第八章~《画法几何》

●封闭性：截交线为封闭的平面图形。 ●共有性：因为截交线既属于截平面，又属于基 本体表面，所以截交线是截平面和基本体表面的共有 线。 由此可见，求作截交线的实质，就是求截平面与 立体表面的共有点和共有线。
图8-1 平面截断体
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8.1
截交线的投影及作图
8.1.1 平面立体切割体的画法
画法几何
平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形，该多边形的各边是截平面与立体表面 的交线，多边形的顶点是截平面与立体各棱边的交点。因此，求平面截断体的投影，关 键是找到这些交点，然后作同面投影连线即可。
作图步骤： ① 根据通槽的主视图，先在俯视图中作出两侧壁的积 聚性投影；再按“高平齐、宽相等”的投影规律，作出通槽 的侧面投影，如图8-4（c）所示。 ② 擦去作图线，校核切割后的图形轮廓，加深描粗， 如图8-4（d）所示。
（a）
（b）
（c）
图8-4 四棱柱开槽的画法
（d）
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画法几何
8.1.1 平面立体切割体的画法
作图步骤： ① 根据通槽的主视图，先在俯视图中作出两侧壁的积 聚性投影；再按“高平齐、宽相等”的投影规律，作出通槽 的侧面投影，如图8-4（c）所示。 ② 擦去作图线，校核切割后的图形轮廓，加深描粗， 如图8-4（d）所示。
（a）
（b）
（c）
图8-4 四棱柱开槽的画法
（d）
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8.1.2 回转体切割体的投影及画法
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画法何
8.1.1 平面立体切割体的画法
【例8-1】 已知正六棱柱被正垂面所切割，如图8-2（a）所示，补画其左视图。
分析：
正六棱柱被正垂面切割时，正垂面与正六棱柱的六个侧面相交，所以截 交线是一个六边形，六边形的顶点为各棱边与正垂面的交点。截交线在H面上 的投影与棱柱的水平投影重合，在V面上的投影积聚为一直线，在W面上的投影 是一个六边形。
（a）
（b）
（c）
（d）
图8-2 正六棱柱被正垂面切割
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画法几何
8.1.1 平面立体切割体的画法
【例8-2】 已知图8-3（a）所示四棱锥被正垂面P截切，补画被切割后截断体的三视图。
分析：
由图8-3（a）可知，截平面P与四棱锥的四条棱边都相交，所以截交线为 四边形，四边形的四个顶点为各棱线与平面的交点（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）。截平 面的正面投影具有积聚性，因此可直接求出各交点的正面投影，进而求得这些 交点的水平投影和侧面投影，最后依次连接这四个交点的同面投影即可。
【例8-3】 如图8-4所示，在四棱柱上方切割一个矩形通槽，试完成四棱柱矩形通槽的水平投影和侧面投影。
分析：
如图8-4（b）所示，四棱柱上方的矩形通槽是由三个特殊位置平面切割而成的。槽底是水平面，其正面投影和侧面投影均积聚成 水平方向的直线，水平投影反映实形。两侧壁是侧平面且重合在一起，其正面投影和水平投影均积聚成竖直方向的直线，侧面投影反映 实形。可利用积聚性求出通槽的水平投影和侧面投影。
画法几何
图8-8 例8-6图
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8.1.2 回转体切割体的投影及画法
【例8-6】 根据图8-8所示的立体图，绘制其三视图。
画法几何
（a）
作图步骤：
（b）
（c）
图8-9 例8-6画图步骤
（d）
① 主视图的投射方向如图8-8所示，先画出没有切割之前圆柱体的三视图，如图8-9（a）所示。
② 根据图8-8所示立体图，在主视图上确定截断面的位置和投影，如图8-9（b）所示。
画法几何
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8.1.2 回转体切割体的投影及画法
1.圆柱面截交线
2）截交线的画图步骤 求圆柱切割体的三视图，主要是求截交线的投影，其具体画图步骤如下： ① 画出没有切割前圆柱体的三视图。 ② 在截平面垂直于投影面的视图上确定截平面的位置。因截平面垂直于该投影 面，所以截断面在该投影面上的投影为直线，根据立体图（或模型）即可确定截平面 在该投影面上的投影。 ③ 求截交线的其他两个视图。在投影为圆的视图上，截交线的投影和该圆重合； 在投影不为圆的视图上，需要先根据截平面与圆柱轴线的位置关系，判断截交线的形 状，然后再根据前两个视图求出该投影面上截交线的投影。如果投影为椭圆，要求出 椭圆的长轴和短轴，再求出椭圆上的一些一般位置点，最后用曲线板连成光滑曲线。 ④ 擦除已切去的轮廓线，然后描深图线。
画法几何
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画法几何
8.1.2 回转体切割体的投影及画法
2．圆锥面截交线
截平面位置 截交线
过锥顶 直线
表8-2 圆锥截交线
垂直于轴线
不过锥顶，与所 不过锥顶，但平 不过锥顶，但平
有素线相交 行于某条素线
行于轴线
（a > b）
（a = b ）
（a = b ）
圆
椭圆
抛物线
双曲线
立体图
投影图 注：a为截断面和圆锥轴线的夹角，b为圆锥锥角的1/2。
⑤ 整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除并加深图线。
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8.1.2 回转体切割体的投影及画法
2．圆锥面截交线
1）平面切割圆锥体 圆锥体被平面切割时，锥面与平面的截交线可分为表8-2所示的5种情况： ① 当截平面过圆锥体的锥顶时，截断面为等腰三角形。 ② 当截平面垂直于圆锥体的轴线时，截断面为圆。 ③ 当截平面与圆锥体的轴线所成的角大于1/2锥角时，截交线为椭圆。 ④ 当截平面与圆锥体的轴线所成的角等于1/2锥角，即截断面与圆锥体的某条素线 平行时，截交线为抛物线。 ⑤ 当截平面与圆锥体的轴线平行，但不过锥顶时，截交线为双曲线。
画法几何
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8.1.2 回转体切割体的投影及画法
画法几何
【例8-7】 如图8-10所示，已知锥台切割矩形槽后的主视图，参考立体图补画俯视图和左视图。
形体分析和线面分析：
矩形槽的侧面P为侧平面，并与圆锥的轴线平行，所以平面P和锥面的交线 为双曲线段，并且侧面投影反映实形。槽的顶面R为水平面，并与圆锥的轴线垂 直，所以平面R和锥面的交线为圆弧，且水平投影反映实形，圆弧的半径可从主 视图上求得。
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8.1.2 回转体切割体的投影及画法
2．圆锥面截交线
2）圆锥截交线为曲线时的画图步骤 ① 先画出未切割前圆锥体的三视图。 ② 根据立体图（或模型），画出截断面积聚为直线的投影。 ③ 截交线的投影为曲线时，要先求出特殊点的投影。立体对投影面转向轮廓线上的 点和特征点称为特殊点，如椭圆长短轴的端点、双曲线的顶点、圆的象限点等。 ④ 用“辅助素线法”或“辅助圆法”求一般位置点的投影。 ⑤ 用曲线板连接成光滑曲线，然后擦去已切去的轮廓线，最后描深图线。
（a）立体图
（b）形体分析
图8-5 根据立体图绘制三视图
作图步骤（参见图8-6）：
① 主视图的投射方向如图8-5（a）所示，先画出未切割前圆柱
体的三视图。
② 画切角的投影。切角的投影要先画主视图，再画俯视图，然后
由主视图和俯视图画左视图，最后擦去主视图中切去的轮廓线。
③ 画矩形切槽的投影。矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视 （a）画未切割前圆柱的投影 （b）画切角 （c）画矩形切槽
图，主视图由俯视图和左视图求出（主视图中，矩形切槽的底面不可
图8-6 例8-4画图步骤
见，因此要画成虚线）。
④ 整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除并加深图线。
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画法几何
8.1.2 回转体切割体的投影及画法
【例8-5】 已知圆筒被切口开槽，如图8-7（a）所示，求作圆柱体切口开槽的三视图。
分析： 如图8-7（a）所示，开槽部分的侧壁是由两个侧平面Q、槽底是由一 个水平面P截切而成的，圆柱面上的截交线分别位于被切出的各个平面上。
图8-10 例8-7图
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画法几何
8.1.2 回转体切割体的投影及画法
【例8-7】作图步骤：
① 画出没有切割前锥台的左视图和俯视图，如图8-11（a）所示。
② 求矩形槽的侧面P与锥面交线（即双曲线）的顶点和端点。假想侧平面P将该锥台切断，则图8-11（b）中的点3′为双曲线的顶点，
该顶点在锥面对V面的转向轮廓线上，其W面投影和轴线重合。从点3′向下作竖直线，与底圆的交点1，2即为双曲线的端点，如图8-11（b）
1.圆柱面截交线
1）平面切割圆柱体 圆柱体被平面切割时，柱面与平面的截交线有表8-1所示的3种情况： ① 当截平面与圆柱体的轴线垂直时，截交线为圆。 ② 当截平面与圆柱体的轴线平行时，截交线为矩形。 ③ 当截平面与圆柱体的轴线倾斜时，截交线为椭圆。
截平面垂直于轴线
截平面平行于轴线
截平面倾斜于轴线
表8-1 圆柱截交线
画法几何
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画法几何
8.1.2 回转体切割体的投影及画法
【例8-4】 根据图8-5（a）所示立体图，绘制其三视图。
分析：
基础形体为圆柱体，先用一个侧平面和水平面切去一角，侧平面和柱
面的交线为线段，水平面和柱面的交线为圆弧；再用两个正平面和一个水平
面切去一个矩形槽，矩形槽的侧面和柱面的交线为线段，槽的底面与柱面的 交线为圆弧，如图8-5（b）所示。
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画法几何
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8.1
截交线的投影及作图
8.2
相贯线的投影及作图
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画法几何
用一个平面切割立体，平面与立体表面所形成的 交线称为截交线，用来截切立体的平面称为截平面， 立体被截切后的断面称为截断面，如图8-1所示。
当立体表面形状和截平面的位置不同时，截交线 的形状也不同，但任何形状的截交线都具有以下两个 基本性质。
（a）
（b）
（c）
（d）
图8-3 四棱锥截交线的画法
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画法几何
8.1.1 平面立体切割体的画法
【例8-3】 如图8-4所示，在四棱柱上方切割一个矩形通槽，试完成四棱柱矩形通槽的水平投影和侧面投影。