2020年高考数学课时55证明单元滚动精准测试卷文

滚动检测一(1～2章)(规范卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合P ＝{}x ∈Z |0≤x ≤3，M ＝{}x ∈Z |x 2<9，则P ∩M 等于( )A ．{1，2} B.{}0，1，2 C.{}x |0≤x <3 D.{}x |0≤x ≤3答案 B解析 由题意可得，P ＝{}0，1，2，3，M ＝{}－2，－1，0，1，2，结合交集的定义可知：P ∩M ＝{}0，1，2.2．已知集合A ＝(]－2，5，B ＝[]m ＋1，2m －1，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－3，3 B.[]－3，3 C ．(－∞，3] D ．(－∞，3)答案 C解析 当集合B ＝∅时，m ＋1>2m －1， 解得m <2，此时满足B ⊆A ；当B ≠∅，即m ≥2时，应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，据此可得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m ≤3，则2≤m ≤3，综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3]．3．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，tan x ＝1，即充分性成立；当tan x ＝1时，x ＝2k π＋π4(k ∈Z )或x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )，即必要性不成立．综上可得，“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件．4．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案 B5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则y ＝f (x )在R 上的解析式为( ) A ．f (x )＝x (x ＋2) B ．f (x )＝|x |(x ＋2) C ．f (x )＝x (|x |－2) D ．f (x )＝|x |(|x |－2)答案 C解析 设x <0，则－x >0，f (－x )＝(－x )2－2×(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )， 则f (x )＝－x 2－2x ()x <0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0即f (x )＝x (|x |－2)．6．设a ＝0.7－0.5，b ＝log 0.50.7，c ＝log 0.75，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a答案 A解析 由指数函数的性质可得a ＝0.7－0.5>1，结合对数函数的性质有b ＝log 0.50.7∈(0，1)，c ＝log 0.75<0，综上可得，a >b >c .7．幂函数f (x )＝(m 2－6m ＋9)xm 2－3m ＋1在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．2或4 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－6m ＋9＝1，m 2－3m ＋1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝4，m <3－52或m >3＋52，∴m ＝4.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－1，则( )A ．f (6)<f ()－7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112B ．f (6)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f ()－7C ．f ()－7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f (6)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f ()－7<f (6) 答案 B解析 因为f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝4， 所以f (6)＝f (2)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－1， f (－7)＝f (1)＝1，故选B.9．函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )答案 B解析 f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于－∞，排除C ，D ，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于－∞，排除A.或者取特殊值，当x ＝32时，f (x )＝－2ln2<0，也可以排除A 项．10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1在其定义域上为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.()4，8 B.[)4，8 C.()1，＋∞ D.()1，8答案 B解析 因为分段函数为增函数，所以需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥6－a 2，解得4≤a <8，故选B.11．定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在区间[－1，0]上递增，则( ) A ．f (3)<f (2)<f (2) B ．f (2)<f (3)<f (2) C ．f (3)<f (2)<f (2) D ．f (2)<f (2)<f (3)答案 A解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )， 所以f (x )是以2为周期的函数． 又f (x )为偶函数，且在[－1，0]上递增， 所以f (x )在[0，1]上递减，又2为周期，所以f (x )在[1，2]上递增，在[2，3]上递减，故f (2)最大， 又f (x )关于x ＝2对称，且2比3离2近， 所以f ( 2 )>f (3)．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，0<x ≤3，||x －4，x >3，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[)1，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1答案 A解析 函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点， 即为f (x )－mx ＋2＝0有三个不同的实根， 可令y ＝f (x )，y ＝g (x )＝mx －2， 分别画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，A (0，－2)，B (3，1)，C (4，0)，则g (x )的图象介于直线AB 和AC 之间， 所以k AC <m <k AB ， 可得12<m <1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <1，4－x 2，x ≥1，则f (f (2))＝________.答案 0解析 因为f (2)＝0，所以f (f (2))＝f (0)＝0.14．若函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则函数y ＝f ()log 2x 的定义域为________．答案 [2，4]解析 由题意，得12≤log 2x ≤2，解得2≤x ≤4，即函数y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]． 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，0≤x <12，2x －1，12≤x <2，若存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 1)－f (x 2)的最小值为________． 答案 －916解析 作出函数图象如图：令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22＝x ＋12，得x ＝2－12，因为存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，f (x 1)＝f (x 2)， 所以由图象知2－12≤x 1<12， 又x 1f (x 1)－f (x 2)＝x 1f (x 1)－f (x 1) ＝x 21－12x 1－12，令y ＝x 21－12x 1－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－142－916，故当x 1＝14时，y min ＝－916.16．设a ，b ∈R ，已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，0≤x <2，log 16x ，x ≥2，若关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋b ＝0有且只有7个不同的实数根，则ba的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－15解析 函数f (x )的图象如图所示，由图可知，若关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋b ＝0有且只有7个不同的实数根，令f (x )＝t ，则关于t 的一元二次方程t 2＋at ＋b ＝0的两根，其中一根为1，另一根在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1内，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，54<－a <2⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1－a ，12<－1a <45，所以b a ＝－1－a a ＝－1a －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－15.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知a >0且a ≠1，设p ：函数y ＝log a ()x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋()2a －3x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a的取值范围．解 若p 为真，则0<a <1.若q 为真，则Δ>0，即(2a －3)2－4>0， 解得a <12或a >52.∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 与q 中有且只有一个为真命题(a >0且a ≠1)． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52，∴12≤a <1， 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52，∴a >52.综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 18．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2(x ＋1)， (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (m )<－2，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵当x >0时，f (x )＝log 2(x ＋1)， ∴当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝log 2(－x ＋1)，∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝log 2(－x ＋1)，即f (x )＝－log 2(－x ＋1)，又f (0)＝0， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－log 2(1－x )，x <0，(2)∵当x >0时，f (x )＝log 2(x ＋1)>0，f (0)＝0， ∴f (m )<－2等价于－log 2()1－m <－2， ∴log 2()1－m >2， ∴1－m >4，∴m <－3.即实数m 的取值范围是(－∞，－3)．19．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a >0，且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值；(2)若f (1)<0，试判断函数单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围．解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0， ∴k ＝2.(2)f (x )＝a x－a －x(a >0，且a ≠1)． ∵f (1)<0，∴a －1a<0.又a >0，且a ≠1，∴0<a <1.而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故判断f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减． 不等式化为f ()x 2＋tx <f ()x －4，∴x 2＋tx >x －4，∴x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立． ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t <5. 即t 的取值范围是(－3，5)．20．(12分)函数f (x )＝2x －a x的定义域为(]0，1(a 为实数)． (1)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )>5在定义域上恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)任取x 1，x 2∈(]0，1，且x 1<x 2， 则有f ()x 1－f ()x 2＝()x 1－x 2⎝⎛⎭⎪⎫2＋a x 1x 2>0，即a <－2x 1x 2恒成立，∴a ≤－2. 即a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)2x －a x>5()x ∈(]0，1， 即a <2x 2－5x ()x ∈(]0，1恒成立，∵2x 2－5x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－258，∴函数y ＝2x 2－5x 在(0，1]上单调递减， ∴当x ＝1时，函数取得最小值－3，即a <－3. 即a 的取值范围是(－∞，－3)．21．(12分)某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完．据统计，线上日销售量f (t )、线下日销售量g (t )(单位：件)与上市时间t (t ∈N *)天的关系满足：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，1≤t ≤10，－10t ＋200，10<t ≤20，g (t )＝－t 2＋20t (1≤t ≤20)，产品A 每件的销售利润为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧40，1≤t ≤15，20，15<t ≤20 (单位：元)(日销售量＝线上日销售量＋线下日销售量)．(1)设该公司产品A 的日销售利润为F (t )，写出F (t )的函数解析式； (2)产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？ 解 (1)由题意可得：当1≤t ≤10时， 销售量为10t ＋(－t 2＋20t )＝－t 2＋30t ， 销售利润为40(－t 2＋30t )； 当10<t ≤15时，销售量为－10t ＋200＋(－t 2＋20t )＝－t 2＋10t ＋200， 销售利润为40(－t 2＋10t ＋200)； 当15<t ≤20时，销售量为－10t ＋200＋(－t 2＋20t )＝－t 2＋10t ＋200， 销售利润为20(－t 2＋10t ＋200)．综上可得，F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧40(－t 2＋30t )，1≤t ≤10，40(－t 2＋10t ＋200)，10<t ≤15，20(－t 2＋10t ＋200)，15<t ≤20.(2)当1≤t ≤10时，由40(－t 2＋30t )≥5000， 解得5≤t ≤10；当10<t ≤15时，由40(－t 2＋10t ＋200)≥5000， 解得10<t ≤15；11 当15<t ≤20时，由20(－t 2＋10t ＋200)≥5000，无解．故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元．22．(12分)已知函数f (x )＝1－m5x ＋1是奇函数．(1)求m 的值；(2)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(3)若对一切实数x 满足f (sin x －a 2)＋f (a ＋cos 2x ＋1)>0，求实数a 的取值范围．(1)解 因为函数f (x )＝1－m5x ＋1是奇函数，且在x ＝0处有意义，所以f (0)＝0，即1－m1＋1＝0，解得m ＝2.(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－25x 1＋1－1＋25x 2＋1＝2(5x 1－5x 2)(5x 1＋1)(5x 2＋1)，因为x 1<x 2，所以5x 1<5x 2，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )是R 上的增函数．(3)解 因为对一切实数x 满足：f (sin x －a 2)＋f (a ＋cos 2x ＋1)>0，即f (a ＋cos 2x ＋1)>－f (sin x －a 2)，所以有a 2－sin x <a ＋cos 2x ＋1，即a 2－a <sin x ＋2－sin 2x 对一切x ∈R 恒成立．因为sin x ＋2－sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94，所以a 2－a <0，即0<a <1.即实数a 的取值范围是(0，1)．。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝?C ．M ?ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }，已知M ＝{x |a <=""A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝?－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－40，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝ x (1－x )，0≤x≤1，sin πx ，1<=""> 则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝?3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和?R B ；(2)若A ?B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A ·tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为( )A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0164．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．96．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163 D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1637．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23D.348．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( ) A ．[0,1－2lg 2] B ．[1，52] C ．[12，lg 2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.10．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是________．11．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)12．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．13．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.14．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．16.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.17．(13分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．18．(13分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．19．(14分)如图，P－AD－C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD＝120°的菱形，AB＝2，P A⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°.(1)求证：平面P AE⊥平面PCD；(2)试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A－PF－D的大小为45°？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．20．(14分)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA→＋μCB →，且λμ＝14. (1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k的值，若不存在，说明理由．答案解析1.C2.A3.C4.B5.A6.C7．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →. 又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)， ∴|A G →|＝13 A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4. ∵|A G →|＝13AB→2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]8．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域． 因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x ，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， 即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]． 而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 9．60解析 如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°， 所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°， 又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°， 从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°， 解得MC ＝40 3 m.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ， 故通信塔CD 的高为60 m. 10．[213，1]解析 t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)， 故a 的取值范围是[213，1.] 11．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确．12．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE→＝(3，x ，－b )， DE→＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE→＝0， ∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根，∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6.13．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11xd x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 14．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4z y ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)．15．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．16．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1，∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.17．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3.18．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a ＜0，所以a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．19.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)， 因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.20．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6.(2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。

课时作业56 最|值、范围、证明问题第|一次作业 根底稳固练1．动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切 ,又与直线l ：x ＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)假设动点M 为直线l 上任一点 ,过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ,B 两点 ,求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知 ,动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离 ,所以由抛物线的定义可知 ,动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点 ,x ＝－2为准线的抛物线 ,所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时 ,不符合题意 ,所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1 ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝8x消去x ,得y 2－8my－8＝0 ,Δ＝64m 2＋32>0恒成立 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,M (－1 ,t ) ,那么y 1＋y 2＝8m ,y 1·y 2＝－8 ,x 1＋x 2＝8m 2＋2 ,x 1·x 2＝1 , 而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ,k MA ＋k MB ＝y 1－tx 1＋1＋y 2－tx 2＋1 ＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2(y 1＋y 2)＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t (8m 2＋4)8m 2＋4＝－t , 所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图 ,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F (1,0) ,过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ,交y 轴于点C ,AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点 ,连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ,求△MNQ 面积的最|大值及取最|大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0) ,C (0 ,a ) ,故B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 7 6a 7 , 代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1 ,结合a 2－b 2＝1 ,得a 2＝4 ,b 2＝3 ,故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知 ,直线l 不与x 轴重合 ,故可设l ：x ＝my ＋1 ,代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0 ,设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4 ,y 1y 2＝－93m 2＋4 ,连接ON ,由Q 与M 关于原点对称知 , S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4＝123m 2＋1＋1m 2＋1,∵m 2＋1≥1 , ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4 , ∴S △MNQ ≤3 ,当且仅当m ＝0时 ,等号成立 ,∴△MNQ 面积的最|大值为3 ,此时直线l 的方程为x ＝1. 3．(2021·河南洛阳统考)抛物线C ：x 2＝2py (p >0) ,过焦点F 的直线交C 于A ,B 两点 ,D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ,且△ABD 的面积为1 ,求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点 ,过M 作l 的垂线 ,垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ,∴|FD |＝p ,|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1 ,故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在 ,设其方程为y ＝kx ＋p 2,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 x 212p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2x 2＝2py消去y 整理得 ,x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ,x 1x 2＝－p 2.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp k 2p ＋p 2 ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp －p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ,∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0) ,且该椭圆过定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0) ,过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点 ,且F 2A →＝λF 2B →,λ∈[－2 ,－1] ,以QA ,QB 为邻边作平行四边形QACB ,求对角线QC 长度的最|小值．解：(1)由题易知c ＝1 ,1a 2＋12b 2＝1 , 又a 2＝b 2＋c 2 ,解得b 2＝1 ,a 2＝2 , 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1 ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0 ,Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2 ,y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4 ,y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2－2k k 2＋2 , ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2,由此可知 ,|QC →|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2 ,λ＝y 1y 2,1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2,由λ∈[－2 ,－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 －2 ,从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2 ,解得0≤k 2≤27.令t ＝1k 2＋2,那么t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716 12 , ∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎪⎫t －742－172 ,∴当t ＝12时 ,|QC |min ＝2.5．(2021·合肥模拟)中|心在原点 ,焦点在y 轴上的椭圆C ,其上一点P 到两个焦点F 1 ,F 2的距离之和为4 ,离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ,B 两点 ,求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) ,由条件知 ,⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4 e ＝c a ＝32a 2＝b 2＋c 2解得a ＝2 ,c ＝ 3 ,b ＝1 , 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1 y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0 ,故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4 ,x 1x 2＝－3k 2＋4 ,设△OAB 的面积为S , 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0 ,知S ＝12×1×|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2,令k 2＋3＝t ,知t ≥3 ,∴S ＝21t ＋1t ＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3) ,知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0 ,∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3 ,＋∞)上单调递增 ,∴t ＋1t ≥103 , ∴0<1t ＋1t ＋2≤316 ,∴0<S ≤32.故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0 32.第二次作业 （高|考）·模拟解答题体验1．(2021·四川成都七中模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,且离心率为22 ,过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ,B 两点 ,△ABF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最|大时 ,求l 的方程． 解：(1)由椭圆的定义知4a ＝4 2 ,a ＝ 2 , 由e ＝ca 知c ＝ea ＝1 ,b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0) ,F 2(1,0) ,|F 1F 2|＝2 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,l ：x ＝my －1 ,联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1 ,得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0 ,|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2 , S △ABF 2＝22m 2＋1(m 2＋2)2＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2, 当m 2＋1＝1 ,m ＝0时 ,S △ABF 2最|大为 2 ,l ：x ＝－1.2．(2021·广东佛山模拟)中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12 ,椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1 ,F 2构成的三角形中面积的最|大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)假设A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点 ,连接CF 2与椭圆的另一交点为B ,求证：直线AB 与x 轴交于定点P ,并求P A →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12 ,12·2c ·b ＝ 3 ,a 2＝b 2＋c 2 ,解得c ＝1 ,a ＝2 ,b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,C (x 1 ,－y 1) ,直线AB ：y ＝kx ＋m . 将y ＝kx ＋m ,代入x 24＋y 23＝1得 , (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 那么x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3 ,x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ,C ,F 2共线 ,所以kBF 2＝kCF 2 , 即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )x 1－1, 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0 , 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0 ,解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4) ,与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21 ,所以P A →·F 2C →＝(x 1－4 ,y 1)·(x 1－1 ,－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2 ,所以P A →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187 18.3．(2021·广东华南师大附中模拟)点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点 ,点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0) ,假设直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ,直线AQ 与直线PF 交于点B ,证明：点B 恒在曲线E 上 ,并求△P AB 面积的最|大值．解：(1)由题意得 ,F 点坐标为(1,0) ,因为P 为CF ′中垂线上的点 ,所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4 ,所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2 ,由椭圆的定义知 ,2a ＝4 ,c ＝1 ,所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ,n )(n ≠0) ,那么Q 点的坐标为(m ,－n ) ,且3m 2＋4n 2＝12 ,所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4) ,即nx －(4－m )y －4n ＝0 ,直线PF ：y ＝nm －1(x －1) ,即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －(4－m )y －4n ＝0nx －(m －1)y －n ＝0解得x B ＝5m －82m －5 ,y B ＝3n2m －5,那么x 2B 4＋y 2B 3＝(5m －8)24(2m －5)2＋(3n )23(2m －5)2 ＝25m 2－80m ＋64＋12n 24(2m －5)2 ＝16m 2－80m ＋1004(2m －5)2＝1 , 所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1 ,P (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋13x 2＋4y 2＝12 消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0 ,所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4 ,y 1y 2＝－93t 2＋4, 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－6t 3t 2＋4)2＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4, 从而S △P AB ＝12|F A ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4＝18t 2＋13(t 2＋1)＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1. 令μ＝t 2＋1(μ≥1) ,那么函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1 ,＋∞)上单调递增 ,故g (μ)min ＝g (1)＝4 ,所以S △P AB ≤184＝92 ,即当t ＝0时 ,△P AB 的面积取得最|大值 ,且最|大值为92.4．(2021·河北邢台模拟)椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等 ,且W 与Ω的长轴长相等 ,这两个椭圆在第|一象限的交点为A ,直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直 ,且l 与W 交于M ,N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最|大值．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4a 2－b 2＝1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3 故W 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1 x 24＋y 2＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝3613 y 2＝413∴y 2x 2＝19.又A 在第|一象限 ,∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3x ＋m y 24＋x 23＝1得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0.设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝18m 31 ,x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋(－3)2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10×4331－m 231. 又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10, 那么△MON 的面积S ＝12d ·|MN | ＝23|m |31－m 231, ∴S ＝23m 2(31－m 2)31≤331(m 2＋31－m 2)＝ 3 ,当且仅当m 2＝31－m 2 ,即m 2＝312时 ,满足Δ>0 , 故△MON 的面积的最|大值为 3. 5．(2021·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B ,椭圆的离心率为53 ,点A 的坐标为(b,0) ,且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第|一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .假设|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点) ,求k 的值． 解：(1)设椭圆的焦距为2c ,由有c 2a 2＝59 ,又由a 2＝b 2＋c 2 ,可得2a ＝3b .由可得 ,|FB |＝a ,|AB |＝2b ,由|FB |·|AB |＝6 2 ,可得ab ＝6 ,从而a ＝3 ,b ＝2.所以 ,椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1 ,y 1) ,点Q 的坐标为(x 2 ,y 2)．由有y 1>y 2>0 ,故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB, 而∠OAB ＝π4 ,故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ,可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 29＋y 24＝1 消去x ,可得y 1＝6k 9k 2＋4 .易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0 ,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kxx ＋y －2＝0消去x ,可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2 ,可得5(k ＋1)＝39k 2＋4 ,两边平方 ,整理得56k 2－50k ＋11＝0 ,解得k ＝12 ,或k ＝1128.所以 ,k 的值为12或1128.。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1， 所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC→<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．]5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a 2＝3，解得a ＝－6.]6．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]；当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)．综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]7．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]8．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]9．[－1,6]解析 由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4；由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 10．[－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎨⎧ a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.11．－74解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.12.516解析 因为函数f (x )的周期是4，则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.13．8或－83解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.14．(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1. 当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点．因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 15．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ，∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }，∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}．∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a .解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．16．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2； 当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意． 所以实数a 的取值范围是[1,2]．17．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52， ∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．18．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2， 即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1， 此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3， 此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)．19．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t )(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，即ω(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313.因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．20．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x2－2x1(2x1＋1)(2x2＋1).∵函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴2x2－2x1>0.又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)，∵f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R,3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.∴k的取值范围是(－∞，－1 3)．。

课时55 证明本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

模拟训练〔分值：60分 建议用时：30分钟〕1．〔2021·丽星中学高三上学期期中考试,5分〕命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ〞的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ〞过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法【答案】B【解析】因为证明过程是“从左往右〞，即由条件⇒结论．2．〔2021·吉水中学高三第二次月考,5分〕设a ，b ，c ∈(－∞，0)，那么a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2【答案】C【解析】因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.3．〔2021·梁山二中高三12月月考,5分〕要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【答案】D【解析】因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．〔2021·顺德容山中学高三上学期第一次月考试题,5分〕假设a ＞b ＞0，那么以下不等式中总成立的是( )A ．a ＋1b ＞b ＋1aB.b a ＞b ＋1a ＋1C ．a ＋1a ＞b ＋1bD.2a ＋b a ＋2b ＞ab【答案】A5．〔2021·树德协进中学上学期期中,5分〕①p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋bx 1的绝对值大于或者等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的选项是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确【答案】D【解析】反证法的本质是命题的等价性，因为命题p 与命题的否认¬p 真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．应选D.6.〔2021·翔安第一中学高三12月月考,5分〕假设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，那么M 与N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ≥ND ．M ≤N【答案】A7．〔2021·十二校新高考研究联盟高三第一次联考,5分〕在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_________．【答案】a2>b2＋c2【解析】由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.8．〔2021·新田一中高三第五次月考试题,5分〕设x，y，z是空间的不同直线或者不同平面，且直线不在平面内，以下条件中能保证“假设x⊥z，且y⊥z，那么x∥y〞为真命题的是________(填所有正确条件的代号)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．【答案】①③④【解析】①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或者x⊂平面y.又∵x⊄平面y，故x∥y成立．②中假设x，y，z均为平面，那么x可与y相交，故②不成立．③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．9．〔2021·湄潭中学高三第五次月考,10分〕a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a.10．〔2021·红色六校高三第一次联考,10分〕三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，其中至少有一个方程有实根，务实数a 的取值范围．【解析】假设三个方程都无实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4－4a ＋3＜0Δ2＝a －12－4a 2＜0Δ3＝4a 2＋4×2a ＜0，解得－32＜a ＜－1，故当三个方程至少有一个方程有实根时，实数a 的取值范围为{a |a ≤－32或者a ≥－1}．[新题训练] 〔分值：10分 建议用时：10分钟〕11．〔5分〕x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，〞当此题用反证法否认结论时应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1D．存在正整数n，使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥0【答案】B【解析】根据全称命题的否认，是特称命题，即“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n＋1〞的否认为“存在正整数n，使x n≤x n＋1〞，应选B.12．〔5分〕假如a a＋b b>a b＋b a，那么a、b应满足的条件是________．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

课时59 几何证明选讲模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．（2018·萧山中学10月月考,5分）关于单峰函数，有下列说法：①在区间[a ，b ]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；②在区间[a ，b ]上的单调函数不是单峰函数；③区间[a ，b ]上的单峰函数可以是不连续函数．其中正确的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】由单峰函数的定义可知.2．(2018·江西省会昌中学第二次月考,5分)下列函数中在[－1,4]上不是单峰函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝x 2－2x ＋3C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x 【答案】D【解析】函数y ＝cos x 在[－1,4]上既有最大值，也有最小值，故不是单峰函数．3．(2018·白鹭洲中学第一次月考,5分)在应用0.618法确定试点时，n 次试验后的精度为( )A ．0.382n －1 B ．(12)n －1 C ．0.618n －1D ．0.618n 【答案】C4．(2018·徐闻中学测试题,5分)在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm 至15 cm 范围内经过多次尝试，最后发现12 cm 长的粉笔最合适．这个问题的最佳点是( )A ．10 cmB ．15 cmC ．12.5 cmD ．12 cm【答案】D【解析】本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度数据，即12 cm ，故选D.5．（2018·微山一中月考,5分）某主要因素对应的目标函数如图所示，若c 是最佳点，则下列说法中正确的是 ( )A ．d ，e 都是好点B ．区间[a ，d ]是一个存优范围C ．d 不是好点D ．a ，b 是分界点【答案】B6．( 2018·浙江杭州西湖测试题,5分)某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级：0.3,0.33，0.35，0.40,0.45,0.48,0.50,0.55,0.60,0.65,0.71,0.81，0.91.那么第一次和第二次的试点分别为________、________.【答案】0.55 0.45【解析】该已知条件符合分数法的优选要求．∴第一次应优选0.55，第二次应优选0.45.7.如图，用平行线法处理双因素问题时，首先将难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A 1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A 2，若A 2处的试验结果比A 1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在________处．【答案】0.236【解析】因为A 2处的试验结果比A 1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0～0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处．8．（2018·咸阳模拟,5分）有一双因素优选试验，2≤x ≤4,10≤y ≤20.使用纵横对折法进行优选．分别对因素x 和y 进行了一次优选后其新的存优范围的面积为________．【答案】10【解析】由纵横对折法知对因素x 和y 进行了一次优选后得到两个好点，无论哪个好点的试验结果更优，其新的存优范围的面积为原存优范围面积的一半，即12×(4－2)×(20－10)＝10.9．(2018•四川省成都石室中学二诊模拟,10分)为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选．已知此因素范围为[1 000,2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？【解析】在因素范围[1 000,2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x1，满足x1＝1 000＋0.618(210．(2018•湖北黄石二中调研,10分)设有一优选问题，其因素范围为1 000～2 000，假设最优点在1 000处．(1)若用0.618法进行优选，写出第二、三、四试点的数值；(2)若第一试点取在1 950处，写出第二、三、四试点的数值．【解析】(1)由0.618法得第一试点为x1＝1 000＋0.618×(2 000－1 000)＝1 618处．由“加两头，减中间”法则得x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.∵最优点在1 000处，∴x2优于x1，∴新的存优范围为[1 000,1 618]，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236，同理新的存优范围为[1 000,1 382]，∴x4＝1 000＋1 382－1 236＝1 146.(2)∵x1＝1 950，∴x2＝1 000＋2 000－1 950＝1 050，∵最优点在1 000处，∴x2优于x1，∴新的存优范围为[1 000,1 950]．∴x3＝1 000＋1 950－1 050＝1 900.同理新的存优范围为[1 000,1 900]，∴x4＝1 000＋1 900－1 050＝1 850.[新题训练] （分值：10分建议用时：10分钟）11．（5分）利用纵横对折法解决双因素问题时，先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点C1处，对因素Ⅱ进行单因素优选得到最佳点A1，同样将因素Ⅱ固定在中点C2，对因素Ⅰ进行单因素优选得到最佳点A2，若A1处的试验结果比A2处的好，则下图中阴影部分能表示好点所在范围的是( )【答案】D【解析】因为A1处的试验结果比A2处的好，所以存优范围包含点A1.12．（5分）在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 mL 或小于3 000 mL时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为( )A．4 500,3 500 B．4 382,3 618C．4 236,3 764 D．4 618,3 618。

课时标准练55分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础巩固组1.已知两条异面直线a,b上别离有5个点和8个点,那么这13个点能够确信不同的平面个数为()2.现有6名同窗去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同窗可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()C.5×6×5×4×3×22×5×4×3×23.现有4种不同颜色要对如下图的四个部份进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,那么不同的着色方式共有()种种种种4.(2018山西一模)某天的值日工作由4名同窗负责,且其中1人负责清理讲台,另1人负责扫地,其余2人负责拖地,那么不同的分工共有()种种种种5.(2018北京一零一中学3月模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每一个年级任选一个博物馆参观,那么有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×54种D.C62×A54种6.(2018辽宁丹东模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,那么共有不同分法的种数为()7.(2018黑龙江牡丹江)将数字1,2,3,4,填入下面的表格内,要求每行、每列的数字互不相同,如下图,那么不同的填表方式共有()种8.(2018新疆乌鲁木齐二诊)有五名同窗站成一排照毕业纪念照,其中甲不能和乙站在一路,而且乙、丙两位同窗要站在一路,那么不同的站法种数有(用数字作答).9.假设甲、乙两人从4门课程中各选修2门,那么甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有种.10.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是.综合提升组11.从0,2当选一个数字,从1,3,5当选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()12.(2018内蒙古赤峰模拟)把2支相同的晨光签字笔,3支相同的英雄钢笔,全数分给4名优秀学生,每名学生至少1支,那么不同的分法有()种种种种13.(2018浙江宁波模拟)现有红、黄、蓝、绿四个骰子,每一个骰子的六个面上的数字别离为1,2,3,4,5,6.假设同时掷这四个骰子,那么四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有种(请用数字作答).14.如下图,一个地域分为5个行政区域,现给该地域的地图涂色,要求相邻区域不得利用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,那么涂色方式共有的种数为.15.咱们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,那么由1,2,3,4,5能够组成无重复数字的三位凸数的个数是.创新应用组16.(2018天津模拟)将数字“124470”从头排列后取得不同的偶数个数为()17.对甲、乙、丙、丁四人进行编号,甲不编“1”号、乙不编“2”号、丙不编“3”号、丁不编“4”号的不同编号方式有()种种种种18.如图,在由假设干个一样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个★,那么含有★的平行四边形共有个.(用数字作答)课时标准练55分类加法计数原理与分步乘法计数原理分两类情形讨论:第1类,直线a别离与直线b上的8个点能够确信8个不同的平面;第2类,直线b别离与直线a上的5个点能够确信5个不同的平面.依照分类加法计数原理知,共能够确信8+5=13个不同的平面.6名同窗中的每一名同窗都能够从5个课外知识讲座中任选一个,由分步乘法计数原理可知不同的选法种数是56.应选A.按A→B→C→D的顺序分四步着色,共有4×3×2×2=48种不同的着色方式.方式数有C41C31=12种.应选B.因为有且只有两个年级选择甲博物馆,因此参观甲博物馆的年级有C62种情形,其余年级均有5种选择,因此共有54种情形,依照分步乘法计数原理可得共有C62×54种情形,应选C.先从4组2张连号票,比如(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)中掏出一组,分给甲、乙两人,共有C41A22=8种,其余的3张票随意分给剩余的3人,共有A33=6种方式,依照分步乘法计数原理可知,共有8×6=48种不同的分法,应选C.对符合题意的一种填法如图,行互换共有A44=24种,列互换共有A44=24种,因此依照分步乘法计数原理取得不同的填表方式共有24×24=576种,应选B.依照题意,先排除甲后的其余4人进行排列,因为乙、丙两位同窗要站在一路,故将乙、丙“捆绑”再与其余2人进行全排,共有A33A22=12种不同的排法,再将甲插空,由于甲不能和乙站在一路,故甲有3种插法,因此依照分步乘法计数原理,不同的站法有12×3=36种.故答案为36.分步完成,第一甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方式;第二甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方式;最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方式.于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24(种).另两边长用x,y(x,y∈N*)表示,不妨设1≤x≤y≤11,要组成三角形,必需x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;……当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.因此所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.三位数可分成两类,第一类是奇偶奇,其中个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有3×2×2=12(个);第二类是偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1=6(个).故由分类加法计数原理,可知共有奇数12+6=18(个).应选B.第一类,有一个人分到一支钢笔和一支签字笔,这种情形下的分法有:先将一支钢笔和一支签字笔分给一个人,有4种分法,将剩余的2支钢笔, 1支签字笔分给剩余3名同窗,有3种分法,共有3×4=12种不同的分法;第二类,有一个人分到两支签字笔,这种情形下的分法有:先将两支签字笔分给一个人,有4种情形,将剩余的3支钢笔分给剩余3个人,只有1种分法,共有4×1=4种不同的分法;第三类,有一个人分到两支钢笔,这种情形的分法有:先将两支钢笔分给一个人,有4种情形,再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的3个人,有3种分法,那共有3×4=12种不同的分法.综上所述,总共有12+4+12=28种不同的分法.应选B.因为24=6×4×1×1=6×2×2×1=4×3×2×1=3×2×2×2,关于上述四种情形掷这四个骰子时,别离有A42=12,C41×C32=12,A44=24,C41=4种情形,综上共有12+12+24+4=52种情形.因为区域1与其他4个区域都相邻,第一考虑区域1,有4种涂法,然后再按区域2,4同色和不同色,分为两类:第一类,区域2,4同色,有3种涂法,现在区域3,5均有2种涂法,共有4×3×2×2=48种涂法;第二类,区域2,4不同色,先涂区域2,有3种涂法,再涂区域4,有2种涂法,现在区域3,5都只有1种涂法,共有4×3×2×1×1=24种涂法.依照分类加法计数原理知,共有48+24=72种知足条件的涂色方式.依照“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类,第一类,当中间数字为3时,现在有2种(132,231);第二类,当中间数字为4时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有A32=6种;第三类,当中间数字为5时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有A42=12种;依照分类加法计数原理知,由1,2,3,4,5能够组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20.依照题意,分3种情形讨论:①个位数字为0,在前面5个数位中任选2个,安排2个数字4,有C52=10种情形,将剩下的3个数字全排列,安排在其他的数位,有A33=6种情形,那么现在有10×6=60个偶数,②个位数字为2,0不能在首位,有4种情形,在剩下的4个数位中任选2个,安排2个数字4,有C42=6种情形,将剩下的2个数字全排列,安排在其他的数位,有A22=2种情形,那么现在有4×6×2=48个偶数,③个位数字为4,0不能在首位,有4种情形,将剩下的4个数字全排列,安排在其他的数位,有A44=24种情形,那么现在有4×24=96个偶数.共有60+48+96=204个不同的偶数;应选C.依题意,符合要求的编号方式为“1”号是乙、丙、丁三人中的某一个.①当乙的编号为“1”时,显然,现在有3种不同的编号方式;②当丙的编号为“1”时,显然,现在有3种不同的编号方式;③当丁的编号为“1”时,显然,现在有3种不同的编号方式.由分类加法计数原理,知不同的编号方式有3+3+3=9(种).含有★的平行四边形的左上角的极点有4种可能,右下角的极点有12种可能.由一个左上角极点和一个右下角极点就能够组成一个平行四边形,因此共有48个含有★的平行四边形.。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测十二 推理与证明、算法、复数第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．(2020·桂林模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为________．2．如图所示，阅读流程图，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是________________．3．设a 是实数，且a1＋i＋1－i 2是实数，则a ＝________.4．四个小动物换座位，开始是鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________.5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当F B →⊥A B →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝____________.6．(2020·苏州模拟)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数满足的条件是________． ①至少有一个不大于2； ②都小于2；③至少有一个不小于2； ④都大于2.7．设复数z ＝7＋i 3＋4i －isin θ，其中i 为虚数单位，θ∈[－π6，5π6]，则|z |的取值范围是__________．8．(2020·淮安质检)已知数列{a n }的各项均为正数，观察流程图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021，则数列{a n }的通项公式为__________．9．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12……则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为________．10．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．11．在复平面内复数11＋i ，11－i 对应的点分别为M ，N ，若点P 为线段MN 的中点，则点P对应的复数是________．12．(2020·镇江检测)执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是________．13.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第2个数应是________．14．执行下面的流程图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)已知复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共扼复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合．16.(14分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：X ′＝⎩⎨⎧x ＋12(x ∈N ，1≤x ≤26，x 不能被2整除)x2＋13(x ∈N ，1≤x ≤26，x 能被2整除)将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c .(1)按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？17．(14分)已知m ＞0，a ，b ∈R ，用分析法证明：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m .18．(16分)(2020·徐州模拟)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算；③输出函数值y .若D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.(1)求y ＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率．19.(16分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的流程图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？20．(16分)在递增数列{a n}中，a1＝2，不等式(n＋1)a n≥na2n，对任意n∈N*都成立．(1)求a2的取值范围；(2)判断数列{a n}能否为等比数列，并说明理由．答案解析1．S n ＝2n n ＋1解析 S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)， ∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.2．{x ∈R |0≤x ≤log 23或x ＝2} 解析 依题意及框图可得，⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜2，1≤2x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≥2，1≤x ＋1≤3，解得0≤x ≤log 23或x ＝2. 3．－1 解析a 1＋i ＋1－i 2＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋(12－12i)＝(a 2＋12)－(a 2＋12)i ，由题意知a 2＋12＝0， ∴a ＝－1. 4．1解析 由图，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置， 故此变换的规律是周期为4， ∵2 009＝4×502＋1，∴第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的是编号1. 5.5＋12解析 根据“黄金椭圆”的性质是F B →⊥A B →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质， 设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)， 在“黄金双曲线”中， ∵F B →⊥A B →，∴F B →·A B →＝0，又F B →＝(c ，b )，A B →＝(－a ，b )， ∴b 2＝ac ，而b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－a 2＝ac ，在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12. 6．③解析 ∵a ＋b ＋c ＝1x ＋x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥6，∴a ，b ，c 至少有一个不小于2. 7．[52，5] 解析 z ＝7＋i 3＋4i －isin θ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )－isin θ＝25－25i25－isin θ＝1－(1＋sin θ)i ， 所以|z |＝1＋(sin θ＋1)2， 由θ∈[－π6，5π6]知12≤sin θ＋1≤2，所以52≤|z |≤ 5. 8．a n ＝2n －1解析 当i ＝1时，a 2＝a 1＋d ，M ＝1a 1a 2，S ＝1a 1a 2；当i ＝2时，a 3＝a 2＋d ，M ＝1a 2a 3，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3； 当i ＝3时，a 4＝a 3＋d ，M ＝1a 3a 4，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4； …因此，由流程图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d . 当k ＝5时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＋1a 5a 6＝(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4＋1a 4－1a 5＋1a 5－1a 6)1d ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 61d ＝5a 1a 6＝511， ∴a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11.① 当k ＝10时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 10a 11＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 10－1a 111d ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 111d ＝10a 1a 11＝1021， ∴a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21.② 由①②得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 9．80解析 由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )的个数为4n ， ∴|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80. 10．13 3n ＋1解析 易得第4个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1根． 11.12解析 ∵11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 2，11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝1＋i 2，∴M ⎝⎛⎭⎫12，－12，N ⎝⎛⎭⎫12，12，而P 是MN 的中点， ∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，故点P 对应的复数为12. 12．2或－2 2解析 由 a ≥b ，得x 2≥x 3， 解得x ≤1，所以当x ≤1时，输出a ＝x 2， 当x ＞1时，输出b ＝x 3， 当x ≤1时，由a ＝x 2＝8， 解得x ＝－8＝－2 2.当x ＞1时，由b ＝x 3＝8，得x ＝2， 所以输入的数为2或－2 2. 13．2 015解析 由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同， 奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大， 第63行的数字从左向右依次减小，可求出第63行最左边的一个数是 63×(63＋1)2＝2 016， 从左至右的第2个数应是2 016－1＝2 015. 14．3解析 输入ε＝0.25后，程序执行如下： ①⎩⎪⎨⎪⎧ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，②⎩⎪⎨⎪⎧ F 1＝F 0＋F 1＝3，F 0＝F 1－F 0＝2，n ＝2，1F 1＝13＞0.25，③⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝5，F 0＝F 1－F 0＝3，n ＝3，1F 1＝15≤0.25.此时满足条件，结束循环，故输出的n 的值为3. 15．解 由题意得z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i. 因为z 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＞0，－(4m 2－8m ＋3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＜0，解得⎩⎨⎧m ＜－5－12或m ＞5－12，12＜m ＜32.所以5－12＜m ＜32， 所以m 的集合为{m |5－12＜m ＜32}． 16．解 (1)g →7→7＋12＝4→d ；o →15→15＋12＝8→h ；d →4→42＋13＝15→o ；则明文good 的密文为dhho.(2)逆变换公式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ′－1 (x ′∈N ，1≤x ′≤13)，2x ′－26 (x ′∈N ，14≤x ′≤26).则有s →19→2×19－26＝12→l ；h →8→2×8－1＝15→o ；x →24→2×24－26＝22→v ；c →3→2×3－1＝5→e .故密文shxc 的明文为love.17．证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0，∴要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．18．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法，第二步：从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算，共有2种方法，∴该运算共有f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，g (5)，10种方法， 而满足y ＝4的有f (1)，g (2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15.(2)输出结果是奇数有以下几种情况：f (2)，f (4)，g (1)，g (3)，g (5)共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率P ＝510＝12.19．解 (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i ≤n ，i ∈N *)．由题意得，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，i ＝0，S i －1＋b2i ，1≤i ≤n ，i ∈N *，于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b2n )＝b (2－12n )(n ∈N *)．所以，该产品每天销售量S (件)与电视广告每天播放量n (次)的函数关系式为S ＝b (2－12n )，n ∈N *. (2)由题意，有b (2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒n ≥4(n ∈N *)． 所以，要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需4次．20．解 (1)因为{a n }是递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]．(2)数列{a n }不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }是递增数列，所以q ＞1.因为(n ＋1)a n ≥na 2n ，对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n ≥q n ．①因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞2.因为1＋1n ≤2(n ∈N *)．所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞1＋1n ，与①矛盾，故假设不成立．故数列{a n }不能为等比数列．。