集”P 的个数为2×503＝1 006.答案 【1)2 012 【2)1 006。

第1讲数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n ＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(2017·浙江五校联考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1 B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，故选C. 答案 C3.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A.15B.16C.49D.64解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A4.已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________.解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.答案(－3，＋∞)5.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝________.答案5n－46.(2017·金华调考)在数列{x n}中，x1＝10，x n＝log2(x n－1－2)，则数列{x n}的第2项是________，所有项和T＝________.解析∵x1＝10，x n＝log2(x n－1－2)，∴x2＝log2(x1－2)＝log28＝3，x3＝log2(x2－2)＝log21＝0.数列{x n}所有项的和为10＋3＋0＝13.答案313考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)23，415，635，863，1099，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5 555，….解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n－5).(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1).规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【训练1】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A.a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *) B.a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) C.a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D.a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) (2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________. 解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n （n ＋1）.答案 (1)C (2)(－1)n1n （n ＋1）考点二 由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2(2)(－2)n －1规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形. 【训练2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案 (1)－2n －1(2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2考点三 由数列的递推关系求通项公式 【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________.解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n＝n （n ＋1）2＋1. (2)法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n . 法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1.a 1＝n －1n .n －2n －1.n －1n －2 (1)＝1n .(3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)1n(3)2n ＋1－3 规律方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项.(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.【训练3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n－1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足). (2)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n . 答案 (1)3×2n －1－2 (2)4－1n[思想方法]1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. [易错防范]1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cosn ＋12πD.cosn ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D2.数列23，－45，67，－89，…的第10项是( ) A.－1617B.－1819C.－2021D.－2223解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 答案 C3.(2017·绍兴一中检测)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A.2n －1 B.2n －1＋1 C.2n －1D.2(n －1)解析 法一 由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.法二 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 答案 A4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7B.6C.5D.4解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题6.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n，a 8＝3421，则a 5＝________.解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.答案 857.(2017·绍兴月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a 1＝________；a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案 4 ⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28.(2017·嘉兴七校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________.解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，由于a 1≠0，则a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 1 三、解答题9.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍). ∴从第7项起各项都是正数.10.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2. 显然，当n ＝1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C.4 D.0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.答案 D12.(2017·石家庄质检)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________.解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝－1.答案 －113.(2017·金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”.不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件： ①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”. 下面三个数列：①数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3(n 2－1)；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3， (11)具有“P 性质”的为________；具有“变换P 性质”的为________. 解析 对于①，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ，∵a 1＝0，∴a n ＝n 2－n ，∴a i ＋i ＝i 2(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，∴数列{a n }具有“P 性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”. 答案 ① ②14.(2017·瑞安市模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).15.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n .(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4.对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n . 又当n ＝1时，a 1＝4适合上式，故{a n }的通项公式a n ＝4n . 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1. (求b n 法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，所以数列{b n }是以1为首项，公比为12的等比数列，故b n ＝21－n . (求b n 法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n ，得T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n .又n ＝1时，b 1＝1适合上式，故{b n }的通项公式b n ＝21－n .(2)证明 (法一)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ， 得c n ＋1c n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43＜2，即c n ＋1＜c n .(法二)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]. 当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n ＜0，即c n ＋1＜c n .。

12.2古典概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点古典概型理解古典概型,会计算古典概型中事件的概率.2015浙江自选,04(2),5分古典概型★★★分析解读 1.古典概型的概率求法是高考常考内容,是高考的命题热点.2.考查古典概型的概率的计算是本节最为常见的考查内容,往往与排列、组合相结合,并体现对分类讨论思想的考查.3.预计2021年高考试题中,对古典概型的考查的可能性很大.破考点练考向【考点集训】考点古典概型1.(2019浙江9＋1联盟期中,15)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a,b,c,d,e,f,则使a×b×c＋d×e×f是偶数的排列出现的概率是.【参考答案】9102.(2019浙江高考信息卷(二),16)某人做摸球游戏,袋中装有大小形状和质地均完全相同的6个小球,其中3个红球,2个黄球,1个蓝球.摸球规则如下:每次摸2个球,摸到一个红球得1分,摸到一个黄球得2分,摸到一个蓝球得3分,则此人摸一次恰好得4分的概率是;设此人摸一次得分为X分,则X的数学期望是.【参考答案】415;103炼技法提能力【方法集训】方法古典概型概率的计算方法1.(2019浙江诸暨牌头中学期中,13)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成的没有重复数字的五位数,从中随机取一个数,则这个数恰好能被5整除的概率是.【参考答案】9252.(2018浙江镇海中学阶段性测试,13)甲、乙等五名工人被随机地分到A,B,C三个不同的岗位工作,每个岗位至少有一名工人,则甲、乙被同时安排在A岗位的概率为.【参考答案】225【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点古典概型(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(2),5分)设袋中共有7个球,其中4个红球,3个白球.从袋中随机取出3个球,求取出的白球比红球多的概率.解析从袋中取出3个球,总的取法有C73=35种;其中白球比红球多的取法有C33＋C32·C41=13种.因此取出的白球比红球多的概率为1335.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点古典概型1.(2019课标全国Ⅱ文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15【参考答案】B2.(2019课标全国Ⅲ文,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12【参考答案】D3.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【参考答案】D4.(2017课标全国Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25【参考答案】D5.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56【参考答案】C6.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.【参考答案】7107.(2019上海,10,5分)某三位数密码,每位数字可在0—9这10个数字中任选一个,则该三位数密码中,恰有两位数字相同的概率是.【参考答案】271008.(2019天津文,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.项目员工A B C D E F子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素养.(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=1115.思路分析(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.C组教师专用题组考点古典概型1.(2018课标全国Ⅲ,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【参考答案】B2.(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118【参考答案】C3.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79【参考答案】C4.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15【参考答案】C5.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130【参考答案】C6.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.925【参考答案】B7.(2015课标Ⅰ,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120【参考答案】C8.(2015广东,4,5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D.1【参考答案】B9.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为. 【参考答案】31010.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【参考答案】1511.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是.【参考答案】1612.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.【参考答案】5613.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G}, {F,G},共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率P(M)=521.14.(2018北京文,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率为502 000=0.025.(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1=56＋10＋45＋50＋160＋51=372.故所求概率估计为1－3722 000=0.814.(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.15.(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率P=315=1 5 .(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率P=29.16.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41＋C 32C 102=13.所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32＋C 32＋C 42C 102=415, P(X=1)=C 31C 31＋C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以随机变量X 的分布列为X 012P415715415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415＋1×715＋2×415=1.17.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 22C 32＋C 32C 32C 84=635.所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=C 5k C 34－kC 84(k=1,2,3,4).所以随机变量X 的分布列为X 1234P1143737114随机变量X 的数学期望E(X)=1×114＋2×37＋3×37＋4×114=52.评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江稽阳联谊学校联考,8)甲、乙两个人玩一种游戏,两人分别在两张纸上各写一个数字,分别记为a,b,其中a,b 必须是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素,如果a,b 满足|a －b|≤1,我们就称两人是“友好对”.现在任意找两人玩这种游戏,则他们是“友好对”的概率为( )A.718B.29C.518D.49【参考答案】D2.(2020届浙江镇海中学模拟,7)从集合A={0,1,2,3,4,5}中任取3个不同的数分别作为方程ax 2＋bx ＋c=0的系数,其中恰好能使方程有两个不同的实数根的概率是( )A.1760B.415C.17120D.1720【参考答案】A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共38分)3.(2020届浙江高考冲刺试题三,14)甲、乙、丙、丁4位同学抽签到A,B,C,D4个垃圾投放点进行垃圾分类义务宣传活动,每个投放点去1人,则甲恰好抽到A 投放点的概率是 . 【参考答案】144.(2020届浙江高考模拟试题一,12)在校运会上,甲、乙、丙3位同学都在跳高、跳远、铅球、100 m 跑4个项目中任意选择2个项目报名,则恰好有2位同学的报名项目完全相同的概率是 . 【参考答案】5125.(2019浙江高考信息优化卷(五),14)某中学的十佳校园歌手有6名男同学,4名女同学,其中3名来自1班,其余7名来自其他互不相同的7个班,现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会,则选出的3名同学来自不同班级的概率为 ;设X 为选出的3名同学中女同学的人数,则该变量X 的数学期望为 . 【参考答案】4960;656.(2019浙江金华十校期末,12)一个口袋里装有大小相同的5个小球,其中红色球2个,其余3个球颜色各不相同. 现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球颜色相同的概率是 ;若变量X 为取出的三个小球中红球的个数,则X 的数学期望E(X)= . 【参考答案】310;657.(2020届浙江高考冲刺试题二,13)任意取U={0,1,2,3,4,5,6}中一个含3个元素的子集M,则M 中的元素之和恰好为7的概率是 ;设M 中的元素之和为X,则X 的期望是 . 【参考答案】435;98.(2020届浙江高考模拟试题五,12)有一枚质地均匀的正方体骰子,甲、乙二人玩投骰子的游戏,各投1次,记两人投的点数分别为a,b,设X=|a －b|,约定当X ≤1时,甲赢,则甲赢的概率是 ;X 的期望是 . 【参考答案】49;35189.(2020届浙江镇海中学阶段检测,13)甲、乙两位同学在“7选3”选考科目时都选择了物理,其他科目任意选2科,那么两位同学选择的科目完全相同的概率是 ;两位同学选择的科目总数X 的期望是 . 【参考答案】115;133。

1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 【知识拓展】1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第7个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30答案 B解析 由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，…，下列各数中是此数列中的项的是( )A.135B.142C.148D.154 答案 B3．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是 ． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－(n －112)2＋1214，∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·杭州模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n －1)2(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝ .答案 (1)C (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴a n ＝n (n ＋1)2.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，89⎝⎛⎭⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n－32n. 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式例2 (1)(2016·余姚模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝ .答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n ＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1；(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为 ．(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1 B ．(32)n －1C ．(32)n D.12n －1答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)B解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得12S n ＝S n ＋1－S n ，即S n ＋1＝32S n (n ≥1)，又S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝(32)n －1，故选B.题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，∴a n －a n －1＝ln(1＋1n －1)＝ln nn －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln(n n －1.n －1n －2 (3)2·2)＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a n ＝ .(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5等于( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32 答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性例5 (2016·镇海中学模拟)在数列{a n }中，若存在非零整数T ，使得a m ＋T ＝a m 对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．若数列{x n }满足x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )，若x 1＝1，x 2＝a (a ∈R ，a ≠0)，当数列{x n }的周期最小时，该数列的前2 016项的和是( ) A ．672 B ．673 C ．1 342 D ．1 344答案 D解析 因为x 1＝1，x 2＝a (a ∈R ，a ≠0)，x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )，所以x 3＝|a －1|.又因为数列{x n }的周期为3，所以x 1＝1，x 4＝|x 3－x 2|＝||a －1|－a |＝x 1＝1，解得a ＝1或a ＝0.因为a ≠0，所以a ＝1，所以x 2＝1，x 3＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝2.同理可得x 4＝1，x 5＝1，x 6＝0，x 4＋x 5＋x 6＝2，…，x 2 014＋x 2 015＋x 2 016＝2，所以S 2 016＝x 1＋x 2＋…＋x 2 016＝(1＋1＋0)×672＝1 344，故选D.命题点3 数列的最值例6 数列{a n }的通项a n ＝n n 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)(2016·台州模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为 ．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4D ．0答案 (1)25(2)D解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.13．解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·(1011)n ，则此数列的最大项是第 项．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是 ． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析． 解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ×9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }中的项 B ．3只是数列{a n }中的第2项 C ．3只是数列{a n }中的第6项 D ．3是数列{a n }中的第2项和第6项解析 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，整理得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6.3．(2016·宁波中学月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( )A ．16B ．20C ．33D ．120 答案 C解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3,且n ∈N *)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 6．(2016·宁海中学一模)已知函数y ＝f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f (－2－a n ) (n ∈N *)，则a 2 015的值为( )A ．4 029B ．3 029C ．2 249D ．2 209 答案 A解析 根据题意，不妨设f (x )＝(12)x ，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1， ∴a 2 015＝4 029.7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝ . 答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝ . 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·(67)n ，则数列{a n }的项取最大值时，n = ．答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧(n ＋2)·(67)n ≥(n ＋1)·(67)n －1，(n ＋2)·(67)n≥(n ＋3)·(67)n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4， 即4≤n ≤5，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.*10.在一个数列中，如果任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝ . 答案 28解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解 (1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4 ＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2. 12．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)由S n ＝12a 2n＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n .*13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)． 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.。

10.2双曲线及其性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点双曲线的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形、标准方程.2016浙江文,13,4分双曲线的定义和标准方程解三角形★★☆双曲线的几何性质1.理解双曲线的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2019浙江,2,4分双曲线的渐近线、离心率★★★2018浙江,2,4分双曲线的焦点坐标2016浙江,7,5分双曲线的离心率椭圆、双曲线的标准方程2015浙江,9,6分双曲线的渐近线双曲线的标准方程分析解读 1.考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质,一般以选择题、填空题的形式出现,难度不大.2.重点考查双曲线的渐近线、离心率以及解双曲线上一点与两焦点构成的三角形.3.预计2021年高考试题中,对双曲线的考查仍会以选择题、填空题的形式出现,难度适中.破考点练考向【考点集训】考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018天津,7,5分)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1＋d2=6,则双曲线的方程为()A.x 23－y29=1 B.x29－y23=1C.x 24－y212=1 D.x212－y24=1【参考答案】A2.(2020届浙江师大附中11月模拟,2)已知F1和F2是双曲线y2－x23=1的两个焦点,则|F1F2|=()A.√2B.2C.2√2D.4【参考答案】D3.(2018浙江宁波期末,15)已知双曲线C的渐近线方程是y=±2√2x,右焦点F(3,0),则双曲线C的方程为,若点N的坐标为(0,6),M是双曲线C左支上的一点,则△FMN周长的最小值为.【参考答案】x2－y28=1;6√5＋2考点二 双曲线的几何性质1.(2019浙江金丽衢十二校联考,4)双曲线9y 2－4x 2=1的渐近线方程为( ) A.y=±49x B.y=±94x C.y=±23x D.y=±32x 【参考答案】C2.(2018浙江高考模拟卷,5)已知F 1,F 2是双曲线x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点P 在双曲线上,则双曲线的离心率是( ) A.√3＋1 B.√3－1 C.2 D.√3＋12【参考答案】A3.(2020届浙江宁波十校联考,3)已知三个实数2,a,8成等比数列,则双曲线y 29－x 2a2=1(a ＞0)的渐近线方程为( )A.3x±4y=0B.4x±3y=0C.√3x±2y=0D.9x±16y=0 【参考答案】A4.(2020届浙江温州一模,4)若双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为√3,则该双曲线的渐近线方程为( )A.y=±√2xB.y=±2xC.y=±√22x D.y=±12x【参考答案】A5.(2020届山东夏季高考模拟,10)已知双曲线C 过点(3,√2)且渐近线为y=±√33x,则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23－y 2=1 B.C 的离心率为√3C.曲线y=e x －2－1经过C 的一个焦点D.直线x －√2y －1=0与C 有两个公共点 【参考答案】AC炼技法 提能力 【方法集训】方法 求双曲线离心率的值(范围)的常用方法1.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷,8)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a ＞0,b ＞0)的左,右焦点,P 是双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,若△PF 1F 2的内切圆半径为a 2,则该双曲线的离心率为( ) A.√6－1 B.√3＋12C.√6＋12D.√6＋1【参考答案】C2.(2019浙江嘉兴基础测试,9)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离小于它的实轴长,则该双曲线离心率e的取值范围是()A.1＜e＜√2B.1＜e＜√5C.e＞√2D.e＞√5【参考答案】B3.(2020届浙江台州一中模拟,7)过双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点F,且垂直于x轴的直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点.若∠AOB=∠OAB,设双曲线C的离心率为e,则e2=()A.√3＋√396B.7＋√136C.8＋√136D.14＋√136【参考答案】B【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一双曲线的定义和标准方程(2016浙江文,13,4分)设双曲线x2－y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|＋|PF2|的取值范围是.【参考答案】(2√7,8)考点二双曲线的几何性质1.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.√22B.1C.√2D.2【参考答案】C2.(2018浙江,2,4分)双曲线x 23－y2=1的焦点坐标是() A.(－√2,0),(√2,0) B.(－2,0),(2,0)C.(0,－√2),(0,√2)D.(0,－2),(0,2)【参考答案】B3.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:x 2m2＋y2=1(m＞1)与双曲线C2:x2n2－y2=1(n＞0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1【参考答案】A4.(2015浙江,9,6分)双曲线x 22－y2=1的焦距是,渐近线方程是.【参考答案】2√3;y=±√22xB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(2019课标全国Ⅲ文,10,5分)已知F是双曲线C:x 24－y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92【参考答案】B2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x 24－y212=1 B.x212－y24=1C.x 23－y2=1 D.x2－y23=1【参考答案】D3.(2017天津理,5,5分)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的左焦点为F,离心率为√2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x 24－y24=1 B.x28－y28=1 C.x24－y28=1 D.x28－y24=1【参考答案】B4.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程x 2m2＋n －y23m2－n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(－1,3)B.(－1,√3)C.(0,3)D.(0,√3)【参考答案】A5.(2015天津,6,5分)已知双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4√7x的准线上,则双曲线的方程为()A.x 221－y228=1 B.x228－y221=1 C.x23－y24=1 D.x24－y23=1【参考答案】D6.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 27－y 23=1的焦距是 .【参考答案】2√10考点二 双曲线的几何性质1.(2019天津文,6,5分)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.若l 与双曲线x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5 【参考答案】D2.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x 2a2－y 2=1(a ＞0)的离心率是√5,则a=( ) A.√6 B.4 C.2 D.12【参考答案】D3.(2019课标全国Ⅰ文,10,5分)双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50° D.1cos50°【参考答案】D4.(2019课标全国Ⅱ理,11,5分)设F 为双曲线C:x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2=a 2交于P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5 【参考答案】A5.(2019课标全国Ⅲ理,10,5分)双曲线C:x 24－y 22=1的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√2【参考答案】A6.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b 2=1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .【参考答案】y=±√2x7.(2019课标全国Ⅰ理,16,5分)已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 . 【参考答案】2C 组 教师专用题组考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y=√52x,且与椭圆x 212＋y 23=1有公共焦点,则C的方程为 ( )A.x 28－y210=1 B.x24－y25=1C.x 25－y24=1 D.x24－y23=1【参考答案】B2.(2016天津,6,5分)已知双曲线x 24－y2b2=1(b＞0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x 24－3y24=1 B.x24－4y23=1C.x 24－y24=1 D.x24－y212=1【参考答案】D3.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:x 2a2－y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x 24－y23=1 B.x29－y216=1 C.x216－y29=1 D.x23－y24=1【参考答案】C4.(2015福建,3,5分)若双曲线E:x 29－y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【参考答案】B考点二双曲线的几何性质1.(2018课标全国Ⅲ文,10,5分)已知双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为√2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.√2B.2C.3√22D.2√2【参考答案】D2.(2018课标全国Ⅲ理,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=√6|OP|,则C的离心率为() A.√5 B.2 C.√3 D.√2【参考答案】C3.(2018课标全国Ⅰ理,11,5分)已知双曲线C:x 23－y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.2√3D.4【参考答案】B4.(2018课标全国Ⅱ理,5,5分)双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率为√3,则其渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x【参考答案】A5.(2017课标全国Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2－y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32【参考答案】D6.(2017课标全国Ⅱ理,9,5分)若双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√33【参考答案】A7.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x 2a2－y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为()A.√2B.32C.√3D.2【参考答案】A8.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2－y24=1B.x24－y2=1C.y24－x2=1D.y2－x24=1【参考答案】C9.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.√5B.2C.√3D.√2【参考答案】D10.(2015重庆,10,5分)设双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋√a2＋b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)C.(－√2,0)∪(0,√2)D.(－∞,－√2)∪(√2,＋∞)【参考答案】A11.(2015四川,5,5分)过双曲线x2－y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.4√33B.2√3C.6D.4√3【参考答案】D12.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1＞e2B.当a＞b时,e1＞e2;当a＜b时,e1＜e2C.对任意的a,b,e1＜e2D.当a＞b时,e1＜e2;当a＜b时,e1＞e2【参考答案】D13.(2018北京文,12,5分)若双曲线x 2a2－y24=1(a＞0)的离心率为√52,则a=.14.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c,则其离心率的值是. 【参考答案】215.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【参考答案】2√3316.(2017北京文,10,5分)若双曲线x2－y2m=1的离心率为√3,则实数m=. 【参考答案】217.(2017课标全国Ⅲ文,14,5分)双曲线x 2a2－y29=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=.【参考答案】518.(2016北京,13,5分)双曲线x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=. 【参考答案】219.(2015北京,10,5分)已知双曲线x 2a2－y2=1(a＞0)的一条渐近线为√3x＋y=0,则a=.【参考答案】√3320.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:x 2a2－y2b2=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为. 【参考答案】√521.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x 2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p＞0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.【参考答案】32【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共40分)1.(2020届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,2)双曲线x 23－y2=1与x2－y23=1有相同的()A.离心率B.渐近线C.实轴长D.焦点【参考答案】D2.(2020届浙江Z20联盟开学联考,2)已知双曲线C:x 29－y23=1,则C的离心率为()A.√32B.√3 C.2√33D.23.(2020届浙江浙南名校联盟联考,2)双曲线x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为2,且其右焦点为F 2(2√3,0),则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 23－y 29=1 B.x 29－y 23=1 C.x 24－y 212=1 D.x 212－y 24=1 【参考答案】A4.(2020届浙江之江教育联盟联考,2)若双曲线x 2a2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为√2,则其渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=±xC.y=±√2xD.y=±√22x 【参考答案】B5.(2020届浙江省重点高中统练,4)已知双曲线x 23－y 2b=1的一焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为( )A.y=±13x B.y=±3x C.y=±√33x D.y=±√3x 【参考答案】C6.(2019浙江金华十校期末,4)已知双曲线x 29－y 2m=1的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5=0上,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±34x B.y=±43x C.y=±2√23x D.y=±3√24x 【参考答案】B7.(2019浙江台州期末,8)设F 1,F 2分别为双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的左,右焦点,点P 为双曲线C 的一条渐近线l 上的点,记直线PF 1,l,PF 2的斜率分别为k 1,k,k 2.若PF 1关于x 轴对称的直线与PF 2垂直,且k 1,2k,k 2成等比数列,则双曲线C 的离心率为( ) A.√62B.√52C.√5D.2【参考答案】B8.(2020届浙江“超级全能生”联考,7)已知双曲线x 2－y 2b 2=1(b ＞0)右焦点为F,左顶点为A,右支上存在点B 满足BF ⊥AF,记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±2x B.y=±12x C.y=±43x D.y=±34x 【参考答案】D9.(2019浙江宁波北仑中学模拟,7)过双曲线x 216－y 29=1左焦点F 1的弦AB 长为6,则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是 ( )A.12B.14C.22D.2810.(2019浙江新高考调研模拟卷(一),9)F(－c,0)为双曲线E:x 2a2－y 2b2=1的左焦点,F'为右焦点,过点F 的直线与圆x 2＋y 2=34c 2交于A,B两点(A 在F,B 之间),与双曲线E 在第一象限内的交点为P,O 为坐标原点,若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =－3100c 2,则双曲线E 的离心率为( )A.√5B.52C.√52D.5【参考答案】D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共14分)11.(2020届浙江金丽衢十二校联考,15)已知F 1,F 2是椭圆C 1:x 23＋y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,P 是C 1,C 2的一个公共点,若OP=OF 1,则C 2的渐近线方程为 . 【参考答案】y=±x12.(2020届浙江绿色评价联盟联考,16)倾斜角为30°的直线经过双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的左焦点F 2,且与双曲线的左、右支分别交于A,B 两点,若线段AB 的垂直平分线经过右焦点F 1,则此双曲线的离心率为 . 【参考答案】√213.(2019浙江高考信息优化卷(二),15)过点P(1,1)作直线l 与双曲线x 2－y 22=λ交于A,B 两点,若点P 恰为线段AB 的中点,则实数λ的取值范围是 ;直线l 的方程是 . 【参考答案】λ＜12且λ≠0;2x －y －1=0。

6.3等比数列探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的有关概念及运算1.理解等比数列的有关概念.2.掌握等比数列的通项公式.3.掌握等比数列的前n项和公式.4.了解等比数列与指数函数之间的关系.2015浙江文,10,6分等比数列的通项公式★★★等比数列的性质及应用能利用等比数列的性质解决有关问题.2018浙江,10,4分等比数列的性质不等式的性质★★★分析解读 1.考查等比数列的定义与判定,通项公式,前n项和公式,等比数列的性质等知识.2.预计2021年高考试题中,对等比数列的考查仍以概念、性质、通项公式、前n项和公式等知识为主,以中档题形式出现,复习时要足够重视.破考点练考向【考点集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.(2019浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,4)已知等比数列{a n}满足a1+a3=-2a2,则公比q=()A.-1B.1C.-2D.2答案A2.(2018浙江嘉兴期末,11)各项均为实数的等比数列{a n},若a1=1,a5=9,则a3=,公比q=.答案3;±√3考点二等比数列的性质及应用1.(2019浙江高考信息优化卷(一),4)已知等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,则“q>1”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2018浙江杭州二中期中,6)已知等比数列{a n}的前n项积为T n,log2a3+log2a7=2,则T9的值为()A.±512B.512C.±1024D.1024答案B3.(2020届浙江镇海中学期中,15)已知{a n}是等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a4的最大值为.答案52炼技法提能力【方法集训】方法1 等比数列中“基本量法”的解题方法1.(2019浙江高考“超级全能生”联考,11)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里,后三天一共走 里. 答案 192;422.(2019浙江杭州二模,20)设等差数列{a n }的前n 项和为A n ,等比数列{b n }的前n 项和为B n .若B n+3=8B n +7,a 1=b 2,a 4=b 4. (1)求b n 和A n ;(2)求数列{b n -A n }的最小值.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q, 因为B n+3=q 3B n +b 1+b 2+b 3=8B n +7,所以{q 3=8,b 1+b 2+b 3=7,解得{b 1=1,q =2,所以b n =2n-1.又因为a 1=b 2=2,a 4=b 4=8,所以d=2,所以a n =2+2(n-1)=2n,所以A n =n 2+n. (2)设c n =b n -A n =2n-1-n 2-n.因为c n+1-c n =2n-1-2(n+1),所以当n ≤4时,c n+1<c n ;当n ≥5时,c n+1>c n ,从而数列{c n }的最小值为c 5,c 5=-14.3.(2020届浙江杭州二中期中,20)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,且a 2+2a 3+a 4=116. (1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =-(n+2)log 2|a n |,求数列{1b n}的前n 项和T n .解析 本题考查等比数列的概念、通项公式以及数列的前n 项和;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养. (1)设等比数列的首项为a 1,公比为q, 由题意得{a 1q 2+2a 1q 3=0,a 1q +2a 1q 2+a 1q 3=116,解得{a 1=−12,q =−12,故a n =(-12)n .(2)由(1)得b n =n(n+2),故1b n =12(1n -1n+2),所以T n =1b 1+1b 2+1b 3+…+1b n=12(11-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n+2) =12(1+12-1n+1-1n+2)=34-2n+32(n+1)(n+2).方法2 等比数列的判定方法1.(2020届浙江师大附中11月模拟,20)设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -2n+1(n ∈N *). (1)求{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n,有1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n <32.解析 本题考查等比数列的概念、判定、通项公式以及数列的前n 项和;考查学生运算求解和逻辑推理的能力;考查了数学运算的核心素养. (1)S n =2a n -2n+1①,S n-1=2a n-1-2(n-1)+1②,①-②得a n =2a n-1+2,则a n +2=2(a n-1+2),当n=1时,a 1=1,所以数列{a n +2}是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以a n +2=3·2n-1⇒a n =3·2n-1-2. (2)证明:由(1)得1a n =13·2n -1-2, 因为当n ≥2时,3·2n-1-2-2n =2n-1(3-2)-2=2n-1-2≥0,即3·2n-1-2≥2n , 所以1a n =13·2n -1-2≤12n (n ≥2), 所以1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n ≤1a 1+122+123+…+12n =1+122[1−(12)n -1]1−12=1+12-(12)n <32, 所以对一切正整数n,有1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n <32.2.(2018浙江名校协作体,22)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +(-1)n . (1)证明:{a n +(-1)n3}是等比数列; (2)当k 是奇数时,证明:1a k +1a k+1<92k+1;(3)证明:1a 1+1a 2+…+1a n<3.证明 (1)∵a n+1=2a n +(-1)n ,∴a n+1+(-1)n+13=2[a n+(-1)n 3],又a 1+-13=23,∴数列{a n +(-1)n 3}是首项为23,公比为2的等比数列.(5分) (2)由(1)可知a n +(-1)n3=2n 3,即a n =2n -(-1)n3,当k 为奇数时,1a k +1a k+1=32k +1+32k+1-1=3(2k+1-1)+3(2k +1)2k 2k+1+2k -1<9·2k 2k 2k+1=92k+1.(10分) (3)当n 为偶数时,1a n -1+1a n <92n =32n -1+32n .(11分) 1a 1+1a 2+…+1a n =(1a 1+1a 2)+(1a 3+1a 4)+…+(1a n -1+1a n) <3(12+122+⋯+12n )=3(1−12n )<3.(13分) 当n 为奇数时,1a n +1a n+1<92n+1=32n +32n+1.1a 1+1a 2+…+1a n <(1a 1+1a 2)+(1a 3+1a 4)+…+(1a n+1a n+1)<3(12+122+⋯+12n+1)=3(1−12n+1)<3.综上, 1a 1+1a 2+…+1a n<3.(15分)3.(2018河南信阳模拟,17)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n +λ}是不是等比数列,并求a n ; (2)当λ=1时,求数列{n(a n +λ)}的前n 项和T n . 解析 (1)因为a n+1=2a n +λ,所以a n+1+λ=2(a n +λ). 又a 1=1,所以当λ=-1时,a 1+λ=0,数列{a n +λ}不是等比数列, 此时a n +λ=a n -1=0,即a n =1; 当λ≠-1时,a 1+λ≠0,所以a n +λ≠0,所以数列{a n +λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列, 此时a n +λ=(1+λ)2n-1,即a n =(1+λ)2n-1-λ. (2)由(1)知a n =2n -1,所以n(a n +1)=n×2n , T n =2+2×22+3×23+…+n×2n ①, 2T n =22+2×23+3×24+…+n×2n+1②, ①-②得-T n =2+22+23+…+2n -n×2n+1=2(1−2n )1−2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2. 所以T n =(n-1)2n+1+2.【五年高考】A 组 自主命题·浙江卷题组考点一 等比数列的有关概念及运算(2015浙江文,10,6分)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1= ,d= . 答案23;-1 考点二 等比数列的性质及应用(2018浙江,10,4分)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4 答案 BB 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 等比数列的有关概念及运算1.(2017课标全国Ⅱ理,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案 B2.(2019课标全国Ⅰ文,14,5分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= . 答案583.(2019课标全国Ⅰ理,14,5分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5= .答案12134.(2017课标全国Ⅲ理,14,5分)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4 = . 答案 -85.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 答案 646.(2019课标全国Ⅱ文,18,12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和.解析 本题主要考查等比数列的有关概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体现了数学运算的核心素养. (1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0. 解得q=-2(舍去)或q=4.因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 7.(2018课标全国Ⅲ文,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m.解析 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式. (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1−(−2)n3. 由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6. 综上,m=6.解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略: (1)求通项.求出等比数列的两个基本量a 1和q 后,通项便可求出. (2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解. (3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前n 项和.直接将基本量代入等比数列的前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解. 8.(2015四川,16,12分)设数列{a n }(n=1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{1a n}的前n 项和为T n ,求T n . 解析 (1)由已知S n =2a n -a 1,有a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2),即a n =2a n-1(n ≥2). 从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1), 所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n . (2)由(1)得1a n =12n . 所以T n =12+122+…+12n =12[1−(12)n]1−12=1-12n . 考点二 等比数列的性质及应用1.(2019课标全国Ⅲ文,6,5分)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=( ) A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C2.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84答案 B3.(2017江苏,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= . 答案 324.(2015安徽,14,5分)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于 . 答案 2n -15.(2015湖南,14,5分)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = . 答案 3n-1C 组 教师专用题组1.(2018北京理,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23f B.√223f C.√2512f D.√2712f 答案 D2.(2018课标全国Ⅰ文,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =a n n. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是不是等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解析 (1)由条件可得a n+1=2(n+1)na n . 将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a n+1n+1=2a nn,即b n+1=2b n , 又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a n n=2n-1,所以a n =n ·2n-1. 方法规律 等比数列的判定方法:证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n 项和公式法只用于选择题、填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.3.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.解析 (1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11−λ,a 1≠0.(2分) 由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n ,即a n+1(λ-1)=λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n+1a n =λλ-1. 因此{a n }是首项为11−λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11−λ·(λλ-1)n -1.(6分) (2)由(1)得S n =1-(λλ-1)n .由S 5=3132得1-(λλ-1)5=3132, 即(λλ-1)5=132. 解得λ=-1.(12分)思路分析 (1)先由题设利用a n+1=S n+1-S n 得到a n+1与a n 的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a n+1与a n 之比是不是一常数,其中说明a n ≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.4.(2016四川,19,12分)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *. (1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式; (2)设双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.解析 (1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1, 两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1, 故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得 2a 3=3a 2+2,即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 因为q>0,所以q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)证明:由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n 2=1的离心率e n =√1+a n2=√1+q 2(n -1). 由e 2=√1+q 2=53,解得q=43.因为1+q 2(k-1)>q 2(k-1),所以√1+q 2(k -1)>q k-1(k ∈N *). 于是e 1+e 2+…+e n >1+q+…+q n-1=q n -1q -1, 故e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.疑难突破 由(1)可得e n =√1+q 2(n -1),因为所证的不等式左边是e 1+e 2+…+e n ,直接求和不行,利用放缩法得e n =√1+q 2(n -1)>√q 2(n -1)=q n-1,从而得e 1+e 2+…+e n >q 0+q 1+…+q n-1,化简即可.评析本题涉及的知识点比较多,由递推思想推出数列{a n }是等比数列,由等差中项求出q,由放缩法证明不等式成立.综合性较强.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019浙江金华十校联考,6)已知等差数列{a n },等比数列{b n },满足a 1=b 1=1,a 5=b 3,则a 9能取到的最小整数是( ) A.-1 B.0 C.2 D.3 答案 B2.(2020届浙江杭州二中开学考,5)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且已知3a 12,a 34,a 2成等差数列,则a 20+a19a 18+a 17=( )A.9B.6C.3D.1 答案 A3.(2020届浙江名校协作体开学联考,7)已知等比数列{a n }中,a 5=1,若1a 2+1a 4+1a 6+1a 8=5,则a 2+a 4+a 6+a 8=( )A.4B.5C.16D.25 答案 B二、填空题(每空3分,共12分)4.(2020届浙江之江教育联盟联考,12)已知等比数列{a n }中,a 1=√2,a 2=√33,则a 2+a 2 013a 8+a 2 019=,a 1a 2a 3a 4= .答案89;925.(2020届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,13)已知正项等比数列{a n }满足a 1=1,a 2a 6a 7=116a 1a 9,则a n = ,数列{log 2a n }的前n 项和为 . 答案 2-n+1;-n(n -1)2三、解答题(共105分)6.(2020届浙江金丽衢十二校联考,19)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=4a n -3n+1,n ∈N *. (1)证明:数列{a n -n}是等比数列;(2)记b n =(a n -n)n,求数列{b n }的前n 项和S n .解析 本题考查等比数列的概念以及数列求和;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养. (1)证明:a n+1-n-1=4a n -4n=4(a n -n), 则a n+1-(n+1)a n -n=4, a 1-1=2-1=1≠0,所以数列{a n -n}是以1为首项,4为公比的等比数列. (2)由(1)知b n =(a n -n)n=n ·4n-1.解法一:S n =1×40+2×4+3×42+…+n ·4n-1,① 4S n =1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n ·4n ,② ①-②得-3S n =1+4+42+43+…+4n-1-n ·4n =1−4n 1−4-n ·4n =-(3n -1)·4n +13,故S n =(3n -1)·4n +19. 解法二:令f(x)=x+x 2+…+x n , 则f '(x)=1+2x+3x 2+…+nx n-1, 又(x+x 2+…+x n )'=(x -x n+11−x )'=1−(n+1)x n +nx n+1(1-x)2, 所以1+2x+3x 2+…+nx n-1=1−(n+1)x n +nx n+1(1-x)2,由题意求b n =n ·4n-1的和,只需令x=4即可, 即1+2×4+3×42+…+n ·4n-1=1−(n+1)4n +n ·4n+1(1-4)2=(3n -1)4n +19. 7.(2020届浙江“超级全能生”联考,20)已知等比数列{a n }的公比q>1,且√a 4为a 2,a 3的等比中项,a 3+1为a 2,a 4的等差中项. (1)求q 的值;(2)设b n =a n+1+(-1)n (n ∈N *),数列{1b n}的前n 项和为S n ,求证:S n <53.解析 (1)由题意得{a 2a 3=a 4,2(a 3+1)=a 2+a 4,(4分)则{a 2=q,q 3-2q 2+q =2, 解得q=2.(7分) (2)证明:由(1)知a n =2n-1, 则b n =2n +(-1)n ,故1b n =12n+(−1)n.(9分) 当n=1时,S 1=1b 1=1<53; 当n ≥2时,1b n =13·2n -2+2n -2+(−1)n <13·2n -2.(13分) 故S n <1+13(1−12n -1)1−12<1+23=53. 综上所述,S n <53.(15分)8.(2019浙江高考信息优化卷(一),19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,点(a n ,S n )在直线y=32x-1上. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)在a n 和a n+1之间插入n 个数,使这(n+2)个数组成公差为d n 的等差数列,求数列{1d n }的前n 项和T n . 解析 (1)易知S n =32a n -1,故当n ≥2时,S n-1=32a n-1-1, 所以a n =S n -S n-1=3a n-1.又S 1=32a 1-1,所以a 1=2. 所以数列{a n }是首项为2,公比为3的等比数列. 所以a n =2·3n-1.(2)由题意得a n+1=a n +(n+1)·d n ,故1d n =n+14·3n -1.所以T n =14(230+331+⋯+n+13n -1),13T n =14(231+332+⋯+n+13n), 两式相减得23T n =14(230+131+132+⋯+13n -1-n+13n )=14[230+13(1−13n -1)1−13-n+13n ]=12+1−13n -18-n+14·3n =58-2n+58·3n .所以T n =1516-2n+516·3n -1.9.(2020届浙江浙南名校联盟联考,20)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 1+a 3+a 5=42,a 3+9是a 1,a 5的等差中项.数列{b n }的通项公式b n =n√a -1+√a -1,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:b 1+b 2+…+b n <√2n+1-1,n ∈N *.解析 本题考查等比数列、等差数列的概念及其运算;考查学生数学运算的能力;考查了数学运算的核心素养. (1)由a 3+9是a 1,a 5的等差中项得a 1+a 5=2a 3+18, 所以a 1+a 3+a 5=3a 3+18=42,解得a 3=8,由a 1+a 5=34,得8q2+8q 2=34, 解得q 2=4或q 2=14, 因为q>1,所以q=2. 所以a n =2n .(2)证法一:由(1)可得b n =n√2n -1+√2-1,n ∈N *.∵b n =n√2n -1+√2-1=n √2n -1-√n+1(√2n -1+√2-1)(√2n -1-√2-1)=2n (√2n -1-√2n+1-1)2n -1-2n+1+1=2n (√2n -1-√2n+1-1)-2n=√2n+1-1-√2n -1,∴b 1+b 2+…+b n =(√22-1-√21-1)+(√23-1-√22-1)+…+√2n+1-1-√2n -1 =√2n+1-1-1<√2n+1-1. 证法二:由(1)可得b n =n√2n -1+√2-1,n ∈N *.下面用数学归纳法证明. ①当n=1时,b 1=2√1+√3=√3-1<√3,不等式成立; ②假设当n=k(k ≥2,k ∈N *)时不等式成立,即 b 1+b 2+…+b k <√2k+1-1. 则当n=k+1时,b 1+b 2+…+b k +b k+1<√2k+1-1+2k+1√2-1+√2-1=√2k+1-1+2k+1(√2k+1-1-√2k+2-1)(√2-1+√2-1)(√2-1-√2-1)=√2k+1-1+2k+1(√2k+1-1-√2k+2-1)-2k+1=√2k+2-1,即当n=k+1时不等式也成立.综合①和②可知,b 1+b 2+…+b n <√2n+1-1,n ∈N *.10.(2020届浙江五校十月联考,20)设数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 2=b 2=3,a 3=b 5=9. (1)若c n =n ·b na n,数列{c n }中的最大项是第k 项,求k 的值;(2)设d n =a n ·b n ,求数列{d n }的前n 项和T n .解析 本题考查等差数列、等比数列的概念和数列的前n 项和;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养. (1)设公差为d,公比为q,则{a 1q =b 1+d =3,a 1q 2=b 1+4d =9,解得{a 1=1,b 1=1,d =2,q =3, 所以a n =3n-1,b n =2n-1.所以c n =n ·b n a n =2n 2-n 3n -1,则c n+1=2n 2+3n+13n , 两式相减得c n+1-c n =2n 2+3n+13n -2n 2-n 3n -1=-4n 2+6n+13n , 当n=1时,-4×1+6×1+13=1>0,所以c 2>c 1; 当n ≥2时,-4n 2+6n+13n <0,所以c n+1<c n . 所以(c n )max =c 2=2,即k=2.(2)d n =a n ·b n =(2n-1)·3n-1,则T n =1×30+3×31+…+(2n-1)×3n-1,3T n =1×31+3×32+…+(2n-1)×3n ,两式相减得-2T n =1+2(31+32+…+3n-1)-(2n-1)×3n=1+2×3(1−3n -1)1−3-(2n-1)×3n =(-2n+2)×3n -2, 则T n =(n-1)×3n +1.11.(2019浙江高考“超级全能生”联考,20)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=3,3S n =a n+1-3n-3(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =a na n+1,T n =b 1+b 2+…+b n ,求证:T n >n 4-115. 解析 (1)当n=1时,3S 1=a 2-3-3,所以a 2=15.当n ≥2时,由{3S n =a n+1-3n -3,3S n -1=a n -3(n -1)-3得a n+1=4a n +3. 又a 2=4a 1+3,所以当n=1时,也满足a n+1=4a n +3,且a 1=3.故a n+1+1a n +1=4,所以数列{a n +1}是首项为4,公比为4的等比数列,即a n +1=4n ,所以a n =4n -1. (2)证明:易知b n =a n a n+1=4n -14n+1-1=14-316·4n -4 =14-315·4n +4n -4≥14-15·4n, 则T n =b 1+b 2+…+b n ≥n 4-15(14+142+⋯+14n ) =n 4-115(1−14n )>n 4-115. ∴T n >n 4-115.12.(2019浙江金华十校期末,19)数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,a n+1=S n +1(n ∈N *).(1)求通项公式a n ;(2)记T n =1S 1+1S 2+…+1S n ,求证:32-12n ≤T n <2.解析 (1)∵a n+1=S n +1,∴当n ≥2时,a n =S n-1+1.(4分)∴a n+1-a n =S n -S n-1,即a n+1-a n =a n ,∴a n+1=2a n .∴数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列,∴a n =2n-1.(7分)(2)证明:∵a n+1=S n +1,∴S n =2n -1.(8分)当n ≥2时,12n ≤1S n ≤12n -1.(11分) ∴T n ≥1+122+…+12n =1+14(1−12n -1)1−12=32-12n ,(13分) T n ≤1+12+122+…+12n -1=1+12(1−12n -1)1−12=2-12n -1<2.(14分) 经验证,当n=1时,不等式也成立.故32-12n ≤T n <2.(15分)。

6.2等差数列探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等差数列的有关概念及运算1.理解等差数列的有关概念.2.掌握等差数列的通项公式.3.掌握等差数列的前n项和公式.4.了解等差数列与一次函数之间的关系.2016浙江,6,5分等差数列的有关概念三角形面积★★★2015浙江,3,5分等差数列的通项公式、前n项和等比数列等差数列的性质及应用能利用等差数列的性质解决有关问题.2017浙江,6,4分等差数列的前n项和充分条件与必要条件的判定★★★分析解读 1.等差数列知识属于常考内容.2.考查等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式等知识.3.灵活运用通项公式、前n项和公式处理最值问题、存在性问题是高考的热点.4.以数列为背景,考查学生归纳、类比的能力.5.预计2021年高考试题中,等差数列的有关概念、性质、通项公式、前n项和公式的考查必不可少.复习时要足够重视.破考点练考向【考点集训】考点一等差数列的有关概念及运算1.(2020届浙江镇海中学期中,3)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,且S2=4,S4=18,则S6等于()A.50B.42C.38D.36答案B2.(2019浙江台州期末,3)已知公差不为零的等差数列{a n}满足a32=a1a4,S n为数列{a n}的前n项和,则S3S1的值为()A.94B.-94C.32D.-32答案A3.(2019浙江宁波期末,15)设等差数列{a n}的前14项和a1+a2+…+a14=77,已知a1,a11均为正整数,则公差d=. 答案-1考点二等差数列的性质及应用1.(2019浙江宁波北仑中学模拟(一),2)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a3+a5+a7=15,则S9=()A.60B.45C.36D.18 答案 B2.(2018浙江温州质量检查,5)已知数列{a n }满足5a n+1=25·5a n ,且a 2+a 4+a 6=9,则lo g 13(a 5+a 7+a 9)=( )A.-3B.3C.-13D.13答案 A3.(2020届浙江慈溪期中,11)设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),若a 1=3,a 5=-11,则a 3= ,S 5= . 答案 -4;-20炼技法 提能力 【方法集训】方法1 等差数列中“基本量法”解题的方法1.(2019浙江学军中学期中,2)在等差数列{a n }中,如果a 1=2,a 2=5,那么a 11等于 ( ) A.34 B.32 C.30 D.28 答案 B2.(2020届浙江师大附中11月模拟,15)设{a n }是公差不为0的等差数列,a 42+a 52=a 62+a 72,则{a n }的前10项和为 .答案 03.(2020届浙江绍兴一中期中,11)现有一根7节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则公差为 ,这7节竹子中最小容积为 . 答案16;12升 4.(2019浙江高考数学仿真卷(一),11)《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有5个人分60个橘子,他们分得橘子的个数成公差为3的等差数列,问5人各得多少橘子?”这个问题中,得到橘子最多的人所得的橘子个数是 ,得到橘子最少的人所得的橘子个数是 . 答案 18;6方法2 等差数列的判定方法1.(2018浙江金丽衢十二校联考,22)有一列数a 0,a 1,a 2,a 3,…,对任意的m,n ∈N,m ≥n,满足2a m +2a n -2n=a m+n +a m-n ,且已知a 1=2. (1)求a 0,a 2,a 3 ;(2)证明:对一切n ∈N *,数列{a n+1-a n }为等差数列; (3)若对一切n ∈N *,λ>1a 1+1a 2+…+1a n恒成立,求λ的最小值. 解析 (1)令m=n=0,得a 0=0, 令m=n=1,得a 2=6, 令m=2,n=1,得a 3=12.(2)证明:令n=1,得2a m +4-2=a m+1+a m-1,即(a m+1-a m )-(a m -a m-1)=2.所以数列{a n+1-a n }是公差为2的等差数列. (3)因为a n+1-a n =(a 1-a 0)+n×2=2(n+1),所以a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 1-a 0)+a 0=2n+2(n-1)+…+2+0=n(n+1). 所以1a 1+1a 2+…+1a n =11×2+12×3+…+1n(n+1)=1-1n+1,要使λ>1-1n+1恒成立,λ的最小值为1. 2.(2019浙江金丽衢联考,20)已知数列{a n },a 1=2,a 2=6,且满足a n+1+a n -1a n +1=2(n ≥2且n ∈N *).(1)求证:{a n+1-a n }为等差数列; (2)令b n =10(n+1)a n -12,设数列{b n }的前n 项和为S n ,求{S 2n -S n }的最大值.解析 (1)证明:由a n+1+a n -1a n +1=2得a n+1+a n-1=2a n +2,则(a n+1-a n )-(a n -a n-1)=2.又a 2-a 1=4, 所以{a n+1-a n }是首项为4,公差为2的等差数列. ( 5分) (2)当n ≥2时,由(1)知a n =(a n -a n-1)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n+…+4+2=2·n(n+1)2=n(n+1). 当n=1时,a 1=2满足a n =n(n+1),故a n =n(n+1).(8分) ∴b n =10(n+1)n(n+1)-12=10n -12. ∴S n =10(1+12+ (1))-n 2, ∴S 2n =10(1+12+ (1)+1n+1+1n+2+…+12n )-2n2. 设M n =S 2n -S n =10(1n+1+1n+2+…+12n )-n 2,(11分) ∴M n+1=10(1n+2+1n+3+…+12n +12n+1+12n+2)-n+12, ∴M n+1-M n =10(12n+1+12n+2-1n+1)-12=10(12n+1-12n+2)-12=10(2n+1)(2n+2)-12. 当n=1时,M n+1-M n =103×4-12>0,即M 1<M 2;当n ≥2时,M n+1-M n <0,即M 2>M 3>M 4>…, ∴M n 的最大值为M 2,M 2=10×(13+14)-1=296, 即{S 2n -S n }的最大值为S 4-S 2=296.(15分)方法3 等差数列的前n 项和最值的求法1.(2019浙江高考信息优化卷(五),13)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =8n-n 2,则a 10= ,数列{S n }中第 项最大. 答案 -11;42.(2019浙江金华十校期末,13)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1>0,a 2+a 2 017=0,则S 2 018= ;当S n 取得最大值时,n= . 答案 0;1 009【五年高考】A 组 自主命题·浙江卷题组考点一 等差数列的有关概念及运算1.(2016浙江,6,5分)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n ∈N *, |B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n ∈N *. (P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( )A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列答案A2.(2015浙江,3,5分)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0答案B考点二等差数列的性质及应用(2017浙江,6,4分)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案CB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一等差数列的有关概念及运算1.(2019课标全国Ⅰ理,9,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10n2-2nC.S n=2n2-8nD.S n=12答案A2.(2018课标全国Ⅰ理,4,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案B3.(2017课标全国Ⅰ理,4,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8答案C4.(2017课标全国Ⅲ理,9,5分)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案A5.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案C6.(2019课标全国Ⅲ文,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.答案1007.(2019北京理,10,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为. 答案0;-10=.8.(2019课标全国Ⅲ理,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则S10S5答案 49.(2019江苏,8,5分)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 答案 1610.(2018北京理,9,5分)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 . 答案 a n =6n-311.(2017课标全国Ⅱ理,15,5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k= .答案2nn+112.(2019课标全国Ⅰ文,18,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a 5. (1)若a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解析 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力,主要考查数学运算的核心素养.(1)设{a n }的公差为d. 由S 9=-a 5得a 1+4d=0. 由a 3=4得a 1+2d=4. 于是a 1=8,d=-2.因此{a n }的通项公式为a n =10-2n. (2)由(1)得a 1=-4d,故a n =(n-5)d,S n =n(n -9)d2. 由a 1>0知d<0,故S n ≥a n 等价于n 2-11n+10≤0,解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n|1≤n ≤10,n ∈N}.思路分析 (1)根据题意列出两个关于a 1和d 的方程,然后解得a 1与d,从而得{a n }的通项公式.(2)根据(1)中a 1与d 的关系,利用等差数列的前n 项和公式及通项公式,得出关于n 的不等式,从而得出n 的取值范围.考点二 等差数列的性质及应用1.(2015北京,6,5分)设{a n }是等差数列.下列结论中正确的是( ) A.若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B.若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0C.若0<a 1<a 2,则a 2>√a 1a 3D.若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 答案 C2.(2015重庆,2,5分)在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B3.(2015广东,10,5分)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= . 答案 104.(2019北京文,16,13分)设{a n }是等差数列,a 1=-10,且a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列. (1)求{a n }的通项公式;(2)记{a n }的前n 项和为S n ,求S n 的最小值.解析 本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础知识、基本运算,考查的学科素养为数学抽象与数学运算.(1)设{a n }的公差为d. 因为a 1=-10,所以a 2=-10+d,a 3=-10+2d,a 4=-10+3d.因为a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列, 所以(a 3+8)2=(a 2+10)(a 4+6). 所以(-2+2d)2=d(-4+3d). 解得d=2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n-12. (2)由(1)知,a n =2n-12.所以,当n ≥7时,a n >0;当n ≤6时,a n ≤0. 所以,S n 的最小值为S 6=-30.C 组 教师专用题组1.(2016江苏,8,5分)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是 .答案 202.(2016北京,12,5分)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 答案 63.(2015安徽,13,5分)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n-1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于 . 答案 274.(2018北京文,15,13分)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n . 解析 (1)设{a n }的公差为d. 因为a 2+a 3=5ln 2, 所以2a 1+3d=5ln 2. 又a 1=ln 2,所以d=ln 2. 所以a n =a 1+(n-1)d=nln 2. (2)因为e a 1=e ln 2=2,e a ne a n -1=e a n -a n -1=e ln 2=2, 所以{e a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 所以e a 1+e a 2+…+e a n =2×1-2n1-2=2(2n -1). 5.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n . (2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q =-23+(-1)n ·2n+13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n ·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n ·2n+13]=2S n , 故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.方法总结 等差、等比数列的常用公式: (1)等差数列:递推关系式:a n+1-a n =d,常用于等差数列的证明. 通项公式:a n =a 1+(n-1)d. 前n 项和公式:S n =(a 1+a n )n 2=na 1+n(n -1)2d. (2)等比数列: 递推关系式:a n+1a n=q(q ≠0),常用于等比数列的证明. 通项公式:a n =a 1·q n-1.前n 项和公式:S n ={na 1(q =1),a 1(1-q n )1-q(q ≠1).(3)在证明a,b,c 成等差或等比数列时,还可以利用等差中项:a+c2=b 或等比中项:a ·c=b 2来证明. 6.(2016山东,18,12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1.(1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意知,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=6n+5. 当n=1时,a 1=S 1=11,所以a n =6n+5. 设数列{b n }的公差为d. 由{a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3, 即{11=2b 1+d,17=2b 1+3d, 可解得b 1=4,d=3. 所以b n =3n+1. (2)由(1)知c n =(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)·2n+1.又由T n =c 1+c 2+…+c n ,得T n =3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1], 2T n =3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-T n =3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3×[4+4(1-2n )1-2-(n +1)×2n+2] =-3n ·2n+2. 所以T n =3n ·2n+2.方法总结 若某数列的通项是等差数列与等比数列的通项的积或商,则该数列的前n 项和可以采用错位相减法求解,注意相减后的项数容易出错.7.(2015福建,17,12分)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值. 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 由已知得{a 1+d =4,(a 1+3d)+(a 1+6d)=15,解得{a 1=3,d =1.所以a n =a 1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得b n =2n +n. 所以b 1+b 2+b 3+…+b 10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =2×(1-210)1-2+(1+10)×102=(211-2)+55=211+53=2 101.评析本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(命题标准样题,4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若S 5=2S 4,a 1=2,则a 6=( ) A.-15 B.-13 C.13 D.15 答案 B2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,5)已知等差数列{a n },S n 表示前n 项的和,a 5+a 11>0,a 6+a 9<0,则满足S n <0的正整数n 的最大值是( )A.12B.13C.14D.15 答案 C二、填空题(每空4分,共12分)3.(2019浙江学军中学期中,16)若f(x)=(x-3)3+x-1,数列{a n }是公差不为零的等差数列,f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7= . 答案 214.(2018浙江金华十校高考模拟,15)已知等差数列{a n }满足:a 4>0,a 5<0,数列的前n 项和为S n ,则S 5S 4的取值范围是 . 答案 (56,1)5.(2020届浙江名校协作体开学联考,15)已知数列{a n }为等差数列,公差为d(d ≠0),且满足a 3a 4+2a 4a 6+a 5a 12=2 019d,则1a 5-1a 6= . 答案42 019三、解答题(共60分)6.(2020届浙江之江教育联盟联考,20)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且4S n =a n 2+2a n. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ; (2)求证:n 2+n 2<√S 1+√S 2+√S 3+…+√S n <n 2+2n2. 解析 本题考查等差数列的有关概念、数列的前n 项和以及不等式的证明;考查学生推理论证的能力;考查数学运算和逻辑推理的核心素养.(1)当n=1时,由4a 1=a 12+2a 1得a 1=2,当n ≥2时,由4a n =4S n -4S n-1=(a n 2-a n -12)+2(a n -a n-1),得a n -a n-1=2.所以数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列, 故a n =2n,所以S n =n(n+1).(2)证法一:由(1)知√S n =√n(n +1),又n<√n(n +1)<n+12, 所以1+2+3+…+n<√S 1+√S 2+√S 3+…+√S n <1+2+3+…+n+12n, 故n 2+n 2<√S 1+√S 2+√S 3+…+√S n <n 2+2n2. 证法二:令f(n)=√S 1+√S 2+…+√S n . ①当n=1时,f(1)=√2>12+12=1, f(1)<12+2×12=32,不等式成立.②假设当n=k(k ≥2,k ∈N *)时不等式成立,即k 2+k 2<f(k)<k 2+2k2成立, 那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+√(k +1)(k +2)<k 2+2k2+√(k +1)(k +2)<k 2+2k 2+(k+1)+(k+2)2=(k+1)2+2(k+1)2,另一方面,f(k+1)=f(k)+√(k +1)(k +2)>k 2+k2+√(k +1)(k +2)>k 2+k 2+k+1=(k+1)2+(k+1)2,即当n=k+1时,不等式也成立.由①②可得对任意的正整数n,不等式都成立.7.(2019浙江宁波期末,20)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.某同学模仿先贤用石子摆出了如图3所示的图形,图3中的2,5,7,9,…,这些数能够表示成梯形,将其称为梯形数. (1)请写出梯形数的通项公式a n (不要求证明),并求数列{a n }的前n 项和S n ; (2)若b n =1S n,数列{b n }的前n 项和记为T n ,求证:T n <1.解析 (1)根据观察可归纳得a n ={2(n =1),2n +1(n ≥2).n ≥2时,S n =2+5+7+…+2n+1 =2+(n -1)(5+2n+1)2=n 2+2n-1.又S 1=a 1=2符合上式, ∴S n =n 2+2n-1. (2)证明:由(1)知b n =1n 2+2n -1.∴b n =1n 2+2n -1≤1n 2+n =1n -1n+1, 则T n ≤(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n -1n+1)=1-1n+1<1,即T n <1.8.(2020届浙江省重点高中统练,19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =na n -2n 2+2n(n ∈N *). (1)求证:数列{a n }为等差数列,并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式;(2)是否存在自然数n,使得S 1+S 22+S 33+…+S n n+2n =1 124?若存在,求出n 的值;若不存在,请说明理由; (3)设c n =2n(a n +7)(n ∈N *),T n =c 1+c 2+c 3+…+c n (n ∈N *),若不等式T n >m 32(m ∈Z)对n ∈N *恒成立,求m 的最大值.解析 本题考查等差数列的概念;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养. (1)当n ≥2时,a n =S n -S n-1=na n -2n 2+2n-[(n-1)a n-1-2(n-1)2+2(n-1)], 化简得(n-1)(a n -a n-1-4)=0,即a n -a n-1=4,所以数列{a n }是等差数列,其首项为1,公差为4, 所以a n =4n-3,S n =n(1+4n -3)2=2n 2-n. (2)由(1)知S n n=2n-1,所以S 1+S22+…+S n n=1+3+…+2n-1=n 2,令f(n)=n 2+2n ,可知f(n)单调递增, f(10)=102+210=1 124, 故存在唯一的自然数n=10符合要求. (3)由(1)知c n =2n(4n+4)=12(1n -1n+1),所以T n =12[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=12·(1-1n+1),注意到T n =12(1-1n+1)单调递增,所以T n ≥T 1=14,所以m 32<14,解得m<8(m ∈Z).所以m 的最大值为7.9.(2020届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,20)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且对一切n ∈N *,a 13+a 23+…+a n 3=S n 2.求证: (1)对一切n ∈N *,a n+12-a n+1=2S n ;(2)数列{a n }是等差数列;(3)对一切n ∈N *,1a 12+√2a 22+√3a 32+…+√na n2<3.证明 本题考查等差数列的概念及证明,数列的前n 项和,不等式的证明;考查学生运算求解和推理论证的能力;考查数学运算和逻辑推理的核心素养.(1)由a 13+a 23+…+a n 3=S n 2,得a 13+a 23+…+a n 3+a n+13=S n+12, 两式相减得a n+13=S n+12-S n 2=a n+1(S n+1+S n ), 因为a n >0,所以a n+12=S n+1+S n =2S n +a n+1, 所以对一切n ∈N *,都有a n+12-a n+1=2S n . (2)由(1)可得a n 2-a n =2S n-1(n ≥2), 两式相减得a n+12-a n 2-a n+1+a n =2a n (n ≥2), 即a n+12-a n 2=a n+1+a n(n ≥2), 因为a n >0,所以a n+1-a n =1(n ≥2),n=1时,a 1=1;n=2时,1+a 23=(1+a 2)2,解得a 2=2,满足a n+1-a n =1,北京曲一线图书策划有限公司 2021版《5年高考3年模拟》A 版11 / 11故对一切n ∈N *,都有a n+1-a n =1,即{a n }是首项为1,公差为1的等差数列.(3)证法一:由(2)知,a n =n,当n ≥2时,√n a n 2=(√n)3<√n ·√n -1·√n+1=(√n ·√n -1√n ·√n+1)·√n+1-√n -1 =(1n ·√n -11n ·√n+1)·√n+1+√n -12=(1√n -11√n+1)·√n+1+√n -12n <1√n -1-1√n+1, 所以当n ≥2时,1a 12+√2a 22+√3a 32+…+√n a n 2<1+1-√3+√2-√4+…+√n -1-√n+1 =2+√22-1n -1n+1<3, 又当n=1时,1a 12+√2a 22+√3a 32+…+√n a n2<3显然成立, 所以对一切n ∈N *,1a 12+√2a 22+√3a 32+…+√na n 2<3. 证法二:因为当n ≥2时,2n=n+n>√n(n -1)+√(n -1)(n -1),所以12n <√n -1(√n+√n -1)=√n -√n -1√n -1⇒2n √n <√n -√n -1√n(n -1)=√n -1-√n, 从而当n ≥2时,1+1√2+1√3+…+1√n 3<1+21-1√2+1√2-1√3+…+1√n -1-1√n =3-2√n <3. 又当n=1时,不等式也成立,所以对一切n ∈N *,1a 12+√2a 22+√3a 32+…+√na n 2<3.。