用Abel公式证明一些不等式

a十b十c柯西不等式证明摘要：一、柯西不等式的概念二、柯西不等式的基本性质三、柯西不等式的证明方法1.柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）证明2.柯西-阿贝尔（Cauchy-Abel）证明3.哈代-李特尔伍德（Hardy-Littlewood）证明四、柯西不等式在实际问题中的应用正文：柯西不等式（Cauchy Inequality）是数学中一种非常重要的不等式，它涉及到复数和实数的运算。

这个不等式描述了在实数或复数域中，两个数的平方和与它们的乘积之间存在的关系。

具体来说，柯西不等式表明：对于任意实数或复数a、b、c，都有|a·b| ≤ |a|·|b|，其中|a|和|b|分别表示a和b的模。

柯西不等式具有以下几个基本性质：1.柯西不等式对所有的实数和复数都成立。

2.当a、b、c都是实数时，不等式可以取等号，当且仅当a和b同号，且它们的模相等。

3.当a、b、c都是复数时，不等式总是成立的，没有取等号的条件。

关于柯西不等式的证明方法，有多种数学家提出的证明方式，这里我们介绍三种常见的证明方法：1.柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）证明：该证明方法利用了实数或复数的内积和范数之间的关系。

设a、b、c 是实数或复数，且a和b的模都为1，那么有：|a·b| = |(a, b)| = |(a, a) - (b, a)| ≤ |a - b| = |a| - |b|从而得到|a·b| ≤ |a|·|b|。

2.柯西-阿贝尔（Cauchy-Abel）证明：该证明方法利用了实数或复数的微积分性质。

设f(x) = |x|，那么有：|a·b| = f(a·b) ≤ f(|a|) + f(|b|) = |a| + |b|从而得到|a·b| ≤ |a|·|b|。

3.哈代-李特尔伍德（Hardy-Littlewood）证明：该证明方法利用了实数或复数的级数性质。

证明abel定理
Abel定理在数学、物理等领域有广泛的应用，下面以abel群循环分解定理为例进行证明：
定理：对于任意Abel群（A,·），其一定可以被分解为若干循环群的积 Zi1Zi2…Zik。

证明思路：（忽略了一些边界和细节，如 A 已经是循环群的情况）如果你看到了，说明它所指的小结论的证明是比较简单的，觉得显然可以略过。

取一元素 x∈A。

根据它，我们试图将 A 划分成若干集合。

我们首先划分出的集合是 S0=⟨x⟨。

Abel定理在不同的领域中可能有不同的表现形式和证明方法，如果你还需要其他证明，请提供更具体的信息，以便我更好地为你解答。

（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula若a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n分别是两个实数数列或复数数列，且S i = a1 + a2 + …+ a i，i = 1，2，…，n则（2）均值不等式AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是非负实数，则…当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（3）均值不等式AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是正实数，则当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（4）伯努利不等式Bernoulli’s Inequality对任意实数x＞1和a＞1，都有( 1 + x )n＞1 + ax（5）柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，有… … …当且仅当a i与b i都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals 设a，b为实数且a＜b，且f，g为[a，b] →R的可积分函数，则（7）切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality设实数a1≤a2≤…≤a n，且b1，b2，…，b n为实数若b1≤b2≤…≤b n，则若b1≥b2≥…≥b n，则当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到（8）积分形式的切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality for integrals设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] →R的可积分函数，且具有相同的单调性，则（9）琴生不等式Jensen’s Inequality若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有… …若f ( x )是区间(a，b)上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有当且仅当x1 = x2 = … = x n时等号成立加权形式：若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，且a1 + a2 + … + a n = 1，有……（10）赫尔德不等式Holder’s Inequality设r，s为正实数，且满足1r+ 1s= 1则对任意正实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，都有（11）惠更斯不等式Huygens Inequality若p1，p2，…，p n和a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n都是正实数，且p1 + p2 + … + p n = 1，则（12）麦克劳林不等式Mac Laurin’s Inequality对任意正实数x1，x2，…，x n，都有S1≥S2≥…≥S n其中…＜＜…＜αα + β（13）明考夫斯基不等式 Minkowski ’s Inequality 对任意实数a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ，以及任意实数r ≥1，有≤（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality设正实数a 1 + a 2 + … + a n = 1，则对于正数x 1，x 2，…，x n ，定义M -∞ = min{x 1，x 2，…，x n }M ∞ = max{x 1，x 2，…，x n }……其中t 是非0实数，则有M -∞≤M s ≤M t ≤M ∞其中s ≤t（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality设a 1，a 2，… ，a n 为非负实数，有… … 当且仅当a 1 = a 2 = … = a n ，b 1 = b 2 = … = b n 时等号取到 均方根又称为平方平均数（16）舒尔不等式 Schur ’s Inequality对任意正数x ，y ，z 以及r ＞0，若存在关系x r ( x y ) ( x z ) + y r ( y z ) ( y x ) + z r ( z x ) ( z y )≥0 通常情况下为r = 1，则有以下结论成立x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )若x + y + z = 1，则xy + yz + zx ≤1＋9xyz 4（17） Suranyi ’s Inequality对任意非负实数a 1，a 2，… ，a n ，都有（18） Turkevici ’s Inequality对任意正实数x ，y ，z ，t ，都有x 4+ y 4 + z 4 + 2xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + t 2x 2 + x 2z 2 + y 2t 2（19）加权形式的均值不等式Weighted AM - GM Inequality 对任意非负实数a1，a2，…，a n，以及w1，w2，…，w n，且w1 + w2 + … + w n = 1 都有……当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到。

科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学哥本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B 具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。

隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。

或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。

然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。

直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。

第38卷第4期2020年11月江苏师范大学学报(自然科学版)Journal of Jiangsu Normal University(Natural Science Edition)Vol38，No4Nov，2020文章编号：2095-4298(2020)04-0048-03Abel范畴上平衡对的若干注记何东林，李煜彥〔陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃陇南742500)摘要：设犃是一个Abel范畴,(:r,y)是犃上的一个平衡对.利用同调代数的方法，研究平衡对(狓y)的若干性质和等价刻画，讨论与其相关的2个维数：狓分解维数(狓res.dim(U))和y余分解维数(y cores.dim(U))，其中U为犃中任意对象.证明了对于Abel范畴犃中的任意正合列(《)：0f M fN7T,如果()在函子Hom犃(狓，一)下正合且狓关于扩张封闭，那么以下说法成立：1)若M G狓,则狓res.dim(N)W狓res.dim(L)；2)若N G狓，则狓res.dim(L) W狓res.dim(M)+1;3)若L G狓且狓关于满同态的核封闭，则狓res.dim(M)=j c-res.dim(N).关键词：Abel范畴；平衡对;维数；拉回图中图分类号：O154文献标识码：A doi：103969/j issn2095-4298202004012Some notes of balanced pairs in Abel categoriesHeDonglin，LiYuyan(School of Mathematics&Information Sciences,Longnan Teachers College,Longnan742500, Gansu,China)Abstract:Let A be an Abel category,(狓，y)a balanced pair in犃.Using methods of homology algebras,some prop­erties and equivalent characterizations of balanced pair(狓，y)are investigated in this paper,two dimensions c reso­lution dimension c-res.dim(犝)and y coresolution dimension y-cores.dim(犝)are discussed with U an arbitrary ob­ject of A.It is proved that for any exact sequence()：0f M f N f L f0of A,if()is exact under functors Hom A(c,―)and c is closed under extensions,then the following statements are held:1)if M G c,then c-res.dim(N)^c-res.dim(L)；2)if N G c,then c-res.dim(L)^c-res.dim(AM)+1；3)if L G c and c is closed under kernels of epimorphisms,then c-res.dim(Ad)=c-res.dim(N).Keywords：Abelcategory；balancedpair；dimension；pu l backdiagramHomotopy等价是同调代数理论研究的热点之一，许多学者先后对其进行了研究［1一5］.特别地, Chen［］引入了平衡对的概念，并研究了基于平衡对的Homotopy等价，作为应用，证明了在左Goren-stein环上，Gorenstein投射模的Homotopy范畴与Gorenstein内射模的Homotopy范畴之间存在一个三角等价.Li等［7］引入并讨论了由平衡对(c,y)导出的余挠理论，并证明当y的c分解维数有限时,y 的有界Homotopy范畴包含在c中.基于以上研究背景，本文将讨论平衡对(c,y)的若干性质和等价刻画，并进一步研究与其相关的c分解维数和y余分解维数，以及短正合列中各项的c分解维数与y 余分解维数之间的关系1基本知识和定义文中的A均指Abel范畴，子范畴均指A的关于同构和直和因子封闭的加法全子范畴.P(A)和1(A)分别表示A的所有投射对象和内射对象组成的子范畴.设c是A的一个子范畴，且XGc,M是A中任意对象,称同态aXfM是对象M的右c逼近旧，如果对任意同态p：X'fM(X'Gc),都存在同态7：XfX',使得Y=a.对偶地，可定义M的左c 逼近.如果A中每个对象都存在右c逼近，那么称子范畴c是反变有限的;如果A中每个对象都存在左c逼近,那么称子范畴c是共变有限的.设c是A的一个反变有限子范畴,y是A的一个共变有限子范畴，如果存在复形X2f X j f X l M f0(其中X i G c),且该复形在函子Hom A(c,—)下正合，则称该复形为对象M的一个c分解［7］，记作X°f M.如果存在复形0f M f犢0f 犢1f犢2f…(其中犢G y),且该复形在函子Hom A(—,y)下正合，则称该复形为对象M的一个y余分解［7］，记作M f Y°.记c-res dim(M)=收稿日期：2019-11-10基金项目：甘肃省高等学校创新基金项目(2020A-277),甘肃省高等学校创新能力提升项目(2019B-224) 作者简介：何东林，女，讲师，硕士，主要从事同调代数方面的研究.第4期何东林，等：Abel范畴上平衡对的若干注记49inf{n|存在Hom A(c,—)下正合的复形0f X“f…f X i f X0f M f0(其中&G c)},y-cores.dim(M) =inf{m|存在Hom A(—,y)下正合的复形0—M f 犢0f Y1f…f Y犿f0(其中0G y)},分别称为对象M的狓分解维数和y余分解维数.定义1[]设cy是Abel范畴A的子范畴，称(c,y)是一个平衡对，如果以下条件成立：1)狓在A中是反变有限的狔在A中是共变有限的；2) 对任意MGA,都存在Hom A(—,y)下正合的狓分解---X2f X1f X0f M f0，其中X2G c；3)对任意MG A,都存在Hom A(c,—)下正合的y余分解0fMfY0f Y1f Y2f…，其中0G y.例11)设Abel范畴A具有足够的投射对象和内射对象，则(犘(A),1(A))是一个平衡对.2)设R是一个环犘犘(犚)和P i(犚)分别表示所有纯投射模(即关于纯正合列投射的模)和纯内射模(即关于纯正合列内射的模)组成的左R模范畴的子范畴，则(P p(R)P i(R))是一个平衡对.3)设R是一个n-Gorenstein环，即R是双边Noether环并且双边自内射维数不超过某个非负整数”G p(R)和G i(R)分别表示所有Gorenstein投射模和Gorenstein内射模组成的左R模范畴的子范畴，则(G p(R)G i(R))是一个平衡对.引理1[7]设(c,y)是A上的一个平衡对M 和N是A中任意2个对象，且X°f M和N f Y°分别为M的c分解和N的y余分解，则Ext(M,N)=Ext y(M,N),其中Ext(M,N)=H,(Hom A(X°,N)),Ex t；(M,N)= H,(Hom A(M9Y°)).为了方便，不妨将Abel群Ext(M,N)和Ex t；(M,N)均记为Ex t；(M,N).对任意对象丁GA,如果Ex佇】(犜，犜)=0,则称犜是关自正交的.2主要结果定理1设(c,y)是A上的一个平衡对，则对任意K G c Pl y,都有Exe1(K,K)=0.证由引理1知，对任意对象A G A,X G c和Y G y,有Ex t；(X,A)=0=Ex i(A,Y).从而对任意K G c Q y和任意i>1,都有Ex i(K,K)=0,即ExL(K,K)=0.定理2设(c,y)是A上的一个平衡对，且丁是兴自正交的，则丁的任意直和因子也是兴自正交的.证设犜是犜的任意直和因子，且犜=犜。

阿贝尔定理16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。

这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。

当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。

然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。

这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。

”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。

阿贝尔率先解决了这个引入瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理定理（阿贝尔（Abel）定理）：1.如果幂级数在点x0 (x0不等于0)收敛，则对于适合不等式/x/</x0/的一切x使这幂级数绝对收敛。

2.反之，如果幂级数在点x0发散，则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。

问题1：我想请问下，1和2是逆否命题吗？我怎么没看出来呢？能帮我讲下吗？问题2：在证明2中，用到了反证法，需要用到否定2的结论，我想问下2的结论“则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。

”它的否定是什么？定理1 （阿贝尔第一定理）1）若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在都收敛。

2）若幂级数①在x1发散，则幂级数①在都发散。

定理2：有幂级数①，即，若则幂级数①的收敛半径为定理3（阿贝尔第二定理）若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间都一致收敛。

定理4 若幂级数与的收敛半径分别是正数r1与r2，则r1= r2定理5 若幂级数的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间连续。

定理6 若幂级数的收敛半径r>0,则它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即定理7 若幂级数的收敛半径r>0,则则它的和函数在区间(-r , r) 可导，且可逐项微分参考资料：阿贝尔与椭圆函数椭圆函数是从椭圆积分来的。

阿贝尔定理证明
阿贝尔定理（Abel's theorem）也称作阿贝尔－魏恩斯特拉斯定理（Abel-Weierstrass theorem），是一种重要的数学定理，主要用于解析函数的特殊情况。

阿贝尔定理的证明比较复杂，主要涉及到复分析中的一些基本概念和技巧，例如洛朗级数、共形变换等。

一个简单的阿贝尔定理的例子是：对于一个正整数n，存在常数Cn使得对于任意复数z，有以下等式成立：
(exp(z/n)-1)^n=nexp(z)[1+Cn(z/n)^2+O(z^3)]
其中，“exp”表示指数函数，O符号表示“大O记号”，即在某个条件下某个函数的增长率不超过另一个函数。

这个等式的证明需要利用复分析中的一些技巧，如将复平面上的一个区域映射为单位圆盘，利用洛朗级数展开等等。

阿贝尔定理在解析函数、微分方程、傅里叶级数等领域都有广泛应用。

瞎扯数学分析3、泛函分析简介先声明一下，这篇帖子对数学基础不好或者抽象能力不强的人不友好，建议不要浪费时间。

不过希望工程师们看看，也许有启发，因为泛函分析现在是高水平工程师混饭吃的标配，傅立叶变换，小波分析，最优控制，数学规划，资源最优配置，偏微分方程数值求解，有限元分析，弹性力学数值计算等等等等，基础都是泛函分析。

这是介绍数学思维方式的最后一部分。

主要介绍抽象思维的强大。

由于泛函分析是古典数学和现代数学的桥梁，是古典数学分析，代数和几何以现代观念交叉在一起发展起来的学科，是数学承先启后的门槛，又有广泛的应用，既是所有优化资源配置技术的基础，又是所有控制技术的基础，更是化繁为简的利器。

我在实际工作中体会是几门数学学科在实际应用上的地位是：微积分就像是钢丝钳，粗活细活都能干，凡是能够定义连续因果关系的问题，用微积分试一下没错；线性代数就像是螺丝刀，凡是离散问题，定义线性关系，就能试图找一下构造基（特征根），把问题分解投影到基上，就能分而治之；数理统计就象是扳手，碰到没有明显因果关系的糊涂乱麻问题，先寻找一下趋势外推或线性拟合，找一下统计相关性；实在碰到无法下嘴的问题，只能是数值逼近或数值模拟了。

不过泛函分析是很特殊的工具，类似电钻，可以把困难问题彻底击穿，找到本质。

当然数理方程是工程师的电锯，有招没招锯一下，大卸八块找原理。

作为一个现代工程师，如果工具箱里没钢丝钳，螺丝刀，扳手，榔头，电钻，电锯，可能心中没底，觉得自己全身赤裸，裸奔的工程师，没法见人。

其实现在工程师会不会计算并不重要，因为现在都有现成的计算软件包，关键是在一堆现象中发现问题，定义问题关键因素，并对解决问题知道用什么工具。

泛函分析是把代数（泛函分析有人就称为无穷维空间线性代数），分析（泛函就是把函数当成自变量的广义函数），几何（泛函分析的主要对象之一就是函数组成的赋范空间）整合在一体的学科，是现代数学的门槛，学过泛函分析，基本就算看到现代数学大门了。

贝塞尔不等式是概率论和数理统计中的基本定理，它在概率分布函数和数学期望的估计中起到了重要作用。

贝塞尔不等式的等号成立条件，一直以来都是学术界关注的焦点之一。

本文将从推导贝塞尔不等式的基本原理出发，逐步介绍贝塞尔不等式的等号成立条件，帮助读者更好地理解这一重要的数学定理。

一、贝塞尔不等式的基本原理在讨论贝塞尔不等式的等号成立条件之前，我们先来回顾一下贝塞尔不等式的基本原理。

贝塞尔不等式是由德国数学家贝塞尔（F.E.Bessel）于1820年提出的，它的数学形式如下所示：若{an}为任意一组正数序列，且级数∑（an^2）收敛，则对于任意给定的正整数n，级数∑（an^2）的部分和Sn与级数∑（an）的部分和Tn之间成立不等式关系：∑（an^2）≥Tn^2 / n其中Tn=∑（an）二、贝塞尔不等式的等号成立条件贝塞尔不等式的等号成立条件一直以来都备受关注，这是因为等号成立条件的研究对于深入理解贝塞尔不等式的性质和应用具有重要意义。

经过长期研究，学者们总结出了以下关于贝塞尔不等式等号成立条件的结论：1. 等号成立条件的充分性对于任意一组正数序列{an}，若级数∑（an^2）收敛且对于任意给定的正整数n，级数Sn的部分和与级数∑（an）的部分和Tn满足关系式∑（an^2）=Tn^2 / n，则称贝塞尔不等式的等号成立条件在该序列下成立。

2. 等号成立条件的必要性若贝塞尔不等式的等号成立，即∑（an^2）=Tn^2 / n，则该序列{an}必须满足以下条件：级数∑（an^2）收敛；对于任意给定的正整数n，级数Sn的部分和与级数∑（an）的部分和Tn满足关系式∑（an^2）=Tn^2 / n。

三、贝塞尔不等式等号成立条件的应用贝塞尔不等式等号成立条件在概率论、数理统计和信号处理等领域有着重要的应用价值。

在概率论中，通过研究随机变量的平方可积性和级数收敛性，可以利用贝塞尔不等式等号成立条件来推导出布劳恩-塔格伦不等式等其他重要的数学定理；在数理统计中，贝塞尔不等式等号成立条件的研究对于最小均方误差估计和参数极大似然估计具有重要意义；在信号处理中，贝塞尔不等式等号成立条件的应用可帮助人们更准确地估计信号的能量和功率。

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