2018年秋九年级数学上册第22章第1课时相似三角形的概念与相似三角形判定的预备定理同步练习2(新版)沪科版

22.2 相似三角形的判定第1课时 相似三角形及相似三角形判定的预备定理知|识|目|标1．通过观察、交流、探究，理解相似三角形的定义、相似三角形的表示方法、相似比的概念．2．经历两个三角形相似的探索过程，理解相似三角形判定的预备定理，并能运用该定理解决问题．目标一 能用相似三角形的定义求三角形的边和角例1 ［教材补充例题］如图22－2－1，若△ABC ∽△DEF ，求∠F 的度数与DF 的长．(1)根据相似三角形的性质，可知对应角相等，则∠D ＝∠A ＝________°，∠E ＝∠B ＝________°，故∠F ＝180°－∠D －∠E ＝________°.(2)根据相似三角形的性质，可知对应边成比例，则____________，代入已知数值，得____________，解得DF ＝________．图22－2－1【归纳总结】理解相似三角形定义的“两说明”：(1)相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法；(2)求相似比时，不要忽视相似比的顺序性．即如果△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为1k. 目标二 能用相似三角形的预备定理证明三角形相似例2 ［教材补充例题］如图22－2－2，点E 是▱ABCD 的边CD 延长线上的点，连接BE 交AD 于点F ，则图中有几对相似三角形？分别写出来．图22－2－2例3 ［教材补充例题］如图22－2－3，已知△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，点M 在BC 边上，AM 交DE 于点F .求证：DF FE ＝BM MC.图22－2－3【归纳总结】(1) 由平行线得到相似有两种常见的基本图形：“A ”字型和“X ”字型，如图22－2－4所示．只要从复杂图形中找出这些基本图形，就可以找出图中的相似三角形．(2)在三角形中只要具备平行条件就可以直接得到对应线段成比例．如图22－2－4①，如果DE ∥BC ，那么AD DB ＝AE EC ，AD AB ＝AE AC ＝DE BC ，DB AB ＝EC AC ，AD AE ＝DB EC ＝AB AC.图22－2－4知识点一 相似三角形的定义、表示方法及相似比如果两个三角形的三个角对应________，三条边对应__________，那么这两个三角形相似．[点拨] (1)相似三角形具有传递性，即若△ABC ∽△A ′B ′C ′，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″，则△ABC ∽△A ″B ″C ″；(2)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．知识点二 相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形______．这个定理包含下列三个基本几何图形：图22－2－5。

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第三节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行进一步的探究。

教材通过一系列的探究活动，让学生了解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

本节内容是整个相似三角形知识体系的重要组成部分，对于学生理解和掌握相似三角形的知识有着至关重要的作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于相似三角形的定义和性质已经有了一定的了解。

但是，学生对于相似三角形的性质的理解还比较肤浅，需要通过实际的操作和探究活动来加深理解。

同时，学生的探究能力和解决问题的能力还需要进一步的培养。

三. 教学目标1.了解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。

2.培养学生的探究能力和解决问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.相似三角形的性质的掌握和运用。

2.探究活动的设计和实施。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际问题来探究相似三角形的性质。

2.采用合作学习的教学方法，让学生在小组合作中共同解决问题，培养学生的合作能力。

3.采用探究式的教学方法，让学生通过实际操作和思考来得出相似三角形的性质，培养学生的探究能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料和道具，如三角板、直尺等。

2.设计好相关的探究活动。

3.准备好多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题来导入新课，例如：在同一平面内，有两个三角形，它们的对应边的比相等，对应角也相等，问这两个三角形是什么关系？2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板来呈现相似三角形的性质，让学生观察和思考，引导学生通过实际操作来验证这些性质。

3.操练（10分钟）教师让学生进行实际的操作，用三角板和直尺来构造相似三角形，并验证相似三角形的性质。

22.2 第3课时 相似三角形判定定理2知|识|目|标1．通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理2，并能应用其解决三角形的相似问题．2．通过对相似三角形判定定理1，2的比较与分析，能根据已知条件选择合适的方法判定三角形相似．目标一 利用相似三角形判定定理2判定三角形相似例1 ［教材补充例题］如图22－2－12，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AD AB＝AE AC ＝12，即△ADE 和△ABC 有两组对应边成比例．又因为∠DAE 和∠BAC 不仅是公共角，而且是这两组对应边的夹角，根据相似三角形判定定理2可知________∽________，故DE 与BC 的比值为________；若DE ＝6，则BC ＝________．图22－2－12例2 如图22－2－13，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点． 求证：△ADQ ∽△QCP .图22－2－13【归纳总结】运用定理2判定三角形相似的方法：首先找出这两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若两组对应边成比例，则这两个三角形相似，否则不相似．目标二 综合应用相似三角形判定定理1，2判定 三角形相似例3 ［教材补充例题］如图22－2－14，△ABC 的边AC ，AB 上的高BD ，CE 相交于点O ，连接DE .(1)图中相似的非直角三角形有几对？请将它们写出来； (2)选择其中一对证明，写出证明过程．图22－2－14【归纳总结】判定三角形相似的方法：当两个三角形中存在一对角相等时，要充分挖掘隐含条件寻找另一对角相等．当证明另一对角相等有困难时，应考虑证明夹这对等角的两边对应成比例．知识点 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应________，并且__________，那么这两个三角形相似(可简单说成：________________________的两个三角形相似)．数学表达式：在△ABC 与△A′B′C′中，∵AB A′B′＝ACA′C′＝k ，且∠A ＝∠A′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.[点拨] 运用该定理证明三角形相似时，一定要注意边角的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于全等三角形判定方法中的SAS.如图22－2－15，在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，点E 在AB 边上且AE ＝3，点F 是线段AC 上的动点，连接EF.若△AEF 与△ABC 相似，则AF ＝________．图22－2－15小林同学的解答如下： 若△AEF∽△ABC，则AE AB ＝AFAC ，即39＝AF6，解得AF ＝2.故答案为2. 你认为以上解题过程正确吗？若不正确，请给出正确过程．教师详解详析【目标突破】例1 △ADE △ABC 1212例2 [解析] 在△ADQ 和△QCP 中，已知∠ADQ＝∠QCP 相等，但两个锐角的度数无法确定，故相似三角形的判定定理1无法使用．根据正方形的定义和已知条件可得这两个直角三角形的直角边对应成比例，故可用相似三角形判定定理2推出结论．证明：∵四边形ABCD 是正方形，BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，∴QC ＝DQ ＝12AD ，CP ＝14AD ，∴AD QC ＝DQCP＝2. 又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP.例3 [解析] (1)先证明直角三角形相似，然后利用直角三角形相似得到对应边成比例，再得出非直角三角形相似；(2)可选择证明△EOD∽△BOC，证明思路：先证明Rt △BEO ∽Rt △CDO ，得到OE OD ＝OBOC ，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明．解：(1)2对，△EOD ∽△BOC ，△ADE ∽△ABC.(2)(答案不唯一)选择证明△EOD∽△BOC 如下：∵∠BEO＝∠CDO＝90°， ∠BOE ＝∠COD，∴Rt △BEO ∽Rt △CDO ，∴OE OD ＝OB OC ，即OE OB ＝OD OC. 又∵∠DOE＝∠COB， ∴△EOD ∽△BOC.【总结反思】类比全等三角形与相似三角形的判定方法：[小结] 知识点 成比例 夹角相等 两边成比例且夹角相等[反思] 不正确．根据题意，要使△AEF 与△ABC 相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当△AEF∽△ABC 时，AF ＝2；当△AEF∽△ACB 时，AE AC ＝AFAB ，即36＝AF9，解得AF ＝4.5.故答案为2或4.5.。

九年级数学相似三⾓形的判定（教师版）知识点+详细答案相似三⾓形的判定【学习⽬标】1、了解相似三⾓形的概念，掌握相似三⾓形的表⽰⽅法及判定⽅法；2、进⼀步探索相似三⾓形的判定及其应⽤，提⾼运⽤“类⽐”思想的⾃觉性，提⾼推理能⼒.【要点梳理】要点⼀、相似三⾓形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似⽐，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三⾓形相似时，要注意对应点的位置要⼀致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似⽐，要注意顺序和对应的问题，如果两个三⾓形相似，那么第⼀个三⾓形的⼀边和第⼆个三⾓形的对应边的⽐叫做第⼀个三⾓形和第⼆个三⾓形的相似⽐.当相似⽐为1时，两个三⾓形全等.要点⼆、相似三⾓形的判定定理1．判定⽅法（⼀）：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边相交，所构成的三⾓形和原三⾓形相似.2．判定⽅法（⼆）：如果两个三⾓形的三组对应边的⽐相等，那么这两个三⾓形相似. 3．判定⽅法（三）：如果两个三⾓形的两组对应边的⽐相等，并且相应的夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似.要点诠释：此⽅法要求⽤三⾓形的两边及其夹⾓来判定两个三⾓形相似，应⽤时必须注意这个⾓必需是两边的夹⾓，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定⽅法（四）：如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似.要点诠释：要判定两个三⾓形是否相似，只需找到这两个三⾓形的两个对应⾓相等即可，对于直⾓三⾓形⽽⾔，若有⼀个锐⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似.要点三、相似三⾓形的常见图形及其变换：【典型例题】类型⼀、相似三⾓形1. 下列能够相似的⼀组三⾓形为( ).A.所有的直⾓三⾓形B.所有的等腰三⾓形C.所有的等腰直⾓三⾓形D.所有的⼀边和这边上的⾼相等的三⾓形【答案】C【解析】A中只有⼀组直⾓相等，其他的⾓是否对应相等不可知；B中什么条件都不满⾜；D中只有⼀条对应边的⽐相等；C中所有三⾓形都是由90°、45°、45°⾓组成的三⾓形，且对应边的⽐也相等.答案选C.举⼀反三：下列图形中，必是相似形的是（）．A．都有⼀个⾓是40°的两个等腰三⾓形B．都有⼀个⾓为50°的两个等腰梯形C．都有⼀个⾓是30°的两个菱形 D．邻边之⽐为2：3的两个平⾏四边形【答案】C类型⼆、相似三⾓形的判定2. 如图所⽰，已知中，E为AB延长线上的⼀点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三⾓形，并求出相应的相似⽐.【答案】∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似⽐；当△BEF∽△AED时，相似⽐；当△CDF∽△AED时，相似⽐.3. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M．（1）求证：△EDM ∽△FBM；（2）若DB=9，求MB的长．【答案】（1）证明：为AB中点，，．⼜，四边形BCDE是平⾏四边形，，△EDM ∽△FBM．（2）解：由（1）知，．⼜，．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上⼀点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【答案】连接，，，是的中垂线，，，，．，．⼜，∽，，．举⼀反三：1、如图，AD 、CE 是△ABC 的⾼，AD 和CE 相交于点F ，求证：AF ·FD=CF ·FE ．【答案】∵ AD 、CE 是△ABC 的⾼, ∴∠AEF=∠CDF=90°, ⼜∵∠AFE=∠CFE, ∴△AEF ∽△CDF. ∴AF EFCF FD=, 即AF ·FD=CF ·FE ． 2、如图，F 是△ABC 的AC 边上⼀点，D 为CB 延长线⼀点，且AF=BD,连接DF, 交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, ⼜∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF AC GF BC=,即DE AC EF BC=.3、已知：如图正⽅形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．【答案】在正⽅形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2∵=3，∴=4 ,⼜∵BC=2DQ，∴=2 ,在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP．4、如图，弦和弦相交于内⼀点，求证：.【答案】连接，.在中，，，∴∽。

九年级数学相似三角形知识点九年级数学：相似三角形知识点1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例的三角形。

也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，且每组对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。

2. 相似三角形的标记在标记相似三角形时，通常使用希腊字母来表示对应的顶点。

例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，我们可以标记为：△ABC ∼△DEF。

3. 相似三角形的性质- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

- 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。

- 对应高的比值也相等：AH/DH = BH/EH = CH/FH（其中H是三角形的高所在的顶点）。

- 对应中线的比值也相等：AM/DM = BM/EM = CM/FM（其中M是三角形的中线所在的顶点）。

4. 相似三角形的判定- 三角形相似的判定定理一：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。

- 三角形相似的判定定理二：如果两个三角形的三组对应边的比值都相等，那么这两个三角形相似。

- 三角形相似的判定定理三：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，且它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。

5. 相似三角形的应用- 解决实际问题：在建筑设计、地图制作等领域，相似三角形的概念可以用来解决比例缩放问题。

- 计算面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。

即，如果AB/DE = x，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为x²。

- 证明几何定理：在证明某些几何定理时，可以通过证明三角形相似来简化证明过程。

6. 相似三角形的计算- 使用比例关系解决实际问题时，通常需要先确定比例系数，然后利用这个系数来计算其他边长或角度。

- 在计算面积比时，应先计算出三角形的边长比，然后根据边长比计算面积比。

7. 相似三角形的证明- 在证明三角形相似时，需要明确指出所使用的判定定理，并确保所有的条件都满足。

初三数学教材相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学教材中的重要概念之一。

它在几何学中具有广泛的应用，无论是在解题还是在实际生活中都有着重要的作用。

本文将重点探讨初三数学教材中相似三角形的判定与性质。

一、相似三角形的判定方法在数学教材中，相似三角形的判定主要有以下几种方法：1. AAA相似判定法：当两个三角形的三个角分别相等时，可以判定它们是相似三角形。

简而言之，如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2. AA相似判定法：当两个三角形的两个角对应相等，并且它们的对应边成比例时，可以判定它们是相似三角形。

这是相似三角形判定中常用的方法之一。

3. SSS相似判定法：当两个三角形的对应边之比相等时，可以判定它们是相似三角形。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些独特的性质，下面将逐一进行介绍：1. 对应角相等性质：对于两个相似三角形，它们的对应角是相等的。

这个性质对于解题时的证明操作非常重要。

2. 对应边成比例性质：对于两个相似三角形，它们的对应边成比例。

这一性质在解题中常用于求解未知边长或者比例。

3. 高度成比例性质：对于两个相似三角形，它们的高度和底边之比相等。

这一性质在解题中常常用于求解高度。

4. 面积成比例性质：对于两个相似三角形，它们的面积之比等于任意两条对应边之比的平方。

5. 周长成比例性质：对于两个相似三角形，它们的周长之比等于任意两条对应边之比。

6. 中线成比例性质：对于两个相似三角形，它们的中线与底边的比等于任意两条对应边之比。

三、相似三角形的应用相似三角形在几何学的应用非常广泛。

以下是一些常见的应用场景：1. 比例尺问题：在地图或者工程图中，为了保持比例，常常使用相似三角形来进行计算与测量。

2. 相似三角形的证明：在解题时，经常需要通过证明两个三角形相似来推导出结论。

3. 测量难度较大的物体：通过相似三角形的性质，可以通过测量一个物体的一部分来推测整体的尺寸。

4. 图形的放大与缩小：通过相似三角形的比例关系，可以实现图形的放大与缩小。

九年级数学相似三角形的判定知识讲解（含解析）1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力。

一、相似三角形的概念如图所示：在△ABC 和△A'B'C' 中，如果则△ABC 和△A'B'C' 相似，记作：△ABC ∽ △A'B'C' ，k 是相似比，“∽” 读作“相似于” 。

注：当相似比为1 时，两个三角形全等.（相似不一定全等，但全等一定相似！）。

二、相似三角形的判定方法（4种方法）1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应边所包含的夹角相等，那么这两个三角形相似.；4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

三、相似三角形的常见图形及其变换四、例题讲解例题1、下列说法错误的是（ C ）A、有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似；B、全等的两个三角形一定相似；C、对应角相等的两个多边形相似；D、两条邻边对应成比例的两个矩形相似。

例题2、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD上的点，AE = ED ， DF = 1/4DC,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点G 。

① 求证：△ABE∽△DEF；② 若正方形的边长为 4，求线段 BG 的长。

注：此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用。

例题3、如图，小正方形边长均为 1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪一个？解题思路：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似。

22.2 第1课时 相似三角形的概念与相似三角形判定的预备定理知识点 1 相似三角形的有关概念1．如图22－2－1，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( )A. AD AB ＝AE EC ＝DE BCB. AD AB ＝AE AC ＝DEBCC. AD AE ＝AC AB ＝DE BC D. AD AC ＝AE AB ＝DEBC2．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形的三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°图22－2－13．如图22－2－2，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2.若BC ＝1，则EF 的长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4图22－2－2知识点 2 由平行线截得相似三角形 4．［教材练习变式］如图22－2－3，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则图中相似三角形的对数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4图22－2－35．［2016·盐城］如图22－2－4，点F 在▱ABCD 的边AB 上，CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个图22－2－46.如图22－2－5，若AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图22－2－57．［2017·庐阳区二模］如图22－2－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，DE ＝3，则BC的长是( )A ．6B ．9C ．10D ．12图22－2－68．如图22－2－7，在▱ABCD 中，F 是BC 上一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：______________________．图22－2－79．如图22－2－8所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AC ，GF ，DE 相交于点M ，则图中与△ABC 相似的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图22－2－810．如图22－2－9所示，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，求DF ∶FC .图22－2－911．如图22－2－10，在▱ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于点O，与DC交于点E，则图中相似三角形共有(全等除外)( )A．3对B．4对C．5对D．6对图22－2－101．D2．D [． 3．B 4．C 5．C 6．C ． 7．B8．答案不唯一，如△ABP∽△AED 9．]C10．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，∴△DFE ∽△BAE ， ∴DF AB ＝DE EB. ∵O 为▱ABCD 的对角线的交点， ∴OD ＝OB.又∵E 为OD 的中点， ∴DE ＝14DB ，则DE∶EB＝1∶3， ∴DF∶AB＝1∶3. 又∵DC＝AB ， ∴DF ∶DC ＝1∶3， ∴DF ∶FC ＝1∶2. 11． C。

九年级相似三角形知识点总结在九年级的数学课堂上，我们学习了很多与几何形状有关的知识，其中一个重要的内容就是相似三角形。

相似三角形是指两个具有相同形状但可能不同大小的三角形。

在本文中，我们将对九年级相似三角形的知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这些知识。

1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

如果两个三角形满足这两个条件，我们可以说它们是相似的。

2. 相似三角形的判定在判断两个三角形是否相似时，我们可以使用以下几种方法：（1）AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且有一个对应边的比例相等，则它们是相似的。

（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的三条边的比例都相等，则它们是相似的。

通过掌握这些判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

3. 相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，这些性质对于解决与相似三角形相关的问题非常有帮助。

（1）相似三角形的对应边比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有a/b=c/d=e/f。

（2）相似三角形的角度比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角度之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应角度分别为A、B、C和A'、B'、C'，那么有A/A'=B/B'=C/C'。

（3）相似三角形的高线比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应高线之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有h(a)/h(d)=h(b)/h(e)=h(c)/h(f)，其中h(x)表示与边x相对应的高线的长度。

龙文教育学科教师辅导讲义类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C29、三角形三条中线的交点叫做重心；三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。

三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“8 ”型。

在利用定理证明时要注意A型图的比例ADABDEBCAEAC==，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成AD DBDEBCAEEC==的错误。

2、相似三角形的基本图形Ⅰ.平行线型：即A型和8型。

Ⅰ.相交线型A.具有一个公共角，在△ABC与△ADE中∠A是它们的公共角，且∠A DE=∠C具有一条公共边和一个公共角在△ABC与△BDC中CB是它们的公共边，且∠C BD=∠A，∠C是它们的公共角。

沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定定理》教案沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定定理》教案一、教材内容分析：《相似三角形的判定定理》选自课程标准实验教科书沪科版数学九年级上册第22章相似图形。

本节课是相似三角形判定定理（1），它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。

在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。

因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。

二、教学目标设置：1、通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。

2、经历“类比―猜想―探索―总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。

3、在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。

重点：灵活运用三角形相似判定定理证明及解决简单的有关问题。

难点：三角形相似判定定理的探索和证明。

三、学生学情分析学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在之前已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。

因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。

教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。

多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。

但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。

对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。

四、教学过程：活动一：创设情境，类比猜想同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素---边和角。

九年级数学相似知识点讲解数学是一门既有挑战性又有趣味性的学科。

对于九年级的学生来说，相似是一个重要的数学概念。

本文将详细讲解九年级数学中的相似知识点，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

一、相似三角形在九年级数学中，相似三角形是相似知识点中的重要内容。

相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

例如，如果两个三角形的三个角度分别为60°、60°和60°，那么它们是相似的。

相似三角形有许多重要的性质。

首先，对应边的比例相等。

换句话说，如果两个三角形相似，那么它们的对应边长的比例相等。

此外，相似三角形的面积比等于对应边长的比例的平方。

这些性质可以用来求解相似三角形的边长或面积。

通过运用相似三角形的性质，我们可以在实际生活中解决一些实际问题，比如测量高楼的高度或计算难以直接测量的距离。

二、相似比相似比也是九年级数学中的一个重要概念。

相似比是指相似图形中对应边的比值。

在相似三角形中，我们可以通过相似比来确定边长的比值。

相似比可以表示为a∶b或a/b，其中a和b分别表示两个相似三角形对应边的长度。

例如，如果一个三角形的边长为3cm，而相似三角形的边长为6cm，则它们的相似比为1∶2或1/2。

通过运用相似比，我们可以解决一些实际问题。

例如，假设我们需要在地图上测量两个城市之间的距离，但由于地图的比例尺不准确，我们无法直接测量距离。

这时，我们可以测量地图上两个城市之间的实际距离，并测量地图上两个城市之间的长度。

通过计算相似比，我们可以得出实际距离在地图上的对应长度，从而得到准确的距离。

三、相似图形的性质除了相似三角形和相似比，九年级数学中还有一些与相似图形相关的性质。

首先，相似图形的对应角度相等。

这意味着如果两个图形是相似的，那么它们的对应角度一定相等。

其次，相似图形的形状相同。

也就是说，如果两个图形是相似的，那么它们的形状一定一致，只是尺寸不同。

22.3 相似三角形的性质第1课时 相似三角形的性质知|识|目|标1．通过观察、猜想、论证和归纳的过程，探索相似三角形的性质定理1，2，会用定理1，2进行计算；2．通过回顾比例的性质，结合相似三角形的性质定理1，2，探索发现相似三角形的性质定理3，会用定理3进行计算．目标一 会根据相似三角形的定理1，2计算 例1 ［教材补充例题］已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm.根据相似三角形的性质，完成下列问题：(1)根据对应边比例等于相似比，由AB A ′B ′＝12可知△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为________；由相似三角形的对应中线之比等于相似比可知CD C ′D ′＝ABA ′B ′＝________，由CD ＝4 cm ，得C ′D ′＝________ cm.(2)根据相似三角形的周长之比等于相似比可知C △ABCC △A ′B ′C ′＝ABA ′B ′＝________，由C △ABC ＝20 cm ，得C △A ′B ′C ′＝________ cm.例2 ［教材例1变式］如图22－3－1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝BC ＝12，点P 在AB 上，且PQ ∥AD 交BC 于点Q ，PM ∥BC 交AC 于点M ，若PM ＝2PQ ，求PM 的长．图22－3－1【归纳总结】根据题意，利用相似三角形对应线段的性质建立比例式，得到已知线段与未知线段的数量关系；再设未知数，列出方程求解．目标二 会根据相似三角形的定理3计算例3 [教材例2变式] 如图22－3－2，在△ABC 中，DE ∥BC ，且S △ADE ∶S 四边形BCED ＝1∶2，BC ＝2 6，试求DE 的长．图22－3－2例4 [教材补充例题] 如图22－3－3，将△ABC 沿BC 方向平移得到△A′B′C′.△ABC 与△A′B′C′重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的13.已知BC ＝ 3 cm ，求△ABC平移的距离．图22－3－3【归纳总结】相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比，在解题中，知识点一 相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形性质定理1：相似三角形________________、________________和____________________都等于相似比．相似三角形的相似比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比这四个量中已知其中的一个量，就能知道其他三个量．[点拨] 利用相似三角形的性质时，要注意“对应”两字，要找准对应线段． 知识点二 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于________．相似三角形周长的比＝对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比＝相似比(对应边的比)．[点拨] (1)相似三角形周长的比等于相似比是利用等比性质得到的．(2)利用相似三角形的周长比与相似比的关系可以进行有关边长、周长或比值的计算． (3)周长的比的顺序要和对应边的比的顺序一致． 知识点三 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形性质定理3：相似三角形面积的比等于______________． 反过来，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．已知相似比求面积比要平方；已知面积比求相似比要开方．数学活动课上，田老师布置了一道思考题：如图22－3－4，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分(Ⅰ和Ⅱ)面积相等，则ADAB的值是多少？小明同学马上举手回答：Ⅰ和Ⅱ面积相等，它们的面积都是△ABC 的一半，所以AD AB 的值是12.小明同学的回答正确吗？请说明理由，并给出正确答案．图22－3－4教师详解详析【目标突破】例1 (1)1∶2 12 8 (2)1240例2 解：设PQ ＝x ，则PM ＝2x ，设AD 交PM 于点H.∵PM ∥BC ，∴△APM ∽△ABC ， ∴PM BC ＝AH AD ，即2x 12＝12－x 12，解得x ＝4. ∴PM ＝2x ＝8.例3 [解析] 先证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2，求出DE 的长．解：∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2.又∵S △ADES 四边形BCED ＝12，可设S △ADE ＝k ，则S 四边形BCED ＝2k ，∴S △ABC ＝3k ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝k 3k ＝13，∴DE 2＝13BC 2＝13×24＝8，∴DE ＝2 2.例4 解：如图，设AC 与A′B′相交于点D.根据平移的性质，知AB∥A ′B ′，∴△DB ′C ∽△ABC.∵重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的13，∴(B′C BC )2＝13.∵BC＝ 3 cm ，∴(B′C 3)2＝13，解得B′C＝1 cm .∴BB ′＝BC －B′C＝(3－1) cm .即△ABC 平移的距离为(3－1) cm . 【总结反思】[小结] 知识点一对应高的比对应中线的比对应角平分线的比知识点二相似比知识点三相似比的平方[反思] 小明同学的答案不正确．理由如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵△ADE的面积和四边形BDEC的面积相等，∴S△ADES△ABC＝12＝(ADAB)2，∴ADAB＝22.。

22.2 第2课时相似三角形判定定理1知|识|目|标通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理1，并能应用其解决相关问题．目标会用相似三角形判定定理1判定三角形相似例1 ［教材补充例题］如图22－2－7，在△ABC中，∠C＝90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E.根据题意，回答下列问题：图22－2－7(1)在△DEM和△BEN中，∵∠DME与∠BNE都是________角，∴__________________．∵∠DEM与∠BEN是________角，∴__________________，∴________∽________．(2)在△ABC和△EBN中，∵∠ACB与∠ENB都是________角，∴____________________．∵∠ABC与∠EBN是公共角，∴____________，∴________∽________．(3)由(1)(2)可知△ABC与△DEM之间的关系为________．【归纳总结】运用定理1判定三角形相似时“四注意”：(1)注意是不是有公共角；(2)注意是不是有对顶角；(3)注意是否有特殊角，例如直角；(4)注意运用“三角形的内角和为180°”计算三角形的内角度数．例2 ［教材补充例题］[2017·益阳模拟] 如图22－2－8，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC.图22－2－8例3 ［教材补充例题］如图22－2－9，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，交CA的延长线于点F.求证：DA2＝DE·DF.图22－2－9【归纳总结】证明等积式或比例式的一般方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．知识点相似三角形判定定理1如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(可简单说成：__________________的两个三角形相似)．[点拨] 通过判定两个角分别相等来证明两个三角形相似是判定两个三角形相似的常用办法．如图22－2－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是斜边AB上一点，且AP＝2.过点P作一直线，与Rt△ABC另一边的交点为D，并且截得的三角形与Rt△ABC相似，求PD的长．图22－2－10小林给出如下的解法：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝42＋32＝5.分两种情况考虑：如图22－2－11①，过点P作PD⊥AC于点D，则∠ADP＝∠C.又∵∠DAP＝∠CAB，∴△APD ∽△ABC ，∴PD BC ＝AP AB ，即PD 3＝25， ∴PD ＝65.图22－2－11如图②，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，则∠PDB ＝∠C . 又∵∠PBD ＝∠ABC ， ∴△PBD ∽△ABC ，∴PD AC ＝PB AB ，即PD 4＝5－25， ∴PD ＝125.故PD 的长为65或125.你认为以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误的原因，并说明理由，且给出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 (1)直 ∠DME＝BNE 对顶 ∠DEM＝∠BEN △DEM △BEN (2)直 ∠ACB＝∠ENB ∠ABC＝∠EBN △ABC △EBN (3)相似例2 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.∵∠BAC ＝40°， ∴∠ABD ＝40°. ∵∠ABC ＝80°， ∴∠DBC ＝40°， ∴∠DBC ＝∠BAC. 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC ∽△BDC.例3 证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°，DF 为BC 的垂直平分线，∴D 为BC 的中点， ∴AD ＝12BC ＝DB ，∴∠B ＝∠DAB.∵DF ⊥BC 于点D ，∴∠C ＋∠F＝90°. 又∵∠B＋∠C＝90°，∴∠B ＝∠F， ∴∠DAB ＝∠F.又∵∠ADE＝∠FDA， ∴△ADE ∽△FDA ， ∴DE DA ＝DA DF ， ∴DA 2＝DE·DF.[反思] 不正确，分类不全面，丢了一种情况．第1，2种情况，跟小林解法相同，第3种情况如下： 如图，过点P 作PD⊥AB 交AC 于点D ，则∠APD＝∠ACB.又∵∠DAP＝∠BAC， ∴△ADP ∽△ABC ， ∴PD BC ＝AP AC ，即PD 3＝24，∴PD ＝32.故PD 的长为65或125或32.。

22.2 第5课时直角三角形相似的判定方法知|识|目|标1．通过计算、观察、推理等过程，理解并掌握两个直角三角形相似的判定定理，并能恰当地选择判定三角形相似的方法解决问题．2．通过对相似三角形判定方法和相似三角形的性质的理解和掌握，灵活选用合适的判定方法解题．目标一会用斜边和一直角边对应成比例判定两个直角三角形相似例1 ［教材补充例题］根据下列条件判断Rt△ABC和Rt△A′B′C′是否相似，其中∠C ＝∠C′＝90°.(1)AC＝14 cm，BC＝6 cm，A′C′＝7 cm，B′C′＝3 cm；(2)AB＝ 6 cm，AC＝ 3 cm，A′B′＝30 cm，A′C′＝15 cm.例2 ［教材补充例题］如图22－2－17，已知AB⊥BD，ED⊥BD，B，D分别为垂足，C是线段BD的中点，ED＝1，AC＝2 5，BD＝4.试说明：△ABC∽△CDE.图22－2－17【归纳总结】直角三角形相似的判定定理中的“三注意”：(1)两个三角形必须都是直角三角形才能使用该定理；(2)注意分清楚直角边的对应关系，若没有明确说明，则需要分类讨论；(3)相似三角形的判定定理同样适用于直角三角形相似的判定．目标二能选用合适的方法判定三角形相似例3［教材补充例题］如图22－2－18，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：AC·CF＝BC·DF.图22－2－18【归纳总结】证明“等积式”的“口诀”：等积式化比例式，横找竖看定相似．不相似，莫生气，等比线来代替．说明：“横找”即看比例式中两边的比的前项确定的三角形与后项确定的三角形是否相似；“竖看”即看比例式中左边的比的前后两项确定的三角形与右边的比的前后两项确定的三角形是否相似．知识点一直角三角形相似的判定定理(1)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边________________，那么这两个直角三角形相似．(2)判定直角三角形相似的方法：①定理1，②定理2，③定理3，④斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．[点拨] 直角三角形相似的判定方法：知识点二三角形相似的判定方法的综合应用（续表）如图22－2－19，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，AC ＝6，AD ＝2.当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？小林同学的解答过程如下：解：在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，若AD AC ＝AC AB ，则Rt △ABC ∽Rt △ACD .∴26＝6AB，解得AB ＝3.故当AB ＝3时，Rt △ABC ∽Rt △ACD .小林给出的解法你认为正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．图22－2－19教师详解详析【目标突破】例1 [解析] (1)先求出两边成比例，再由夹角相等，即可得出△ABC∽△A′B′C′；(2)求出斜边和一条直角边对应成比例，即可得出Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.解：(1)∴△ABC∽△A′B′C′.理由如下：∵AC A′C′＝147＝2，BC B′C′＝63＝2，∴AC A′C′＝BC B′C′. 又∵∠C＝∠C′＝90°，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.(2)Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.理由如下：∵AB A′B′＝630＝55，AC A′C′＝315＝55，∴AB A′B′＝AC A′C′.又∠C＝∠C′＝90°，∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.例2 [解析] 要说明△ABC 与△CDE 相似，通过已知并结合图形，观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B＝∠D＝90°，那么再求出斜边和一条直角边对应成比例即可．解：∵AB⊥BD，ED ⊥BD ，∴∠B ＝∠D＝90°.又∵C 是线段BD 的中点，BD ＝4，∴BC ＝CD ＝2，∴CE ＝CD 2＋DE 2＝ 5. ∵AC ＝2 5，BC ＝2，∴AC ∶CE ＝BC∶DE＝2∶1，∴△ABC ∽△CDE.例3 证明：∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，∴CE ＝EB ＝DE ，∴∠B ＝∠BDE＝∠FDA.∵∠B ＋∠CAB＝90°，∠ACD ＋∠CAB＝90°，∴∠B ＝∠ACD，∴∠FDA ＝∠ACD.又∵∠F＝∠F，∴△FDA ∽△FCD ，∴DF CF ＝AD CD. ∵∠ADC ＝∠CDB＝90°，∠ACD ＝∠B，∴△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝AC BC ， ∴DF CF ＝AC BC ，即AC·CF＝BC·DF. 【总结反思】[小结] 知识点一对应成比例[反思] 不正确，考虑问题不全面，丢掉了一种情况．正确的解答过程如下：分两种情况考虑：(1)在Rt△ABC和Rt△ACD中，若ABAC＝ACAD，则Rt△ABC∽Rt△ACD，∴AB6＝62，解得AB＝3.故当AB＝3时，Rt△ABC∽Rt△ACD.(2)在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝()62－22＝ 2.若ABAC＝ACCD，则Rt△ABC∽Rt△CAD，∴AB6＝62，解得AB＝3 2.故当AB＝3或3 2时，Rt△ABC与Rt△ACD相似．。