H (xf , λf ,u f ) = 0
若能知道λ (0)的值,就能根据协态方程解得最优控制
λ (t ) = exp(− AT t )λ0 , u * = − sgn( BT exp(− AT t )λ0 )
如果λ T b j ≠ 0, 可以确定最优控制 u * = − sgn(λ T b j ); j 如果λ T b j = 0, 则不能确定u *。 j 如果λ T b j = 0只在t的离散点上成立,则在这些点上u *作边界 j 值的切换; 如果λ T b j = 0在某一段时间间隔成立,这时无法确定u *j的值
5.1 最小值原理
系统运动方程 & x = f ( x, u, t ) 式中:x ∈ Rn − 状态变量;u ∈ Rm − 控制变量;t ∈[t0 , t f ] − 时间变量。 给定系统的初始时刻和初始状态 x(t0 ) = x0 系统的终端时刻和状态满足r个约束方程 n( x(t f ), t f ) = 0 控制变量满足若干不等式约束 g (u, t ) ≤ 0 最优控制问题的性能指标为 J = θ ( x(t f ), t f ) + ∫ φ ( x, u, t )dt
关于判别线性定常系统最优控制问题的正规性和奇异性, 有以下定理。 & 定理7-1 对于线性定常系统x=Ax+Bu 快速最优控制奇异的充要条件是,m个矩阵 Uj = [b j Ab j A2b j K An −1b j ], j = 1, 2,K , m 中,至少有一个是奇异的。 定理7-2 定理7-3ห้องสมุดไป่ตู้对于线性定常系统,快速最优控制正规的充要条件是: 对于正规快速最优控制问题,其最优控制律u*的每一个 m个矩阵Uj全部是非奇异的。
(1)快速最优控制的正规与奇异问题 定义7-1 若所有函数λ T b j 在时间间隔[0,tf ]上只存在有限个零点,则 对应的快速最优控制问题成为正规的。 定义7-2 如果对所有j=1,2, ,m,至少存在一个λ T b j函数在某一段时间 K 间隔[t1 ,t2 ]∈[0,tf ]上的取值为零,则对应的快速最优控制问题是奇异 的,并称时间间隔[t1 ,t2 ]为奇异段。 对于正规快速最优控制问题,完全能确定最优控制律u* ,即每个控制分量 u*均在边界值之间切换,且切换点就是λ T b j =0的时刻。这种控制方式成为 j “乒乒控制”。 对于奇异快速最优控制问题,在奇异段[t1 ,t2 ]上不能确定最优控制律,但 不表明最优控制u*不存在。因为在奇异段u*上,H函数与对应的u*无关,u* j j 可以取任意容许值,仍能满足最小值原理。此时快速最优控制不再具有 “乒乒控制”形式