太奇考研数学(一)二模考试

2025届山西省朔州市怀仁一中高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．5B ．3C ．2D ．22．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 23．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．2154．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．406．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．627．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．132- B 312i + C ．132+ D 312i - 9．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 10．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)123n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．156012．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

中考数学二模试卷（解析版）一、选择题1．下列各数中，比1大的数是（）A．0 B．﹣|﹣2|C．D．﹣32．2016年3月9日，谷歌人工智能ALPHAGO在与韩国棋手李世石的人机大战中获胜，震惊世界，据资料记载，人工智能ALPHAGO的计算能力达到每秒275万亿次，将275万亿用科学记数法表示为（）A．275×1012B．2.75×1014C．2.75×1013D．2.75×10123．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．菱形 C．正三角形 D．正六边形4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次测试成绩的众数是55分C．该班学生这次测试成绩的中位数是60分D．该班学生这次测试成绩的平均数是59分6．由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是（）A．15cm2B．18cm2C．21cm2D．24cm27．已知关于x的一元二次方程﹣ax+a2+=0，则这个方程根的情况是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．根的情况不确定8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题9．计算：20++|﹣2|=______．10．如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的角平分线，∠2=65°，则∠1的度数是______．11．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，若x1＞x2＞1，则y1，y2的大小关系是______．12．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则其中每一个小长方形的面积为______cm2．13．在一个暗盒中放有若干个白色球和2个黑色球（这些球除颜色外无其他区别），若从中随机取出1个球是白色的概率是0.6，那么在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的概率是______．14．如图，已知⊙O的半径为2，从⊙O外的点C作⊙O的切线CA和CB，切点分别为点A和点D，若∠ACB=90°，BC=2，则图中阴影部分的面积是______．15．如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，将△DCE沿DE折叠，点C落在正方形内的点F处，则△BEF的面积为______．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分)16．先化简（+）÷，然后从不等式组的整数解中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．17．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）连接AF，CE．①当EF和AC满足条件______时，四边形AFCE是菱形；②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是______．18．随着智能手机的普及，QQ、微博、微信等新型社交平台的兴起，在公共场所的“低头族”越来越多，针对“您如何人看待低头族”的问题，晨光数学小组在全校范围内进行了随机调查，（1）本次接受调查的总人数是______人；（2）通过计算，将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，观点“D”的百分比是______，“B”所对应的圆心角的度数是______；（4）估算在全校3000名学生中，对“低头族”表示不赞同的人数．19．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数y=的图象中的一支经过线段OA上一点M，交AB于点N，已知OM=2AM．（1）求反比例函数的解析式；（2）若直线MN交y轴于点C，求△OMC的面积．20．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC边上一点，且DA=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=12，求⊙O的直径．21．（10分）（2016•新乡二模）某通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案：方案A：按流量计费，0.1元/M；方案B：20元流量套餐包月，包含500M流量，如果超过500M，超过部分按流量计费，如果用到1000M时，超过1000M的流量不再收费；方案C：120元包月，无限制使用．用x表示每月上网流量（单位：M），y表示每月的流量费用（单位：元），方案B和方案C 对应的y关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：（1）写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象；（2）直接写出方案B的函数解析式；（3）根据三种优惠方案，结合每月的上网流量数，请你给出经济合理的选择方案．22．（10分）（2016•新乡二模）问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B 运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D做DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH．再证GH=CF，从而求得的值为______．（2）类比探究如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值（直接写出结果，不必写解答过程）．23．（11分）（2016•新乡二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中B（6，0），与y轴交于点C（0，8），点P是x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合）．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，点E关于直线PC的对称点为E′，若点E′落在y轴上（不与点C重合），请判断以P，C，E，E′为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下直接写出点P的坐标．中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列各数中，比1大的数是（）A．0 B．﹣|﹣2|C．D．﹣3【考点】实数大小比较．【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．【解答】解：如图所示，，由图可知，四个数中只有比1大．故选C．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．2．2016年3月9日，谷歌人工智能ALPHAGO在与韩国棋手李世石的人机大战中获胜，震惊世界，据资料记载，人工智能ALPHAGO的计算能力达到每秒275万亿次，将275万亿用科学记数法表示为（）A．275×1012B．2.75×1014C．2.75×1013D．2.75×1012【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：275万亿=27500000000000=2.75×1014，故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．菱形 C．正三角形 D．正六边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；D、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．【解答】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．A．该班一共有40名同学B．该班学生这次测试成绩的众数是55分C．该班学生这次测试成绩的中位数是60分D．该班学生这次测试成绩的平均数是59分【考点】众数；加权平均数；中位数．【分析】结合表格根据众数、中位数、平均数的概念求解．【解答】解：该班人数为：2+6+10+7+6+5+4=40，得55分的人数最多，众数为55，第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：（60+60）÷2=60，平均数为：（45×2+50×6+55×10+60×7+65×6+68×5+70×4）÷40=59.25．故错误的为D．故选D．【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．6．由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是（）A．15cm2B．18cm2C．21cm2D．24cm2【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有2+1=3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是3+1=4个．所以表面积为3×6=18cm2．故选：B．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．7．已知关于x的一元二次方程﹣ax+a2+=0，则这个方程根的情况是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．根的情况不确定【考点】根的判别式．【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=a2﹣4××（a2+）=﹣a2﹣1＜0，∴方程没有实数根；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE、BE，然后表示出PE、QE，再求出点Q到AD的距离，然后根据三角形的面积公式表示出y与x的关系式，再根据二次函数图象解答．【解答】解：∵∠ABE=45°，∠A=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=2，BE=AB=2，∵BE=DE，PD=x，∴PE=DE﹣PD=2﹣x，∵PQ∥BD，BE=DE，∴QE=PE=2﹣x，又∵△ABE是等腰直角三角形（已证），∴点Q到AD的距离=（2﹣x）=2﹣x，∴△PQD的面积y=x（2﹣x）=﹣（x2﹣2x+2）=﹣（x﹣）2+，即y=﹣（x﹣）2+，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象，求出点Q到AD的距离，从而列出y与x的关系式是解题的关键．二、填空题9．计算：20++|﹣2|=3+．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式20++|﹣2|的值是多少即可．【解答】解：20++|﹣2|=1+2+2﹣=3+故答案为：3+．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a ≠0）；②00≠1．10．如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的角平分线，∠2=65°，则∠1的度数是130°．【考点】平行线的性质．【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BOM的度数，又由OM 是∠BOF的平分线，即可求得∠BOF的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠1的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠2=65°，∴∠BOM=∠2=65°，∵OM是∠BOF的平分线，∴∠BOF=2∠BOM=130°，∵AB∥CD，∴∠1=∠BOF=130°．故答案为：130°．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等定理的应用．11．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，若x1＞x2＞1，则y1，y2的大小关系是y1＜y2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据a=﹣2＜0以及抛物线的对称轴为x=1，可找出在x＞1上，y随x的增大而减小，再结合x1＞x2＞1，即可得出结论．【解答】解：∵a=﹣2＜0，抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3的对称轴为x=1，∴在x＞1上，y随x的增大而减小，∵x1＞x2＞1，∴y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质找出其单调区间是关键．12．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则其中每一个小长方形的面积为27 cm2．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽=12cm，小长方形的长+小长方形宽的3倍=小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小正方形的长与宽，最后求得小正方形的面积．【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，则可列方程组组，解得．则一个小正方形的面积=3cm×9cm=27cm2．故答案为：27【点评】此题主要考查了二元一次方程组应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小长方形的长与宽的关系．13．在一个暗盒中放有若干个白色球和2个黑色球（这些球除颜色外无其他区别），若从中随机取出1个球是白色的概率是0.6，那么在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的概率是0.3．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】首先设有x个白球，由概率公式可得：=0.6，解此方程即可求得白球的个数，再根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的情况，继而求得答案．【解答】解：设有x个白球，根据题意得：=0.6，解得：x=3，经检验：x=3是原分式方程的解；画树状图得：∵共有20种等可能的结果，在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的有6种情况，∴在暗盒中随机取出2个球恰好都是白色球的概率是：=0.3．故答案为：0.3．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意利用方程思想求得白球的个数是关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，已知⊙O的半径为2，从⊙O外的点C作⊙O的切线CA和CB，切点分别为点A和点D，若∠ACB=90°，BC=2，则图中阴影部分的面积是3．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】连接OD、OE，证明四边形ACDO为正方形，得AC=OA=2，再求出∠ABC=30°，则∠OAB=∠ABC=30°，得出扇形OAE的圆心角为120°，作△AOE的高OF，求出OF和AE的长，利用面积公式就可以求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OD、OE，∵AC、BC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥BC，AC=CD，∴∠CAO=∠CDO=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形ACDO为正方形，在Rt△ACB中，∵AC=OA=2，BC=2，∴AB==4，∴∠ABC=30°，∵AO∥BC，∴∠OAB=∠ABC=30°，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=30°，∴∠AOE=120°，过O作OF⊥AB于F，∴OF=OA=×2=1，∴AF=，∴AE=2，∴S弓形=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×2×1=﹣，∴S阴影=S△ACB﹣S弓形=×﹣（﹣）=3﹣；故答案为：3．【点评】本题考查了切线的性质和切线长定理，要明确以下几点：①若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，②扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长），③勾股定理；对于求图形阴影部分的面积，要仔细观察图形，将不规则图形面积转化为规则图形的面积．15．如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，将△DCE沿DE折叠，点C落在正方形内的点F处，则△BEF的面积为．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【分析】延长EF交AB于点G，连接GD，过点B作BH⊥EF，垂足为H．由折叠得到结论，用HL判断出Rt△DAG≌Rt△DFG，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，在△BEG中，依据勾股定理列方程可求得x的值，接下来，在△BEG中，利用面积法可求得BH的长，最后应用三角形面积公式求解即可．【解答】解：如图所示：延长EF交AB于点G，连接GD，过点B作BH⊥EF，垂足为H．由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△DAG≌Rt△DFG，∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4，∴AG=GF=4，BG=8，GE=10，∴BH===．∴S△BEF=EF•BH=×6×=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分)16．先化简（+）÷，然后从不等式组的整数解中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【分析】根据分式的乘除法法则和约分法则把原式化简，根据解一元一次不等式组的步骤解出不等式组，从解集中选取使分式有意义的值代入计算即可．【解答】解：原式=×=，，解①得，x＞﹣，解②得，x＜，则不等式组的解集为：﹣＜x＜，当x=2时，原式==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值和一元一次不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则和约分法则是解题的关键．17．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）连接AF，CE．①当EF和AC满足条件EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，证出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．（2）①先证明四边形AFCE是平行四边形，由EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形；②由矩形的性质得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．∵O是AC的中点，∴OA=OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴AE=CF．（2）解：①当EF和AC满足条件EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下：如图所示：∵AE∥CF，AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；②若四边形AFCE为矩形，则EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，∵AB=1，BC=2，∠B=60°，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=，∴AF=BF=，CF=2﹣=，∴AC===，∴EF=；故答案为：．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质、矩形的性质是解决问题的关键．18．随着智能手机的普及，QQ、微博、微信等新型社交平台的兴起，在公共场所的“低头族”越来越多，针对“您如何人看待低头族”的问题，晨光数学小组在全校范围内进行了随机调查，（1）本次接受调查的总人数是200人；（2）通过计算，将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，观点“D”的百分比是24%，“B”所对应的圆心角的度数是126°；（4）估算在全校3000名学生中，对“低头族”表示不赞同的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据A类观点人数除以A类所占的百分比，可得调查的人数；（2）根据调查的总人数及C类别百分比，可得C类别人数，补全条形统计图；（2）根据D类别人数除以调查总人数可得观点“D”的百分比，B类人数除以调查人数，再乘以360°，可得答案；（3）用样本中观点C、D的人数所占比例乘以总人数可得．【解答】解：（1）本次接受调查的总人数为58÷29%=200（人），故答案为：200．（2）持“C”意见的人数为：200×12%=24（人），补全条形图如下：；（3）观点“D”的百分比为：×100%=24%，“B”所对应的圆心角的度数是：×360°=126°，故答案为：24%，126°；（4）3000×（12%+24%）=1080（人），答：估算在全校3000名学生中，对“低头族”表示不赞同约有1080人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数y=的图象中的一支经过线段OA上一点M，交AB于点N，已知OM=2AM．（1）求反比例函数的解析式；（2）若直线MN交y轴于点C，求△OMC的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）过点M作MH⊥x轴于点H．得出MH∥AB，那么△OMH∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例求出点M的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）先由AB⊥x轴，A（3，4），得出N点横坐标为3．再把x=3代入y=，求出N点坐标，得到AN的值，根据OC∥AN，得出==2，求出OC，然后根据△OMC的面积=OC•OH，代入数值计算即可．【解答】解：（1）过点M作MH⊥x轴于点H．∵AB⊥x轴于点B，∴MH∥AB，∴△OMH∽△OAB，∴==．∵A点的坐标是（3，4），OM=2AM，∴OB=3，AB=4，=，∴OH=2，MH=，∴M（2，）．∵点M在反比例函数y=的图象上，∴k=2×=，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵AB⊥x轴，A（3，4），∴N点横坐标为3．把x=3代入y=，得y=，∴N点坐标为（3，），∴AN=4﹣=．∵OC∥AN，∴==2，∴OC=2AN=，∴△OMC的面积=OC•OH=××2=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等知识，正确求出函数解析式是解题的关键．20．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC边上一点，且DA=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=12，求⊙O的直径．【考点】切线的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC==，设DF=4x，DC=5x，∴CF==3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴=，即=，解得AE=，即⊙O的直径为．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．21．（10分）（2016•新乡二模）某通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案：方案A：按流量计费，0.1元/M；方案B：20元流量套餐包月，包含500M流量，如果超过500M，超过部分按流量计费，如果用到1000M时，超过1000M的流量不再收费；方案C：120元包月，无限制使用．用x表示每月上网流量（单位：M），y表示每月的流量费用（单位：元），方案B和方案C 对应的y关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：（1）写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象；（2）直接写出方案B的函数解析式；（3）根据三种优惠方案，结合每月的上网流量数，请你给出经济合理的选择方案．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据流量计费单价即可解决．（2）根据方案B函数的图象经过（500，20），（1000，130），先求出中间段直线的解析式，再写出分段函数解析式．（3）画出图象，根据关键点，利用函数图象解决问题．【解答】解：（1）方案A的函数解析式为y=0.1x，图象如图所示．（2）如图可知方案B函数的图象经过（500，20），（1000，130），可以求出中间段直线的解析式为y=0.22x﹣90，∴方案B的解析式为y=，（3）如图设方案A的函数图象与方案B的函数图象交于点M、N，与方案C函数图象的交于点Q，则M（200，20），N（750，75），Q（1200，120），因此，上网流量在200M以下的选用方案A，上网流量在200M和750M之间的选用方案B，上网流量在750M和1200M之间的选用方案A，上网流量在1200以上M的选用方案C，上网流量在200M或750M的选用方案A或B费用一样，上网流量是1200M的选用方案A或C费用一样．【点评】本题考查一次函数的应用、分段函数、等知识解题的关键是灵活掌握待定系数法解决问题，学会利用函数图象比较函数值的大小，属于中考常考题型．22．（10分）（2016•新乡二模）问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B 运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D做DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH．再证GH=CF，从而求得的值为2．（2）类比探究如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值（直接写出结果，不必写解答过程）．【考点】三角形综合题．（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，由题意知△AGD是等边三角形，所以AD=GD，【分析】所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三线合一可知：AH=GH，所以；（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，由点D，E的运动速度之比是可知GD=CE，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，所以；（3）类似（1）（2）的方法可求出和=m，然后利用GH+FG=m（AH+FC）=m（AC﹣HF）即可求出的比值．【解答】解：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，∴AD=GD，由题意知：CE=AD，∴CE=GD。

线性代数知识点总结线性代数知识点总结1线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。

下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对20__考研的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。

矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。

考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

考研数学二（解答题）模拟试卷114(题后含答案及解析)题型有：1.1．求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续2．某产品的次品率为0．1，检验员每天检验4次．每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备．以X表示一天中调整设备的次数，且诸产品是否为次品是相互独立的，求E(X)．正确答案：引入随机变量Xi，i=1，2，3，4。

设Xi=．则X=X1+X2+X3+X4．又设第i次检验时发现的次品数为Yi，Yi～B(10，0．1)．P{Xi=0}=P{Yi=0}+P{Yi=1}=C100(0．1)0(1—0．1)10+C101(0．1)(1-0．1)9=1．9×0．99，P{Xi=1}=1-0．99×1．9，E(Xi)=0．2639，所以E(X)=4E(Xi)=1．0556．涉及知识点：概率论与数理统计3．设f(χ)＝χ(χ－1)(χ＋2)(χ－3)…(χ＋100)，求f′(0)．正确答案：由f′(χ)＝(χ－1)(χ＋2)…(χ＋100)＋χ(χ＋2)…(χ＋100)＋…χ(χ－1)…(χ－99)，得f′(0)＝(－1).2.(－3).….100＝100!．涉及知识点：导数与微分4．已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．正确答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，则f(x)=x2一Ax+2B，两边在[0，2]上积分得涉及知识点：高等数学5．设A是n阶非零实矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．正确答案：因为A*=AT，按定义有Aij=aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代数余子式．由于A≠0，不妨设a11≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0．于是A=(α1，α2，…，αn)的n个列向量线性无关．那么对任－n维列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β线性相关．因此β必可由α1，α2，…，αn线性表出．涉及知识点：向量组的线性关系与秩6．设n为自然数，试证：正确答案：右端不等式等价于证明从而，当x＞0时，f’(x)单调增，且当x→+∞时，f’(x)趋于零，所以，当x＞0时，f’(x)＜0．进而知当x＞0时，f(x)单调减，且当x→+∞时，f(x)趋于零，于是，当x＞0时，f(x)＞0．所以，对一切自然数n，恒有f(n)＞0，故有从而右端不等式成立．类似地，引入辅助函数类似可证明：当x＞0时，g(x)＜0，从而对一切自然数n，左端不等式成立．涉及知识点：一元函数微分学7．求极限正确答案：涉及知识点：高等数学8．设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．正确答案：必要性：设BTAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的n维实列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0．于是，Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n.充分性：因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故BTAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0．于是当x≠0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)＞0，故BTAB为正定矩阵．涉及知识点：二次型9．计算二重积分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}。

考研数学（数学二）模拟试卷390(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．把当x→0时的无穷小量α=In(1+x2)一In(1一x4)，β=∫02tantdt，γ=arctanx一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．γ，α，β．C．α，γ，β．D．γ，β，α．正确答案：C解析：我们分别确定当x→0时，α、β、γ分别是x的几阶无穷小．当x →0时α=ln(1+x2) 一ln(1一x4) ～x2，因为ln(1+x2)一x2ln(1一x4)～一x4=o(x2)这表明当x→0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而γ是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α，γ；β的次序．故应选C．2．设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f’(x0)g’(x0)＜0，则A．x0不是f(x)g(x)的驻点．B．x0是f(x)g(x)的驻点，但不是f(x)g(x)的极值点．C．x0是f(x)g(x)的驻点，且是f(x)g(x)的极小值点．D．x0是f(x)g(x)的驻点，且是f(x)g(x)的极大值点．正确答案：D解析：由于[f(x)g(x)]’｜x=x0=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)=0，因此x=x0是f(x)g(x)的驻点，进一步考察是否是它的极值点．x∈(x0—δ，x0)时f(x)＞0(＜0)，g(x)＜0(＞0)→x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)g(x)＜0=f(x0)g(x0)→x=x0是f(x)g(x)的极大值点．因此选D．3．设f(x)=∫0x2et2dt，g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F’(0)=A．4e．B．4．C．2．D．2e．正确答案：A解析：故应选A．4．曲线的拐点的个数为A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．正确答案：D解析：5．已知累次积分其中a＞0为常数，则，可写成A．B．C．D．正确答案：C解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分的问题.先将I表成由D的极坐标表示6．设函数F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F’(x0，y0)=0，Fy’(x0，y0)＞0，Fxx’’(x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则A．y(x)以x=x0为极大值点．B．y(x)以x=x0为极小值点．C．y(x)在x=x0不取极值．D．(x0，y(x0))是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：按隐函数求导法，y’(x)满足令x=x0，相应地y=y0由Fx’(x，y)=0，Fy’(x0，y0)≠0得y’(x0)=0．将上式再对x求导并注意y=y(x)即得再令x=x0，相应地y=y0得因此x=x0是y=y(x)的极小值点．故选B．7．设A是3阶矩阵，特征值为1，一1，一2，则下列矩阵中可逆的是A．A+E．B．A—E．C．A+2E．D．2A+E．正确答案：D解析：根据性质：λ是A的特征值不可逆．由1，一1，一2都是特征值，得到A一E，A+E，A+2E都不可逆．而一1／2不是特征值，A+(1／2)E可逆，因此2A+E=2[A+(1／2)E]可逆．8．已知向量组α1,α2,α3和β1，β2，β3，β4都是4维实向量，其中α1,α2,α3线性无关，每个βi都是与α1,α2,α3都正交的非零向量．则r(β1，β2，β3，β4)=A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：A解析：构造矩阵A=(α1,α2,α3)，则β都是与α1,α2,α3正交说明βi都是4元方程组ATx=0的解.再由α1,α2,α3线性无关，得r(AT)=r(A)=3，于是ATx=0的解集合的秩为1，从而r(β1，β2，β3，β4)=1．填空题9．设y=f(x)在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线y=f(x)在点P(1，1)处的曲率圆方程为x2+y2=2，则f’’(1)=_______．正确答案：一2．解析：y=f(x)在点P处的切线与OP垂直，OP斜率为1→f’(1)=一1．点P处y=f(x)的曲率半径为，故曲线y=f(x)在点P处的曲率为，于是按曲率计算公式→由于曲率中心在曲线y=f(x)凹的一侧→f’’(1)＜0(y=f(x)在(1，1)邻域是凸的)．因此f’’(1)=一2．10．设f’’(x)=arcsin(1-x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=_________．正确答案：解析：已知f’(x)=aresin(x一1)，求I=∫02f(x)dx，我们不必先求出f(x)，而是把求，转化为求与f’(x)有关的定积分，就要用分部积分法．或把，再积分．利用分部积分法可得11．设有摆线x=φ(t)=t—sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)的第一拱L，则L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积S=________．正确答案：解析：由旋转面面积公式得12．设u=u(x，y)满足则u(x，y)=_______．正确答案：，c(y)为y的任意函数．解析：偏导数实质上是一元函数函数的导数．当y任意给定时就是一阶线性常微分方程13．已知当x＞0与y＞0时则函数f(x，y)在点(x，y)=(1，1)处的全微分df｜(1,1)=______．正确答案：解析：由于令x=1，y=1就有14．已知A是3阶矩阵，A的特征值为1，2，3．则(A*)*的最大特征值为________．正确答案：18解析：｜A｜=1×2×3=6，于是A的特征值为6，3，2，｜A*｜=36．则(A*)*的特征值为6，12，1 8，最大的是18．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学（数学二）模拟试卷390(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列无穷小中阶数最高的是( )．A．eχ－etanχB．ln(1＋2t)dtC．In(1＋χ)－sinχD．－1正确答案：B解析：eχ－etanχ＝etanχ(eχ-tanχ－1)～χ－tanχ. 因为，所以eχ－etanχ～－χ3；故选B.2．下列命题正确的是( )．A．若f(χ)在χ0处可导，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)可导B．若f(χ)在χ0处连续，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)连续C．若存在，则f(χ)在χ0处可导D．若f(χ)在χ0的去心邻域内可导f(χ)在χ0处连续，且f′(χ)存在，则f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)＝f′(χ)正确答案：D解析：令f(χ＝) 得f(χ)在χ＝0处可导(也连续). 对任意的a＝0f(χ)不存在，所以f(χ)在χ＝a处不连续，当然也不可导，即χ＝0是f(χ)唯一的连续点和可导点，选项A、B不对；令f(χ)＝显然＝0，因为f(χ)＝0≠f(0)，所以f(χ)在χ＝0处不连续，当然也不可导，C项不正确；因为f(χ)在χ0处连续且在χ0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(χ)－f(χ0)＝f′(ξ)(χ－χ0)或者＝f′(ξ)，其中ξ介于χ0与χ之间，两边取极限得存在，即f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)＝f′(χ)，故选D.3．下列说法中正确的是( )．A．若f′(χ)f′(0)＝－1＜0，f′(χ)＝－1＋2χsin，当χ＝(k∈N)时，f′(χ)＞0f(χ)在χ＝0的任意邻域内都不单调减少，选项A不对；f(χ)在χ＝0处取得极大值，但其在χ＝0的任一邻域内皆不单调，选项B不对；f(χ)在χ＝1处取得极大值，但f(χ)在χ＝1处不连续；由f〞(0)存在，得f′(0)存在，又f(χ)为偶函数，所以f′(0)＝0，所以χ＝0一定为f(χ)的极值点，故选D.4．设δ＞0，f(χ)在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，且｜f(χ)｜≤χ2，记I＝∫-δδf(χ)dχ，则有( )．A．I＝0B．I＞0C．I＜0D．不能确定正确答案：B解析：因为｜f(χ)｜≤χ2，所以f(0)＝0，由｜f(χ)｜≤χ2，得0≤｜｜≤｜χ｜，由夹逼定理得f′(0)＝0．由泰勒公式得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0与χ之间，因为在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，所以I＝＞0，故选B．5．设f有一阶连续的偏导数，且f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，则χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)为( )．A．2χ2－8χy－2y2B．－2χ2＋8χy－2y2C．2χ2－8χy＋2y2D．－2χ2＋8χy＋2y2正确答案：D解析：令χ＋y＝u，χ－y＝v，则χ＝(u＋v)，y＝(u＋v)，于是由f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，得f(u，v)＝4uv－u2＋v2，故f(χ，y)＝4χy－χ2＋y2，χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)＝χ(4y－2χ)＋y(4χ＋2y)＝－2χ2＋8χy＋2y2，选D．6．设f(χ)＝χ3－3χ＋k只有一个零点，则k的范围是( )．A．｜k｜＜1B．｜k｜＞1C．｜k｜＞2D．k＜2正确答案：C解析：f(χ)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零，由f′(χ)＝3(χ2－1)＝0，得驻点χ＝±1，且由图形可知，χ＝－1’为极大点χ＝1为极小点，故f(-1)＝2＋k＜0k＜－2，f(1)＝－2＋k＞0k＞2，所以选C.7．设.则B等于( ).A．P1P2-1AB．AP1P2-1C．P1AP2-1D．P2-1AP1正确答案：C解析：故选C.8．设A，B为n阶方阵，令A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β1，…，βn)，则下列命题正确的A．若矩阵A，B等价，则向量组α1，α2，…，αn，与向量组β1，β1，…，βn等价B．若A，B的特征值相同，则A，B等价C．若AX＝0与BX＝0同解，则A，B等价D．若A，B等价，则AX＝0与BX＝0同解正确答案：C解析：由A，B等价得r(A)＝r(B)，从而向量组α1，α2，…αn与向量组β1，β2，…βn的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选A；若A，B特征值相同，r(A)与r(B)不一定相等，从而A，B不一定等价，如：，显然A，B的特征值相同，但r(A)＝1≠r(B)＝2，故A，B不等价，不选B；若方程组AX＝0与BX＝0同解，则r(A)＝r(B)，从而A，B等价，反之不对，应选C.填空题9．＝________．正确答案：e解析：．10．已知函数z＝u(χ，y)eaχ+by，且＝0．若z＝z(χ，y)满足方程＋z＝0，则a＝________，b＝_______．正确答案：a＝1，b＝1解析：则a＝1，b＝1.11．设f(χ)为连续函数，且χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt，则＝_______．正确答案：[f(χ)－f(y)]－(χ＋y)解析：χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt两边对χ求偏导得2χ＋2z＝f(χ). 再将χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt两边对y求偏导得2y＋2z ＝f(y) 两式相加得z[f(χ)－f(y)]－(χ＋y)．12．摆线(a＞0．0≤t≤2π)绕χ轴旋转一周所成曲面的表面积为________．正确答案：解析：对[χ，χ＋dy][0，2πa]，ds＝2πy，于是s＝．13．微分方程χy′＝＋y(χ>0)的通解为_______．正确答案：arcsin＝lnχ＋C解析：由χy′＝＋y得，令u＝，则u＋χ，解得arcsinu＝lnχ＋C，原方程的通解为arcsin＝Inχ＋C．14．设A为三阶矩阵，其特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2·α3，令P＝(4α1，α2－α3，α2＋2α3)，则P-1(A*＋3E)P为________．正确答案：解析：因为A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，所以A*的特征值为μ1＝1，μ2＝μ3＝－2，A*＋3E的特征值为4，1，1，又因为4α1，α2－α3，α2＋2α3也为A的线性无关的特征向量，所以4α1，α2－α3，α2＋2α3也是A*＋3E的线性无关的特征向量，所以解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学（数学一）模拟试卷469(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设n为自然数，则=( )．A．nB．2nC．3nD．4n正确答案：D解析：由于注意到｜sint｜是以π为周期的函数，则故应选(D)．2．曲面z=+y2上平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程是( )．A．2x+y+z-3=0B．2x+2y-z-3=0C．2x+2y+z-3=0D．2x+2y-z+3=0正确答案：B解析：令F(x，y，z)=+y2-z，则F’x=x，F’y=2y，F’z=-1．由条件知所求平面的法向量n=(F’x，F’y，F’z)=(x，2y，-1)平行于已知平面的法向量，n1=(2，2，-1)，从而有，由此得x=2，y=1，z=+y2=3，即点(2，1，3)为切点，故所求切平面方程为2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即2x+2y-z-3=0．故应选(B)．3．设f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：排除法．对于(A)选项，取f(x)=｜x｜，则极限存在，但f(x)=｜x｜在x=0处不可导，故排除(A)；对于(C)选项，仍取f(x)=｜x｜，有极限存在，但f(x)在x=0处不可导，故排除(C)项；对于(D)选项，取f(x)=则极限存在，但f(x)在x=0不连续，从而f’(0)也不存在，故排除(D)项．故应选(B)．4．设是正项级数，下列结论中正确的是( )．A．若，则级数an收敛B．若存在非零常数λ，使得C．若级数D．若级数an发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：取an=发散，则排除(A)、(D)项；又取an=，排除(C)．故应选(B)．5．已知n维向量组(i)α1，α2，…，αs和(ii)β1，β2，…，βt的秩都为r，则下列命题中不正确的是( )．A．若s=t，则向量组(i)与(ii)等价B．若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C．若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向囊组(i)与(ii)等价D．若向量组(iii)：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r，则向量组(i)和(ii)等价正确答案：A解析：取向量组(i)：α1=则向量组(i)的秩为2，向量组(ii)的秩也为2．但显然(i)与(ii)不等价．故应选(A)．6．矩阵与( )相似．A．B．C．D．正确答案：D解析：令矩阵A=，则A的特征值为1和2．而(A)选项中矩阵的特征值为-1和-2，故矩阵A不与(A)选项的矩阵相似．又因为=2，而(B)选项中=0，(C)选项中=-2，故矩阵A不与(B)、(C)选项的矩阵相似．所以，矩阵A与(D)选项的矩阵相似．事实上，均与对角阵相似．再由相似的传递性，相似．故应选(D)．7．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(2，2)，Z～N(3，7)，记a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z)，则( )．A．a＜bB．a＞bC．a=bD．无法确定正确答案：A解析：因为X-Y～N(-1，4)，Y-Z～N(-1，9)，则a=P{X＜Y}=P{X-Y＜0}=b=P{Y＜Z)=P{Y-Z＜0)=由于分布函数Ф(x)单调增加，所以a＞b．故应选(A)．8．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值=20cm，样本标准差S=1cm，则μ的置信度为0．90的置信区间是( )．(其中ta(n是上侧分位点)A．B．C．D．正确答案：C解析：由正态总体抽样分布的性质知，，故μ的置信度为0．90的置信区间是故应选(C)．填空题9．欧拉方程x2y’’+xy’-4y=x3的通解为___．正确答案：y=C1x2+x解析：令x=et，则原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e3t，即(D2-4)y=e3t，(*)方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r2-4=0，有根r1=2，r2=-2，故齐次方程的通解为Y=C1e2t+C2e-2t=C2x2+因为f(t)=e3t，λ=3不是特征方程的根，故可令y*=ae3t是方程(*)的一个特解，代入原方程x2y’’+xy’-4y=x3中，解得a=，即y*=e3t，因此原方程的通解为y=Y+y*=C1x2+x3．故应填y=C1x2+x3．10．幂级数的收敛半径为________．正确答案：或e-1解析：利用比值法或根值法先求l，再由R=即可．由于则R=11．设数量场，则div(gradu)=________．正确答案：解析：由题可得12．直线L1：x-1=的夹角为_______．正确答案：arccos解析：先利用两向量的向量积求出L2的方向向量，再由数量积便可得．L1的方向向量S1={1，2，1}，L2的方向向量S2为S2==-i-j+2k，因此所求夹角a 满足：则a=arccos故应填arccos13．设Dn=，则Dn中所有元素的代数余子式之和为______．正确答案：n!解析：利用公式Dn=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin，0=ai1Ai1+ai2Aj2+…+ainAjn(i ≠j)．因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以1.A11+1.A12+…+1.A1n=Dn=n!．因第一行元素与第i(i≥2)行对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1.Ai1+1.Ai2+…+1.Ain=0．故所有元素代数余子式之和为n!．故应填n!．14．设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，若估计量(Xi+1-Xi)2是总体方差σ2的无偏估计量，则k=________．正确答案：解析：令=σ2，从而得到k．(Xi+1-Xi)2]=E[(Xi+1-Xi)2]={D(Xi+1-Xi)+[E(Xi+1-Xi)]2}= 2σ2=2k(n-1)σ2，令故应填解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（高等数学）模拟试卷239(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列关于反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是①设f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，则f－∞＋∞(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝0；②设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且∫-RRf(χ)dχ存在，则∫－∞＋∞f(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫-RRf(χ)dχ；③若∫－∞＋∞f(χ)dχ与∫－∞＋∞g(χ)dχ都发散，则∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ未必发散；④若∫－∞0f(χ)dχ与∫0＋∞f(χ)dχ都发散，则∫－∞＋∞f(χ)dχ未必发散．A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．正确答案：A解析：反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ收敛的充分必要条件是存在常数a，使两个反常积分∫－∞af(χ)dχ和∫a＋∞f(χ)dχ都收敛．这时定义∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫－∞af(χ)dχ＋∫a＋∞f(χ)dχ这是判断题目中四个命题是否是真命题的依据．设f(χ)＝χ，则f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，且∫-RRf(χ)dχ＝0．但是∫－∞0f(χ)dχ＝∫－∞0χdχ＝∞，∫0＋∞f(χ)d χ＝∫0＋∞χdχ＝∞，故∫－∞＋∞f(χ)dχ发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(χ)＝χ，g(χ)＝－χ，由上面讨论可知∫－∞＋∞f(χ)d χ与∫－∞＋∞g(χ)dχ都发散，但∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ收敛，这表明命题③是真命题．故应选A．知识模块：高等数学2．微分方程y〞－4y′＝2cos22χ的特解可设为A．Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．B．A＋B1cos4χ＋B2sin4χ．C．B1cos22χ＋B2sin22χ．D．B1cos4χ＋B2sin4χ．正确答案：A解析：原方程右端的非齐次项f(χ)＝1＋cos4χ，原方程相应齐次方程的特征方程是λ2－4λ＝0，特征根λ1＝0，λ2＝4．利用解的叠加原理：相应于非齐次项f1(χ)＝1，有形式为y1*(χ)＝Aχ(λ1＝0为单特征根)的特解，A 为待定常数；相应于非齐次项f2(χ)＝cos4χ，有形式为y2*(χ)＝B1cos4χ＋B2sin4χ的特解，B1，B2为待定常数．因此，原方程的特解可设为Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．应选A．知识模块：高等数学3．下列函数z=＝f(χ，y)在点(0，0)处不可微的是A．f(χ，y)＝｜χy｜．B．f(χ，y)＝．C．D．正确答案：B解析：这四个函数的共同点是：f(0，0)＝0，因为，对选项A，B，C都有对于选项D：在①式条件下，f(χ，y)在点(0，0)处可微f(△χ，△y)＝o(ρ)(ρ→0)无穷小量(ρ→0)，其中ρ＝．考察选项，由(χ．y)在点(0．0)处不可微．故应选B．知识模块：高等数学填空题4．设f(χ)＝则∫01f(χ)dχ＝_______．正确答案：sin1解析：由题设可知f(χ)在点χ＝0处不连续，但显然函数F(χ)＝是f(χ)的一个原函数．因为f(χ)在[0，1]上是只有一个间断点χ＝0的有界函数，所以在[0，1]上可积，从而∫01f(χ)dχ＝F(χ)｜01sin1．知识模块：高等数学5．若在f(χ)＝的原函数F(χ)的表达式中不包含对数函数，则常数a和b 必须满足条件_______．正确答案：a任意且b＝1．解析：按真分式的分解公式，有其中A，B，C，D为待定常数．从而F(χ)＝Aln｜1＋χ｜－ln(1+＋χ2)＋Darctanχ＋α，上式中α为任意常数．由此可见，要使F(χ)的表达式不包含对数函数，其充分必要条件为即χ2＋aχ＋b＝B(1＋χ2)＋D(1＋χ)2＝(B＋D)χ2＋2Dχ＋BχD 1＝B＋D，a＝2D，b＝B＋D 2D，b＝1，即a任意且b＝1．知识模块：高等数学6．∫(－χπ(χ＋cosχ)3dχ_______．正确答案：－12π解析：利用对称区间上奇偶函数定积分的简化计算公式知∫－ππ(χ＋cosχ)3dχ＝∫－ππ(χ3＋3χ2cosχ＋3χcos2χ＋cos3χ)dχ＝6∫0πχ2cosχdχ＋2∫0πcosχ2dχ，分别利用分部积分法和换元积分法，可得∫0πχ2cosχdχ＝∫0πχ2d(sinχ)＝χ2sinχ｜0π－∫0πsinχd(χ2)＝－2∫0πχsinχdχ＝2∫0πχd(sosχ)＝2(χcosχ｜0π－∫0πcosχd χ)＝－2(π＋sinχ｜0π)＝－2π，综合即得∫－ππ(χ＋cosχ)3dχ＝－12π．知识模块：高等数学7．｜tanχ｜arctaneχdχ＝_______．正确答案：ln2解析：利用被积函数的结合：设f(χ)在[－a，a]可积，则I＝f-aaf(χ)d χ∫-aaf(－t)dt＝∫-aaf(－χ)dχ两者结合起来得2I＝∫-aa[f(χ)＋f(－χ)]χ若f(χ)＋f(－χ)简单，可求得积I．本题中f(χ)＝｜tanχ｜arctane χ．于是有｜tanχ｜arctaneχdχ＝[｜tanχ｜arctaneχ＋｜tan(－χ)｜arctane－χ]dχ＝｜tanχ｜(arctaneχ＋actane－χ)dχ知识模块：高等数学8．设n是正整数，则＝_______．正确答案：解析：利用余角关系sin(－χ)＝cosχ，cos(－χ)＝sinχ可得知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。