测量学 测量误差及数据处理的基本知识

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§6.4 衡量观测值精度的指标
1.方差与标准差
由正态分布密度函数
y
x
1
e xa 2 2 2
正态分布曲线(a=0)
2
式中 a 、 为常数；e =2.72828…
令： x a ，上式为：
x=
y f ()
1
e
2
2 2
2
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(抵偿性)：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
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偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差i 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
…… ● 系统误差可以消除或减弱。
……
(计算改正、观测方法、仪器检校)
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m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。
m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：
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3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
4.几个概念:
● 准确度(测量成果与真值的差异） ● 精（密）度（观测值之间的离散程度）
● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） ● 测量平差（求解最或是值并评定精度）
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。
各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
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§6.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
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§6.3 偶然误差的规律性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
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§6.2 测量误差的种类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差
1.粗差(错误)——超限的误差
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图5-1 频率直wk.baidu.com图
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◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
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测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
中误差:
观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：
lim []
n
n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：
m 21 22 2n []
n
n
上式中，偶然误差为观测值 与真值X之差：
i= i - X
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.5 P(||3m)=0.997=99.7
测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
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|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
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第6章 测量误差与数据处理
§6.1 概述
§6.2 测量误差的种类
§6.3 偶然误差的特性及其概率密度函数
§6.4 衡量观测值精度的指标
§6.5 误差传播定律
§6.6 同精度直接观测平差
§6.7 不同精度直接观测平差
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§6.1 测量误差概述
◆测量与观测值
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2.容许误差(极限误差)
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P() f ()d
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
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标准差 的数学意义
y f ()
1
e
2
2 2
2
y 较小 较大
上式中， 2称为方差：
表示的 x=
离散程度
2 lim 21 22 2n lim [2 ]
n
n
n n
称为标准差：
lim [2 ] lim
n n
n
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[] n