(完整word版)(含答案)《参数方程》练习题,推荐文档

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A组]选择题1 •若直线的参数方程为＜A. 333C.-2 为参数）,则直线的斜率为（y = 2-3/2 B. ---33 D.一一22•下列衽曲线＜gm 7 .，&为参数)上的点是( v = cos&+sin&k *1 3 1A. (-.->/2) C. (2,73) D. (tVS)乙厶x = 2+jn &(8为参数)化为普通方程为(y = siir&3.将参数方程A. y = x-2 B・y = x + 2 C. y = x-2(2<x<3) D・y = x + 2(0<y<l) 4•化极坐标方程Q2COS&-Q =0为直角坐标方程为（A. X- + y- = OsK}'= 1B. % = IC.x- + y- = 0»Kx = 1D.y = 15 •点M的亶角坐标是（-1・厲）,则点M的极坐标为（A. (2,-)B. (2,--)C.(2,—)D.(2,2£;r + -),(ReZ)3 3 3 36.极坐标方程Qcos& = 2sin2&表示的曲线为（A・一条射线和一个圆B,两条宜线 C. 一条直线和一个圆 D.—个圆二.填空题y = 3 + 4/円/为参数）的斜率为.I X = ” +2.参数方程L = 2（一严参数咖通方程为3 •已知直线/]X 1一•（f为参数）与直线人：2—4y = 5相交于点又点＞4（12）, [y = 2-4t -则仙=X = 2 —f2 （f为参数）被圆.V- + y-=4截得的弦长为,y = — 1 —t25.亶线xcosa + ysina = 0的极坐标方程为1.S知点P（x,y）是圆x-+y-=2y±的动点, （1）求2x+y的取值范围;（2）若x+y + a＞0恒成立，求实数a的取值范围。

参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)一、参数方程消参常用的方法有三种。

1、加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数。

2、代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简。

3、恒等式消参：通过方程计算出sinα、cosα，再利用三角恒等式sin2a+cos2a=1消去参数。

二、参数方程化为普通方程，一定要注意变量x、y的前后范围的一致性。

有时两个的范围都要写，有时只要写一个，有时可以不写。

例1】把参数方程x=t+1/t，y=t-1/t化为普通方程，并说明它表示什么曲线。

点评】本题中变量x、y可以不写，因为参数方程中x的范围是x≥2或x≤-2，双曲线x^2-y^2=4中x的范围也是x≥2或x≤-2，它们是一致的，都隐含在方程里，所以可以不写。

化XXX：y=x-2/x表示双曲线x^2-y^2=4.例2】参数方程x=sinα+cos2α，y=2+sinα的普通方程为（）。

解：代入消参，将sinα用cosα表示，得x=cosα+1-2sin^2α，y=2+sinα。

化简得：2y-4=x-y^2表示抛物线。

反馈检测1】把参数方程x=1-t^2/2，y=2t/(1+t^2)化为普通方程，并说明它表示什么曲线。

解：代入消参，将t用x表示，得t=±√(2-x)。

代入y的方程，得y=±(2-x)√(2-x)/2.表示的是左右对称的开口向下的二次函数。

反馈检测2】参数方程x=t+1，y=1-2t的图象是（）。

解：表示一条直线。

通过参数方程计算出sinα、cosα，然后利用三角恒等式sin²α+cos²α=1消去参数，得到普通方程y=-1+3cosθ，x=2+3sinθ。

不需要加上x的范围-1≤x≤5，因为x的范围隐含在方程(x-2)+(y+1)=9之中，即-1≤x≤5.设曲线C的参数方程为x=2+3cosθ，y=-1+3sinθ，直线l 的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为√10/2的点的个数为2个，因为圆心到直线的距离为√10/2，且圆心在直线上方，所以圆与直线有两个交点。

(完整版)4.4.2参数方程与普通方程的互化基础练习题(含答案)(完整版)4.4.2参数方程与普通方程的互化基础练习题(含答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)4.4.2参数方程与普通方程的互化基础练习题(含答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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(完整版)4.4.2参数方程与普通方程的互化基础练习题(含答案)4.4。

2参数方程与普通方程的互化（2）测试卷 (编号：045）一、填空题（1)方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线是A 、一条直线B 、两条射线C 、一条线段D 、抛物线的一部分(2)下列方程中,当方程x y =2表示同一曲线的点A 、⎩⎨⎧==2ty tx B 、⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx sin sin 2C 、⎩⎨⎧=+=t y x 11 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t t xos x tan 2cos 121 （3)若20πθ≤≤,则方程⎩⎨⎧-=-=θθsin cos 3y x ,表示的曲线是______________。

(4）参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=22221513t t y t t x （t 为参数)表示的图形为______________。

（5)若圆C 和圆：⎩⎨⎧+=+=θθsin 45,cos 44y x （θ为参数）关于直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ty t x 101033,1010(t 为参数)对称，则圆C 的方程为_____________________。

二、解答题把下列参数方程化为普通方程； (6） 2cos cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ是参数）（7） 222121212t x t t y t ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪+⎩（t 是参数）（8)⎪⎩⎪⎨⎧-=-=223241ty t x （t 是参数）(完整版)4.4.2参数方程与普通方程的互化基础练习题(含答案)（9)⎩⎨⎧+=-=ααααcos 3sin 2cos 2sin 3y x ；（α是参数）（10）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--tt tt ee y e e x ；（t 是参数)（11)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x .(t 是参数)(12）已知),(y x P 为圆4)1()1(22=-+-y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值。

参数方程练习题参数方程是描述曲线在坐标系中运动的一种方式，通过给定参数的取值范围来表示曲线上的点的位置。

在数学中，参数方程经常用于描述各种曲线的形状和运动特性。

本文将介绍一些参数方程的练习题，帮助读者加深对参数方程的理解和应用。

一、直线的参数方程1. 给定直线L：y = mx + c，写出直线L的参数方程。

解析：直线L可以看作是一个点在以斜率m为速度直线运动的路径上，开始运动的位置为直线与y轴的交点(0，c)。

因此，直线L的参数方程可以表示为：x = ty = mt + c其中，t为参数，表示直线上某一点的位置。

2. 已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，写出直线AB的参数方程。

解析：直线AB可以看作是一个点在路径上从A点运动到B点的轨迹。

设A点的参数为t=0，B点的参数为t=1，则直线AB的参数方程可以表示为：x = x1 + (x2 - x1)ty = y1 + (y2 - y1)t其中，t的取值范围为[0, 1]。

二、圆的参数方程3. 已知圆心C(a, b)和半径r，写出圆的参数方程。

解析：圆可看作是一个点在以圆心C(a, b)为中心，半径为r的圆上运动的轨迹。

设圆上某点的参数为θ，则圆的参数方程可以表示为：x = a + rcosθy = b + rsinθ其中，θ的取值范围为[0, 2π]。

4. 已知圆上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，写出圆弧AB的参数方程。

解析：圆弧AB可以看作是一个点在路径上从A点运动到B点的轨迹。

设A点的参数为t=0，B点的参数为t=1，则圆弧AB的参数方程可以表示为：x = x1 + (x2 - x1)sin(tπ/2)y = y1 + (y2 - y1)cos(tπ/2)其中，t的取值范围为[0, 1]。

三、抛物线的参数方程5. 给定抛物线P：y = ax^2 + bx + c，写出抛物线P的参数方程。

解析：抛物线P可以看作是一个点在以速度随时间变化的路径上运动的轨迹。

椭圆的参数方程 教学目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。

3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：椭圆的参数方程。

教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.教学方式：讲练结合，引导探究。

教学过程：一、复习焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)y x a b a b+=>> 二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程因为22()()1xy a b +=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

2.参数ϕ的几何意义问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。

设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。

过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。

那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。

由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有||cos cos x OA a ϕϕ==， ||sin cos y OB b ϕϕ==。

当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩ 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

()ϕ为参数在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。

思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θθ=⎧⎨=⎩ 中参数θ的意义类似吗？ 由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。

参数方程训练题一．选择题（共15小题）1．已知直线（t为参数）与曲线M：ρ=2cosθ交于P，Q两点，则|PQ|=（）A．1 B．C．2 D．2．若直线，（t为参数）与圆，（θ为参数）相切，则b=（）A．﹣4或6 B．﹣6或4 C．﹣1或9 D．﹣9或13．直线的倾斜角等于（）A．B．C．D．arctan24．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，若C1与C2有公共点，则α的取值范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[0，] D．[0，]5．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M的极坐标是（2，θ），圆C的参数方程是（t为参数），点M与圆C的位置关系是（）A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．在圆上或圆外6．直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），则圆C截直线l所得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．27．在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l的参数方程是为参数）．若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（）A．+1B．3﹣1C．﹣1D．3﹣2 8．若实数x，y满足x2+4y2=4，则的最大值为（）A．B．C．D．9．把方程xy=1化为以t参数的参数方程是（）A．B．C． D．10．参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A．B．C．D．11．（2014•北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上12．（在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=（）A．13 B．14 C．15 D．1613．参数方程（θ为参数）表示的曲线是（）A．圆B．直线 C．线段 D．射线14．已知圆C：（φ为参数）与直线l：（t为参数），相交于A、B两点，则|AB|=（）A． B．C． D．15．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0，设曲线C1，C2相交于两点A，B，则过AB中点且与直线AB垂直的直线的直角标方程为（）A．y=﹣x+1+B．y=x+1+ C．y=﹣x+1 D．y=x+1二．解答题（共15小题）16．（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．17．（2015•福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．18．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．20．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a ＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．21．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．22．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ 中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．24．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．25．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．26．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．27．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．28．己知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．29．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．30．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．一．选择题（共15小题）1．C；2．A；3．C；4．D；5．D；6．C；7．B；8．C；9．D；10．D； 11．B；12．D； 13．C； 14．A； 15．A；二．解答题（共15小题）16.解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．17.解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．18.解：（1）将代入，得C'的参数方程为∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P所以有：又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1∴动点P的轨迹方程为．19.解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，即有ρsinθcos+ρcosθsin=4，即为直线x+y﹣8=0；（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，则d==，则当sin（）=1，此时α=2k，k为整数，P的坐标为（，），距离的最小值为=3．20.解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax （a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．21.解：（1）∵C1：（t为参数），C2：（θ为参数），∴消去参数得C1：（x+2）2+（y﹣1）2=1，C2：，曲线C1为圆心是（﹣2，1），半径是1的圆．曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．（2）曲线C2的左顶点为（﹣4，0），则直线l的参数方程为（s为参数）将其代入曲线C1整理可得：s2﹣3s+4=0，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s1+s2=3，s1s2=4，所以|AB|=|s1﹣s2|==．22.解：（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x ﹣2y﹣7=0，求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin（θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．23.解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．24.解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．25.解：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），化为，展开为ρ2=，化为x2+y2=．平方为=1，∴圆心为．（2）由直线l上的点向圆C引切线长=≥5，∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为5．26.解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．27.解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣=0，圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；∵圆心（0，0）到直线l的距离为d==1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点的个数是1；（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；当θ=或θ=时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．28.解：（I）由圆C1的参数方程，消去参数φ可得：x2+y2=1．由圆C2的极坐标方程ρ=2cos （θ﹣），化为•ρ，∴x2+y2=2x+2y．即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．圆心（0，0）到此直线的距离d==．∴弦长|AB|=2=．29.解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．30.解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴，∴==．。

第2节参数方程【选题明细表】一、填空题1. (20xx年高考广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.解析:由ρ=2cos θ知ρ2=2ρcos θ,因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,故曲线C的参数方程为(φ为参数).答案:(φ为参数)2.(20xx年高考陕西卷)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是.解析:由消去参数t得x=,即y2=4x,则焦点坐标为(1,0).答案:(1,0)3.(20xx陕西师大附中高三第四次模拟)直线l1:(t为参数)与圆C2:(θ为参数)的位置关系是.解析:直线l1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0,圆C2的普通方程为x2+y2=1,圆心到直线的距离为d=<1,因此直线l1与圆C2相交.答案:相交4.(20xx年高考江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.解析:由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.由公式得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ.答案:ρcos2θ=sin θ5.(20xx年高考北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为.解析:由已知得直线的普通方程为x+y-1=0,曲线的普通方程为x2+y2=9,表示以原点为圆心,半径为3的圆,而直线x+y-1=0过点(1,0),且点(1,0)显然在圆x2+y2=9内,∴直线与曲线一定有2个交点.答案:26.(20xx年高考湖南卷)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t 为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a= .解析:曲线C1的普通方程为2x+y=3,与x轴的交点为;曲线C2的普通方程为+=1,与x轴的交点为(a,0)和(-a,0),由题意可得a=.答案:7.已知抛物线C1的参数方程为(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r= .解析:抛物线C1的普通方程为y2=8x,其焦点坐标是(2,0),过该点且斜率为1的直线方程是y=x-2,即x-y-2=0.圆ρ=r的圆心是极点、半径为r,直线x-y-2=0与该圆相切,则r==.答案:8.(20xx深圳市期末检测)已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,直线l的参数方程为(t为参数),则直线l与曲线C相交所得弦长为.解析:曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.直线l的普通方程为x-2y+1=0.所以点C到l的距离d==.故所求弦长为2=2=4.答案:49.(20xx湖南十二校联考)设极点与坐标原点重合,极轴与x轴正半轴重合,已知直线l的极坐标方程为ρsinθ-=a,a∈R.圆C的参数方程是(θ为参数),若圆C关于直线l对称,则a= .解析:圆C的圆心坐标为(2,2),其极坐标为4,,由题意知点4,在直线l上,于是4sin-=a,即a=-2.答案:-210.若直线l的极坐标方程为ρcos=3,圆C:(θ为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为.解析:∵ρcosθ-=3,∴ρcos θ+ρsin θ=6,∴直线l的直角坐标方程为x+y=6.由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0),半径r=1.圆心C(0,0)到直线l的距离为=3.+1.∴d答案:3+111.(20xx年高考天津卷)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .解析:∵y=2pt,∴y2=4p2t2.又∵t2=,∴y2=4p2×=2px(p>0).∵|EF|=|MF|,|MF|=|ME|, ∴△EMF 是等边三角形, 过点F 作FA ⊥ME 交ME 于A, 则A 为ME 的中点,且x A =.∴x M +x E =2x A (其中,x A 、x M 、x E 分别为点A 、M 、E 的横坐标), ∴3+=2×,∴p=2.答案:212.(20xx 年高考湖北卷)在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为(φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin θ+=m(m 为非零常数)与ρ=b.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 . 解析:将椭圆C 的参数方程(φ为参数,a>b>0)化为普通方程为+=1(a>b>0).又直线l 的极坐标方程为ρsin θ+=m(m 为非零常数),即ρsin θ·+cos θ·=m, 则该直线的直角坐标方程为y+x-m=0. 圆的极坐标方程为ρ=b,其直角坐标方程为x2+y2=b2.∵直线与圆O相切,∴=b,|m|= b.又∵直线l经过椭圆C的焦点,∴|m|=c.∴c=b,c2=2b2.∵a2=b2+c2=3b2,∴e2==.∴e=.答案:二、解答题13.(20xx年高考新课标全国卷Ⅱ)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.14.(20xx河北省衡水中学高三模拟)已知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ+.(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)圆C1、C2是否相交,若相交,请求出公共弦的长,若不相交请说明理由.解:(1)由得x2+y2=1,∵ρ=2cosθ+=cos θ-sin θ,∴ρ2=ρcos θ-ρsin θ.∴x2+y2-x+y=0,即x-2+y+2=1.(2)圆心距d==1<2,得两圆相交,设两交点为A、B, 由得A(1,0),B-,-,∴|AB|==.即公共弦的长为.15.(20xx年高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcosθ-=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解得C2交点的极坐标为4,,2,.所以C(注:极坐标系下点的表示不唯一.)(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,由直线PQ的参数方程可得y=x-+1.所以解得a=-1,b=2.16.(20xx年高考福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,,直线l的极坐标方程为ρcosθ-=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.解:(1)由点A,在直线ρcosθ-=a上,可得a=.所以直线l的极坐标方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d==<1,所以直线与圆C相交.。

2.2 直线和圆的参数方程课时过关·能力提升1若直线的参数方程为{x =√3+12x ,x =3-√32x ,则此直线的斜率为( )A .√3B .−√3C .√33D .−√33{x =√3+12x ,x =3-√32x ,可化为{x =√3+(-x )cos120°,x =3+(-x )sin120°,故直线的倾斜角为120°,斜率为−√3.2对于参数方程{x =1-x cos30°,x =2+x sin30°和{x =1+x cos30°,x =2-x sin30°,下列结论正确的是()A.是倾斜角为30°的两条平行直线B.是倾斜角为150°的两条重合直线C.是两条垂直相交于点(1,2)的直线D.是两条不垂直相交于点(1,2)的直线{x =1-x cos30°,x =2+x sin30°可化为{x =1+x cos150°,x =2+x sin150°,所以其倾斜角为150°.同理,参数方程{x =1+x cos30°,x =2-x sin30°可化为{x =1+(-x )cos150°,x =2+(-x )sin150°,所以其倾斜角也为150°.又因为两条直线都过点(1,2),故两条直线重合.3直线{x =2+3x ,x =-1+x 上对应x =0,x =1两点间的距离是( )A.1 B .√10C .10D .2√2,参数t 不具有几何意义,故不能直接由1-0=1来得距离,应将t=0,t=1分别代入方程得到两点坐标(2,-1)和(5,0),由两点间距离公式来求出距离,即√(2-5)2+(-1-0)2=√10.4已知P (x ,y )是曲线{x =2+cos x ,x =sin x (0≤α≤2π)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )A.36B.6C.26D.25,可知(x-2)2+y 2=1,则该曲线为圆,圆心O (2,0),另一定点M (5,-4),所以|OM|=√(5-2)2+(-4-0)2=5.故(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.5过点M (2,1)作曲线C :{x =4cos x ,x =4sin x(0≤θ≤2π)的弦,使M 为弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )A.y-1=−12(x −2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=−12(x −1)D.y-2=-2(x-1)C 的参数方程化为普通方程为x 2+y 2=16,表示圆心O 在原点,半径r=4的圆,所以过点M 的弦与线段OM 垂直.因为k OM =12, 所以弦所在直线的斜率为-2,故直线方程为y-1=-2(x-2).6过原点作倾斜角为θ的直线与圆{x =4+2cos x ,x =2sin x相切,则x = .,直线为y=x tan θ,圆为(x-4)2+y 2=4.当直线与圆相切时,易知tan θ=±√33,故x =π6或5π6.5π67曲线C :{x =cos x ,x =-1+sin x (0≤θ≤2π)的普通方程是 .如果曲线C 与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a 的取值范围是 .{x =cos x ,x =-1+sin x ,∴x 2+(x +1)2=1.∵圆与直线有公共点,∴圆心到直线的距离d =√2≤1, 解得1−√2≤a ≤1+√2.2+(y+1)2=1 [1−√2,1+√2]8过点(6,7),倾斜角α的余弦值是√32的直线x 的参数方程为 .cos α=√32,∴sin x =12. ∴直线l 的参数方程为{x =6+√32x ,x =7+12x .x =6+√32x ,x =7+12x 9已知直线l 经过点P (1,-3√3),倾斜角为π3,求直线x 与直线x′:x =x −2√3的交点x 与点x 的距离|xx |.l 的参数方程,代入l'的方程求出t 的值,再利用其几何意义求出距离. l 过点P (1,-3√3),倾斜角为π3, 所以l 的参数方程为{x =1+x cos π3,x =-3√3+x sinπ3, 即{x =1+12x ,x =-3√3+√32x .代入y=x-2√3, 得-3√3+√32x =1+12x −2√3,解得t=4+2√3,即t=4+2√3为直线l 与l'的交点Q 所对应的参数值,根据参数t 的几何意义,可知|t|=|PQ|, 故|PQ|=4+2√3.★10已知直线l 经过点P (1,1),倾斜角α=π6. (1)写出直线l 的参数方程;(2)设l 与圆x 2+y 2=4相交于点A 和点B ,求点P 到A ,B 两点的距离之积.,再利用t的几何意义求出距离之积.因为直线l过P(1,1),且倾斜角α=π6,所以直线l的参数方程为{x=1+√32x,x=1+12x.(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数分别为t1,t2.将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4,得(1+√32x)2+(1+12x)2=4,整理,得t2+(√3+1)x−2=0.设t1,t2是方程t2+(√3+1)x−2=0的根, 所以t1t2=-2.故|PA|·|PB|=|t1t2|=2.所以点P到A,B两点的距离之积为2.。

参数方程试题及答案1. 已知参数方程 \( x = \cos t \) 和 \( y = \sin t \)，求 \( x \) 和 \( y \) 的关系式。

答案：由三角函数的基本关系式 \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \) 可得 \( x^2 + y^2 = 1 \)。

2. 将参数方程 \( x = 2t \) 和 \( y = 3t \) 转换为直角坐标方程。

答案：由 \( x = 2t \) 和 \( y = 3t \) 可得 \( y =\frac{3}{2}x \)。

3. 已知参数方程 \( x = 1 + t \) 和 \( y = 2 - t \)，求直线的斜率。

答案：直线的斜率 \( k = \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{1} = -1 \)。

4. 将参数方程 \( x = t^2 \) 和 \( y = t^3 \) 转换为直角坐标方程。

答案：由 \( x = t^2 \) 可得 \( t = \pm \sqrt{x} \)，代入 \( y = t^3 \) 得到 \( y = \pm x^{\frac{3}{2}} \)。

5. 已知参数方程 \( x = 2\cos t \) 和 \( y = 2\sin t \)，求圆的半径。

答案：由 \( x = 2\cos t \) 和 \( y = 2\sin t \) 可得 \( x^2 + y^2 = (2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4\)，所以圆的半径为 \( \sqrt{4} = 2 \)。

6. 将参数方程 \( x = 3\cos t \) 和 \( y = 3\sin t \) 转换为直角坐标方程。

答案：由 \( x = 3\cos t \) 和 \( y = 3\sin t \) 可得\( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1 \)。