8.5 理想气体的内能和CV ,Cp

理想气体内能变化公式我们来回顾一下理想气体的内能是如何定义的。

内能是指气体分子的动能和势能之和。

对于理想气体而言，分子之间的相互作用力可以忽略不计，因此只有分子的运动对内能的贡献。

分子的动能可以用温度来描述，而势能则可以通过分子之间的相互作用力来定义。

在理想气体中，没有相互作用力，因此势能为零。

根据热力学第一定律，气体的内能变化可以通过热量和功来描述。

内能的变化可以用以下公式表示：ΔU = Q - W其中，ΔU表示内能的变化，Q表示系统吸收的热量，W表示系统对外界做的功。

热量是指能量的传递，当气体吸收热量时，其内能将增加；当气体释放热量时，其内能将减少。

在计算内能变化时，我们需要考虑热量的正负。

吸热过程中，热量取正值；放热过程中，热量取负值。

功是指由气体对外界做的功。

当气体膨胀时，对外界做正功；当气体被压缩时，外界对气体做正功。

根据气体的膨胀或压缩过程，我们可以计算出功的大小。

理想气体的内能变化公式可以进一步简化。

根据理想气体状态方程，PV = nRT，其中P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质的量，R为气体常数，T表示气体的温度。

根据这个方程，我们可以得到以下公式：ΔU = Q - PΔV其中，ΔV表示气体的体积变化。

当气体膨胀时，体积增加，ΔV为正；当气体被压缩时，体积减小，ΔV为负。

根据气体状态方程，我们可以将PΔV替换为nRΔT，从而得到：ΔU = Q - nRΔT这个公式描述了理想气体内能变化与吸收的热量和温度的关系。

当气体吸热时，温度升高，内能增加；当气体放热时，温度降低，内能减少。

这个公式可以应用于许多实际问题的计算中。

例如，我们可以通过测量气体在不同温度下的内能变化来确定气体的热容。

热容是指单位物质的气体在温度变化时吸收或释放的热量。

根据理想气体的内能变化公式，我们可以计算出热容的数值。

理想气体内能变化公式是描述理想气体内能变化的基本公式。

通过这个公式，我们可以计算气体的内能变化，并了解吸热和放热对气体内能的影响。

C p与C v的关系讨论
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
物化讨论——关于C V 与C p 的关系
首先介绍气体动理论，假设一个刚性的可看做质点的分子，根据经典牛顿力学Fdt=mdv 求出单个分子对容器内壁的压力，进而得出所有分子对容器的压力，进而推算出压强，得出p 与运动动能的关系，再根据理想气体状态方程，得出T=nkE k 即温度与分子动能的关系（并不是总动能而是麦
克斯韦方程中给出的微观无规则的运动动能），进而得知内能是温度的函数U=RT i
n 2再进而得知
内能变化的具体形式（无论是恒压还是恒容）推出C v =R
i
2，因为H=U+PV 直接得出C V 与C p 的关系
另一种则是通过数学公式的微分与积分得出，dU(P,T)=dP T U
dT P U
P T )()(∂∂+∂∂
第一种 由气体动理论，S F
p =，mv t F Δ=Δ，对于任意一
个理想气体分子其运动路径如图所示，任取一点为计时
点一个来回为△t
L。

理想气体的比热和热量为了计算在状态变化过程中的吸热量和放热量，我们引入了比热容的概念。

一、比热容的定义比热容与我们前面所讲过的比容、比内能、比焓、比功等参数类似，它是一个比参数，那么它的广延参数就是热容，所以在讲比热容之前我们先看一下热容。

1.热容热容指的是物体在一定的准静态过程中，温度升高或降低1K 时吸收或放出的热量，用符号C 表示。

根据热容的定义，我们可以得到：若工质在一定的准静态过程中，温度变化了△T ，过程中热量为Q ，那么这个过程中的比热为：Q C T=∆ 而物体的比热容是随温度变化的，并不是一个常数，我们上面的表示方法仅仅表示的是工质在这一过程中的平均比热容，若我们精确的表示工质在某一温度处的热容，则：QC dT δ=单位为J/K2.比热容用符号c 表示，比热容是热容的比参数。

比参数是广延参数与质量的比值。

所以比热容的定义为：1kg 物体在一定的准静态过程中温度升高或降低1K 时吸收或放出的热量。

C q c m dTδ== 单位：J/(kgK)这个比容又叫比质量热容，除了比质量热容外，热容还有两种比参数，分别是容积比热和摩尔比热。

容积比热用符号c ’表示，指的是1Nm 3工质在一定的准静态过程中温度升高或降低1K 时吸收或放出的热量。

单位为J/( Nm 3K)。

摩尔比热用符号Mc 表示，指的是1mol 工质在一定的准静态过程中温度升高或降低1K 时吸收或放出的热量。

单位为J/( molK)。

三个比容之间的关系：'Mc M c Vm c =⋅=⋅二、理想气体的比热热量是过程参数，其数值的大小与所进行的热力过程有关，同样比热也是过程参数，也与工质所进行的热力过程有关，不同热力过程的比热值也是不相同的。

在我们工程热力学的研究范围中，最常用到的比热有两种：一个是定容过程的比热，一个是定压过程的比热。

定容过程：整个热力过程中工质的容积保持不变。

比如固定容器中的气体被加热。

定压过程：整个热力过程中工质的压力保持不变。

热力学中cp cv公式
在热力学中，"cv"和"cp"是两个常见的术语，分别代表着摩尔定容热容和摩尔定压热容。

cv（摩尔定容热容）：cv是指在恒定体积下单位摩尔物质的温度变化时所吸收或释放的热量。

它表示了在恒定体积下物质对温度变化的敏感程度。

摩尔定容热容可以通过以下公式计算：cv = (∂q / ∂T)v其中，∂q表示吸收或释放的热量变化，∂T表示温度变化，v表示体积。

cp（摩尔定压热容）：cp是指在恒定压力下单位摩尔物质的温度变化时所吸收或释放的热量。

它表示了在恒定压力下物质对温度变化的敏感程度。

摩尔定压热容可以通过以下公式计算：cp = (∂q / ∂T)p其中，∂q表示吸收或释放的热量变化，∂T表示温度变化，p表示压力。

在理想气体的情况下，cv和cp的关系可以通过以下公式表示：cp - cv = R其中，R是气体常数。

对于理想气体，摩尔定容热容和摩尔定压热容之间的差异是由于工作的不同，定容过程不进行功，而定压过程中会有功的交换。

总结起来，cv和cp是热力学中用来描述物质对温度变化敏感程度的参数，分别表示在恒定体积和恒定压力下单位摩尔物质的热容。

它们在研究物质的热力学性质和热力学过程中起着重要的作用。

热力学中cv和cp计算公式在咱们学习热力学的过程中，cv 和 cp 这两个计算公式那可是相当重要的！先来说说 cv 吧，cv 指的是定容比热容。

它的计算公式是 cv =δQ/dT ，这里的δQ 表示在定容过程中吸收或放出的微小热量，dT 则是温度的微小变化。

那啥是定容过程呢？就好比你有一个密封的盒子，里面的气体体积没法改变，这时候的热传递过程就是定容的。

我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸疑惑地问我：“老师，这定容到底有啥用啊？”我笑着给他举了个例子。

就说咱们冬天用的暖手宝吧，它的内部空间基本是固定的，相当于一个定容的容器。

当我们给它充电加热的时候，热量在这个固定的体积内传递，这就可以近似看作是一个定容过程。

这时候，我们就能用 cv这个公式来算算它吸收热量后温度的变化啦。

再讲讲 cp ，cp 是定压比热容，计算公式是cp = δQ/dT 。

不过要注意哦，这里是在定压的条件下。

啥是定压？想象一下吹气球，气球内外的压力不变，这就是定压过程。

给你们说个有趣的事儿，有一回我和朋友出去露营，我们带了个便携式的燃气炉煮东西。

燃气燃烧给周围环境提供热量，这个过程就可以近似看作是定压的。

当时我就想到了 cp 这个公式，还跟朋友显摆了一下我的专业知识，把他听得一愣一愣的。

在实际应用中，cv 和 cp 这两个公式用处可大了。

比如在汽车发动机的设计中，工程师们就得考虑燃料燃烧时的定容和定压过程，通过计算 cv 和 cp 来优化发动机的性能，让汽车跑得更稳、更省油。

还有在空调和冰箱的工作原理中，也离不开这两个公式。

它们帮助工程师们计算制冷和制热过程中的能量变化，让咱们在炎炎夏日能享受凉爽，在寒冷冬天能感受温暖。

总之，cv 和 cp 这两个计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多结合实际例子去理解，就会发现它们其实就在我们的生活中无处不在，是帮助我们解决很多实际问题的好工具。

所以啊，同学们，一定要把这两个公式学明白，这样才能在热力学的世界里畅游无阻！。