版高中数学第二章数列233等比数列的前n项和二学案苏教版必修5

2．3.3 等比数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式的推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约7亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为怎样的一个数列的问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等． 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n .S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿 t ，而目前世界年度小麦产量约6亿 t ，所以国王是无法满足发明者要求的． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 在等比数列{a n }中，(1)已知a 1＝－4，q ＝12，求S 10；(2)已知a 1＝1，a k ＝243，q ＝3，求S k . 解 (1)根据等比数列的前n 项和公式，得S 10＝－4[1－(12)10]1－12＝－1 023128.(2)根据等比数列的前n 项和公式，得 S k ＝1－243×31－3＝364.反思与感悟 在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.例2 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632. ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2. 可求得a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练2 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解 设{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3，当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝3×(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝3n －1.探究点二 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x .综上可得，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1n ， x ＝1解析 当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝______.答案 152解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是________． 答案 211解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．求数列1＋12，2＋14，3＋18，…，n ＋12n ，…的前n 项和．解 S n ＝(1＋12)＋(2＋14)＋(3＋18)＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋14＋18＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n)1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n . [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.答案 (－1)n －12解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝________. 答案 84解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________.答案 19解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0， 解得q 3＝－12，或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.二、能力提升8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是________米．(结果保留到个位) 答案 300解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于________．答案 3(1－3－10)解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析 由已知得4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ； 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.② ①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

2.3.3 等比数列的前n项和（二）［学习目标］1•熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题2应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题.自主学戸知识梳理知识点一等比数列的前n项和的变式“ n n 彳n 1•等比数列｛a n｝的前n项和为S n,当公比q z 1时，5= a； _ q = a1 q:二丄^ 冬1 —q q- 1 1 - q q - 1a1-尸；当q = 1 时，S n= na、n2•当公比q z 1时，等比数列的前n项和公式是S n= a\ - q，它可以变形为S n=-严口“1 - q 1 - q+ 壬，设A = 耳，上式可写成S n=-Aq n+ A•由此可见，非常数列的等比数列的前n项1 —q 1 —q和S n是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数•当公比q = 1时，因为a1z 0,所以S n= na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）. 思考在数列｛a n｝中，a n+1= ca n（c为非零常数）且前n项和S n= 3n 1+ k，则实数k = ___________________ .1答案-1解析由题意知｛a n｝是等比数列，二3n的系数与常数项互为相反数,而3n的系数为1，知识点二等比数列前n项和的性质1•连续m项的和（如S m、S2m- S m、S3m- S2m）仍构成等比数列.（注意：q Z—1或m为奇数） 2.S m= S m +口“盹为数列｛ a n｝的公比）•+ nS偶3•若｛a n｝是项数为偶数、公比为q的等比数列，贝U —= q.S奇思考在等比数列｛a n｝中，若a1+ a2= 20，83+ 84= 40,则&= _______________ .答案140解析S2= 20，S4 —S2= 40，二S6 —S4= 80，&= S4+ 80= S2 + 40+ 80 = 140.〒题型探究重电突破题型一等比数列前n项和性质的应用例1 ⑴等比数列｛a n｝中，S2= 7, S6 = 91,则S4= __________ .⑵等比数列｛a n｝共有2n项，其和为一240,且⑻+玄彳+…十a?n-1)-@ +玄彳+…十a?n) = 80, 则公比q = __________ .答案(1)28 (2)2解析(1) •••数列｛a n｝是等比数列，•S2, S—S2, S s—S也是等比数列，即7, S4—7,91 —S4也是等比数列，•(S4—7)2= 7(91 —S4),解得S4= 28 或S4 = —21.2 2又-S4= a1 + a2 + a3+ a4= a1 + a2 + ag + a2q2 2=(a1 + a2)(1 + q ) = S2 (1 + q ) > 0,•S4= 28.(2)由题S 奇+ S 偶=—240, S 奇一S 偶=80,•S奇=—80, S偶=—160,S偶•- q = '= 2.S奇反思与感悟解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，常常可以避繁就简•不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论•解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地.跟踪训练1 (1)设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若咅=3,则咅= _________________ .S3 S6答案7 解析方法一因为数列｛a n｝是等比数列，所以S s= S s + q3S3,S9= S s+ q6S3= S3+ q3S3+ qM,曰S B=(1 + q S3= 3 疋S3= S3 = 3，即 1 + q3= 3,所以q3= 2.3S g 1 + q 3+ q 6 1 + 2 + 4 7 1 + 2 3.S 6方法二 由—=3，得S 6= 3S 3.S 3因为数列｛a n ｝是等比数列，且由题意知 q M — 1,所以S 3, S 6- S 3, S 9- S 6也成等比数列，所 以(S 3— SO? = S 3(S g — S 6)，解得 S g = 7&,所以 S = 3.(2) —个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的 列的通项公式•解 设数列｛a n ｝的首项为a i ，公比为q ,全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶意知S 奇+ S 偶=4S 偶，即S 奇=3S 偶.S 禺1•••数列｛a n ｝的项数为偶数，q ==T. S t 3又 a 1 a 1q a 1q 2= 64,二 a ： q 3 = 64,即 a 1 = 12. 故所求通项公式为 a n = 12 • 3 n -1. 题型二等比数列前n 项和的实际应用 例2小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清•商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…,购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算， 求小华每期付款金额是多少•解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为 A k 元，则：2 2A 2= 5000 X (1 + 0.008)2- x = 5000X 1.0082- x ,2 4 2A 4= A 2(1 + 0.008) -x = 5000X 1.008 - 1.008 x -x ,A 12 = 5000X 1.00812- (1.00810 + 1.0088 + …+ 1.0082+ 1)x = 0,4倍，前3项之a i ,125000 X 1.008 _______________1 + 1.0082+ 1.0084+ …+ 1.00810 125000 X 1.008 2 6 1 — 1.0082 1 — 1.008 故小华每期付款金额约为880.8元.方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为 A k 元，则:A 2= X ；2 2A 4= A 2(1 + 0.008) + x = x(1 + 1.008 )；A 6= A 4(1 + 0.008)2+ x = x(1 + 1.0082+ 1.0084)；A 12 = x(1 + 1.0082+ 1.0084 + 1.0086 + 1.0088 + 1.00810). •••年底付清欠款， 二 A 12 = 5000 X 1.00812,即 5000 X 1.00812 = x(1 + 1.0082+ 1.0084+ …+ 1.00810),125000 X 1.008----------------------------- 〜1 + 1.0082 + 1.0084+ …+ 1.00810 故小华每期付款金额约为 880.8元.反思与感悟分期付款问题是典型的求等比数列前n 项和的应用题，此类题目的特点是： 每期付款数相同，且每期间距相同 .解决这类问题有两种处理方法：一是按欠款数计算，由最 后欠款为0列出方程求解；二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解 跟踪训练2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅 游产业.根据规划，本年度投入 800万元，以后每年投入将比上年减少 £本年度当地旅游收5 入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上1年增长4.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为 b n 万元，写出a n , b n 的表达式. 解 第1年投入800万元，第2年投入800 X 1 — 5万元，…，第n 年投入800 X 1 — £ n —1解得x = 880.8.・・880.8.万元,-1万元.题型三新情境问题例3定义：若数列｛A n ｝满足A n +1= A n ，则称数列｛ A n ｝为"平方数列”.已知数列｛a n ｝中，a 1 =2，点(a n , a n +1)在函数f(x)= 2x 2+ 2x 的图象上，其中n 为正整数. (1)证明：数列｛2a n + 1｝是"平方数列”，且数列｛lg(2 a n + 1)｝为等比数列； ⑵设(1)中“平方数列”的前 n 项之积为T n,则T n = (2a 1+ 1)(2a 2+ 1) (2a n + 1)，求数列｛a n ｝的通项及T n 关于n 的表达式；⑶对于⑵中的T n ,记b n = lOg 2a n 1 T n ，求数列｛5｝的前n 项和S n ,并求使5 > 4024的n 的 最小值.2(1)证明 由条件得a n +1= 2a n + 2a n ,2 22a n +1 + 1 = 4a n + 4a n + 1 = (2a n + 1). •••数列｛2a n + 1｝是“平方数列”. •••|g(2a n +1+ 1) = lg(2a n + 1)2= 2lg(2a n + 1), 且 lg(2 a 1 + 1) = lg 5 丰 0, • lg 2a n +1+ 1 (2)lg 2a n + 1• ｛lg(2 a n + 1)｝是首项为lg 5，公比为2的等比数列n 1(2)解•/ lg(2a 1+ 1) = lg5 , • lg(2a n + 1) = 2 -lg5.2n -11 2n -1--2a n + 1 = 5, - - a n = 2(5— 1).-lgT n = lg(2a 1 + 1)+ lg(2a 2+ 1)+ …+ lg(2a n + 1)所以总投入 a n =800 +-D -1 = 4000 X 1-5丿一(万元).同理，第1 年收入400万元，第2年收入400 X元，…，第n 年收入400 X 1 +所以总收入b n = 400 + 400 X •••+ 400X=1600X综上,ig5 1 —2n1-2=(2n — i)ig5,2 n一 1•-T n = 52••• S n = 2n — 1+1 + i 1 2 +••• +1◎ c 1—已 =2n 一 r1—1由 S n >4024，得 2n — 2 + 2 * °>4024,即 n + 1 n > 2013.反思与感悟 数列创新题的特点及解题关键 特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大 解题关键：读清条件要求，理清关系，逐个分析跟踪训练3把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形， 将中间的一个正方形挖掉 (如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2));如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了 ________ 个正方形;igT n2n — 1 lg5J — 1.-⑶••• bn = log2a n 1Tn = ig 2a n + 1 2n - 'lg5当 n W 2012 时,v 2013;当n 》2013时, n + > 2013.n 的最小值为2013.'g'l(2)第n 个图形共挖掉了 __________个正方形，这些正方形的面积和是 ___________n 答案(1)73⑵宁1— 9 n解析(1)8 X 9+ 1— 73.原正方形的边长为 1，则这些被挖掉的正方形的面积和为11X 1 2+ 8x14 + 82X 16+.叭 1X 12n_ 1x3 +8X 3 +8 X 3 + +8 X3-1自查自纠(2)设第n 个图形共挖掉a n 个正方形，则 2 a 1 — 1, a 2 — a 1 — 8, a 3 — a 2 —…，a n —na n — 1 — 81 一（n 》n8 — 1~7~(n > 2).当n — 1时，a 1 — 1也满足上式，所以8-9由题意得 2+ 22 + 23+…+ 2n > 100, ••• 2n — 1> 50, ••• 2n > 51, •- n > 6.•••需要的最少天数 n = 6.3•等比数列｛a n ｝的前m 项和为4，前2m 项和为12,则它的前3m 项和是_____________ 答案 28解析 易知 S m = 4, S 2m — S n = 8,•- S 3m — S 2m = 16,•-S 3m = 12+ 16 = 28.4•已知数列｛a n ｝是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1, a ?, a 4成等差数列.求证：2足，&, % —S 6成等比数列.证明 设等比数列｛a n ｝的公比为q ，由题意得2a 7= a 1 + a 4, 即 2a 1 • = a 1 + a 1 q , •- 2q — q — 1 = 0. 令 q 3= t ，贝U 2t 2 — t — 1 = 0, 1•-1 = — 2 或 t = 1, 即 q 3= — 1 或 q 3= 1.当 q 3= 1 时，2S 3 = 6a 1, &= 6a 1, S 12— S s = 6a 1, • S 6= 2S 3 (S 12— S 6),•-2S 3, S 6, S 12 — S 成等比数列3a 1a 1 1— q 6 4 S 6= =1 — q 1 — qa^ 36 6 6X - a7(1 — q ) a 1 q (1 — q ) 44S 12 — S 6 ===当q 3= — 1时, 2S 3= 2Xa 1 1- q 3 1 — q2a/2 1 — q3a 1 1 — q1 —q 1 —q 1 —q••• 2S3, S6, S12- S成等比数列综上可知，2S3, S B, S12-S6成等比数列.「课堂小结------------------------------------ 1等比数列中用到的数学思想(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q = 1和q工1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>o,q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0 , q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q= 1时为常数列.⑵函数的思想：等比数列的通项a n= a1q n-1 =宇q n(q>0且q丰1)常和指数函数相联系；等比a 1 a 1数列前n项和S n=——(q n- 1)(q工1).设A= ——，则S n= A(q n- 1)也与指数函数相联系.q- 1 q - 1⑶整体思想：应用等比数列前n项和时，常把q n, 旦当成整体求解•1-q1.等比数列｛a n｝中，a1a2a3—1, a4 —4，贝V a2+ a4+ a6+…+ a2n —_______ ■解析由a1a2a3— 1 得a；—1,a?—1,又T a4 —4,• a4 ,—4.a2•••数列a2, a4, a6,…，a2n是首项为1，公比为4的等比数列.1 一4 4 —1•- a2 + a4 + a6+…+ a2n——.1 —4 32.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n — ________ (n€ N* *).答案6解析设每天植树棵数为｛a n｝，则｛a n｝是等比数列，•-a n—2n(n€ N*, n 为天数).。

【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知． 探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)． 由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列． 【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52， 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列． 【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb， 即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x， 即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列． 【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

听课随笔 第4课时【学习导航】知识网络学习要求1．掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前n 项和公式，掌握等比数列的前n 项和公式2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题【自学评价】1.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n 当1≠q 时，_________________ ① 或________________________② 当q=1时，_____________当已知1a , q, n 时用公式①； 当已知1a , q, n a 时，用公式②. 2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝p (1－q n )，且p ≠0，q ≠1，则数列｛a n ｝是___________.【精典范例】【例1】在等比数列｛a n ｝中，（１）已知1a ＝－4，q ＝12，求10S ； （２）已知1a ＝１，k a ＝243，q ＝3，求k S ．【解】【例2】在等比数列｛a n ｝中，263,2763==S S ，求a n . 【解】点评:等比数列中五个基本量a 1、q 、a n 、n 、S n ，知三可求二. 追踪训练一1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ） Ａ．41.1 Ｂ．51.1Ｃ．)11.1(115-⨯ Ｄ．)11.1(106-⨯ 2．求下列等比数列的各项和： （１）１，３，９， (2187)（２）１，21-，41，81-，…，5121-.3．等比数列｛a n ｝的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是（ ） A.179 B.211 C.243 D.275 4．若等比数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n +a ,则a 等于（ ） A.3 B.1 C.0 D.－1 5．已知等比数列的公比为2，若前4项和等于1，则前8项之和等于（ ） A.15 B.17 C.19 D.21【选修延伸】【例3】{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，数列k k k k k S S S S S 232,,-- （+∈N k ）是否仍成等比数列？ 【解】追踪训练二1.在等比数列｛a n ｝中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2＋1，a 4=2S 3+1,则公比q 等于（ ） A.3 B.－3 C.－1 D.12.等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 则公比q 的值为（ ） A.1 B.－21 C.1或－21 D.－1或21 3.在公比为整数的等比数列｛a n ｝中，已知a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么a 5＋a 6＋a 7＋a 8等于（ ）A.480B.493C.495D.4984.在14与87之间插入n 个数，使这n +2个数组成等比数列，若各项的和为877,则此数列的项数为（ ）A.4B.5C.6D.75.在等比数列｛a n ｝中，公比q =2,log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 10=25,则a 1+a 2+…+a 10=____________.6. 已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求此数列的公比q 和项数n .7.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.学生质疑 教师释疑。

课题： 2.5 等比数列的前 n 项和（2）第课时总序第个教课设计课型：新讲课编写不时间：年月日履行时间：年月日教课目的：批知识与技术：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决相关等比数列的注S n , a n , a1, n, q 中知道三个数求此外两个数的一些简单问题；提升剖析、解决问题能力过程与方法：经过公式的灵巧运用，进一步浸透方程的思想、分类议论的思想、等价转变的思想 .感情态度与价值观：经过公式推导的教课，对学生进行思想的谨慎性的训练，培育他们脚踏实地的科学态度 .教课要点：进一步娴熟掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式教课难点：灵巧使用公式解决问题教课器具：投影仪教课方法：经过公式的灵巧运用，进一步浸透方程的思想、分类议论的思想、等价转变的思想 .教课过程：Ⅰ. 课题导入第一回想一下前一节课所学主要内容：等比数列的前 n 项和公式：当 q 1时，S n a1 (1 q n ) ①或S n a1a n q②1 q1q当 q=1 时，S n na1当已知 a1, q, n时用公式①；当已知 a1, q,a n时，用公式②Ⅱ . 讲解新课例 1、等比数列前n 项，前2n 项，前 3n 项的和分别是Sn， S2n， S3n，求证： S2S2S (S S)n 2 n n2 n 3 n例 2、设 a 为常数，求数列a， 2a2，3a3，， na n，的前n 项和；（1）a=0 时， S n=0（ 2）a≠ 0 时，若 a=1，则 Sn=1+2+3+ +n= 1n(n1)2n-1n），Sn= (1 a[1 (n 1)an na n 1]（ 3）若 a ≠ 1，S n -aS n =a （ 1+a+ +a -na a) 2例 3：某商场第一年销售计算机 5000 台，假如均匀每年的销售量比上一年增添10%，那么从第一年起，约几年可使总销售量达到30000 台？（保存到个位）练习 1： 已知 { a n }中， a n 1 2a n , a 2 3, 求 S 6.练习2：(1).(a 1) (a 2 2)( a n n); (2).1 2x 3x 2nx n 1.练习3：已知S n 是等比数列a n 的前n 项和,且S 10 5,S 2015.(1).求 S 30 ;(2).问S 10,S20S10, S30S20能否成等比数列？教课后记：。

等比数列的通项公式公主岭市第一中学校毕洪波教材分析本节课是苏教版必修5第二章第二课时的内容，此前，学生已经学习了等比数列的定义，已掌握等差数列及通项公式，同时也学习了等差数列通项公式与函数的关系，这为研究等比数列的通项公式做了充分的准备。

本节通过类比的方法介绍了等比数列的通项公式，使学生理解等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决实际问题，同时，本节内容将为后续研究等比数列的前n项和奠定的基础，起到承前启后的作用。

教学目标1．知识与技能：理解等比数列的通项公式，能利用等比数列的通项公式解决简单的实际问题；2．过程与方法：培养类比的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题的能力；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

教学重点等比数列的通项公式，通项公式的实际应用。

教学难点等比数列通项公式与指数型函数的关系。

学法与教学用具启发学生联系之前所学内容，运用类比的思想理解掌握相关内容。

以学生探究为主，老师点拨为辅。

学生讨论，交流心得，分享成果。

同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。

直尺、投影仪（多媒体教室）教学过程一、复习回顾1等差数列定义；2等比数列定义；3等差数列通项公式：通项公式的推导方法：累加法，不完全归纳法；通项公式的特点：是一个关于n的“一次函数”形式。

（设计意图：从已经研究过的问题出发创设情境，巩固上节课所学知识，引出本节所要研究的问题，为研究等比数列的通项公式做准备。

） 二、讲授新课1、问题情景问题1观察等比数列{n a }：1，2，4，8，16，……，如何写出它的第10项10a 呢？问题2设{n a }是一个首项为1a ，公比为q 的等比数列，你能写出它的第n 项n a 吗？师：我们知道对于等差数列给定首项和公差的时候就可以求出这个数列的任意指定项和通项公式，类比等差数列对于给定的等比数列，当我们知道他的首项和公比的时候，能不能来求这个数列的指定项和通项公式呢？请看多媒体展示。

2.3 等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n a1＋a n2S n＝na1＋n n－12d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和( )(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式( )(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1( )解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.预习课本P42～45，思考并完成以下问题答案：(1)√ (2)× (3)×2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n n ＋12解析：选 D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n n －12×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n n ＋12，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n n －12d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)． (2)由已知，得S 8＝8a 1＋a 82＝84＋a 82＝172， 解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[活学活用]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 8＝11，则S 9等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8， ∴S 9＝9a 2＋a 82＝9×142＝63.已知S n 求a n 问题[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.(1)求{a n }的通项公式； (2)判断{a n }是否为等差数列？ [解] (1)∵S n ＝－2n 2＋n ＋2， ∴当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；(2)S n ＝3n－1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n－1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1； ②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18 B ．17 C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得25×17＋17×17－12d ＝25×9＋9×9－12d ，解得d ＝－2， [法一 公式法]S n ＝25n ＋n n －12×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n2＝－32n 2＋n2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选 C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7>0，S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________. 解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C. 3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a n b n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －122n －1＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 4×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0； 当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×172＋1032×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

《等比数列的前n项和公式》说课稿《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。

下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。

教材分析等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。

它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

学情分析就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。

学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。

基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。

教学目标在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

重点难点重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。

情境创设《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。

第十课时 等比数列的前n 项和(二)教学目标：综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.教学难点：灵活使用有关知识解决问题教学过程：Ⅰ.复习回顾前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?定义式：a n a n －1＝q (q ≠0，n ≥2) 通项公式：a n ＝a 1q n －1(a 1,q ≠0)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ,S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1) S n ＝na 1，(q ＝1)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a 1＝S 1(n ＝1)Ⅱ.讲授新课我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.［例1］求和：（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1y n ） (其中x ≠0，x ≠1，y ≠1)分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x ≠0，x ≠1，y ≠1时，（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1y n ）＝(x ＋x 2＋…＋x n )＋(1y ＋1y 2 ＋…＋1y n )＝x （1－x n ）1－x ＋ 1y （1－1y n ）1－1y ＝x －x n ＋11－x ＋y n －1y n ＋1－y n 此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.［例2］已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列.分析：由题意可得S 3＋S 6＝2S 9，要证a 2，a 8，a 5成等差数列，只要证a 2＋a 5＝2a 8即可. 证明：∵S 3，S 9，S 6成等差数列，∴S 3＋S 6＝2S 9若q ＝1，则S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，由等比数列中，a 1≠0得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，∴q ≠1，∴S 3＝a 1（1－q 3）1－q ，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ，S 9＝a 1（1－q 9）1－q且 a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q整理得q 3＋q 6＝2q 9，由q ≠0得1＋q 3＝2q 6又∵a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (1＋q 3)，∴a 2＋a 5＝a 1q ·2q 6＝2a 1q 7＝2a 8∴a 2，a 8，a 5成等差数列.评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.［例3］某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)?分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和.解：设每年的产量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30∴5（1－1.1n ）1－1.1＝30，整理可得：1.1n ＝1.6 两边取对数，得n lg1.1＝lg1.6，即：n ＝lg1.6lg1.1 ≈5答：约5年内可以使总产量达到30万吨.评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.Ⅲ.课堂练习课本P 58练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n 项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.Ⅴ.课后作业课本P 58习题 3，4，5等比数列的前n 项和(二)1．数列{a n }为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项为54，它的前2n 项的和为6560，求此数列的首项和公比.2．已知数列{a n}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{b n}是否仍为等比数列？3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和S n.4．数列{a n}中，S n＝1＋ka n(k≠0，k≠1)(1)证明数列{a n}为等比数列；（2）求通项a n；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋a n2.5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.6．等比数列{a n}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.7．求和（x ＋1x ）2＋（x 2＋1x 2 ）2＋…＋（x n ＋1x n ）28．求数列2x 2，3x 3，4x 4，…，nx n ，…的前n 项和.等比数列的前n 项和(二)答案1．数列{a n }为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项为54，它的前2n 项的和为6560，求此数列的首项和公比.分析：利用等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q解题. 解：若q ＝1，则应有S 2n ＝2S n ，与题意不合，故q ≠1.当q ≠1时，由已知得⎩⎨⎧a 1（1－q n ）1－q ＝80 ①a 1（1－q 2n ）1－q ＝6560 ② 由②① ，得1－q 2n1－q n＝82，即q 2n －82q n ＋81＝0 得q n ＝81或q n ＝1(舍)∴q n ＝81，故q ＞1.{a n }的前n 项中最大，有a n ＝54.将q n ＝81代入①，得a 1＝q －1 ③由a n ＝a 1q n －1＝54，得a 1q n ＝54q即81a 1＝54q ④ 由③、④得a 1＝2， q ＝3评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出q n ＝81，应保留q n 为一个整体求解方便.2．已知数列{a n }是等比数列，试判断该数列依次k 项的和组成的数列{b n }是否仍为等比数列？分析：应对{a n }的公比q 分类讨论.解：设b n ＝a (n －1)k +1＋a (n －1) k +2＋…＋a nk ，且数列{a n }的公比为q则当q ＝1时，b 1＝b 2＝…＝b n ＝…＝ka 1,∴{b n }为公比是1的等比数列.当q ≠±1时，b n ＝a （n －1）k ＋1（1－q k ）1－q ，b n ＋1b n＝a nk ＋1a （n －1）k ＋1 ＝q k ∴{b n }为公比是q k 的等比数列.当q ＝－1时，若k 为偶数，则b n ＝0，此时{b n }不能为等比数列.若k 为奇数，数列{b n }为公比为－1的等比数列.综上：当{a n }的公比不为－1时，数列{b n }仍为等比数列；当{a n }的公比为－1时，若k 为偶数，则{b n }不是等比数列；当k 为奇数时，数列{b n }为公比为－1的等比数列.3．求数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…的前n 项和S n .解：(1)a ＝0时，S n ＝1；(2)a ＝1时，S n ＝12 n (n ＋1)；(3)a ＝－1时，S n ＝⎩⎨⎧n 2 （n 为偶数）n ＋12 （n 为奇数） ； (4)a ＝±1；a ≠0时，S n ＝（1－a n ）（1－a n ＋1）（1－a ）（1－a 2）. 4．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)(1)证明数列{a n }为等比数列；（2）求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 12＋a 22＋…＋a n 2. 分析：由于条件中涉及S n 与a n 的关系，因此，要考虑S n －S n －1＝a n (n ≥2)的运用，然后回答定义.（1）证明：∵S n ＝1＋ka n① S n －1＝1＋ka n －1 ② ①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1 ＝k k －1(常数)，（n ≥2） ∴{a n }是公比为k k －1的等比数列. （2）解：∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k∴a n ＝11－k ·(k k －1 )n －1＝－nn k k )1(1-- (3)解：∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1∴{a n 2}为首项为（1k －1 ）2，公比为（k k －1）2的等比数列. 当k ＝－1时，等比数列{a n 2}的首项为 14 ，公比为 14∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝14 [1－（14 ）n ]1－14＝13 [1－（14 ）n ]评述：应注意a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2）的应用. 5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.解：设数列的公比为q ，项数为2n则⎩⎨⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝85a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝170，得q (a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＝170，∴q ＝2 又∵a 1（1－q 2n ）1－q 2 ＝85，即1－22n1－22＝85 ∴22n ＝256＝28，∴2n ＝8评述：在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及到a 1，n ，q ，a n ，S n 5个量，其中a 1和q 是基本量，利用这两个公式，可知三求二.6．等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值.分析：关键是确定首项和公比.解：设此数列的首项和公比为a 1和q .则⎩⎨⎧a 1（1－q 4）1－q ＝1 ①a 1（1－q 8）1－q ＝3 ② 由②÷①得q 4＝2.∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝a 1（1－q 20）1－q －a 1（1－q 16）1－q ＝a 1 q 16（1－q 4）1－q＝q 16＝24＝16. 评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a 1和q ,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.7．求和（x ＋1x ）2＋（x 2＋1x 2 ）2＋…＋（x n ＋1x n ）2分析：注意到（x n ＋1x n ）2＝a n ＝x 2n ＋1x 2n ＋2，且{x 2n }与{(1x )2n }为等比数列，故可考虑拆项法.解：S n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋(1x 2 ＋1x 4 ＋…＋1x 2n )＋443442122)22(个n +⋅⋅⋅++ 当x ＝±1时， S n ＝n ＋n ＋2n ＝4n .当x ≠±1时，S n ＝x 2（1－x 2n ）1－x 2 ＋1x 2（1－1x 2n ）1－1x 2＋2n ＝（x 2n －1）（x 2n ＋2＋1）x 2n （x 2－1） ＋2n评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.8．求数列2x 2，3x 3，4x 4，…，nx n ，…的前n 项和.分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题. 解：（1）当x ＝0时，S n ＝0.(2)当x ＝1时，S n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝12 n (n ＋3).(3)当x ≠1时，S n ＝2x 2＋3x 3＋4x 4＋…＋(n ＋1)x n +1 ① xS n ＝2x 3＋3x 4＋4x 5＋…＋nx n +1＋(n ＋1)x n +2 ② ①－②得：（1－x ）S n ＝2x 2＋x 3＋x 4＋…＋x n +1－(n ＋1)x n +2＝2x 2＋x 3（1－x n －1）1－x －(n ＋1)x n +2∴S n ＝2x 2―x 3―（n ＋2）x n +2＋（n ＋1）x n +3（1－x ）2 ③ 又当x ＝0时，S n ＝0适合③∴S n ＝⎩⎨⎧12 n (n ＋3) （x ＝1）2x 2―x 3―（n ＋2）x n +2＋（n ＋1）xn +3（1－x ）2 （x ≠1）评述：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.。

《等比数列的前n项和》教学设计《等比数列的前n项和》教学设计《等比数列的前n项和》教学设计1一、教材分析：等比数列的前n项和是高中数学必修五第二章第3、3节的内容。

它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续。

这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

意在培养学生类比分析、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想。

在高考中占有重要地位。

二、教学目标根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

2、过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、类比分析与解决问题的能力，培养学生从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

3、情感与态度：通过自主探究，合作交流，激发学生的求知欲，体验探索的艰辛，体味成功的喜悦，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。

三、教学重点和难点重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用。

难点：等比数列的前项和公式的推导。

重难点确定的依据：从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通；从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。

四、教法学法分析通过创设问题情境，组织学生讨论，让学生在尝试探索中不断地发现问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信心和成功感。

强调知识的严谨性的同时重知识的形成过程，五、教学过程（一）创设情境，引入新知从故事入手：传说，波斯国王下令要奖赏国际象棋的发明者，发明者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，。

2. 3.3 等比数列的前n项和(二)【学习目标】1•熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题2会用错位相减法求和.ET问题导学----------------------------知识点一等比数列前n项和公式的函数特征思考若数列｛a n｝的前n项和S n= 2n- 1，那么数列｛a n｝是不是等比数列？若数列｛a n｝的前n项和S n= 2n+1- 1呢？梳理当公比1时，设A=—乩，等比数列的前n项和公式是S n= A(q n- 1). q-1当公比q= 1时，因为a1*0,所以S n= na1, S n是n的正比例函数.知识点二等比数列前n项和的性质思考若等比数列｛a n｝的前n项和为S n,则S n, S^—S n, S3n-翁成等比数列吗？梳理等比数列｛a n｝前n项和的三个常用性质(1)数列｛a n｝为公比不为一1的等比数列，S n为其前n项和，贝y S n , S2n- S n,宓一S2n仍构成等比数列.n *⑵若｛a n｝是公比为q的等比数列，贝y S n+m = S n + q S m(n, m€ N).⑶若｛a n｝是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其S禺前2n项中，一=q；“a i+ a2n+ i q a i+ a2n +2②在其前 2n + 1 项中'S 奇一S 偶=a i — a 2 + a 3— a 4+ …一a 2n + a 2n +1 = =（q工1-（-q ）1+q-1）.知识点三 错位相减法思考 在上一节，我们是如何求公比不为 1的等比数列｛a n ｝的前n 项和S n = a 1+ a 2+^+ a n 的？梳理 如果数列｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝是等比数列，求数列｛a n b n ｝的前n 项和时，一般使用如 下方法：S n = a 1b 1 + a 2b 2+…+ a n b n , ①qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + …+ a n b n q =a 1b 2+ a 2b 3+ …+ a n b n +1, ②①—②得(1—q)S n= a 1 b 1 + (a 2— a”b 2 + (a 3— a 2)b 3 + …+ (a n — a n — 1)b n — a n b n +1=a 1b 1 + d(b 2+ b 3+ …+ b n ) — a n b n +1n — 1口(1 — q )=a 1b 1 + d — a n b n +1,1 — qn — 1a 1b 1 — a n b n +1b2(1 — q —) --S n =+ d 2 .1 — q (1 — q )上述方法称为"错位相减法”.题型探究类型一等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = a n — b （a 是既不为0也不为1的常数）•若｛a .｝是等比数列， 则 b = ___________ .S 1,n = 1,反思与感悟 ⑴已知S n ,通过a n = 求通项a n ,应特别注意n >2时，a n =S n — S n — 1, n 》2S n — S n — 1.⑵若数列｛a n｝的前n项和S = A（q n—1），其中A丰0, 0且q丰1，则｛a n｝是等比数列.跟踪训练1若｛a n｝是等比数列，且前n项和为S = 3n 1+1,贝V t= ____________ .类型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为S n,翁，务，求证：£+ £n= S n（S2n+ S3n）.反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：（1）运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q = 1和q工1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.（2）灵活运用等比数列前n项和的有关性质.跟踪训练2在等比数列｛a n｝中，已知S n= 48，S2n= 60，求S3n.命题角度2 不连续n项之和问题例3已知等比数列｛a n｝的公比q— 3,则a;:a:_________________________ .反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁.跟踪训练3设数列｛ a n｝是以2为首项，1为公差的等差数列；数列｛b n｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1：ba2 + ba3：…+ ba6 = __________ .类型三错位相减法求和例4求数列｛詞的前n项和.反思与感悟一般地，如果数列｛a n｝是等差数列，｛b n｝是等比数列，求数列｛a n b n｝的前n项和时，可采用错位相减法.当堂训练跟踪训练 4 求和：S n= x + 2x2+ 3x3+…+ nx n(X M 0).1 . 一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是_________ .2.已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n= x 3n_I—6贝卩x的值为___________ .3 .一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为________________ .4 .在数列｛ a n｝中，a n+1= ca n(c为非零实数)，且前n项和为S = 3n+ k,则实数k= ______________规律与有法2 •等比数列中用到的数学思想：I .在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q=1或q工1作出判断.(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q= 1和q z 1两种情况讨论.a a⑵函数思想：等比数列前n项和S n= 一(q n—1)(q z 1)•设A= -，则S n= A(q n—1)也与指q—1 q—1数函数相联系.(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把q n，—乩当成整体求解.1 —q问题导学知识点一 思考当S n = 2n — 1时,j Si , n = 1, a n S n — S n -1, n 》2=1，n =1， 2n —1, n 》2, n € N当 S n = 2n +1— 1 时，Si ,n= 1,a n =|S n — Sn -1 , n 》2知识点二 思考设｛a n ｝的公比为q , 贝U S n = a 1 + a 2 + …+ a n , S 2n—5=a n + 1+a n +2+…+a 2n=a 1q + a 2q +…+ a *q =q S n , S 3n —S 2n =a 2n +1+a 2n + 2+…+a 3n=a n + 1q n+a n + 2q n+…+a 2nq n=q n(S 2n—S n),二S n , S 2n — S n , S sn —翁成等比数列，公比为 ql 知识点三 思考 在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可. 题型探究解析 当 n 》2 时，a n = S n — S n —1= (a — 1) a n —1; 当 n = 1 时，a n = S 1 = a — b.••• {an}为等比数列，••• a1, a2, a3成等比数列, --a 2= [(a — 1) a]2= a 1 a 3 = (a — b) (a — 1) a 2, -a 丰 0 且 a 丰 1, - - a — 1= a — b, - - b = 1. 经验证当b = 1时，｛a n ｝为等比数列， b = 1.答案精析n — 1， *不是等比数列.n 》2, n € N是等比数列;1 跟踪训练1—- 3例2证明 设此等比数列的公比为 q ，首项为a 1, 当 q = 1 时，S n = na 1， S 2n = 2na 1, S 3n = 3na 1 ,二 s n + SL = n 2a 2 + 4n 2a 1= 5n 2a 1,2 2S n (S 2n + S sn ) = na 〔(2na 1 + 3na 〔)= 5n a 1, …S n + S 2n = S i (S 2n + &n )・ 当 q M 1 时，S n h-^d — q n ),1 — q — a 1 2n a 13nS 2n = (1 — q ) , S 3n =(1—q ), 1 — q1 — q* a 1 1••• S 2+ S 2n = 1—q 2[(1 — q n )2+ (1 — q 2n )2] f a1 \ oo=「q J (1 — q ) (2 + 2q +q ).©1 \ 2 2 又 S n (S 2n + S 3n )= 1 — q f (1—q) (2 + 2qn+ q n ).• •Sn+S 2n= Sn (S 2n+S 3n).跟踪训练2解因为S>n M 2S n , 所以q M 1,a 1 1 — q =48, 1 — q由已知得…“ 2n .◎ 1—q “=60, 1 — q②吨得1+qn=4，即q n =:跟踪训练4 解分x = 1和x M 1两种情况.将③代入①得旦 =64 , 1 — q 所以 S $n = . 3n a i 1 — q =64 x i — q 解析 • 32 + 34 + 36 + 38 =3i q + a 3q + a 5q + 37q =q(a i + a 3+ a 5+ a 7), a i + a 3+ a 5+ a 7 i=_=— 3. a 2+ a 4+ a 6+ a 8 q 跟踪训练3 27 — 2 ba n +1 b i qa n +1 — i 解析 • = = qa n +1 — a n = 2, ba n b i qa n — 1 ••• {ba n }是首项为b 2,公比为2的等比数列. 6 b2(1 — 2 ) …ba i + ba 2 + …+ ba 6= 1 — 2 =27— 2. 例4解 设S n = 2 +》+予+…+药，1 12 n —1 则有2S n =歹+云+…+石丁 n + 2n +1,1 111 in 两式相减，得 S n — ；S n =1 +孑+ /+••• +歹一百2 2 2 2 2 2 +1即尹=1 111—歹n 2n + 1• • S n = 2 —1 2n - 1 n +2 2n当x = 1时，n (n + 1 xS n = 1 + 2 + 3+ • + n = 2 当x M 1时， S n = x + 2x 2 + 3x 3 + …+ n x n ,234n | n 亠 1xS n = x + 2x + 3x +••• + (n - 1)x + nx +2 .3nn 丄 1--(1 — x)S n = x + x + x +…+ x — nx +. nx 1 — x彳 —nx ^1nS= XQ ― x -n “ 2 (1 —X )综上可得,x = 1,n 2+ .当堂训练X 1-X n1- x2nx n +1nx n +1。