离散数学答案命题逻辑

华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1)设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会.则命题：“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化为：（p q) (p q）。

（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。

（3）设:p：刘平聪明。

q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。

（5）设，p：径一事;q：长一智。

在命题逻辑中,命题:“不径一事，不长一智。

" 可符号化为： p q 。

（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为（A B）Û A B）。

（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。

”可符号化为: （p q）（p q） .（8）设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题:“他既聪明又用功。

" 可符号化为：P Q .（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。

（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。

（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：（P Q）P Q) 。

（12）设P:你努力.Q：你失败。

在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。

”可符号化为：P Q .（13）设p：小王是100米赛跑冠军。

q:小王是400米赛跑冠军。

在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：p q。

（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。

二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。

（）2.命题公式p q r是析取范式。

( √ )3.陈述句“x + y > 5”是命题。

第二章作业评分要求：1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)3. 总得分在采分点1处正确设置.一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次):说明证1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)解逻辑方程法设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式. 等值演算法(p ∧q)∨(p ∧¬q)⇔ p ∧(q ∨¬q)∧对∨的分配率⇔ p ∧1 排中律⇔ p 同一律 真值表法2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r)等值演算法(p→q)∧(p→r)⇔ (¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式⇔¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律⇔ p→(q∧r)蕴含等值式3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法¬(p↔q)⇔¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式⇔¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式⇔¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法(p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式.等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得.二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次):1.2.3.4.1. (¬p→q)→(¬q∨p)解(¬p→q)→(¬q∨p)⇔ (p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式⇔ (¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律⇔ (¬p∧¬q)∨¬q ∨ p结合律⇔ p∨¬q吸收律, 交换律⇔ M1因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m32. (¬p→q)∧(q∧r)解逻辑方程法设 (¬p→q)∧(q∧r) =1, 则¬p→q=1且 q∧r=1,解得q=1, r=1, p=0 或者 q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为 m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6等值演算法(¬p→q)∧(q∧r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q r)(q r) 对分配律, 幂等律(p q r) (p q r)(p q r) 同一律, 矛盾律, 对分配律m7 m3主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M63. (p↔q)→r解逻辑方程法设 (p↔q)→r =0, 解得 p=q=1, r=0 或者 p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7等值演算法(p↔q)→r((p q)(q p))r 等价等值式((p q)(q p))r 蕴含等值式(p q)(q p)r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)(p q r)(q p r) 对分配律, 矛盾律, 同一律M0 M6主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m74. (p→q)∧(q→r)解等值演算法(p→q)∧(q→r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q)(p r)(q r) 对分配律, 矛盾律, 同一律(p q r)(p q r) (p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m1 m0 m3 m7主合取范式为M2 M4 M5 M6.解逻辑方程法设 (p q) (q r) = 1, 则p q =1 且 q r =1.前者解得: p=0, q=0; 或者 p=0, q=1; 或者 p=1, q=1.后者解得: q=0, r=0; 或者 q=0, r=1; 或者 q=1, r=1.综上可得成真赋值为 000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0m1m3m7, 主合取范式为M2 M4 M5 M6.真值表法公式 (p q) (q r) 真值表如下:p q r(p q) (qr)00010011010001111000101011001111013724 M5 M6.。

离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。

离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。

在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。

本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。

第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。

(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。

(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。

(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。

1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。

(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。

(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。

(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。

1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。

第二章 命题逻辑习题．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。

⑵x 取值不确定，所以不是命题。

⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。

⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。

⑸是命题，真值由具体情况确定。

⑹是命题，真值由具体情况确定。

⑺是真命题。

⑻是悖论，所以不是命题。

⑼是假命题。

2．解 ⑴是复合命题。

设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。

命题符号化为q p ∨。

⑵是疑问句，所以不是命题。

⑶是悖论，所以不是命题。

⑷是原子命题。

⑸是复合命题。

设p ：王海在学习；q ：李春在学习。

命题符号化为pq 。

⑹是复合命题。

设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。

p q 。

⑺不是命题。

⑻不是命题⑼。

是复合命题。

设p ：王海是女孩子。

命题符号化为：p 。

3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。

⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。

⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。

⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。

4．解 ⑴p (q r )。

⑵p q 。

⑶q p 。

⑷q p 。

习题1．解 ⑴是1层公式。

⑵不是公式。

⑶一层： pq ，p二层：p q所以，)()(q p q p ↔⌝→∨是3层公式。

⑷不是公式。

⑸(pq )(q ( q r ))是5层公式，这是因为一层：p q ，q ，r二层：q r 三层：q ( qr )四层：(q ( q r ))2．解 ⑴A =(p q )q 是2层公式。

真值表如表2-1所示：pqq p ∨A0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1111⑵p q p q A →→∧=)(是3层公式。

真值表如表2-2所示：pqq p →)(q p q →∧A0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 11111⑶)()(q p r q p A ∨→∧∧=是3层公式。

真值表如表2-3所示：pqrq p ∧r q p ∧∧q p ∨A0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 111111⑷)()()(r q r p q p A ∨∧∨⌝∧∨=是4层公式。

离散数学命题逻辑和一阶逻辑的选择题解析在命题逻辑中，如果P为真，Q为假，那么P ∧ Q的值为？A. 真B. 假C. 无法确定D. 与P、Q无关解析：在命题逻辑中，合取运算（∧）表示“并且”。

如果P为真，Q为假，那么“P并且Q”显然为假。

因此，答案是B。

在一阶逻辑中，如果F(x)表示“x是人”，G(x)表示“x是聪明的”，那么“存在一个聪明的人”可以表示为？A. ∀x(F(x) → G(x))B. ∃x(F(x) ∧ G(x))C. ∃x(F(x) → G(x))D. ∀x(F(x) ∧ G(x))解析：在一阶逻辑中，存在量词（∃）表示“存在”。

因此，“存在一个聪明的人”可以表示为“存在一个x，使得x是人并且x是聪明的”，即∃x(F(x) ∧ G(x))。

因此，答案是B。

在命题逻辑中，如果P → Q为真，且P为真，那么Q的值为？A. 真B. 假C. 无法确定D. 与P无关解析：在命题逻辑中，如果P → Q为真，且P为真，那么根据蕴含运算（→）的定义，“如果P则Q”，Q必然为真。

因此，答案是A。

在一阶逻辑中，全称量词（∀）表示什么？A. 存在B. 所有C. 至少一个D. 不多于一个解析：在一阶逻辑中，全称量词（∀）表示“对于所有的”。

因此，答案是B。

在命题逻辑中，如果P为假，Q为真，那么P → Q的值为？A. 真B. 假C. 无法确定D. 与P、Q的值无关解析：在命题逻辑中，即使P为假，Q为真，蕴含式P → Q仍然为真。

这是因为蕴含式的定义是“如果P为真，则Q也为真”，但这并不排除“P为假而Q为真”的情况。

因此，答案是A。

在一阶逻辑中，如果F(x)表示“x是红的”，那么“所有的东西都是红的”可以表示为？A. ∃xF(x)B. ∀xF(x)C. ∀x¬F(x)D. ∃x¬F(x)解析：在一阶逻辑中，“所有的东西都是红的”可以表示为“对于所有的x，x都是红的”，即∀xF(x)。

因此，答案是B。

1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。

b)不是命题。

c)是命题，真值要根据具体情况确定。

d)不是命题。

e)是命题，真值为T。

f)是命题，真值为T。

g)是命题，真值为F。

h)不是命题。

i)不是命题。

（2）解：原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。

（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。

R:我有时间。

P:天下雨。

Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。

b)设R:我在看电视。

Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。

R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。

(5) 解：a)设P：王强身体很好。

Q：王强成绩很好。

P∧Qb)设P：小李看书。

Q：小李听音乐。

P∧Qc)设P：气候很好。

Q：气候很热。

P∨Qd)设P： a和b是偶数。

Q：a+b是偶数。

P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。

Q ：四边形ABCD的对边平行。

P Qf)设P：语法错误。

Q：程序错误。

R：停机。

（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。

Q:正在下雨。

P∧Qb)P:天气炎热。

R:湿度较低。

P∧Rc)R:天正在下雨。

S:湿度很高。

R∨Sd)A:刘英上山。

B:李进上山。

A∧Be)M:老王是革新者。

N:小李是革新者。

M∨Nf)L:你看电影。

M:我看电影。

┓L→┓Mg)P:我不看电视。

Q:我不外出。

R:我在睡觉。

P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。

Q:控制台打字机作输出设备。

P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。

（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。

第二章命题逻辑§2.2 主要解题方法2.2.1 证明命题公式恒真或恒假主要有如下方法：方法一.真值表方法。

即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。

真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。

例2.2.1 说明 G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。

解：该公式的真值表如下：表2.2.1由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故G恒真。

方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。

例2.2.2 说明 G= ((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。

解：由(P→R) ∨⌝ R=⌝P∨ R∨⌝ R=1，以及⌝ (Q→P) ∧ P= ⌝（⌝Q∨ P）∧ P = Q∧⌝ P∧ P=0知，((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)=0，故G 恒假。

方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。

方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，若最终结果有1，有0，则是可满足的。

例子参见书中例2.4.3。

方法五. 注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是：公式G→H是恒真的；公式G，H等价的充要条件是：公式G↔H是恒真的，因此，如果待考查公式是G→H型的，可将证明G→H 是恒真的转化为证明G蕴涵H；如果待考查公式是G↔H型的，可将证明G↔H是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。