13-14-2线代试卷B答案

广东财经大学试题参考答案及评分标准2013-2014学年第1学期 课程名称 线性代数（B 卷） 课程代码 101044 共3页……………………………………………………………………………………………………一、 填空题（每题3分，共30分）1， 正号； 2，相关； 3，-12； 4，32； 5，3； 6，；()()r A r B ≥ 7，(,)()r A b r A =； 8，1； 9，0； 10,1A A。

二 、选择题（每题3分，共15分）1，C ；2，B ；3，C ；4，B ；5，B ；三、计算题（每题10分，共40分）1. 解：14142143423113092D -=14140765014750121210---=----………4分 7651475121210--=----16577501210--=---1650353001210--=--………4分3530(1)1210-=-⨯-530(1)210-=-⨯-10=。

………2分 2． 解：1111()233132A b λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111101210141λλ-⎡⎤⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1111012100(3)(2)2λλλλ-⎡⎤⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-+--+⎣⎦………4分可知（1）3λ=-时，()2,(,)3r A r A b ==线性方程组无解； ………2分 （2）2λ≠时，且3λ≠-()(,)3r A r A b ==线性方程组有唯一解； ………2分 （3）2λ=时， ()(,)2r A r A b ==线性方程组有无穷多解。

………2分3 .解：111100()213010344001A I --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭111100011210011301--⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭ ………6分 102110011210002511--⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ………2分 100401111010222511001222⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. ………2分1401111222511222A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦4 .解：21112112144622436979--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦11214011100001300000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10104011030001300000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得12,,αα4α是极大无关组。

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15。

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

课程：线性代数I 、II 考试形式：闭卷考试3分，本大题满分15分） 且 |A| =4 ,则 |2A|= 32二 P 31 —I 2 4丿 「2 0 0 =<10 0" 3.已知 A = 2 2 0 ，且 |A>0，则 A =1 1 01 142 1 丿 1(2 1•已知矩阵A 的秩是，则元齐次线性方程组Ax = 0的解空间的维数等于 n -r5•若2阶方阵A 满足方程A 2-5A+6E =0，且A 的两个特征值不相等，则|A|=6B 卷院、系领导 审批并签名广州大学2013-2014学年第二学期考试卷解答题次 一一一 -二二四五、■六 七 八 九 总分评卷人分数 15 15810101012 128100得分学院: 专业班级: 学号: 姓名:二、选择题（每小题3分，本大题满分15分） 1.设为3维列向量，（A ） 16 ； （B ） 2 5 31 （A ） 7; （B ）2.二次多项式 -16 ； 11X -5 8 —且 1%,5,51 = 4,则 I 曲,25-3^202 1 = ( B ). (C) 24 ; (D) -24. 1,2, -716-1(C) 5 ; (D) -5. 中X 2项的系数是（D ）. —、填空题（每小题 1.设A 为3阶方阵, <1 2、2•设 AT 4）则B TA(A) BCA = E ; (B) BAC = E; (C) CBA = E; (D) ACB = E .4.矩阵方程AX =B有解的充分必要条件是(C ).(A) R(A)vR(A,B); (B)(C)R(A)=R(A,B); (D)5.若向量组《1，|He m线性相关，(A)(C)（本题满分10分）解：令A11<110A12A14A；A：AA8210、42>2〕1丿，,求 A8.A22丫 1 1人04 丫11人08丫 1 1人04 丫22人12、2 …广2 u2L 1丿4L 1丿8L 1丿4L 2丿14、2 ,24J,则P 4】 101丿〔1 8],10 1丿<1 16]1丿，1682_ 2=(AT=(4 A)2=42A2=43A=(Q2 =(43A2)2=4 A ,)-3 *「1=46A； = 47A2 , ---- 80、216215丿16121521410 分R(B)cR(A,B);R(B) = R(A,B). 且k1%+H|+km%=0，则(D ).k1,iii,k m全不为0;前述情况都可能出现.1 >k1，川,k m 全为0; (B)knHLk m不全为0; (D)四.（本题满分8分）四.（本题满分8分）六、（本题满分10分）计算行列式D =解: c a +b +c a +b +C a +b +c a +b +c a +b +c-b 0 -c =—abc(a +b +c). -- 8 五、（本题满分10分） （1设 A =(%严2,(/3,(/4)=1宀2严3, -3 12 8 -212 X1） 求矩阵A 的行最简形和秩； 2） 求向量组a 1«2,0^3,口4的一个最大无关组，再把其余向量用该最大无关组线性 表示. 解：1） A T 「1 0 L 0 12丿 「1 -9 6 -4 L0 323 0 21 ii 0」R （A ） =2 .——5 2）向量组«1^2^3^4的一个最大无关组为a*0 分 1^2 ^3 , 2 5 =3% - J ,3 2叫=2a 1 +-口2 o o31严 2, 00000000000000000 7 分 0 0 0 10分七、（本题满分 12(3 1 1 解：由AX =2X 0 3 1 1 0 0 3 1 0' 0 0 3>,解矩阵方程AX =2X +A .+ A ，得 (A-2 E )X = A ，0 1 1 (1 1 A-2 E = 1 〔1 0 1 1 1 0、1丿所以A-2E 可逆，于是X =(A-2E 尸A . 利用(A-2E , A )-J(E ,( A-2E )」A )求 X (A — 2E ,A )= (1 0 0 0 『3-2 0.0 01 00 3 -2勺 1 1 J 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 3 -2 0 0 1 1 3 -2 0 0 0、 0 0 . 3丿0 0 0 1 0 3-2 0 3 1 1 1 0 3 1 1 0 0 3 -2 10 ,| A —2E 1=1, 0 0 3 10、 03> ---5 分=(A-2 E )」A :0、0 0 3丿八、（本题满分12[X ] -3x 2 + 2 X 3 -4 X 4 — 3求方程组4 3x 4 — 2x 2中X 3 -3x 4 ：= 4的通解. W +4x 2 -3x 3 +5x 4 =「1 3 -3 -2 解：（A,b ） = L 1「1T 0 -2 -3 3 4 -3 -2 —4 3 - -5 L 0 「10 L ° -7 __5-7 97同解方程组为 1 1 X 1 -- X 3 —-X47 7 5 +9 X 2 ——X 3 +-X 4 .27 37 46L 9分令 X 3 = k i , ff '1 -f'6 -777595=k17+ k 2 ~ 7 + 71[ 0. [ 1 ” [ 0 ”得通解为=k2, X 4 「X I〕 X 2X 3L x -，其中k 1,k 2为任意实数.------12 分的特征值和特征向量.9-A 22 6-ZA 的特征值为人=5，打=10.------6分（1 、当人=5时，解（A-5E ）x=0，得基础解系p ,=l 0 ，2」对应于特征值打=5的全部特征向量为k , p, （ k^0）. ------ 9 分 /2 \当=10时，解（A -10 E ）x=0，得基础解系 ^=>2 , V 丿对应于特征值 薦=10的全部特征向量为k 2 P 2 （ k^0） ——12 分九、（本题满分8分）设n 是非齐次线性方程组Ax = b 的一个解，0,1 H ,0 J 是Ax = 0的一个基础解系. 证明n ,n +q ,|||,n+©工线性无关. 证明：设存在一组数X,X,,|||,X n_r ,使x n +X 1（5） + lil+ 人」（5_r ） = 0， （1）+ |IKXn_r)n+ X1&+|||+Xn_r 紀=0， ⑵——2 分 A E = 0(i =1,川，n-r)，用矩阵A 左乘⑵ 的两边，得(X + X 1 +|||+X n_r )b = 0，因bH0,得x + xi +HI+ 焉」=0,(3)-——5分代入（2）得X 1 S +111 +X n _r 51亠=0，因基础解系5,川，紀 线性无关，所以X1=lil=Xn,=0，代入⑶得X = 0. 因此⑴只有零解，从而n 汕5,川，n 昭线性无关.------8 分解I A-A E 1==仏_5)仏-10)(X +M由题设A n =。

鲁东大学 2014—2015学年第二学期2013级 土木本、工管本、港行本 专业 本科 卷A 参考答案与评分标准课程名称 线性代数B课程号（2190060） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）一、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分．1、()12n n -；2、=；3、()R A n <；4、 111210210-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ；5、()2ab cd -;6、0 ；7、1543⎛⎫ ⎪⎝⎭；8、15；9、326213214-⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎝⎭； 10、1.二、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1、C ;2、C ;3、B ;4、D ;5、B ;6、C ;7、D ;8、A ;9、D ; 10、B . 三、解答题：本题共4小题，每小题10分，满分40分．1、（10分）设向量组123453151402151,,,,2031311041ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求此向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示.解：作矩阵()1234531514021512031311041A ααααα⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭，对A 进行初等行变换化成行阶梯，然后继续进行行变换化成行最简形，1122110012021510103100111001110000000000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪⎪→→→→ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L L ---------------（5分）知道()3R A =,故列向量组的极大无关组含有3个向量，故列向量组的秩为3-------（1分）因为非零行的首非零元在1，2，3列，故123,,ααα为列向量组的一个极大无关组。

湘潭大学2014年下学期2013级《线性代数II 》课程考试试卷答案与评分标准（A）适用年级专业兴湘学院13过控、材料、自动化、机械、土木考试方式闭卷考试时间120分钟学院专业班级学号姓名题号一二三四五六七八总分阅卷教师得分………………………………………………………………………………………………………………一、填空（每小题3分，共15分）1．排列的逆序数是____。

2．设是4阶方阵，，则。

3．设,则。

4．元齐次线性方程组存在非零解的充要条件是。

5．设是方阵的特征值，则矩阵的特征值为。

二、选择题（每小题3分，共15分）1．方阵A 可逆的充要条件是(C )。

0)(>A A 0)(≠A B 0)(≠A C 0)(>A A 2．设B A ,均为n 阶方阵，则下列等式中成立的有(C )。

B A B A A +=+)(BA AB B =)(BA ABC =)(111)()(---+=+B A B AD 3．如果，则=1D (B )。

(A)8(B)4(C)12(D)-214．下列的子集是的子空间的是(B )。

(A)(B)(C)(D)5．n 阶矩阵A 的n 个特征值互异是A 与对角矩阵相似的(A )。

得分得分)(A 充分条件)(B 必要条件)(C 充要条件)(D 既不充分也非必要条件三、计算下列行列式（共16分，每小题8分）解：解:（3分）（6分）（8分）四、已知向量组线性无关，,,证明：也线性无关。

（10分）证明：设有123,,x x x 使得分得分五、设方阵A满足220A A E--=，证明：（1）A与E A-都可逆；（2）A E+与2A E-中至少有一个是不可逆的.（10分）证明：(1)由得既有，所以可逆，且。

(3分)也可得,所以可逆，且。

（5分）(2)得，（7分）即有，故，或者，即与中至少有一个是不可逆的。

(10分)六、(10分)求解线性方程组解：线性方程组对应的增广矩阵可化为:得分得分七、求向量组,,,的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷B适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共50分，每小题5分）1、设矩阵与相似，则。

2、已知是矩阵的一个特征向量，则特征向量对应的特征值。

3、满足________时，二次型是正定的。

4、向量空间的子空间的维数为________，它的一组基为_______________。

5、在中，则在基下的矩阵为_________________。

6.元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________. 7.对于线性空间V 中向量,若在数域P 中有个不全为零的数,使,则向量称为_________.8.相似矩阵的特征值__________.9.向量,则内积 ___________.10.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.二、（15分）用非退化线性替换化二次型为标准型。

三、（10分）设是级实对称矩阵，证明： 正定的充分必要条件是的特征多项式的根全大于零。

院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________―――――――装―――――――订―――――――线―――――――――四、（15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基和维数，已知。

五、（10分）设是四维线性空间的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为1）求的特征值与特征向量；2）求一可逆矩阵，使成对角形2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷B答案适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共25分，每小题5分） 1、设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭相似，则___0______,__2______x y ==-。

2013-2014-2学期高等数学B2期末B 卷答案一、填空题（共 5小题，每题 3分，共计 15分）1、(){}22222,,0x y z x y x y ≤++≠且2、222dz e dx e dy =+3、225y z x += 4、 5、(0,2)二、选择题（共 5小题，每题 3分，共计15分）1、C2、D3、B4、A5、D三、求过点A (2,1,3)且与通过直线11221x y z +-==-的平面方程.（本题8分） 解：由已知得点B (1,1,0)-也在所求平面上.(3,0,3)AB =-- ，……………..………2分取 303221i j k n AB s =⨯=--- (6,9,6)3(2,3,2)=--=--………………..…………………4分所求的平面方程为2(2)3(1)2(3)0x y z -----=即 23250x y z --+=……………….………..….……2分四、计算下列偏导数（共 2小题，每题6分，共计12分）1、设(,)z f x y x y =+，f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂. 解：将中间变量按顺序编为1,2号，可得12121z f f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 12121z f f x f xf y∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 2、设x z z e y +=+，求,z z x y∂∂∂∂. 解法一：令(,,)x z F x y z z e y +=--，则,1,1x z x z x y z F e F F e ++=-=-=-，……2分 利用隐函数求导公式，有11x z x zx z x zz e e x e e ++++∂-=-=∂--，…………..………..………2分1111x z x z z y e e++∂-=-=∂--…………..………..………2分 解法二：方程两边分别关于,x y 求偏导数.解法三：方程两边求全微分.五、计算下列积分：（共3小题，每题6分，共计18分）1、求二重积分22xy D e d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周222x y +=所围成的闭区域.解：222200xy r D e d d rdr πσθ+=⋅⎰⎰⎰ ……..……………………………………3分20122r e π⎡=⋅⎣⎦ ……..………………………………..………2分 ()21e π=- …..………..…………………………………..1分2、求二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由21,2,0,x x y y x ====所围成的平面区域.解：2210x D xydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰ …………..………..………………………..……3分222251101122x xy dx x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰ …………..………..……………..…2分 261121124x ⎡⎤==⎣⎦ …………..……………………..………1分 3、求二重积分sin D x dxdy x⎰⎰，其中D 是由0,,y x y x π===所围成的平面区域. 解：00sin sin x Dx x dxdy dx dy x x π=⎰⎰⎰⎰ …………..………..…………………..…3分 00sin sin x xdx dx xππ=⋅=⎰⎰ …………..………..……………..…2分 []0c o s2x π=-= …………..………..……………..…1分 六、求微分方程221y y y x '''+-=+的通解.（本题10分）解：对应的齐次方程为20y y y '''+-=，它的特征方程 220r r +-=有两个实根 122,1r r =-= …………..………..……………..…3分 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+. …………..……….…..…2分由于0λ=不是特征方程的单根，所以设方程的特解*y ax b =+，…….…..…2分 把它代入所给方程，得2221a ax b x --=+，即得，1,1a b =-=-， 因此所给方程的一个特解为*1y x =--. …….………………………..…2分 从而所求的通解为2121x x y C e C e x -=+-- …….…..…1分七、求由22224,0,100x y z x y z +==+-+=所围成的立体的体积.（本题8分） 解：所求立体在xoy 面上投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤， 所求立体的体积是以曲面2210z x y =++为顶，区域D 为底的曲顶柱体的体积，即 22(10)DV x y d σ=++⎰⎰ …….……………………….…3分22200(10)d r rdr πθ=+⎰⎰ …….……………………...…2分 22401254r r π⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦ …………………………….…..…2分 48π= ……………………………………..…1分 八、求函数z xy =在条件1x y +=下的极值. （本题6分） 解法一：由1x y +=得1y x =-，代入z xy =，有(1)z x x =- 12z x '=-=0，得12x =， …….………………………………………….…3分 从而12y =，20z ''=-<， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …….………….…3分解法二：设(,,)(1)F x y xy x y λλ=++-，解方程组0010x y F y F x F x y λλλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+-=⎩， …….………………………..…3分 得12x y ==， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …………….…..…3分 九、将函数21()32f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛区间.（本题8分） 解：21111()32(2)(1)12f x x x x x x x ===-++++++ …….…..………2分 因为 011()11n n x x x ∞===-++∑，(1,1)x ∈- …….……………………….…2分 011111()2222212n n x x x x ∞===⋅=-+++∑，(2,2)x ∈- …….………...…3分 所以21011()(1)1322n n n n f x x x x ∞+=⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭∑，(1,1)x ∈- …….……………….…1分。

安徽师范大学2013－2014学年第一学期化材学院专业基础课2013级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷 闭卷 120分钟)1. 设A , B , C 都是n 阶方阵，且ABC =E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()(A) BCA =E (B) CBA =E (C) BAC =E (D) ACB =E2. 在下列五个矩阵中，①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011 ②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1110 ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 ④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001 ⑤⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110 属于初等矩阵的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()(A) ①③④⑤ (B) ①②③⑤ (C) ①②③ (D) ①③⑤3. 设A 是m ⨯n 矩阵，m <n ，且A 的行向量组线性无关. 对于线性方程组Ax =b ，下列结论中正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) A 的列向量组线性无关 (B) 增广矩阵的行向量组线性无关 (C) 增广矩阵的列向量组的线性无关 (D) 方程组有唯一解4. 设向量组(I)α1, α2,…, αs 可以由向量组(II)β1, β2,…, βt 线性表示，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) s ≤t (B) t ≤s (C) 秩(I) ≤ 秩(II) (D) 秩(II) ≤ 秩(I)5. 设A ,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B) A 与B 相似于同一个对角阵(C) 如果λ是A 的特征值，则A -λE = B -λE(D) 对任意常数t ， A - t E 与B -t E 相似1. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010301，f (x )=x +2，则f (A -1) = .2. 设A 是3⨯4矩阵，B 是4⨯2矩阵， B 的每一列都是齐次线性方程组Ax =0的解，若R (A )=1，则R (B )最大值是 .3. 设 α1, α2, α3是 n 维列向量，记矩阵A =(α1,α2,α3)，已知R (A )=2， α1=α2+α3，则齐次线性方程组Ax =0的通解为 .4. 设A 是3阶方阵，且032=+=+=+E A E A E A ，则=A .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a 00020002B 相似，则a = .一、单项选择题（每小题4分，共20分）二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设齐次线性方程组(I): ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛003131********x x x x ；(II):⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00125135114321x x x x k 已知方程组(I)和(II)有公共的非零解. 求参数k 的值.2. 设4维列向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12212α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41314α.求该向量组的秩，并写出一个最大无关组.3. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=143β能否由向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4322α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8523α线性表示？ 如果不能，说明理由；如果能，求出线性表示的表达式.三、计算题（每小题7分，共35分）4. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110011001，求 (A -2E )-1(A +2E )5. 用施密特正交化方法，将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1322α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0483α规范正交化1. 已知A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵，m >n ，令矩阵C =AB ， 证明： C 的列向量组和行向量组都是线性相关的.2. 设A 是正交矩阵，λ1=1, λ2= -1是A 的两个特征值，ξ1, ξ2是相应的特征向量. 证明：ξ1, ξ2正交.四、证明题（每小题6分，共12分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112001001A .① 矩阵A 是可对角化的，试说明理由； ② 求可逆矩阵P和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ； ③ 设k 是正的偶数，求A k .五、解答题（13分）。

2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （B ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。

(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．下列等式中正确的是（ ） A ．()222A B A AB BA B +=+++ B ．()TT T AB A B = C ．()()A B A B A B -+=-22　D ．()33A A A A -=-22.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311132213A 则21a 的代数余子式21A 的值为 （ ）A. 1.B. 1-C. 2.D. 2-3．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ） A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 4．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（ ）A ．210λ B ．021λ C ．20λD ．2λ 5．设向量组(I)：1α，2α，…r α，向量组(II)：1α，2α，…r α，1r +α，…，s α则必有（ ）。

A ．若(I)线性无关，则(II)线性无关B ．若(II)线性无关，则(I)线性无关C ．若(I)线性无关，则(II)线性相关D ．若(II)线性相关，则(I)线性相关6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121113A 的三个特征值分别是321,,λλλ，则321λλλ++的值等于（ ） A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.7.已知A 是一个43⨯阶矩阵，则下列命题正确的是( )__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………2 A. 若A 中所有三阶子式都为零，则 2.R AB. 若 2.R A则A 中所有三阶子式都为零C. 若A 中所有二阶子式都不为零，则 2.R AD. 若 2.R A则A 中所有二阶子式都不为零8.．设n 阶方阵A 的0=A 则A 的列向量（ ）A ．0)(=A RB ． 0)(≠A RC ．线性相关D ．线性无关 9.设向量组A 可由向量组B 线性表示，则有（ ）A. )()(B R A R ≤B. )()(B R A R ≥C. )()(B R A R =D. 不能确定)(A R 和)(B R 的大小. 10．设n 元线性方程组Ax =b 且为()()n b A R A R ==,，则该方程组（ ）A.有唯一解；B.有无穷多解；C.无解；D.不确定。

《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性 相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的 代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则 （ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ， 求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。

武汉大学2013-2014学年第二学期期末考试高等数学B2试题及答案（共计12道题）一、（8分）利用二重积分的性质，比较积分d σ=+⎰⎰221ln()DI x y 与d σ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰2222ln()DI x y 的大小，其中22:2D e x y e ≤+≤.解 ∵221ln()1ln 2,x y ≤+≤+ ……4分22222ln()ln(),x y x y ⎡⎤+≤+⎣⎦∴12I I < ……4分二、（8分）设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．解121211()0z f y f yf f x y y ∂''''=⋅+⋅+=+∂， ……4分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.xf xyf f f y y''''''=+-- ……..4分 三、（8分）求过点(1,2,3)M -的平面，使它与平面π:30x y z +--=垂直，且与直线:L x y z ==平行.解 因为已知直线与已知平面不平行，故所求平面得法向量为()1,1,1(1,1,1)(2,2,0)n =-⨯=-r， ……4分故平面方程为 (1)(2)0x y --+=,即30x y --=。

……4分四、 （8分）设函数(,)z z x y =是由方程arctan()xyz x y z =++所确定的隐函数，求全微分d z 在点(0,1,1)- 处的值.. 解 21()dx dy dzyzdx xzdy xydz x y z ++++=+++ ， ……4分2222[1()]1[1()]1d 1[1()]1[1()]yz x y z xz x y z z dx dy xy x y z xy x y z +++-+++-=+-+++-+++，故(0,1,1)2d z d x d y -=--……4分五、（10分）计算曲线积分d d (2)-+⎰L a y x x y ，式中L 是从原点(0,0)O 沿曲线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >）到点(2,0)A a π的弧段.解 )0 , 0(O 对应0=t ，)0 , π2(a A 对应π2=t 。