1-4极限的性质

函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。

换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。

这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。

2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。

左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。

当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。

3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。

具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。

类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。

4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。

比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。

因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。

二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。

数学几何极限思想总结大全数学几何极限是数学中一种重要的思想和方法。

它是通过逐渐逼近某个目标值，来研究数学对象的性质和变化规律的一种方法。

在数学的发展中，数学几何极限思想被广泛应用于各个领域，如解析几何、微积分、实分析等。

下面将详细介绍数学几何极限的思想和应用。

一、极限的基本概念极限是数学中一个基础的概念，它描述了一个数列或者函数在无限接近某一值时的性质。

数列的极限表示为lim_{n->∞} a_n = L，其中n表示数列的第n项，a_n表示数列的第n项的值，L表示数列的极限。

函数的极限表示为lim_{x->a} f(x) = L，其中x表示自变量，a表示自变量的接近的值，f(x)表示函数的值，L表示函数的极限。

二、函数的极限1. 函数的极限定义：对于一个函数f(x)，如果对任意的ε>0，存在一个δ>0，当0 |f(x)-L|<ε，其中x在(a-δ,a+δ)内，那么称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim_{x->a} f(x) = L。

2. 函数的极限性质：函数的极限有一些基本的性质，如加法、乘法、倒数、极限的唯一性等。

3. 函数的无穷极限：函数在无穷远处的极限也是一种重要的极限概念，如lim_{x->∞} f(x)和lim_{x->-∞} f(x)等。

4. 函数的连续性：函数的极限和连续性之间有着密切的联系，如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么这个函数在该点就是连续的。

三、数列的极限1. 数列的极限的定义：对于一个数列{a_n}，如果对任意的ε>0，存在一个N，当n>N时，有|a_n-L|<ε，其中L为数列的极限，记作lim_{n->∞} a_n = L。

2. 数列的收敛和发散：如果一个数列存在极限，那么这个数列是收敛的；如果一个数列不存在极限，那么这个数列是发散的。

3. 数列的极限性质：数列的极限也有一些基本的性质，如加法、乘法、倒数、极限的唯一性等。

近于一个确定的常数A , 则称当0x x →时)(x f 的极限存在，且A 为极限,记作0lim ()x x f x A →=或A x f →)((当0x x →时).否则称0lim ()x x f x →不存在. （二）新课讲授 1. 函数极限的例题考虑下列数列与函数的极限 当∞→n 时，⑴ ;1+=n n x n ⑴ 1(1);2nn x +-= 以及 ⑴ ;1lim+∞→x xx ⑴ .lim 0xx x →2. 数列与函数的共有性质以及独有性质⑴ 共有性质根据11lim =+∞→n n n 、11lim =+∞→x xx 、2)1(1lim n n -+∞→不存在以及x x x 0lim →不存在，可得以下性质：定理1 (数列极限的唯一性) 若数列{x n }收敛，则极限是唯一的.例如：数列()112n⎧⎫-+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，当n 无限增大时，数列分别趋近于0和1，因此该数列无极限.定理2 (函数极限的唯一性) 如果极限)(lim 0x f x x →存在, 那么这极限唯一.例如：由于00lim 1,lim 1x x x x xx +-→→==-，则0limx xx →无极限. 注：定理1和定理2常被用在证明数列极限和函数极限的不存在性上. 根据11lim=+∞→n n n ，011n n <<+，即{1nn +}有界.1,5,,n n x x +=+证明数列{n x 21n n ⎫++⎪+⎭. 121n ⎫+⎪+⎭.。

第4讲 函数极限概念及其性质讲授内容一 、x 趋于∞时函数的极限例如，对于函数=)(x f x1，当x 无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数g(x )=x arctan ，则当x 趋于+∞时函数值无限地接近于2π．定义1 设f 为定义在[+∞,a )上的函数，A 为定数．若对任给的ε>0，存在正数M(≥a )，使得当x >M 时有 |A x f -)(|<ε则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作A x f x =∞→)(lim .定义1的几何意义如图3—1所示，对任给的ε>0，在坐标平面上平行于x 轴的两条直线)ε+=A y 与ε-=A y ，围成以直线=y A 为中心线、宽为2ε的带形区域；定义中的“当x >M 时有ε<-|)(|A x f ”表示：在直线=x M 的右方，曲线y=)(x f 全部落在这个带形区域之内．如果正数ε给得小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线=x M 一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数M ，使得曲线)(x f y =在直线=x M 的右边部分全部落在这更窄的带形区域内. A x f x =-∞→)(lim 或 )()(-∞→→x A x f ；A x f x =∞→)(lim 或 )()(∞→→x A x f .这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的""M x >分别改为M x -<"或""M x >． 不难证明：若f 为定义在)(∞U 上的函数，则)(lim x f x ∞→A x f x f A x x ==⇔=-∞→+∞→)(lim )(lim例1 证明01lim=∞→xx证：任给ε0>，取ε1=M ，则当：M >x 时有ε=M<=-1101xx，所以01lim=∞→xx 。

例2 证明：（1）2arctan lim π-=-∞→x x , (2)2arctan lim π=+∞→x x .注：当∞→x 时x arctan 不存在极限． 二、 x 趋于0x 时函数的极限定义2 (函数极限的δε-定义) 设函数f 在点0x 的某个空心邻域);('00δx U 内有定义，A 为定数．若对任给的0>ε存在正数)('δδ<，使得当δ<-<00x x 时有 ε<A -)(x f ，则称函数f 当x 趋于0x 。

数列与级数的极限性质及计算方法数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将讨论数列与级数的极限性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、数列的极限性质数列是由一系列有序的数所组成的，它们按照一定的规律排列。

数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数。

数列的极限性质包括以下几个方面：1. 有界性：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么它是有界的。

具体来说，如果存在一个正数M，使得对于数列中的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么这个数列是有界的。

2. 单调性：数列的单调性指的是数列中的项按照一定的规律递增或递减。

如果数列的项递增，那么这个数列是递增的；如果数列的项递减，那么这个数列是递减的。

3. 收敛性：数列的收敛性是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于一个确定的常数。

如果一个数列存在极限，那么这个数列是收敛的；如果一个数列不存在极限，那么这个数列是发散的。

二、数列的计算方法计算数列的方法主要包括以下几种：1. 递推法：递推法是指根据数列的前一项来计算后一项。

例如，Fibonacci数列就是通过递推法计算的，每一项都是前两项的和。

2. 通项公式：通项公式是指通过一个数学公式来计算数列的任意一项。

例如，等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。

3. 递归公式：递归公式是指通过数列的前几项来计算后一项。

例如，斐波那契数列的递归公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。

三、级数的极限性质级数是由一个数列的项相加而得到的。

级数的极限是指当级数的项数趋于无穷大时，级数的和趋于一个确定的常数。

级数的极限性质包括以下几个方面：1. 绝对收敛性：如果一个级数的各项都是正数，并且这个级数的部分和数列是有界的，那么这个级数是绝对收敛的。

2. 条件收敛性：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么这个级数是条件收敛的。

知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。

数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。

函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。

极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。

2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。

3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。

无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。

在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。

4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。

连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。

二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。

求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。

2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。

3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。

微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。

4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。

三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。

1.函数、极限与连续集合：具有某种特定性质的事物的总体。

元素：组成这集合的事物。

常见集合：数集，点集，函数集。

集合表示法：描述法，列举法。

,M a ∈,M a ∉ 有限集，无限集。

A 是B 的子集B A ⊂。

空集∅，是任何集合的子集。

真子集 N 自然数集，Z 整数集，Q 有理数集，R 实数集。

R Q Z N ⊂⊂⊂。

若B A ⊂，且A B ⊂，则A=B 。

交集B A ⋂，并集B A ⋃，差集 B -A or \A B 。

补集。

直积。

常用的实数集合是区间和领域。

开区间（a,b ），闭区间[a,b]，半开区间。

有限区间，无限区间。

领域：,邻域的称为点}{数集δδa a x x <-去心领域记作)(0a U δ。

映射：f ：x y 。

f 的定义域D （f ）=x ，f 的值域f （x ）为y 的子集。

若f （x ）=y ，则为满射；若每个像只有一个原像，则为单射，既是满射又是单射即为一一映射。

函数：y=f （x ），自变量，因变量，定义域Df 。

定义域和对应法则相同则两函数相同。

函数表示法：表格，图示，公式。

显函数和隐函数，并非任何方程都是隐函数。

反函数与函数关于直线y=x 对称。

函数特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

任何一个定义域关于原点对称的函数总可表示为奇函数+偶函数。

单调函数的反函数有同样的单调性。

基本初等函数：幂函数a x y =（a 为常数），指数函数)1,0(≠>=a a a y x，对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a，三角函数，反三角函数。

初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。

分段函数一般不是。

复合函数，注意定义域。

双曲函数，反双曲函数 双曲正弦2sinh xx e e x --=，D=R2cosh 双曲余弦x x e e x -+=，D=Rxxxx e e e e x x x --+-==cosh sinh tanh 双曲正切xx x x x x x x y x y x y x y x y x y x 2222sinh cosh 2cosh ;cosh sinh 22sinh ;1sinh cosh ，sinh sinh cosh cosh )cosh(;sinh cosh cosh sinh )sinh(+===-±=±±=±反双曲正弦函数)1ln(sinh 2++==x x x ar y ，奇函数，单增反双曲余弦函数)1ln(cosh 2-+==x x x ar y ，单增。