2012朝阳数学一模及答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i - 2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A ．且，则 B ．且，则C ．且，则D ．且，则6. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212xy -= B ．22123xy-= C.2214xy -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 102,1==a b n 5a =m n αββα//,//n m βα//n m //βα⊥⊥n m ,βα⊥m //n βα//,n m ⊥βα//n m ⊥βα⊥n m ,//βα⊥n m //8. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.()n ∈Z B.n ()n ∈Z C. 2n 或124n -()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图 侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，2AB =，=1EF ，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得C ∠ 若存在，请求出C P D ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++ ．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ． （Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n个．设1m m mnS a a a +=+++ ，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2012.3二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：15、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分16、（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分17、（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取A D 的中点N ，连接,M N N F .在D AB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以MN//AB,MN 12=A B . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=A B ，所以M N //EF 且M N =EF .所以四边形M N FE 为平行四边形，所以E M //F N . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故E M //平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得C P D ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB C D ⊥.又因为C D B D ⊥，所以C D ⊥平面EBD . ………………………8分 在R t C PD ∆中，tan =C D C P D D P∠.因为C D 为定值，且C P D ∠为锐角，则要使C P D ∠最大，只要D P 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，D P 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得C P D ∠最大. …………11分 易得tan C D C P D =D B∠=23.所以C P D ∠的正切值为23.……………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，15NCA F EB MD（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分 （2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+， 令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a=--，作差可知11aa -->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1)a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11)aa-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1,)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x的单调增区间为(11aa-+--. (14)分19、（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a = …………3分 则椭圆的方程为2213xy +=. …………4分(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k kx x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T-，变换1T-将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T-和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T-（一直不能再作1T-变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T-）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分北京海淀区2012年高三一模文科数学试题2012.04．05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}-2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）803、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4 4、过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）07、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-b A'B'C'D'A BCD8、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9、复数2i 1i-在复平面内所对应的点的坐标为 .10、若tan 2α=，则sin 2α= .11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P大于1（其中'E Q Q P E PQ=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断ABC ∆的形状.俯视图16、（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.17、（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EM F ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当E F A B ⊥时，求线段AC 1 的长．18、（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求D E AP的取值范围.20、（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()C ard X A C ard X B ∆+∆的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、4511、22(4)(4)25x y -+-=12、3，2； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- (2)分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷ )6x π=-.…………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………6分（Ⅱ）因为()2f A =，所以)62A π-=.所以1s i n ()62A π-=. ………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以3A π=. ……………………………………9分 因为sin sin a bAB =，a =，所以 1sin 2B =. ………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分 16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分17、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ……………2分又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ．……………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点, 则AC BD ⊥．………………………5分所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 B D ⊥平面1AO C ． ………7分又1AC ⊂平面1AO C ，所以 B D ⊥O M FEABC 1D1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ， 所以 A B D ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分 因为 E 为A B 中点，所以 D E A B ⊥． 又 EF AB ⊥，EF D E E = ．所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D EC ．………12分 又 1C E ⊂平面1D EC ，所以 A B ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB=，所以114AC BC ==． …………………14分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x af x x xx-+=-= (2)分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0-∞ .………………………13 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又2c a =，所以 c =.所以 222431b ac =-=-=. 所以 椭圆C 的方程为2214xy +=. ……………3分（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2D E =.所以 ||1||2D E AP =. ………………………………………5分当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41kx k +=+所以 20282.41k x k =+- (8)分所以||AP ==即||41A P k =+.类似可求||D E =. 所以2||||41D E AP k ==+………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||D E t t t A P tt-+-==>令2415()(2)t g t t t-=>，则22415'()0t g t t+=>.所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22D E t A P t-⨯-=>=.综上，||||D E A P 的取值范围是1[,)2+ . (13)分20、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分 （Ⅱ）设当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()C ard Y A C ard Y B ∆+∆()1()1C ard W A C ard W B =∆-+∆-()()C ard W A C ard W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()C a r d X AC a r d X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()C ard Z A C ard Z B ∆+∆()1()1C ard X A C ard X B =∆-+∆-()()C ard X A C ard X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()C ard X A C ard X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分2012年北京丰台区高考模试题（数学文）-B 版第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （题1）1．设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞ ． （题2）2．下面四个点中，在平面区域4y x y x<+⎧⎨>-⎩内的点是（ ）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)- 【解析】 B ；直接将坐标代入即得． （题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（题4） 4．若0mn<<，则下列结论正确的是（ ）A ．22mn>B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22log log mn> D ．1122log log m n >【解析】 D ；由指数函数与对数函数的单调性知D 正确． （题5）5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】 B ；1215x x ==，222222221211(6116)(7227)66s s =+++<=+++．甲乙012965541835572（题6）6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<； ，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（题7）7．已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（ ） A ．2- B ．8116- C ．1 D ．0【解析】 A ；12(1,0),(2,0)A F -，设(,P x yx≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y⋅=--⋅-=--+，又2213yx -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=---⎪⎝⎭ ，当1x =时，取到最小值2-．（题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．当||2||CD AB =时，线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ．,M N 两点可能重合，但此时直线A C 与l 不可能相交D ．当AB 与C D 相交，直线A C 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 【解析】 C ；若,M N 两点重合，由,AM M B CM M D ==知AC BD ∥，从而A C ∥平面β，故有A C l ∥，故C 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （题9）9．i 是虚数单位，1i 1i+=+ ．【解析】 11i22+；11i 1i i i 1i22-++=+=+．（题10） 10．在边长为1的正方形A B C D 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ． 【解析】 π4；当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144⋅=．（题11）11．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -=．【解析】；222(2)44cos 6013a b aa b b-=-⋅︒+= ．（题12） 12．已知2,0()12lg ,0x x x f x x x ⎧-=⎨+>⎩≤，若()2f x =，则x=．【解析】 1-当0x ≤时，由22x x -=得，1x =-（正值舍）；当0x >时，12lg 2x +=，解得x =（题13）13．在A B C ∆中，C 为钝角，32A B B C=，1sin 3A =，则角C=，sin B=．【解析】 150°6由正弦定理知sin 31sin sin 22AB C C BCA==⇒=，又C 为钝角，故150C=︒；11sin sin()sin cos cos sin 32326B A C A C A C ⎛=+=+=⨯-+= ⎝⎭．（题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 现给出下列命题： ①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）【解析】 ②③；①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（题15） 15．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； ⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率． 【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =．⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =．（题16） 16．（本小题满分12分） 已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值； ⑵求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===，因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以sin 10α=，所以sin 2cos sin cos 210αααα-=．（题17）17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱P C 上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；⑶在A C B ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．【解析】 ⑴因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以B C ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在P A C ∆中，4PA AC ==，D 为P C 中点，所以AD PC⊥，所以AD ⊥平面PBC ， ⑵由三视图可得4B C =，由⑴知90AD C ∠=︒，B C ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B AD C -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．⑶取AB 的中点O ，连接C O 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．因为O 为C Q 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，O D ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ， 连接A Q ，BQ ，四边形AC BQ 的对角线互相平分，所以AC BQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAD ∆中，PQ ==（题18） 18．（本小题满分14分） 椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，且过(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若O A B ∆直角三角形，求m 的值． 【解析】 ⑴已知2412c a a==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214xy +=．侧（左）视图正（主）视图PDCBAOQABC DP⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <<设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当A O B ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为A O B ∠为直角，所以0O A O B⋅=，即12120x x y y +=，所以212122()0x x m x x m +++=， 所以222888055m m m --+=，解得m =±；ii ）当O A B ∠或O B A ∠为直角时，不妨设O A B ∠为直角，由直线l 的斜率为1，可得直线O A 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-，又2214xy +=，所以211514x x =⇒=±1112m y x x =-=-=±，依题意m <<0m≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为±±（题19） 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2nn nb na n a a a -=+-+++ ，n *∈N ，已知1b m=，232m b =，其中0m ≠．⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m=时，求nb ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m的取值范围．【解析】 ⑴由已知11b a =，所以1a m=；2122b a a =+，所以12322a a m+=，解得22m a =-；所以数列{}n a 的公比12q =-；⑵当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n nb na n a a a -=+-+++ ，………………………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++ ，……………………②，②－①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++ ，所以111223111123212nnn b n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭．⑶1[1]212113212nnn m m S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，因为1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以由[1,3]n S ∈得1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，注意到，当n为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是{|23}m m ≤≤．（题20） 20．（本小题满分14分）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；⑵2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x m x m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x=或2xm =-，因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为12x =22x =，结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >．因为0m<，所以120x x <<，并且1(2)222x m m --=-+=4|2|4(2)10222m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．。

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A(U ðB )等于（ ）A ．∅B ．{}5C ．{}3D ．{}3,52. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）A ．22-nB ．32n -C ．12-n D ．n23.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．56π B ．23π C ． 3π D ．6π4.曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．210x y --=D ．210x y ++=5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 6.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >>8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣}1262x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，10S = .11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= . 12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则(2)=f （用a 表示），若1(3)=(2)f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3a b C ===． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin()C A -的值． 16.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N . （Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.17.（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（Ⅱ）设函数()()2cos 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）已知函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）设函数()ln f x a x x1=+，a ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由．20.（本小题满分13分）给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ， 22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”.（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”； （Ⅲ）对于数列231,2,3,,n n ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习数学试卷答案（理工类）2012.11（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为1cos3C=，所以sin3C===．………………………2分所以，11sin23223ABCS ab C==⨯⨯⨯=………………………5分（Ⅱ）由余弦定理可得，2222cosc a b abC=+-1492233=+-⨯⨯⨯9=所以，3c=．…………………………………………7分又由正弦定理得，sin sinc aC A=，所以，2sin3sin3a CAc⨯===．……………………9分因为a b<，所以A为锐角,所以，7cos9A===．……………………11分所以，sin()sin cos cos sinC A C A C A-=-71393927=-⨯=．…………………………………13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，24a =，316a =. ……………………………………………2分由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………3分 又因为11a =，24a =，214a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………5分（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ……………………6分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………8分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………9分 （Ⅲ） 当2n ≥时，依题意得2122log b b a -=,3223log b b a -=,… , 12log n n n b b a --=.相加得，122232log log log n n b b a a a -=+++. ……………………………12分依题意122log log 42(1)n n a n -==-.因为10b =，所以[]212(1)(1)n b n n n =+++-=-（2n ≥）.显然当10b =时，符合.所以(1)n b n n =-(n *∈N ). ……………………………………14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T =π，所以2ω=． …………………………………………………………2分 当6x π=时，()2f x =，可得 2sin(2)26ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ………………………………………………………4分所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+．………………………………5分 函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k πππ-π+∈Z ．…………………………7分 （Ⅱ）因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++ …………………………8分23cos 2x x =+)3x π=+. ………………………10分因为[,]64x ππ∈-，所以50236x ππ≤+≤．当232x ππ+=，即12x π=时，函数()g x 有最大值为 ……………12分 当203x π+=，即6x π=-时，函数()g x 有最小值0． ………………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，则2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-．因为[]1,1x ∈-，所以1x =时，()f x 的最大值(1)2f =．………………………3分 （Ⅱ）当0a =时，()43f x x =- ,显然在[]1,1-上有零点, 所以0a =时成立.……4分当0a ≠时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=,解得1,a =-2a =-． ………………………………………5分 （1） 当1a =-时, 22()2422(1)f x x x x =-+-=-- 由()0f x =，得1[1,1]x =∈-；当 2a =-时,221()4414()2f x x x x =-+-=--．由()0f x =，得1[1,1]2x =∈-， 所以当 0,1,2a =--时, ()y f x =均恰有一个零点在[]1,1-上.………………7分（2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤，即17a -≤≤时，()y f x =在[]1,1-上必有零点. ………………………………………8分（3）若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩ …………………12分 解得7a ≥或2a <-．综上所述，函数()f x 在区间[]1,1-上存在极值点，实数a 的取值范围是1a ≥-或2a ≤-. ………………………………………13分19. （本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………1分 （Ⅰ）由题意21)(,0xx a x f x -='>， ………………………………………2分 （1）当0a >时，由0)(<'x f 得012<-x x a ，解得a x 1<，函数)(x f 的单调递减区间是)1,0(a ； 由0)(>'x f 得012>-xx a ，解得a x 1>，函数)(x f 的单调递增区间是),1(∞+a． …………………………………………4分（2）当0a ≤时， 由于0x >，所以21()0a f x x x '=-<恒成立，函数)(x f 的在区间(0),+∞上单调递减． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为对于任意正实数x ，不等式()2f x a ≥成立，即xx a a 1ln 2+≤恒成立． 因为0>a ，由（Ⅰ）可知 当a x 1=时，函数()ln f x a x x1=+有最小值a a a a a a a f ln 1ln )1(-=+=．…7分 所以a a a x f a ln )(2min -=≤，解得10ea <≤．故所求实数a 的取值范围是1(0,]e． ………………………………………9分（Ⅲ）因为121212()ln 22x x x x f a x x ++2=++， 121212()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11=+++．12121212121[ln(]22x x x x a x x a x x x x ++=)+=. ……………………………10分所以121212121212()()()ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2-=+-+121212()2()x x a x x x x 2-=-+．（1）显然，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=． ……………………11分 （2）当12x x ≠时，因为0,021>>x x 且0a <，所以221>+x x 21x x ，所以02ln ,1221212121<+>+x x x x a x x x x ．………………12分又121212()02()x x x x x x 2--<+，所以121212()02()x x a x x x x 2--<+ 所以02)()()2(2121<+-+x f x f x x f ， 即2)()()2(2121x f x f x x f +<+． 综上所述，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=；当12x x ≠时，2)()()2(2121x f x f x x f +<+ ．……………………………………………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3;2(2)T ：1,1,1,1;3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5;2(2)T ：1,1,1,3;3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0．．……4分（Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k =．取1121)2c a a =(+,则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等；取(1)(1)2231()2c a a =+，则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-，即经22()T c 后，前3项相等； … …设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为 ()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++，则()()()()1231k k k k k a a a a +====；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++=====；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------=====； 最后，取(1)n n n c a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ……………………………………9分 （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ………………………………………………10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，12min{,,,}j n c a a a <，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，12max{,,,}j n c a a a >；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22T T ） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”． 当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)k k k k ++存在“k 次归零变换”．此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足1ki c k ≤≤，1,2,,i k =．因为111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+->所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分。

2012年4月北京各区一模立体几何试题汇编与解析（2012年东城一模立体几何）（14）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点M 在AD 上，正方形ABCD 以AD 为轴逆时针旋转θ角)3π(0≤≤θ到11AB C D 的位置 ，同时点M 沿着AD 从点A 运动到点D ，11MN DC =，点Q 在1MN 上，在运动过程中点Q 始终满足QM 1=，记点Q 在面ABCD上的射影为0Q ，则在运动过程中向量0BQ 与角α的正切的最大值为 .（2012年东城一模立体几何）（17）（本小题共13分）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P .（如图2）（Ⅰ）求证：E A 1⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小.图1 图2（Ⅰ）证明：取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. …………2分 所以在图2中有1A E EF ⊥，BE EF ⊥.…………3分 所以1A EB∠为二面角1A EF B--的平面角.图1又二面角1A EF B --为直二面角，所以1A E BE ⊥. ………5分 又因为BEEF E =,所以1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP . ………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1A E ⊥平面BEP ，BE EF ⊥，如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，1(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，,0)F 在图１中，连结DP . 因为12CF CP FA PB ==， 所以PF ∥BE ，且12PF BE DE ==.所以四边形EFPD 为平行四边形. 所以EF ∥DP ，且EF DP =.故点P 的坐标为（10）.图2 所以1(2,0,1)A B =-， (BP =-，1(0,0,1)EA =. ………8分不妨设平面1A BP 的法向量(,,)x y z =n ，则10,0.AB BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x z x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令y =(3,6)=n . (10)分 所以cos 〈1EA 〉n,11||||14EA EA ⋅===⨯n n . …………12分 故直线1A E 与平面1A BP所成角的大小为3π. …………13分 （2012年西城一模立体几何）4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A ）243cm （B ）223cm （C ）28cm（D ）24cm答案：A（2012年西城一模立体几何）17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………………8分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．ECADF由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．………9分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -． 所以(3,0,CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ．………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得cos ,5⋅〈〉==n v n v n v ． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………14分 （2012年海淀一模立体几何） （8）在正方体''''ABCDA B C D 中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6 答案：B（2012年海淀一模立体几何） (16)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA 平面ABCD ，4PA .（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；A'B'C'D'AB C D（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为3，求PQ PB的值．（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ……………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m . …………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP平面ABCD ，ABAD ，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C . ………………………5分 所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥. 因为 APAC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC . 9分 （Ⅲ）解：设PQ PBλ（其中01λ），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQPB λ.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ.所以 4,0,44,xyzλλ即(4,0,44)Q λλ.所以 (42,22,44)CQλλ. ………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,BD =-.………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈.所以 712PQPB. ……………14分（2012年朝阳一模立体几何）4. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：B（2012年朝阳一模立体几何）10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .正视图 侧视图答案：32（2012年朝阳一模立体几何）17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，=EB （Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小； （Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF . 所以四边形MNFE 为平行四边形，NCAF EBMD所以EM//FN.又因为FN⊂平面ADF，⊄EM平面ADF，故EM//平面ADF. ……………4分解法二：因为EB⊥平面ABD，AB BD⊥，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz. ……………1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M（Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=，设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn=.由0,0,ADAFnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x-y=0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n=.又因为3(=3+0-3=02EM n⋅=⋅，所以EM n⊥，又EM⊄平面ADF，所以//EM平面ADF. ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n=.因为EB⊥平面ABD，所以EB BD⊥.又因为AB BD⊥，所以BD⊥平面EBAF.故(3,0,0)BD=是平面EBAF的一个法向量.所以1cos<=2BDBD,BDnnn⋅>=⋅，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60︒. ……………10分（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P（0t≤≤，则=(3,-2,-),=PC AFt.所以2-3cos <22PC AF t PC,AF PC AF t +13⋅>==⋅，由题意得2-3322t t +13=， 化简得4335-=t ， 解得043t =-<.所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分（2012年丰台一模立体几何）5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．4 B ．4410+ C ．8D ．4411+答案：B（2012年丰台一模立体几何）16．（本小题共14分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，60,2BCD PA PD ∠=︒==，E 是BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（I ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求二面角E —DQ —C 的余弦值； （Ⅲ）若PQPCλ=，当PA//平面DEQ 时，求A 的值．证明：（Ⅰ）取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ．因为 PA =PD ，所以 PO ⊥AD ． ……………………1分 因为 菱形ABCD 中，∠BCD =60º， 所以 AB =BD ，所以 BO ⊥AD ． ……………………2分 因为 BO ∩PO =O ， ……………………3分 所以 AD ⊥平面POB ．……………………4分 所以 AD ⊥PB ． ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BO ⊥AD ，PO ⊥AD ．因为 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且平面PAD ∩底面ABCD =AD ，所以PO ⊥底面ABCD ． ……………6分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-……………………7分则(1,0,0)D -，(E -，(0,0,1)P ，(C -，因为Q 为PC 中点， 所以1(1,)22Q -． ………8分 O PQABCD EC所以(0,DE =，1(0,)22DQ =， 所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =． 因为 (DC=-，1(0,)22DQ =， 设平面DQC 的法向量为2(,,)n x y z =， 则220,DC n DQ n ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩0,10.22x y z ⎧-+=+=⎪⎩ 令x =1y =，z =2(3,1,n =．………………9分12121221cos ,7||||n n n nn n ⋅<>==． 由图可知，二面角E -DQ -C．…………10分 （Ⅲ）因为PQPCλ=，所以 PQ PC λ=， 由（Ⅱ）知(1)PC =--，(1,0,1)PA =-， 若设(,,)Q x y z ，则(,,1)PQ x y z =-，由 PQ PC λ=， 得21x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，在平面DEQ 中，(0,DE =，(1,,)(12,1)DQ x y z λλ=+=--，所以平面DEQ 法向量为1(1,0,21)n λλ=--， ……………………12分 又因为 PA // 平面DEQ ，所以 10PA n ⋅=， ……………………13分 即(1)(1)(21)0λλ-+--=，得23λ=． 所以，当23λ=时，PA // 平面DEQ ． ……………………14分（2012年石景山一模立体几何）4.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα答案：D（2012年石景山一模立体几何）7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．4383+B ．4283+C ．238+D ．323答案：A8．如图，已知平面l αβ=，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥ 4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个βαA C BDP动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积 的最大值是（ ）A ．B ．16C ．48D ．144答案C（2012年石景山一模立体几何） 17 ．（本小题满分14分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.1(0,3,2)C B =，1(1,3,0)C D =，…………5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =-. …………7分易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………8分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯.∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. …………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………12分C 1A 1CB 1ABD解之3,73yy=⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………13分∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………14分。

2012-2013学年北京市朝阳区九年级综合练习（一）数 学 试 卷 2013.5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1.-3的倒数是（ ）A ．13 B ．13- C ． 3 D ．-3 2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行．最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是200000000人一年的口粮．将200000000用科学记数法表示为 A ．8210⨯ B ．9210⨯ C ．90.210⨯ D ．72010⨯3． 若一个正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 4．如图，AB ∥CD ，E 是AB 上一点，EF 平分∠BEC 交CD 于点F ，若∠BEF =70°，则∠C 的度数是（ ）A ．70° B ．55° C ．45° D ．40°5．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数大于4的概率为（ ）A ．61 B ．31 C ．41 D ．216．把方程2630x x ++=化成()2x n m +=的形式，正确的结果为A ．()236x += B ．()236x -= C ．()2312x += D ．()2633x +=7．某校春季运动会上，小刚和其他16名同学参加了百米预赛，成绩各不相同，小刚已经知道了自己的成绩，如果只取前8名参加决赛，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道所有参加预赛同学成绩的 A . 平均数 B . 众数 C . 中位数 D . 方差8．如图，将一张三角形纸片ABC 折叠，使点A 落在BC 边上，折痕EF ∥BC ，得到△EFG ；再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM 折叠，依照上述做法，再将△CFG 折叠，最终得到矩形EMNF ，折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为1和2，则△ABC 的面积为A . 6B . 9C . 12D . 18 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是 ．10．分解因式：3m m -= .11．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，AB =32，∠B =30°，则△AOC 的周长为 .12. 在平面直角坐标系xOy 中，动点P 从原点O 出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 1，l 1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 2，l 2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 3，l 3=18；按照这样的规律，l 4= ； l n = (用含n 的式子表示，n 是正整数)． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：()0223tan 602013--︒+．14．求不等式13(1)x x +>-的非负整数解.15．已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值． 16．已知：如图，OP 平分∠MON ，点A 、B 分别在OP 、ON 上，且OA =OB ，点C 、D 分别在OM 、OP 上，且∠CAP =∠DBN ．求证：AC =BD ．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = -x 的图象 与反比例函数()0ky x x=<的图象相交于点()4A m -，． （1）求反比例函数ky x=的解析式； （2）若点P 在x 轴上，AP =5，直接写出点P 的坐标．18.北京地铁6号线正式运营后，家住地铁6号线附近的小李将上班方式由自驾车改为了乘坐地铁，这样他从家到达上班地点的时间缩短了0.3小时．已知他从家到达上班地点，自驾车时要走的路程为17.5千米，而改乘地铁后只需走15千米，并且他自驾车平均每小时走的路程是乘坐地铁平均每小时所走路程的23．小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是多少小时？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 如图，在四边形ABCD 中，∠D =90°，∠B =60°，AD =6，AB =3， AB ⊥AC ,在CD 上选取一点E ，连接AE ，将△ADE 沿AE 翻折，使点 D 落在AC 上的点F 处． 求（1）CD 的长； （2）DE 的长．20. 如图，⊙O 是△ABC 是的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD =∠B ，且点D 在BC 的延长线上．(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠CAD=4，⊙O 的半径为8，求CD 长．21. “2012年度中国十大科普事件”今年4月份揭晓，“PM2.5被写入‘国标’，大气环境质量广受瞩目”名列榜首．由此可见，公众对于大气环境质量越来越关注，某市对该市市民进行一项调查，以了解PM2.5浓度升高时对人们户外活动是否有影响，并制作了统计图表的一部分如下：（1）结合上述统计图表可得：p = ，m = ； （2）根据以上信息，请直接补全条形统计图；（3）若该市约400万人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有多少万人．（说明：“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）22．阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，B PM 2.5浓度升高时对于户外活动 公众的态度的扇形统计图2%试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．二次函数2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点；另一个二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数．求（1）n 的值；（2）二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交点的坐标．24．在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．（1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC 的值； （2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC =，求k 的值．l 1l 2l 3图325．如图，二次函数y =ax 2+2ax +4的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∠CBO 的正切值是2．(1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点． ①直接写出点P 所经过的路线长．②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E 、作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2013.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．x ≠-2 10.(1)(1)m m m +- 11.6 12.30；()312n n +（说明：结果正确，不化简整理不扣分）.（每空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13原式114=-…4分34=-.……5分 14.解：133x x +>- …1分 24x ->-2x <.…3分∴原等式的非负整数解为1，0.…5分15. 解：原式22449x x x =-++- …2分2245x x =--.……3分∵2270x x --=，∴227x x -=.……4分∴原式22(2)5x x =--9=.…5分16.证明：∵OP 平分∠MON ，∴∠COA =∠DOB .……1分∵∠CAP =∠DBN ，∴CAO DBO ∠=∠.……2分∵OA =OB ，………3分∴COA ∆≌DOB ∆. ……4分∴AC =BD . ……5分17.（1）解:把()4A m -，代入y = -x ，得m =4.…1分 ∴()44A -，. ………2分把()44A -，代入k y x =，得k = -16.∴反比例函数解析式为16y x=-. ……3分 （2）（-7，0）或（-1，0）.…5分18. 解：设小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是x 小时…1分由题意，得 17.51520.33x x =⨯-.…2分解方程，得 x =0.7.…3分经检验，x =0.7是原方程的解，且符合题意.……4分答：小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是0.7小时.……5分 四、解答题（本题共20分，题每小题5分）19．解：（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC =90°.∵∠B =60°，AB，∴AC =10.…1分∵∠D =90°,AD =6， ∴CD =8. ………2分（2）由题意，得∠AFE =∠D=90°，AF=AD =6， EF=DE .∴∠EFC =90°, ∴FC =4.…3分设DE =x ,则EF=x ,CE=8-x . 在Rt △EFC 中，由勾股定理,得 2224(8)x x +=-.……4分解得x =3.所以DE =3.…5分20.（1）证明：连接OA .∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC =90°.………1分∴∠B +∠ACB∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA .∵∠CAD =∠B ，∴∠CAD +∠OAC =90°.即∠OAD =90°.∴OA ⊥AD .∴AD 是⊙O 的切线.………2分(2) 解：过点C 作CE ⊥AD 于点E .∵∠CAD =∠B ,∴sinB =sin ∠CAD =4.……3∵⊙O 的半径为8，∴BC=16. ∴AC =sin BC B ⋅= ∴在Rt △ACE 中，CE=sin AC CAD ⋅∠=2.…4分 ∵CE ⊥AD , ∴∠CED =∠OAD =90°. ∴CE ∥OA . ∴△CED ∽△OAD .∴CD CE OD OA =.设CD =x ，则OD =x +8.即8x x =+5分21.解：（1）30%，20%； ………………………2分 （2）如图；………………………………4分（3）400×20%=80（万人）. …………5分22. 解： 5；………2分 如图； ……3分 …5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：(1)∵2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点，∴令10y =，即2304x x n ++-=.………1分123B∴131404n ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭.解得n =1.……2分 (2)由(1)知，()2222146y x m x m m =--+-+.∵()2222146y x m x m m =--+-+的图象与x轴有两个交点，∴[]2222(1)4(46)m m m ∆=----+820m =-.∵20∆>，∴52m >.……3分 又∵5m <且m 是整数，∴m =4或3.…5分当m =4时，2266y x x =-+的图象与x 轴的交点的横坐标不是整数；当m =3时，2243y x x =-+，令20y =，即2430x x -+=，解得11x =，23x =.综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）.…7分24. 解：(1)EB DC =……2分 (2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF .∴四边形EBFC 是平行四边形.…3分∴CE ∥BF 且CE =BF .∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BF k AB =.∵BD =kAE ，∴BDk AE=.……4分 ∴BF BD AB AE =.∴DBF ∆∽EAB ∆……5分∴DFk BE=,∠GDB=∠AEB .∴∠DGB =∠A =90°. ∴∠GFC =∠BGF =90°.∵12CF EB DCDC==.∴DF DF EB CF==∴k……7分25. 解：(1)根据题意，C (0，4)．∴OC =4．∵tan ∠CBO =2，∴OB =2．∴B (2，0)．…………1分∴ 0444a a =++．∴12a =-． ∴二次函数的解析式为2142y x x =--+．………2分 (2) ①点P……………………………………………3分 ②∠EPF 的大小不发生改变．………………………………………………………4分 由2142y x x =--+可得，A (-4，0)． ∴OA = OC ．∴△AOC 是等腰直角三角形． ∴∠CAO =45°．∵DE ⊥AC ， DF ⊥AB ， ∴∠AED = ∠AFD =90°． ∵点P 是线段AD 的中点，B∴PE= PF =12AD= AP．∴∠EPD=2∠EAD，∠FPD=2∠F AD．∴∠EPF =∠EPD+∠FPD =2∠EAD +2∠F AD= 2∠CAO=90°．…………………5分③由②知，△EPF是等腰直角三角形．∴EF．……………………………………………………………6分∴当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小．……………………………………7分在Rt△ABD中，∵tan∠CBO=2，AB=6，∴AD=5．∴EF =5．即此时EF．……………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分．。

平分线和角平分线各给 四、解答题：（本题共1分，标明交点1分，写出结论1分）51分，第17、18题每小题4分，第19-24题每小题5分,25题716.建在线段 AB 的垂直平分线和19.解：方程两边同乘x(x -1)，得2x -2(x -1)=x(x -1).北京市朝阳区2012~2013学年第一学期期末统一考试八年级数学试卷参考答案和评分标准2013.1、选择题：（本题共24分,每小题3分）_ 、 填空题： （本题共 21分，每小题 3分）9.1 .21 10-10.3a -1 11. 80 °或 20°12. x = 213 . m * —1且 m 尸 2n • 1n 114. 6 15.n 1 二+ (n 1nn（注明： 第11题和第13题丢一个答案每小题扣 1分） 三、作图题：（本题4分） m 、n 的交角的角平分线的交点处.（注明：正确画出垂直分，第26题6分）217.解：原式二a （m2=a(m 一 n).2.一一 一，、 x —1+1 x —1 18.解：原式=-x -1x (x -1)( x -1) x -1当x=- 2时，原式=—2 +仁一1.「二-2.检验: -2x 2x =2 .x=2时，x （x-1）=0，所以x=2是原分式方程的解.20.证明：T BE = CF ,••• BE+EF = CF+FE, 即 BF=CE.在厶ABF和厶DCE中,'AB= DC ,“/ B =Z C,BF = CE, . ................................................................................................ 3 分• △ ABF ◎△ DCE (SAS) . ....................................................................................... 4 分•••/ A= / D. .......................................................................................................................... 5 分21.解：•••△ ABC 是等边三角形，•/ ABC=Z ACB = 60° ........................................................................... 1分•••/ABE = 40°EBC=Z ABC-Z ABE =60。

2012北京朝阳一模数学试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.21的相反数是 A.21- B ．21C ．2D ．－22．据报道，2011年北京市户籍人口中，60岁以上的老人有2460000人，预计未来五年北京人口“老龄化”还将提速．将2460000用科学记数法表示为 A ．0.25×106 B ．24.6×105 C ．2.46×105 D ．2.46×106 3．在ABC △中，280A B ∠=∠=，则C ∠等于 A. 40° B. 60°C. 80°D. 120°4．若分式392--x x 的值为零，则x 的取值为A. 3≠xB. 3-≠xC. 3=xD. 3-=x 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A.角B.等边三角形C. 平行四边形D. 圆6．在一个不透明的袋子中装有2个红球、1个黄球和1个黑球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，若随机从袋子里摸出1个球，则摸出黄球的概率是 A.41 B. 31 C. 21 D. 43 7．在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表：成绩 45 46 47 48 49 50 人数124251这此测试成绩的中位数和众数分别为A. 47, 49B. 47.5, 49C. 48, 49D. 48, 508．已知关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实数根分别为a x =1，b x =2（b a <），则二次函数n mx x y ++=2中，当0<y 时，x 的取值范围是A ．a x <B ．b x >C ．b x a <<D ．a x <或b x >二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数4-=x y 中，自变量x 的取值范围是___．10．分解因式：2255ma mb -=___．11．如图，CD 是⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，若∠B ＝20°，则∠ADC 的度数为 ．（第11题） （第12题）12．如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，（1）若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是 ；（2）若CE =1n CB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是 （用含n 的式子表示，n 是正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：01)22()21(60sin 627--+--.14．解不等式312+-）（x ＜x 5，并把它的解集在数轴上表示出来.15．已知：如图，C 是AE 的中点，∠B=∠D ，BC ∥DE ． 求证：AB=CD16．已知0132=-+x x ，求)1(3)1()2(422---++x x x x 的值.A O CDBBCDEA2-1-210FE D AB Cx17．如图，P 是反比例函数ky x=（x ＞0）的图象上的一点，P N 垂直x 轴于点N ，P M 垂直y 轴于点M ，矩形OMPN 的面积为2，且ON =1，一次函数y x b =+的图象经过点P ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线y x b =+与x 轴的交点为A ，点Q 在y 轴上，当△QOA 的面积等于矩形OMPN 的面积的41时，直接写出 点Q 的坐标．18．如图，在□A B C D 中，对角线A C 、B D 相交于点O ，点E 在B D 的延长线上，且△E A C 是等边三角形，若AC =8，AB =5，求ED 的长．四、解答题（本题共21分，第19、20、21题每小题5分，第22题6分） 19．列方程解应用题：为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？20．如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，D A=DB ，∠C =∠DBC ，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点E ，F 是O ⊙上的点，且AF ＝BF ． （1）求证：B C 是O ⊙的切线；（2）若sin C =53，AE =23，求sin F 的值和AF 的长．FEO DBCAO EDBAC21. 为了了解北京市的绿化进程，小红同学查询了首都园林绿化政务网，根据网站发布的近几年北京市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：（1）请根据以上信息解答下列问题：① 2010年北京市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到0.1）？② 补全条形统计图；（2）小红同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高北京市人均公共绿地面积做贡献. 她对所在班级的40名同学2011年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：种树棵数（棵）0 1 2 3 4 5 人数1056946如果按照小红的统计数据，请你通过计算估计，她所在学校的300名同学在2011年共植树多少棵.22. 根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y 1（千元）与进货量x （吨）之间的函数kx y =1的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y 2（千元）与进货量x （吨）之间的函数bx ax y +=22的图象如图②所示. （1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t 吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W （千元）与t （吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？图① 图②2.03.46.67.95.0年增长率（%）891045673210年份20112010200920082007北京市2007-2011年人均公共绿地面积年增长率统计图x y （万元）（吨）53Oy （千元）y （万元）（吨）Oy （千元） 北京市2007-2011年 人均公共绿地面积统计图15.314.513.612.618人均公共绿地面积（m 2）1512963020072008200920102011年份xy 8834567217564321-10-9-1-2-4-3-5-6-7-8-8-7-6-5-3-4-2-1O五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分） 23. 阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，DC =2．求BD 的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决．（1）请你回答：图中BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．图① 图②24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN=6. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P 的坐标；（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN =∠CNM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.D A B CD A B C25. 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长． 备用图PD C(F)AB(E)FPDCA BE北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准2012.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADBDDACC二、填空题 （本题共16分，每小题4分，）9. x ≥4 10. ))((5b a b a m -+ 11. 70° 12. 32，1+n n（每空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 解：原式1223633-+⨯-= ……………………………………………………4分 1=. …………………………………………………………………………5分 14. 解：x x 5322<+-. …………………………………………………………………2分13-<-x . ……………………………………………………………………3分∴31>x . ……………………………………………………………………4分这个不等式的解集在数轴上表示为：……………………5分15. 证明：∵C 是AE 的中点，∴A C ＝C E . …………………………………………………………………………1分∵BC ∥DE ，∴∠A C B =∠E . ……………………………………………………………………2分 在△ABC 和△CDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE AC E ACB D B ， ∴△A B C ≌△C D E . ………………………………………………………………4分 ∴ AB ＝CD . ………………………………………………………………………5分16. 解： )1(3)1()2(422---++x x x x331284222+-+-++=x x x x x4622++=x x ………………………………………………………………………3分 4)3(22++=x x .∵0132=-+x x ，∴132=+x x . …………………………………………………………………………4分 ∴原式＝6. ……………………………………………………………………………5分17. 解：（1）∵PN 垂直x 轴于点N ，PM 垂直y 轴于点M ，矩形OMPN 的面积为2 ，且ON =1， ∴PN ＝2.∴点P 的坐标为（1,2）. ………………………1分 ∵反比例函数ky x=（x ＞0）的图象、一次函数 y x b =+的图象都经过点P ，由12k=，b +=12得2=k ，1=b . ∴反比例函数为xy 2=，………………………………………………………2分一次函数为1+=x y . ………………………………………………………3分（2）Q 1（0,1），Q 2（0,－1）. ……………………………………………………5分18. 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴421===AC CO AO ，BO DO =. ∵△EAC 是等边三角形，∴8==AC EA ，EO ⊥AC . ………………………………………………………2分 在Rt △ABO 中，322=-=AO AB BO .∴DO ＝BO ＝3. ………………………………………………………………………3分 在Rt △EAO 中，3422=-=AO EA EO . …………………………………4分∴334-=-=DO EO ED . ……………………………………………………5分四、解答题（本题共21分，第19、20、21题每小题5分，第22题6分）19. 解：设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客x 人. ……………………………………1分根据题意，得xx 128005014400=+， …………………………………………………………………3分 解得400=x . ………………………………………………………………………4分 经检验，400=x 是原方程的解. …………………………………………………5分答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人.20. （1）证明：∵D A=DB ，∴∠DAB=∠DBA . 又∵∠C =∠DBC ， ∴∠DBA ﹢∠DBC ＝︒=︒⨯9018021. ∴AB ⊥BC .又∵AB 是O ⊙的直径，∴BC 是O ⊙的切线. ………………………………………………………2分（2）解：如图，连接BE ，∵AB 是O ⊙的直径，∴∠AEB ＝90°. ∴∠EBC ＋∠C ＝90°. ∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABE ＋∠EBC ＝90°. ∴∠C ＝∠ABE .又∵∠AFE ＝∠ABE ， ∴∠AFE ＝∠C .∴sin ∠AFE ＝sin ∠ABE ＝sin C . ∴sin ∠AFE ＝53. …………………………………………………………………3分 连接BF ， ∴︒=∠90AFB . 在Rt △ABE 中，25sin =∠=ABEAEAB . ……………………………………4分∵AF ＝BF ，∴5==BF AF . …………………………………………………………………5分21. 解：（1）① 0.15%)4.31(5.14≈+⨯， ………………………………………………2分即2010年北京市人均绿地面积约为15.0平方米.②……………………………………3分（2）675300406544936251100=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. …………………5分估计她所在学校的300名同学在2011年共植树675棵.22. 解：（1）x y 6.01=. ………………………………………………………………………1分x x y 2.22.022+-=.……………………………………………………………3分（2）)2.22.0()10(6.02t t t W +-+-=，15.315.014.513.612.618人均公共绿地面积（m 2）1512963020072008200920102011年份FEO DBCA66.12.02++-=t t W .…………………………………………………………4分即2.9)4(2.02+--=t W .所以甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元. …………………………………………………6分五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分）23. 解：（1）22=BD . ……………………………………………………………………2分（2）把△ADC 沿AC 翻折，得△AEC ，连接DE ，∴△ADC ≌△AEC .∴∠DAC =∠EAC ，∠DCA =∠ECA ， DC ＝EC . ∵∠BAD =∠BCA =2∠DAC =30°， ∴∠BAD =∠DAE =30°，∠DCE =60°.∴△CDE 为等边三角形. ……………………3分 ∴DC ＝DE .在AE 上截取AF ＝AB ，连接DF ， ∴△ABD ≌△AFD . ∴BD ＝DF .在△ABD 中，∠ADB =∠DAC ＋∠DCA =45°， ∴∠ADE =∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE =75°. ∴∠DFE =∠DEF . ∴DF ＝DE .∴BD ＝DC ＝2. …………………………………………………………………4分 作BG ⊥AD 于点G ， ∴在Rt △BDG 中， 2=BG . ……………………………………………5分∴在Rt △ABG 中，22=AB . ……………………………………………6分24. 解：（1）∵32++=bx ax y 过点M 、N （2，－5），6=MN ，由题意，得M （4-，5-）.∴⎩⎨⎧-=+--=++.53416,5324b a b aFGEDABC初三数学试卷 第 11 页（共 6页） 解得 ⎩⎨⎧-=-=.2,1b a∴此抛物线的解析式为322+--=x x y . …………………………………2分 （2）设抛物线的对称轴1-=x 交MN 于点G ，若△DMN 为直角三角形，则32121===MN GD GD . ∴D 1（1-，2-），2D （1-，8-）. ………………………………………4分 直线MD 1为1-=x y ，直线2MD 为9--=x y . 将P （x ，322+--x x ）分别代入直线MD 1，2MD 的解析式，得1322-=+--x x x ①，9322--=+--x x x ②. 解①得 11=x ，42-=x （舍），∴1P （1,0）. …………………………………5分 解②得 33=x ，44-=x （舍），∴2P （3,－12）. ……………………………6分 （3）设存在点Q （x ，322+--x x ），使得∠QMN =∠CNM .① 若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH ⊥MN ，交MN 于点H ，则4tan =∠=CNM MHQH .即）（445322+=++--x x x .解得21-=x ，42-=x （舍）.∴1Q （2-，3）. ……………………………7分 ② 若点Q 在MN 下方，同理可得2Q （6，45-）. …………………8分25. 解：（1）在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，AP =1，CD =AB =2，∴PB=5，90ABP APB ∠+∠=︒．∵90BPC ∠=︒，∴90APB DPC ∠+∠=︒． ∴ABP DPC ∠=∠． ∴ △ABP ∽△DPC ．PDC(F)AB(E)xy P 2D 2D 1G MNCO P 1x y HQMNC O初三数学试卷 第 12 页（共 6页）∴AP PBCD PC=，即152PC =． ∴PC=25．……………………………………………………………………2分 （2）① ∠PEF 的大小不变．理由：过点F 作FG ⊥AD 于点G ．∴四边形ABFG 是矩形． ∴90A AGF ∠=∠=︒．∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=︒． ∵90EPF ∠=︒，∴90APE GPF ∠+∠=︒． ∴AEP GPF ∠=∠． ∴ △APE ∽△GFP . …………………………………………………………4分 ∴221PF GF PE AP ===． ∴在R t △E P F 中，t a n ∠P E F =2PFPE=．……………………………………5分 即tan ∠PEF 的值不变．∴∠PEF 的大小不变．…………………………………………………………6分 ②5. …………………………………………………………………………7分GFP DCA BE。

辽宁省朝阳市2012年初中毕业升学考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.只有一个选项是正确的）1.下列实数中是无理数的是（ ）A . 3B . 9C. 3.14 D . 31 2.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+020132x x 的整数解是（ ）A.1，2B.0,1,2C. -1,1,2D.-1,0,1,23.下面图中能够判断∠1＞∠2的是（ ）4.主视图、左视图、俯视图分别是下列三个图形的物体是（）5.甲、乙两人5次射击命中的环数如下：甲：7 9 8 7 9 乙：7 8 9 8 8计算得甲、乙两人5次射击命中环数的平均数都是8环，甲命中环数的方差为0.8，由此可知（ ）A. 甲比乙的成绩稳定B. 乙比甲的成绩稳定C. 甲、乙两人成绩一样稳定D.无法确定谁的成绩更稳定6.如图，点P(2,1)是反比例函数xk y = 的图像上一点，则当y ＜1时，自变量x 的取值范围是（ ）A. x ＜2B. x ＞2C. x ＜2且x ≠ 0D. x ＞2或x ＜02121B C 左视图 俯视图 A B C D7.用配方法解一元二次方程0242=+-x x 时，可配方得（ ）A. ()622=-xB. ()622=+xC. ()222=-xD. ()222=+x 8.如图，沿Rt △ABC 的中位线DE 剪切一刀后，用得到的△ADE 和四边形DBCE 拼图，下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④等腰梯形.一定能拼出的是（ ）A. 只有 ①②B.只有③④C. 只有①③④D. ①②③④二、填空题（每小题3分，共24分）9.2011年3.15消费者权益日主题：消费与民生.某市2010年人均消费4760元，这个数据是衡量你的月薪和消费是否平衡的最权威凭证，数据4760元用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为 元.10.计算()()3223ab b a ⋅-= .11.如图，已知∠1=∠2=∠3=65°，则∠4的度数为 .12.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt △ABC 关于y 轴对称的图形为Rt △DEF ，则点A 的对应点D 的坐标是 .13.如图，身高是1.6m 的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子的长分别为1.2m 和9m ，则旗杆的高度为 m.14.一个扇形的圆心角是120°，面积为3π㎝2，那么这个扇形的弧长为 cm.15.观察下列图形：它们是用●按一定规律排列的依次规律，第10个图形中共有 个●.E D C B A 4321第6题图 第8题图 第11题图 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 第15题图16.亮亮骑自行车到距家9千米的体育场看一场球赛，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车处故障，他只好停下来修车，车修好后，他加速继续匀速赶往体育馆，其速度为原正常速度的34倍，结果正好按预计时间（如果自行车不出故障，与正常速度匀速行驶到达体育馆的时间）到达，亮亮行驶的路程s （千米）与时间t （分）之间的函数关系如图所示，那么他修车占用的时间为 分.三、解答题（本大题共10小题，满分102分；解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）17.（本小题满分6分） 计算：()3254120---⨯+π18.（本小题满分6分） 先化简，再求值：11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x ，其中，x =23-19.（本小题满分10分）某校九（2）班40同学为“希望工程”捐款，共捐款400元，捐款情况如下表：表格中捐款第16题图某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右一次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图.请结合图中信息解答下列问题.（1）本次调查的学生人数为 人；（2）补全频数分布直方图：（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是 （只填所有正确结论的代号）；A.由图①知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内B.由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内C. 图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°D.图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中，根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？21.（本小题满分10分）有两个布袋，甲袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”；乙袋中装有三个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”“3”.小颖和小明共同设计了一个游戏：小颖每次从甲袋中随机摸出一个球，小明就从乙袋中随机摸出一个球.如果小颖所摸球上的数字与小明所摸球上的数字之和为偶数，则小颖获胜；如果和为奇数，则小明获胜.你认为这个游戏公平吗？请用概率知识说明理由./分90~120150~18015%30~60 10%60~90 20%120~150第20题图（1） （2）（注：每组内数据不含最小值，含最大值）如图（3）是利用四边形的不稳定性制造的一个移动升降装修平台，其基本图形是菱形，主体部分相当于由6个菱形相互连接而成，通过改变菱形的角度，从而可改变装修平台的高度.（1） 如图（1）是一个基本图形，已知AB=1米，当∠ABC 为30°时，求AC 的长及此时整个装修平台的高度（装修平台的基角高度忽略不计）；（2） 当∠ABC 从30°变为90°（如图（2）是一个基本图形变化后的图形）时，求整个装修平台升高了多少米？【结果精确到0.1米，参考数据：sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,2≈1.41】23.（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为弦BC 的中心，连接OD 并延长交过点C 的切线于点P,连接AC.求证：△CPD ∽△ABC.DC B AD C B A P B A 第22题图（1） （2） （3） 第23题图24.(本小题满分12分)如图（1），在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点D 在AC 上，点E 在BC 上，且CD=CE,连接DE.（1）线段BE 与AD 数量关系是 ，位置关系是 .（2）如图（2），当△CDE 绕点C 顺时针旋转一定角度α后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.（3）绕点C 继续顺时针旋转△CDE ，当90°＜α＜180°时，延长DC 交AB 于点F ，请在图（3）中补全图形，并求出当AF=1+33时，旋转角α的度数.25.（本小题满分12分）为迎接2011年中国国际旅游节，某宾馆将总面积为6000平方米的房屋改造成普通客房（每间26平方米）和高级客房（每间36平方米）共100间及其他功能用房若干间，要求客房面积不低于总面积的50%，又不超过总面积的60%.（1）求最多能改造成普通客房多少间.（2）在（1）的情况下，旅游节期间，普通客房以每间每天100元的价格全部租出，高级客房每天租出的间数y （间）与其价格x （元/间）之间的关系如图所示.试问：该宾馆一天最高客房收入能达到12000元吗？若能，求出此时高级客房的价格；若不能，请说明理由.D E C B A αD EB AC BA/间）第24题图（1） （2）（3） 第25题图26.（本小题满分14分）平面直角坐标系中，对称轴平行于y 轴的抛物线经过原点O ，其顶点坐标为（3，29 ）；Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴上，直角顶点C 的坐标为（21，0），且BC=5，AC=3(如图（1）). （1）求出该抛物线的解析式；（2）将Rt △ABC 沿x 轴向右平移，当点A 落在（1）中所求抛物线上时，Rt △ABC 停止移动，D(0,4)为y 轴上一点，设点B 的横坐标为m ，△DAB 的面积为S.① 分别求出点B 位于原点左侧、右侧（含原点O ）时，S 与m 之间的函数关系式，并写出相应自变量m 的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；② 当点B 位于原点左侧时，是否存在实数m ，使得△DAB 为直角三角形？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由.答案：1. A ；2.D ；3.B ；4.A ；5.B ；6.D ；7.C ；8.C ；9.4.8×103；10. 753b a -；11.115°；12.（2，1）；13.12；14.2π；15.30；16.5；17.2；18. x －1，25-；19.10元的有19人，15元的有6人； 20.（1）60，（2）略，（3）A 、C 、D ，（4）336；21.小颖获胜的概率为21，不明获胜的概率为21，公平； 22.（1）3.1米，（2）5.4米；23.略24.（1）BE=AD ，BE ⊥AD ，（2）仍成立，（3）α=105°；25.（1）最多60间，（2）不能达到12000元；26.（1）x x y 3212-=，（2）①当点B 在原点左侧时，()05.41023 m m s ≤-+= 当点B 位于原点右侧时，()2-1501023m m s ≤+=②-1，-4，-4.4。

1.生 3. 须 知 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2012年北京市朝阳区初三一模试卷数学本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.在试卷和答题纸上认真填写学校名称、班级和姓名.试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 在答题纸上，作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回. 、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个计算：2 ,9 =（） A. 1 B . 3 我市深入实施环境污染整治， 某经济开发区的 吨.将167000用科学记数法表示为（） A. 167 103 B . 16.7 104 已知，如图, A. 40 因式分解 A. x C. 3 D. 5 40家化工企业中已关停、整改 C. 1.67 105 D. 0.167 是符合题意的. 32家，每年排放的污水减少了 167000106AD 与BC 相交于点 B . 50° O, AB// CD 如果/ B = 20°,/ D = 40°,那么/C. BOD 为()60°D. 70° 9的结果是（B . xC . D. x 10 如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图, A. 2个 B . 3个 C . 搭成这个几何体的小正方体的个数有 4个 D. 6个 已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为A. B. C. D. 1 ，下列说法正确的是（） 2次正面朝上 连续抛一枚均匀硬币 2次必有连续抛一枚均匀硬币 10次都可能正面朝上 大量反复抛一枚均匀硬币，平均每 100次出现下面朝上50次 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 如图，AB 是O O 的直径，AB= 4, AC 是弦，AC= 2 3 , / AOC 为() A. 120° B. 130° C. 140° 如图，在△ ABC 中,/ ACB= 90°, AC= BC= 2. E 、 EH L AB 于点H,设AE= x , GH h y ,下面能够反映 D F 分别是射线AC CB 上的动点，且 y 与x 之间函数关系的图象是（） 150°AE= BF EF 与AB 交于点G每小题4分）二、填空题（本题共16分,护―3自变量的取值范围是 _____________ .k点P 在双曲线y — (k 0)上，点P (1,2)与点P 关于y 轴对称，则此双曲线的解析式为x11 .如图，线分别与边 AB, AC 交于点M N 若OM MN 则点M 的坐标为12.如图，点 A , A, A, A,…，A 在射线 OA 上，点 B , R, B ，…，B —1 在射线 OB 上，且 AB // A 2B 2// AB ?// …// A n —1B n —1,AB // AE 2// AiB? / …// A>E n —1, △ A A 2B1 ,△ A 2A 3B 2,…，△ A —1AB —1 为阴影三角形，若△ ABB ,A ABB 3 的面积分别 为1、4,则厶AAB 的面积为 ________________ ;面积小于201115. 已知：如图， A 点坐标为 3, 0 , B 点坐标为0, 3 .2(1) 求过A , B 两点的直线解析式； (2) 过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使OP 2OA ，求 ABP 的面积.(2)解方程组x 2y 3x 2y9.函数y10.如图, 在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的顶点B, C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，过坐标原点 O 的一条直的阴影三角形共有、解答题(本题共30分，每小题5分)(⑹.13.计算：2 112 4si n60个.16. 如图，分别以Rt △ ABC勺直角边AC及斜边AB向外作等边△ ACD等边△ ABE已知/ BA& 30o, EFl AB,垂足为F,连结DF.（1）求证：AC= EF;（2）求证：四边形ADFE1平行四边形.17 .先化简: x2x 3 —3i（i 3）；若结果等于2，求出相应x的值. 4x 9 2 2x 3 318.在某市举办的“读好书，讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书.下面是七年级（1）班全体同学捐献图书的情况统计图：请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：（1）该班有学生多少人？（2）补全条形统计图；（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？四、解答题（本题共20分，每小题19 .某批发商以每件50元的价格件T恤.第一个月以单价80 售出了200件；第二个月如果变，预计仍可售出200件，批加销售量，决定降价销售，根查，单价每降低1元，可多售件，但最低单位应高于购进的5分）购进800元销售，单价不发商为增据市场调出10价格；第A4 ' 血窗书（制）二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元(1)填表(不需要化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元)80▲40销售量(件)200▲▲(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元?20.如图，等腰梯形ABCDh AD/ BC AD= AB= CD= 2，/ C= 60°, M是BC的中点.(1)求证：△ MD(是等边三角形；(2)将厶MD(绕点M旋转，当MD即MD )与AB交于一点E, M(C即MC )同时与AD交于一点F时，点E, F和点A构成厶AEF试探究△ AEF的周长是否存在最小值•如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.21. 如图，已知△ ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD ABC的角平分线，且AD BE，垂足为点H .(1)求证：AB是半圆O的切线；(2)若AB 3，BC 4，求BE 的长.22.已知：如图1,矩形ABCDK AB= 6，BC= 8，E、F、G H分别是AB BC CD DA四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设m^ A聊BO CDF DA探索m的取值范围.(1)__________________________________________________________________ 如图2，当E、F、G H分别是AB BC CD DA四边中点时，m= ____________________________________________________________(2)为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3,将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围.①请在图1中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是______________ .五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23. 已知一元二次方程 x + ax + a — 2= 0.(1) 求证：不论a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 设a v 0,当二次函数y = x 2+ ax + a — 2的图象与x 轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式； (3)在(2)的条件下，若此二次函数图象与 x 轴交于A B 两点，在函数图象上是否存在点P,使得△ PAB 的面积为 色丄3,2 若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由.24. 如图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 上一点，/ B =Z DA = 45° (1) 如图1,当/ C = 45。

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为 （ ） A ．9 B ．1 C ．1- D ． 9-2.设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为 ( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．63. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 （ ）A ． 2788n n +B ．2744n n + C ．2324n n+D ．2n n +4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．1-C ． 2-D ．05.已知函数()sin f x x x =，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a <<6.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7. 已知正方形ABCD的边长为将ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC -的体积()y f x =的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知集合{(,)|,,A x y x n yn a b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得AB ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.ADB N MOC时速（km/h ）010003 004 40 50 60 70 8010．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .11. 在平面直角坐标系中,不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是9,则实数a 的值为 .12. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m nq p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin 0b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =AB AC 的值．16. （本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）． （Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X的分布列及数学期望．17. （本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，,AD AB =，SA SD a ==．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小.18. （本题满分13分）已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）. （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.20. （本题满分14分） 数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n =）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，写出234,,a a a ，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b },,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠， 2212m n n n mc c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷答案（理工类） 2012.1二、填空题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………………………………3分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，………………………………………7分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分于是222cos2b c a A bc +-===， ………………………… 11分所以cos cos 21AB AC AB AC A cb A ====． …………… 13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情况为(5,3)．111()339P A =⨯=．所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为19．……………………………… 4分（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况．所以1111111()3333333P B =⨯+⨯+⨯=．所以某个家庭获奖的概率为13． ………………………………………… 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是13，所以1~(5,)3X B ．00551232(0)()()33243P X C ==⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅=，22351280(2)()()33243P X C ==⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅=. ………………………………… 11分所以533EX np ==⨯=． 所以X 的数学期望为53． ……………………………………………… 13分（17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）因为平面SAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，且面SAD 面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面SAD . 又因为SA ⊂平面SAD所以CD SA ⊥． …………………………………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥.在SAD ∆中，SA SD a ==，AD =， 所以SA SD ⊥，所以SA ⊥平面SDC . 即SA SD ⊥，SA SC ⊥,所以CSD ∠为二面角C SA D --的平面角．在Rt CDS ∆中，tan CDCSD SD ∠=== 所以二面角C SA D --的大小3π． …………………………………… 13分 法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ．在SAD ∆中，SA SD a ==，P 为AD 的中点，所以，SP AD ⊥． 又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD 平面ABCD AD =所以，SP ⊥平面ABCD ．显然，有PE AD ⊥． ……………………………… 1分 如图，以P 为坐标原点，P A 为x 轴，PE 为y 轴，PS为z 轴建立空间直角坐标系，则)S，,0,0)A ，,0)B，(,0)C ，(,0,0)D ． ………………………………………………………………3分（Ⅰ）易知2(0,3,0),(,0,)CD a SA a =-= 因为0CD SA ⋅=，所以CD SA ⊥． …………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面CSA 的一个法向量，则有0SA CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0=⎪-=⎩，所以=n ． ……………………………… 7分显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE 为平面SAD 的一个法向量，所以(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量．……………………………………… 9分所以 1cos ,2<>==n m ， 所以二面角C SA D --的大小为3π． ………………………………………… 13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln(1)1xf x x x-=+++， 则212()1(1)f x x x -'=+++. ………………………………………………… 2分 所以(1)0f '=.又(1)ln 2f =，因此所求的切线方程为ln 2y =. ………… 4分（Ⅱ）22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x -+-'=+=++++. ………………………… 5分 （1）当20a -≥，即2a ≥时，因为0x ≥，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ………………………………………………………………… 6分（2）当20a -<，即02a <<时，令()0f x '=，则220ax a +-=（0x ≥），所以x =.因此，当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 的单调递增区间为)+∞，函数()f x 的单调递减区间为. ………………………………………………………………… 10分 （Ⅲ）当2a ≥时，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()f x 的最小值为(0)1f =，满足题意. ………………………………………………………………… 11分当02a <<时，由（Ⅱ）知函数()f x 的单调递增区间为)+∞，函数()f x的单调递减区间为，则()f x 的最小值为f ，而(0)1f =，不合题意.所以a 的取值范围是[)2,+∞. ………………………………………………… 13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.………… 1分因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=, 由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=. 又因为直线l 与椭圆C 相切,所以221244(123)0c ∆=-⨯-=,解得21c =. 所以椭圆方程为22143x y +=. ……………………………………………… 5分 （Ⅱ）易知直线m 的斜率存在,设直线m 的方程为(4)y k x =-，…………………… 6分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)3264120k x k x k +-+-=. ………… 7分 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，解得1122k -<<. ……………………………………………………………… 8分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k+=+，2122641234k x x k -=+. …… 9分 又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切， 由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P . ……………………………10分 则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+，解得4k =±.经检验成立. …………………… 13分 所以直线m的方程为4)4y x =±-. …………………………………… 14分 （20）（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . 因为0122<-=+b a ,所以212223-=+=b a a ,023==b b . 因为33102a b +=-<,所以334124a b a +==-,430b b ==. 所以1234111,1,,24a a a a =-=-=-=-. …………………………………… 2分 由此猜想，当2≥k 时,011<+--k kb a ，则22111---=+=k k k k a b a a ，10k k b b -==.… 3分 下面用数学归纳法证明：①当2k =时，已证成立.②假设当k l =（l *∈N ，且2l ≥）猜想成立，即110l l a b --+<，10l l b b -==，102l l a a -=<. 当1k l =+时，由102l l a a -=<， 10l l b b -==得0l l a b +<，则10l l b b +==，1022l l l l a b a a ++==<. 综上所述，猜想成立. 所以22221111(2)222n n n n a a n ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故211,1 2.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， …………… 7分 所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. 当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分 当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立. 又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列, 11121)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-. …………………………… 10分 （Ⅲ）证明：由题意得2212mn n n mc c c ma -+=-+ n n c c m +=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>. 所以数列{}n c 是单调递增数列. …………………………………… 11分 因此要证)(1m n c n ≤<,只须证1<m c .由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m ++11，即1111n n c c m +->-.…… 12分 因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- mm m m 121+=+-->. 所以11m m c m <<+. 故当m n ≤,恒有1<n c . …………………………………………………14分。

2012年北京朝阳中考一模数学一、选择题（共8小题；共40分）1. 12的相反数是______A. −12B. 12C. −2D. 22. 据报道，2011 年北京市户籍人口中，60岁以上的老人有2460000人，预计未来五年北京人口“老龄化”还将提速．将2460000用科学记数法表示为______A. 0.246×107B. 24.6×105C. 2.46×105D. 2.46×1063. 在△ABC中，∠A=2∠B=80∘，则∠C等于______A. 40∘B. 60∘C. 80∘D. 120∘4. 若分式x2−9x−3的值为零，则x的值为______A. x≠3B. x≠−3C. x=3D. x=−35. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是______A. 角B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆6. 在一个不透明的袋子中装有2个红球、1个黄球和1个黑球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，若随机从袋子里摸出1个球，则摸出黄球的概率是______A. 14B. 13C. 12D. 347. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：成绩454647484950人数124251这次测试成绩的中位数和众数分别为______A. 47，49B. 47.5，49C. 48，49D. 48，508. 已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a<b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y<0时，x的取值范围是______A. x<aB. x>bC. a<x<bD. x<a或x>b二、填空题（共4小题；共20分）9. 函数y=x−4中自变量x的取值范围是______．10. 分解因式：5ma2−5mb2= ______．11. 如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠B=20∘，则∠ADC的度数为______．12. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是BC，CD边上的点，（1）若CE=12CB，CF=12CD，则图中阴影部分的面积是______；（2）若CE=1n CB，CF=1nCD，则图中阴影部分的面积是______（用含n的式子表示，n是正整数）．三、解答题（共13小题；共169分）13. 计算：−6sin60∘+12−1−2−20．14. 解不等式2x−1+3<5x，并把它的解集在数轴上表示出来．15. 已知：如图，C是AE的中点，∠B=∠D，BC∥DE．求证：AB=CD．16. 已知x2+3x−1=0，求4x x+2+x−12−3x2−1的值．17. 如图，P是反比例函数y=kxx>0图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON=1，一次函数y=x+b的图象经过点P．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线y=x+b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的14时，直接写出点Q的坐标．18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，求ED的长．19. 为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量．缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客 50 人，使得缩短发车间隔后运送 14400 人的时间与缩短发车间隔前运送 12800 人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人 ?20. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 AC 上，DA =DB ，∠C =∠DBC ，以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 于点E ，F 是 ⊙O 上的点，且 AF=BF ．（1）求证：BC 是 ⊙O 的切线；（2）若 sin C =35，AE =3 2，求 sin F 的值和 AF 的长．21. 为了了解北京市的绿化进程，小红同学查询了首都园林绿化政务网，根据网站发布的近几年北京市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：（1）请根据以上信息解答下列问题： ①2010年北京市人均公共绿地面积是多少平方米（结果精确到 0.1）?②补全条形统计图；（2）小红同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高北京市人均公共绿地面积做贡献．她对所在班级的 40 名同学2011年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：种树棵数 棵 012345人数1056946 如果按照小红的统计数据，请你通过计算估计，她所在学校的 300 名同学2011年共植树多少棵．22. 根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1=kx的图象如图1所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx的图象如图2所示．（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少 ?23. 阅读下面材料：问题：如图 1，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45∘，DC=2，求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图 1 中BD的长______；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30∘，DC=2，求BD和AB的长．24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点N2,−5，过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P x,y为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ? 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB，BC边相交于点E，F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．答案第一部分1. A2. D3. B4. D5. D6. A7. C8. C第二部分9. x≥410. 5m a+b a−b11. 70∘12. 23；nn+1第三部分13. 原式=3−6×32+2−1=1．14. 去括号，得2x−2+3<5x,移项，得2x−5x<2−3,合并同类项，得−3x<−1,系数化为1，得x>13.这个不等式的解集在数轴上表示为：15. ∵C是AE的中点，∴AC=CE．∵BC∥DE，∴∠ACB=∠E．在△ABC和△CDE中，∠B=∠D,∠ACB=∠E,AC=CE,∴△ABC≌△CDE．∴AB=CD．16.4x x+2+x−12−3x2−1 =4x2+8x+x2−2x+1−3x2+3 =2x2+6x+4=2x2+3x+4.∵x2+3x−1=0，∴x2+3x=1．∴原式=6．17. （1）∵PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON=1，∴PN=2．∴点P的坐标为1,2．∵反比例函数y=kxx>0的图象、一次函数y=x+b的图象都经过点P，由2=k1，2=1+b得k=2，b=1．∴反比例函数为y=2x，一次函数为y=x+1．（2）Q10,1，Q20,−1．18. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=12AC=4，DO=BO．∵△EAC是等边三角形，∴EA=AC=8，EO⊥AC．在Rt△ABO中，BO=2−AO2=3．∴DO=BO=3．在Rt△AEO中，EO=2−AO2=43．∴ED=EO−DO=43−3．19. 设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客x人．根据题意，得14400x+50=12800x.解得x=400.经检验，x=400是原方程的解且符合题意．答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人．20. （1）∵DA=DB，∴∠DAB=∠DBA．∵∠C=∠DBC，∴∠DBA+∠DBC=12×180∘=90∘．∴AB⊥BC．∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．（2）如图，连接BE，BF．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90∘，∠AFB=90∘，∴∠EBC+∠C=90∘．∵∠ABC=90∘，∴∠ABE+∠EBC=90∘．∴∠C=∠ABE．∵∠AFE=∠ABE，∴∠AFE=∠C．∴sin∠AFE=sin∠ABE=sin C．∴sin∠AFE=35．在Rt△ABE中，AB=AEsin∠ABE=52．∵AF=BF，∴AF=BF=5．21. （1）①14.5×1+3.4%≈15.0，即 2010 年北京市人均绿地面积约为15.0平方米．②如图，×300=675．（2）0×10+1×5+2×6+3×9+4×4+5×640估计她所在学校的300名同学 2011 年共植树675棵．22. （1）y1=0.6x．y2=−0.2x2+2.2x．（2）W=0.610−t+−0.2t2+2.2t，W=−0.2t2+1.6t+6．即W=−0.2t−42+9.2．所以甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元．23. （1）22（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC．∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA,DC=EC．∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30∘，∴∠BAD=∠DAE=30∘，∠DCE=60∘．∴△CDE为等边三角形．∴DC=DE．在AE上截取AF=AB，连接DF，∴△ABD≌△AFD．∴BD=DF．在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45∘，∴∠ADE=∠AED=75∘，∠ABD=105∘．∴∠AFD=105∘．∴∠DFE=75∘．∴∠DFE=∠DEF．∴DF=DE．∴BD=DC=2．作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中，BG=2．∴ 在 Rt △ABG 中，AB =2 2．24. （1） ∵y =ax 2+bx +3 过点 M ，N 2,−5 ，MN =6，由题意，得 M −4,−5 ． ∴ 4a +2b +3=−5,16a −4b +3=−5.解得 a =−1,b =−2.∴ 此抛物线的解析式为 y =−x 2−2x +3．（2） 设抛物线的对称轴 x =−1 交 MN 于点 G ， △DMN 为直角三角形，则 GD 1=GD 2=12MN =3． ∴D 1 −1,−2 ，D 2 −1,−8 ．直线 MD 1 为 y =x −1，直线 MD 2 为 y =−x −9．将 P x ,−x 2−2x +3 分别代入直线 MD 1，MD 2 的解析式，得−x 2−2x +3=x −1, ⋯⋯①−x 2−2x +3=−x −9. ⋯⋯②解① 得x 1=1,x 2=−4 舍 ,∴P 1 1,0 ． 解 ② 得x 3=3,x 4=−4 舍 ,∴P 2 3,−12 ．（3） 设存在点 Q x ,−x 2−2x +3 ，使得 ∠QMN =∠CNM ．Q 在 MN 上方，过点 Q 作 QH ⊥MN ，交 MN 于点 H ，则 QHMH =tan ∠CNM =4． 即 −x 2−2x +3+5=4 x +4 ，解得 x 1=−2，x 2=−4（舍）， ∴Q 1 −2,3 ．（ii ）若点 Q 在 MN 下方，同理可得 Q 2 6,−45 ．25. （1） 在矩形 ABCD 中，∠A =∠D =90∘，AP =1，CD =AB =2， ∴PB = 5，∠ABP +∠APB =90∘． ∵∠BPC =90∘， ∴∠APB +∠DPC =90∘． ∴∠ABP =∠DPC ． ∴△ABP ∽△DPC ． ∴APCD =PBPC ，即 12= 5PC ． ∴PC =2 5．（2） ①∠PEF 的大小不变． 理由：过点 F 作 FG ⊥AD 于点 G ． ∴ 四边形 ABFG 是矩形． ∴∠A =∠AGF =90∘．∴GF =AB =2，∠AEP +∠APE =90∘． ∵∠EPF =90∘， ∴∠APE +∠GPF =90∘． ∴∠AEP =∠GPF ． ∴△APE ∽△GFP ． ∴PFPE =GFAP =21=2．∴ 在 Rt △EPF 中，tan ∠PEF =PFPE =2，即 tan ∠PEF 的值不变． ∴∠PEF 的大小不变．②5．。

北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试九年级数学模拟试题一、填空题（每题2分，共28分）1、分解因式：=--1222x x 。

2、方程122-=-x x 的解是 。

3、方程02222=---x x x x的根是 。

4、某品牌衬衫计划两月里降低售价36%，则平均每月打 折。

5、点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，AB =251+，则AP = 。

6、如图，△ABC 中，AB ＝7，AD ＝4，∠B ＝∠ACD ，则AC ＝________。

7、为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α, 则楼房BC 的高为 米。

8、以原点O 为圆心，3为半径作圆，则点Q ()6,2-与这个圆的位置关系 。

9、己知两圆的半径为6cm 和3cm ，圆心距为2cm ，这两个圆的位置关系是 。

10、己知两圆相切，这两圆共有 条公切线。

11、己知△ABC 的周长为28cm ，内切圆半径为2cm ，则△ABC 12.如图,Rt ΔABC 中,∠C=900,AC = 6,BC = 8,CD 为直径的⊙O 与AB 则⊙O 的半径是 。

13、请设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧==32y x 和 ⎩⎨⎧-=-=23y x试写出符合要求的方程组 。

14、在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，△ABC 绕着点B 旋转后, 点C 落在AB 边上的点C ’，点A 落在点A ’，那么tg ∠AA ’C’的值为 ． 二、多项选择题（每题3分，共12分）15、下列方程中，无实数根的方程是…………………（ ）A 、B 、C 、012=--xxx ； D 、x x -=+216．如图：在△ABC 中，点D 、G 分别在BC 、AB 边上，AD 与CG 相交H ，如果DA=DB ，GB=GC ，CB011=++x 231=+xxAD 平分∠BAC ，那么下列三角形中与△ABC 相似的是…（ ） A 、△ABD ； B 、△ACD ； C 、△AGH ； D 、△CDH ． 17、在△ABC 中，∠A=90°，AD 是BC 上的高，若BC=1，∠B=β，则下列结论正确的是………………………….（ ）（A ）βcos =AC ； （B ）β2cos =BD ； （C ）ββsin cos ⋅=AD ； （D ）β2sin =CD ． 18、下列直线中，可以判定为圆的切线的是…………………………（ ） A ．过圆的半径外端的直线； B ．垂直于圆的半径的直线； C ．与圆仅有一个公共点的直线； D ．与圆心距离等于半径的直线。

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N 等于（ ）A ．φB ．}321|{<<x x C ．}30|{<<x xD ．{|23}x x <<2.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为（ ）A ．9-B ．1-C ．1D ．93. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=)0(12)0(2x x x y x的图象大致是 （ ）4. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 （ ）A ． 2788n n +B ．2744n n+ C ．2324n n +D ．2n n +5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．1-C ． 2-D ．06. 函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7.已知函数()sin f x x x =+，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A. a b c << B.c a b << C.b a c << D.b c a << 8. 已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得A B ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 若变量x ，y 满足约束条件1,,236,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值为 .10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体时速（km/h ）01002 003 00440 50 60 70 80的体积是 .12. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边，且满足2sin 0b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =2c =，求AB AC 的值．16. （本题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求证：//PQ 平面SCD ；（Ⅲ）若SA SD =，M 为BC 中点，在棱SC 上是否存在点N，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.17. （本题满分13分） 如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域MSD CAP Q·的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）． （Ⅰ）请列出一个家庭得分(,)a b 的所有情况；（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？18. （本题满分13分）设函数2()ln 2,R 2ax f x a x x a =+-∈. （Ⅰ）当1a =时,试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值; （Ⅱ）当0a ≥时,试求函数()f x 的单调区间. 19. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2P ，F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点(4,0)A 的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在,A N 两点之间），若AMF △与MFN △的面积相等，试求直线l 的方程.20. （本题满分14分） 数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n =）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，求2a ，3a ，4a ，并猜想数列}{n a 的通项公式（不需要证明）； （Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b ，},,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠，2212m n n n mc c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）答案 2012.1二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，根据正弦定理得：2sin sin 0A B A -=.………………………………………………………3分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . ………………………………………………5分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =2c =，根据余弦定理，得 2744cos3a a π=+-， ……………………………………8分整理，得2230a a --=．由于0a >，得3a =． ……………………………10分于是222cos214b c a A bc +-===， ………………………………11分所以 cos cos 2114AB AC AB AC A cb A ====． ……………13分（16）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为正方形，则CD AD ⊥. …………………1分 又平面SAD ⊥平面ABCD ， 且面SAD 面ABCD AD =，所以CD ⊥平面SAD . ………………………………………………………3分（Ⅱ）取SC 的中点R ，连QR, DR ．由题意知：PD ∥BC 且PD =12BC ．…………………4分 在SBC ∆中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点，所以QR ∥BC 且QR =12BC ．所以QR ∥PD 且QR=PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形. …………………………………………………7分 所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ． ……………………………………………………………10分 （Ⅲ）存在点N 为SC 中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD ． ………………11分连接PC DM 、交于点O ，连接PM 、SP ， 因为//PD CM ，并且PD CM =，所以四边形PMCD 为平行四边形，所以PO CO =. 又因为N 为SC 中点，所以//NO SP ．………………………………………………………………………12分 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD 平面ABCD =AD ，并且SP AD ⊥， 所以SP ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ， ……………………………………………………13分 又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD ．……………………………………………………14分 （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为(2,2),(2,3),(2,5),(3,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,2),(5,5)． …………………………………………………………7分（Ⅱ）记事件A ：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括 (2,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)共5种， ……………………………………………11分 所以5()9P A =． 所以一个家庭获奖的概率为59． …………………………………………………13分（18）（本小题满分13分）解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………………1分当1a =时,2()ln 22x f x x x =+-，因为21(1)()20x f x x x x -'=+-=≥， …3分 M SDBCAPQ·R (N )O所以函数()f x 在区间[1,e]上单调递增，则当=e x 时,函数()f x 取得最大值2e (e )12e 2f =+-. …………………………………………………………………5分（Ⅱ）22()ax x af x x-+'=. ………………………………………………………6分当0a =时,因为()20f x '=-<，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；…7分 当0a >时，⑴当2440a ∆=-≤时，即1a ≥时，()0f x '≥，所以函数()f x 在区间(0,)+∞ 上单调递增； …………………………………………………………9分⑵当2440a ∆=->时，即01a <<时，由()0f x '>解得，10x a <<1x a +>. …………………………………………10分由()0f x '<解得11x a a +<<； ………………………………11分所以当01a <<时，函数()f x 在区间1(0,a上单调递增；在上单调递减，)+∞单调递增. ………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为12c a =，所以2a c =，b =. …………………………………1分 设椭圆方程为2222143x y c c +=，又点3(1,)2P 在椭圆上,所以2213144c c+=，解得21c =， …………………………………………………………………………3分所以椭圆方程为22143x y +=. …………………………………………………………4分 （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在,设l 的方程为(4)y k x =-， ……………………………………………………………5分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理，得 2222(34)3264120k x k x k +-+-=， ………………………………………………6分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，解得1122k -<<. ……………………………………………………………………7分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k +=+，⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①， 2122641234k x x k-=+.… ②. 因为AMF △与MFN △的面积相等，所以AM MN =，所以1224x x =+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ③ ……………………………………10分由①③消去2x 得21241634k x k +=+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ④将2124x x =-代入②得21126412(24)34k x x k --=+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⑤ 将④代入⑤2222224164166412(24)343434k k k k k k ++-⨯-=+++，整理化简得2365k =，解得k =，经检验成立. …………………………12分 所以直线l的方程为4)6y x =±-. …………………………………………13分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . ……1分 因为0122<-=+b a ,则212223-=+=b a a ,320b b ==. ………………2分 333421222a b a a +===-. ……………………………………………………3分 猜想当2n ≥时，22221111222n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.则21,1,1, 2.2n n n a n -⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩ …………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， ……………………5分所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. ……………………6分当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………………8分当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立. 又110b a -≠，所以}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列， ……9分 11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫⎝⎛-=-. …………………………10分（Ⅲ）证明：由题意得2212m n n n mc c c ma -+=-+n n c c m+=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>.所以数列{}n c 是单调递增数列. ………………………………………………11分 因此要证)(1m n c n ≤<，只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m++11，即1111n n c c m +->-. …12分因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 121+=+-->. 所以11m mc m <<+.故当m n ≤,恒有1<n c . ………………………………………………………14分。

朝阳区2011～2012学年九年级第一学期期末统一考试数 学 试 卷 2012.1（考试时间120分钟 满分120分）学校 班级 姓名 考号一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列图形是中心对称图形的是A. B. C. D.2. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为4cm 和2cm ，圆心距O 1O 2为6cm ，则这两个圆的位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切3. 如图，已知△ABC 中，AB = AC ，∠ABC =70°，点I 是△ABC 的内心， 则∠BIC 的度数为A. 40°B. 70°C. 110°D. 140° 4. 抛物线1)2(2+-=x y 是由抛物线2x y =平移得到的，下列对于 抛物线2x y =的平移过程叙述正确的是A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 （第3题图）C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位5. 如图，⊙O 的半径OC 垂直于弦AB ， D 是优弧AB 上的一点（不与点A 、B 重合），若∠AOC =50°，则∠CDB 等于A ．25°B ．30°C ．40°D ．50° （第5题图）6. 如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40mm ，焦距是60mm ，所拍摄的2m 外的 景物的宽CD 为A ．12mB ．3mC ．23m D ．34m（第6题图）7. △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 其中A (1, 2)，B (1, 1)，C (3, 1)，将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90 后得到△'''C B A ，则点A 旋转到点'A 所经过的路线长为 A ．π25 B ．π45C ．π25 D ．2（第7题图）8. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示 y 关于x 的函数关系的图象大致是A. B. C.D. 二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9.如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，且AD ＝3，将△ABD 绕点A 旋转到△ACE 的位置，连接DE ，则DE 的长为 .（第9题图） （第10题图） （第11题图）10. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若该圆的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R 的值是 .11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB =AD =4，BC =6，以点A 为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是 ．12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 ，… 这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）． 如果规定11a =，23a =，36a =，410a =，…；11b =，24b =，39b =，416b =，…；1112y a b =+，2222y a b =+，3332y a b =+，4442y a b =+，…，那么，按此规定，=6y ，n y ＝ （用含n 的式子表示，n 为正整数）．y5Ox14916图②图①10631y5O三、解答题（共13个小题，共72 分） 13.（本小题满分5分）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2.14.（本小题满分5分）如图，已知4=AC ，求AB 和BC 的长.15.（本小题满分5分）如图，□ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，连接CE ，与AD 相交于点F . （1）求证：△EBC ∽△CDF ；（2）若BC ＝8，CD ＝3，AE ＝1，求AF 的长．16.（本小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△'''C B A 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1），B ′（6，2）. （1）若点A （25，3），则A ′的坐标为 ；（2）若△ABC 的面积为m ，则△A ′B ′C ′的面积＝ .A二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，其中图象与x 轴交于点A （－1,0），与y 轴交于点C （0，－5），且经过点D （3，－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成2()y a x h k =-+的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的另一个交点B的坐标.18. （本小题满分5分）经过18个月的精心酝酿和290多万首都市民投票参与，2011年11月1日，“北京精神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布. 为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料. 第一周发放宣传材料300份，第三周发放宣传材料363份. 求发放宣传材料份数的周平均增长率.19. （本小题满分5分）如图，CD 与AB 是⊙O 内两条相交的弦，且AB 为⊙O 的直径，CE ⊥AB 于点E ，CE=5，连接AC 、BD .（1）若135sin =D ，则cos A = ； （2）在（1）的条件下，求BE 的长．小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪（图①），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD 的高度（如图②）.她先在A 处测得楼顶C 的仰角=α30°，再向楼的方向直行10米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角=β60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米，参考数据：41.12≈，73.13≈，24.25≈）.图① 图②21.（本小题满分5分）已知抛物线4)1(21-+++=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 且对称轴为x =－1． （1）求m 的值； （2）画出这条抛物线；（2）若直线b kx y +=2过点B 且与抛物线交于点P （－2m ，－3m ），根据图象回答：当x 取 什么值时，1y ≥2y .22. （本小题满分6分）某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y （个）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？CBCA23.（本小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，O 为BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与AB 边和BC 边分别交于点D 、点E ，连接CD ，且CD =CA ，BD =56，tan ∠ADC =2． （1）求证：CD 是半圆O 的切线； （2）求半圆O 的直径； （3）求AD 的长.24. （本小题满分8分）已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =22，点D 、E 在BC 边上（均不与点B 、C 重合，点D 始终在点E 左侧），且∠DAE ＝45°．（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上 ， ； （2）设BE ＝m ，CD ＝n ，求m 与n 的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围； （3）如图②，当BE ＝CD 时，求DE 的长；（4）求证：无论BE 与CD 是否相等，都有DE 2=BD 2+CE 2.图① 图② 备用图25.（本小题满分8分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6与x 轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OB=21OC ，tan ∠ACO =61，顶点为D ．（1）求点A 的坐标．（2）求直线CD 与x 轴的交点E 的坐标.（3）在此抛物线上是否存在一点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若点M （2，y ）是此抛物线上一点，点N 是直线AM 上方的抛物线上一动点，当点N 运动到什么位置时，四边形ABMN 的面积S 最大? 请求出此时S 的最大值和点N 的坐标．（5）点P 为此抛物线对称轴上一动点，若以点P 为圆心的圆与（4）中的直线AM 及x 轴同时相切，则此时点P 的坐标为 .备用图① 备用图②朝阳区2011～2012学年九年级第一学期期末统一考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9. 3 10. 6 11.π4 12. 78，n n +22（每空2分）三、解答题（共13个小题，共72 分） 13.（本小题满分5分） 解： 2322232⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=原式，……………………………………………3分 21=. ……………………………………………………………………5分14.（本小题满分5分）解：作CD ⊥AB 于点D ， 在Rt △ACD 中，∵∠A ＝30°， ∴∠ACD ＝90°－∠A ＝60°，221==AC CD ，32cos =⋅=A AC AD . ……………………………………………………………3分在Rt △CDB 中，∵∠DCB ＝∠ACB －∠ACD ＝45°，∴2==CD BD ，2245sin =︒=CD BC . …………………………………………………………………4分∴322+=+=BD AD AB .…………………………………………………………5分15.（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB∥CD .∴△EAF ∽△EBC ，△EAF ∽△CDF . ……………………………………………2分 ∴△EBC ∽△CDF . …………………………………………………………………3分（2）解：∵△EAF ∽△EBC ，∴BCAF EBEA =，即8311AF =+.解得2=AF . …………………………………………………………………………5分16. （本小题满分4分） （1）（5，6）；…………………………………………………………………………………2分（2） 4m . ……………………………………………………………………………………4分17. （本小题满分5分） 解：（1）由题意，有⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==+-.839,5,0c b a c c b a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542--=x x y . …………………………………2分（2）9)2(2--=x y ，顶点坐标为（2，－9），B （5，0）. …………………………5分18. （本小题满分5分）解：设发放宣传材料份数的周平均增长率为x ，由题意，有.363)1(3002=+x …………………………………………………………………3分 解得 1.01=x ，1.22-=x . …………………………………………………………4分 ∵1.2-=x <0，不符合题意，舍去，∴%101.0==x . ……………………………………………………………………5分 答：这两次发放材料数的平均增长率为10%.19. （本小题满分5分） （1）1312. …………………………………………………………………………………2分（2）解：如图，连接BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴由（1）知AC ＝13， 12=AE ，1312cos =A .在Rt △ACB 中，ABAC A =cos ，∴12169=AB . ………………………………………………………………………4分∴1225=-=AE AB BE . …………………………………………………………5分20.（本小题满分5分）解：∵=α30°，=β60°，∴∠ECF ＝αβ-＝30°. ∴10==EF CF .在Rt △CFG 中，.35cos =⋅=βCF CG ……………………………………………3分 ∴3.106.135≈+=+=GD CG CD . ………………………………………………5分 答：这座教学楼的高度约为10.3米.21.（本小题满分5分）解：（1）由题意，有121-=+-m ，解得m ＝1. ……………………………………………………………2分（2）如图1；A（3）如图2，x ≤－2或x ≥1. ……………………………………………………………5分22.（本小题满分6分）解：（1）由题意，有 )60(2100--=x y ，即2202+-=x y ；………………………………………………………………………2分 （2）由题意，有 )2202)(50(+--=x x w ，即1100032022-+-=x x w ；…………………………………………………………4分（3）∵抛物线1100032022-+-=x x w 的开口向下，在对称轴80=x 的左侧，w 随x 的增大而增大. 由题意可知7060≤≤x ，………………………………………………………………5分 ∴当70=x 时，w 最大为1600. ………………………………………………………6分 因此，当每个书包的销售价为70元时，该超市可以获得每周销售的最大利润1600元.23.（本小题满分6分） （1）证明：如图，连接OD ，∵OD ＝OB ，∴∠1＝∠2. ∵CA ＝CD ，∴∠ADC ＝∠A . 在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠1＝90°. ∴∠ADC ＋∠2＝90°. ∴∠CDO ＝90°. ∵OD 为半圆O 的半径，∴CD 为半圆O 的切线. ………………………………………………………………2分 （2）解：如图，连接DE .∵BE 为半圆O 的直径， ∴∠EDB ＝90°. ∴∠1＋∠3＝90°. ∴∠ADC ＝∠3. ∴23tan ==∠EDBD .∴53=ED . ∴1522=+=DEBDEB . ………………………………………………………4分（3）解：作CF ⊥AD 于点F ，∴AF ＝DF .设x DF =，BPA∵2tan =∠ADC ，∴CF ＝2x .∵∠1＋∠FCB ＝90°，∴ADC FCB ∠=∠.∴2tan =∠FCB . ∴FB ＝4x .∴BD ＝3 x ＝56. 解得52=x .∴A D ＝2D F ＝2x ＝54. ……………………………………………………………6分24.（本小题满分8分）解：（1）△ADE ∽△BAE ，△ADE ∽△CDA ，△BAE ∽△CDA ；（写出任意两对即可）（2）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝22，由（1）知 △BAE ∽△CDA ， ∴CA BE CD BA =. ∴22mn =. ∴n m 4= （222<<n ）. ……………………………………4分（3）由（2）只BE·CD ＝4，∴BE ＝CD ＝2.∴BD ＝BC －CD ＝222-.∴DE ＝BE －BD ＝224-.………………………………………………………5分（4）如图，依题意，可以将△AEC 绕点A 顺时针旋转90°至△AFB 的位置，则FB ＝CE ，AF ＝AE ，∠1＝∠2，∴∠FBD ＝90°.∴22222CE BD FB BD DF +=+=. (6)∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°，∴∠FAD ＝∠DAE .又∵AD ＝AD ，AF ＝AE ，∴△AFD ≌△AED .∴DE ＝DF . ………………………………………………………………………7分 ∴222CE BD DE +=. …………………………………………………………8分25.（本小题满分8分）解：（1）根据题意，得C （0,6）.在Rt △AOC 中，61tan =∠ACO ，OC ＝6，∴OA ＝1. ∴A （－1,0）. ……………………………………………………………1分（2）∵OC OB 21=，∴OB ＝3. ∴B （3,0）.由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-.0639,06b a b a 解得 ⎩⎨⎧=-=.4,2b a ∴6422++-=x x y .∴D （1,8）. ……………………………………………………………………2分 可求得直线CD 的解析式为62+=x y .∴E （－3,0）. ……………………………………………………………………3分（3）假设存在以点A 、C 、F 、E 为顶点的平行四边形，则F 1（2,6），F 2（－2,6），F 3（－4,－6）.经验证，只有点（2,6）在抛物线6422++-=x x y 上，∴F （2,6）. ………………………………………………………………………4分（4）如图，作NQ ∥y 轴交AM 于点Q ，设N （m , 6422++-m m ）.当x ＝2时，y ＝6，∴M （2,6）.可求得直线AM 的解析式为22+=x y .∴Q （m ，2m ＋2）.∴NQ ＝422)22(64222++-=+-++-m m m m m .∵AMN ABM S S S ∆∆+=，其中126421=⨯⨯=∆ABM S ， ∴当AMN S ∆最大时，S 值最大.∵MNQ ANQ AMN S S S ∆∆∆+=)422(3212++-⨯⨯=m m ,6332++-=m m ,427)21(32+--=m . ∴当21=m 时，AMN S ∆的最大值为427. ∴S 的最大值为475.……………………………………………………………………6分 当21=m 时，2156422=++-m m . ∴N （21，215）. ……………………………………………………………………7分（5）P 1（1，15-），P 2（1，15--）. …………………………………………8分 说明：写成P 1（1，154+），P 2（1，154--）不扣分.。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷〔文史类〕 2012.3一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A.42i - B. 42i -+ C. 24i + D. 24i -2. 假设集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，以下命题正确的选项是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //6. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e =其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为A ．2212x y -= B ．22123x y -= C.2214x y -= D. 221x y -= 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费〔即销售100元要征收x 元〕，于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.假设直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.n ()n ∈Z B.2n ()n ∈Z C. 2n 或124n - ()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.假设sin θ=(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 .〔第10题图〕11. 执行如下图的程序框图，假设输入k 的值是4，则输出S 的值是 .〔第11题图〕12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图 侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.假设O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．2012年北京市东城区高三数学一模试题 〔文科〕第Ⅰ卷〔选择题 共40分〕一、本大题共8小题，每题5分，共40分。

北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试九年级数学试卷答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9. 1410. 1x=-11. 6π错误！未找到引用源。

12. 25122π-错误！未找到引用源。

三、解答题（共13道题，13-21每题5分，22-23每题6分，24题7分，25题8分，共72分）13. ︒+︒-︒-︒45tan30tan345cos260sin2解：=错误！未找到引用源。

……………………………….4分=错误！未找到引用源。

………………………………. 5分14.(1)y=(x-3)2-4 ……………………………….2分(2)与x轴交点(1,0),(5,0) ……………………………….4分与y轴交点(0,5) ……………………………….5分∴BC=AD=4根据题意，AP=2x，BQ=x∴PB=16-2x ……………………………….2分∵S△PBQ=12P B Q B∴y=-x2+8x ……………………………….3分自变量取值范围：0<x≤4 ……………………………….4分（2）当x=4时，y有最大值，最大值为16∴△PBQ的面积的最大值为16cm2 ……………………………….6分23.解:过点E作EM⊥AB，垂足为M. ………………………1分设AB为x.Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13 ……………………….2分在Rt △AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，……………………….3分 ∴tan22°=AMME，……………………….4分 x-2x+13 = 25……………………….5分 x=12.即教学楼的高为12m. …………………………6分 24. 解：(1)∵OB=1，OC=3∴C(0，-3)，B(1，0)∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△OAE∴A(-3,0)所以抛物线过点A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0) ……………………………… 1分 设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，可得 ++0-39-30a b c c a b c =⎧⎪=⎨⎪+=⎩解得12-3a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴过点A,B,C 的抛物线的解析式为22-3y x x =+ ……………………………… 2分 (2) ∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△OAE ， △OBC 沿y 轴翻折得到△COD∴E （0，-1），D （-1,0） 可求出直线AE 的解析式为113y x =--直线DC 的解析式为33y x =-- ∵点F 为AE 、DC 交点 ∴F （3-4，3-4） ……………………………… 3分S 四边形ODFE =S △AOE -S △ADF =34……………………………… 4分（3）连接OM ，设M 点的坐标为()m n ， ∵点M 在抛物线上，∴223n m m =+- ∴AM C AM O O M C AO C S S S S ∆∆∆∆=+- =111393()(3)222222O A m O C n O A O C m n m n ⋅+⋅-⋅=-+-=-++M=2233327(3)()2228m m m =-+=-++ ……………………………… 6分因为03m <<，所以当32m =-时，154n =-，△AMA ’的面积有最大值所以当点M 的坐标为(31524-，-)时，△AMA ’的面积有最大值……………………………… 7分如有其他正确解法，请参考评分标准给分.。