高三数学期中测试题

南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试高三数学试题考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1.本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.2.答题务必将自己妵名，准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上，第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小輀，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2log 2,2A x x B x x =<=>∣∣，则A B ∪=（ ）A.()0,2B.()0,∞+C.()2,∞+D.(),2∞−2.若21i z −=，则z =（ ） B.1 C.22D.12 3.已知向量()()()0,4,3,6,1,6a b c ===− ，若c a b λµ=+ ，则λµ+=（ ） A.73 B.53C.13−D.23− 4.已知0,0m n >>，且1m n +=，则14m n +的最小值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.35.已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ）A. B.96π C. D.192π6.已知函数()224,,1,x x a f x x x a+ = +> 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.(]1,3− B.(],3∞− C.[)3,∞+ D.][(),13,∞∞−−∪+7.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A 为“第一次出现偶数点”，事件B 为“两次出现的点数和为9”，则下列结论中正确的是（ ） A.()19P AB =B.()()()P A B P A P B ∪=+C.()13P A B =∣D.A 与B 相互独立8.已知()f x 是定义在R 上的周期函数，周期1T =，且当[)0,1x ∈时()2f x x =，若()g x kx b =+，则下列结论中一定正确的是（ ）A.1k =时，()()f x g x =可以有三个解B.12k =时，()()f x g x =可以有三个解 C.1k =−时，()()f x g x =可以有一个解 D.12k =−时，()()f x g x =可以有四个解 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y kx k =−与抛物线C 交于,P Q 两点，分别过,P Q 两点作抛物线准线的垂线,PM QN ，垂足分别是,M N ，下列说法正确的是（ ）A.直线l 过抛物线C 的焦点B.当1k =时，,P Q 两点横坐标的和为5C.当1k =时，直线l 截抛物线所得的弦长为8D.以MN 为直径的圆与直线l 相切10.已知正方体1111ABCD A B C D −，点P 满足][1,0,1,0,1BP BC BB λµλµ =+∈∈ ，则下列说法正确的是（ ）A.存在唯一一点P ，使得过1,,D B P 的平面与正方体的截面是菱形B.存在唯一一点P ，使得AP ⊥平面11B D CC.存在无穷多个点P ，使得AP ∥平面1A CDD.存在唯一一点P ，使得11D P BC ⊥11.如果X 服从二项分布(),B n p ，当10np >且()110n p −>时，可以近似的认为X 服从正态分布()2,N µσ，据统计高中学生的近视率0.6P =，某校有600名高中学生.设X 为该校高中学生近视人数，且X 服从正态分布()2,N µσ，下列说法正确的是（ ）（参考数据：()0.682,(22)0.9545P X P X µσµσµσµσ−<<+≈−<<+≈）A.变量X 服从正态分布()360,144NB.()3720.159P X ≈C.()(384)348P X P X <=>D.(384)0.9773P X <≈第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列{}n a 中，()*21n a n n =−∈N ，则20S =__________.13.已知函数()π2sin 06yx ωω =−> 在区间π0,2上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围是__________.__________. 14.已知e 为自然对数的底数，若函数ln y x ax =+的最大值与函数e x y x =−的最小值相等，则实数a 的值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知5,3,cos 2c b c b a C ===−. （1）求A ∠；（2）若D 是BC 中点，求AD 的长度.16.（本题满分15分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为51413,35,,,n S S a a a =成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m n <，且1111,,m na a a 成等差数列，求出所有的正整数,m n . 17.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，AB ∥,DC AC BD ⊥，3,24PA AC DC AB ====.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求二面角D PC B −−的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()()211ln ,2f x x a x a x a =−++∈R . （1）若1a =−，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()()1y f x a x =++的最小值为0，求a 的值.19.（本题满分17分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22,,3A B 分别是椭圆C 的上下顶点，过A 作两条互相垂直的直线,AP AQ ，分别交椭圆C 于,P Q 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线PQ 恒过定点；（3）求APQ 面积的最大值.南京市协同体七校2024—2025学年第一学期期中联合考试高三数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.D8.B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD 10.BD 11.ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.400 13.713,33 14.21e − 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）解：（1）方法一： 因为cosC 2c b a =−， 由正弦定理得：1sin sin cos sin 2B A C C =−， 又sin sin cos cos sin B A C A C =+， 所以1cos 2A =−，又因为在ABC 中，所以2π3A =. 方法二：因为cosC ,5,32c b a b c =−==， 由余弦定理得：225935252a a a +−=−×， 解得249a =，所以259491cos 2532A +−==−××， 又因为在ABC 中，所以2π3A =. （2）方法一：在ABC 中，D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+ ，222111111119||9352542442244AD AB AB AC AC =++=×+×××−+×= ，AD = ，即AD. 方法二：由（1）方法二，知7a =，又D 是BC 中点，72BD CD ==， 在ABD 中由余弦定理有：22792cos 722AD ADB AD ∠ +−=×， 在ABD 中由余弦定理有：227252cos 722AD ADC AD ∠ +− =×， 因为πADB ADC ∠∠+=，所以cos cos ADB ADC ∠∠=−， 即22227792522772222AD AD AD AD +−+−=−××， 解得AD =，即AD . 16.（本题满分15分）解：（1）51545352S a d ×=+=，所以127a d +=… 又因为1413,,a a a 成等比数列，所以24113a a a =×，()()221111312,96a d a a d d a d +=×+=又因为0d ≠，所以132d a =所以13,2a d == 所以21na n =+ （2）由题意：1211m na a a =+ 所以21121321m n =+++ 方法一：2242163n m n +=++ 所以63921622n m n n ++==−++， 因为m n <且*,m n ∈N ，所以2,7m n == 方法二：2111213213m n =+>++， 所以，52m <， 又*m ∈N ，所以1m =或2m =，当1m =时，1n =，与m n <矛盾，当2m =时，7n =，符合条件，所以2,7m n == 17.（本题满分15分）（1）证明：因为PA ⊥面,ABCD BD ABCD ⊂，所以PA BD ⊥又因为,,,AC BD PA AC A PA PAC AC PAC ⊥∩=⊂⊂，所以BD PAC ⊥又因为BD PBD ⊂，所以平面PAC ⊥平面PBD（2）法一：作AE DC ⊥交DC 于E ，以点A 为坐标原点AE 为x 轴，AB 为y 轴如图建立 空间直角坐标系，设AC BD M ∩=，因为AB ∥DC ，所以ABM CDM ∽，又2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AM MC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BM DM == 所以ππ,36BAC EAC ∠∠==， 故()3330,0,3,,,022P C，()35,,0,0,2,022D B −.所以()333331,,3,0,4,0,,,02222PC DC BC =−==−设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以1111330240x y z y +−= = ，所以(1n =设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222223302102x y z x y +−=−=， 所以(2n =所以sin θ=法二：设AC BD O ∩=，又因为AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OC 为 y 轴如图建立空间直角坐标系，因为AB ∥DC ，所以ABO CDO ∼ ，又因为2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AO OC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BO DO ==故()()0,1,3,0,2,0P C −，()()3,0,0,3,0,0D B −所以()0,3,3PC =− ，()23,2,0CD =− ，)2,0BC =设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以111133020y z y −= −+= ，所以(1n = 设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222233020y z y −= +=，所以(22,n =所以sin θ=18.（本题满分17分）解：（1）当1a =−时，()()()2111ln ,1,22f x x x f f x x x =−′==−，所以()10f ′=， 所以切线方程为12y = （2）()()()()()()2111,0x a x a x x a a f x x a x x x x−+′+−−=−++==> 若0a ，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增； 若01a <<，则()0,x a ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，(),1x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a =，则()0,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a >，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，()1,x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，(),x a ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增（3）令()()()211ln 2h x f x a x x a x =++=+， ()()2,0,a x a h x x x x x′+=+=> 当0a 时，()0h x ′ ，故无最小值所以0a <，由()0h x ′=得x =所以(x ∈时()()0,h x h x ′<单调递减，)x ∞∈+时()()0,h x h x ′>单调递增单增，所以min 1()02h x h a a ==−+=，所以()ln 1,e a a −==−. 19.（本题满分17分）（1）解：因为22,cb a ==，又222a bc =+解得：3,,a b c === 故椭圆的标准方程为：2219x y += （2）证明：方法一：当PQ x ⊥轴时，,AP AQ 不可能垂直，故可设直线PQ 方程为：y kx n =+ 由2219y kx n x y =+ += ，得()2221918990k x knx n +++−=， 设()()1122,,,P x y Q x y 则：21212221899,1919kn n x x x x k k−−+==++， 所以，()()1122,1,,1PA x y PQ x y =−=− ，又因为PA PB ⊥，所以0PA PQ ⋅=即()()1212110x x y y +−−=即：()()1212110x x kx n kx n ++−+−=， 所以，()()221212121(1)0x x k x x k n x x n ++−++−= 代入可得：222222222222229999818(1)9(1)019191919n n k k n k k n n k n k k k k−−−+−+−+++=++++， 整理：210280n n −−=，所以：1n =（舍）或45n =−， 所以直线PQ 的方程为：45y kx =−，令0x =，得45y =−， 所以直线PQ 过定点40,5 −， 方法二： 显然,AP AQ 均不可能与坐标轴垂直，故可设():10AP y kx k =+≠ 由22119y kx x y =+ += ，得()2219180k x kx ++= 设()()1122,,,P x y Q x y所以：211221819,1919k k x y k k −−==++， 因为,AP AQ 互相垂直，同理得22222189,99k k x y k k−==++ 所以直线PQ 的斜率为：2110PQ k k k−=， 直线PQ 的方程为：222219118191019k k k y x k k k −− −=+ ++， 令0x =得()()222291194195519k k y k k −−=+=−++，即直线PQ 过定点40,5 − . （3）方法一：由（2）知：()227281190525k x kx +−−= ()()1212227281,5192519k x x x x k k +==−++， 所以APQ 面积121925S x x =×− ()()22121228125142519k x x x x k +=+−=+ 1t = ，所以22125t k −=代入可得： 281818127169162489t S t t t===++此时4,3t k ==，所以APQ 面积的最大值是278 方法二：由（2）知()2219180k x kx ++=，所以AP =因为,AP AQ互相垂直，同理得AQ = 所以APQ 面积12S AP AQ ==()242221162116299829982k k k k k k k k + + =++++ 令21116227,162162649644889t k t S k t t t+==×=×=++ ， 此时83t =，解得3k =±或13k =±， 所以APQ 面积的最大值是278.。

2024-2025学年（上）高三年级期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设112z i =+，2i z =，则12z z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 若集合{}1,0,1,2A =−，02x B x x =≥ − ，则A B = （ ） A. {}1,0− B. {}0,1C. {}1,2D. {}1,0,1− 3. 已知向量a ，b 满足1a =3，(a b += ，则a b −= （ ） A. 2B. C. 4 D. 164. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()21f x x ax =−++，若()f x 在()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A. (],2−∞−B. [)2,−+∞C. (],1−∞−D. [)1,−+∞ 5. 从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（ ）A. 15B. 40C. 55D. 706. 一个正四棱台油槽可以装汽油190L （1L=1000cm 3），若它的上、下底面边长分别为60cm 和40cm ，则它的深度为（ ）A. 25cmB. 75cmC. 100cmD. 150cm 7. 当[0,2π]x ∈时，函数sin y x =与π()2sin()(6)f x x ωω+=−∈N 的图象有4个交点，则ω的值为（ ）A 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()62f x f x +=，当(]0,6x ∈时，()24f x x x =−，则()251k f k ==∑（ ）A. -7B. 25C. 57D. 102二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在5123x x +的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. x 的系数为10B. 第4项的二项式系数为10C. 没有常数项D. 各项系数的和为32 10. 在长方体1111ABCD A B C D −中，12AA =，AB AD ==P 是底面ABCD 上的一点，且1D P ∥平面11A C B ，则（ ）A. 1D B AC ⊥B. 1D B ⊥平面11A C BC. 1D PD. 1A P PB +11. 如图，函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象，则（ ） A. π()2sin(2)3f x x =+ B. 将()f x 图象向右平移2π3后得到函数2sin 2y x =的图象 C. ()f x 区间7π13π[,]1212上单调递增 D. ()f x 在区间π[,]3t t +上的最大值与最小值之差的取值范围为[1, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..在12. 如果随机变量()2~5,X N σ，且()30.3P X ≤=，那么()37P X ≤≤=________. 13. 如图，在半径为2、圆心角为60 的扇形的弧PQ 上任取一点A ，作扇形的内接平行四边形ABCP ，使点B 在OQ 上，点C 在OP 上，则该平行四边形面积的最大值为________.14. 已知函数2()ln f x a x x b =−+，若(0,1)x ∈，()(1)0f x f x +<，则正整数a 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数32()1()f x x ax x a =+−−∈R .（1）若1a =−，求()f x 的极值；（2）若函数()f x 的图象关于点(1,(1))f −−对称，求a 的值.16. 在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos 2sin sin 2b b A C a B C −+=. （1）求B ；（2）若四边形ABDC 内接于圆O ，π6ACB ∠=，2AB =，求ABD △面积的最大值. 17. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了()ππ 3.14159≈⋅⋅⋅的前6个数字（1，1，3，4，5，9）设置个人银行储蓄卡密码.（1）求密码中两个1不相邻的概率；（2）若密码的前三位出现1的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.18. 在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，BC CD ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA PD AB ===，1BCCD ==.（1）求证：PD AB ⊥；（2）求PB 与平面PAD 所成角正弦值； （3）若线段PC 上存在一点E ，使得截面ABE 将四棱锥P ABCD −分成体积之比为5:7的上下两部分，求点P 到截面ABE 的距离.19. 已知函数()f x 及其导函数ff ′(xx )的定义域都为RR ，设直线l ：y kx m =+是曲线y kx m =+的任意一条切线，切点横坐标为0x ，若()f x kx m ≥+，当且仅当0x x =时“=”成立，则称函数()f x 满足“性质P ”. （1）判断2y x 是否满足“性质P ”，并说明理由； （2）若ff ′(xx )单调增函数，证明：()f x 满足“性质P ”； （3）若函数()2e ex x g x ax −=+−满足“性质P ”，求实数α取值范围.的是的。

川沙中学高三期中测试卷一．填空题1. 集合{}=⋂<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=M P x x M x x x P 则,9,032 ()3,02. 函数()()x x f -=2ln 的定义域为()2-，∞ 3. 行列式6cos3sin6sin3cosππππ的值是0 4. 计算：=+-+∞→nnnn n 4535lim 1 5 5. 高三毕业之际，有6位同学排成一排照相留念，其中甲乙二人相邻的概率是316. 已知数列{}n a 的前n 项和()*∈=N n n S n 2，则8a 的值是157. 已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2a ，若幂函数()αx x f =为偶函数，且在()∞+，0上递增，则=α 28. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时）制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5).[25,27.5),[27.5,30]。

根据直方图,这200名学生中，每周的自习时间不少于22.5小时的人数是1409.若()73-1x 展开式的第4项为280，则=+++∞→)(lim 2n n x x x Λ52- 10.在ABC Rt ∆中，AC AB =，点N M ,是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足→→=BC k PC ，当→→⋅PN PM 取得最小值时，实数k 的值为4111.已知函数)1(22)(+=+x f x f ，当(]1,0∈x 时，2)(x x f =，若在区间(]1,1-内)1()()(+-=x t x f x g 有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛210，12.已知数列{}n a 满足0)1(1=a ，)2(对任意的*∈N n ，都有n n a a >+1成立，函数[]1,,)(1sin )(+∈-=n n n n a a x a x nx f 满足：对于任意的实数[)m x f m n =∈)(,1,0总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是π2)1(-=n n a n二．选择题13. 若向量()()1,1,0,2==→→b a ，则下列结论中正确的是(C) A. 1=⋅→→b a B. →→=b a C.→→→⊥b b a )-( D. →→b a //14. 汽车的‘燃油效率’是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲乙丙三辆汽车不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是(D)A.消耗一升汽油，一车最多可行驶5000米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速八十千米/小时，相同条件下，在该市相用丙车比用乙车更省油15. 若b a ,是方程)0,0(02<>=+-q p q px x 的两个不同根，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于(D) A. 6 B.7 C. 8 D. 916.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x r .y ur 分别为点O 到两个顶点的向量；若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成ax b y +r u r的形式，则a b +的最大值为（ D ）A. 3B. 4C. 5D. 6三，解答题17.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分） 已知直三棱柱，ABC C B A -111中,ο90,11=∠===BAC AA AC AB (1) 求异面直线B A 1与11C B 所成角 (2) 求点1B 到平面BC A 1的距离18.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分） 已知函数R x x x x x f ∈-+=,3cos 32cos sin 2)(2 （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若2,1)(=⋅=→→AC AB A f ,求ABC ∆的面积19.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同。

2023-2024学年河北省沧州部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥x }，则A ∩B ＝（ ）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．[1，2）D ．[1，+∞）2．已知复数z 满足z(1−i)=i ，则z 的虚部为（ ）A ．−12B ．12C ．−12iD ．12i 3．设等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10等于（ ）A ．5B ．10C ．20D ．404．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有f [f （x ）﹣2x ]＝3，则f （4）＝（ ）A ．9B ．15C ．17D ．335．已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b6．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点（含边界），且AP →=λAB →+μAC→（λ，μ∈R ），则λ+μ的取值范围是（ ）A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4]7．若不等式e x +a ≥lnx ﹣a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−1e ，+∞)D ．[﹣e ，+∞）8．已知函数f(x)=cos 2(x +φ2)(0＜φ＜π)的一个对称中心为(π6，12)，若函数y ＝f （ωx ）（ω＞0）在[0，π]上单调递减，则ω可取（ ）A ．13B ．12C ．1D ．2二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的有（ ）A ．若a cosA =b cosB =c cosC ，则△ABC 一定是等边三角形B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形C ．A ＞B 是sin A ＞sin B 成立的充要条件D ．若a 2+b 2﹣c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形10．若函数f(x)=13x 3+f′(1)x 2+53，则（ ） A ．f ′（1）＝1 B ．f （x ）有两个极值点C ．曲线y ＝f （x ）的切线的斜率可以为﹣2D ．点（1，1）是曲线y ＝f （x ）的对称中心11．已知函数f （x ）与g （x ）的定义域均为R ，f ′（x ），g ′（x ）分别为f （x ），g （x ）的导函数，f （x ）+g '（x ）＝5，f （2﹣x ）﹣g '（2+x ）＝5，若g （x ）为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）A ．f （﹣2）＝5B ．g （x +4）＝g （x ）C ．g '（8﹣x ）＝g '（x ）D ．f ′（x +8）＝f ′（x ）12．已知函数f(x)=2x +lnx ，则（ ） A ．x ＝2是f （x ）的极大值点B ．y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 对于任意x ∈（0，+∞）成立D ．若f （x 1）＝f （x 2），x 1≠x 2，则x 1+x 2＞4三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f （x ）是定义在R 上的可导函数，若lim Δx→0f(2)−f(2+Δx)Δx =12，则f '（2）＝ ． 14．已知等比数列{a n }前n 项和S n =(x +2y +1)3n +(x −y −4)（其中x ＞0，y ＞0）．则1x +2y的最小值是 ．15．定义在（0，+∞）上的可导函数f （x ）满足：xf ′（x ）＜f （x ）且f （2）＝0，则f （x ）＜0的解集为 ．16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，若任意α∈[−π4，π3]，存在β∈[−π3，t)，满足f （α）+f （β）＝0，则实数t的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f(x)=12x2−lnx．（1）f（x）的单调区间．（2）函数f（x）在区间[1，e]上的最大、最小值．18．（12分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为2√3，且√3(b2+c2−a2)=2acsinB，求：（1）求角A的大小；（2）求BC边中线AD长的最小值．19．（12分）已知数列{a n}满足：a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝16n．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n＝log2a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax+2．（1）若a＝2，求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）+2x+xln（x+1）≥0恒成立，求整数a的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnmx﹣x（m＞0）有两个不同的零点x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＞2x1，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=lnx+λ(1x−x)(λ∈R)．（1）当x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求λ的最小值；（2）设数列a n=1n(n∈N∗)，其前n项和为S n，证明：S2n−S n+a n4＞ln2．2023-2024学年河北省沧州部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥x }，则A ∩B ＝（ ）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．[1，2）D ．[1，+∞）解：A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≥x }＝{x |x ≥1或x ≤0}，则A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}． 故选：C ．2．已知复数z 满足z(1−i)=i ，则z 的虚部为（ ）A ．−12B ．12C ．−12iD ．12i 解：∵z(1−i)=i ，∴z =i 1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i 2=−12+12i ，∴z =−12−12i ，则z 的虚部为−12． 故选：A ． 3．设等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10等于（ ）A ．5B ．10C ．20D ．40解：∵等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3a 1a 2⋯a 10=log 3(a 3a 8)5 ＝5log 3a 3a 8=5log 381＝20，故选：C ．4．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有f [f （x ）﹣2x ]＝3，则f （4）＝（ ）A ．9B ．15C ．17D ．33解：因为f （x ）是R 上的单调函数，所以存在唯一的t ∈R ，使f （t ）＝3．由方程f [f （x ）﹣2x ]＝3，得t ＝f （x ）﹣2x ，则f （x ）＝2x +t ，所以f （t ）＝2t +t ＝3．设g （x ）＝2x +x ，由于y ＝2x ，y ＝x 均为定义域内的单调递增函数，所以g （x ）在R 上是增函数，且g （1）＝3，所以t ＝1，所以f （x ）＝2x +1，故f （4）＝24+1＝17．故选：C ．5．已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c＝f （﹣0.83），则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0， 则函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，又由f （x ）是偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由0.83＜1＜32＜32log 33＝log 3√27＜log 37，则c ＜a ＜b ； 故选：B ．6．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点（含边界），且AP →=λAB →+μAC →（λ，μ∈R ），则λ+μ的取值范围是（ ）A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4]解：将图形特殊化，设AD 垂直平分BC 于O ，则DO ＝2AO ，P 在A 时，λ＝0，μ＝0，所以λ+μ＝0，此时为最小；P 在D 时，AD →=3AO →=3×（12AB →+12AC →），λ=32，μ=32，所以λ+μ＝3，此时为最大． 故选：C ．7．若不等式e x +a ≥lnx ﹣a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−1e ，+∞)D ．[﹣e ，+∞）解：构造f （x ）＝e x +x ，则f （x ）在R 上显然递增，由e x +a ≥lnx ﹣a 得e x +a +a +x ≥lnx +x ，即e x +a +a +x ≥e lnx +lnx ，∴x +a ≥lnx ，∴a ≥lnx ﹣x ，令g （x ）＝lnx ﹣x （x ＞0），则g ′(x)=1x −1=1−x x， 由g '（x ）＞0得0＜x ＜1，g （x ）单调递增，由g '（x ）＜0得x ＞1，g （x ）单调递减，∴g （x ）max ＝g （1）＝﹣1，∴a ≥﹣1．故选：B．8．已知函数f(x)=cos2(x+φ2)(0＜φ＜π)的一个对称中心为(π6，12)，若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在[0，π]上单调递减，则ω可取（）A．13B．12C．1D．2解：对于f(x)=cos2(x+φ2)=12cos（2x+φ）+12，由于它的一个对称中心为（π6，12），则有2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，解得φ=π6+kπ，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以φ=π6，所以f（x）=12cos（2x+π6）+12，y＝f（ωx）=12cos（2ωx+π6）+12，当x∈[0，π]时，2ωx+π6∈[π6，2ωπ+π6]，若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在[0，π]上单调递减，则有2ωπ+π6≤π，解得ω∈（0，512]，则ω可取13．故选：A．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）A．若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC一定是等边三角形B．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形C．A＞B是sin A＞sin B成立的充要条件D．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形解：对于A，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，故tan A＝tan B＝tan C，而A，B，C为三角形内角，故A＝B＝C，故三角形为等边三角形，故A正确．对于B，由正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B，故sin2A＝sin2B，故2A＝2B+2kπ，k∈Z或2A＝π﹣2B+2kπ，k∈Z，而A，B，A+B∈（0，π），故2A＝2B或2A＝π﹣2B即A＝B或A+B=π2，故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误．对于C，A＞B等价于a＞b，而后者等价于2R sin A＞2R sin B，即sin A＞sin B，其中R 为三角形外接圆半径，故A ＞B 的充要条件为a ＞b ，故C 正确．对于D ，由a 2+b 2﹣c 2＞0可得cosC =a 2+b 2−c 22ab ＞0，故C 为锐角， 但不能保证三角形为锐角三角形，故D 错误．故选：AC ．10．若函数f(x)=13x 3+f′(1)x 2+53，则（ ） A ．f ′（1）＝1 B ．f （x ）有两个极值点C ．曲线y ＝f （x ）的切线的斜率可以为﹣2D ．点（1，1）是曲线y ＝f （x ）的对称中心解：选项A ，由题意得f ′（x ）＝x 2+2f ′（1）x ，所以f ′（1）＝1+2f ′（1），解得f ′（1）＝﹣1，A 错误；选项B ，由f ′（1）＝﹣1，则f(x)=13x 3−x 2+53， f ′（x ）＝x 2﹣2x ＝x （x ﹣2），由f ′（x ）＝0得x ＝0，或x ＝2，则当x ＜0或x ＞2时，f ′（x ）＞0；当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减，则当x ＝0时，f （x ）有极大值；当x ＝2时，f （x ）有极小值．所以f （x ）有两个极值点，B 正确；选项C ，f ′（x ）＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≥﹣1，所以曲线y ＝f （x ）的切线的斜率不可能为﹣2，C 错误；选项D ，因为f(x)+f(2−x)=13x 3−x 2+53+13(2−x)3−(2−x)2+53=13x 3−x 2+53+13(8+6x 2−12x −x 3)−(4−4x +x 2)+53=2， 所以点（1，1）是曲线y ＝f （x ）的对称中心，D 正确．故选：BD ．11．已知函数f （x ）与g （x ）的定义域均为R ，f ′（x ），g ′（x ）分别为f （x ），g （x ）的导函数，f （x ）+g '（x ）＝5，f （2﹣x ）﹣g '（2+x ）＝5，若g （x ）为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）A ．f （﹣2）＝5B ．g （x +4）＝g （x ）C ．g '（8﹣x ）＝g '（x ）D ．f ′（x +8）＝f ′（x ）解：∵g （x ）为奇函数，∴g （x ）＝﹣g （﹣x ），∴g ′（x ）＝g ′（﹣x ），∴g ′（x ）为偶函数，又f （2﹣x ）﹣g '（2+x ）＝5，∴f（4﹣x）﹣g'（x）＝5，又f（x）+g'（x）＝5，∴f（4﹣x）+f（x）＝10，∵f（x）+g'（x）＝5，对两边求导得f′（x）+g″（x）＝0，…①，又f（2﹣x）﹣g'（2+x）＝5，∴f（4+x）﹣g'（﹣x）＝5，又g′（x）为偶函数，∴f（4+x）﹣g'（x）＝5，对两边求导得f′（4+x）﹣g″（x）＝0，…②，由①②得f′（4+x）+f′（x）＝0，∴f′（x+4）＝﹣f′（x），∴f′（x+8）＝﹣f′（x+4）＝f′（x），∴D正确；又由f（2﹣x）﹣g'（2+x）＝5，可得f（x）﹣g′（4﹣x）＝5，又f（x）+g'（x）＝5，∴g'（x）+g′（4﹣x）＝0，又g′（x）为偶函数，∴g'（﹣x）+g′（4﹣x）＝0，∴g'（x）+g′（4+x）＝0，∴g′（x）＝﹣g'（x+4）∴g'（8﹣x）＝﹣g'（4﹣x）＝g′（﹣x）＝g′（x），∴C正确；对B选项，根据g'（x）+g′（4﹣x）＝0两边求原函数可得：g（x）﹣g（4﹣x）＝c，（c为常数），∴g（x+4）﹣g（﹣x）＝c，又g（x）为奇函数，∴g（x+4）+g（x）＝c，∴g（x+4）＝c﹣g（x），∴g（x+8）＝c﹣g（x+4）＝c﹣[c﹣g（x）]＝g（x），∴B错误；对A选项，由C选项分析知g'（﹣x）+g′（4﹣x）＝0，∴g'（﹣2）+g′（2）＝0，又g′（x）＝g′（﹣x），∴g'（﹣2）＝g′（2），∴g'（﹣2）＝g′（2）＝0，又f（x）+g'（x）＝5，∴f（﹣2）+g'（﹣2）＝5，g'（﹣2）＝0，∴f（﹣2）＝5，∴A选项正确．故选：ACD．12．已知函数f(x)=2+lnx，则（）xA．x＝2是f（x）的极大值点B．y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx对于任意x∈（0，+∞）成立D．若f（x1）＝f（x2），x1≠x2，则x1+x2＞4解：f(x)=2x+lnx，定义域为（0，+∞），f′(x)=1x−2x2=x−2x2，所以f（x）在区间（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以x＝2是f（x）的极小值点，A选项错误．设g(x)=f(x)−x=2x+lnx−x(x＞0)，g′(x)=1x−2x2−1=−x2+x−2x2=−(x2−x+2)x2=−[(x−12)2+74]x2＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（1）＝2+0﹣1＝1＞0，g（2）＝1+ln2﹣2＝ln2﹣1＜0，所以g（x）存在唯一零点x0，且x0∈（1，2），B选项正确．C选项，由f（x）＞kx对于任意x∈（0，+∞）成立，即k＜f(x)x=2x2−lnxx对于任意x∈（0，+∞）成立，构造函数ℎ(x)=2x2−lnxx(x＞0)，ℎ′(x)=x−xlnx−4x3，令m（x）＝x﹣xlnx﹣4（x＞0），m′（x）＝﹣lnx，所以m（x）在区间（0，1）上m′（x）＞0，m（x）单调递增；在区间（1，+∞）上m′（x）＜0，m（x）单调递减，所以m（x）≤m（1）＝﹣3＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，没有最小值，且ℎ(1)=2＞0，ℎ(3)=29−ln33=2−3ln39＜0，所以不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，所以C选项错误．D选项，令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t∈（2，4），令n(t)=f(2+t)−f(2−t)=22+t+ln(2+t)−22−t−ln(2−t)=4tt2−4+ln2+t2−t，n′(t)=4t2−4−8t2(t2−4)2+2−t2+t⋅2−t+2+t(2−t)2=−8t2(t2−4)2＜0，所以n（t）在（0，2）上单调递减，则n（t）＜n（0）＝0，则n（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）＜0，令x2＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），且函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，得x1＞2+t，则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，当x1≥4时，x1+x2＞4成立，所以D 选项正确．故选：BD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f （x ）是定义在R 上的可导函数，若lim Δx→0f(2)−f(2+Δx)Δx =12，则f '（2）＝ −12 ． 解：∵f （x ）是定义在R 上的可导函数，若limΔx→0f(2)−f(2+Δx)Δx =12， ∴由导数的定义，可得f ′(2)=limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx =−lim Δx→0f(2)−f(2+Δx)Δx =−12． 故答案为：−12． 14．已知等比数列{a n }前n 项和S n =(x +2y +1)3n +(x −y −4)（其中x ＞0，y ＞0）．则1x +2y的最小值是 83 ． 解：因为等比数列{a n }的前n 项和S n =(x +2y +1)3n +(x −y −4)，所以a 1＝S 1＝（x +2y +1）×3+（x ﹣y ﹣4）＝4x +5y ﹣1，a 2＝S 2﹣S 1＝6x +12y +6，a 3＝S 3﹣S 2＝18x +36y +18，又a 2a 1=a 3a 2，即6x+12y+64x+5y−1=18x+36y+186x+12y+6=3，解得2x +y ＝3，x ＞0，y ＞0，∴1x +2y =13(2x +y)(1x +2y )=13(4+y x +4x y )≥13(4+2√y x ⋅4x y )=83， 当且仅当y x =4x y，即x =34，y =32时等号成立． 故答案为：83． 15．定义在（0，+∞）上的可导函数f （x ）满足：xf ′（x ）＜f （x ）且f （2）＝0，则f （x ）＜0的解集为 （2，+∞） ．解：根据题意，由xf ′（x ）＜f （x ），可得xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，设g(x)=f(x)x ，可得g ′(x)=xf′(x)−f(x)x 2＜0，则g （x ）在（0，+∞）上单调递减， 又由f （2）＝0，可得g （2）＝0，当x ＞0时，f （x ）＜0⇔f(x)x＜0⇔g （x ）＜g （2）⇔x ＞2， 所以不等式f （x ）＜0的解集为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，若任意α∈[−π4，π3]，存在β∈[−π3，t)，满足f （α）+f （β）＝0，则实数t 的取值范围是 （π12，+∞） ．解：因为α∈[−π4，π3]，则2α+π6∈[−π3，5π6]，所以f （α）＝sin （2α+π6）∈[−√32，1]，则﹣f （α）∈[−1，√32]，因为任意α∈[−π4，π3]，存在β∈[−π3，t)，满足f （α）+f （β）＝0，则[﹣1，√32]是f （β）的值域的子集， 因为β∈[−π3，t ），则2β+π6∈[−π2，2t +π6)，则需满足2t +π6＞π3，解得t ＞π12，即实数t 的取值范围为（π12，+∞）．故答案为：（π12，+∞）．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知函数f(x)=12x 2−lnx ．（1）f （x ）的单调区间．（2）函数f （x ）在区间[1，e ]上的最大、最小值．解：（1）已知f(x)=12x 2−lnx ，函数定义域为（0，+∞），可得f ′(x)=x −1x =x 2−1x， 当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； （2）由（1）知函数f （x ）在[1，e ]上单调递增，所以当x ＝1时，函数f （x ）取得最小值，最小值f （1）=12，当x ＝e 时，函数f （x ）取得最大值，最大值f （e ）=12e 2−1，故函数f （x ）在区间[1，e ]上的最大值为12e 2−1，最小值为12．18．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为2√3，且√3(b 2+c 2−a 2)=2acsinB ，求：（1）求角A 的大小；（2）求BC 边中线AD 长的最小值． 解：（1）∵√3(b 2+c 2−a 2)=2acsinB ，∴由余弦定理可得2√3bccosA =2acsinB ，即√3bcosA =asinB ， ∴由正弦定理可得√3sinBcosA =sinAsinB ， ∵B ∈（0，π）， ∴sin B ≠0，∴√3cosA =sinA ，即tanA =√3， 又A ∈（0，π）， ∴A =π3．（2）∵由（1）知，A =π3，△ABC 的面积为2√3，∴12bcsin π3=2√3，解得bc ＝8， ∵由平面向量可知AD →=12(AB →+AC →)，∴AD →2=14(AB →+AC →)2=14(AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →) =14(b 2+c 2+2bccos π3) =14(b 2+c 2+bc)≥14(2bc +bc) =34bc ＝6，当且仅当b =c =2√2时取等号， 故BC 边中线AD 的最小值为√6．19．（12分）已知数列{a n }满足：a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣1a n ＝16n ．（1）求{a n }的通项公式；（2）令b n ＝log 2a n +2n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）当n ＝1时，a 1＝16，当n ≥2时，a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣1a n ＝16n ，①a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣2a n ﹣1＝16（n ﹣1），②①﹣②得：当n ≥2时，2n ﹣1a n ＝16，即a n ＝25﹣n ，当n ＝1时，a 1＝16满足上述通项公式， 故a n ＝25﹣n ．（2）b n ＝log 2a n +2n ﹣1＝5﹣n +2n ﹣1，所以S n ＝（4+1）+（3+2）+（2+22）+…+（5﹣n +2n ﹣1）＝[4+3+2+…+（5﹣n ）]+（1+22+…+2n ﹣1）=(9−n)n2+2n ﹣1．20．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax+2．（1）若a＝2，求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）+2x+xln（x+1）≥0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）若a＝2，则f（x）＝ln（x+1）﹣2x+2，f（0）＝2，则切点坐标为（0，2），f′(x)=1x+1−2，则切线斜率k＝f′（0）＝﹣1，所以切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣0），即x+y﹣2＝0．（2）由f（x）+2x+xln（x+1）≥0，得ax≤（x+1）[ln（x+1）+2]，当x＝0时，a•0≤2，a∈R；当x＞0时，a≤(x+1)[ln(x+1)+2]x，设g(x)=(x+1)[ln(x+1)+2]x，g′(x)=x−2−ln(x+1)x2，设h（x）＝x﹣2﹣ln（x+1），ℎ′(x)=xx+1＞0，则h（x）在（0，+∞）单调递增，h（3）＝1﹣ln4＜0，h（4）＝2﹣ln5＞0，所以存在x0∈（3，4），使得h（x0）＝0，即x0﹣2＝ln（x0+1）．x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，则有g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，g（x）min＝g（x0），所以a≤g(x0)=(x0+1)[ln(x0+1)+2]x0=(x0+1)[(x0−2)+2]x0=x0+1，因为x0∈（3，4），所以x0+1∈（4，5），所以整数a的最大值为4．21．（12分）已知函数f（x）＝lnmx﹣x（m＞0）有两个不同的零点x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＞2x1，求实数m的取值范围．解：（1）∵f（x）的定义域为{x|x＞0}．令f（x）＝0，得m=e x x，令g（x）=e xx（x＞0），则g′（x）=e x(x−1)x2，令g′（x）＝0，可得x＝1，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0； 当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0．所以g （x ）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增． 所以g （x ）min ＝g （1）＝e ， 当x 趋近于0时，y 趋近于+∞； 当x 趋近于+∞时，y 趋近于+∞， 所以m ∈（e ，+∞）．（2）ln （mx 1）＝x 1，ln （mx 2）＝x 2， 两式相减，得ln （x 2x 1）＝x 2﹣x 1，令t =x 2x 1＞2，则lnt ＝（t ﹣1）x 1， 故x 1=lnt t−1，x 2=tlnt t−1， 记h （t ）=lntt−1（t ＞2）， 则h ′（t ）=1−1t −lnt (t−1)2， 构造函数H （t ）＝1−1t−lnt （t ≥2），H ′（t ）=1t 2−1t =1−t t2， 所以H （t ）在[2，+∞）上H ′（t ）＜0，H （t ）递减， 由于H （2）＝1−12−ln 2=12−ln 2＜12−ln √e =0，所以当t ＞2时，H （t ）＜0， 所以h ′（t ）=1−1t −lnt (t−1)2＜0，所以函数h （t ）在区间（2，+∞）上单调递减， 故x 1＝h （t ）＜h （2）＝ln 2， 即0＜x 1＜ln 2＜1，而m ＝g （x ）=e xx， g （x ）在区间（0，1）上单调递减， 故m ＝g （x 1）＞g （ln 2）=2ln2， 即m ∈（2ln2，+∞）．22．（12分）已知函数f(x)=lnx+λ(1x−x)(λ∈R)．（1）当x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求λ的最小值；（2）设数列a n=1n(n∈N∗)，其前n项和为S n，证明：S2n−S n+a n4＞ln2．解：（1）由f(x)=lnx+λ(1x−x)(λ∈R)，得f′(x)=−λx2+x−λx2，①当λ≥12时，方程﹣λx2+x﹣λ＝0的Δ＝1﹣4λ2≤0，因式﹣λx2+x﹣λ在区间（1，+∞）上恒为负数，所以x＞1时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，又f（1）＝0，所以函数f（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立；②当0＜λ＜12时，方程﹣λx2+x﹣λ＝0有两个不等实根，且满足x1=1−√1−4λ22λ＜1＜x2=1+√1−4λ22λ，所以函数f（x）的导函数f'（x）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上大于零，函数f（x）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上单增，又f（1）＝0，所以函数f（x）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上恒大于零，不满足题意；③当λ≤0时，在区间(1，+∞)上f(x)=lnx+λ(1x−x)≥lnx，函数y＝lnx在区间（1，+∞）上恒为正数，所以在区间（1，+∞）上f（x）恒为正数，不满足题意；综上可知：若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，λ的最小值为1 2．（2）由第（1）知：若x＞1时，lnx＜−12(1x−x)=(x+1)(x−1)2x，若n∈N*，则ln(1+1n)＜[(1+1n)+1]⋅[(1+1n)−1]2(1+1n)=2n+12n(n+1)，即ln(n+1)−lnn＜12n+12(n+1)成立，将n换成n+1，得ln[(1+n)+1]−ln(n+1)＜12(n+1)+12[(n+1)+1]成立，即ln(n+2)−ln(n+1)＜12(n+1)+12(n+2)，以此类推，得ln(n+3)−ln(n+2)＜12(n+2)+12(n+3)，…，ln2n−ln(2n−1)＜12(2n−1)+14n，上述各式相加，得ln2n−lnn=ln2＜12n+1n+1+1n+2+⋯+12n−1+14n，又S2n−S n=1n+1+1n+2+⋯+12n−1+12n，所以S2n−S n+a n4＞ln2．。

山东省德州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________x．B．．D ．．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为30DAB =︒，则1AC 的长为（）A ．53+B ．5-C ．53+D ．5．若π5sin α⎛⎫-=，则5πsin 2α⎛⎫+的值为（A ．3872πcmB ．872π4C ．3432πcm 2D ．432πcm 8．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数[],a b 上是单调递增函数，且()f x 在[],a b 上的值域为[ka 二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题(1)求S 关于x 的函数关系式；(1)求证：⊥AE 平面ABCD ；(2)求平面PBA 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．22．已知函数()()2e lnf x ax x =-有两个极值点对数的底数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若()1212eln e 2ln ln ln x x x x λ≥⋅+-恒成立，求λ的取值范围．参考答案：故选：C.5．D【分析】根据诱导公式可得cos 【详解】由π5sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得即π5cos 65α⎛⎫+=-⎪⎝⎭所以5ππsin 2=sin 263αα⎛⎫⎛++ ⎪ ⎝⎭⎝故选:D 6．C【分析】根据给定条件，求出数列【详解】依题意，52n a n =-，显然数列因此22805805(n S n n n n +++==取等号，【详解】如图，作出函数()y f x =的图象，对于选项A ：令()10f x x --=，可得()1f x x =+，则函数()1y f x x =--的零点个数即为()y f x =与1y x =+的交点个数；由图象可知()y f x =与1y x =+有三个交点，即函数()1y f x x =--有三个零点，故A 正确；对于选项B ：令()0=-=y f x t ，可得()f x t =，则函数()y f x t =-的零点个数即为()y f x =与y t =的交点个数；若函数()y f x t =-有两个零点，由图象可知{}(]03,7t ∈ ，故B 正确；对于选项C ：若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根，则()y f x =与y t =有四个交点，不妨设1234x x x x <<<，由图象可得：(]1,3t ∈，且12342,6+=-+=x x x x ，所以12344x x x x +++=，故C 错误；对于选项D ：因为()()2320f x f x -+=，解得()1f x =或()2f x =，结合图象可知：()1f x =有三个根，()2f x =有四个根，所以关于x 的方程()()2320f x f x -+=有7个不等实数根，故D 正确；故选：ABD.11．BD【分析】根据等比数列基本量的计算可得2q =，11a =，进而根据求和公式即可判断AB,根据等差等比数列的定义即可求解CD.，因为方程()2f x x =恰好只有一个实数根，即结合图象可得0m <或11m e=+，故结合图象可得021a <<，即102a <<，故60,0,P ⎛⎫60,,0A ⎛⎫-6,B ⎛-由图可知，当02a <<时，直线y a =与函数()2eln x g x x=的图象有两个交点，且当10x x <<或2x x >时，()ln 2e 0x f x a x '=-⋅>；【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.。

2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，则下列运算结果为U 的是（）A .M N⋃ B.()()UUN M 痧 C.()U M Nð D.()U N Mð2.命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（）A .n ∀∈N ，22nn ≤ B.n ∃∈N ，22n n ≤C.n ∀∈N ，22n n < D.n ∃∈N ，22n n <3.函数()f x =的单调递增区间为（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,1)-∞- C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E （单位：焦耳）的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为106.310⨯焦耳，6级地震所释放的能量为136.310⨯焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：lg 6.30.8≈，0.0510 1.1≈）A.11810⨯焦耳B.111.110⨯焦耳C.12810⨯焦耳D.131.110⨯焦耳6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知()f x 的定义域为()R,21y f x =-为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当()1,1x ∈-时，()e x f x =，则()194f =（）A.1eB.0C.1D.e8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B.C.3D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数21iz =+（i 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.z = B.z 在复平面上对应点在第二象限C.1iz =+ D.z 的虚部为1-10.下列命题中正确．．的是（）A.若向量()1,2a =r ，()3,1b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底B.若四边形ABCD 为平行四边形，且()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为(7,6)-C.若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC = ．D.已知向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，则b 在a 上的投影向量的坐标为(2,2)11.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a< D.若0a b >>，则11b ba a+<+12.已知函数32()1f x x ax bx =-++，则下列说法正确的是（）A.当0b =时，()f x 有两个极值点B.当0a =时，()f x 的图象关于()0,1中心对称C.当24a b =，且4a >-时，()f x 可能有三个零点D.当()f x 在R 上单调时，23a b≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）14.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．15.如图，,αβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则αβ+=______.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作圆弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．18.已知a 、b是非零向量，()a ab ⊥- ，且a = 、4b = ．（1）求a 与b的夹角θ；（2）求32a b -．19.已知()1f x a b =⋅- ，其中向量(sin 2,2cos ),)(R)a x x b x x ==∈,（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =，8b =，求边长c 的值.20.已知数列{}n a 的前n 项和,232-=n n nS .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对N ,4n n t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min.（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：sin sin 2cossin ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕϕθθϕθϕ+-+--=-=）22.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，则下列运算结果为U 的是（）A.M N ⋃B.()()UUN M 痧 C.()U M Nð D.()U N Mð【答案】D 【解析】【分析】由题意作出Venn 图，再由集合的运算逐一判断即可【详解】全集U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，绘制Venn 图，如下：对于A ：M N N ⋃=，A 错误；对于B ：()()U UUN M M =痧，B 错误；对于C ：()U M N ðU ⊂，C 错误；对于D ：()U N M U ⋃=ð，D 正确.故选：D.2.命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（）A.n ∀∈N ，22n n ≤B.n ∃∈N ，22n n ≤C.n ∀∈N ，22n n <D.n ∃∈N ，22nn <【答案】C 【解析】【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p 的否定形式.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p 的否定应该为n ∀∈N ，22n n <．故选：C ．3.函数()f x =的单调递增区间为（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,1)-∞- C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.【详解】由题意，令223t x x =--=()()2310x x -+≥，即1x ≤-或32x ≥，根据二次函数性质知：223t x x =--在(,1]-∞-上递减，在3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上递增又y =在定义域上递增，故()f x =3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选：C4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=- ，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E （单位：焦耳）的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为106.310⨯焦耳，6级地震所释放的能量为136.310⨯焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：lg 6.30.8≈，0.0510 1.1≈）A.11810⨯焦耳B.111.110⨯焦耳C.12810⨯焦耳D.131.110⨯焦耳【答案】D 【解析】【分析】根据对数的运算性质即可代入数据求解 1.5 4.810M E +=,进而可求解.【详解】由题意可设lg E M λμ=+，则()()1013lg 6.3104lg 6.3106λμλμ⎧⨯=+⎪⎨⨯=+⎪⎩，解得 1.54.8λμ=⎧⎨=⎩，所以lg 1.5 4.8E M =+，所以 1.5 4.810M E +=，所以当 5.5M =时， 1.55.54.813.050.05131310101010 1.110E ⨯+===⨯≈⨯焦耳.故选:D.6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7.已知()f x 的定义域为()R,21y f x =-为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当()1,1x ∈-时，()e x f x =，则()194f =（）A.1eB.0C.1D.e【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.【详解】()21y f x =-为奇函数，即()()21210f x f x -+--=，所以()f x 关于()1,0-中心对称，则()(2)f x f x =---，()1y f x =+为偶函数，即()()1()1(2)f x f x f x f x +=-+⇒-=，所以(2)(2)(2)(2)(4)()f x f x f x f x f x f x -=---⇒+=--⇒+=-，故()()()84f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期为8的周期函数，所以()()()()1948242201f f f f =⨯+===，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的奇偶性求出函数的周期.8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】因为()f x 在()0,πω内恰好有4个零点，所以35π022T T ω<-≤，即3π5ππωωω<≤，所以235ω<≤，又N ω+∈，所以2ω=，所以()()sin 22f x x =+，()()2cos 22f x x '=+，所以()()()22f x f x x ϕ'+=++≤πtan 20,2ϕϕ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数21iz =+（i 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.z = B.z 在复平面上对应点在第二象限C.1i z =+ D.z 的虚部为1-【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可判断A 选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C 选项；利用复数的概念可判断D 选项.【详解】因为()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-.对于A 选项，z =A 对；对于B 选项，z 在复平面上对应点的坐标为()1,1-，位于第四象限，B 错；对于C 选项，1i z =+，C 对；对于D 选项，z 的虚部为1-，D 对.故选：ACD.10.下列命题中正确．．的是（）A.若向量()1,2a =r ，()3,1b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底B.若四边形ABCD 为平行四边形，且()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为(7,6)-C.若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC = ．D.已知向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，则b 在a 上的投影向量的坐标为(2,2)【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由基底的定义分析判断，对于B ，由AB DC =可求出点D 的坐标，对于C ，由向量夹角的定义分析判断，对于D ，由数量积的几何意义分析判断.【详解】对于A ，因为()1,2a =r ，()3,1b = ，且满足1231≠，所以,a b 不共线，所以,a b可作为平面向量的一组基底，所以A 正确，对于B ，设(,)D x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =，所以(6,8)(1,2)x y -=--，解得7,6x y ==-，所以顶点D 的坐标为(7,6)-，所以B 正确，对于C ，因为ABC 是等边三角形，所以32π,AB BC = ，所以C 错误，对于D ，因为向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，所以b 在a上的投影向量的坐标为cos ,4(2,2)2a b a b a⋅=⨯=，所以D 正确，故选：ABD11.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b > B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a< D.若0a b >>，则11b b a a+<+【答案】ABD【解析】【分析】A.由0,0a b <>判断；B.由0b =判断；C.作差法判断；D 作差法判断.【详解】A.若0,0a b <>得不到11a b>，故错误；B.若0b =时，不成立，故错误；C.因为01a <<，所以()()3110a a a a a -=+-<，故正确；D.()()10111b b ab a ab b a b a a a a a a ++----==>+++，所以11b b a a+>+，故错误；故选：ABD.12.已知函数32()1f x x ax bx =-++，则下列说法正确的是（）A.当0b =时，()f x 有两个极值点B.当0a =时，()f x 的图象关于()0,1中心对称C.当24a b =，且4a >-时，()f x 可能有三个零点D.当()f x 在R 上单调时，23a b≥【答案】BC【解析】【分析】特殊值法可排除A 项，利用函数的对称性可判定B ，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C ，利用导函数非负结合判别式可判定D .【详解】对于A ，当0b =时，32()1f x x ax =-+，2()32f x x ax '=-，若0a =时，2()30f x x '=≥，则()f x 在定义域内单调递增，无极值点，故A 错误；对于B ，当0a =时，3()1f x x bx =++，3()1f x x bx -=--+，则()()2f x f x +-=，所以()f x 的图象关于()0,1中心对称，故B 正确；对于C 项，当24a b =时，232()14a f x x ax x =-++，22()323462a a a f x x ax x x '⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取4a -<<-，即36454a -<<-时，此时62a a >，所以当2a x <时，()0f x '>，所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当26a a x <<时，()0f x '<，所以()f x 在,26a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6a x >时，()0f x '>，所以()f x 在,6a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数极小值为310654a a f ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，函数极大值为102a f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即026a a f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,26a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，又因为325()1042a f a =+<-<，()39104a f a -=-+>，所以()f x 在,6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，即当4a -<<-时，()f x 有三个零点，故C 正确；对于D 项，若()f x 在定义域R 上是单调函数，则2()320f x x ax b '=-+≥恒成立，所以2Δ4120a b =-≤，解得23a b ≤，所以D 错误，故选：BC ．【点睛】关键点睛：本题C 项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）【答案】2a b +##2b a+【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，求出22log 3,log 5a b ==，结合对数的运算法则化简，即可得答案.【详解】因为23,25a b ==，所以22log 3,log 5a b ==，故2222log 45log 59log 52log 322b a a b =⨯=+=+=+，故答案为：2a b+14.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．15.如图，,αβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则αβ+=______.【答案】π4【解析】【分析】结合图形，可得1tan 3α=，1tan 2β=，利用正切的和角公式,即可得出答案.【详解】由图得：1tan 3α=，1tan 2β=，所以1132tan()111132αβ++==-⨯，又因为,αβ为锐角，从而π4αβ+=.故答案为：π4.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作圆弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅ 的最小值为__________．【答案】5-【解析】【分析】建立直角坐标系，设(cos ,sin )(0)2P πθθθ≤≤，利用坐标运算求出PC PD ⋅ ，再利用辅助角公式即可求解.【详解】解：如图所示：建立平面直角坐标系，则(2,2)C ，(0,2)D ，由题意可设：(cos ,sin )(0)2P πθθθ≤≤，则(2cos ,2sin )PC θθ=-- ，(cos ,2sin )PD θθ=-- ，PC PD ⋅ 2cos (2cos )(2sin )θθθ=--+-2cos 4sin 5θθ=--+5)θφ=-+，其中1tan 2φ=，∴PC PD ⋅ 的最小值为5-.故答案为：5-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(]2,3A B ⋃=-（2）{|3a a ≤-或}2a ≥【解析】【分析】（1）可得出[],1,2A a a a =+=时，可得出集合A ，然后进行并集的运算即可；（2）根据[],1,(2,2)A a a B =+=-，并且A B ⋂=∅即可得出12a +≤-或2a ≥，从而可得出a 的取值范围．【小问1详解】2a =时，2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得23x ≤≤，[]2,3A =，且(2,2)B =-，∴(]2,3A B =- ；【小问2详解】由2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得1a x a ≤≤+，[],1A a a =+，(2,2)B =-，且A B ⋂=∅，12a ∴+≤-或2a ≥，3a ∴≤-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为{|3a a ≤-或}2a ≥．18.已知a 、b 是非零向量，()a ab ⊥- ，且a = 、4b = ．（1）求a 与b的夹角θ；（2）求32a b - ．【答案】（1）6π（2）【解析】【分析】（1）依题意可得()0a a b ⋅-= ，根据数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据cos a b a b θ⋅=⋅ 计算可得；（2）根据32a b -= 及数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为()a a b ⊥- ，所以()0a a b ⋅-= ，即20a a b -⋅= ，即212a b a ⋅== ，所以cos 2a b a b θ⋅⋅=== ，因为[]0,θπ∈，所以6πθ=；【小问2详解】解：32a b -====19.已知()1f x a b =⋅-，其中向量(sin 2,2cos ),)(R)a x x b x x ==∈ ,（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =，8b =，求边长c 的值.【答案】（1）最小正周期为π，最小值为2-.（2）2或6．【解析】【分析】（1）利用向量的数量积化简()f x 的解析式，进而可得()f x 的最小正周期和最小值；（2）先由4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得π3A =，再利用余弦定理列方程，即可求得边长c 的值.【详解】（1）()1f x a b =⋅-(sin 2,2cos ))1x x x =⋅-2π22cos 12cos 22sin 26x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期2ππ2T ==，最小值为2-.（2）ππ2sin 22sin 64426A A A f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，则ππ2π6632A <+<，故32ππ6A +=，解之得π3A=又a =，8b=，由余弦定理得(22218282c c =+-⨯⨯，即28120c c -+=，解之得2c =或6c =.经检验，均符合题意.20.已知数列{}n a 的前n 项和,232-=n n n S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对N ,4n n t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（1）32n a n =-（2）1【解析】【分析】（1）首先求得1a 的值，然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后用裂项法求得n T ，再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．【小问1详解】当1n =时，由111a S ==；当2n ≥时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，又11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为32n a n =-.【小问2详解】由32n a n =-，可得()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，则12...n n T b b b =+++1111111...3447323131n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++，所以1n n T T +>，所以数列{}n T 是递增数列，所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤，所以实数t 的最大值是1.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min .（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：sin sin 2cos sin ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕϕθθϕθϕ+-+--=-=）【答案】（1）45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,30t ∈（2）π2π45cos 153h t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,30h ∈；45m 【解析】【分析】（1）设sin()H A t B ωϕ=++π20,ωϕ⎛>≤⎫ ⎪⎝⎭，根据所给条件求出A 、B 、ω、ϕ；（2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，t min 时1号与9号的高度分别为19,H H ，即可得到19πππ5π45sin sin 152156h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由和差化积公式得到π2π45cos 153h t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,30t ∈，最后根据余弦函数的性质计算可得.【小问1详解】设sin()H A t B ωϕ=++π20,ωϕ⎛>≤⎫ ⎪⎝⎭，则2ππ15T ω==，令0=t 时，sin 1ϕ=-，π2ϕ=-，又100451055A B A A B B +==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[]0,30t ∈.【小问2详解】由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3.不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，t min 时1号与9号的高度分别为19,H H ，则145sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，9πππ45sin 551523H t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以高度19πππ5π45sin 55sin 55152156h H H t ⎛⎫⎛⎫=-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ5π45sin sin 152156t t ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由参考公式得，上式为π2πππ2π90cos sin 45cos 1536153t t ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，从而高度差为π2π45cos 153h t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,30t ∈；当π2πcos 1153t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π2ππ153t k -=，N k ∈，解得1015t k =+，N k ∈，又[]0,30t ∈，所以10t =min 或25t =min ，此时高度差h 的最大值为45m.22.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1xh x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = 5，则a的值为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 下列各式中，等式成立的是：A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 - b^2 = (a - b)^2C. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2D. a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^23. 若向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a和向量b的夹角θ的余弦值为：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/54. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 = 2，d = 3，则第10项a10的值为：A. 29B. 32C. 35D. 385. 下列各函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是：A. y = 2x^2 - 3x + 1B. y = -x^2 + 2x - 1C. y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1D. y = x^3 + 3x^2 + 2x - 16. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1 = 3，q = 2，则第5项b5的值为：A. 24B. 48C. 96D. 1927. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x)的图像关于点(2, 0)对称，则f(x)的解析式为：A. f(x) = (x - 2)^2B. f(x) = (x - 2)^3C. f(x) = (x - 2)^4D. f(x) = (x - 2)^58. 下列各对数函数中，底数大于1的是：A. y = log2(x + 1)B. y = log3(x - 1)C. y = log4(x - 2)D. y = log5(x + 3)9. 已知复数z = 1 + i，若|z - 2i| = 2，则z的值为：A. 1 + iB. 1 - iC. 2 + iD. 2 - i10. 下列各三角形中，是直角三角形的是：A. a = 3, b = 4, c = 5B. a = 5, b = 12, c = 13C. a = 6, b = 8, c = 10D. a = 7, b = 24, c = 25二、填空题（每题5分，共25分）11. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 2)B. y = 1/xC. y = x²D. y = log₂(x + 1)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = 1，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. |x| ≥ 2C. |x| < 2D. |x| ≤ 24. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 9，则d的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 下列复数中，实部为0的是（）A. 2 + 3iB. 4 - 5iC. -1 + 2iD. 0 + 5i6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1C. √2/2D. 07. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16...B. 1, 3, 9, 27, 81...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...D. 1, 2, 4, 8, 16...8. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -29. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 1210. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x²≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² ≤ 0D. 对于任意实数x，x³ ≤ 0二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = -x² + 2x + 1，则f(x)的顶点坐标为______。

12. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 5，a5 = 15，则d的值为______。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(1) = 3$，$f(2) = 8$，$f(3) = 15$，则$a + b + c$的值为：A. 6B. 7C. 8D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10} + a_{20} + a_{30}$的值为：A. 120B. 150C. 180D. 2103. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|^2$的值为：A. 13B. 14C. 15D. 164. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围为：A. $(-1, 1)$B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$D. $[-1, 1]$5. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 1$，公比$q = -2$，则$a_3 \cdot a_5\cdot a_7$的值为：A. -8B. -16C. 8D. 166. 若不等式组$\begin{cases} x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \end{cases}$的解集在坐标系中对应的图形为：A. 一个正方形B. 一个矩形C. 一个三角形D. 一个平行四边形7. 函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 3]$上的最大值和最小值分别为：A. $-2, -3$B. $-3, -2$C. $2, -3$D. $3, -2$8. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$b^2$的值为：A. 4B. 3C. 2D. 19. 若函数$g(x) = \log_2(x + 1) - \log_2(x - 1)$的定义域为$[1, 3]$，则$g(x)$在定义域内的最大值为：A. 1B. 0C. -1D. 无最大值10. 若直线$y = kx + 1$与直线$y = -\frac{1}{k}x + 1$的交点在第一象限，则$k$的取值范围为：A. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$B. $(-\infty, 0) \cup (0,1)$ C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ D. $(-1, 0) \cup (0, 1)$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 3n$，则$a_1$的值为______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$C. $f(x) = \log_2(x - 1)$D. $f(x) = x^2$2. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$a > 0$，$b = 0$，$f(1) = 2$，$f(2) = 4$，则$f(x)$的对称轴为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 0$D. $x$不存在3. 下列各式中，正确的是：A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$B. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$C. $\lim_{x \to 0} (3x + 5) = 5$D. $\lim_{x \to 0} (x^2 - 1) = 0$4. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，且$a_1 + a_5 = 18$，则$a_3$的值为：A. 8B. 10C. 12D. 145. 在平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k^2 + b^2$的值为：A. 2B. 1C. 0D. 36. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$\overline{z} = a - bi$，则$z$的实部为：A. $a$B. $-a$C. $b$D. $-b$7. 若$0 < a < 1$，则下列不等式中正确的是：A. $a^2 < a$B. $a^2 > a$C. $a^3 < a$D. $a^3 > a$8. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (4, 6)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为：A. 12B. 18C. 24D. 309. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A =\frac{3}{5}$，$\cos B = \frac{4}{5}$，则$\sin C$的值为：A. $\frac{7}{25}$B. $\frac{24}{25}$C. $\frac{3}{5}$D. $\frac{4}{5}$10. 已知函数$f(x) = e^x + e^{-x}$，则$f(x)$的最小值为：A. 2B. $e$C. $e^2$D. $e^{-2}$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的第三项$a_3 = 5$，公差$d = 2$，则$a_1 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

2023年秋季黄冈市部分高中阶段性质量检测高三数学试题参考答案一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）.12345678DCABABBD二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.9101112ABCABDADACD三､填空题.13.7414.[)ππ2，15.716.[)∞+，1部分小题解析：8.对R x ∈∀，都有)(-11-1-1-)-(x f x x x x x f =+-=--+=所以0)()(,=-+∈∀x f x f R x ，)(x f 为奇函数，A 错；⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤<--+=--+=>1,1110,1111)(,0x x x x x x x x x f x 时易知)(x f 在(]10，上单调递增，此时(20)(，∈x f 当11211)(,1-++=--+=>x x x x x f x 时∴)(x f 在()∞+，1上单调递减，此时()20)(，∈x f ∴0>x 时，(20)(，∈x f ∴0<x 时，[)02-)(，∈x f 而0)0(=f ，所以0m =，方程m x f =)(仅有一根，B 错；()1,0∈x 时，()+∞∈,1-2x ，此时()()121211)2(-)(---+----+=-x x x x x f x f =xx x x x x --+=-+----+311311而函数x x x p --+=31)(在()10，上单调递增，得()1,0∈x 时，0)1()(=<p x p ())2()(,10x f x f x -<∈∀∴，对，C 错；综上，0≤a 时，2-2≥a ，此时)2(0)(a f a f -<≤()1,0∈a 时，()+∞∈,1-2a ，此时)2()(a f a f -<1≥a 时，()10-2，∈a ，此时)2()(a f a f -≥，D 对9.提示：因b b a -≥>，所以0>+b a ，A 对因33b a b a b b a >>≥>，，，B 对由上，，02>+>>b a a b a 所以，ab a 211>+C 对由于()4)(2,0,0,10>-+-+=--->-<-=>b aab b b a a b a b a b ab a ，所以，ba b a ->-411D 错10.提示：C 项：6,32ππ==B A 时，sin cos A B =，C 错11.提示：)6cos()(πωω-='x x f Z k k x ∈=-,26ππω得)(x f '取得最大值时的Z k k x ∈+=,26ωππ结合)(x f 'ωπ2==T AC ωπ323B ==T C ωπ362B ==T C ∴Z k k k x c ∈+=++=,22326ωππωπωππ∴)(c x f 'Z k k k ∈==+=-+⋅=,12)23cos()622cos(ωππωπωππωω∴2=ω12.提示： x x x f x f x x x f 1)()()(2=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛∴可设C x xx f +=ln )(（其中C 为常数）又对任意的正数n m ,恒有mnn mf m nf mn f ++=)()()(xy=1ABC∴对任意的正数n m ,恒有1)()()(++=nn f m m f mn mn f ∴()1ln ln ln ++++=+C n C m C mn ∴1-=C ，x x x x f x xx f -=-=ln )(,1ln )(其中D 项：22ln )()(x x x x x x f x p +-=+=，xx x p 2ln )(+=' )(x p '在()∞+，0上单调递增，且021)1(<+-='e e p ，02)1(>='p 所以⎪⎭⎫⎝⎛∈∃1,1e x o 使)(x p 在()o x ，0上单调递减，)(x p 在()+∞,o x 上单调递增∴o x x =为函数)(x p 的极小值点且满足02ln 0=+x x o ，⎪⎭⎫⎝⎛∈1,1e x o ∴()0)1(2222ln 3000200000>-=+-=+=+x x x x x x x x x f o 16.提示：由a x eaxln ≥恒成立可得0>a ，此时直线a x y 1+=恒在直线x y =上方∴不等式a x a x e ax ln 1≥+≥恒成立只需不等式ax e ax1+≥恒成立即可⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=a x e x p ax 1)(令，1)(-='ax ae x p 则∴)(x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-a a ln ,上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+-，a a ln 上单调递增∴0ln ln ()(min ≥=-=aa a a p x p ∴1≥a 四､解答题.17.（1）βααββα+=∠-=∠=∠=∠BAC B CAD BAD ，，则设,102)sin(102)(os =--=+∴αββα，c 20,0ππ<∠<<∠<B BAC 1027)cos(,1027)sin(=-=+∴αββα2524)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin =-++-+=-++=∴αββααββααββαβ25242sin C sin ==∴β5224sin sin =⇒=∆AB C AB B AC ABC 中，在（5分）（2）)]()cos[(2cos αββαα--+=0)sin()sin()cos()cos(=-++-+=αββααββα42222020ππαπαπα=∠∴=∠=∴<<∴∈=∠BAD BAD BAD ，（而（10分）18.（1）由题可知：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下703010040岁以上（包含40岁）4060100合计11090200零假设为0H ：选择新能源汽车与车主性别相互独立，即选择新能源汽车与车主年龄无关．所以，828.1018.18211200901101001004030-607020022>≈=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=）（χ所以依据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立.由此推断犯错误的概率不大于0.001α=，故至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.（6分）（2）相关系数为()()niix x y y r--=∑b =所以14.7 4.70.940.95r ==⨯=>，故y 与x 线性相关较强.（12分）19.（1）1112=，21)1(211log 2+=-+=∴n n n T n 2)1(2+=∴n n n T （3分）nnn n n n n n T Ta n 2222)1(2)1(1===≥∴--+-时，符合上式又1122==a n n a 2=∴（6分）（2）nn n n b )21(21)1(1--=⋅-=+])21(1[31)21(1])21(1[21n n n S --=----=∴（8分）)211(31�n n S n +=为奇数时，当为单调递减数列此时n S 21S 311=≤<∴S n 此时211(31�n n S n -=为偶数时，当为单调递增数列此时n S 31S 412<≤=∴n S 此时综上①②n S 的最小值为41，最大值为21（12分）（2），设α=∠BOM ααcos 11os =∴==∆OM OM OM OB c BOM Rt ，中，在62πααπ+=∠-=∠∆ONC NOC NOC ，中，在)6sin(22sin sin πα+=∠=ON ONC OC C ON ，得由)6sin(cos 4321παα+⋅=⋅=∴∆ON OM S OMN （8分）αααπαα2cos 2cos sin 32)6sin(cos 4+=+⋅=t 令1)62sin(212cos 2sin 3++=++=πααα32ta 20=∠<∠≤≤AOB n AOB 其中πα33)(,36262min max ====+∴∆OMN S t 时，παππα（12分）22.（1）方程xe x=-ln 1xa x e x +=-⇔ln 1a x x xe x +=-⇔ln ax x e x x =+-⇔+)ln (ln 令x x t ln +=，函数x x t ln +=在()+∞∈,0x 单调递增且R t ∈∴方程xax x f +=ln )(在()+∞∈,0x 有两根21,x x可转化方程a t e t =-在R t ∈有两根21,t t ，其中222111ln ,ln x x t x x t +=+=令t e t p t -=)(，则1)(-='t e t p ∴)(t p 在()0,∞-∈t 为减函数，在()+∞∈,0t 为增函数∴1)0()(min ==p t p 又-∞→x 时，+∞→)(t p ；+∞→x 时，+∞→)(t p ∴),1(+∞∈a （6分）（2）不妨设两根21t t <，则210t t <<，)()(21t p t p =令0,2)()()()()(>--=+--=--=--t t e e t e t e t p t p t q t t t t 则02)(>-+='-t t e e t q ∴)(t q 在()+∞∈,0t 单调递增∴0>t 时，0)0()(=>q t q 由02>t 得0)()()(222>--=t p t p t q ∴)()()(221t p t p t p ->=而)(t p 在()0,∞-∈t 单调递减，且0021<-<t t ，所以02121<+-<t t t t ，所以0ln ln 221121<+++=+x x x x t t 2121212122112ln 2)ln(ln ln x x x x x x x x x x x x +≥++=+++∴0ln 2121<+x x x x 又021111ln>-=+e e e ∴ee x x x x 11lnln 2121+<+而x x y +=ln 在()+∞∈,0x 单调递增∴e x x 121<∴ex x 121<（12分）。

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中Ⅰ考试数学试卷命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．“”是“函数在上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在中，点D 在边AB 上，．记，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数的单调递增区间为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7，设是定义域为R 的偶函数，且在单调递增，则（）A ．B ．C ．D ．8．已知向量，，函数．若对于任意的，，且(){}lg 3M x y x ==-{}2N y y =>M N = ∅()2,3()3,+∞()2,+∞π2ϕ=-()sin 2y x ϕ=+π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ABC △2AD DB =CB a = CD b = CA =32a b-32a b+23a b +23a b-+()cos 2cos f x x x =+[]0,3[]1,3-[]1,2-[]0,2()()23log 4f x x =-()0,+∞(),0-∞()2,+∞(),2-∞-()1os 4c αβ+=tan tan 2αβ=()cos αβ-=34-112-11234()f x ()0,+∞233221log 223f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233221log 223f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23322122log 3f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23322122log 3f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(),1a x = ()sin ,sin cos b x x x =+ ()f x a b =⋅ 1x 2π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，均有成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9）A ．B ．C ．D．10．已知向量，，则（ ）A ．B ．与向量共线的单位向量是C ．D ．向量在向量上的投影向量是11．已知函数，且对，都有，把图象上所有的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得函数的图象向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．为偶函数D ．在上有1个零点第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，若，则实数______．13．已知函数，若，，且，则的最小值是______．14．已知函数，则的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）12x x ≠()()1212x x f x f x t e e ->-[)0,+∞[)1,+∞(],1-∞(],0-∞1tan151tan15+︒-︒tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒︒)sin 503tan10︒+︒22tan151tan 15︒-︒()4,2a = ()6,2b =-20a b +=a ()a b a+⊥ a b 12b-()()π2cos 033f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭x ∀∈R ()π3f x f x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭()f x 12π4()g x 1ω=()2π3g x g x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭π6g x ⎛⎫+⎪⎝⎭()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()4,3a =- (),9b m =-a b ∥m =()323f x x x =+0m >0n >()()()230f m f n f +-=29m n+()2211222024sin log sin 2024cos log cos f x x x x x =+()f x已知．（1）求的值；（2）若，是方程的两个根，求的值．16．（本小题满分15分）已知函数在时取得极大值1．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点与曲线相切的直线方程．17．（本小题满分15分）已知函数为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求a 的最小值；（3）如果存在实数m 、n ，其中，使得，求的取值范围．19．（本小题满分17分）已知函数的图象如图所示．()()π2sin πsin 323π135cos 3cos 2π2x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭tan x sin x cos x 20x mx n -+=23m n +()323f x x x bx c =-++0x =()y f x =()()3,3f ()0,2()y f x =()221x x af x +=+()22log log 24x xg x m =⋅+(]20,1x ∈[]12,8x ∈()()12g x f x =()ln f x x x =()()1,011,02f x x xg x x x +⎧>⎪⎪+=⎨⎪+≤⎪⎩()f x ()xf x y ae x=-()1,2m n <()()g m g n =n m -()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的最大值和最小值；（3）若函数在内恰有781个零点，求实数m 、n 的值．()f x ()π226x x f f h x =⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2π26π1x x g x f mf ⎛⎫- ⎪⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎭⎝()()*0,πn n ∈N滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中Ⅰ考试数学参考答案题号1234567891011答案CAD BCA BDABCCDABD12．1213．14．101215．（1）∵，∴，解得；（2）由题意可得，∴，，∴．16．（1），则，由题意可得，解得，即，，令，解得或，故在，上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值1，即，符合题意．（写经检验，当，时，在处取得极大值也给分）∵，，则切点坐标为，切线斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即（2）由（1）可得：，，设切点坐标为，切线斜率，323()()π2sin πsin 2sin cos 323π5sin 3cos 135cos 3cos 2π2x x x x x x x x ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭==+⎛⎫++- ⎪⎝⎭2tan 135tan 313x x -=+tan 2x =sin cos sin cos x x mx x n +=⎧⎨=⎩()223sin cos 3sin cos 15sin cos m n x x x x x x +=++=+222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15x x x x x x x x ===++2231535m n +=+⨯=()323f x x x bx c =-++()236f x x x b '=-+()()0001f b f c '==⎧⎪⎨==⎪⎩01b c =⎧⎨=⎩()3231f x x x =-+()236f x x x '=-()0f x '>2x >0x <()f x (),0-∞()2,+∞()0,2()f x 0x =0b =1c =0b =1c =()f x 0x =()31f =()39f '=()3,19k =()y f x =()()3,3f ()193y x -=-9260x y --=()3231f x x x =-+()236f x x x '=-()32000,31x x x -+20036k x x =-则切线方程为，∵切线过点，则，整理得，即或，∴切线方程为或，即或．17．（1）由题意可得，函数的定义域为R ，因为是奇函数，所以，可得，经检验，对于，成立，所以．（2）由（1）可得因为，所以，，，，，所以当时的值域，（其他方法求值域酌情给分）又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得，即实数m 的取值范围是．18．（1）∵定义域为，，∴当时，；当时，；()()()32200003136y x x x x x x --+=--()0,2()()()322000023136x x x x x --+=--()()2001210x x -+=01x =12-()131y x +=--1151842y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭320x y +-=15480x y -+=()f x ()10011af +==+1a =-x ∀∈R ()()f x f x -=-1a =-()21212121x xx f x -==-++(]0,1x ∈(]21,2x∈(]212,3x+∈111,2132x ⎡⎫∈⎪⎢+⎣⎭221,213x ⎛⎤-∈-- ⎥+⎝⎦2110,213x ⎛⎤-∈ ⎥+⎝⎦(]0,1x ∈()f x 10,3A ⎛=⎤ ⎥⎝⎦()f x ()()()2222log log log 1log 224x xg x m x x m =⋅+=--+[]2,8x ∈2log t x =[]1,3t ∈()()21232y t t m t t m =--+=-++32t =14m -+3x =2m +()g x []2,8x ∈1,24B m m ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦(]20,1x ∈[]12,8x ∈()()12g x f x =A B ⊆104123m m ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩5134m -≤≤51,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ()0,+∞()1ln f x x '=+()10,x e -∈()0f x '<()1,x e -∈+∞()0f x '>∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，无极大值．（2）依题可知，，在上恒成立，显然，所以，设，，，所以在上单调递增，，故，即，即a 的最小值为．（3）方法1：由已知，则函数在、上为增函数，若存在实数m 、n ，其中，使得，则，，由可得，则，故，令，，，可得当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故，，又因为，，且，所以，，因此，的取值范围是．方法2：由已知，则函数在、上为增函数，若存在实数m 、n ，其中，使得，则，，令，则，可得，由可得，令，其中，令可得，()f x ()10,e -()1,e -+∞()f x ()11f e e-=-ln xy ae x =-10x y ae x '=-≥()1,20a >1x xe a≥()xg x xe =()1,2x ∈()()10xg x x e '=+>()g x ()1,2()()1g x g e >=1e a ≥1a e ≥1e()()ln 1,01,02x x g x x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩()g x (],0-∞()0,+∞m n <()()g m g n =20m -<≤01n e <≤-()()g m g n =()1ln 12mn +=+()2ln 12m n =+-()2ln 12n m n n -=-++()()2ln 12x x x ϕ=-++(]0,1x e ∈-()211011x x x x ϕ-'=-==++1x =01x <<()0x ϕ'<()x ϕ11x e <<-()0x ϕ'>()x ϕ()()min 132ln 2x ϕϕ==-()02ϕ=()11e e ϕ-=-12e -<()32ln 22h t -≤<n m -[)32ln 2,2-()()ln 1,01,02x x g x x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩()g x (],0-∞()0,+∞m n <()()g m g n =20m -<≤01n e <≤-()()g m g n t ==()ln 112t n mt ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩122t n e m t ⎧=-⎨=-⎩20m -<≤01t <≤()21th t n m e t =-=-+01t <≤()20th t e '=-=ln 2t =当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故当时，，又因为，，且，所以，，因此，的取值范围是．（其他方法酌情给分）19．（1）由图象可得，最小正周期，则，由，所以，，又，则易求得，所以，由，，得，，所以单调递增区间为，．（2）由题意得，因为，所以，①从而可知，即因此，0ln 2t <<()0h t '<()h t ln 21t <≤()0h t '>()h t 01t <≤()()min ln 232ln 2h t h ==-()02h =()11h e =-12e -<()32ln 22h t -≤<n m -[)32ln 2,2-1A =7ππ2π1212T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭2π2Tω==77πsin 2π11212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π2π3k ϕ=-+k ∈Z π2ϕ≤π3ϕ=()πsin 23x x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2π22π232k x k -+≤+≤+k ∈Z 5ππππ1212k x k -+≤≤+k ∈Z 5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()ππsin sin 2263x x h x f f x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111sin sin 2cos 2244x x x x x ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭1π1sin 2264x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π02x ≤≤ππ5π2666x -≤-≤πππsin sin 2sin 662x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭1π130sin 22644x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭故在上的最大值为，最小值为0．（3），令，可得，令，得，易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，①当且或者且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；②当且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；③当，时，当时，只有一根，有两根，所以关于x 的方程在上有三个根，由于，则方程在上有780个根，由于方程在区间上有两个根，方程在区间上有一个根，因此，不合题意，舍去；④当，时，当时，只有一根，有两根，所以关于x 的方程在上有三个根，由于，则方程在上有780个根，由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，此时，满足题意；因此，，，得，综上，，．（其他方法酌情给分）()h x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦34()ππcos 2sin 1226x g x f x mf x m x ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x =22sin sin 10x m x --=[]sin 1,1t x =∈-2210t mt --=0∆>1t 2t 1212t t =-1t 2t 11t >210t -<<101t <<21t <-1sin x t =2sin x t =()0,πn 101t <<201t <<1sin x t =2sin x t =()0,πn 11t =-212t =()0,2πx ∈sin 1x =-1sin 2x =22sin sin 10x m x --=()0,2πx ∈78132601=⨯+22sin sin 10x m x --=()0,520π1sin 2x =()520π,521πsin 1x =-()521π,522π11t =212t =-()0,2πx ∈sin 1x =1sin 2x =-22sin sin 1x m x --()0,2πx ∈78132601=⨯+22sin sin 10x m x --=()0,520πsin 1x =()520π,521π1sin 2x =-()521π,522π521n =1122m ⎛⎫⎪⎝=+⎭-1m =1m =521n =。

河南省焦作市普通高中2024届高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21x N x =<，则下列V enn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数z 满足21i i 34i z z ++=+，则z =（ ）A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +3．已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，116a =，公比12q =，则n T 取最大值时n 的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．4或5 D ．6或74．在ABC V 中，13BD BC =，点E 是AD 的中点，记AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则BE =u u u r （ ） A ．1133a b -+r r B ．2136a b -+r r C ．1133a b --r r D ．2136a b -r r 5．在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC V 如图所示，则tan A =（ ）A ．74B ．1C ．53D 6．已知O 为坐标原点，直线l 过抛物线()2:20D y px p =>的焦点F ，与D 及其准线依次交于,,A B C 三点（其中点B 在,A C 之间），若4AF =，2BC BF =,则OAB △的面积是（ ）ABC．D7．l 、l '为两条直线，,αβ为两个平面，满足：,l l O l '⋂=与l '的夹角为π,//,,6l αβαα⊥与β之间的距离为2．以l 为轴将l '旋转一周，并用,αβ截取得到两个同顶点O (点O 在平面α与β之间)的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为12、V V ，则12V V +的最小值为（ ） A ．3π B ．23π C ．9π D ．29π 8．设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[]3.53=，[]1.52-=-），则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2046++++=L （ ）A ．10928⨯-B ．11928⨯-C ．10922⨯+D ．11922⨯+二、多选题9．有一组样本数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为2s ，则下列说法正确的是（ ） A ．设a ∈R ，则样本数据1ax ，2ax ，…，n ax 的平均数为axB ．设a ，b ∈R ，则样本数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的标准差为22a sC ．样本数据21x ，22x ，…，2n x 的平均数为2xD ．22211n i i s x x n ==-∑ 10．已知0,0m n >>，且2m n mn +=，则下列结论中正确的是（ ）A ．1mn ≥ B．m n +≤C ．222m n +≥ D．23m n +≥+11．（多选）在平面直角坐标系xOy 中，由直线4x =-上任一点P 向椭圆22143x y +=作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则（ ）A ．APB ∠恒为锐角B ．当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C ．||AP 的最小值为4D ．存在点P ，使得()0PA PO OA +⋅=u u u r u u u r u u u r 12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为(02)r r <<，设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（ ）A ．当1r =时，V =B ．V 存在最大值C ．当r 在区间(0,2)内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间(0,2)内变化时，V 先增大后减小三、填空题13．某市高三年级男生的身高X （单位：cm ）近似服从正态分布()2175,N σ，已知()1751800.2P X ≤<=，若()[]0.3,0.5P X a ≤∈.写出一个符合条件的a 的值为.14．已知圆22:4cos 4sin 0C x y x y θθ+--=，与圆C 总相切的圆D 的方程是．15．组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)改变状态．如果要求只改变(1,1)的状态，则需按开关的最少次数为．16．机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点()()1122,,,A x y B x y 的闵氏距离为()()11212,p p p p D A B x x y y =-+-，其中p 为非零常数．如果点M 在曲线e x y =上，点N 在直线1y x =-上，则()1,D M N 的最小值为．四、解答题17．已知数列{}n a 为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取11a =，接着复制该项粘贴在后面作为2a ，并添加后继数2作为3a ；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为4a ，5a ，6a ，并添加后继数3作为7a ，…依次继续下去.记n b 表示数列{}n a 中n 首次出现时对应的项数.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求12363a a a a ++++L .18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足6cos 2C c b +=，3a =.(1)证明：ABC V(2)若()2222211ABC S t a b c ≤++V 恒成立，求实数t 的取值范围. 19．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，2s ，经计算()102111690i x x =-=∑，102133050i i x==∑．(1)求x ；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布()2,N μσ，用x ，2s 的值分别作为μ，2σ的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[]30,82的人数为Y ，求Y 的数学期望()E Y ．附：若()2,N ξμσ:，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈，330.9()973P μσξμσ-≤≤+≈． 20．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角P ABC -，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒，①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DAC ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．21．我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数e （离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线22:324360E x y x --+=.(1)求双曲线E 的准线；(2)设双曲线E 的右焦点为F ，右准线为l .椭圆C 以F 和l 为其对应的焦点及准线过点F 作一条平行于y x =的直线交椭圆C 于点A 和B .已知C 的中心P 在以AB 为直径的圆内，求椭圆C 的离心率e 的取值范围.22．已知函数23()e 232xa x f x x ax =---． (1)当0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．(2)若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(3)若()f x 的最小值为1，求a ．。

礼泉县2024~2025学年度第一学期期中学科素养评价质量调研高三年级数学注意事项：1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.下列函数是偶函数的是（）A.B.C. D.3.函数的一个对称中心的横坐标是（ ）A.0 B. C. D.4.若，则（ ）A. B. C.5.已知函数，则（）A.B.C. D.6.已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）2B {}{}1,0,1,3,2A B xx =-=∣…A B ⋂={}3{}1,0,1-{}1xx ∣…{}11x x -∣……sin y x =cos y x =3y x =2xy =()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2ππ3tan α=cos2α=1313-()2(1)1f x x =--()()11f x f x -=-()()11f x f x -=+()()11f x f x +=-()()11f x f x +=--()()sin f x x ωϕ=+()()120f f …()f x ()1,2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.8.已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ）A.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）A.向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变B.向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变C.横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位D.横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.当时，()0.52log ,2,27,2x x f x x bx x >⎧=⎨++⎩…R b []3,2--[)2,∞-+12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭(],3∞--()()sin f x x ωϕ=+,A B 12y =()y f x =π6AB =π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12-122sin cos sin x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭'2111x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭'()2log 30='()()22e 2e x xx x x =-'sin y x =πsin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π9π913π313π3()()e x f x x ax a =+∈R 0a =()1ef x -…B.当时，直线与函数的图象相切C.若函数在区间上单调递增，则D.若在区间上恒成立，则的最大值为第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则__________.13.已知二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为__________.14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，g 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他大约经过__________小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的周长的最大值.16.（本小题满分15分）已知函数.（1）当时，求的极小值；（2）若在上不具有单调性，求实数的取值范围.1a =2y x =()f x ()f x [)0,∞+1a …[]0,1()2f x x …a 1e -xOy αβOx π6α=cos β=2y ax bx c =++20bx ax c -->100mL 2079mg ~80m 0.8mg /mL 20%lg20.301≈ABC V ,,A B C ,,a b c 2cos cos cos a A b C c B =+A a =ABC V ()()e xf x x a =-3a =()f x ()f x ()0,2a17.（本小题满分15分）记的内角的对边分别为，已知为的中点，且.（1）若，求；（2）若，求.18.（本小题满分17分）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为.（1）求实数的值；（2）求的零点个数.19.（本小题满分17分）设函数，直线是曲线在点处的切线.（1）当，求的最大值；（2）证明：不经过点；（3）当时，设点为与轴的交点，与分别表示和的面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？若不存在，说明理由.参考数据：.ABC V ,,A B C ,,a b c ABC V D BC 1AD =π3ADC ∠=sin B 228b c +=,b c ()f x '()f x ()f x ''()f x '()0f x ''=0x ()()00,x f x ()y f x =()32912f x ax bx x =+-+()1,1,a b ()f x ()()()ln 10f x x kx k =--≠l ()y f x =()()()2,eA t f t t >2k =()f x l (0,0)2k =-()(),0,0,0,C t OB l y ACO S V ABO S V ACO V ABO V A ACO ABO S S =V V A 2e 7.39,ln6.39 1.85≈≈礼泉县2024~2025学年度第一学期期中学科素养评价质量调研高三年级数学参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.D4.A5.C6.B7.A8.C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分.9.ABC 10.AC 11.ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 13. 14.6.2四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1），.，.（2）由余弦定理得，又，，当且仅当时取等号，，即时取等号），周长的最大值为.16.解：（1），，当时，.{21}x x -<<∣2cos cos cos a A b C cB =+ ()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A BC C B B C A ∴=+=+=()0,π,sin 0A A ∈∴> 1πcos ,23A A ∴=∴=2222cos a b c bc A =+-a =222222()12()3()324b c b c b c bc b c bc b c ++⎛⎫∴=+-=+-+-⨯= ⎪⎝⎭…b c =2()48b c ∴+…b c +=a b c b c a ∴++===…ABC ∴V ()()e xf x x a =- ()()()e e 1e x x x f x x a x a ∴=+=-+'-∴3a =()()()()3e ,2e x x f x x f x x '=-=-当时，；当时，；当时，，的极小值为.（2）由（1）知，，令，得，当时，；当时，，又在上不具有单调性，，即，实数的取值范围为.17.解：（1）在中，为的中点，，，解得.在中，，由余弦定理得，即，解得，则，.（2）在与中，由余弦定理得，，整理得，而，则，又2x <()0f x '<2x =()0f x '=2x >()0f x '>()f x ∴()22e f =-()()1e xf x x a =-+'()()0001e 0x f x x a =-+='01x a =-∴1x a <-()0f x '<1x a >-()0f x '>()f x ()0,2012a ∴<-<13a <<∴a ()1,3ABC V D BC π,13ADC AD ∠==1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S ∠∴=⋅=⨯⨯===V V 4a =ABD V 2π3ADB ∠=2222cos c BD AD BD AD ADB ∠=+-⋅214122172c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭c =cos B ==sin B ∴===ABD V ACD V ()2211121cos π42c a a ADC ∠=+-⨯⨯⨯-2211121cos 42b a a ADC ∠=+-⨯⨯⨯222122a bc +=+228b c +=a =11sin 2ADC S ADC ∠=⨯=V解得，而，于是，.18.解：（1），，，又的图象的对称中心为，解得（2）由（1）知，，，令，得或，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.，又当时，；当时，，有3个零点.19.解：（1）当时，的定义域为，，当时，在上单调递增；sin 1ADC ∠=0πADC ∠<<π2ADC ∠=2b c ∴===()32912f x ax bx x =+-+ ()2329f x ax bx =+'∴-()62f x ax b ='+'∴()f x ()1,1()()1620,131,f a b f a b ⎧=+=⎪∴⎪''⎨=++=⎩1,3.a b =⎧⎨=-⎩()323912f x x x x =--+()2369f x x x =-'∴-()0f x '=1x =-3x =∴1x <-()()0,f x f x '>13x -<<()()0,f x f x '<3x >()()0,f x f x '>()()117,315f f -==- x ∞→-()f x ∞→-x ∞→+()f x ∞→+()f x ∴ 2k =()()ln 12f x x x =--()1,∞+()132211x f x x x -∴==-'--31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '>31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当在上单调递减，的最大值为.（2）证明：，直线的斜率为，切线的方程为，将点代入，得，即，又，，即，令，其中，若过，则在上存在零点.易知，在上单调递增，，又，不满足假设，故不过点.（3）当时，，由（2）知切线的方程为，设与轴的交点为，则，又由（2）知，，又，，当时，此方程无解，()()3,,0,2x f x f x ∞⎛⎫'∈+< ⎪⎝⎭3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x ∴31ln 33ln222f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()11f x k x =--'l 11k t --∴l ()()11y f t k x t t ⎛⎫-=-- ⎪-⎝⎭()0,0()11f t t k t ⎛⎫-=--⎪-⎝⎭()1t f t kt t =--()()ln 1f t t kt =--()ln 11t t kt kt t ∴--=--()ln 11t t t -=-()()ln 11t g t t t =---2e t >l ()0,0()g t ()2e ,t ∞∈+()221101(1)(1)t g t t t t '=+=>---()g t ∴()2e ,∞+()()2e g t g >()()27.39e ln6.390,06.39g g t ≈->∴>l ()0,02k =-()()2ln 1f x x x =+-l ()()121y f t x t t ⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭l y B ()0,b ()()2ln 111t t b f t t t t t =--=----()ln 101t b t t =-->-()11,22ABO ACO S bt S tf t ∴==V V ()(),ln 11ACO ABO t S S f t b t t =∴==---V V 201t t t ∴+=-2e t >A不存在满足条件的点.。

2024年高三数学期中试卷及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = 3，求a的值。

A. -1B. 1C. 2D. -2{答案：B}2. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 21B. 19C. 23D. 17{答案：A}3. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，求点Q的坐标。

A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-2, -3)D. (-3, -2){答案：A}4. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(f(-1))的值。

A. 4B. 2C. 0D. -2{答案：A}5. 设函数g(x) = |x - 1| - |x + 1|，求g(2)的值。

A. 1B. -1C. 2D. -2{答案：B}6. 若直线y = 2x + 3与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5相切，求圆心到直线的距离。

A. 1B. √5C. 2D. 3{答案：B}7. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。

A. 4B. -4C. 5D. -5{答案：B}8. 已知复数z = 3 + 4i，求复数z的模。

A. 5B. 7C. 9D. 25{答案：A}9. 设矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵A的特征值。

A. 2B. 3C. 4D. 5{答案：A}10. 若f(x) = x^3 - 3x + 1，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3x + 1C. 3x^2 + 3D. x^2 + 3x - 1{答案：A}二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求第5项的值。

{答案：2 * 3^4}2. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点为Q，求点Q的坐标。

高三年级第一学期期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）1．命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（）A ．20,10x x x ∀>-+≤B ．20,10x x x ∀≤-+≤C ．20,10x x x ∃>-+≤D ．20,10x x x ∃≤-+≤2.（5分）2．已知集合A ，B 均为全集U ={1，2，3，4}的子集，且C U (A ∪B )={1}，B ={3,4}则A ∩(C U B )=（）A ．{1}B ．{2}C ．{1，2}D ．∅3.（5分）3．设平面α∩平面β=m ，且a b αβ⊂⊂，，a ⊥m ，b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分不必要条件4.（5分）4．已知α为第三象限角，则（）A ．sin02α> B ．cos02α>C ．sin20α>D ．cos20α>5.（5分）5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟6.（5分）6．将函数4cos 2()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭π和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，…，A k ，若P 点坐标为(03，则12k PA PA PA +++……=（）A ．KB ．2kC ．5D ．107.（5分）7．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当x∈(0，+∞)时，)’(2f x >恒成立，若不等式()(1221)()f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.（5分）8．三棱锥A —BCD 中，∠ABC=∠CBD=∠DBA=60°，BC=BD =1，△ACD 的面积为114，则此三棱锥外接球的表面积为（） A ．4πB ．16πC ．163π D ．323π 二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．设z 1，z 2是复数，则下列说法中正确的是（）A ．1212=z z z z --B ．1212=z z z z ⋅C ．若12z z ∈R，则12=z zD ．若12=0z z -，则12=z z10.（5分）10．已知2cos cos ()3g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（）A ．函数()g x 的最小正周期为πB ．函数()g x 在03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减C ．5012⎛⎫- ⎪⎝⎭π，是函数()g x 图象的一个对称中心 D ．函数()g x 的图象可以由函数1y cos 62x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12得到 11.（5分）11．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3=6，S 16>0，a 9<0，则（）A ．12111d -<<-B ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为第9项C ．S n <0时，n 的最小值为17D ．a 8>012.（5分）12．关于函数f (x )=e x+a sin x ，x ∈(-π，+∞)，下列结论正确的有（）A ．当a =1时，f (x )在(0，f (0))处的切线方程为2x -y +1=02=3α- B ．当a =1时，f (x )在(-π，+∞)上存在唯一的极小值点 C ．对任意a >0，f (x )在(-π，+∞)上均存在零点D ．当a <0时，若对∀x ∈(-π，+∞)，f (x )≥0恒成立，则420e a -≤<π三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．若tan 2=3α-，则cos2α=____________． 14.（5分）14．某电商一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值_______．15.（5分）15．已知向量a ，b 是平面内的两个非零向量，则当|a +b |+|a －b |取最大值时，a 与b 夹角为______．16.（5分）16．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别是36n a n =+，()*=27N n n n b +∈．将集合{}{}1212,,,,,,,,n n a a a b b b ⋯⋯⋃⋯⋯中的元素按照从小到大的顺序排列，构成数列{}n c ，则数列{}n c 的前62项和S 62______．四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17．（本小题满分10分）设各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，S 5=20，且a 2，a 6-1，a 11成等比数列． （1）求数列{}n a 的公差d ；（2）数列{}n b 满足：1=n n n b b a ++，且111=b a +，求数列{}n b 的通项公式．18.（12分）18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B =b sin 2A B+． （1）求角C 的大小；（2）若b =8，cos B =21，D 为边BC 上一点，且AD=7，求BD DC的值． 19.（12分）19．（本小题满分12分）某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A ，B ，C ．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A ，B ，C 三辆车每天出车的概率依次为221,,332，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．（1）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；（2）设X表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X)．20.（12分）20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=4，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且PA=2．（1）证明：PA⊥底面ABCD；（2）当点E在BC边上移动，使二面角E—AF—B为60°时，求二面角F—AE—P的余弦值．21.（12分）21．（本小题满分12分）如图，已知直线y=2x与椭圆E：x2+2y2=1交于A，B两点（点A在第一象限），点P(-4t，t)在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．（1）求点A到椭圆左准线的距离；（2）求证：直线CD的斜率为定值．22.（12分）22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=e x-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，f’(x)是函数f(x)的导函数．（1）求函数f’(x)在区间[0，1]上的最小值；（2）若f(1)=0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求实数a的取值范围.答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）1．C 2.（5分）2．B 3.（5分）3．A 4.（5分）4．C5.（5分）5．B6.（5分）6．D7.（5分）7．D8.（5分）8．A二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分） 9.（5分）9．ABD 10.（5分）10．AB 11.（5分）11．ACD 12.（5分）12．ABD三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．51314.（5分）14．20 15.（5分）15．π216.（5分）16．3395四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17． 解：设{}n a 的公差为d ，由520S =得155()202a a +=，即34a =． ……2分又2a ，61a -，11a 成等比数列，所以()262111a a a -=⋅，即()233(4)(48)d d d +=-⋅+，即2171070d d --=，所以(1)(177)0d d -+=， ……4分若717d =-，则132017a =-<，与0n a >矛盾，所以1d =． ……6分（2）由（1）有3(3)1n a a n d n =+-=+，故11n n b b n ++=+，且121b b ==，所以122n n b b n +++=+，两式相减得21n n b b +-=， ……8分所以数列{}n b 的奇数项与偶数项分别成公差为1的等差数列， 当n 为奇数时，()1111122n n n b ++=+-⨯=， 当n 为偶数时，()11122n n n b =+-⨯=， 所以()11124n n n b -+-=+．（写成分段函数亦可） (10)分18.（12分）18．解：因为sin sin2A Bc B b +=， 在△ABC 中，A B C +=π-， 所以sin sincos 22C Cc B b b π-==． 在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin cos2CC B B = 又0B <<π，sin 0B ≠， 所以sin cos2C C =，即 2sin cos cos 222C C C =， 又0πC <<，所以022C π<<，所以cos 02C≠， 所以1sin22C =，因为π022C <<，所以π26C =， 即π3C =． (4)分（2）因为cos B，所以sin B =sin sin()A B C =+πsin()3B =+ππsin cos cos sin 33B B =+127=+=， ……6分在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a bA B=，810a ==， ……8分 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AD DC AC DC AC C =+-⋅， 即28150DC DC -+=，故(3)(5)0DC DC --=，所以3DC =或5DC =， (10)分当3DC =时，7BD BC DC =-=，73BD DC =， 当5DC =时，5BD BC DC =-=，1BDDC=， 所以BD DC 的值为73或1． ……12分19.（12分）19．解：（1）设该分公司A ，B ，C 三辆押运车在星期四出车的事件分别为A 4､B 4､C 4，该分公司在星期四至少有一辆押运车外出执行任务的事件为D ．则P (D )＝1－P (D －)＝1－P (A －B －C －)＝1－13×13×12＝1718． ……4分 （2）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3． ……5分P (X ＝0)＝12×13×13＝118；P (X ＝1)＝12×13×13＋12×23×13＋12×13×23＝518；P (X ＝2)＝12×23×23＋12×23×13＋12×13×23＝49；P (X ＝3)＝12×23×23＝29． ……9分 所以X 的分布列为E (X )＝0×118＋1×518＋2×49＋3×29＝116． ……11分 答：星期四至少有一辆车外出执行任务的概率为1718；X 的数学期望为116辆． (12)分20.（12分）20．证明：（1）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB 平面ABCD AB =，矩形ABCD 中，AD AB ⊥，AD ABCD ⊂平面，AD ⊥所以平面PAB ， 又AP PAB ⊂平面，AD AP ⊥所以． (2)分同理可证AB AP ⊥，又ABAD A AB AD ABCD =⊂，，平面，所以PA ⊥底面ABCD ． ……4分（2）因为PA AB =，点F 是PB 的中点，，AF PB ⊥所以．AD ⊥又平面PAB ，又AF PAB ⊂平面，AD AF ⊥所以，且//AD BC ，BC AF ⊥所以，AF ⊥所以平面PBC EF PBC ⊂，平面，所以AF EF ⊥，所以 BFE ∠为二面角E AF B --的平面角， (6)分即60BFE ∠=，此时6BE =，AD 因为，AB ，AP 三线两两垂直，分别以AD ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，()0,0,0A ，()002P ,,，()0,1,1F ，()06,2,E，()0,0,2AP =，()0,1,1AF =，()6,2,0AE =，设平面FAE 的法向量为()111,,x y z =m ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11116200x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令13z =，得116,3x y ==-，则()6,3,3=-m ， (8)分设平面PAE 的法向量为()222,,x y z =n ，由00n AP n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22220620z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令26x =，得22,30y z =-=，()6,3,0=-n ， …… 10分则10cos ,42615m n m n m n ⋅<>===⋅，所以二面角F AE P --的余弦值为4． …… 12分21.（12分）21．解：（1）因为椭圆2221x y +=中，21a =，212b =，所以22212c a b =-=，故左准线为x =由22212x y y x⎧+=⎨=⎩，得13x =±，因为点A 在第一象限，所以13A x =．． （2）设00()P x y ，，11( )A x y ，，22( )B x y ，，33( )C x y ，，44( )D x y ，， 则0040x y +=，221121x y +=，222221x y +=，又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，， 则1013110131(1) (1) x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，，代入椭圆2212x y +=并整理得，22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，从而有 2210001011(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-，①同理可得，2220002021(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-，②①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=， 因为220021x y +<,所以12λλ=， 从而//AB CD ，故2CD AB k k ==.22.（12分）22．解：（1）由2()e 1x f x ax bx =---得()e 2x f x ax b '=--，令()()g x f x '=，所以()e 2x g x a '=-．（i ）当0a ≤时，()0g x '>对一切[]0 1x ∈，恒成立， 所以()g x 在[]0 1，内单调递增，故()g x 在[]0 1，上的最小值是(0)1g b =-； （ⅱ）当20a >即0a >时，令()0g x '=，得ln(2)x a =，从而有 ① 当ln(2)0a ≤即102a <≤时，列表：故()g x 在[]0 1，上的最小值是(0)1g b =-； ② 当0ln(2)1a <<即1e22a <<时，列表：故()g x 在[]0 1，上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a a b =--； ③ 当ln(2)1a ≥即e 2a ≥时，列表：故()g x 在[]0 1，上的最小值是(1)e 2g a b =--. 综上，当12a ≤时，所求最小值是1b -，当1e 22a <<时，所求最小值是22ln(2)a a a b --；当e2a ≥时，所求最小值是e 2ab --.（2）由(1)0e 10e 1f a b b a =⇒---=⇒=--，所以()()e 2e 1x g x f x ax a '==--++，且(0)0f =.若函数()f x 在区间(01)，内有零点，设x 0为f (x )在区间(01)，内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0)x ，内不可能单调递增，也不可能单调递减． 则()g x 在区间0(0)x ，内不可能恒为正，也不可能恒为负． 故()g x 在区间0(0)x ，内存在零点1x ，同理()g x 在区间0(1)x ，内存在零点2x . 由（1）知当12a ≤或e 2a ≥时，函数()g x 在(01)，内单调，与至少两个零点矛盾，舍；若1e22a <<，此时()g x 在区间()0ln(2)a ，内单调递减，在区间()ln(2)1a ，内单调递增． 因此()10ln(2)x a ∈，，()2ln(2)1x a ∈，， 又min [()](ln(2))22ln(2)e 132ln(2)e 1g x g a a a a a a a a ==--++=--+， 令()32ln(2)e 1h x x x x =--+（1e22x <<）， 则1()32ln(2)2212ln(2)2h x x x x x'=--⋅⨯=-，令()0h x '=得2x =，列表：故当1e22x <<时，max [()]e 10h x =+<， 所以min [()]32ln(2)e 10g x a a a =--+<恒成立，所以1e 22(0)0(1)0a g g ⎧<<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，即1e 222e 010a a a ⎧<<⎪⎪-+>⎨⎪-+>⎪⎩e 21a ⇔-<<，综上，a 的取值范围为()e 21-，.。

上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2B ．1169C ．16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题：①若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =；三、解答题17．已知:31x m a <-或x m >-，:2x b <或4x ³．(1)若a 是b 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若a 是b 的必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知0a >，关于x 的不等式223ax bx c £++£．分以下两种情形来讨论：情形一：当21x y xy +=->时，有()()113x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是4，所以集合A 中除1以外的最小元素为6，但是336A +=Î，3327A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾.情形二：当2x y xy +¹-时，则1x y xy +=-或(),2x y xy m m +=->，（因为若m 为负整数，则()()110x y m --->，即此时1x y xy m +¹-+），若11x y xy +=->，有()()112x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是3，所以集合A 中除1以外的最小元素为5，但是235A +=Î，2324A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾；若(),2x y xy m m +=->，有()()111x y m --=+，不妨设(),2,2x a y b a b ==>>，()()111a b m --=+，且此时集合A 中除1以外的最小元素为x y a b A +=+Î，但是122xy a b a b <-=+-<+，所以2xy A -Ï,而这与集合A 是“减2集”矛盾.综上所述：不存在集合A 是“减2集”.（3）假设存在A 是“减1集”，{}1A ¹.假设1A Î，则A 中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2A Î，则11A +Î，但111A ´-Ï，因此2A Ï，假设3A Î，则12A +Î，且121A ´-Î，因此3A Î，因此可以有{}1,3A =,假设4A Î，则13A +Î，但131A ´-Ï，因此4A Ï，假设5A Î，则23A +Î，且321A ´-Î，因此5A Î，可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集，又当7A Î时，34A +Î，但3412´=，所以A 中元素应该小于7，因此减1集可以有{}{}131,3,5,,.【点睛】关键点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况21x y xy +=->和2x y xy +¹-证出矛盾，第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.答案第171页，共22页。