下载文档原格式
2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案2．由题意知b−a=c−b= (c−a)/2，所以()2c a====-是等差数列．3．对题中不等式整理得2x2−2(a+b)x+(a2+b2−c)⩾0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式Δ=4(a+b)2−8(a2+b2−c)=4[2c−(a−b)2]⩽0,等价于2c⩽(a−b)2，命题得证．222112z z z z z z++=因为12(1)z z a i=-，所以12(1)z z a i=+，代入上面的式子得22-2z z a=．于是有其中λ=1时为双曲线，λ=0时为渐近线．设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有22112222222211x ya bx ya b⎛-=-=⎝两式相减得1212121222()()()()x x x x y y y ya b-+-+-=同样有3434343422()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 因为A,B,C,D 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD ；当此直线的斜率k 存在且不为零时，有2341221234y y y y b x x x x a k++==++ 即AB 的中点与CD 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD ． 事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到．6．显然当α+β=π/2时，等式成立；由已知条件知sin 2α+sin 2β=sin αcos β+cos αsin β ,整理得sin α(sin α−cos β)=sin β(cos α−sin β).若α+β≠π/2，则有sin α−cos β与cos α−sin β同号．若它们同为正，则有sin α>cos β=sin(π/2−β),cos α=sin(π/2−α)>sin β,从而有α>π/2−β, π/2−α>β,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．综上，α+β=π/2．S △ADE =xyS △ABC =xy, S △BCE =(1−y)S △ABC =1−y,所以有S △BDE =1−xy −(1−y)=y(1−x).从而有318(1)()327BDF BDE z y x S zS zy x ∆∆++-==-≤= 当y=z=1−x 时，即x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时△BDF 的面积有最大值8/27。
【最新整理，下载后即可编辑】北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年6月23日本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.1.已知a 、b 、c 为整数，且对任意正整数m 、n ，存在整数x 满足如下关系：()2mod .ax bx c m n ++≡求所有满足要求的三元整数组(),,a b c .2.已知实数122018,,,a a a 两两不同，存在t 满足11i i a t a ++=（1,2,,2018i =，并规定20191a a =）.求实数t 的可能取值的个数.3.给定正整数n 、k .有一个密码锁，它有n 个按钮，编号分别为1n .打开该锁的密码是长度为k 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k 个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n =，2k =，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？4.如图，ABC ∆中AB AC ≠.点A 所对应的旁切圆圆J 分别与直线BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F .点M 是线段BC 的中点.点S 在线段JM 上，且满足AS DS AE +=.求证：MS BD CD SJ ⋅=.试卷答案本试卷共4题1.设()2f x ax bx c =++，注意()()()mod f x f x n n ≡+，故本题只需对任意正整数n ，()()()0,1,,1f f f n -组成模n 的完全剩余系.下证0a =，1b =-或1.若0,1a b +≠±，取n a b =+，则()()()01mod f f n ≡，矛盾. 若0a b +=，则()2f x ax ax c =-+，此时()()01f f =，这也不可能. 故1a b +=-或1.当1a b +=时，0a ≠，则1641241248a b a a b +≥-+≥-=. 取164n a b =+，则()()()04mod f f n ≡，矛盾.故0a =. 类似当1a b +=-时，取164n a b =+，可得0a =.故()(),0,1a b =或()0,1-.注意对任意正整数m 、n ，同余方程()mod x c m n +≡和()mod x c m n -+≡显然有解.故()(),,0,1,a b c k =或()0,1,k -，k Z ∈.2.由已知有11i i a t a +=-，不动点方程为1x t x=-，化为210x tx -+=，设此一元二次方程的两根为α与β.当αβ=时，若2t =，则1112i i i a a a +--=-，111111i i a a +=---，2019111201811a a =---，矛盾. 若2t =-，同理可得2019111201811a a =+++，也矛盾. 所以αβ≠，可得1i i i a a t a ααα+--=⋅-，以及1i i i a a t a βββ+--=⋅-， 两式相除得11i i i i a a a a αααβββ++--=--，有2111111i i i i a a a a a a αααααββββ++-⎛⎫--==⋅ ⎪---⎝⎭， 从而40362019120191a a a a αααββ--=⋅--，40361α=， 由对称性，不妨设2018ki e πα=，()40362018k ieπβ-=，其中12018k ≤≤. 另一方面，当12018i j ≤<≤时，由i j a a ≠知，j i j i a a a a ααββ--≠--， 而()21j j t j t a a a a αααββ---=⋅--.所以当12018t ≤<时，21t α≠， 即2220181tki t e πα=≠，即对任意12018t ≤<，tk 都不是2018的倍数， 即(),20181k =，又因为201821009=⨯，所以这样的k 有11201811100821009⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个，所以2cos 2018k t παβ=+=有1008个取值. 3.最少需要按1k n k +-次.不同的密码共有k n 个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍.从第k 次按键开始，每次按动按钮都可以视为一个长为k 的序列末位，故至少需要1k n k +-次.下面给出按动1k n k +-次可以满足要求的存在性证明. 当1k =时结论显然成立，故下设2k ≥.构造图G ，共有1k n -个顶点，每个顶点对应为一个长为1k -的序列.对顶点A ，B ，若点A 所对应序列的后2k -位与点B 所对应序列的前2k -位相同，则在AB 之间连一条由A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边.注意图G 为连通图，且每个顶点的入度和出度均为n ，我们即证明该图中存在欧拉圈.为此给出如下引理：若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈.对图G 的总边数进行归纳证明，若图G 每个顶点出入度为1，且该图中存在圈，再由连通性可得该圈为欧拉圈. 若总边数小于m 时结论成立，考虑总边数等于m 时. 考虑图中的最大有向圈Γ，显然这样的圈存在.若Γ不是欧拉圈，则从图G 中去掉Γ，得到图G '.此时图G '每点的出入度仍相同（但可以为0）.取G '中的一条边，使其一个顶点在Γ中，沿该边前进，可以得到图G '中的圈'Γ.注意Γ和'Γ没有公共边，故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与Γ的最大性矛盾，故此时结论成立. 综上，引理得证.由引理，我们即可得到本题存在性证明.4.如图，作BDS ∠的平分线交BJ 于P ，以P 为圆心、点P 到直线BC 的距离为半径作P ，则P 与直线AB 、BD 、DS 均相切.过A 作P 的异于直线AB 的切线，交直线DS 于S '，则P 与四边形ABDS '的各边所在直线均相切，由“切线长相等”可得AB BD AS DS ''+=+，又已知AS DS AE AF AB BD +===+，因此AS DS AS DS ''+=+，故SS AS AS ''=-，由“三角形两边之差小于第三边”可知 S '与S 重合，所以P 与四边形ABDS 的各边所在的直线都相切. 作CDS ∠的平分线交CJ 于Q ，以Q 为圆心、点Q 到直线BC 的距离为半径作Q ，类似可证Q 与折四边形ACDS 的各边所在的直线都相切.从而AS 、DS 都与P 和Q 相切，故S 是P 和Q 的内位似中心.故S 、P 、Q 三点共线.下面证明//PQ BC .用反证法.假设直线PQ 与直线BC 相交于T ，因DP 、DQ 分别平分SDT ∠或SDT ∠的邻补角，所以DP 、DQ 、DS 、DT 是调和线束，该线束与直线PQ 截得4点P 、Q 、S 、T 是调和点列，故JP 、JQ 、JS 、JT 是调和线束，该线束再与直线BC 截得4点B 、C 、M 、T 是调和点列，但M 是BC 的中点，矛盾，所以//PQ BC .设PQ 与JD 相交于H .由DP 、DQ 分别平分BDS ∠及其邻补角得DP DQ ⊥，再结合//PQ BC 得PQ DH ⊥，所以 PH QH MS DH PH QH BD CD BD CD SJ HJ HJ HJ JD JD ⋅⋅====⋅=.。
2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。
对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。
另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。
综上，最小的短信条数总数为2n−2。
2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。
2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。
3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。
计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。
6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。
2011年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一 选择题（单选，6×6）1. 函数)(x f 是偶函数且2)3(-=-f ，则2)3(5)3(2+-f f 的值为A ﹣12B 16C 17D 82. 若图中给出的函数a ax x y ++=2的图像与x 轴只有一个公共点，则a 为A 0B 1C 2D 4 3. 函数x x x f )161(log )(161-=的零点个数为A 0B 1C 2D 34. 定义在实数集R 上的函数f ，对于每一个R x ∈和常数0>a ，都满足方程2))(()(21)(x f x f a x f -+=+，若函数f 的值域记为M ，则 A M ∈7πB M ∈32C M ∈22D M ∈3π5. P 为正方形ABCD 内一点，PA=1厘米，PB=2厘米，PC=3厘米。
则△PBC 的面积（单位：平方厘米）为 A 222+ B 22+ C 222- D 22-6. 函数)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知6)2()2(=-=-g f 且21))2(20())2()2(())2()2((2=-+-++f g g f g g f f ，则)0(g 的值为A 2B 1C 0D ﹣1 二 填空题（8×8）1. 求︒5.22tan 的值2. 设函数)(x f y =定义域为R ，且对任意R x ∈都有639)23()(2222--=+-++x x x x f x x f ，求)60(f 的值3. 若[x ]表示不超过x 的最大整数。
求在平面直角坐标系y O x --中满足[x ] ▪ [y ]=2011的所有点),(y x组成的图形的面积4. 如图，两同心圆半径分别为6和10，矩形ABCD 的边AB 、CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长5. 已知211)(x x f +=，求)20111()31()21()2011()2()1(f f f f f f +⋯⋯++++⋯⋯++的值6. 已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程02=++c bx ax 的两个根，试确定这个直角三角形外接圆的面积。
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）题 号 1 234 5答 案1341314- 623 2.-+-100530171．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22011，则这样的二次三项式共有 个．答：1341．我们发现，实际上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22011–k ，则判别式Δ=a 2– 4b =22k – 422011–k =22k – 22013–k ≥0，得2k ≥2013–k ，因此k ≥32013=671，但k ≤2011，所以k 能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k 恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个.2．如右图，在半径为1的圆O 中内接有锐角三角形ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC = ． 答：3．解：易知，圆心O 及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2．由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1．连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形，所以CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得2221 3.BC =-=3．已知定义在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，若F (x )=f (g (x )) – g (f (x ))的最小值为14，则m = ．答：14-．解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m )=2x 2+8mx +4m 2–2m ，F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像顶点的纵坐标ABCOHL MPNH 1 1 2()2222242(42)84284242m m m m m m m m ⨯⨯--=--=--⨯．由已知，21424m m --=，得21202m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1.4m =-4．tan 37.5= ． 答：6232-+-．解1：作Rt △ADB ，使得∠ADB =90º，AD =1，AB =2，则∠B =30º，BD =3．延长BD 到C ，使BC =2，则DC =23-．连接AC ，则∠ACB =(180º–30º)÷2=75º．作∠ACD 的平分线交AD 于E ，则∠ECD =37.5º．由于AC 2=AD 2+DC 2=1+(2–3)2=8–43，所以 ()2843621226262AC =-=-+=-=-．由三角形的角平分线定理，得AE AC ED DC=，于是AE ED AC DCED DC ++=，即()()()()1322162233221ED AD AD DC AC CD ====-++-+-+-，所以()()tan 37.53221EDDC==-+6232=-+-．解2：作等腰直角三角形ABC ，使∠C =90º，AC =BC =1，则AB =2． 作∠CAD =30º，则CD =33，AD =233，则∠DAB =15º． 作∠BAD 的平分线AE ，记CE =x ，则BE =1–x ，DE =x –33． 所以3132323x x --=，整理得 ()()213221623 2.3232x +-+===-+--+tan 37.562321CE xAC ===-+-． 5．设f (x ) =113xx+-，定义f 1(x ) = f (f (x ))，f n (x )=f (f n –1(x )) (n =2, 3,…)，f 2011(2011)= ．答：10053017．AC D E B21 30º解：记01()()13x f x f x x +==-，则()111113()()1131313xx x f x f f x x x x++--===--+-⋅-； ()211113()()11313xx f x f f x x x x--+===-+⋅+；()3201()()()()13x f x f f x f x f x x +====-； 接下来有41()()f x f x =，52()()f x f x =，63()()f x f x =，…，f n (x )的表达式是循环重复的，以3项为一周期．所以，20113670111()()()13x f x f x f x x ⨯+-===+，20112011120101005(2011)13201160343017f -===+⨯．二、（满分15分）D 是正△ABC 的边BC 上一点，设△ABD 与△ACD 的内心分别为I 1，I 2，外心分别为O 1，O 2，求证：(I 1O 1)2+(I 2O 2)2=(I 1I 2)2． 证明：作以A 为中心、逆时针旋转60的变换(,60)R A ，使△ABD 到△ACD 1，由于∠ADC +∠AD 1C =∠ADC +∠ADB =180º，所以A 、D 、C 、D 1共圆，因此2O 是△AD 1C 的外心，也就是(,60)12R A O O −−−−→，因此AO 1=DO 1=AO 2=DO 2=O 1O 2，所以∠O 1AO 2=∠O 1DO 2=60º．由∠AO 1O 2+∠ACB =120º+60º=180º，O 1在△ACD 的外接圆⊙O 2上．由于111(180)6012012022AI D ABD ABD ∠=∠+-∠=+⨯=，所以I 1在⊙O 2上，因此11118018030150O I D O AD ∠=-∠=-=，111118015030I O D I DO ∠+∠=-=．同理可证，I 2在△ABD 的外接圆⊙O 1上，所以22150DI O ∠=．由于12118090,2I DI ∠=⨯=而22111212906030I DO I DO I DI O DO ∠+∠=∠-=-=，比较可得1122I O D I DO ∠=∠．在△O 1I 1D 与△DI 2O 2中，因为已证O 1D=DO 2，1122150,O I D DI O ∠=∠=又1122.I O D I DO ∠=∠因此 △O 1I 1D ≌△DI 2O 2．所以，I 1O 1=DI 2，DI 1= I 2O 2.由于1290,I DI ∠=△I 1DI 2是直角三角形.根据勾股定理，有()()()2221212,DI DI I I +=而I 1O 1=DI 2，DI 1=I 2O 2. 因此()()()222112212.I O I O I I +=三、（满分15分）n 是正整数，记n !=1×2×3×…×n ，如1!=1，2!=1×2=2， 3!= 1×2×3=6，又记[a ]表示不超过a 的最大整数，求方程ABCDO 1I 2I 1D 1O 220111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的所有正整数解．解1：由于当x 是正整数时，[]1!x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2!2x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥12x -，3!6x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＞6x –1，所以1126x x x -++-＜2011即53x ＜120122，得方程的正整数解x 满足0＜x ＜1207.5． 由于6!=720，7!=5040，所以方程的正整数解x ＜7!，即07!8!9!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 因此，方程20111!2!3!4!5!6!x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解与原方程的解是一样的．设小于7!的正整数x 为上述方程的解，我们写出(1,2,3,4,5,6)!xk k =的带余除法表达式：设16!6!r x a =+，0≤r 1＜6!，(0≤a ≤6，a ∈N )；因此.6!x a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦① 12665!5!5!r r x a a b =+=++，0≤r 2＜5!，(0≤b ≤5，b ∈N )，因此65!x a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦． ② 323053054!4!4!r r xa b a b c =++=+++，0≤r 3＜4!，(0≤c ≤4，c ∈N )， 因此3054!x a b c ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． ③341202*********!3!3!r r xa b c a b c d =+++=++++，0≤r 4＜3!，(0≤d ≤3，d ∈N )； 因此1202043!x a b c d ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦． ④5436060123360601232!2!2!r r xa b c d a b c d e =++++=+++++，0≤r 5＜2， (e =0,1,2)；因此360601232!x a b c d e ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦． ⑤5720120246272012024621!1!r xa b c d e a b c d e f =+++++=+++++，(f =0,1)； 因此72012024621!x a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦． ⑥①～⑥相加得1237a +206b +41c +10d +3e +f =2011． 显然a =1，因此206b +41c +10d +3e +f =2011–1237=774； 易知b =3，因此41c +10d +3e +f =774–206×3=156； 易知c =3，于是10d +3e +f =156–41×3=33；类似求得d =3，e =1，f =0．所求的x =1×720+3×120+3×24+3×6+1×2+0×1=1172．x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的唯一正整数解． 解2：设f (x )=1!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为对于所有的正整数k ，!x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都是单调增的，其和f (x )就是增函数；又因为对于正整数x ，11!x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1!x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+1，所以f (x )是严格单调的．经估数，将x =1172带入，求f (1172)的值，得f (1172)=2011，所以，x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的唯一正整数解．四、（满分15分）平面上的n 个点，若其中任3个点中必有2个点的距离不大于1，则称这样的n 个点为“标准n 点组”．要使一个半径为1的圆纸片，对任意“标准n 点组”都能至少盖住其中的25个点，试求n 的最小值． 答案：49．解：首先证明，n min ＞48．在平面上画长为5的线段AB ，分别以A 、B 为圆心，画半径为0.5的两个圆，在每一个圆内，取24个点，则平面上有48个点满足题设条件（其中任意3点中必有2点的距离不大于1），显然，不可能画出一个半径为1的圆，其包含有25个所选的点，所以n ＞48．下面证明n min =49．若49=n ，设A 是其中的一点，作以A 为圆心半径为1的⊙A ，若所有的点都在圆A 中，那么就满足题设条件．若不是所有的点都在圆A 中，则至少有一点B 不在圆A 中，再作以B 为圆心、半径为1的⊙B ，则A 、B 的距离大于1（如右图），除A ，B 外，余下的47个点中每一点P 都与A 、B 组成3点组，必有两个点的距离不大于1，所以要么P A ≤1，要么PB ≤1，即 点P 要么在⊙A 中，要么在⊙B 中，根据抽屉原理，必有一个圆至少包含了这47个点中的24个点，不妨设这个圆就是⊙A ，再加上圆心A 点，就有不少于25个点在这个半径为1的⊙A 中(圆内或圆周上)．所以n 的最小值是49．五、（满分15分）已知函数f ：R →R ，使得对任意实数x y z ，，都有11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14， 求[1×f (1)]+[2×f (2)]+[3×f (3)]+…+[2011×f (2011)]的值．其中对于实数a ，[a ]表示不超过a 的最大整数．解：由于已知函数f R R →：，使得对任意实数x y z ，，都满足11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14，可令0x y z ===，有 ()211(0)(0)(0)22f f f +-≥14，即21(0)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0， 由于f (0)是一个实数，所以1(0).2f =再令1x y z ===，有()211(1)(1)(1)22f f f +-≥14，即21(1)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0， 由于f (1)是一个实数，所以1(1).2f =又令0y z ==，有11(0)(0)()(0)22f f f x f +-≥14，代入1(0)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≤12． ①又令1y z ==，有11()()()(1)22f x f x f x f +-≥14，代入1(1)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≥12． ②综合①、②可得，对任意实数x ，都有1()2f x =．验证：函数1()2f x =满足题设条件，取的是等号，所以满足题设条件的函数的唯一解为1()2f x =．于是[][][][]1(1)2(2)3(3)2011(2011)f ff f ⨯+⨯+⨯++⨯ 1234201122222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦011223310051005=+++++++++()21231005=⨯++++(11005)1005=+⨯1011030=．。
2011年北京市某校高考适应性考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设全集U ={4, 5, 6, 7, 8}，集合M ={5, 8}，N ={1, 3, 5, 7, 9}，则N ∩(C U M)=( )A {5}B {7}C {5, 7}D {5, 8}2. 复数z 满足z(1+i)=−2i ，则复数z 为（ ）A −1−iB −1+iC 1−iD 1+i3. 在边长为2的正△ABC 内随机取一点，取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率为( ) A √3 B 2√3C 1−2√3D √3−1 4. 平面向量a →与b →的夹角为60∘，a →=(1, 0)，|b →|=2，则|2a →−b →|=( )A √3B 2√3C 1D 25. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据计算，该几何体的体积是（ ）A 2B 3C 6D 126. 在三棱锥P −ABC 中，△PAB 、△PBC 、△PAC 、△ABC 中是直角三角形的最多有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个7. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(x ∈R,ω>0)的最小正周期为π，将y =f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是（ ）A π2B 3π8C π4D π88. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N ∗)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数．下列不是一阶格点函数的是（ ）A f(x)=sinxB f(x)=π(x −1)2+3C f(x)=(13)xD f(x)=log 0.6x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 高三某班有50名学生，其中男生30人，女生20人，为了调查这50名学生的身体状况，现采取分层抽样的方法，抽取一个容量为20的样本，则男生被抽取的人数是________人．10. 在△ABC 中的内角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b =2，cosA =−513，求sinB=________．11. 不等式组{2x+y−6≤0x+y−3≥0y≤2表示的平面区域为M，若函数y=kx+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是________．12. 如图所示的流程图，若输出的结果是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为________．13. 已知双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一个焦点F与抛物线y2=12x的焦点重合，则a=________，双曲线上一点P到F的距离为2，那么点P到双曲线的另一个焦点的距离为：________．14. 设a1，a2，…，a n是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则n的值为：________，由所有a1d的值组成的集合为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，ccosA=b（1）求角C的大小，（2）求sinA+sinB的取值范围．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB．点E是PD的中点．（1）求证：AE // 平面PBC；（2）求证：平面ABE⊥平面PCD．17. 在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 3=4，前三项的和为28．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足：b n =log 2a n ，b 1+b 2+...+b n =S n ，求S 11+S 22+⋯+S n n 取最大时n的值．18. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2在x =1处的切线与直线x +3y +1=0垂直，（1）若x =23是函数f(x)的极值点，求f(x)的解析式； （2）若函数f(x)在区间[32，2]上单调递增，求实数b 的取值范围．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率√32，椭圆C 上任一点到两个焦点的距离和为4，直线l 过点P(1, 0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求椭圆C 的方程；（2） 若AP →=λPB →，试求实数λ的取值范围．20. 设a 1，a 2，…，a n 为1，2，…，n 按任意顺序做成的一个排列，f k 是集合{a i |a i <a k , i >k}元素的个数，而g k 是集合{a i |a i >a k , i <k}元素的个数(k =1, 2,…,n)，规定f n =g 1=0，例如：对于排列3，1，2，f 1=2，f 2=0，f 3=0（1）对于排列4，2，5，1，3，求∑fk n k=1 （2）对于项数为2n −1 的一个排列，若要求2n −1为该排列的中间项，试求∑g k n k=1的最大值，并写出相应得一个排列（3）证明∑fk n k=1=∑g k n k=1．2011年北京市某校高考适应性考试数学试卷（文科）答案1. B2. A3. C4. D5. C6. D7. D8. C9. 1210. 813 11. [−13，1]12. 1613. 2,614. 4,{−4, 1}15. 解：（1）由正弦定理c sinC =b sinB =2R 得：c =2RsinC ，b =2RsinB ，∴ ccosA=b变形为：2RsinCcosA=2RsinB，即sinCcosA=sinB，又sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)，∴ sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，即sinAcosC=0，又A和C为三角形的内角，∴ A≠0，即sinA≠0，∴ cosC=0，则C=π2；（2）∵ C=π2，∴ A+B=π2，∴ B=π2−A，则sinA+sinB=sinA+sin(π2−A)=sinA+cosA=√2sin(A+π4)，∵ A∈(0, π2)，∴ A+π4∈(π4, 3π4)，∴ sin(A+π4)∈(√22, 1]，则√2sin(A+π4)∈(1, √2]，即sinA+sinB∈(1, √2]．16. 解：（1）取PC的中点F，连接BF，EF ∵ 点F为PC的中点，点E为PD的中点∴ EF= // 12CD而AB // CD，CD=2AB．∴ EF= // EF即四边形EFBA为平行四边形∴ AE // BF而AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC∴ AE // 平面PBC；（2）∵ PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD∴ AB⊥PA，而AB⊥AD，AD∩PA=A∴ AB⊥面PAD，而AE⊂平面PAD∴ AB⊥AE而AB // CD∴ AE⊥CD∵ PA =AD ，点E 是PD 的中点∴ AE ⊥PD ，而PD ∩CD =D∴ AE ⊥平面PCD而AE ⊂平面ABE∴ 平面ABE ⊥平面PCD17. 解：（1）设公比为q ，则有a 3=4，前三项的和为28，知{a 1q 2=4a 1(1−q 3)1−q =28， 解得a 1=16，q =12，或a 1=36，q =−13．∵ 等比数列{a n }各项都为正数，∴ a 1=36，q =−13不合题意，舍去． ∴ a 1=16，q =12， a n =16×(12)n−1=32×(12)n ． （2）∵ a n =32×(12)n ， ∴ b n =log 2a n =log 2[32×(12)n ]=5−n ．S n =b 1+b 2+...+b n =4+3+2+...+(5−n)=n(9−n)2． ∴ S n n =9−n 2，∴ S 11+S 22+⋯+S n n =9−12+9−22+...+9−n 2=9n 2−n(n +1)2=−(12n 2−4n) =−12(n −4)2+8． ∴ n =4时，S 11+S 22+⋯+S n n 取最大值8．18. 解：（1）f(x)=x 3+ax 2+bx +2的导数为f′(x)=3x 2+2ax +b ．∵ f(x)在x =1处的切线与直线x +3y +1=0垂直，∴ f(x)在x =1处的切线斜率为3 ∴ f′(1)=3，即3+2a +b =3 ①又∵ x =23是函数f(x)的极值点，∴ f′(23)=0．即43+4a 3+b =0 ②由①②可得，a =2，b =−4∴ f(x)的解析式为f(x)=x 3+2x 2−4x +2（2）若函数f(x)在区间[32，2]上单调递增，则f′(x)≥0在区间[32，2]上恒成立， 由（1）可知，2a +b =0，∴ a =−12b ，代入f′(x)=3x 2+2ax +b ，得f′(x)=3x 2−bx +b∴ 3x 2−bx +b ≥0在区间[32，2]上恒成立．∴ b ≤3x 2x−1在区间[32，2]上恒成立 令g(x)=3x 2x−1，则g(x)=3(x−1)2+6(x−1)+3x−1=3(x −1)+3x−1+6， 当x ∈[32，2]时，3(x −1)+3x−1+6≥6+6=12，当且仅当x =2时，等号成立 ∴ 当x ∈[32，2]时，g(x)有最小值为12，∴ b ≤1219. 解：（1）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率√32，椭圆C 上任一点到两个焦点的距离和为4，∴ {c a =√322a =4a 2=b 2+c 2，解得a =2,c =√3，b =1，∴ 椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1．（2）∵ 直线l 过点P(1, 0)，①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程是x =1，此时AP →=PB →，λ=1；②当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程是y =k(x −1)，由{y =k(x −1)x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， △=64k 4−4(4k 2+1)(4k 2−4)=48k 2+16>0，直线与圆恒有公共点，下对参数的取值范围进行讨论当k =0时，A(2, 0)，B(−2, 0)，P(1, 0)，或B(2, 0)，A(−2, 0)，P(1, 0)，当A(2, 0)，B(−2, 0)，P(1, 0)时，AP →=(−1,0)，PB →=(−3,0)λmin =AP→PB →=13； 当B(2, 0)，A(−2, 0)，P(1, 0)时，AP →=(3,0)，PB →=(1,0)λmax =AP→PB →=3．∴ 实数λ的取值范围是[13, 3]．故实数λ的取值范围是[13, 3]． 20. 解：（1）∵ 排列4，2，5，1，3，f k 是集合{a i |a i <a k , i >k}元素的个数，∴ f 1=3，f 2=1，f 3=2，f 4=0，f 5=0， ∴ ∑fk n k=1=3+1+2+0+0=6． （2）当项数为2n −1 的一个排列，2n −1为该排列的中间项，前面有n 项，后面有n 项， ∴ 要求∑g k n k=1的最大值，只要使得排列满足n 到2n −2排列到2n −1的前面，1到n −1排列到2n −1的后面，∴ g 1=0，g 2=1，g 3=2，…g 2n−1=2n −2， ∴ ∑g k n k=1的最大值是(1+2n−2)(2n−2)2=(2n −1)(n −1)比如举一个包含7项的数列：6，5，4，7，3，2，1（3）∵ f k 是集合{a i |a i <a k , i >k}元素的个数， 而g k 是集合{a i |a i >a k , i <k}元素的个数(k =1, 2,…,n)， 规定f n =g 1=0，∴ f n−1=g 2f n−2=g 3…∴ f 1=g n ．∴ ∑f k n k=1=∑g k n k=1。
Pku13年数学卷1. 凸五边形ABCDE 满足1AB AE DC BC DE ===+=，90B E ∠=∠=︒，求这个五边形的面积。
2. 已知2()27f x x ax =-+，若存在,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，满足(sin )(cos )f f ϕϕ=，求参数a 的取值范围。
3. 函数2y x ax b =++的图象与坐标轴交于三个不同点,,A B C ，已知ABC ∆的外心位于直线y x =上，求a b +的值。
4. 已知等差数列{}n a 的前14项和1214...77a a a +++=，若111,a a 均为正整数，求18a 的值。
5. 一个班有n 个同学，每个同学都有一个信息希望通过短信告诉别人，若每次一个同学可以给另一同学发短信告诉他（她）自己已经知道的所有信息，问同学们至少一共需要发送多少条短信才能使每个同学都知道所有信息？14pku 英语60道机读选择近一半考词汇，还有demand 从句省略should 之类的语法点 完型一篇阅读三篇估计阅读是北大老师自己出的，因为设问方式比较奇怪，不过并不很难为人……一道15空的选词填空；一道10个空的短文改错；总的讲难度大概在四级上下，题型、考点都很常规数学 5道题，每道20分1、f(x)=ax^2+8x+b,g(x)=bx^2+8x+a,f(x)min+g(x)min=0,求f(x)min 、g(x)min2、sinx,siny,sinz 严格递增的等差数列，求证：cosx,cosy,cosz 构不成等差数列3、在实数域有定义的实值函数f(x),问是否存在f(n),对任意整数n ，f(-n^2+3n+1)=f(n)^2+24、抛物线上A 、B 两点，两点切线交点K ，A 、B 中点C ，求证：KC 中点在抛物线上5、正n 边形A1A2A3……An,在AkA(k+1)的延长线上取B(k+1),使所有的三角形A(k+1)B(k+1)B(k+2)周长相等，求证：所有的三角形A(k+1)B(k+1)B(k+2)全等 语文1、选择题：稀奇古怪的，举个例子：“不好吃”有几种意思？ A.1 B.2 C.3古代“反切”的注音方法哪个对联对得最差？ A.乌衣巷-朱雀桥B.云梦泽-波月亭C.孙行者-韩退之哪个简称的简化方式与另外三个不同？ A.北大B.清华C.南开D.复旦2、文言文翻译《淮南子·主术训》（30分）凡人之论心欲小而志欲大智欲员而行欲方能欲多而事欲鲜所以心欲小者虑患未生备祸未发戒过慎微不敢纵其欲也志欲大者兼包万国一齐殊俗并覆百姓若合一族是非辐凑而为之毂智欲员者环复转运终始无端旁流四达渊泉而不竭万物并兴莫不响应也行欲方者直立而不挠素白而不污穷不易操通不肆志能欲多者文武备具动静中仪举动废置曲得其宜无所击戾无不毕宜也事欲鲜者执柄持术得要以应众执约以治广处静持中运于璇枢以一合万若合符者也故心小者禁于微也志大者无不怀也智员者无不知也行方者有不为也能多者无不治也事鲜者约所持也3、阅读理解（20分）面朝大海，春暖花开海子从明天起，做一个幸福的人喂马，劈柴，周游世界从明天起，关心粮食和蔬菜我有一所房子，面朝大海，春暖花开从明天起，和每一个亲人通信告诉他们我的幸福那幸福的闪电告诉我的我将告诉每一个人给每一条河每一座山取一个温暖的名字陌生人，我也为你祝福愿你有一个灿烂的前程愿你有情人终成眷属愿你在尘世获得幸福我只愿面朝大海，春暖花开一、结合第一节的几个意象，谈谈你对海子的幸福观的内涵的理解（8分）二、从二、三节，可以看出海子怎样的思想意境(7分)三、海子在完成此诗两个月之后就卧轨自杀了，谈谈你对写作与现实的差距的理解(5分)（我再也不想看见这首诗了……哭）4、作文（40分）近年来，北大清华的校园对游客、旅游团开放，游人众多，且乱丢垃圾，把大学弄得像农贸市场，影响了大学的教学、生活秩序。
