函数单调性的教学设计

函数的单调性教案一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于温度原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日. 下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小．(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．(3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．不一定是对整个定义域而言的。

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．问题2：如何从解析式的角度说明在为增函数？预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数．(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数．(3) 任取,因为,即，所以在为增函数．3．抽象思维，形成概念增（减）函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。

王华教学设计教案一、教学内容本节课选自《高中数学》教材第二章“函数、导数与极限”的3.2节“函数的单调性”，内容包括函数单调性的定义、性质、判定方法以及应用。

二、教学目标1. 理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定方法。

2. 能够运用函数单调性解决实际问题，提高数学思维能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。

三、教学难点与重点教学难点：函数单调性的判定方法。

教学重点：函数单调性的定义及其性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、草稿纸、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示气温变化、股票走势等实际例子，引导学生观察数据变化趋势，提出问题：“如何描述这些变化趋势？”2. 知识讲解（1）回顾函数的定义，引导学生思考函数值随自变量变化的规律。

（2）引入函数单调性的定义，讲解单调递增、单调递减的概念。

（3）通过示例，讲解如何判断函数的单调性。

3. 例题讲解例1：判断函数f(x) = x^2在区间（∞，0）和（0，+∞）上的单调性。

例2：已知函数f(x) = x^3 3x在区间（1，1）上单调递增，求实数a的取值范围。

4. 随堂练习练习1：判断函数f(x) = x^3 3x在区间（∞，1）和（1，+∞）上的单调性。

练习2：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间（∞，1）和（1，+∞）上单调递增，求实数a、b、c的关系。

5. 小组讨论问题1：如何判断二次函数在某个区间上的单调性？问题2：已知函数的单调性，如何求解参数的取值范围？六、板书设计1. 函数单调性的定义2. 单调递增、单调递减的性质3. 函数单调性的判定方法4. 例题解答步骤七、作业设计1. 作业题目（1）判断函数f(x) = (1/2)^x在区间（∞，0）和（0，+∞）上的单调性。

（2）已知函数f(x) = x^2 2ax + a^2在区间（∞，a）和（a，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围。

函数的单调性教学目标：1.知识目标：理解函数单调性的概念；2.能力目标：〔1〕.能由函数图象判断某些函数的单调性；〔2〕.通过模仿学会证明函数单调性的方法；〔3〕.培养学生观察、比拟、分析的能力；掌握数形结合的方法.3.德育目标：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法。

教学重点：函数单调性的概念与判断教学难点：利用概念证明或判断函数的单调性教学用具：多媒体、实物投影仪教学过程：一.问题情境：日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从从阶梯教室后向前走，逐步下降。

1.观察以下图表，体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用：洞庭湖沿不同观测站1954年洪水过程图春兰股份线性图在哪些时段内气温是升高的？2.很多函数也具有类似性质。

如〔电脑给出图象〕：y=3x+2 y=1x(x>0)这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性〔电脑给出课题〕二.学生活动问题1：观察以下函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？函数y=x2、y=x3的图象〔电脑给出〕y yO O x这些说明某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势。

问题2：你能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势〞吗？三.建构数学：问题3：如何用数学语言来准确地表述这种y值随着x的值增大而增大〔减小〕呢？进而抽象出单调性的定义〔电脑给出〕：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )<f(x2 )，那么就说y=f(x)在区间I上是增函数。

I称为y=f(x)的单调增区间。

如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )>f(x2 )，那么就说在这个区间I上是减函数。

I称为y=f(x)的单调减区间。

如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.问题4：由函数单调性定义，你发现哪些特点？（1）自变量属于定义域（2）自变量的任意性（3）x1、x2的大小与f(x1 )、f(x2)的大小要对应.为了让学生更直观地看出单调函数定义的内涵，用电脑演示动画。

函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。

三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。

2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。

四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。

2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。

3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。

4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。

5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。

高中数学单调性教案怎么写
一、教学目标
1. 理解函数的增减性和单调性的概念。

2. 掌握函数单调性的判定方法。

3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。

二、教学重点和难点
1. 理解函数的单调性概念，掌握判定方法。

2. 应用函数的单调性解决实际问题。

三、教学准备
1. 教师准备：教案、教学PPT、板书笔、教材、教具等。

2. 学生准备：课前提前预习相关内容。

四、教学过程
1. 导入：通过一个例子引导学生了解单调性的概念，如：函数$f(x) = x^2$在区间$[-
2,2]$上的单调性。

2. 教学：讲解函数的增减性和单调性的定义，及如何判定函数的单调性。

3. 辅导：给学生一些练习题进行实操，让学生自己判断函数的单调性，并解释判断的依据。

4. 实践：通过学生自主解决实际问题的练习，培养学生应用函数单调性解决实际问题的能力。

5. 总结：归纳总结本节课学习的内容，强调函数单调性的重要性。

五、布置作业
布置适量的作业，巩固和拓展学生对函数单调性的理解和应用能力。

六、教学反思
教师根据学生的学习情况，及时进行评价和反思，对今后教学提出改进建议。

七、拓展延伸
学生可自行探究其他函数的单调性，如三角函数、指数函数等，进一步提升应用函数的单
调性解决问题的能力。

函数的单调性教学设计（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数的单调性教学设计石嘴山市第十四中学王玲一、大纲分析函数单调性是研究函数概念基础上学习的第一性质，依据普通高中《数学课程标准》和《数学教学大纲》，教学重点确立为：判断或证明函数单调性的方法步骤。

又因为教学对象是高一新生，准确进行逻辑推理比较困难，所以把函数单调性的定义，判断或证明函数单调性确立为教学难点。

二、教材分析1、教材的地位与作用本课是人民教育出版社高中数学第一册第二章第三节的内容。

函数的单调性是函数重要性质之一，应用非常广泛，在教材中起着承上启下的作用一方面，是初中相关内容的深化、提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识；另一方面，通过对函数单调性的学习，可以利用函数单调性的定义判断某些函数的单调性及单调区间；比较两个数的大小；解方程或不等式；求函数的值域、最值等。

三、教学建议分析研究著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。

四、教学目标（1）知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（2）能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想和方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．（3）情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．五、教学重点、难点重点：函数单调性的定义；判断、证明函数的单调性.难点：归纳并抽象函数单调性的定义.六、学法、教法分析对学生来说，函数的单调性早已有所了解，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。

教学设计方案模板：吐鲁番某天的气温变化曲线图成绩1：随着工夫的变化，气温的变化趋势如何？成绩2：作出一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图象，从左向右看，图象的升降趋势如何？（从左向右看，f(x)=x的图象在（-∞，+∞）上呈逐渐上升趋势，f(x)=x2的图象在（-∞，0）降落，在（0，+∞）上升。

）从熟习的一次函数、二次函数动手，以具体函数的图象为例，让先生直观感知函数图象的升降变化特点，完成对函数单调性的第一次认识。

成绩3：如何用x，f(x)的变化描述函数图象的降落、上升？以f(x)=x2为例，教师几何画板演示，引导先生观察图象，在（-∞，0）上，图象下降，当x逐渐增大时，f(x)是逐渐减小的。

在图象下降f(x)随着x的增大而减小，图象上升f(x)随着x的增大而增大。

用几何画板直观展现，引导先生从直观的图象特点过渡到含有数学符号的自然言语，完成对函数单调性的第二次认知。

经过二次函数成绩7：对于普通函数y=f(x)，如何定义增函数的？普通地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为y=f(x)的单调增区间。

增函数的普通图象：成绩8：请同学们类比增函数定义给出减函数定义。

设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I．如果对于区间D内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y=f(x)在区间D上是减函数，D称为y=f(x)的减区间。

减函数的普通图象：例1 根据图象指单调区间有（0，4），。

3.1.3函数的单调性【教学目标】1.理解增函数㊁减函数的定义及增函数㊁减函数的图象特征,初步掌握函数单调性的判定方法.2.能正确地使用符号语言刻画函数的单调性,提升数学表达和数学交流的能力.3.通过对函数单调性的判断和证明,提升直观想象和逻辑推理的核心素养.【教学重点】函数单调性的定义及判断.【教学难点】利用函数单调性的定义判断函数的单调性.【教学方法】本节课主要采用类比教学法和分组教学法.教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势得出增函数㊁减函数的定义,然后对图象进行代数分析,得出证明函数单调性的步骤.本节课的主要思路是从形的直观感知到严密的代数分析,引导学生用数形结合的方法研究函数.最后,借助两个证明题,深化学生对函数单调性定义的理解.【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入艾宾浩斯曲线.教师引导学生观察曲线的变化趋势,引入课题.联系实际,激发学生学习兴趣.续表教学环节教学内容师生互动设计意图新课例2证明函数f(x)=3x+2在区间(-ɕ,+ɕ)上是增函数.证明设x1,x2是任意两个不相等的实数,则Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)=(3x2+2)-(3x1+2)=3(x2-x1),ΔyΔx=3(x2-x1)x2-x1=3>0.因此,函数f(x)=3x+2在区间(-ɕ,+ɕ)上是增函数.总结由函数的解析式判断函数单调性的步骤:S1取Δx,计算Δy.S2计算k=ΔyΔx.当k>0时,函数在这个区间上是增函数;当k<0时,函数在这个区间上是减函数.例3证明函数f(x)=1x在区间(0,+ɕ)上是减函数.证明设x1,x2是任意两个不相等的正实数,则Δx=x2-x1,教师讲解例2,板书详细的解题过程.教师引导学生总结解题步骤,可简记为:一设㊁二求㊁三判定.学生讨论并试解例3.教师解答学生的困惑.通过例题解答,加深学生对函数单调性定义的理解.归纳证明步骤,从而突破难点.教师点拨,帮助学生判断ΔyΔx的正负.巩固用函数解析式来证明函数单调性的步骤.教学环节教学内容师生互动设计意图新课Δy=f(x2)-f(x1)=1x2-1x1=x1-x2x1x2=-x2-x1x1x2.又因为x1x2>0,所以ΔyΔx=-1x1x2<0.因此,函数f(x)=1x在区间(0,+ɕ)上是减函数.练习证明函数f(x)=3x在区间(-ɕ,0)上是减函数.学生练习.巩固函数单调性的证明方法.小结1.函数单调性的定义.2.判定函数单调性的方法.学生阅读本节教材,畅谈本节课的收获.教师引导学生总结本节课的知识点.通过梳理,加深学生对所学知识的理解.作业本节练习A组第2题.本节练习B组题目.学生课后完成.巩固本节内容.。

函数的单调性”教学设计(教案)【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性起着承前启后的作用。

一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。

教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。

《函数的单调性》教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．二、学法分析在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。

然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。

整个过程学生学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。

三、教学目标知识与技能：1、理解增函数、减函数的概念及其几何意义。

2、学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。

过程与方法：1、通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。

2、通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。

情感与态度：1、通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2、通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。

四、教学重点函数单调性的概念、判断及证明．五、教学难点根据定义证明函数的单调性，求简单函数的单调区间．六、教学方法教师启发讲授，学生探究学习．七、教学过程（一）课题引入函数是描述事物运动变化规律的数学模型。

如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律。

1函数的单调性教学设计(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。

同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。

所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。

二、学生学情分析：从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图像，从图像的直观变化，学生能粗略的得到函数增减性的定义，所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括和语言转换能力。

本班学生的数学基础和学习能力存在差异，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：第一，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言进行描述,比如把定义域内某区间上“随着x 的增大，相应的函数值)(x f 也随着增大”（单调递增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，都有)()(21x f x f <”进行刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的1x ，2x ；第二，利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求较高,教师应该给以适时的点拨和纠正.三、教学目标设置:（一）知识与技能：1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义；2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性；3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。

《函数的单调性》教学设计(精品)(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的单调性（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.（三）教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题观察一次函数f (x) = x的图象：函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的.师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.yx11O单调性.引入深题观察二次函数f (x) = x2的图象：函数f (x) = x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x…–4–3–2–1f(x)=x21694101234…14916…x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大，图象上升.师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由– 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f (x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f(x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数（increasingfunction）；师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f (x) = x2在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f (x) = x2在(0，+∞)由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.O xy如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数（decreasingfunction）.上为增函数.应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.xx1x2Oyf(x)f(x)y=f(x)xx1x2Oyf(x)f(x)y=f(x)（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.例2 物理学中的玻意耳定律kpV=(k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.（2）增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.例2 分析：按题意，只要证明函数kpV=在区间（0，+∞）上是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，即强化记题步骤与格式.21121212()()V V k kp V p V k V V V V --=-=.由V 1，V 2∈(0，+∞)，得V 1V 2＞0.由V 1＜V 2，得V 2 – V 1＞0. 又k ＞0，于是p (V 1) – p (V 2)＞0， 即p (V 1) ＞p (V 2). 所以，函数kp V=，V (0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大.师：投影训练题2 生：自主完成训练题2 证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，因为f (x 1) – f (x 2) =2 (x 2 –x 1)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)， 所以f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.备选例题：例1 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. 【证明】设任意x 1、x 2R ，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) = (3x 1 +2) – (3x 2 +2) = 3(x 1–x 2).由x 1＜x 2得x 1 –x 2＜0. ∴f (x 1) – f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.例2 证明函数f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数. 【证明】设任意x 1、x 2(0，+ ∞)且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =21121211x x x x x x --=，由x 1，x 2(0，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数.。

函数单调性的应用教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。

2. 学会运用函数单调性解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。

二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法2. 函数单调性在实际问题中的应用3. 函数单调性在数学建模中的应用三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法2. 函数单调性在实际问题中的应用四、教学方法与手段：1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极参与。

2. 使用多媒体课件，直观展示函数单调性的概念和应用实例。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段的一次函数、二次函数的单调性，引出本节课的内容——函数单调性的应用。

2. 知识讲解：(1) 介绍函数单调性的定义及其判断方法。

(2) 通过实例讲解函数单调性在实际问题中的应用，如最值问题、不等式问题等。

(3) 介绍函数单调性在数学建模中的应用，如线性规划、最优化问题等。

3. 课堂练习：布置具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生的掌握情况，针对存在的问题进行调整教学策略，以提高教学效果。

七、教学评价：通过课堂表现、课后作业和课后访谈等方式，对学生的学习情况进行全面评价，了解学生对函数单调性及其应用的掌握程度。

八、教学拓展：引导学生深入研究函数单调性的其他方面，如函数单调性的推广、函数单调性与奇偶性的关系等。

九、教学资源：1. 多媒体课件2. 教学案例及实例3. 练习题及解答4. 数学建模相关资料十、教学进度安排：1课时（45分钟）完成本节课的教学内容。

六、教学内容拓展：1. 研究函数的单调性与奇偶性的关系。

2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分、积分等。

七、教学活动设计：2. 安排一节实践课，让学生运用函数单调性解决实际问题，如最优化问题、经济增长率问题等。

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《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。

把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。

从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。

【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。